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南京航空航天大学07-08矩阵论试卷(A)

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2 0.5t ，其中 t 为实数， 为实数， 1
A11 H A12
H −1
A12 > 0 ，其中 A11 ∈ C k×k ， A22
− 证明： 证明： A11 > 0, A22 − A12 A11 A12 > 0 。
（3）已知 Hermite 矩阵 A = aij ∈ C ）
( )
n× n
， aii >
∑a
j≠i
ij
证明： (i = 1,2,⋯, n) ，证明： A 正定
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实对称矩阵的集合， （2）设 W 是全体 2 × 2 实对称矩阵的集合， ） 证明： 证明： W 是 R
2× 2 ×
的子空间， 的维数和一组基； 的子空间，并写出 W 的维数和一组基；
的一组标准正交基； （3）在 W 中定义内积 ( A, B ) = tr ( BA), 其中 A, B ∈ W ，求出 W 的一组标准正交基； ） （4）给出 R ）
的全部特征值； （1）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； ） 的行列式因子、不变因子； ）
6 的最小多项式， （3）求 A 的最小多项式，并计算 A + 3 A − 2 I ； ）
标准形。 （4）写出 A 的 Jordan 标准形。 ）
矩阵论
南 京 航 空 航 天 大 学
研究生考试试卷
共 5 页 第 1 页
二 OO 七 ～二 OO 八 学年 考试日期: 考试日期: 学院 2008 年 1 月 16 日 学号
学期《 第 一 学期《 试卷类型 A 姓名
矩
阵
论 A000003 成绩
》课程
课程编号： 课程编号：
1 − 2 1 （20 3 ， 一、 （ 分）设矩阵 A = − 2 − 2 −1 −1 1
共 5
（20 分） R 二、 （ 设 矩阵的乘法)。 矩阵的乘法 。 （1）求 R ）
2× 2 × 2× 2 ×
页
第 2 页
实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与 是实数域 R 上全体 2 × 2 实矩阵构成的线性空间 按通常矩阵的加法和数与
的维数，并写出其一组基； 的维数，并写出其一组基；
共 5
（20 分） 五、 （
页
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5 3 2 0 1 1 （1）设矩阵 A = 3 2 t , B = 1 ） 2 t 2 2 0 .5 t
满足什么条件时 成立？ 问当 t 满足什么条件时, A > B 成立？ （2）设 n 阶 Hermite 矩阵 A = ）
分解； （1）求矩阵 A 的 QR 分解； ） （2）计算 A+ ； ）
+
页
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1 2 0 1 ，向量 b = ， 1 1 2 1
是否相容？若相容,求其通解 若不相容,求其极小最小二乘解 求其通解;若不相容 求其极小最小二乘解。 （3） ） 用广义逆判断方程组 Ax = b 是否相容？若相容 求其通解 若不相容 求其极小最小二乘解。
n× n
（2）设 A = (a ij ) ∈ C ） 证明： 证明： （3）证明： ）证明： 是C
，令 A * = n ⋅ max a ij ，
i, j
n× n
*
上的矩阵范数并说明具有相容性； 上的矩阵范数并说明具有相容性；
1 A ≤ A 2 ≤ A*。 n *
共 5
1 −1 1 1 （20 四、 （ 分）已知矩阵 A = 0 0 0 0
2× 2 ×
上的线性变换 T ： T ( A) = A + A ,
T
∀A ∈ R 2× 2
）中所取基下的矩阵， 写出线性变换 T 在（1）中所取基下的矩阵，并求 T 的核 Ker (T ) 和值域 R(T ) 。
共 5
（20 分） 三、 （ （1）设 A = ）
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2 1 3 ，求 A 1 ， A 2 ， A ∞ ， A F ； − 1 2 1

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矩阵论去年试题

矩阵论去年试题

南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院一．设矩阵A=010110122---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的值域与核。

（10分）二．设1α=(1,1,1,0)T , 2α=(-1,-2,-1,-1)T , 1β=(2,1,3,-1)T , 2β=(1,-1,0,-2)T , V 1=span(1α,2α), V 2=span(1β,2β)，分别求V 1∩V 2 ，V 1+V 2 的一组基和维数。

（12分）三．在22R ⨯中，定义线性变换Г(X) =1102X -⎛⎫ ⎪⎝⎭，求Г在基E 11=1000⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 12=0100⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 21=0010⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 22=0001⎛⎫ ⎪⎝⎭下的矩阵。

（10分）四．求矩阵A=040140122----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的Smith 标准形和Jordan 标准形J ，并求可逆矩阵P ，使P -1AP=J 。

（18分）五．求矩阵A=123002111021-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解。

（10分）六．设║•║是n n C ⨯上的矩阵范数,对于非零向量n C α∈，定义：T ,n x x x C αα=∀∈，证明：x α是n C 上的向量范数（8分）七．求正规矩阵A=010100000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的谱分解式。

（10分）八．设‖•‖是n nC⨯上的相容矩阵范数，A是n阶可逆矩阵，λ为A的任一特征值，证明：‖A-1‖-1≤|λ|≤‖A‖。

（10分）九．已知A=100100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭,求A的奇异分解和广义逆矩阵A+。

（12分）。

南航矩阵论试卷

南航矩阵论试卷

1． 相似于Hermite半正定矩阵；
2．若 ，则 ；
3．若 ，则 ．
答案及评分标准:
1. ,这里 是可逆的Hermite矩阵,从而 .由于 ,所以 ,即 相似于Hermite半正定矩阵 .
2. .由题1的结论， 的特征值满足条件
于是 ．
3. .
3．证明矩阵幂级数 绝对收敛，并求其和．
答案及评分标准:
1. .
由于 ,所以 .
2.由矩阵2范数的相容性,有 ．另一方面，由题１的计算过程知 ，从而
，
即 ．
3.已知幂级数 的收敛半径为3,且 ,则矩阵幂级数 绝对收敛,且
.
共5页第5页
五、(20分)设 分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：
3．问： 与矩阵 是否相似？并说明理由．
案及评分标准：
1.特征多项式为 ；初等因子为 .
2. 的最小多项式是 ，rdan标准形为 .
3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与 不相似.
（5分）
共5页第2页
二、(20分)设 ，映射 使得
.
1．证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；
2．证明 是 的线性变换，并求 在题1所取基下的矩阵；
1．作出 的一个满秩分解；
2．求 的加号逆 ；
3．求方程组 的极小范数解（要求解中不含有参数t）．
答案及评分标准:
1. 的一种满秩分解为 ；
(注意：满秩分解不唯一，需要检验)．
2.因为 ,所以
.
3.由相容性,解得 ,从而极小范数解为 .
共5页第4页
四、(20分)设矩阵 .
1．求 ；
2．证明对于 中的任意矩阵 ，有 ；
南航矩阵论试卷
北航2009-2010 学年第一学期矩阵理论A试题

北航2009-2010 学年第一学期矩阵理论A试题

2009—2010学年 (A)学号 姓名 成绩《 矩阵理论 》（A ）注意事项：考试时间120分钟 一. 填空 (注: I 代表单位阵,H A 表示H 转置, det(A)指行列式)(1)()det()tr A A ee -⋅= ，1()()A A A A e e e e +----=(2)若2320A A I -+=，则A 有一个无重根零化式为f(x)= (3)若2H A A A == , 则+A =(4)若3阶阵A I ≠-，且220A A I ++=，则Jordan 形A J =(5)311, ,030a A B b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A B ⊗的特征根为(6)211555121,444111333A=, i x i i i ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪==⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭, 则谱半径()A ρ取值范围是 ；且1A x = ；||A||∞=(7)01,10A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则 ( )sin =( )cos tAt e t -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， =A e π (8)1111A=-⎛⎫ ⎪-⎝⎭11A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则的最佳极小二乘解是 ; +A = .. (9)矩阵A 中各列都可用B 的列线性表示(R(A)R(B)⊂)，则有矩阵P 使BP = (10)ｎ阶阵A 的特征根λ，谱半径()A ρ与范数||||A 的大小关系是 ． (11)A 是ｎ阶阵(k 是自然数),则(),(),||||,|||| kkkkA A A A ρρ之间关系为()tr()A B ⊗=(12)1 0 1A 1 1 2 1 2 3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解为 ；(13)设123,,εεε是3R 的基，33RA ⨯∈满足：1223323,,2.A A A εεεεεεε===-则有矩阵B 使得123123(,,)(,,)B A εεεεεε=，B = ． 二.计算下列各题1. 设列满(高)阵m n A A ⨯=的QR 分解为A QR =，Q 为次酉阵().Hn Q Q I =验证：1H X R Q -=满足A +的4个条件.2.设,000100010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)求23, A A ，(2)由23()()23!tA tA tAeI tA ++++直接计算tA e，并求()tA tA e e +-=. 计算下列各题1. (1)I 为单位矩阵，用Taylor 公式计算验证tIt ee I =且0n neI ⨯=(2)若已知sin()()At B t =, 如何求出矩阵A （写一个公式）(3)已知525252523444173343t tt t At ttt t e e e e e e e e e ----⎛⎫+-= ⎪-+⎝⎭，用导数公式求矩阵A 2.设,A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭210020002(1)求A 极小式；(2)由23((2))((2))2(2)23!()(2)t A I t A I tAtt A I e e I e I t A I ----=+-+++计算tA e3.0.50.5 ,00.5A ⎛⎫=⎪⎝⎭设计算：20()k k I A A ∞=⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭∑5．(1)画出矩阵A 的盖尔圆盘; (2)说明A 有3个互异特征根．1812191.19A i i ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭三.( 6分)设A 是ｎ阶正规矩阵,1(A){ ,,}n σλλ=(全体特征根)．(1)写出正规阵A 的含有对角阵与两个U(酉)阵的乘积分解公式；(2)若A 是2阶正规矩阵，(A){1, }i σ=，1i X ⎛⎫= ⎪⎝⎭使得A X X =，求一个U(酉)阵Q ，将A 写成H Q , Q 与对角阵的乘积形式．四.(任选3题共9分 )简证下列各题 1.设•是n n⨯上相容的矩阵范数, 列向,0.nαα∈≠任取nx ∈，令||||x 如下：H x x α定义为，nx ∈. 证明： n nA A , ( A ).x x ⨯≤⋅∈2.设•是矩阵范数，x , x 0 n∈≠使得Ax=x λ; 令n n B=(x,0,0,,0)⨯证明： AB=B λ，且有 ||||B||||A||||B||λ⋅≤⋅(由此你能否推出一个结论？).3. 设A n n⨯∈, A 是相容的矩阵范数, 证明(1) ||I||1≥（I 是单位矩阵）；(2)若A 可逆， 则11||||||||A A -≥4. 若A 为n 阶正规阵，1n (A)= {,,}σλλ(全体特征根)，证明1n (A )= {, , }H σλλ(H A 的全体特征根)．五.(11分) 1.设()1111122201T 12, , b 2101 A A --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,124500A A A ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭. 求 A + 与Ax=b 的极小范数解或最佳极小二乘解2.已知111121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， (1)求A 的短奇异值分解; (2)求奇异值分解.六.(8分)21011020, 00012A B ⎛⎫⎡⎤ ⎪==⎢⎥⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭. 求A 的极小式；计算tA e 与()B A e ρ⊗七. (7分)设110011001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个矩阵B (具有正的特征根)，使得2BA =．附加题1.设m mA ⨯∈,n nB ⨯∈,()m nX X t ⨯=∈, 验证At Bt X e Ce =是微分方程：d , (0)d XAX XB X C t=+= 的唯一解． 2 已知5252521252523444173343t tt t Attt ttt t e e e e e e G e G e e e e -----⎛⎫+-=+= ⎪-+⎝⎭求1432A ⎛⎫= ⎪⎝⎭已知121sin()127tA f G f G ⎛⎫=+=⎪⎝⎭求A = 参考题：证明：若A 是正规，则()f A 是正规阵，特别aI bA +为正规阵．设m nA ⨯∈，证明 ()(),()()R N R N H H A A A A ⊥⊥。

南航矩阵论课后习题答案

南航矩阵论课后习题答案

南航矩阵论课后习题答案南航矩阵论课后习题答案矩阵论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等等。

南航的矩阵论课程是培养学生数学思维和解决实际问题的重要环节。

在课后习题中，学生需要运用所学的矩阵理论知识，解答各种问题。

下面是南航矩阵论课后习题的一些答案和解析。

1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的逆矩阵。

解析：要求一个矩阵的逆矩阵，需要先判断该矩阵是否可逆。

一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。

计算矩阵A的行列式，得到det(A) = -3。

因此，矩阵A可逆。

接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。

首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将其除以行列式的值，即可得到逆矩阵。

计算得到A的伴随矩阵为Adj(A) = [-3 6 -3; 6 -12 6; -3 6 -3]。

最后，将伴随矩阵除以行列式的值，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-1 2 -1; 2 -4 2; -1 2 -1]。

2. 已知矩阵A = [2 1; 3 4]，求A的特征值和特征向量。

解析：要求一个矩阵的特征值和特征向量，需要先求解其特征方程。

特征方程的形式为|A - λI| = 0，其中A为给定矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。

计算得到特征方程为|(2-λ) 1; 3 (4-λ)| = (2-λ)(4-λ) - 3 = λ^2 - 6λ + 5 = 0。

解这个二次方程，得到特征值λ1 = 1，λ2 = 5。

接下来，我们可以求解对应于每个特征值的特征向量。

将特征值代入(A - λI)x = 0，即可求解出特征向量。

对于特征值λ1 = 1，解得特征向量x1 = [1; -1]；对于特征值λ2 = 5，解得特征向量x2 = [1; 3]。

3. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的奇异值分解。

解析：奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。