高考数学 坐标系与参数方程

高考数学复习：坐标系与参数方程

1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．

2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．

一、直角坐标与极坐标的互化

如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yxx≠0.

【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．

二、直线、圆的极坐标方程

(1)直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置直线的极坐标方程

①直线过极点：θ＝α；

②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

③直线过点Mb，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b.

(2)几个特殊位置圆的极坐标方程

①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；

③圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsin θ.

【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．

三、参数方程

(1)直线的参数方程

过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．

(2)圆、椭圆的参数方程

①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ，y＝y0＋rsin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．

②椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为 x＝acos

θ，y＝bsin θ

“坐标系与参数方程”高考考查分析

高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个经常被考查的知识点。这部分内容一般在高二下学期学习，主要是介绍平面直角坐标系的性质、参数方程的定义与应用等。接下来，本文将对“坐标系与参数方程”这一知识点进行详细的考查分析。

一、知识点概要

1.平面直角坐标系

平面直角坐标系是描述平面点的一种方法，它由两个互相垂直的坐标轴组成。我们通常称横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。坐标系的原点是两个坐标轴的交点。在平面直角坐标系中，除了原点之外的点，均可表示为一个有序数对(x，y)，称为点的坐标。坐标系具有以下性质：

1）两个点的距离公式：$\large\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

2）平行于x轴或y轴的直线称为坐标轴上的直线；直线不与坐标轴平行或垂直则称为斜直线。对于一般方程$ax+by+c=0$的直线，称其为隐式方程，也可以转化为$y=kx+b$的斜截式方程。反之，斜截式方程可转化为隐式方程。坐标系中，平面内任意两点坐标已知，就可确定它们所在的直线，反之，也可以通过直线方程，求出相应的点的坐标。

3）圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。

4）图形的相似性：在坐标系中，若两个图形中点的相对位置关系保持不变，则称这两个图形相似。相似性质可以用来求解坐标变换等问题。

2.参数方程

参数方程是一类常见的函数定义方式，它将自变量x,y表示成另一个变量t的函数，形式为$x=x(t)$，$y=y(t)$。参数方程在数学、物理等领域具有广泛的应用，在分析曲线和图形变换上尤其有用。在参数方程中，当参数t的取值范围确定时，对于不同的t值，所对应点的坐标(x,y)也就明确了。

二、考查形式

1.单选题

高考中涉及坐标系与参数方程的单选题，在形式上比较多样化，主要分为以下几种：

“坐标系与参数方程”高考考查分析

高考数学是许多考生最担心的一门科目，而其中的坐标系与参数方程更是让许多人感到头疼。这两个知识点涉及到的内容较多，而且给学生设置的考查题目也相对难度较大。本文将针对坐标系与参数方程在高考中的考查情况进行分析，帮助考生更好地应对这一部分的考试内容。

首先来看坐标系的考查情况。在高考试卷中，坐标系通常涉及到直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系。对于直角坐标系来说，考生需要掌握平面直角坐标系的性质、方程和应用，在平面几何、函数和方程中经常会涉及到直角坐标系。极坐标系则会涉及到平面向量、极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的相互转化等知识点。而空间直角坐标系则会涉及到空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系等内容。在高考试题中，通常会通过图形、空间位置关系、距离等方式考查考生对坐标系的掌握程度。

除了坐标系，参数方程也是高考数学的一个重要考查点。参数方程是描述曲线的一种常见方法，它通过引入参数来表示曲线上的点的位置，常见的参数方程有直角坐标系、极坐标系和参数方程的相互转化等内容。在高考试卷中，参数方程通常会涉及到曲线的方程、参数方程的性质、参数的确定和解释等内容。考生需要掌握参数方程和一般方程、参数曲线与一般曲线的关系，以及参数曲线的对称性、单调性和渐近线等知识点。

坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要考查部分，它们不仅涉及到数学知识本身的掌握，还需要考生具备一定的数学建模和解题能力。在备考过程中，考生可以通过多做习题，加强对知识点的理解和掌握。还可以通过查阅相关资料和听取老师的指导，来提升自己对这一部分知识点的掌握程度。

而对于教师和学校来说，也可以针对坐标系与参数方程这一部分的知识点进行针对性的讲解和练习安排，帮助学生更好地掌握这部分知识。在日常教学中也可以加强对数学建模和解题能力的培养，提升学生的数学素养和解题能力。

1．曲线的极坐标方程．

(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．

(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．

(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程．

(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．

(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．

3．圆的极坐标方程．

(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．

(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．

(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．

4．极坐标与直角坐标的互化． 若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：

x＝ρcos θ，y＝ρsin θ或者ρ＝x2＋y2，tan θ＝yx，