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投资的收益与风险问题 数学建模

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投资的收益和风险的数学建模

投资的收益和风险的数学建模

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时， 人们就要在深入调查研究、 了解 对 象 信息、 作出简 化假设、 分析内在规律等工作的基础上， 用数学的符号和语言， 把它表述为数学式子， 也 就 是 数 学 模 型， 然 后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题 并 接受 实 际 的 检 验。 这 个 建 立 数 学 模 型 的 全 过 程就 称 为 数学建模。MATLAB 是一种准确、 可靠的科学计算 标 准 软 件， 它具 有 强 大 的 矩阵 运 算 功能 与 函 数 多 样 性 功能， 是数学建模中常用的工具。 一般说来， 在现代商业、 金融投资中， 投资者总是希望实现收益最大化， 关注于采用什么样的投资方式 可以使总收益最大。然而投资是要承担风险的， 而且高收益总是伴随着高风险， 收益与风险之间存在着难 以调和的矛盾。怎样兼顾两者， 寻找切实可行的决策思想， 是投资的收益和风险决策的一个重要问题。 一、 问题的提出 1， 2， ……， n) 可以选择， 市场上有 n 种资产 s i ( i = 0 ， 现 用 数 额 为 M 的 相当大 的 资 金 进 行 一个 时 期的 投资。这 n 种资 产 在这 一 时 期 内 购 买 s i 的 平 均 收益 率 为 r i ， 风险损失率为 qi ， 投 资越 分 散， 总的 风 险 越 小， 总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。 购买 s i 时 要 付 交 易 费 ( 费 率 p i ) ， 当购买额不超过给定值 u i 时， 交 易 费 按 购 买 u i 计 算。 另 外， 假定同 期银行存款利率是 r0 ( r0 = 5 % ) ， 既无交易费又无风险。 已知 n = 4 时相关数据为
x = 0． 000 0 x= 0 x= 0 x = 0． 000 0

11539-数学建模-1998年A题《资产投资收益与风险》题目、论文、点评

11539-数学建模-1998年A题《资产投资收益与风险》题目、论文、点评

1998年A题《资产投资收益与风险》题目、论文、点评投资组合与模糊规划模型王正方,赵文明,倪德娟本文讨论了投资的风险与收益的问题,首先我们给出了一个比较完整的模型,然后,考虑投资数额相当大时的一个近似处理模型,并分别用偏好系数加权法和模糊线性规划法进行了求解,接下来,我们又考虑了如何处理投资额相对较小的情况下的最优投资组合情况,引入了绝对收益率进行了较为有效的解决。

投资组合与模糊规划模型.pdf (275.8 KB)投资组合模型伍仕刚,孟宪丽,胡子昂本文建立了考虑交易费用情况下的市场资产组合投资模型,并采用偏好系数加权法对资产的预期收益和总风险进行评价,给出在不同偏好系数下的模型最优解,然后模型讨论了一般情况下的最优投资求解方法,给出定理,在总金额大于某一量值时,可化为线性规划求解。

投资组合模型.pdf (134.92 KB)风险投资分析程文鑫,苑青,骆文润本文主要研究多种资产的组合投资问题,根据题目所给信息,建立了在一定简化条件下的多目标规划模型和单目标风险约束模型,并对问题一与问题二分别使用上述两模型进行求解得到多种投资组合方案,同时对一般情况进行了讨论,最后模型进行了相应的灵敏度分析,讨论了简化条件的适用情况,结果表明模型是较为符合实际的风险投资分析.pdf (241.54 KB)资产投资收益与风险模型陈定涛,蒋浩,肖红英本文应用多目标决策方法建立模型,并通过简化,成为一个单目标线性规划问题。

计算后得到了一个合乎公司要求的、净收益尽可能大,而总体风险尽可能小的最优方案,如下所示: 问题1的最佳投资方案对表二中的数据进行同样的计算和分析,也获得了一个理想的投资方案;从而证明了我们的模型具有一般性。

资产投资收益与风险模型.pdf (298.22 KB)资本市场的最佳投资组合闫珺,王璐,韩嘉睿市场上有多种可提供投资者选择的资产。

本文试图对各种收益和风险进行分析,在一定的标准下给出全部资产组合的效益前沿,即有效资产组合,为投资者提供参考。

数学建模投资收益和风险模型

数学建模投资收益和风险模型

投资利润微风险的模型纲要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者老是希望利润能够获得最大化，可是他也面临着不确立性和不确立性所引致的风险。

并且，大的利润老是陪伴着高的风险。

在有好多种财产可供选择，又有好多投资方案的状况下，投资越分别，总的风险就越小。

为了同时兼备利润微风险，追求大的利润和小的风险组成一个两目标决议问题，依照决议者对利润微风险的理解和偏好将其转变为一个单目标最优化问题求解。

跟着投资者对利润微风险的日趋关注, 怎样选择较好的投资组合方案是提升投资效益的根本保证。

传统的投资组合依照“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则 ,将投资分别化。

一问题的提出某企业有数额为 M（较大）的资本，可用作一个期间的投资，市场上现有5种财产（S i） ( 如债券、股票等 ) 能够作为被选的投资项目，投资者对这五种财产进行评估，估量出在这一段期间内购买 S i的希望利润率（ r i）、交易费率( p i)、风险损失率( q i)以及同期银行存款利率r0（ r0=3%）在投资的这一期间内为定值如表1，不受不测要素影响 , 而净利润和整体风险只受r i, p i, q i影响，不受其余要素扰乱。

现要设计出一种投资组合方案,使净利润尽可能大,风险尽可能小.表1投资项目 S i 希望利润率 r i (%) 风险损失率 q i (%) 交易费率 p i (%)存银行 S0 3 0 027 122 2252321 2此中 i0,1,2,3,4,5.二问题假定及符号说明2.1 问题假定(1)整体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来胸怀；(2)在投资中 , 不考虑通货膨胀要素 , 所以所给的S i的希望利润率r i为实质的均匀利润率；(3)不考虑系统风险 , 即整个资本市场整体性风险 , 它依靠于整个经济的运转状况 , 投资者没法分别这类风险 , 而只考虑非系统风险 , 即投资者经过投资种类的选择使风险有所分别；(4)不考虑投资者关于风险的心理蒙受能力。

数学建模：第六章建模范例三

数学建模：第六章建模范例三
(2)
103.133872
(3)
101.310287
(3,1)
98.472872
(5)
96.731702
(5,1)
94.787533
(5,2)
92.480158
(5,3)
90.844949
(5,3,1)
4108.656375
(5,5)
*
M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）
3
改为
4
利用
5
软件求解（程序略）M=5000万元，
6
n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）
7
*
M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）
存1年定期
存2年定期
存3年定期
存5年定期
取款数额（到期本息和）
每年发放奖学金数额
第一年初
105.650679
103.527252
220.429705
2.255
*
由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。
由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，
*
根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：
据上公式用
可以求得n=10年，M=5000万元时
基金使用的最优方案：（单位：万元）
每年奖学金：
问题三求解：
方案一：只存款不购买国库券
1
因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，

数学建模—投资的收益和风险问题

数学建模—投资的收益和风险问题

学建模二号：名：级：投资的收益和风险问题摘要：某投资公司现有一大笔资金（8000 万），可用作今后一段时间的市场投资，假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为 r i ，风险损失率分别为 q i 。

考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。

另外，假定同期银行存款利率是 r0 =5%。

具体数据如下表：对于第一问，我建立了一个优化的线性规划模型，得到了不错的结果。

假设 5 年的投资时间，我认为五年末所得利润最大可为：37.94 亿。

具体如何安排未来一段时间内的投资，请看下面的详细解答。

如果可供选择的资产有如下15 种，可任意选定投资组合方式，就一般情况对以上问题进行讨论，结果又如何？对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率，通过分析，发现数据中存在着相互的联系。

由此，我建立了一个统计回归模型x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2通过这个模型，我预测了今后5年各个项目的到期利润率。

如第一个项目今后五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年：0.1572 。

（其他几个项目的预测祥见下面的解答）考虑风险损失率时，定义计算式为：f=d*p;d 为该项目 5 年内的到期利润率的标准差，p 为到期利润率；考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的模型：x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5 y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5 （两个项目互相影响的模型） x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5（三个项目互相影响的模型）通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。

2023年数学建模c题目

2023年数学建模c题目

2023年数学建模c题目
2023年数学建模竞赛C题是“多阶段投资组合优化问题”。

问题描述：
假设你是一位投资者，在多阶段投资环境中，需要确定在每个阶段应该如何分配你的投资金额。

为了简化问题，我们假设你只有一个投资目标，即在每个阶段最大化预期收益，并且你的投资金额为100万元。

具体来说，你需要确定在每个阶段应该投资多少金额，以及应该选择哪些资产进行投资。

投资环境包括股票、债券和现金等三种资产，每种资产的预期收益率和风险水平不同。

在每个阶段，你都需要考虑过去的历史数据和当前的市场情况来制定投资策略。

例如，在第一阶段，你需要基于过去10年的数据来确定股票、债券和现金的权重。

在第二阶段，你需要根据第一阶段的结果和市场情况来调整你的投资策略。

目标是最大化预期收益，同时考虑风险水平。

你需要确定一个多阶段投资组合优化模型，并使用历史数据和数学方法来解决这个问题。

问题要求：
1. 建立多阶段投资组合优化模型，并使用历史数据来求解该模型。

2. 确定投资策略，包括在每个阶段的投资金额和资产选择。

3. 分析投资结果，包括预期收益和风险水平。

4. 讨论如何根据市场变化调整投资策略。

5. 编写一个Python程序来实现你的模型和算法，并输出结果。

这是一个非常具有挑战性的问题，需要你掌握多阶段投资组合优化、统计分析和Python编程等方面的知识。

希望你能通过解决这个问题，提高自己的数学建模能力和实际应用能力。

数学建模投资风险与收益

数学建模投资风险与收益

数学建模投资风险与收益
投资风险和收益是投资领域中的两个最重要的概念。

投资者在做出最终的决策之前，
必须仔细衡量这两者之间的关系。

投资风险是指可能发生的一系列不确定的事件，这些事件可能会导致投资者在投资过
程中遭受损失。

投资风险包括市场风险、信用风险、流动性风险和操作风险等。

投资收益是指投资者在投资中获得的收益，包括股息、利息、资本利得和其他收益等。

投资者的收益与投资风险密切相关，通常来说，风险越高，收益也就越高，反之亦然。

在数学建模中，我们可以使用各种数学工具和技巧来分析投资风险和收益之间的关系。

例如，我们可以使用统计方法来评估一个投资组合的风险和收益。

通过分析投资组合中每
个资产的历史数据，我们可以得出该组合的风险和收益情况，并通过优化投资组合的资产
配置，实现最大化收益和最小化风险的目标。

另外，我们还可以使用金融工程学中的定价模型来评估投资的风险和收益。

例如，利
用风险价格和风险杠杆来评估投资组合的风险和收益，并通过调整投资组合的配置，使风
险和收益达到最优化。

除了数学建模，我们还可以使用许多其他工具和技巧来帮助我们评估投资风险和收益
之间的关系。

例如，我们可以使用基本面分析来评估股票的价值，使用技术分析来预测股
票价格的变化，使用公司财务分析来评估企业的财务状况等。

总之，投资风险和收益是投资领域中的两个最重要的概念。

通过使用数学建模和其他
工具和技巧，我们可以更加准确地分析投资组合的风险和收益，并实现最优化的投资决
策。

投资的收益和风险问题—数学建模论文

投资的收益和风险问题—数学建模论文

投资的收益和风险问题摘要本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。

分别在不考虑风险和考虑风险的情况下建立相应的数学模型，来使得投资所获得的总利润达到最大。

问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。

然后分别分析预计到期利润率、可用投资总资金和各投资项目的投资上限对总利润的影响。

发现利润与利润率成正比的关系；可用投资总额有一个上限，当投资额小于这个上限时，总利润与可用投资额成正比的关系，当大于这个上限时，可用投资额与总的利润没有关系，总利润率保持不变；各项目的投资上限均与目标值呈正相关，项目预计到期利润率越大，该项目投资上限的变动对目标值的影响越大。

问题二是一个时间序列预测问题。

分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。

两种情况下的预测思路与方法大致相同。

首先根据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。

再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。

接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。

对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。

具体答案见4.2.2.1问题的分析与求解。

同样在考虑相互影响的情况下，我们运用ARMA(3,1)模型进行预测，结果见4.2.2.2 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。

全国大学生数学建模大赛试题1998

全国大学生数学建模大赛试题1998

全国大学生数学建模大赛试题1998 1998年全国大学生数学建模竞赛题目 A题投资的收益和风险市场上有n种资产(如股票、债券、…)S ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司i 有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S的平均收益率为，并预测出i 购买S的风险损失率为。

考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当i 用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S中最大的一个风险来i度量。

购买S要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购i 买计算(不买当然无须付费)。

另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。

(=5%)1. 已知n = 4时的相关数据如下:S i(%) (%) (%) (元)S 28 2.5 1 103 1S 21 1.5 2 198 2S 23 5.5 4.5 52 3S 25 2.6 6.5 40 42. 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

3. 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

S i(%) (%) (%) (元)S 9.6 42 2.1 181 1S 18.5 54 3.2 407 2S 49.4 60 6.0 428 3S 23.9 42 1.5 549 4S 8.1 1.2 7.6 270 5S 14 39 3.4 397 6S 40.7 68 5.6 178 7S 31.2 33.4 3.1 220 8S 33.6 53.3 2.7 475 9S 36.8 40 2.9 248 10S 11.8 31 5.1 195 11S 9 5.5 5.7 320 12S 35 46 2.7 267 13S 9.4 5.3 4.5 328 14S 15 23 7.6 131 15B题灾情巡视路线下图为某县的乡(镇)、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。

数学建模论文组合投资问题1

数学建模论文组合投资问题1

科院7组：蔡光达、王奇、鲁成组合投资问题摘要本文讨论了投资的风险和收益问题，建立了投资的单目标和多目标决策模型，并将多目标决策问题转化为单目标的决策模型，采用线性规划问题求解以解决公司的投资组合问题。

利用线性规划和灰色预测模型对公司五年投资过程中的投资的收益和风险分别进行了评估预测，求出了在不同的投资环境下第五年末的最大利润数值。

针对问题一：本文以第五年所得总金额为目标函数，应用线性规划理论建立了单目标优化模型，并运用Lingo软件求得第五年所得总金额的最大值：374140.5万，则第五年的最大利润：174140.5万。

针对问题二：本文分别对独立投资和同时投资这两种情况进行分析，对题中表2和表3进行了处理，算出来各项目每一年的到期利润率，分别以到期利润率的时间响应函数和标准差为目标函数建立了模型，运用灰色系统理论对上述两种投资方式近五年的各项目到期利润率进行预测，通过Matlab软件求得了两种不同投资方式的近五年各项目到期利润率预测结果（具体数据见表7.2和表7.3）和各项目标准差（具体数据见表7.5和7.6），并对预测结果进行了级比偏差检验，检验结果显示此时预测结果精度较高。

针对问题三：本文综合考虑了独立投资和同时投资这两种情况，同样以第五年的所得总金额为目标函数，并建立了单目标优化模型，通过Lingo软件求得第五年所得总金额的最优值：558422.0万，则第五年的最大利润358422.0万。

针对问题四：以题三中标准差最大值表示投资最大风险损失率，为此分别以第五年最大总金额和最小风险损失费为目标函数建立了多目标线性优化目标函数，比运用Lingo软件求得：当8.0s时，可得第五年总金额最大值：569975万,=则第五年的最大利润369975万。

针对问题五：假设一部分资金存入银行获取利息，并向银行贷款进行其他项目投资，然后根据题四方法和思想，运用Lingo软件求得：当3.0s时，可得第=五年总金额最大值：79582.4万,则第五年的最大利润59582.4万。

投资问题数学建模(Word最新版)

投资问题数学建模(Word最新版)

投资问题数学建模通过整理的投资问题数学建模相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！数学模型第一次探讨作业问题：某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目供选择：项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；项目C：其次年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？问题分析：用表示第i年对第j个项目的投资金额要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将全部可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只探讨年初的投资状况：第一年：其次年：手上资金（即第一年年末收回资金）为，全部用来对可投资项目投资，则有= 第三年：同理，有= 第四年：= 第五年：= 第五年年末本息和为（即第五年所能收回的全部资金）建立模型：= = = = ，求解模型：Lingo解法：可编写lingo程序如下：model: max=1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;!目标函数; x11+x14=10;!以下约束条件表示每年资金全部用于投资;1.06*x14=x21+x23+x24; 1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;1.15*x21+1.06*x34=x41+x44; 1.15*x31+1.06*x44=x54; x23<=3;!限制B,C项目的最大投资额; x32<=4; end 运行结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 14.37500 Infeasibilities:0.000000 Total solver iterations:1 Variable Value Reduced Cost X54 0.000000 0.000000 X41 4.500000 0.000000 X32 4.000000 0.000000 X23 3.000000 0.000000 X11 7.169811 0.000000 X14 2.830189 0.000000 X21 0.000000 0.000000 X24 0.000000 0.3036000E-01 X31 0.000000 0.000000 X34 4.245283 0.000000 X44 0.000000 0.2640000E-01 Row Slack or Surplus Dual Price1 14.37500 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 -1.3225004 0.000000 -1.2190005 0.000000 -1.1500006 0.000000 -1.0600007 0.000000 0.7750000E-018 0.000000 0.3100000E-01 所得最优值为14.375万元，对应的最优解为: x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0 即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；其次年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。

基金公司投资问题(数学建模)

基金公司投资问题(数学建模)

二、问题分析
对于投资股票的问题，我们以高收益，低风险为标准对 50 种股票进行合理地 选择，从而得到我们要投资的 10 种符合标准的股票，并分别计算它们的平均收益 和风险及上涨幅度，给出组合投资的最佳方案，再根据相应的约束条件，确定 10 支股票各自的投资份额，合理地分配现有资金，从而实现公司收益最大化。 1、在问题一中，由于 50 种股票的数据量非常庞大，在对 50 种股票数据的处 理中,我们采用了对离散数据处理的方法。为了减少数据的处理，我们将每种股票的 6 个数据按季度求出其平均值，这样处理后数据也不算繁杂，同时也具有充分的代 表与说明性，并分别求出每种股票的收益率和风险系数，这两个值之间满足
三、模型假设
1、设定每种股票按季度求出其收益与风险的波动和日收益与风险切近度最大， 不考虑不在一季度内的单个月份的影响； 2、假设最优解为最大利益时风险最小，即最优收益=收益-风险； 3、假设以每季度的第一天的开盘价作为数据合并后的开盘价，以每一季度最 后一天的收盘价作为数据合并后的收盘价，不考虑资金面和主力的关照程度因素的 影响； 4、买卖基金时不考虑基金的申购费、赎回费、基金转换费等一系列费用。
在 50 种股票中取最大值;
SM
ax
S1 , , S k ;
从 S Max 中我们可再依次选出 9 个最大收益率的股票。 由于在建立模型时需要考虑我国经济形势与行业变化情况，并与实际状况相结 合，我们参考了网络上的经济分析，发现在传统行业不景气的情况下，相比于汽车 和工业股票，购买能源及电信业股票更加安全，因此我们预测了优势股应该为能源 之类。 此外，如果在选择 10 种最优股票进行投资时，只考虑最大收益率，而不考虑 股票的涨跌幅变化，就会增加投资股票的风险。因此我们还要考虑涨跌幅的变化情 况，并绘制出涨跌图，结合最大收益率共同抉择 10 种最优投资股票。 按季度求出其涨跌幅：

数学建模---非线性规划模型

数学建模---非线性规划模型
M（元）：公司现有投资总额 Si（i=0~n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0 表 示存入银行）； xi（i=0~n）：公司购买Si金额； ri（i=0~n）：公司购买Si的平均收益率； qi（i=0~n）：公司购买Si的平均损失率； p（i=0~n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。
6.4.3 问题的分析
i i i i i i i
当购买Si的金额为xi（i=0~n），投资组合 x=（x0，x1，…，xn）的净收益总额
R( x) Ri ( xi )
n i 0
（6 ）
整体风险：
Q( x) max Qi ( xi )
资金约束：
1i n
n
（7）
（8 ）
F ( x) f i ( xi ) M

二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x , , f p x gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
T
5.7
2.7 4.5 7.6
320
267 328 131
模型的假设
1. 2.
3.
4.
在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、 证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再 卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易 费。
符号的说明
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000

投资建模

投资建模

投资效益与风险问题建模一、问题分析（—）问题的性质本问题是一个投资“关于效益与风险的双目标”最优化决策问题。

必须在“总体收益尽可能大，总体风险尽可能小”的原则下确定投资方向，即确定每个投资方向的投资资金。

（二）问题的主要因素（1）每个投资方向i S 的投资资金i X ；（2）每个投资方向i S 投资的收益率i r 与收益i R ；（3）每个投资方向i S 投资的风险率i q 与风险i Q ； （4）投资总收益R ； （5）投资总体风险Q 。

关键因素为投资总收益与投资总体风险。

（三）解决问题的难点从本实际问题出发，投资的收益与风险是一对矛盾。

一般来说，投资的收益越大，风险就会越大。

因此，根本不存在投资的收益最大，同时风险又最小的投资方案。

怎样协调收益与风险之间的矛盾？这是解决该问题的难点。

（四）目标函数的确定 根据“总体收益尽可能大，总体风险尽可能小”的原则，建立数学模型时，我们的目标函数必须以总体收益和总体风险为基础。

（1）总体收益函数∑∑====ni i i ni i X r R R 11（2）总体风险函数∑∑====ni i i ni i X q Q Q 11（五）数学建模的思路（1）思路1——建立双目标优化模型以“总体收益函数最大，总体风险函数最小”为目标函数，建立双目标最优化模型。

由于题目所给数据反应的“收益最大和风险最小”是矛盾的，因此，此模型无最优解。

但模型反应了投资的追求，是建立其他模型的基础。

（2）思路2——建立单目标优化模型引入新的函数，从一定程度上反应“收益最大和风险最小”的目标，将此函数做为目标函数，建立单目标优化模型。

新的目标函数应该满足：收益越大，函数值越大；风险越小，函数值越大。

（3）思路3——建立多重优化模型对于投资者来说，有的重视的是收益，而将风险做为第二考虑；有的则重视的是风险，而将收益做为第二考虑。

根据这种投资者的两种特点，我们可以分别建立两种模型。

数学建模：投资问题

数学建模：投资问题

投资的收益与风险问题摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。

然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。

关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好2.问题重述与分析3.市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。

考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。

购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。

另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。

（）1、已知时的相关数据如下：试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。

并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。

这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。

数学建模投资问题【精选文档】

数学建模投资问题【精选文档】

某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。

按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证劵的收益需按照50%的税率纳税。

此外还有以下限制:（1）政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元；（2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小,信用程度越高)；（2）如果能够以2。

75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证劵A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证劵C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？2．模型的假设(1）假设该投资为连续性投资，即该经理投资不会受到年限过长而导致资金周转困难的影响；(2）假设证劵税收政策稳定不变而且该经理优先考虑可以免税的市政证劵的情况下再考虑其他证劵种类以节约成本；（3)假设各证劵之间相互独立而且各自的风险损失率为零。

（4）假设在经理投资之后，各证劵的信用等级、到期年限都没有发生改变；(5)假设投资不需要任何交易费或者交易费远远少于投资金额和所获得的收益，可以忽略不计；(6）假设所借贷资金所要支付的利息不会随时间增长,直接等于所给的利率乘上借贷资金。

3．符号说明X1：投资证劵A的金额（百万元)；X2：投资证劵A的金额(百万元）；X3：投资证劵A的金额（百万元）；X4：投资证劵A的金额（百万元）；X5:投资证劵A的金额（百万元）；Y:投资之后所获得的总收益（百万元)；对于该经理根据现有投资趋势,为解决投资方案问题,运用连续性投资模型，根据所给的客观的条件，来确定各种投资方案，并利用线性规划模型进行选择方案，以获得最大的收益。

问题一，该经理优先考虑可以免税的市政证劵的情况下再考虑其他证劵种类以节约成本，我们可以在所提出的假设都成立的前提下(尤其是假设所借贷资金所要支付的利息不会随时间增长,直接等于所给的利率乘上借贷资金）以及综合考虑约束资金和限制条件，将1000万元的资金按照一定的比例分别投资个各种证劵。

1998年大学生数学建模优秀论文投资收益和风险问题

1998年大学生数学建模优秀论文投资收益和风险问题

基本假设
一， 投资行为只能发生在开始阶段，中途不得撤资或追加投资。 二， 任一资产可购买量足够多，足以吸纳全部投资资金。 三，几种资产相互之间不会产生影响，例如股市的涨跌不会影响到债券的 涨跌。 四，财务分析人员对平均收益率和风险的预测值是可信的。 五，M 值足够大，大至可忽略 ui 的影响。（因为一般情况下企业的投资动辄 成百上千万元，而 ui 仅为数百元，故可忽略其影响） 六，公司总会选择满意度高的方案。
? , 模型假设：由问题分析可知，在问题 1 的情况下，风险值只能是 2.5%， 1.5%，5.5%，2.6%，0%中的某一个。
? , 模型的建立与求解： 当风险为 2.5%时，此时购买 S1 的资金超过了 M 的一半。剩余的资金为了追 求最大收益，都将会购买净收益率最大的资产。最后发现所有的资金全部购买 了 S1。净收益率为 27%。 当风险为 1.5%时，可得购买 S1 和 S2 的资金大约各占一半，S2 所耗资金略多 一点。净收益率约为 23%。 当风险为 5.5%时，可得购买 S1 和 S3 的资金大约各占一半，S3 所耗资金略多 一点。净收益率约为 22.5%。 当风险为 2.6%时，可得购买 S1 和 S4 的资金大约各占一半，S4 所耗资金略多 一点。净收益率约为 22.5%。 当风险为 0%时，可得购买 S1 和 S0 的资金大约各占一半，S0 所耗资金略多一 点。净收益率约为 16%。 通过对以上结果的分析，我们发现模型中未体现出总风险随投资的分散而减 小，另外当有某种投资所耗资金超过 M 的一半时，无论其余的资金作何种投资， 总风险都不会发生变化。这些显然都是不符合实际情况的，因此我们需要对条 件进行完善。
当各资产投资份额不同时，即给 S1，S2，S3，S4，S0（银行）投资各不相同时， 将会得到市场总收益与市场总风险的对应关系，在二维坐标（Rj-Q）中其表示 为二维图形。

数学建模例题

数学建模例题

建模课程设计-考试题目1. 蠓虫的分类实验目的: 学习利用向量夹角余弦建模方法进行生物种类的判别, 熟悉回代误判率与交叉误判率的计算, 熟练掌握Matlab关于向量的内积, 范数, 均值的计算, 提高综合编程能力.问题描述两种蠓虫Af和Apf已由生物学家根据触角长度和翅长加以区分, 现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长, 翅长的数据如下:Apf: (1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20, 1.86), (1.26, 2.00), (1.28, 2.00), (1.30, 1.96)Af: (1.24, 1.72), (1.36, 1.74), (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38, 1.90), (1.40, 1.70), (1.48, 1.82), (1.54, 1.82), (1.56, 2.08)问题1. 如何依据以上数据, 制定一种方法, 正确区分两类蠓虫.2. 将你的方法用于触长, 翅长分别为(1.24, 1.80), (1.28, 1.84), (1.40, 2.04) 的3个样本进行识别.3. 设Af 是宝贵的传粉益虫, Apf是某种疾病的载体, 是否应该修改分类方法.4. 衡量两个向量之间的接近程度还有哪些方法, 据此建立新的判别方法, 并与上述方法进行比较, 由此你有何发现?2. 最速落径实验目的1. 熟悉用计算机模拟解决物理中的极小值问题2. 进一步熟悉多元函数求极值问题实验内容及要求问题提出: 如下图所示:图1设A, B 是不在一条铅垂线上的两点, 在连接A, B 两点的所有光滑曲线中, 找出一条曲线, 使得初速度为零的质点, 在重力作用下, 自A 点下滑到B 点所需的时间最短.分析: 由A 到B 的曲线如果是直线AB, 质点沿直线AB 的运动是匀加速的,0,A B v v ==平均速度()/22A B v v v =+=, 所需总时间为T =问题1: 对从A 到B 的曲线, 如果是a) 圆弧, b) 抛物线, 计算所需的时间, 圆弧和抛物线的选择不是唯一的, 你可任选一条, 看哪种方案所需时间少些. 时间与曲线的选择有关吗?问题3: 作图, 将模拟出来的最速落径曲线和理论曲线arccos(1)x y =-相比较, 比较模拟效果如何.问题4: 理论推导最速落径曲线方程: arccos(1)x y =-提示: 根据费马定律, 光在媒质中总是走最省时间的路线, 是否可以让质点模拟光的行为, 按照光的折射定律运行, 这样走出的轨迹就是最速路径.3. 投资的收益与风险实验目的: 学会利用线性规划建立数学模型的方法, 利用Matlab 在给定风险的条件下求解最大收益的投资方案, 建立风险与收益的函数关系.实验内容及要求1. 问题描述: 市场上有n 种资产(如股票, 债券等等), , (1,2,,)i S i n =供投资者选择, 某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资, 公司财务人员对这n 种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购买i S 的平均收益率为i r , 并预测出购买i S 的风险损失率为i q , 考虑到投资越分散, 总的风险就越小, 公司确定, 总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量.购买i S 要付交易费, 费率为i P , 并且当购买额不超过给定值i u 时, 交易费按购买额i u 计算, (不买无需付费), 另外, 假定同期银行存款利率是0r , 既无交易费又无风险0(5%)r = (1) 已知4n =时的相关数据如表1:表1M 息, 使净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.(2) 试就一般情况对以上问题进行讨论, 并利用下表的数据进行计算2. 问题的分析与模型的建立建立一个确定投资比例的向量模型, 使资产组合的净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.设01234,,,,x x x x x 分别是银行存款和投资于1234,,,s s s s 的投资比例系数, 由于银行存款既无交易费又没有风险, 故000,0p q == 总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量, 于是投资组合总体风险为04max{}i i i F x q ≤≤=由于题设给出M 为相当大的一笔资金, 为了简化模型, 认为该公司投资每一项资产都超过给定的定值i u , 于是资产组合的平均收益率为40()i i i i R x r p ==-∑为了使平均收益率尽可能大, 而总体风险尽可能小, 采取固定总体风险的一个上界q , 使得总体收益取得最大, 运用Matlab 软件, 对总体风险的上界从[0,3], 取步长为0.01, 计算301种不同风险时的总体收益的最大值及相应的投资比例系数. 问题:1. 绘制投资方案的净收益率与风险损失率的关系曲线, 并分析之. 对该曲线给出函数描述.2. 计算风险为0.1,0.2,,2.5时的投资比例系数与收益.3. 建立一般情况下的投资组合模型, 并利用2中数据进行计算.4. 湖泊水质富营养化的综合评价实验目的： 学习利用距离函数建模的方法，掌握客观性圈中的变异系数法以及综合评价的基本方法，熟练掌握Matlab 处理矩阵的各种方法。

数学建模投资的风险和效益word精品文档11页

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多目标优化摘要：对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑连个目标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。

模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。

模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。

【关键字】：经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权1. 问题重述投资的效益和风险(2019年全国大学生数学建模竞赛A 题)市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数 额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

公司财务分析人员对这n 种 资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。

考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金 购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。

购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（不买当然无须付费）。

另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。

（0r =5%） 已知n = 4时的相关数据如下：试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资 产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

2模型的假设与符号说明2.1模型的假设：（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。

（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。

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《数学模型与数学软件综合训练》论文训练题目：投资的收益与风险问题学生学号：********姓名：海莲学院：计算机与通信学院专业：信息与计算科学专业指导教师：黄灿云（理学院）日期:2010年春季学期目录一前言 (3)二投资与风险问题 (4)1.论文摘要 (4)2.问题重述与分析 (4)3.假设与模型 (6)3.1模型a (6)3.2模型b (6)3.3模型c (6)3.4 模型求解及分析 (6)四模型评价与推广 (12)五总结 (13)六参考文献 (13)七附录 (13)一前言投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器，日益引起了人们的广泛关注和重视。

世界各国都在积极发展自己的风险投资业，以促进经济的发展和国家的繁荣，关于风险投资一般是指特定的人员或机构向创业初期预期有较大发展潜力。

但风险也很大的为企业提供融资或参与管理的行为。

这里的特定人员或机构一般具有较高的技能和较为雄厚的资本，通常称为风险投资者或风险投资公司；接受投资或管理的企业，通常是高科技企业，称为风险企业。

由于风险投资与企业创业紧密联系在一起，所以又称创业投资。

在我国，风险投资刚刚起步，但对国民经济发展和社会进步意义十分重大，因而越来越引起人们的重视。

二投资与风险问题1.论文摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。

然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。

关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好2.问题重述与分析市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。

考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。

购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。

另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。

（）1、已知时的相关数据如下：试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。

并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。

这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。

设购买S i （i=0,1…….n;S 0表示存入银行，）的金额为x i ;所支付的交易费为c i (x i )，则：0000()01, 2,, ,()0i i i i ii i i ii ix c x p u x u i n c x p x x u =⎧⎪=<<==⎨⎪≥⎩对S i 投资的净收益为:)()(i i i i i i x c x r x R -= （i ＝0，1，…，n ） 对S i 投资的风险为: i i i i x q x Q =)( （i ＝0，1，…，n ），q 0=0 对S i 投资所需资金（即购买金额 x i 与所需的手续费 c i (x i ) 之和）是)()(i i i i i x c x x f += （i ＝0，1，…，n ）投资方案用 x =（x 0，x 1，…，x n ）表示，那么， 净收益总额为：()()niii R R x ==∑x总风险为：)(x Q =)(min 0i i ni x Q ≤≤所需资金为：)()(0ini ix f x F ∑==所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,)()()(min x M x F x R x Q x但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单的单目标模型。

3.假设与模型假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一时期市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策无较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进行准确描述的，因此以上的假设是必要的，一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资， 市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。

3.1模型a假设投资的风险水平是k,即要求总风险Q （x ）限制在k 内，Q （x ）k ≤，则模型可转化为：max ()x Rs.t ()0,)(,≥=≤x M x F k x Q3.2模型b假设投资的收益水平是h ，即净收益总额)(x R 不少于 h ：)(x R ≥h ，则模型可转化为：)(min x Qs.t 0,)(,)(≥=≥x M x F h x R3.3模型c假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为ρ（≥0），则模型可转化为：)()1()(min x R x Q ρρ--s.t.0,)(≥=x M x F3.4 模型求解及分析由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i ，其投资额 x i 一般都会超过 u i ，于是交易费 c i (x i )可简化为线性函数i i i i x p x c =)(从而，资金约束简化为()()(1)n ni i i i i i F f x p x M ====+=∑∑x净收益总额简化为()()[()]()n n ni i i i i i i i i i i i R R x r x c x r p x =====-=-∑∑∑x在实际进行计算时，可设 M =1，此时i y =（i p +1）i x （i ＝0，1，…，n ）可视作投资 S i 的比例.以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.1）模型 a 的求解模型 a 的约束条件 Q (x )≤k 即00()max ()max()i i i i i ni nQ Q x q x ≤≤≤≤==x ≤k ，所以此约束条件可转化为k x q i i ≤ （i ＝0，1，…，n ）.这时模型 a 可化简为如下的线性规划问题：max ()s.t. , =1, 2,, (1)1, 0ni i ii i i niii r p x q x k i n p x==-≤+=≥∑∑x具体到 n =4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：43210185.0185.019.027.005.0m ax x x x x x ++++s.t k x k x k x k x ≤≤≤≤4321026.0,055.0,015.0,025.00,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (4)利用matlab7.1 求解模型a 输出结果是{0.177638, {x0 -> 0.158192, x1 -> 0.2, x2 -> 0.333333, x3 -> 0.0909091,x4 -> 0.192308}}这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M . 当 k 取不同的值（0~0.025），风险与收益的关系见图1. 输出结果列表如下：表1 模型1的计算结果风险 a收益图1 模型1中风险k 与收益的关系结合图1，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.006，0.2019），这时对的投资比例见表1的黑体所示。

从表1中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的 S 2，然后是 S 1 和 S 4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r i –p i ）较大的 S 1 和 S 2．这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果．2）模型 b 的求解模型 b 本来是极小极大规划：0min max()i i i nq x ≤≤s.t.()niiii r p x=-∑≥h(1)1niii p x=+=∑ x ≥0但是，可以引进变量 x n +1=0max()i i i nq x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：1min()n x +s.t 1+≤n i i x x q ,i =0,1,2,…,n ,()niiii r p x=-∑≥h ,(1)1niii p x=+=∑, x ≥0具体到 n =4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：min x 5s.t 54535251026.0,055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤,185.0185.019.027.005.043210h x x x x x ≥++++,0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (5)利用 matlab7.1 求解模型 b ，当 h 取不同的值（0.1~0.25），我们计算最小风险和最优决策,收益水平h 取，结果如表2所示，风险和收益的关系见图2. 从表2看出，对低收益水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产，然后是和，总收益当然较低。