《加17套高考模拟卷》高考仿真卷(七)-2021年高考数学模拟精编大考卷(全国版)含解析

2021年高考数学模拟训练卷 (7)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|1<x <3}，B ={x|2x −3≥0}，则A ∩(∁U B)=( )A. (−∞,32)B. (1,+∞)C. (1,32)D. [32,3)2. 若双曲线方程为x 2−y 23=1，则其渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±√3xC. y =±√33xD. y =±12x3. 若x ，y 满足{x +y −2≤02x +y −2≥0y ≥0，则y −x 的最大值为( )A. −2B. −1C. 2D. 44. 函数y =e|x|4x的图象可能是( )A.B.C.D.5. 设随机变量X 的分布列如下表，且E (X )=1.6，则a 等于( )X 0 1 2 3 P0.1ab0.1A. 0.1B. 0.2C. 0.5D. 0.36. 已知m ∈R ，“函数y =2x +m −1有零点”是“函数y =log m x 在(0,+∞)上为减函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 正项等比数列{a n }中，a 2016=a 2015+2a 2014，若a m a n =16a 12，则4m +1n 的最小值等于( )A. 1B. 32C. 53D. 1368. 若a <b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. a 2<b 2C. lga <lgbD. 3a <3b9. 某中学一天的功课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A. 600种B. 480种C. 408种D. 384种10. 在正三棱锥A −BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC =1，则A −BCD 的体积为( )A. √1212B. √224C. √312D. √324二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 在△ABC 中，B =30°，C =120°，则a ：b ：c = ______ ．12. 已知平面向量m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 之间的夹角为π3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=2，则m ⃗⃗⃗ ⋅(m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ )=________。

2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（十七）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知复数12z i =+，则2z =AB ．3C D ．52．已知集合{}lg 1M x x =<，{}235120N x x x =-++<，则M N =A ．()0,3B ．()0,10C ．(]0,3D ．()3,103．已知m R ∈，则“3m >”是“方程22113x y m m -=--表示双曲线”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12②当32a =-时，直线y ＝ax +2a 与白色部分有公共点； ③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x ，y ），则x +y 的最大值为2； ④设点P （﹣2，b ），点Q 在此太极图上，使得∠OPQ ＝45°，b 的范围是[﹣2，2]． 其中所有正确结论的序号是A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②5．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且,PA PE =则点P 的轨迹是A ．线段B ．圆C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分6．在边长为a 菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则a =A B C D ．37．已知定义在R 上的函数()13y f x =+-是奇函数，当()1,x ∈+∞时，()131f x x x '≥+--，则不等式()()3ln 10f x x -+>⎡⎤⎣⎦的解集为A ．()1,+∞B ．()()1,0,e -⋃+∞C ．()()0,1,e +∞ D ．()()1,01,-⋃+∞8．如图，在ABC 中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为A ．0B ．2-C ．94-D ．3-二、、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知函数()cos()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=是其中一条对称轴，则下列结论正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．31()82f π=- C ．函数()f x 在区间[,]612ππ-上单调递增D ．点7(,0)24π-是函数()f x 图象的一个对称中心 10．若实数m 的取值使函数()f x 在定义域上有两个极值点，则称函数()f x 具有“凹凸趋向性”，已知()'f x 是函数()f x 的导数，且2n (l )mx xx f '=-，当函数()f x 具有“凹凸趋向性”时，m 的取值范围的子集有 A ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．2,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．2,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则 A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 12．某同学在研究函数()1f x x =-的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为()f x =A ．函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，()1,+∞上单调递增B ．函数()f x ，没有最大值C ．存在实数t ，使得函数()f x 的图象关于直线x t =对称D ．方程()2f x =的实根个数为2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数sin 2cos 232y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值时x 的取值范围是________.14．已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______.15．已知函数()()2ln ,mf x x xg x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个公共点，则实数m 的取值范围是______．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336ba ==，则12a b+=____，2=ab _____．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，112n n n S a n S ++=++．数列{}n b 满足n n b a n =+． （1）求{}n b 的通项公式；（2）令()21log n n n c b b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．已知函数()cos()(0)f x x ωω=>的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()()(),[0,]42g x x f x x ππ=--∈的值域；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1()2f A =-，ABC的面积为2b c -=，求a 的值.19．为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19． （1）若该类工程的工期X 服从正态分布()2,N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．（ⅰ）求μ和σ的值；（ⅰ）由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率（精确到0.01）．（2）在上述10个这类工程的工期中任取2个工期，设这2个工期的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数字期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(2P X μσμ-<≤+)20.9545σ≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．20．如图，底边ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，//,,AF DE AD DE AF DE ⊥==.（1）求证：平面ACE ⊥平面BED ；（2）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60°？若存在，求出AMAF的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()()3ln 1f x x x =-，()ln 4m g x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最值；（2）若4m ≤，求关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数．22．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2T -，直线l 过抛物线C 的焦点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点.（1）若TAF △与TBF △的面积之比为2:1，求此时直线l 的方程；（2）若与直线l 垂直的直线1l 过点F ，且与抛物线C 相交于点M 、N ，设线段AB 、MN 的中点分别为P 、Q ，如图，求点T 到直线PQ 距离的最大值及此时直线PQ 的方程.参考答案1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．C 9．ACD 10．BD 11．ABCD 12．ABD 13．5,Z 12x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭14．(,1)(25,)-∞-⋃+∞ 15．0m ≥或21e m e+=- 16．117．（1）2nn b =；（2）1(1)(1)222n n n n T n ++=+-⋅+. 【解析】（1）由112n n n S a n S ++=++，得1121n n n n S S a a n ++-==+-， 所以()1(1)2n n a n a n +++=+，即12n n b b +=，所以数列{}n b 是首项1112b a =+=，公比为2的等比数列，所以122n n b -=⋅，即2nn b =．（2）由（1）得()()212log2122nn n n n c n n n =+=+=+⋅，所以23112(12)22232(1)22n n n n T c c c n n n -⎡⎤=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯⎣⎦231(1)22232(1)222n n n n n n -+⎡⎤=++⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯⎣⎦． 设23122232(1)22n nn M n n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，① 则2341222232(1)22n n n M n n +=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，②①-②，得()231121222222212n nn n nM n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-1(1)22n n +-⋅-，所以1(1)22n n M n +=-⋅+． 所以1(1)(1)222n n n n T n ++=+-⋅+． 18．（1）2ω=；值域为[1,2]-；（2）4.【解析】（1）因为函数()cos()f x x ω=的最小正周期为π， 由2,||2||T ππωω===， 又因为0>ω所以2ω=.此时()cos 2f x x =，则得()2cos 24g x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()2cos 2g x x x =-，即()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，2sin 2[1,2]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以所求函数的值域为[1,2]-. （2）由题意得1cos 22A =-因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则得2(0,)A π∈，所以223A π=，解得3A π=因为ABC 的面积为1sin 2bc A =1sin 23bc π=即12bc =. 又因为2b c -=，由余弦定理，得a ===4==所以4a =.19．（1）（ⅰ）20μ=，2σ=；（ⅰ）0.84；（2）分布列见解析，11245. 【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为()1172319212221191722192010⨯+++++++++=，2=．因此20μ=，2σ=．（ⅰ）22天之内完成该工程的概率()()()()112211110.68270.8422P X P X P X μσμσμσ≤=≤+=---<≤+≈--≈⎡⎤⎣⎦， 所以估计能够在规定时间内完成该工程的概率为0.84．（2）把这10个工期从小到大排列，为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23，则Y 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，()222223222106204515C C C C P Y C +++====， ()111122212106214515C C C C P Y C +====， ()11111123232121014245C C C C C C P Y C ++===， ()11322106234515C C P Y C ====，()111122312107445C C C C P Y C +===， ()11222104545C C P Y C ===，()11212102645C C P Y C ===．所以Y 的分布列是Y 的数学期望是2214274211201234561515451545454545EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（1）证明见解析；（2）存在；14AM AF =. 【解析】（1）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADEF ，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为DE BD D ⋂=，DE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面BED ；（2）因为,,DA DC DE 两两垂直，所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()((3,0,0,,A F E ，()()3,3,0,0,3,0B C ，假设在线段AF 上存在符合条件的点M ，设()3,0,M t，0t ≤≤，则()()()0,3,,3,3,36,3,3,0BM t BF CA =-=--=-， 设平面MBE 的法向量为(),,m x y z =，则·30·330m BM y tz m BE x y ⎧=-+=⎪⎨=--+=⎪⎩，令y t =，得()36,,3m t t =，由（1）知CA ⊥平面BED ，所以CA 是平面BED 的一个法向量，·1cos ,cos60232m CA m CA m CA︒====，整理得2266150t t -+=，解得2t =或2t =（舍去）， 故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60°，此时14AM AF =.21．（1）最小值为2e 3-，无最大值；（2）当4m =时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为2；当4m <时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为1．【解析】（1）因为()()3ln 1f x x x =-（0x >），所以()()2223ln 23ln 2f x x x x xx '=-=-．令()0f x '=，解得23e x =，当230e x <<时，()0f x '<；当23e x >时，()0f x '>．所以函数()()3ln 1f x x x =-在230,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．故()32222333mine e e ln e 13f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当x →+∞ 时，()f x →+∞所以()f x 的最小值为2e 3-，无最大值．（2）因为()()f x g x =（1≥x ），所以()221ln 4mx x x --=-（1≥x ）， 关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数等价于函数()()221ln h x x x x =--（1≥x ）的图象与射线4my =-（1≥x ）的交点个数． 因为()12ln h x x x x x'=--（1≥x ），令()()x h x ϕ='（1≥x ），则()212ln 10x x x ϕ'=++>， 所以()h x '在[)1,+∞上单调递增， 又()120h '=-<，()11e 2ln 0h e e e e e e'=--=->， 故存在唯一的()01,x e ∈，使得()00h x '=，所以()h x 在[)01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且()()1e 1h h ==-，因为当2x e >时，()()()2222221ln 1ln 2h x x x x x e x x =-->--=-， 所以当x e >时，()1h x >-．因为4m ≤，所以14m -≥-， 当4m =时，函数()h x 的图象与射线1y =-（1≥x ）有两个交点， 当4m <时，函数()h x 的图象与射线4m y =-（1≥x ）有一个交点． 综上，当4m =时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为2； 当4m <时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为1．22．（1）)1y x =±-；（2）点T 到直线PQ 距离最大值为，此时直线PQ 的方程为3y x =-+.【解析】（1）由题可知抛物线方程为2:4C y x =焦点坐标为()1,0F ，设直线l 方程为1x my =+，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩， 整理可得：得2440y my --=，则由韦达定理有124y y m +=①，124y y =-②，∵TAF △与TBF △的面积之比为2:1，∴2AF FB =，∴()12121x x -=-，122y y -=③， 由①②③可得218m =，∴m =，∴直线方程为1x y =+，即)1y x =±-.（2）由（1）得点()221,2P m m +，又直线1l 与直线l 垂直，将m 换为1m -，同理可得2221,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1m ≠±时， 直线PQ 的斜率22222212PQ m m m k m m m+==--， 直线PQ 的方程为()222121m y m x m m -=---， 整理为()()2310m x m y ---=， 于是直线PQ 恒过定点()3,0E ，1m =±时， 直线PQ 的方程为3x =，也经过点()3,0E ， 所以点T 到直线PQ距离TE ≤= 此时直线PQ 的方程为3y x =-+.。

本试卷共4页，24小题，总分值150分．考试用时120分钟．本卷须知1.本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第一卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第二卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一卷【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设集合{0,1,2}M=，2=-+≤，那么M N＝〔〕N x x x{|320}A、{1}B、{2}C、{0,1}D、{1,2} 2．假设复数()ai-z-=2为纯虚数，那么实数a等于( )aaA、0B、1C、1-D、0或1 3．平面向量a()=，且⊥a b，那么向量53-a b=( )4,m1,2=-，b()A. (7,16)-- D.(7,14)--- B.(7,34)-- C.(7,4)4．命题p：对任意Rx∈，总有0≥x；命题q：+x的根．那么以下命题为2=2=x是方程0真命题的是( )A、p q∧⌝B、p q⌝∧C 、p q ⌝∧⌝D 、q p ∧5．如果执行如图1的程序框图，那么输出的值是〔 〕 A 、2019 B 、1- C 、21D 、26．当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的〝伴生椭圆〞．那么离心率为3的双曲线的〝伴生椭圆〞的离心率为〔 〕 A 、12B 、6 C 、3 D 、227．随机地从区间] 1 , 0 [任取两数，分别记为x 、y ，那么122≤+y x 的概率=P 〔 〕A 、41B 、21C 、4πD 、41π- 8．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，那么球的表面积为〔 〕 A 、320πB 、π20C 、π12D 、100π9．如图2，网格纸是边长为1的小正方形，在其 上用粗线画出了某多面体的三视图，那么该多面体的体积为〔 〕A. 4B. 8C. 16D. 2010．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()413n n S a =-，那么满足不等式162n n a +>的最小正整数n 的值为〔 〕 A 、12 B 、14 C 、16 D 、1711．函数)cos()(ϕ+ω=x A x f 的图象如图3所示，32)2(-=πf ，那么=)0(f ( )A 、32 B 、32-C 、21 D 、21-12．11,1()ln ,01x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩，假设函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，那么k 的取值范围是〔 〕A 、(,1)(1,)-∞-+∞B 、(1,1)-C 、11(,][0,]22-∞- D 、(,1][0,1]-∞-第二卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（七）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则AB =（ ） A. {1,2,3,4,5}B. {0,1,4,5}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4,5} 【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义可直接求得结果.【详解】由并集的定义可得：{}0,1,2,3,4,5AB =.故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数模长的定义可直接求得结果.【详解】2z i =-，z ∴==故选：C .【点睛】本题考查复数模长的求解问题，属于基础题.3.已知向量()1,2a =，()1,b λ=-，若//a b ，则实数λ等于（ ）A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】C【解析】【分析】 由向量平行关系可构造方程求得结果. 【详解】//a b ，()121λ∴⨯=⨯-，解得：2λ=-.故选：C .【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.4.设命题2:,0p x R x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A. 2,0x R x ∀∈≤B. 2,0x R x ∀∈>C. 2,0x R x ∃∈>D. 2,0x R x ∃∈≤【答案】D【解析】【分析】根据全称量词否定的定义可直接得到结果.【详解】根据全称量词否定的定义可知：p ⌝为：x R ∃∈，使得20x ≤.故选：D .【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.5.511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x -的系数是（ ） A. 15B. 15-C. 10D. 10- 【答案】D【解析】【分析】由二项展开式通项公式可确定3r =，由此可求得系数. 【详解】511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项()()55155111r r r r r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭， 当3r =时，3224510T C x x --=-=-，即2x -的系数为10-.故选：D . 【点睛】本题考查二项展开式指定项系数的求解问题，关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形式.6.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为53，点(,0)P b ，则12||||PF PF =( ) A. 6B. 8C. 9D. 10 【答案】C【解析】【分析】根据题意写出1F 与2F 坐标，表示出12||||PF PF ，结合离心率公式计算即可. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，又(,0)P b ， ∴1PF b c =+，2PF c b =-， 该双曲线离心率为53，∴53ca=，即2222253c ca c b⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得54cb=，∴12511||495||114cPF b c bcPF c bb+++====---，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查运算能力，属于基础题.7.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d（d为球的直径），并得到球的体积为316V dπ=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（）A. 3169d V≈ B. 32d V≈ C. 3300157d V≈ D. 3158d V≈【答案】C【解析】【分析】利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可.【详解】由316V dπ=得：36Vdπ=.由A得：3916Vd≈，693.37516π=∴⨯≈；由B得：312Vd≈，632π∴≈=；由C得：3157300Vd≈，61573.14300π⨯∴≈=；由D得：3815Vd≈，683.215π⨯∴≈=，C∴的公式最精确.故选：C.【点睛】本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.8.已知32cos cos2αβ-=，32sin sinαβ+=cos()αβ+等于（）A. 12B. 12-C. 14D. 14- 【答案】A【解析】【分析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果.【详解】由32cos cos 2αβ-=得：()22292cos cos 4cos 4cos cos cos 4αβααββ-=-+=， 由32sin sin 2αβ+=得：()22232sin sin 4sin 4sin sin sin 4αβααββ+=++=， 两式相加得：()54cos cos sin sin 3αβαβ--=，即()4cos 2αβ+=，()1cos 2αβ∴+=. 故选：A . 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 第一场得分的中位数为52B. 第二场得分的平均数为193C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差D. 第一场与第二场得分的众数相等【答案】ABD【解析】【分析】 根据茎叶图分别计算中位数、平均数、极差和众数，依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A ，将第一场得分从小到大排序可知中位数为23522+=，A 正确；对于B ，第二场得分的总分为3967710102476+++++++=，则平均数为7619123=，B 正确； 对于C ，第一场得分的极差为19019-=，第二场得分的极差为24024-=，C 错误；对于D ，第一场和第二场得分的众数均为0，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查茎叶图的相关知识，涉及到利用茎叶图计算中位数、众数、平均数和极差的问题，属于基础题.10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N ，若线段MN 1，则（ ）A. 正方体的外接球的表面积为12πB. 正方体的内切球的体积为43πC. 正方体的棱长为2D. 线段MN 的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，由此确定内切球和外接球半径，由MN 的最小值为两球半径之差可构造方程求得a ，进而求得外接球表面积和内切球体积；由MN 的最大值为两球半径之和可得到最大值.【详解】设正方体的棱长为a ，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即2a ；内切球半径为棱长的一半，即2a . ,M N 分别为外接球和内切球上的动点，min 11222a MN a a ∴=-==，解得：2a =，即正方体棱长为2，C 正确，∴正方体外接球表面积为2412ππ⨯=，A 正确；内切球体积为43π，B 正确；线段MN 的最大值为122a a +=，D 错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最小值为R r -，最大值为R r +.11.已知圆M 与直线20x y ++=相切于点(0,2)A -，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是（ ）A. 圆M 的圆心在定直线20x y --=上B. 圆M 的面积的最大值为50πC. 圆M 的半径的最小值为1D. 满足条件的所有圆M 的半径之积为10【答案】ABD【解析】【分析】由切线的性质可确定AM 与20x y ++=垂直，由此可求得M 满足的直线方程，可判断出A 的正误；利用垂径定理可构造方程求得半径所有可能的取值，进而判断出,,B C D 的正误. 【详解】圆M 与20x y ++=相切于()0,2A -，AM ∴与20x y ++=垂直，∴直线AM 斜率为1，则M 在直线2y x =-，即20x y -+=上，A 正确；设(),2M a a -，∴圆M 半径r AM ===，∴圆M 被x轴截得的弦长为2==，解得：5a =-或1a =，当5a =-时，圆M 面积最大，为250r ππ=，B 正确；当1a =时，圆M ，C 错误；满足条件的所有半径之积为10=，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查直线与圆知识的综合应用，涉及到切线的性质、直线被圆截得的弦长问题；关键是熟练应用垂径定理，即直线被圆截得的弦长等于12.若存在m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（ ）A. 1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B. 函数()ln f x x x =有下界，无上界C. 函数2()xe f x x =有上界，无下界D. 函数2sin ()1x f x x =+有界 【答案】BD【解析】【分析】 根据基本不等式可判断出A 错误；利用导数可确定B 中函数的单调性，从而确定是否存在上下界；由20x >，0x e >可知()0f x >，从而否定C ；根据正弦函数的值域可进行放缩得到D 中函数的上下界.【详解】对于A ，当0x >时，12x x +≥（当且仅当1x =时取等号），()1f x ∴>恒成立，1∴是()f x 的一个下界，A 错误；对于B ，()()ln 10f x x x '=+>，()10,x e -∴∈时，()0f x '<；()1,x e -∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，()()11f x f e e-∴≥=-，()f x ∴有下界， 又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴无上界限，综上所述：()ln f x x x =有下界，无上界，B 正确；对于C ，20x >，0xe >，20xe x ∴>，()f x ∴有下界，C 错误； 对于D ，[]sin 1,1x ∈-，2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++， 又2111x -≥-+，2111x ≤+，2sin 111x x ∴-≤≤+，()f x ∴既有上界又有下界， 即()f x 有界，D 正确.故选：BD .【点睛】本题考查函数的新定义运算的问题，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值、放缩法的应用等知识.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且(2)4g -=-，则(2)f =________.【答案】6-【解析】【分析】根据偶函数的定义可构造方程()()f x x f x x +=--，代入2x =和()24g -=-即可求得结果.【详解】()g x 为偶函数，()()g x g x ∴=-，即()()f x x f x x +=--，()()2222f f ∴+=--，又()()2224g f -=--=-，()26f ∴=-.故答案为：6-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.14.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=_________.【答案】2【解析】【分析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得ω. 【详解】2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 两个相邻的对称中心， 722632T πππ∴=-=，即2T ππω==，2ω∴=. 故答案为：2.【点睛】本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.15.已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若||2ON =（O 为坐标原点），则21MF MF -=__________，||OM =________.【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】延长2F N ，1MF 相交于Q 点，易知2MF FQ =，得到N 2F Q 中点，结合三角形中位线性质可求得1FQ ，由1211MQ MF MF MF FQ -=-=可求得结果；结合椭圆定义可求得2MF ，1MF ，由勾股定理确定11MF OF ⊥，进而求得结果.【详解】如图，延长2F N ，1MF 相交于Q 点，由题意知：2MN F Q ⊥，且MN 平分12F MF ∠，2MF MQ ∴=，N ∴为2F Q 的中点， O 为12F F 的中点，11//2ON FQ ∴，21114MF MF MQ MF FQ ∴-=-==. 由椭圆定义知：218MF MF +=，26MF ∴=，12MF =， 又12216842F F =-=2222112MF MF F F ∴=+，11MF OF ∴⊥，22114823OM MF OF ∴=+=+=故答案为：4；23【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用，涉及到椭圆的定义和对称性的应用，考查学生对于椭圆几何性质的基础知识的掌握情况.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，23AB =12AA =，,E F 分别为1AB ，11A C 的中点，平面α过点1C ，且平面//α平面11A B C ，平面α平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为________. 3【解析】【分析】 由面面平行性质可知11//l A B ，取1111,A B B C 的中点分别为,H G ，可证得//GF l ，由此得到异面直线所成角为GFE ∠或其补角，通过求得cos GFE ∠可确定所成角为GFE ∠，进而得到结果. 【详解】平面//α平面11A B C ，平面α平面111A B C l =，平面11A B C 平面11111A B C A B =， 11//l A B ∴取1111,A B B C 的中点分别为,H G ，连接1,,,,EH EG GH GF AC ，如图所示，则11//GF A B ，//GF l ∴，∴异面直线EF 与l 所成的角为GFE ∠或其补角，23AB =，12AA =，14AC ∴=，1EH =，3HF GF ==，2EG EF ∴==，3322cos 024GF GFE EF ∴∠===>， ∴异面直线EF 与l 所成的角为GFE ∠， ∴异面直线EF 与l 所成角的余弦值为3.故答案为：3. 【点睛】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的求解；解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，将异面直线所成角的问题转变为相交直线所成角的问题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结.如图是2015～2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的拆线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311ii i tt y y =--=∑；回归方程ˆˆˆya bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆnii i nii tty y b tt==--=-∑∑，ˆˆay bt =-. 【答案】（1）ˆ31.1120.9y t =+；（2）338.6万人【解析】 【分析】（1）根据折线图中数据计算得到最小二乘法所需数据，利用最小二乘法求得回归直线； （2）将7t =代入回归直线即可求得所求预测值. 【详解】（1）由折线图中数据计算得：()11234535t =++++=， ()()()522222212101210i i t t =-=-+-+++=∑，由参考数据知，()()51311ii i tt y y =--=∑，()()()51521311ˆ31.110ii i i i tty y bt t ==--∴===-∑∑，ˆˆ214.231.13120.9a y bt=-=-⨯=， ∴所求回归方程为ˆ31.1120.9yt =+. （2）将2021年对应的7t =代入回归方程得：ˆ31.17120.9338.6y=⨯+=， ∴预测2021年全国硕士研究生报考人数约338.6万人.【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线并利用回归直线进行预测的问题，涉及到折线图的读取问题；关键是熟练掌握最小二乘法，对学生的运算能力有一定要求. 18.在①2b c +=.②ABC ∆的面积4ABC S ∆=，③3sin sin 4B C =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题中的ABC ∆是否为等边三角形，请说明理由.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且(cos cos )tan ,1a C c A A a +==，________，试判断ABC ∆是否为等边三角形？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】若选①，等边三角形；若选②，等边三角形；若选③，等边三角形. 【解析】【分析】利用正弦定理边化角整理可求得tan A ，进而得到A ，利用余弦定理可构造方程，得到221b c bc +-=； 若选①，利用余弦定理的结论可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论； 若选②，根据三角形面积公式可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论； 若选③，利用正弦定理角化边可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论.【详解】由()cos cos tan a C c A A +=得：()sin cos sin cos tan A C C A A B +=，即()()sin tan sin tan sin tan A C A B A B A B π+=-==，()0,B π∈，sin 0B ∴≠，tan A ∴=，又()0,A π∈，3A π∴=.由余弦定理得：22222cos 1b c bc A b c bc +-=+-=.若选①，则()2223431b c bc b c bc bc +-=+-=-=，解得：1bc =，1b c ∴==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.若选②，1sin 244ABC S bc A ∆===，解得：1bc =， 222b c ∴+=，即1b c ==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.若选③，3A π=，sin 2A ∴=，23sin sin sin 4B C A ∴==，由正弦定理得：2bc a =，即1bc =，222b c ∴+=，即1b c ==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.【点睛】本题采用开放式设问的方式，考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边角互化的应用、利用余弦定理和三角形面积公式解三角形等知识，属于常考题型.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，()1314nn n S a -+=-，()212(1)log n n n b a +=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）4nn a =；（2）24(21)n T n n =-+【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可证得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式求得结果； （2）由（1）可求得{}n b 的通项公式，采用并项求和的方法，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）()1314n n n S a -+=-，∴当2n ≥且n *∈N 时，()11314n n n S a -+-=-，()()()111331414n n n n n n n a S S a a --+-+∴=-=---，整理可得：()()11440nn n aa -+--=，当2n ≥且n *∈N 时，140n --≠，14n n a a +∴=； 当1n =时，()1112331412S a a-==-=，216a ∴=，满足214a a =，∴数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，1444n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知：()()()()()2211122221log 41log214n n n n n n b n +++=-⋅=-⋅=-⋅，()()22222241234212n T n n ⎡⎤∴=-+-+⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()()()()412123434411n =+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()()()424374144212n n n n n +=⨯---⋅⋅⋅--=-⨯=-+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为等比数列并求通项、并项求和法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是明确对于通项公式含有()1n-的数列求和时，通常采用并项求和的方式，通过分组找到数列的规律.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，222AD BC PA ===，1AB =，,,E F G 分别为线段,,AD DC PB 的中点.（1）证明：平面//PEF 平面GAC ； （2）求多面体AGCPEF 的体积；（3）求直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3）16【解析】 【分析】（1）连接BE ，交AC 于点O ，证得四边形ABCE 为平行四边形，从而得到O 为AC 中点，分别利用三角形中位线性质和线面平行的判定定理证得//PE 平面GAC ，//EF 平面GAC ，由面面平行的判定定理可证得结论；（2）利用切割的方式，通过所求体积P ABCD G ABC P DEF V V V V ---=--，结合棱锥体积公式可求得结果； （3）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求的结果. 【详解】（1）连接BE ，交AC 于点O ，连接,GO CE ，//BC AD ，2AD BC =且E 为AD 中点，//BC AE ∴，∴四边形ABCE 为平行四边形，O ∴为AC 中点，又G 为PB 中点，//GO PE ∴，又GO ⊂平面GAC ，PE ⊄平面GAC ，//PE ∴平面GAC ； ,E F 分别为,AD CD 中点，//EF AC ∴，又AC ⊂平面GAC ，EF ⊄平面GAC ，//EF ∴平面GAC ，,PE EF ⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=，∴平面//PEF 平面GAC .（2）222AD BC PA ===，1AB =，∴()111121322P ABCD V -=⨯⨯+⨯=； 又G 为PB 中点，G ∴到平面ABC 的距离为1122PA =，11111132212G ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯=，,E F 分别为,AD CD 中点，14DEF DAC S S ∆∆∴=，又()1112111122DAC S ∆=⨯+⨯-⨯⨯=，11113412P DEF V -∴=⨯⨯=，∴多面体AGCPEF 的体积1111212123P ABCD G ABC P DEF V V V V ---=--=--=.（3）PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP ∴两两互相垂直，则以A 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则11,0,22G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ， 11,1,22GC ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()1,1,1PC =-，()0,2,1PD =-，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，则020n PC x y z n PD y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-=⎩，令1y =，则2z =，1x =，()1,1,2n ∴=，设直线GC 与平面PCD 所成角为θ，则112sin 6362n GC n GCθ⋅===⋅⨯， ∴直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值为16.【点睛】本题考查立体几何中的面面平行关系的证明、多面体体积的求解、空间向量法求解直线与平面所成角的问题；对于不规则几何体体积的求解，通常采用切割的方式，将问题转化为棱锥或棱柱体积的求解问题.21.已知点()()8,0P t t <是抛物线()2:20C y px p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，10PF =.（1）求直线PF 的方程；（2）若直线PF 与抛物线C 的另一个交点为Q ，曲线C 在点P 与点Q 处的切线分别为,m n ，直线,m n 相交于点G ，求点G 的坐标.【答案】（1）4380x y +-=；（2）(2,3)--【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可求得抛物线方程和焦点坐标，进而求得P 点坐标；由直线两点式方程可整理得到直线的一般式方程；（2）联立直线PF 方程与抛物线方程可求得Q 点坐标，假设切线方程，与抛物线方程联立后可利用0∆=求出切线方程，两条切线方程联立即可求得交点坐标. 【详解】（1）10PF =，8102p∴+=，解得：4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =，()2,0F ，又P 为抛物线C 上一点，264t ∴=，又0t <，8t ∴=-，∴直线PF 的方程为028082y x --=---，即4380x y +-=.（2）联立243808x y y x+-=⎧⎨=⎩得：26160y y +-=，解得：8y =-或2y =， 1,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，设():88m y k x +=-，联立()2888y x y k x ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩得：2864640ky y k ---=，由()64464640k k ∆=++=得：12k =-， ∴直线m 的方程为：()1882y x +=--，即280x y ++=. 同理可求得直线n 的方程为：210x y -+=.由280210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得：23x y =-⎧⎨=-⎩，即G 点的坐标为()2,3--.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线焦半径公式的应用、抛物线切线方程的求解等知识；解决直线与拋物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题；（3）注重平面几何的知识，利用数形结合的思想处理问题.22.已知函数()sin f x ax x =-，曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线过点(2021,2020). （1）求实数a 的值；（2）求函数()()g x xf x =的单调区间；（3）若112a =，122n n n a a f a ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，证明：1114n n a a π+-<- 【答案】（1）1a =；（2）单调递增区间(0,)+∞，单调递减区间(,0)-∞；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用在某点处切线方程的求解方法可求得在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程，将点()2021,2020代入切线方程即可求得a ；（2）由（1）可知当0x >时，sin 0x x ->，从而可确定当0x >时，()g x '的正负，从而确定()g x 在()0,∞+上的单调性；根据奇偶性定义可知()g x 为偶函数，从而求得其在(),0-∞上的单调性，进而得到所求单调区间；（3）根据递推关系式可类推得到101n n a a +<<<，利用（2）中当0x >时，sin x x >的结论，将所证不等式左侧进行放缩即可证得结论. 【详解】（1）()cos f x a x '=-，cos 22f a a ππ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，又122a f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为：122a y a x ππ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即为1y ax =-，又切线过点()2021,2020，202020211a ∴=-，解得：1a =. （2）()22sin sin g x ax x x x x x =-=-，()2sin cos g x x x x x '∴=--，当0x >时，由（1）知：()1cos 0f x x '=-≥，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()00f x f ∴>=，即sin 0x x ->，()()()2sin cos sin 1cos g x x x x x x x x x '=--=-+-，∴当0x >时，()0g x '>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增；又()()()()22sin sin g x x x x x x x g x -=-+-=-=，()g x ∴偶函数，()g x ∴在(),0-∞上单调递减；综上所述：()g x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞.（3）sin 222n n n f a a a πππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1sin 2n na a π+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 112a =，2sin 42a π∴==120222a a πππ∴<<<，2301a a ∴<<<， 依次类推可得到：101n n a a +<<<.()211sin 1cos 2sin 1122241111n n n n n n n na a a a a a a a ππππ+⎛⎫⎛⎫⎡⎤---- ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦===---- 01n a <<，011n a ∴<-<，()0144n a ππ∴<-<，又101n n a a +<<<，110112n a a ≤∴<--=， 由（2）知：当0x >时，sin x x >，()()()222sin 121144111424224n n n nn a a a a a πππππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴<=⨯-≤⨯⨯<--，1114n n a a π+-∴<-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数求解函数的单调区间、利用导数证明与数列有关的不等式的问题；证明不等式的关键是能够将所证不等式，利用已证得的结论进行适当放缩，属于较难题.。