全国文数第49课 坐标系与参数方程

第49课 坐标系与参数方程 普查讲49 坐标系与参数方程1．平面直角坐标系下图形的伸缩变换(1)(经典题，6分)求圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝5y 后所得椭圆的标准方程和焦距．答案：椭圆的标准方程为x 29＋y 225＝1，焦距为8解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝5y ，得⎩⎨⎧x ＝x ′3，y ＝y ′5(*)，将(*)式代入x 2＋y 2＝1，得x ′29＋y ′225＝1，所以经过伸缩变换后所得椭圆方程为x 29＋y 225＝1.(4分)∵a 2＝25，b 2＝9，∴c 2＝16，∴c ＝4，2c ＝8，即椭圆的焦距为8.(6分)(2)(经典题，5分)在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4的伸缩变换是________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ>0，μ>0)，代入2x ′－y ′＝4中，得2λx －μy ＝4.将x －2y＝2变形为2x －4y ＝4，与2λx －μy ＝4比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝4，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .2．极坐标与直角坐标的互化 a ．极坐标化为直角坐标(3)(2018北京，5分)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________．答案：1＋ 2解析：直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)的直角坐标方程为x ＋y －a ＝0(a >0)；圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径为1.因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离d ＝|1＋0－a |1＋1＝1， 所以a ＝1±2. 因为a ＞0， 所以a ＝1＋ 2.(4)(2017全国Ⅱ，10分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(Ⅰ)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；答案： (x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)解：设M (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则|OM |＝ρ0，|OP |＝ρ.(2分)∵|OM |·|OP |＝16，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝16，ρ0cos θ0＝4，θ＝θ0，解得ρ＝4cos θ，ρ>0，化为直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(5分)(Ⅱ)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 答案：3＋2解：连接AC 2，易知△AOC 2为正三角形．∵|OA |为定值，∴当高最大时，S △AOB 最大．如图，过圆心C 2作AO 的垂线，交AO 于H 点，HC 2的延长线交圆C 2于B 点，此时S △AOB 最大．(7分)(S △AOB )max ＝12|AO |·|HB |＝12|AO |(|HC 2|＋|BC 2|)＝3＋2，即△AOB 面积的最大值为2＋3.(10分)b ．直角坐标化为极坐标(5)(2015全国Ⅰ，10分)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1，C 2的极坐标方程；答案： C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0 解：∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， ∴C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2.(2分)由C 2的直角坐标方程(x －1)2＋(y －2)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， ∴C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(5分)(Ⅱ)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．答案：2C MN S＝12解：将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，∴ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.(7分)由于C 2的半径为1，即|C 2M |＝|C 2N |＝1.易知|C 2M |2＋|C 2N |2＝|MN |2，即△C 2MN 为等腰直角三角形，∴2C MN S ＝12×1×1＝12.(10分)3．参数方程与普通方程的互化 a ．参数方程化为普通方程(6)(2017全国Ⅰ，10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(Ⅰ)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； 答案： (3，0)和⎝⎛⎭⎫－2125，2425 解： a ＝－1时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ①，y ＝1－t ②，①＋②×4，得x ＋4y －3＝0.(1分)∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，∴x 2＋(3y )2＝9cos 2θ＋9sin 2θ＝9， ∴曲线C 的普通方程是x 29＋y 2＝1.(3分)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，∴曲线C 与直线l 的交点坐标是(3，0)和⎝⎛⎭⎫－2125，2425.(5分)(Ⅱ)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a 的值．答案：a ＝－16或a ＝8解：直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0.设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ)，则点P 到l 的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin （θ＋φ）－4－a |17，其中tan φ＝34.(7分)依题意得d max ＝17，即|5sin(θ＋φ)－4－a |max ＝17，∴当a ≥－4时，|5sin(θ＋φ)－4－a |≤|－5－a －4|＝9＋a ＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，|5sin(θ＋φ)－4－a |≤|5－4－a |＝1－a ＝17，解得a ＝－16，∴a 的值为8或－16.(10分)b ．普通方程化为参数方程(7)(经典题，10分)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；答案：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0解：(Ⅰ)令x 2＝cos θ，y3＝sin θ，得曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．由消元法消去参数t ，得直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(5分)(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．答案：最大值为2255，最小值为255解：曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|＝55|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43，(7分)则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|.(8分)当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255；当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.(10分)4．极坐标方程与参数方程的综合应用a ．应用ρ的几何意义解题(8)(2016全国Ⅱ，10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； 答案：ρ2＋12ρcos θ＋11＝0解：把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25中，可得C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(5分)(Ⅱ)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率． 答案：斜率为153或－153解：在(Ⅰ)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．(6分)设点A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.(8分)由|AB |＝10得cos 2α＝38，∴tan α＝±153，∴l 的斜率为153或－153.(10分)b ．应用θ的几何意义解题(9)(经典题，10分)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4a cos θ(a >0)，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝4，C 与l 有且只有一个公共点．(Ⅰ)求a 的值；答案： a ＝43解：曲线C 的直角坐标方程为(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ＞0)，即曲线C 表示以(2a ，0)为圆心，2a 为半径的圆．l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2分)由题意知直线l 与圆C 相切，则|2a －8|12＋（3）2＝2a ，解得a ＝43或a ＝－4(舍去)．故a 的值为43.(5分)(Ⅱ)若O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求||OA ＋||OB 的最大值．答案：1633解：由(Ⅰ)知曲线C 的方程为ρ＝163cos θ，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，不妨设A的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则－π2<θ<π2，－π2<θ＋π3<π2，即－π2<θ<π6，∴|OA |＋|OB |＝163cos θ＋163cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝8cos θ－833sin θ＝1633cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，(9分) ∴当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值，为1633. (10分)c ．应用参数t 的几何意义解题(10)(2016江苏，10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．答案：167解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1，(2分)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋24⎫⎪⎝⎭＝1， 即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，(8分)∴|AB |＝|t 1－t 2|＝167，∴线段AB 的长为167.(10分)(11)(2018福建厦门质检，10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(1＋sin 2θ)＝8.(Ⅰ)若曲线C 上一点Q 的极坐标为⎝⎛⎭⎫ρ0，π2 (ρ0≥0)，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；答案： l ：y ＝32x ＋2，C ：x 2＋2y 2＝8 解：(Ⅰ)把Q ⎝⎛⎭⎫ρ0，π2的坐标代入曲线C 的方程，得Q ⎝⎛⎭⎫2，π2，化为直角坐标为Q (0，2)． 因为l 过定点(－23，－1)以及点Q ， 所以直线l 的普通方程为y ＝32x ＋2.(2分) 曲线C 的极坐标方程ρ2(1＋sin 2θ)＝8可化为ρ2＋(ρsin θ)2＝8①. 将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入①中，得(x 2＋y 2)＋y 2＝8， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝8.(5分)(Ⅱ)设点P ()－23，－1，l 与C 的交点为A ，B ，求1||P A ＋1||PB 的最大值． 答案：43解：设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 得(t cos α－23)2＋2(t sin α－1)2＝8，化简整理得(sin 2α＋1)t 2－4(sin α＋3cos α)t ＋6＝0， 可得t 1＋t 2＝4（sin α＋3cos α）sin 2α＋1，t 1t 2＝6sin 2α＋1>0， 故t 1与t 2同号，(7分)所以1||P A ＋1||PB ＝1||t 1＋1||t 2＝||t 1＋||t 2||t 1||t 2 ＝||t 1＋t 2||t 1t 2＝4||sin α＋3cos α6＝43⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3. 当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝±1时，43⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3有最大值43. 故1||P A ＋1||PB 的最大值为43.(10分)(12)(2018北京大兴一模，5分)直线⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)相交的弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：(法一)由曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ得曲线的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以曲线为圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆．易知直线过圆心，所以直线与曲线相交的弦为直径，所以弦长为2.故选B.(法二)由曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ得曲线的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1①.将直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝t化为标准形式，得⎩⎨⎧x ＝1＋32t ′，y ＝12t ′(t ′为参数)，代入①式得(t ′)2＝1，解得t ′＝±1.根据参数t ′的几何意义，得所求弦长为|1－(－1)|＝2，故选B.随堂普查练491．(经典题，5分)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4答案：A解析：把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线方程，得ρsin θ＝1－ρcos θ，解得ρ＝1cos θ＋sin θ.由于线段y ＝1－x (0≤x ≤1)在第一象限及坐标轴的正半轴，故0≤θ≤π2，故选A .2．(2017天津，5分)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．答案：2解析：将直线的极坐标方程4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋1＝0展开得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0中，得直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0. 圆的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，故圆心坐标为(0，1)，半径为1.∵圆心(0，1)到直线的距离为|2＋1|（23）2＋22＝34＜1，∴公共点的个数为2.3．(2018北京朝阳一模，5分)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，则l 的倾斜角大小为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案：C解析： ∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，∴直线l 的普通方程是y ＝－3x ＋1，∴直线l 的斜率是－ 3.设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－ 3.∵0≤θ<π， ∴θ＝23π.故选C.4．(2015重庆，5分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．答案：(2，π)解析：直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，它的普通方程为x －y ＋2＝0；曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4(ρ＞0，3π4＜θ＜5π4)，即ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4①，将⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①式，可得它的直角坐标方程为x 2－y 2＝4，x ＜0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x 2－y 2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，∴交点坐标为(－2，0)，它的极坐标为(2，π)．故答案为(2，π)．5．(2015广东，5分)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案：(2，－4)解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4， ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．6．(经典题，10分)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(Ⅰ)写出C 的参数方程；答案： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)解：设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上的点(x ，y )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x ，y 1＝y 2.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1，故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(5分)(Ⅱ)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 答案：ρ＝34sin θ－2cos θ解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，直线l 的斜率为－2，故所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12①.(8分) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①式，整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.(10分)7．(2016全国Ⅰ，10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ.(Ⅰ)说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； 答案：圆，ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0解：由C 1的参数方程消去t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，即C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．(3分)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(5分)(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 答案：1解：将ρ＝4cos θ两边同时乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ，把ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ①；将C 1的普通方程化为一般式，得x 2＋y 2－2y ＋1－a 2＝0②；由C 3的极坐标方程得C 3的直角坐标方程为y ＝2x .∵曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，∴y ＝2x 为圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程，①－②得4x －2y ＋1－a 2＝0，即为C 3，∴1－a 2＝0，解得a ＝1或a ＝－1(舍去)，∴a ＝1.(10分)8．(2018甘肃兰州一中月考，10分)点P 是曲线C 1: (x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转π2rad得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线C 2.(Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； 答案：C 1：ρ＝4cos θ，C 2：ρ＝4sin θ解：曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4，整理得x 2＋y 2＝4x ①.把ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①中，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2分)设Q (ρ，θ)，因为P 是曲线C 1上的点，P 逆时针旋转π2rad 得到点Q ，则P ⎝⎛⎭⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝4sin θ， 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(5分)(Ⅱ)射线θ＝π3(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，定点 M (2，0)，求△MAB 的面积． 答案：3－3解：M (2，0)到射线θ＝π3的距离d ＝2sin π3＝ 3.(6分)当θ＝π3时，A ，B 两点的极径分别为ρA ＝4cos π3＝2，ρB ＝4sin π3＝23，所以|AB |＝|ρB －ρA |＝2(3－1)，(8分) 则S △MAB ＝12·|AB |·d ＝3－ 3.(10分)9．(2016全国Ⅲ，10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；答案：C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0解：曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.(2分)将曲线C 2的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22展开得ρsin θ＋ρcos θ＝4，把ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入，得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(5分)(Ⅱ)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 答案：2 ⎝⎛⎭⎫32，12解：由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos θ，sin θ)．∵C 2是直线，∴|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (θ)的最小值． d (θ)＝|3cos θ＋sin θ－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－2，(7分) 当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，即θ＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (θ)取得最小值，最小值为2，此时3cos θ＝3×32＝32，sin θ＝12，即P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.(10分)10．(2018湖南师大附中月考，10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； 答案： C ：y 2＝2ax (a >0)，l ：y ＝x －2解：曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，等式两边同乘ρ，得ρ2sin 2θ＝2aρcos θ①.将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①中，得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)．(3分)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t消去t ，得直线l 的普通方程为y ＝x －2.(5分)(Ⅱ)若|P A |·|PB |＝|AB |2，求a 的值． 答案：1解：将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2ax (a >0)中， 得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则有t 1＋t 2＝22(4＋a )>0，t 1t 2＝8(4＋a )>0， ∴t 1，t 2同正．(7分)∵|P A |·|PB |＝|AB |2，∴t 1t 2＝(t 1－t 2)2， ∴(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2，∴8(4＋a )2＝40(4＋a )， 解得a ＝1或a ＝－4(舍去)，∴a 的值为1.(10分)课后提分练49 坐标系与参数方程A 组(巩固提升)1．(经典题，5分)下列极坐标方程中，对应的曲线为图49－1的是( ) A ．ρ＝6＋5cos θ B ．ρ＝6＋5sin θ C ．ρ＝6－5cos θ D ．ρ＝6－5sin θ图49-1答案：D解析：结合图形可知当θ＝π2时，曲线上的点到极点的距离最短，即ρ最小；当θ＝3π2时，ρ最大，只有ρ＝6－5sin θ满足，故选D.2．(2017北京，5分)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP |的最小值为________．答案：1解析：把⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2代入圆的极坐标方程，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，整理得(x －1)2＋(y －2)2＝1，其表示圆心为(1，2)，半径为1的圆．∵点P 的极坐标为(1，0)，∴点P 的直角坐标为(1，0)，∴点P 到圆心的距离为（1－1）2＋（0－2）2＝2，∴|AP |min ＝2－1＝1.3．(经典题，5分)如图49－2，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图49-2答案：⎩⎨⎧x ＝12＋12cos2θ，y ＝12sin2θ(θ为参数，0≤θ＜π)解析：由题意得圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝⎝⎛⎭⎫122.设圆与x 轴的另一交点为Q ，则Q (1，0)，设直线与圆的另一交点为P (x ，y )．当点P 在第一象限时，|OP |＝|OQ |cos θ＝cos θ，∴x ＝|OP |·cos θ＝cos 2θ＝12＋12cos 2θ，y ＝|OP |·sin θ＝cos θ·sin θ＝12sin 2θ；当点P 在第四象限时，∠xOP ＝π－θ，同理得|OP |＝|OQ |cos(π－θ)＝cos(π－θ)， 则x ＝|OP |cos(π－θ)＝cos 2(π－θ)＝12＋12cos2θ，y ＝－|OP |sin(π－θ)＝－sin(π－θ)cos(π－θ)＝－12sin(2π－2θ)＝12sin2θ；当点P 与原点或点Q 重合时，也满足上式，∴圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ(θ为参数，且0≤θ<π)．4．(经典题，5分)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．答案：3解析：(法一)把圆的极坐标方程ρ＝4sinθ的等号两边同时乘ρ得ρ2＝4ρsin θ.将⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y2分别代入圆和直线的极坐标方程，整理得圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线的直角坐标方程为y ＝a .∵△AOB 是等边三角形，∴其中一个交点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫a3，a ，代入圆的直角坐标方程得，a 2－3a ＝0，解得a ＝0或a ＝3.当a ＝0时，直线与圆相切，只有一个交点，不符合题意，∴a ＝3.(法二)求出圆和直线的直角坐标方程，同方法一．由△AOB 是等边三角形，可知其中一个交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫ρ，π3.∵交点的极坐标同时满足圆和直线的极坐标方程，∴⎩⎨⎧ρ＝4sin π3，ρsin π3＝a ，解得a ＝3.5．(2018重庆模拟，5分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．答案： 5解析：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，消去参数t 得x －y ＋1＝0.由曲线C 的极坐标方程ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0，即曲线C 的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，与直线l 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2－4x ＝0，消去y 得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，∴直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2)，∴直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝12＋22＝ 5.6．(2018北京石景山模拟，5分)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线截圆C 所得的弦长是________．答案： 2解析：由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2，得圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝1，即圆C 的圆心为(0，2)，半径r ＝1.由直线的极坐标方程ρsin θ＋ρcos θ＝1，得直线的直角坐标方程为x＋y ＝1，即 x ＋y －1＝0，∴圆心到直线的距离d ＝||0＋2－11＋1＝22， ∴直线截圆C 所得的弦长为21－⎝⎛⎭⎫222＝ 2.7．(经典题，10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x ，以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；答案：曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，直线C 2的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R) 解：因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，所以它的直角坐标方程为(x－2)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，所以极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.直线C 2的直角坐标方程为y ＝3x ，所以极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)．(5分)(Ⅱ)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求 1||OA ＋ 1||OB . 答案：2＋237解：直线C 2与曲线C 1的极坐标方程联立，可得ρ2－(2＋23)ρ＋7＝0.(7分)设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋23>0，ρ1ρ2＝7>0，∴ρ1，ρ2同正，∴1|OA |＋1|OB |＝1|ρ1|＋1|ρ2|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝2＋237.(10分)8．(2017全国Ⅲ，10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)写出C 的普通方程； 答案： x 2－y 2＝4(x ≠±2)解：分别将l 1，l 2的参数方程转化为普通方程得l 1：y ＝k (x －2)①，l 2：y ＝1k (x ＋2)②，①×②得x 2－y 2＝4(x ≠±2)，即P 的轨迹方程为x 2－y 2＝4(x ≠±2)．(5分)(Ⅱ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．答案：5解：将l 3的极坐标方程转化为直角坐标方程得l 3：x ＋y －2＝0，联立曲线C 和l 3得⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x 2－y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝322，y ＝－22.由ρ＝x 2＋y 2得ρ＝5，即M 的极径是 5.(10分)B 组(冲刺满分)9.(经典题，10分)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角，且0<α<π)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，点F 的坐标为(1，0)．(Ⅰ)求△ABF 的周长； 答案： 42解：如下图，曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1，∴F (1，0)，E (－1，0)为椭圆C 的两个焦点．又A ，B 在椭圆上，知|AE |＋|AF |＝|BE |＋|BF |＝2a ＝2 2.又直线AB 过点(－1，0)，即点E ，∴△ABF 的周长为4 2.(5分)(Ⅱ)若点E (－1，0)恰为线段AB 的三等分点，求△ABF 的面积． 答案：3148解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 22＋y 2＝1，得(1＋sin 2α)t 2－2cos α·t －1＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos α1＋sin 2α，t 1t 2＝－11＋sin 2α， 则|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝221＋sin 2α.不妨设|AE |∶|EB |＝2∶1，则t 1＝－2t 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2，t 1t 2＝－2t 22，得t 1t 2＝－2(t 1＋t 2)2， ∴－11＋sin 2α＝－2·4cos 2α（1＋sin 2α）2，即8cos 2α＝1＋sin 2α， 得sin 2α＝79，(8分)则S △ABF ＝12·|AB |sin α·|EF |＝12·221＋sin 2α·2sin α＝3148，∴△ABF 的面积为3148.(10分)10．(经典题，10分)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(Ⅰ)若α＝3π，求线段AB 的中点M 的坐标； 答案： ⎝⎛⎭⎫1213，－313解： 将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.(1分)设点M 对应的参数为t 0.当α＝π3时，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0.设直线l 上的点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－5613， 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，代入l 的参数方程，得点M 的坐标为(1213，－313)．(5分)(Ⅱ)若||P A ·||PB ＝||OP 2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 答案：54解：将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，则t 1·t 2＝12cos 2α＋4sin 2α>0. ∵P (2，3)，∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α. ∵|OP |2＝7，∴12cos 2α＋4sin 2α＝7，解得tan 2α＝516.(8分) 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，故tan α＝54， ∴直线l 的斜率为54.(10分)。