2017历城区数学二模试题5.12

2017年山东省济南市历城区中考数学二模试卷一、选择题1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣2．（3分）我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为（）A．7.5×105B．7.5×10﹣5C．0.75×10﹣4D．75×10﹣6 3．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为（）A．28°B．38°C．48°D．88°4．（3分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．圆锥D．球5．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2＝a2﹣9B．a2•a4＝a8C．＝±3D．＝﹣26．（3分）下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）为响应“书香校响园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分别是（）A．2和1B．1.25和1C．1和1D．1和1.258．（3分）如图，BD是⊙O的直径，∠A＝60°，则∠DBC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．25°9．（3分）化简（﹣）÷的结果是（）A．﹣x﹣1B．﹣x+1C．﹣D．10．（3分）若点（a，b）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则代数式8a﹣4b+2的值是（）A．﹣10B．﹣6C．10D．1411．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA 的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为（）A．8B．16C．10D．2012．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN，若点A（﹣1，3）的对应点为M（2，5），则点B（﹣3，﹣1）的对应点N的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣6，0）D．（0，﹣6）13．（3分）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝114．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE＝AF；⑤EG2＝FG•DG，其中正确结论的个数为（）A．2B．3C．4D．515．（3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…现有等式A m＝（i，j）表示正奇数m 是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A2017＝（）A．（31，47）B．（31，48）C．（32，47）D．（32，48）二、填空题16．（3分）计算：（﹣）0﹣＝．17．（3分）因式分解：2a2﹣8＝．18．（3分）若一组数据1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是．19．（3分）方程﹣＝0的解是．20．（3分）如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，P A、PB分别交双曲线于D、C两点，则△PCD的面积为．21．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD＝．三、解答题22．（1）计算：（a+b）2﹣b（2a+b）（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．23．（1）如图1，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB＝OD．（2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．24．某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲2436乙3348（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？25．在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．26．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED 经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y＝x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．27．如图1，△AHC中，∠AHC＝90°，将△AHC绕点H逆时针旋转90°，得到△BHD（点B、D分别是点A、C的对应点），若BC＝4，tan C＝3．（1）求线段CH的长；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别于点E，F对应）①如图2，当点F落在线段AC上时，连接AE，分别求CF和AE的长；②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．28．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．。

2016-2017学年度第二学期期末模块考试高二理科数学试题考试时间120分钟满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，或,.故选C.2. 若（为虚数单位），则实数的值为（）A. 1B. -1C.D. 2【答案】B【解析】由题意可得：，则：，解得：.本题选择B选项.3. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据，，，，．根据收集到的数据可知++++=150，由最小二乘法求得回归直线方程为，则++++的值为（）A. 75B. 155.4C. 375D. 466.2【答案】C【解析】,代入得：.又++++.故选C.4. 函数在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：时，所以切线方程为考点：导数的几何意义5. 已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（）A. B. - 6 C. -6, D. 6,-【答案】A【解析】向量,若,则，解得.若，则，解得.故选A.6. 在二项式的展开式中，含的项的系数是（）A. B. 28 C. 8 D. 8【答案】B【解析】二项式的展开式中，通项公式为.令，解得，故含的项的系数是，故选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.7. 济南气象台预测，7月12日历城区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意P(A)=,P(B)=,P(AB)=，∴，故选B.8. 某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：由上表中数据计算得= 6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（）A. 1％B. 99％C. 2.5％D. 97.5％【答案】D【解析】试题解析：由题根据二列联表得出；= 6.109，对应参考值得，则有，即有97.5%的把握认为文化程度与月收入有关系。

2017 学年山东省济南市历城区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1．（ 5 分）若一数列为，2 ，，┅，则 4 是这个数列的（）A．第9 项B．第10 项C．第11 项D．第12 项2．（ 5 分）在△ ABC中， a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．13．（ 5 分）以下各式中值为的是（）A．sin45 cos15° °+cos45 °sin15 °B．sin45 cos15° °﹣cos45 °sin15 °C．cos75 °cos30 °+sin75 sin30° °D．．（分）在等比数列n }中，a1 ， 5 ，则公比q 为（）4 5 { a =1 a =16A．±2 B．3 C．4D．85．（ 5 分）已知 a，b，c 分别是△ ABC的三个内角 A， B， C 所对的边，若 A=60°，c=6，a=6，则此三角形有（）A．两解B．一解C．无解D．无量多解6．（ 5 分）等差数列 { a n} 的前项和为 S n，若 a3+a8+a13=21，则 S15的值是（）A．105 B． 120 C．56D．847．（ 5 分）已知tan（3π﹣α）=﹣，tan（β﹣α）=﹣，则tan β=（）A．1 B．C．D．8．（ 5 分）在△ ABC中， a，b，c 分别是角A，B，C 所对的边．若A= ，b=1，△ABC的面积为，则a 的值为（）A．1 B． 2 C．D．9．（ 5 分）已知 sin2 α=，则 cos2（）=（）。

2017年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}，B={x|y=log2（x+2）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣2＜x≤3}B．{x|x＞3}C．{x|x≥3}D．{x|x＜﹣2}2．（5分）设复数z=﹣2+i（i为虚数单位），则复数的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．64005．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．116．（5分）已知x=﹣3，x=1是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的两个相邻的极值点，且f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，则f（0）=（）A．0 B．C．D．7．（5分）已知实数m＞1，实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺9．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6 种10．（5分）设F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集为．12．（5分）已知向量，的夹角为120°，，，则=．13．（5分）曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为．14．（5分）已知抛物线y2=2x和圆x2+y2﹣x=0，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，若直线l与抛物线和圆的交点自上而下依次为A，B，C，D，则|AB|+|CD|=．15．（5分）若函数f（x）对定义域内的任意x1，x2，当f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称函数f（x）为单纯函数，例如函数f（x）=x是单纯函数，但函数f（x）=x2不是单纯函数．若函数为单纯函数，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，f（A）=，a=3，求△ABC面积的最大值．17．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，DAA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB 1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．19．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=（1﹣m）lnx+﹣x，m∈R且m≠0．（Ⅰ）当m=2时，令g（x）=f（x）+log2（3k﹣1），k为常数，求函数y=g（x）的零点的个数；（Ⅱ）若不等式f（x）＞1﹣在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2017年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}，B={x|y=log2（x+2）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣2＜x≤3}B．{x|x＞3}C．{x|x≥3}D．{x|x＜﹣2}【解答】解：全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}={y|y≤3}，∴∁U A={y|y＞3}，又B={x|y=log2（x+2）}={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，∴（∁U A）∩B={x|x＞3}．故选：B．2．（5分）设复数z=﹣2+i（i为虚数单位），则复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴=﹣2+i+=﹣2+i+=．∴复数的虚部为．故选：A．3．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【解答】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为=5400，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9，故选：B．6．（5分）已知x=﹣3，x=1是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的两个相邻的极值点，且f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，则f（0）=（）A．0 B．C．D．【解答】解：∵x=1，x=﹣3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，∴f（x）的周期T═2×（1+3）=8，∴ω=，∵f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，∴函数f（x）在[﹣3，1]递增，∴f（1）=1，∴ω+φ=2kπ+，φ=2kπ+，f（0）=sin（+2kπ）=，故选：D．7．（5分）已知实数m＞1，实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由z=x+my得y=﹣x+，∵m＞1，∴目标函数的斜率k=﹣∈（﹣1，0），作出不等式组对应的平面区域如图：由平移可知当直线y=﹣x+，经过点A时，目标函数取得最大值，此时z=x+my=3，由，解得A（，），同时，A也在直线x+my=3上，代入得+m=3，解得m=4，故选：C．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=3×2×2=6，四棱锥的体积V2=×1×3×2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故选：A．9．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6 种【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为：=36﹣6=30故选B10．（5分）设F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）渐近线方程y=±x，由OF的垂直平分线为x=，将x=，代入y=x，则y=，则交点坐标为M（，），由M，到y=﹣x，即bx+ay=0的距离d==|OF|=，解得：2c=3b=3，即9a2=5c2，则双曲线的离心率e==，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集为（﹣∞，﹣6）∪．【解答】解：由不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0，可得（2x+1）2＞（5﹣x）2，即3x2+14x ﹣24＞0，解得x＜﹣6或x．故答案为：（﹣∞，﹣6）∪．12．（5分）已知向量，的夹角为120°，，，则=1．【解答】解：由已知向量，的夹角为120°，，，所以，所以=3，即4﹣2+2=3，解得=1；故答案为：1．13．（5分）曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为．【解答】解：令2sinx=1（0≤x≤π），即sinx=，可得x=或．∴曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1交于点A（，1）和B（，1），因此，围成的封闭图形的面积为S=（2sinx﹣1）dx=（﹣2cosx﹣x）=（﹣2cos﹣）﹣（﹣2cos﹣）=2﹣．故答案为：2﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2x和圆x2+y2﹣x=0，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，若直线l与抛物线和圆的交点自上而下依次为A，B，C，D，则|AB|+|CD|= 3．【解答】解：由圆x2+y2﹣x=0，即（x﹣）2+y2=可知，圆心为F（，0），半径为，抛物线y2=2x，得到抛物线焦点为F（，0），如图：|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|=1，则|AB|+|CD|=|AD|﹣1．设A（x1，y1）、D（x2，y2），∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在抛物线上，由已知可知，直线l方程为y=x﹣，由消去y，得4x2﹣12x+1=0，∴x1+x2=3．∴|AD|=3+1=4，因此，|AB|+|CD|=4﹣1=3．故答案为：3．15．（5分）若函数f（x）对定义域内的任意x1，x2，当f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称函数f（x）为单纯函数，例如函数f（x）=x是单纯函数，但函数f（x）=x2不是单纯函数．若函数为单纯函数，则实数m的取值范围是m≤0．【解答】解：f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0]上的值域为（0，1]，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）在（0，+∞）上的值域为（﹣∞，m），∵f（x）是单纯函数，∴（﹣∞，m）∩（0，1]=∅，∴m≤0．故答案为：m≤0．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，f（A）=，a=3，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sin2x+cos2x）﹣cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]；（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+）=得：sin（2A+）=，∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=，由余弦定理知a2=9=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），∴S=bcsinA≤×9×=，∴△ABC面积的最大值为．17．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意芯片为合格品的概率…（2分）则利润不少于700元的情况为两件正品，一件次品或三件正品所以…（6分）（Ⅱ）ξ的所有取值为1600，1150，700，250，﹣200，，，，，，…（10分）所以…（12分）18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，DAA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ABB 1A1为矩形，AB=2，，D是AA1的中点，∴∠BAD=90°，，，从而，，∵，∴∠ABD=∠AB1B，…（2分）∴，∴，从而AB1⊥BD…（4分）∵CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，从而又，∴，，，，∴，，∵G为△AB1C的重心，∴，…（8分）设平面ABC的法向量为，，由可得，令y=1，则z=﹣1，，所以．…（10分）设直线GD与平面ABC所成角α，则=，所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为…（12分）19．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）在公差d不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．可得（a1+d）2=2a1+7d，且a32=a1a11，即（a1+2d）2=a1（a1+10d），解得a1=2，d=3，则a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）b n=（﹣1）n=（﹣1）n=•（﹣1）n•=•（﹣1）n•（+），∴T n=b1+b2+b3+…+b n=[﹣（+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+）]=[﹣1+（﹣1）n•）]．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵四边形A 1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形，∴，即ab=2 ①由题意可得直线A2B2方程为：，即bx+ay﹣ab=0，∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为，∴圆心O到直线A2B2的距离为，即②…（3分）由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：…（5分）（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N （x2，y2），由得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③由韦达定理：…（7分）∵直线OM，ON的斜率之积等于，∴，∴，∴2m2=4k2+1满足③…（9分）∴，又O到直线MN的距离为，，所以△OMN的面积…（12分）若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），则，，又∵M在椭圆上，，∴，所以△OMN的面积S===1．综上可知，△OMN的面积为定值1．…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=（1﹣m）lnx+﹣x，m∈R且m≠0．（Ⅰ）当m=2时，令g（x）=f（x）+log2（3k﹣1），k为常数，求函数y=g（x）的零点的个数；（Ⅱ）若不等式f（x）＞1﹣在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，g（x）=﹣lnx+x2﹣x+log2（3k﹣1），x＞0，所以，令g'（x）=0，解得x=1或（舍去），当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，所以y=g（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，所以y=g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x=1是y=g（x）的极小值点，y=g（x）的最小值为g（1）=log2（3k﹣1）…（3分）当log2（3k﹣1）=0，即时，函数y=g（x）有一个零点，当log2（3k﹣1）＞0，即时，函数y=g（x）没有零点，当log2（3k﹣1）＜0，即时，函数y=g（x）有两个零点…（6分）（Ⅱ）由已知，令f'（x）=0，解得，由于，①若m＜0，则，故当x≥1时，f'（x）≤0，因此f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以，又因为，则不成立…（8分）②若，则，故当时，f'（x）≤0；当时，f'（x）＞0，即f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，则，因此当时，恒成立…（11分）③若，则，故当x≥1时，f'（x）≥0，因此f（x）在[1，+∞）上单调递增，故，令，化简得m2﹣4m+2＞0，解得，所以…（13分）综上所述，实数m的取值范围是…（14分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。