中考数学强化训练(三)

中考基本知识强化过关训练一、填空题：1．－（－2）的相反数是＿＿＿＿＿，211的倒数是＿＿＿＿＿。

16的平方根是＿＿＿＿，21-的绝对值是＿＿＿＿＿。

2．盈利50元记为＋50元，亏损100元记为＿＿＿＿＿＿。

3．A 、B 、C三点在数轴上如下图所示：化简：||||||b a c b c a -++++＝＿＿＿＿＿。

4．a 、b 、c 为△ABC 的三边，化简：=+-+--||||a c b c b a ＿＿＿＿＿＿。

5．803590000保留四个有效数字为＿＿＿＿＿＿＿＿。

6．－0.00030200有＿＿＿＿个有效数字，用科学记数法表示为＿＿＿＿＿。

7．323)(c ab -＝＿＿＿＿＿，32)2(x ·)()3(3xy xy -÷-＝＿＿＿＿＿＿。

8．两圆相切，半径分别为3cm ，4cm ，则圆心距为＿＿＿＿＿。

9．c bx ax y ++=2的图象如下图，请在该坐 标系中，画出b ax y +-=和xcy =的大致图象。

10．函数212--=x x y 的自变量的取值范围是＿＿＿＿。

11．当＿＿＿时，分式1232-+-x x x 的值为0。

12．一组数据2，－3，0，2，1，3，x ，1的众数为1，则这组数据的中位数是＿＿＿＿＿＿，平均数是＿＿＿＿＿。

13．122)12(2+--÷--a a a a a ＝＿＿＿＿＿＿。

14．若25242+-kx x 是完全平方式，则k ＝＿＿＿＿＿＿。

15．2)2(y x -＝＿＿＿＿，))((z y x z y x -++-＝＿＿＿＿＿。

16．函数3--=x y 与x 轴交点坐标为＿＿＿＿，图象不经过第＿＿＿象限。

17．一个等腰三角形的两边长是方程0652=+-x x 的两个根，那么这个等腰三角形的周长是＿＿＿＿＿。

18．直角三角形两边长为6和8，则第三边长为＿＿＿＿＿＿。

19．已知关于x 的方程012)1(2=-++x x m 有两个实数根，则m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。

2022年上海浦东新区中考数学五年真题汇总卷（Ⅲ）考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法正确的是（）A．任何数都有倒数B．一个数的倒数一定不等于它本身C．如果两个数互为倒数，那么它们的乘积是1D．a的倒数是1a2、在学校组织的魔方比赛中，小杰小孙和小兰分别用了75分钟、53分钟、1.3分钟将魔方复原，根据比赛规则用时最短者获胜，那么获得冠军的应该是（）A．小杰B．小孙C．小兰D．无法确定3、与长方体中任意一条棱既不平行也不相交的棱有（）A．2条B．4条C．6条D．8条4、下列计算正确的是（）A．1=B=C．3+=D．=·线○封○密○外5、下列方程中，其解为﹣1的方程是（）A．2y=﹣1+y B．3﹣y=2 C．x﹣4=3 D．﹣2x﹣2=46、如图所示，已知点A表示的数是12，那么点B表示的数是（）A．113B．114C．115D．1167、x是正整数，x〈〉表示不超过x的素数的个数．如：74〈〉=，不超过7的素数有2、3、5、7共4个，那么2395134188〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉的值是（）A．9 B．10 C．11 D．128、下列命题正确的有几个（）①如果整数a能被整数b（不为0）除尽，那么就说a能被b整除；②任何素数加上1都成为偶数；③一个合数一定可以写成几个素数相乘的形式；④连续的两个正整数，它们的公因数是1．A．0 B．1 C．2 D．39、已知方程组32453x y ax y-=⎧⎨+=⎩的解x与y互为相反数，则a等于（）A．3 B．﹣3 C．﹣15 D．15 10、下列说法中，正确的是（）A．整数包括正整数和负整数B．自然数都是正整数C ．一个数能同时被2、3整除，也一定能被6整除D ．若0.3m n ÷=，则n 一定能整除m 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知:2:3a b =，:4:5b c =，那么::a b c =____________．2、已知某校共有男教师16名，占该校女教师人数的25，那么该校共有教师_______________名．3、分数4111化成循环小数是____________． 4、如果某企业A 、B 、C 三个工种200名工人的分布情况如图示，那么B 工种的人数是___________名．5、如果圆的半径为6厘米，那么150︒的圆心角所对的弧长为_______厘米． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、公园内有一个湖泊，其余为绿地，建筑物和道路，已知公园面积为215方千米，绿地面积为公园的23，建筑物和道路的占地总面积为公园面积的118．求湖泊的面积是多少平方千米？2、如图，A 、B 、C 、D 四张卡片上分别写有21、98、10、25四个数，现从中任取两张卡片．·线○封○密○外（1）请写出所有等可能的结果（用字母A、B、C、D表示）；（2）求取到的两个数恰好互素的概率．3、为了应对全球性的金融危机，我国政府出台一系列拉动内需的经济政策，其中一项是对首次购买自住性住房的居民给予退税的政策，具体为退回购房契税的60%而购房契税为所购房总价的2%．那么，现在某居民购买一套90平方米，单价6000元/平方米的自住性住房（首次购买）．求，（1）这套住房的总价是多少元，（2）按上述政策该居民能获得的退税额是多少元？4、某中学六年级共有5个班级，在这次为都红星小朋友捐图书的活动中，同学们都踊跃参加，活动后统计各班所捐图书的数量如下表：（单位：册）求：（1）该学校六年级中哪个班在这次活动中所捐的图书册数最多？（2）上题中的这个班级所捐图书的册数占全年级所捐图书总册数的百分之几？（保留一位小数）5、计算：1223(20.5)233+--．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．【详解】解：A、0没有倒数，故选项错误；B 、1的倒数是1，故选项错误；C 、如果两个数互为倒数，那么他们的乘积一定是1，故选项正确；D 、a=0时，a 没有倒数，故选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了倒数的知识，属于基础题，比较简单，注意平时基础知识的积累． 2、C 【分析】 本题可先将题目中的分数统一化成小数后，再进行比较即可． 【详解】 解：由于75分钟=1.4分钟，53分钟 1.7 分钟， 又1.7分钟>1.4分钟<1.3分钟． 即53分钟>75分钟>1.3分钟． 所以小兰用时最短，则小兰获得冠军． 故选：C ． 【点睛】 在比较分数与小数的大小时，可根据题目中数据的特点，将它们化为统一的数据形式后再进行比较． 3、B 【分析】 根据题意，画出图形即可得出结论． 【详解】 ·线○封○密○外解：看图以AB为例，与它既不平行也不相交的棱有HD、GC、HE和GF，共有4条，故选B．【点睛】此题考查的是长方体的特征，根据题意画出图形是解决此题的关键．4、D【分析】根据二次根式的性质和运算法则可以选出正确选项．【详解】解：∵=错误；B错误；∵3为有理数，错误；∵2===，∴D正确，故选D．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简方法和合并方法是解题关键．5、A【分析】分别求出各项中方程的解，即可作出判断．【详解】解：A 、方程2y=-1+y ，移项合并得：y=-1，符合题意；B 、方程3-y=2，解得：y=1，不合题意；C 、方程x-4=3，移项合并得：x=7，不合题意； D 、方程-2x-2=4， 移项合并得：-2x=6， 解得：x=-3，不合题意， 故选A ． 【点睛】 此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 6、D 【分析】 0~1之间被等分成6份，其中点A 为从0开始自左向右的第3个点，为36，则数轴上每一份表示16，即可得到点B 表示的数． 【详解】 由题意，知点A 表示的数是12．又0~1之间被等分成6份，其中点A 为从0开始自左向右的第3个点，为36，则数轴上每一份表示16，即B 点表示的数为111166+=． 故选：D ． 【点睛】 ·线○封○密·○外本题考查分数的意义，得到数轴上每一份表示16是解题的关键． 7、C【分析】根据题意所给定义新运算及素数与合数的概念直接进行求解．【详解】解：23〈〉表示不超过23的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23共九个，则23=9〈〉； 95〈〉表示不超过95的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89共24个，则有95=24〈〉，由1=0〈〉可得134188=0〈〉⨯〈〉⨯〈〉；2395134188=33=11∴〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉〈〉；故选C ．【点睛】本题主要考查素数与合数，熟练掌握素数与合数的概念是解题的关键．8、C【分析】①除尽是指被除数除以除数（除数≠0），除到最后没有余数，就说一个数能被另一个数除尽；而整除是指一个整数除以一个非0整数，得到的商是整数还没有余数，就说一个数能被另一个数整除； ②根据质数的定义，2为最小的质数，但是2+1=3，3为质数；③根据合数的定义：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，所以任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式； ④相邻的两个正整数是互质数，互质数的公因数是1，由此即可解答．【详解】①根据“整除”和“除尽”概念的不同，可知能被b 除尽的数不一定能被b 整除．如：15÷2=7.5，15能被2除尽，但不能被2整除，故①错误；②由于2为最小的质数，2+1=3，3为奇数，所以任何质数加1都成为偶数的说法是错误的，故②错误； ③任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，故③正确； ④根据相邻的两个自然数是互质数，互质数的公因数是1，故④正确； 综上，正确的是③和④，共2个． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了数的整除，合数的定义以及分解质因数的意义，因数、公因数的概念，解题的关键是理解“整除”和“除尽”的意义以及两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积． 9、C 【分析】 x 与y 互为相反数，得y=-x ，带入到方程组32453x y ax y -=⎧⎨+=⎩消去y ，得到关于x 、a 的二元一次方程组即可.【详解】由x 与y 互为相反数，得y=-x ， 代入方程组32453x y a x y -=⎧⎨+=⎩，得32453x x a x x +=⎧⎨-=⎩， 解得：315x a =-⎧⎨=-⎩， 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基·线○封○密·○外础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．10、C【分析】根据整数的分类，自然数的定义，倍数与约数，可得答案．【详解】解：A、整数包括正整数、零和负整数，故A错误；B、自然数都是非负整数，故B错误；C、一个数能同时被2、3整除，也一定能被6整除，故C正确；D、m÷n=整数，则n一定能整除m，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了有理数，整数包括正整数、零和负整数，注意自然数都是非负整数．二、填空题1、8:12:15【分析】由比例的性质得出结论即可．【详解】解：∵a：b=2：3=8：12，b：c=4：5=12：15，∴a：b：c=8：12：15；故答案为：8：12：15．【点睛】本题考查了比例的基本性质；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．2、56【分析】根据教师人数=男教师人数+女教师人数列式，计算即可．【详解】 解：21616=1640=565+÷+（人）． 故答案为：56 【点睛】 本题考查了分数应用题，根据题意求出女教师的人数是解题关键． 3、 3.72 【分析】 循环小数的简便记法是，再循环节的首位和末尾数字上点点，所以先找出循环小数的循环节，再循环节的首位和末尾数字上点点，据此写出． 【详解】 解：将分数4111化成循环小数是 3.412117=， 故答案是： 3.72． 【点睛】 本题主要考察循环小数的简便记法，熟悉相关性质是解题的关键． 4、90 【分析】 由题意及扇形图可得B 所占的百分比，然后进行列式求解即可． 【详解】 ·线○封○密○外解：由题意及扇形图可得：B工种所占的百分比为：1253045--=％％％，∴B工种的人数为2004590⨯％=（名）；故答案为90．【点睛】本题主要考查百分比的应用，关键是根据题意得到人数所占的百分比，然后进行求解即可．5、15.7【分析】直接根据弧长公式进行计算．【详解】根据弧长的公式150 3.14615.7180180n rlπ⨯⨯===(厘米) ．故答案为：15.7．【点睛】本题考查了弧长的计算，用到的知识点是弧长公式，是一道基础题．三、解答题1、718平方千米【分析】把公园面积看作单位“1”，先根据湖泊占公园面积分率=1-绿地面积占的分率-建筑物面积和道路面积占的分率，求出湖泊面积占公园面积的分率，再依据分数乘法意义即可解答．【详解】解：221 1(1) 5318⨯--=7121(1)51818⨯-- =75518⨯ =718平方千米 【点睛】 本题考查乘方运算的应用，解答本题的关键是求得湖泊面积占公园面积的分率． 2、（1）AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD ；（2）13 【分析】 （1）直接用列举法进行求解即可； （2）由题意易得互素的数有21和10、21和25，然后根据概率公式进行求解即可． 【详解】 解：（1）所有可能的结果是：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD ． （2）因为互素的数有21和10、21和25， 所以取到的两个数恰好互素就是取到卡片AC 或AD ， 概率是2163P ==． 【点睛】 本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 3、（1）这套住房的总价是540000元；（2）该居民能获得的退税额是6480元． 【分析】 （1）用房子的面积×每平方米的价格就是房子的总价； （2）先把房子的总价看成单位“1”，用乘法求出它的20%就是购房契税的钱数；再把购房契税的钱数看成单位“1”，它的60%就是退回的税额，用乘法求出．·线○封○密○外【详解】（1）6000×90=540000（元）；答：这套住房的总价是540000元；（2）540000×2%×60%，=10800×60%，=6480（元）；答：按政策该居民能获得的退税额是6480元．【点睛】本题考查了百分数的实际应用，解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再根据基本的数量关系求解．4、（1）该学校六年级中3班在这次活动中所捐的图书册数最多；（2）这个班级所捐图书的册数占全年级所捐图书总册数的26.7%．【分析】（1）通过比较各个班的所捐图书的数量即可得出答案；（2）利用班级所捐图书的册数除以全年级所捐图书的总册数即可得出答案．【详解】（1）8070605040>>>>，∴该学校六年级中3班在这次活动中所捐的图书册数最多；（2）()480405080607026.7%15÷++++=≈，∴这个班级所捐图书的册数占全年级所捐图书总册数的26.7%．【点睛】本题主要考查百分数，掌握百分数的求法是解题的关键．5、2【分析】根据加法交换律和结合律进行计算即可．【详解】 解：1223(20.5)233+-- =122132+2332+- =1122(3+)(2)2233+- =4-2 =2． 【点睛】 此题主要考查了分数的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． ·线○封○密○外。

中考数学最值问题总结（含强化训练）在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。

y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

沪科版九年级数学中考复习点运动综合题强化训练一、选择题1.如图①，点P 从△ABC 的顶点A 出发，沿A →B →C 匀速运动到点C ，图②为点P 运动时线段 CP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中Q 为曲线部分的最低点，则△ABC 的边AB 的长度为 ( )A. 12B. 8C. 10D. 132. 如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B －E －D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1 cm/s.现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为 x s ，△BPQ 的面积为y cm 2，若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是 ( )A. 96 cm 2B. 84 cm 2C. 72 cm 2D. 56 cm 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，2)，AB ⊥x 轴于点B ，C 是线段OB 上的点，连接AC.点P 在线段AC 上，且AP ＝2PC ，函数y ＝ kx (x ＞0)的图象经过点P .当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是 ( ) A. 0＜k ≤2 B. 23≤k ≤3C. 23≤k ≤2D. 83≤k ≤4第3题二、填空题4.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为 .5.∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB 内有一点P(4，3)，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ， MN ，则△PMN 周长的最小值为 .6.如图，在边长为2√3的菱形ABCD 中，∠C ＝60°，E ，F 分别是AB ，AD 上的动点，且AE ＝DF ，DE 与BF 交于点P . 当点E 从点A 运动到点B 时，点P 的运动路径长为 .第4题第5题第6题7.如图，在等边三角形ABC中，AB＝3，D，E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为.第7题第8题第9题8. 如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，E为边AB上的一个动点，连接ED并DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为.延长至点F，使得DF＝149.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，B是⊙O上一动x－3与x轴、y轴分别交于点D，E，则△CDE面积的最小点，C为弦AB的中点，直线y ＝34值为.10.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点. 动点P从点E 出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH ⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为，线段DH长度的最小值为.第10题第11题三、解答题11. 如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME 的垂线分别与边AD，BC相交于点F，G，点P，Q分别在线段EF，BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ.(1) 求证：△MEP≌△MBQ.(2) 当点Q在线段GC上时，试判断PF＋GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值；如果变化，请说明理由.(3) 设∠QMB ＝α，点B 关于QM 的对称点为B ′，若点B ′落在△MPQ 的内部，试写出α的取值范围，并说明理由.12.如图①，在矩形 ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，E ，F 分别为AB ， CD 的中点. (1) 求证：四边形AEFD 是矩形.(2) 如图②，P 是边 AD 上一点，BP 交EF 于点O ，点A 关于BP 的对称点为M ，当点M 落在线段EF 上时，OB ＝OM.请说明理由.(3) 如图③，若P 是射线AD 上一个动点，点A 关于BP 的对称点为M ，连接AM ，DM ，当△AMD 是等腰三角形时，求AP 的长.13. 如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P ，Q 分别从点C ，点A 同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 CA ，AB 上沿 C →A ，A →B 的方向运动，当点Q 运动到点B 时，P ，Q 两点同时停止运动. 设点P 运动的时间为t s ，连接PQ ，过点P 作PE ⊥PQ ，PE 与边BC 相交于点E ，连接QE.(1) 如图②，当t ＝5时，延长EP 交边AD 于点F.求证：AF ＝CE.(2) 在(1)的条件下，试探究线段AQ ，QE ，CE 三者之间的等量关系，并加以证明. (3) 如图③，当t ＞94时，延长EP 交边AD 于点F ，连接FQ ，若FQ 平分∠AFP ，求AFCE的值.第13题14. 如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF ＝90°，AB＝BE＝8 cm，BC＝BF ＝6 cm，延长DC交EF于点M. 点P从点A出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2 cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1 cm/s.过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G.设运动时间为t s(0＜t＜5).解答下列问题：(1) 当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？(2) 连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值.(3) 连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S cm2，求S与t的函数解析式.(4) 点P在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.第14题x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴15.如图，抛物线y＝－12为直线x＝－1，点C的坐标为(0，4).(1) 求抛物线对应的函数解析式.(2) 在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由.(3) 在(2)的条件下，若点P在x轴上方，M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离.(4) G是线段AC上的动点，H是线段BC上的动点，Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值.第15题16、如图①②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝3.点K在AC边上，点M，N分别在4AB，BC上，且AM＝CN＝2.点P从点M出发沿折线MB－BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随点P移动，且始终保持∠APQ＝∠B.(1) 当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离.(2) 若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4∶5的两部分时，求MP的长.(3) 设点P移动的路程为x，当0≤x≤3或3<x≤9时，分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示).(4) 在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界)，扫描器随，请直接写出点K被扫描到的总时长.点P从M到B再到N共用时36秒.若AK＝94参考答案1、C2、C3、C4、3√3－25、5√36、43π 7、2√33π 8、9√3 9、2 10、3√2 √13−√211、(1) ∵ △MBE 是等边三角形，∴ ME ＝MB ，∠BME ＝60°. ∵ ∠PMQ ＝60°，∴ ∠BME ＝∠PMQ.∴ ∠EMP ＝∠BMQ. ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠MBQ ＝90°.∵ ME ⊥GF ，∴ ∠MEP ＝90°＝∠MBQ.∴ △MEP ≌△MBQ(ASA) (2) PF ＋GQ 的值不变如图，连接MF.∵ 四边形ABCD 为正方形且边长为6，∴ ∠A ＝90°，AB ＝6. ∵ M 为AB 的中点，∴ AM ＝BM ＝12AB ＝3.∵ △MBE 为等边三角形，∴ EM ＝BM ＝BE ＝3，∠MEB ＝∠BME ＝∠MBE ＝60°. ∴ AM ＝EM.∵ ME ⊥FG ，∴ ∠MEF ＝90°.在Rt △AMF 和Rt △EMF 中，{AM =EM ，MF =MF ，∴ Rt △AMF ≌Rt △EMF(HL)．∴ ∠AMF ＝∠EMF.∵ ∠BME ＝60°，∴ ∠AME ＝120°.∴ ∠AMF ＝∠EMF ＝60°.∵ EM ＝3，∴ EF ＝3×tan 60°＝3√3.∵ ∠MBE ＝60°，∴ ∠EBG ＝30°.∵ ∠BEG ＝180°－90°－60°＝30°，BE ＝3，∴ 易得BG ＝EG ＝√3.∴ EF ＝PE ＋PF ＝BQ ＋PF ＝BG ＋GQ ＋PF ＝√3＋GQ ＋ PF.又EF ＝3√3，∴ PF ＋GQ ＝2√3(3) 30°＜α＜60°理由：根据题意，得∠BMB ′＝2α，∠BMP ＝60°＋α.当2α≥60°＋α，即α≥60°时，点B ′不在△MPQ 的内部．当点Q 与点G 重合，即α＝30°时，点B ′与点E 重合，不在△MPQ 的内部．当α＜30°时，点E 在PQ 右侧，此时点B ′在△MPQ 外．综上所述，α的取值范围是30°＜α＜60°.12、(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝CD ，∠A ＝90°，AB ∥CD ，即AE ∥DF. ∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ AE ＝12AB ，DF ＝12CD.∴ AE ＝DF.∴ 四边形AEFD 是平行四边形．∵ ∠A ＝90°，∴ ▱AEFD 是矩形(2) 理由：连接PM ，BM. ∵ 四边形AEFD 是矩形，∴ EF ∥AD ，即OE ∥AP .∴ BEBA ＝BOBP .∵ E 为AB 的中点，∴ BE ＝12BA.∴ BO ＝12BP ，即O 为BP 的中点．∵ 点A 与点M 关于BP 对称，∴ PA ＝PM ，BA ＝BM.又∵ PB ＝PB ，∴ △PAB ≌△PMB(SSS)．∴ ∠PMB ＝∠A ＝90°.∴ OM ＝12BP .∴ OB ＝OM.（3） ① 如图①，当MA ＝MD ，且点M 在矩形ABCD 内时，连接BM ，过点M 作MH ⊥AD 于点H ，交BC 于点F.∵ MA ＝MD ，MH ⊥AD ，∴ AH ＝HD ＝4.∵ ∠BAH ＝∠ABF ＝∠AHF ＝90°，∴ 四边形ABFH 是矩形．∴ BF ＝AH ＝4，AB ＝FH ＝5，∠BFM ＝90°.由点A 与点M 关于BP 对称，易得BP 垂直平分线段AM ，∴ BM ＝BA ＝5.∴ FM ＝√BM 2−BF 2＝√52−42＝3.∴ HM ＝HF －FM ＝5－3＝2.∵ ∠ABP ＋∠APB ＝90°，∠MAH ＋∠APB ＝90°，∴ ∠ABP ＝∠MAH.∵ ∠BAP ＝∠AHM ＝90°，∴ △ABP ∽△HAM.∴AP HM＝ABHA.∴AP 2＝54.∴ AP ＝52.② 如图②，当AM ＝AD 时，连接BM ，设BP 交AM于点F.由点A 与点M 关于BP 对称，易得BP 垂直平分线段AM ，∴ BA ＝BM ＝5，BF ⊥AM.∵ AD ＝AM ＝8，∴ AF ＝FM ＝12AM ＝4.∴ 在Rt △AFB 中，BF ＝√AB 2−AF 2＝√52−42＝3.∵ ∠APF ＝90°－∠FAP ＝∠BAF ，∠PFA ＝∠AFB ＝90°，∴ △PFA ∽△AFB.∴ AP BA ＝AFBF .∴AP5＝43.∴ AP ＝203.③ 如图③，当DA ＝DM 时，点P 与点D 重合，AP ＝8.④ 如图④，当MA ＝MD ，且点M 在矩形ABCD 外时，连接BM ，过点M 作MH ⊥AD 于点H ，交BC 于点F.∵ BM ＝AB ＝5，BF ＝4，∴ FM ＝√52−42＝3，MH ＝3＋5＝8. 与①同理，由△ABP ∽△HAM ，得APHM ＝ABHA ，∴AP8＝54.∴ AP ＝10.综上所述，满足条件的AP 的长为52或203或8或1013、(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，∠ABC ＝90°.∴ ∠PAF ＝∠PCE ，∠AFP ＝∠CEP .∵ 在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∴ AC ＝2+BC 2＝10.根据题意，得CP ＝t ＝5，∴ AP ＝AC －CP ＝5.∴ AP ＝CP .∴ △APF ≌△CPE(AAS).∴ AF ＝CE(2) AQ 2＋CE 2＝QE 2 连接FQ ，由(1)，知△APF ≌△CPE ，∴ AF ＝CE ，PE ＝PF.∵ EF ⊥PQ ，∴ QE ＝QF.在Rt △QAF 中，根据勾股定理，得AQ 2＋AF 2＝QF 2，∴ AQ 2＋CE 2＝QE 2 (3) 根据题意，得AQ ＝t ，CP ＝t ，∴ AP ＝AC －CP ＝10－t.∵ FQ 平分∠AFE ，∴ ∠AFQ ＝∠PFQ.∵ ∠FAQ ＝∠FPQ ＝90°，FQ ＝FQ ，∴ △FAQ ≌△FPQ(AAS)．∴ AQ ＝PQ ＝t ，AF ＝PF.∴ BQ ＝AB －AQ ＝6－t ，∠FAC ＝∠FPA.∵ ∠DAC ＝∠ACB ，∠APF ＝∠CPE ，∴ ∠ACB ＝∠CPE.∴ PE ＝CE.过点E 作EN ⊥AC 于点N ，∴ CN ＝12CP ＝12t ，∠CNE ＝90°＝∠ABC.∵ ∠NCE ＝∠BCA ，∴ △CNE ∽△CBA.∴ CECA ＝CNCB .∴ CE10＝12t 8.∴ CE ＝58t.∴ PE ＝58t ，BE ＝BC －CE ＝8－58t.∵ 在Rt △QPE 中，QE 2＝PQ 2＋PE 2；在Rt △BQE中，QE 2＝BQ 2＋BE 2，∴ PQ 2＋PE 2＝BQ 2＋BE 2.∴ t 2＋(58t)2＝(6－t)2＋(8−58t)2，解得t ＝5011.∴ CP ＝t ＝5011.∴ AP ＝10－CP ＝6011.∵ AD ∥BC ，∴ △APF ∽△CPE.∴ AF CE ＝APCP ＝60115011＝65 14、(1) ∵ 点M 在线段CQ 的垂直平分线上，∴ CM ＝MQ ＝t cm.∵ AB ∥CD ，即CM ∥BF ，∴ △ECM ∽△EBF.∴CM BF＝CE BE.∴CM 6＝8−68.∴ CM ＝32cm.∴ t ＝32、(2) 如图①，根据题意补全图形．当四边形PQNH 为矩形时，AP ＝2t cm ，MQ ＝t cm ，PH ＝QN.∵ ∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8 cm ，BC ＝BF ＝6 cm ，∴ AC ＝√AB 2+BC 2＝10 cm ，EF ＝√BF 2+BE 2＝10 cm.∵ PH ∥CB ，∴ △APH ∽△ACB.∴AP AC ＝PH CB.∴2t10＝PH 6.∴ PH＝65t cm.∵ CE ＝2 cm ，CM ＝32cm ，∴ EM ＝√EC 2+CM 2＝√4+94＝52(cm)．∴ FQ ＝FE －EM －MQ ＝(152−t)cm.∵ QN ∥BC ，∴ △FQN ∽△FEB.∴ FQ FE ＝QNEB .∴ 152−t 10＝QN 8.∴ QN ＝(6−45t)cm. ∵ PH ＝QN ，∴ 65t ＝6－45t.∴ t ＝3.∴ 当四边 形PQNH 为矩形时，t 的值为3(3) 过点Q 作QN ⊥AF 于点N ，由(2)，可知QN ＝(6−45t)cm.∵ PH ∥CB ，∴ △AHP ∽△ABC.∴ AH AB ＝AP AC .∴AH 8＝2t 10.∴ AH ＝85t cm.∵ 四边形QCGH 的面积S ＝S 梯形GMFH －S △CMQ －S △HFQ ，∴S ＝12×6×(8－85t ＋32＋6＋8－85t)－12×32×[6−(6−45t)]−12×(6－45t)(8－85t ＋6)＝－1625t 2＋15t ＋572(4) 存在 假设存在某一时刻t ，使点P 在∠AFE 的平分线上.如图②，连接PF ，延长AC 交EF 于点K.∵ AB ＝BE ＝8 cm ，BC ＝BF ＝6 cm ，AC ＝EF ＝10 cm ，∴ △ABC ≌△EBF(SSS)．∴ ∠CAB ＝∠E. 又∵ △ABC 与△EKC 的内角和均为180°，∠ACB ＝∠ECK ，∴ ∠ABC ＝∠EKC ＝90°.∵ S △CEM ＝12EC ·CM ＝12EM ·CK ，∴ CK ＝2×3252＝65cm.∵ PF 平分∠AFE ，PH ⊥AF ，PK ⊥EF ，∴ PH ＝PK.∴ 65t ＝10－2t ＋65.∴ t ＝72.∴ 假设成立．∴ 当t ＝72时，点P 在∠AFE 的平分线上15、(1) ∵ 抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴ －b2×(−12)＝－1.∴ b ＝－1.将C(0，4)代入y ＝－12x 2－x ＋c 中，得c ＝4，∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋4 (2) 存在 如图①，假设抛物线上存在点P 满足∠ABP ＝∠BCO.过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则在Rt △PEB 中，tan ∠ABP ＝PEBE .∵ 在Rt △BOC 中，tan ∠BCO ＝OBOC ，∴ PEBE ＝OBOC .∵ y ＝－12x 2－x ＋4，令y ＝0，得x 1＝－4，x 2＝2，∴ 点A(－4，0)，B(2，0).∴ OB ＝2.∵ 点C(0，4)，∴ OC ＝4.∴ PEBE ＝12.设点P (m ，−12m 2−m +4)，则PE ＝|－12m 2－m ＋4|，BE ＝2－m. ① 当点P 在x 轴上方时，−12m 2−m+42−m＝12，解得m 1＝－3，m 2＝2(不合题意，舍去)，此时点P 1(−3，52)；② 当点P 在x 轴下方时，12m 2+m−42−m＝12，解得m 1＝－5，m 2＝2(不合题意，舍去)，此时点P 2(−5，−72).综上所述，假设成立，点P 的坐标为(－3，52)或(－5，－72)(3) 如图②，作MF ⊥x 轴于点F ，交BP 于点R ，作MN ⊥BP 于点N.由(2)，得点A(－4，0)，B(2，0)，P (−3，52).设y BP ＝kx ＋b 1，将B(2，0)，P(－3，52)代入，得y BP ＝－12x ＋1.设点M (a ，−12a 2−a +4)，则点R(a ，－12a ＋1)，∴ MR ＝(−12a 2−a +4)－(－12a ＋1)＝−12a 2－12a ＋3.∵ ∠MNR ＝∠BFR ＝90°，∠NRM ＝∠FRB ，∴ △MNR ∽△BFR. ∴RN RF＝NM FR ，则RN NM ＝RF FB .∵ tan ∠ABP ＝12＝RF FB ＝RNNM ，则在Rt △MNR 中，RN ∶NM ∶MR ＝1∶2∶√5，∴ MN MR ＝√5＝2√55.∴ MN ＝－√55a 2－√55a ＋6√55＝－√55(a ＋12)2＋5√54，则当a ＝－12时，MN 最大，为5√54(4)12√10516、(1) 如图①，过点A 作AH ⊥BC 于点H.∵ AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴ BH ＝CH ＝4，∠B ＝∠C.∴ tan B ＝tan C ＝AH BH ＝34.∴ AH ＝3，AB ＝AC ＝√AH 2+BH 2＝√32+42＝5.∴ 当点P 在BC 上，PA ⊥BC 时，点P 到点A 的距离最短，最短距离为3(2) ∵ ∠APQ ＝∠B ，∴ PQ ∥BC.∴ △APQ ∽△ABC.∵ PQ 将△ABC 的面积分成上下4∶5的两部分，∴ S△APQ S △ABC＝(AP AB )2＝44+5.∴ AP AB ＝23.∴ AP ＝103.∴ PM ＝AP －AM ＝103－2＝43(3) 当0≤x ≤3时，如图①，过点P 作PJ ⊥CA 交CA 的延长线于点J.∵ PQ ∥BC ，∴ ∠AQP ＝∠C ，△APQ ∽△ABC.∴ APAB ＝PQBC .∴x+25＝PQ 8.∴ PQ ＝85(x ＋2)．∵ sin ∠AQP ＝sin C ＝35，∴ PJ ＝PQ ·sin ∠AQP ＝2425(x ＋2)．当3＜x ≤9时，如图②，过点P 作PJ ⊥AC 于点J ，则BP ＝x －3，PC ＝8－BP ＝11－x ，∴ PJ ＝PC ·sin C ＝(11－x)×35＝－35x ＋335.综上所述，点P 到直线AC 的距离PJ ＝{2425x +4825(0≤x ≤3)，−35x +335(3<x ≤9)(4) 点K 被扫描到的总时长为23秒解析：当1≤t ≤22或34≤t ≤36时，AQ ≥AK ，点K 会被扫描到．。

2019-2020学年九年级数学中考实际应用题综合强化训练（含答案）1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？2．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．3．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152530千克数404020（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？4．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？5．为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．（1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；（2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a 万元，请求出a的取值范围．6．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．7．某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．8．某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙每个商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？9．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？10．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）11．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？12．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？13．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg,售价是1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg,售价是2元/kg．（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？14．某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？15．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？16．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B 两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？17．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．2019-2020学年九年级数学中考实际应用题综合强化训练（含答案）1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元．，解得：，答：每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元．（2）当0≤x≤14时，y=2x；当x＞14时，y=14×2+（x﹣14）×3.5=3.5x﹣21，故所求函数关系式为：y=；（3）∵26＞14，∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21=69元，答：小英家5月份水费69吨．2．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【解答】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，解得：．答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：220a+190（8﹣a）≥1565，解得：a≥1.5，∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，∴A型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．3．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152530千克数404020（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？【解答】解：（1）根据题意得：=22（元/千克）．答：该什锦糖的单价是22元/千克；（2）设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果千克，根据题意得：≤20，解得：x≤20．答：加入丙种糖果20千克．4．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？【解答】解：（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b，则，解得．故函数关系式为y=﹣2x+112；（2）依题意有w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+324，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m千克，则≤30﹣5，解得：m≤1300．故一次进货最多只能是1300千克．5．为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．（1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；（2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a 万元，请求出a的取值范围．【解答】解：（1）设2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为x，根据题意，得：500（1+x）2=720，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍），答：2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为20%．（2）根据题意，得：×100%≤15%，解得：a≤828，又∵该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加故a的取值范围为720＜a≤828．少是226万元．6．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），整理得：5y2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；答：a的值为20．7．某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．【解答】解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5=8（万份）；答：品牌产销线2018年的销售量为8万份；（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；根据题意得：，解得：，或（不合题意，舍去），∴，∴2x=10%；答：B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%．8．某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙每个商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元．根据题意得：，解得：，答：甲商品的单价是每件100元，乙每件80元；（2）设甲进货x件，乙进货（100﹣x）件．根据题意得：，解得：48≤x≤50．又∵x是正整数，则x的正整数值是48或49或50，则有3种进货方案；（3）销售的利润w=100×10%x+80（100﹣x）×25%，即w=2000﹣10x，则当x取得最小值48时，w取得最大值，是2000﹣10×48=1520（元）．此时，乙进的件数是100﹣48=52（件）．答：当甲进48件，乙进52件时，最大的利润是1520元．9．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．依题意得：60m+24×=36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．∴m≥23．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．10．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）【解答】解：（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．11．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；（2）设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y=50x﹣1100，1随x的增大而增大，∵y1的最大值为50×100﹣1100=3900；∴当x=100时，y1当x＞100时，y=（50﹣）x﹣11002=﹣x2+70x﹣1100=﹣（x﹣175）2+5025，的最大值为5025，当x=175时，y25025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．12．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得=，解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a）辆，获利y 元，由题意，得y=a+（60﹣a），y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y 随a 的增大而减小．∴a=20时，y 最大=30000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．13．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？解：（1）设采摘黄瓜x 千克，采摘茄子y 千克，根据题意，得黄瓜的种植成本是1元/kg,售价是1.5元/kg ；茄子的种植成本是1.2元/kg,售价是2元/kg ．＋y＝40＋1.2y＝42．＝30＝10．答：采摘黄瓜30千克，采摘茄子10千克．（2）30×(1.5－1)＋10×(2－1.2)＝23（元）．答：采摘的黄瓜和茄子可赚23元．14．某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？【解答】解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成需要（x+5）天．依据题意可列方程：+=，解得：x1=10，x2=﹣3（舍去）．经检验：x=10是原方程的解．设甲队每天的工程费为y元．依据题意可列方程：6y+6（y﹣4000）=385200，解得：y=34100．甲队完成此项工程费用为34100×10=341000元．乙队完成此项工程费用为30100×15=451500元．答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．15．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，由题意，得，解得：，答：购买甲种树苗500棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，由题意，得100a≥200（600﹣a），解得：a≥400．答：至少应购买甲种树苗400棵16．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B 两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？【解答】解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据题意，得：，解得：，答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．（3）设购买A型号健身器材m套，根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，解得：m≥33，∵m为整数，∴m的最小值为34，答：A种型号健身器材至少要购买34套．17．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解答】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意，得：，解得：，答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，根据题意，得：W=5m+7（50﹣m）=﹣2m+350，∵﹣2＜0，。

沪科版九年级数学中考复习相似形强化训练（含答案）1.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G是△ABC的重心．求证：AD＝3DG.2.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.(1) 求证：△ABE∽△DFA；(2) 若AB＝6，BC＝4，求DF的长3.如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．(1) 求证：△ABF∽△FCE；(2) 若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长．4.如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2＝PB·PA，求证：AB⊥CD.5.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？6.如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A，B，DC是⊙O的切线，C是切点．已知∠D＝30°，DC＝√3.(1) 求证：△BOC∽△BCD；(2) 求△BCD的周长．7.如图，在△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在 AB ，BC ，AC 边上， DE ∥AC ，EF ∥AB. (1) 求证：△BDE ∽△EFC. (2) 设AFFC ＝12.① 若BC ＝12，求线段BE 的长；② 若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．8.如图①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′上一点，ADAB ＝A ′D ′A ′B ′. (1) 当CD C ′D′＝ACA ′C′＝AB A ′B ′时，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明的途径可以用如图②所示的框图表示，请填写其中的空格． (2) 当CDC ′D ′＝ACA ′C ′＝BCB ′C ′时，判断△ABC 与 △A ′B ′C ′是否相似，并说明理由.9.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝DF，AF的延长线交BC的延长线于点H，AE的延长线交DC的延长线于点G.(1) 求证：△AFD∽△GAD；(2) 如果DF2＝CF·CD，求证：BE＝CH.10.如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，D是AÊ上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F.(1) 求证：BC是⊙O的切线；(2) 若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF·DB.11.如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC，AB分别交于点D，E，DE∥OB，DC是⊙O的直径.连接OE，过点C作CG∥OE，交⊙O于点G，连接DG，EC，DG与EC交于点F.求证：(1) 直线AB与⊙O相切；(2) AE·DE＝AC·EF.12.如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D ＝30°.(1) 求证：CD是⊙O的切线．(2) 分别过A，B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E，F，过点C作AB的垂线，垂足为G.求证：CG2＝AE·BF.13.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H. (1) 求证：∠C＝∠AGD；(2) 已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．14.四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，F是射线BC上一动点(不与点B重合)，连接AF，交DE于点G.(1) 如图①，当F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE.(2) 如图②，当点F与点C重合时，求AG的长．(3) 在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点D从点B出发，沿边BA →AC以2 cm/s的速度向终点C运动，过点D作DE∥BC，交边AC(或AB)于点E.设点D的运动时间为t s，△CDE的面积为S cm2.(1) 当点D与点A重合时，求t的值；(2) 求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．16..如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F.(1) 若AD2＝DF·DB，求证：AD＝BF.(2) 若∠BAD＝90°，BE＝6.求：①tan ∠DBE的值；②DF的长．17.我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB＝ABAC， 那么称B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为√5−12. (1) 在图①中，若AC ＝20 cm ，则AB 的长为______________cm.(2) 如图②，用边长为 20 cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 再展开得折痕EF ，连接CE ，将 CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG.试说明：G 是AB 的黄金分割点．(3) 如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E(AE ＞DE)，连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF ，CB 交于点P . 他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E ，F 恰好分别是AD ，AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由．答案1.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G 是△ABC 的重心．求证：AD ＝3DG.证明：连接DE.∵ G 是△ABC 的重心，∴ E ，D 分别是AB 和BC 的中点．∴ DE 是△ABC 的中位线．∴ DE ∥AC ，且DE ＝12AC.∴ △DEG ∽△ACG.∴DE AC＝DG AG.∴ 12＝DG AG.∴DGAD＝13.∴ AD ＝3DG2.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为F. (1) 求证：△ABE ∽△DFA ；(2) 若AB ＝6，BC ＝4，求DF 的长证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，∠B ＝90°.∴ ∠AEB ＝∠DAF.∵ DF ⊥AE ，∴ ∠B ＝∠AFD ＝90°.∴ △ABE ∽△DFA(2) ∵ E 是BC 的中点，BC ＝4，∴ BE ＝12BC ＝2.∵ 在Rt △ABE 中，AB ＝6，∴ AE ＝√AB 2+BE 2＝2√10.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ＝4.∵ △ABE ∽△DFA ，∴ ABDF ＝AEDA .∴ DF ＝AB·DA AE＝65√103.如图，在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处．(1) 求证：△ABF ∽△FCE ；(2) 若AB ＝2√3，AD ＝4，求EC 的长．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°.∴ 在Rt △ECF 中，∠EFC ＋∠FEC ＝90°.∵ △AFE 由△ADE 翻折得到，∴ ∠D ＝∠AFE ＝90°.∴ ∠AFB ＋∠EFC ＝90°.∴ ∠AFB ＝∠FEC.∴ △ABF ∽△FCE(2) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ BC ＝AD ＝4.∵ △AFE 由△ADE 翻折得到，∴ AD ＝AF ＝4.∴ 在Rt △ABF 中，BF ＝√AF 2−AB 2＝2. ∴ CF ＝BC －BF ＝2.由(1)，得△ABF ∽△FCE ，∴ AB FC＝BFCE.∴2√32＝2EC，解得EC ＝2√334.如图，⊙O 的直径AB 交弦(不是直径)CD 于点P ，且PC 2＝PB · PA ，求证：AB ⊥CD.证明：如图，连接AC ，BD ，OC ，OD.∵ CB̂＝CB ̂，AD ̂＝AD ̂，∴ ∠A ＝∠PDB ，∠ACP ＝∠B.∴ △APC ∽△DPB.∴ PC ∶PB ＝PA ∶PD.∴ PC ·PD ＝PA ·PB.∵ PC 2＝PB ·PA ，∴ PC ＝PD.又∵ OC ＝OD ，∴ OP ⊥CD ，即AB ⊥CD5.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形零件的边长为x mm ，则KD ＝EF ＝x mm ，AK ＝(80－x)mm.∵ 四边形EGHF 为正方形，∴ EF ∥GH ，即EF ∥BC.∴ △AEF ∽△ABC.∴ AKAD ＝EFBC . ∴ 80−x 80＝x120，解得x ＝48.答：正方形零件的边长为48 mm6.如图，DB 过⊙O 的圆心，交⊙O 于点A ，B ，DC 是⊙O 的切线，C 是切点．已知∠D ＝30°，DC ＝√3.(1) 求证：△BOC ∽△BCD ； (2) 求△BCD 的周长．证明：(1) ∵ DC 是⊙O 的切线，∴ ∠OCD ＝90°.∵∠D ＝30°，∴ ∠BOC ＝∠D ＋∠OCD ＝30°＋90°＝120°.∵ OB ＝OC ，∴ ∠B ＝∠OCB ＝30°.∴ ∠OCB ＝∠D.又∵ ∠B ＝∠B ＝30°，∴ △BOC ∽△BCD(2) ∵ ∠OCD ＝90°，∠D ＝30°，DC ＝√3，∴ OB ＝OC ＝DC ·tan 30°＝1，OD ＝2OC ＝2.∵ ∠B ＝∠D ＝30°，∴ BC ＝DC ＝√3.∴ △BCD 的周长＝DC ＋BC ＋DB ＝√3+√3＋2＋1＝3＋2√37.如图，在△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在 AB ，BC ，AC 边上， DE ∥AC ，EF ∥AB. (1) 求证：△BDE ∽△EFC. (2) 设AFFC ＝12.① 若BC ＝12，求线段BE 的长；② 若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．证明：(1) ∵ DE ∥AC ，∴ ∠DEB ＝∠FCE.∵ EF ∥AB ，∴ ∠DBE ＝∠FEC. ∴ △BDE ∽△EFC (2) ① ∵ EF ∥AB ，∴BE EC＝AF FC＝12.∵ EC ＝BC －BE ＝12－BE ，∴BE12−BE＝12，解得BE ＝4② ∵ AFFC ＝12，∴ FCAC ＝23 .∵ EF ∥AB ，∴ △EFC ∽△BAC.∴ S△EFC S △ABC＝(FC AC )2＝(23)2＝49.∴ S △ABC＝94S △EFC ＝94×20＝458.如图①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′上一点，ADAB ＝A ′D ′A ′B ′. (1) 当CDC ′D ′＝ACA ′C ′＝ABA ′B ′时，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明的途径可以用如图②所示的框图表示，请填写其中的空格． (2) 当CD C ′D ′＝ACA ′C ′＝BC B ′C ′时，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由.(1) CD C ′D ′＝AC A ′C ′＝ADA ′D ′ ∠A ＝∠A ′(2) △ABC 与△A ′B ′C ′相似 理由：如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于点E ，D ′E ′交A ′C ′于点E ′.∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC.∴ AD AB ＝DE BC ＝AEAC .同理可证A ′D ′A ′B ′＝D ′E ′B ′C ′＝A ′E ′A ′C ′.∵ ADAB ＝A ′D ′A ′B ′，∴DE BC＝D ′E ′B ′C′，即DE D ′E′＝BCB ′C′.同理可证AEAC＝A ′E ′A ′C′.∴AC−AE AC＝A ′C ′−A ′E ′A ′C ′，即ECAC＝E ′C ′A ′C ′，即ECE ′C ′＝ACA ′C ′.∵ CDC ′D ′＝ACA ′C ′＝BCB ′C ′，∴ CDC ′D ′＝ECE ′C ′＝DED ′E ′ .∴ △DCE ∽△D ′C ′E ′.∴ ∠CED ＝∠C ′E ′D ′.∵ DE ∥BC ，∴ ∠CED ＋∠ACB ＝180°.同理可证∠C ′E ′D ′＋∠A ′C ′B ′＝180°，∴ ∠ACB ＝∠A ′C ′B ′.∵ ACA ′C ′＝CBC ′B ′，∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′.9.如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE ＝DF ，AF 的延长线交BC 的延长线于点H ，AE 的延长线交DC 的延长线于点G. (1) 求证：△AFD ∽△GAD ；(2) 如果DF 2＝CF ·CD ，求证：BE ＝CH.证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ∥CD ，AB ＝AD ，∠B ＝∠D.又∵ BE ＝DF ，∴ △ABE ≌△ADF(SAS)．∴ ∠BAE ＝∠DAF.∵ AB ∥CD ，∴ ∠G ＝∠BAE.∴ ∠DAF ＝∠G.又∵ ∠D ＝∠D ，∴ △AFD ∽△GAD (2) ∵ DF 2＝CF ·CD ，∴ CF DF＝DFCD.∵ 在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，即AD ∥CH ，∴ △HFC ∽△AFD.∴CF DF＝CHDA.∴CH AD＝DFCD.∵ AD ＝CD ，∴ CH ＝DF.∵ △ABE ≌△ADF ，∴ BE ＝DF.∴ BE ＝CH10.如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上一点，D 是AÊ上一点，连接AE 并延长至点C ，使∠CBE ＝∠BDE ，BD 与AE 交于点F. (1) 求证：BC 是⊙O 的切线；(2) 若BD 平分∠ABE ，求证：AD 2＝DF ·DB.证明：(1) ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠AEB ＝90°.∴ ∠EAB ＋∠EBA ＝90°.∵ ∠CBE ＝∠BDE ，∠BDE ＝∠EAB ，∴ ∠EAB ＝∠CBE.∴ ∠EBA ＋∠CBE ＝90°， 即∠ABC ＝90°.∴ CB ⊥AB.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ BC 是⊙O 的切线(2) ∵ BD 平分∠ABE ，∴ ∠DBA ＝∠DBE.∵ ∠DAF ＝∠DBE ，∴ ∠DAF ＝∠DBA.∵ ∠FDA ＝∠ADB ，∴ △ADF ∽△BDA.∴ ADBD ＝DFDA .∴ AD 2＝DF ·DB11.如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切于点C ，与AC ，AB 分别交于点D ，E ，DE ∥OB ，DC 是⊙O 的直径.连接OE ，过点C 作CG ∥OE ，交⊙O 于点G ，连接DG ，EC ，DG 与EC 交于点F.求证：(1) 直线AB 与⊙O 相切； (2) AE ·DE ＝AC ·EF.证明：(1) ∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠DEC ＝90°.∴ DE ⊥EC.∵ DE ∥OB ，∴ OB ⊥EC.∴ OB 垂直平分线段EC.∴ BE ＝BC ，OE ＝OC.∵ OB ＝OB ，∴ △OBE ≌△OBC(SSS).∴ ∠OEB ＝∠OCB.∵ BC 是⊙O 的切线，∴ OC ⊥BC.∴ ∠OCB ＝90°.∴ ∠OEB ＝90°.∴ OE ⊥AB.∵ OE 是⊙O 的半径，∴ AB 是⊙O 的切线(2) 连接EG.∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠DGC ＝90°.∴ CG ⊥DG.∵ CG ∥OE ，∴ OE ⊥DG.∴DE ̂＝EG ̂.∴ DE ＝EG.∵ AE ⊥OE ，DG ⊥OE ，∴ AE ∥DG.∴ ∠EAC ＝∠GDC.∵ ∠GDC ＝∠FEG ，∴ ∠EAC ＝∠FEG.∵ ∠ECA ＝∠FGE ，∴ △AEC ∽△EFG.∴AE EF＝AC EG.∵ EG ＝DE ，∴AE EF＝ACDE.∴ AE ·DE ＝AC ·EF12.如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，延长AB 到点D ， 使CD ＝CA ，且∠D ＝30°.(1) 求证：CD 是⊙O 的切线．(2) 分别过A ，B 两点作直线CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，过点C 作AB 的垂线，垂足为G.求证：CG 2＝AE ·BF.证明：(1) 连接OC.∵ CA ＝CD ，∠D ＝30°，∴ ∠CAD ＝∠D ＝30°.∵ OA ＝OC ，∴ ∠CAD ＝∠ACO ＝30°.∴ ∠COD ＝∠CAD ＋∠ACO ＝30°＋30°＝60°.∴ 在△OCD 中，∠OCD ＝180°－∠D －∠COD ＝180°－30°－60°＝90°.∴ OC ⊥CD.又∵ OC 是⊙O 的半径，∴ CD 是⊙O 的切线(2) ∵ ∠COB ＝60°，OC ＝OB ，∴ △OCB 为等边三角形．∴ ∠CBG ＝60°.∵ BF ⊥CD ，∠D ＝30°，∴ ∠FBD ＝60°.∴ ∠CBF ＝180°－∠CBG －∠FBD ＝60°.∴ ∠CBG ＝∠CBF.∵ BF ⊥CD ，BG ⊥CG ，∴ CF ＝CG.∵ AE ⊥CE ，∠D ＝30°，∴ ∠EAD ＝60°.∵ ∠CAD ＝30°，∴ ∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝30°.∴ ∠EAC ＝∠CAD.∵ CE ⊥AE ，CG ⊥AB ，∴ CE ＝CG.∵ CE ⊥AE ，BF ⊥CD ，∴ ∠AEC ＝∠CFB ＝90°.∵ 在Rt △CFB 中，∠FCB ＝90°－∠CBF ＝30°，∴ ∠EAC ＝∠FCB. ∴ △AEC ∽△CFB.∴ AECF ＝CEBF，即CF ·CE ＝AE ·BF.∴ CG 2＝AE ·BF13.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，AD 的延长线与过点B 的切线交于点C ，E 为线段AD 上的点，过点E 的弦FG ⊥AB 于点H. (1) 求证：∠C ＝∠AGD ； (2) 已知BC ＝6，CD ＝4，且CE ＝2AE ，求EF 的长．证明：(1) 如图，连接BD. ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°.∴ ∠DAB ＋∠ABD ＝90°.∵ BC 是⊙O 的切线，∴ ∠ABC ＝90°.∴ ∠C ＋∠CAB ＝90°.∴ ∠C ＝∠ABD.∵ AD̂＝AD ̂，∴ ∠AGD ＝∠ABD.∴ ∠C ＝∠AGD(2) 如图，连接AF ，BF.∵ ∠ABC ＝∠BDC ＝90°，∠C ＝∠C ，∴ △ABC ∽△BDC.∴ ACBC ＝BCDC ，即AC6＝64.∴ AC ＝9.∴ AB ＝√AC 2−BC 2＝3√5.∵ CE ＝2AE ，∴ AE ＝3，CE ＝6.∵ FH ⊥AB ，∴ ∠AHF ＝90°＝∠ABC.∴ FH ∥BC.∴ △AHE ∽△ABC.∴AHAB＝EH CB ＝AE AC ，即3√5＝EH 6＝39 .∴AH ＝√5，EH ＝2.∴ BH ＝2√5.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠AFB ＝90°.∴ ∠AFH ＋∠BFH ＝∠AFH ＋∠FAH ＝90°.∴ ∠FAH ＝∠BFH.∴ △AFH ∽△FBH.∴ FH BH＝AH FH，即2√5＝√5FH.∴ FH ＝√10.∴ EF ＝FH －EH ＝√10－214.四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，连接DE ，F 是射线BC 上一动点(不与点B 重合)，连接AF ，交DE 于点G.(1) 如图①，当F 是BC 边的中点时，求证：△ABF ≌△DAE. (2) 如图②，当点F 与点C 重合时，求AG 的长．(3) 在点F 运动的过程中，当线段BF 为何值时，AG ＝AE ？请说明理由．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠B ＝∠DAE ＝90°，AB ＝DA ＝BC.∵ E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴ AE ＝12AB ，BF ＝12BC.∴ BF ＝AE.∴ △ABF≌△DAE(SAS)(2) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝CD ＝2.∴ AC ＝√AD 2+CD 2＝√22+22＝2√2.∵ AB ∥CD ，∴ △AGE ∽△CGD.∴ AGCG ＝AECD ，即2√2−AG ＝12.∴ AG ＝2√23(3) 当BF ＝83时，AG ＝AE理由：如图，设AF 交CD 于点M.若使AG ＝AE ＝1，则∠1＝∠2.∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ∥CD ，∠ADM ＝90°.∴ ∠1＝∠4.又∵ ∠2＝∠3，∴ ∠3＝∠4.∴ DM ＝MG.在Rt △ADM 中，AM 2－DM 2＝AD 2，即(DM ＋1)2－DM 2＝22，解得DM ＝32.∴ CM ＝CD －DM ＝2－32＝12.∵ AB ∥CD ，∴ △ABF ∽△MCF.∴ BF CF ＝AB MC ，即BF BF−2＝212.∴ BF ＝83.因此当BF ＝83时，AG ＝AE.15.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点D 从点B 出发，沿边BA →AC 以2 cm/s 的速度向终点C 运动，过点D 作DE ∥BC ，交边AC(或AB)于点E.设点D 的运动时间为t s ，△CDE 的面积为S cm 2.(1) 当点D 与点A 重合时，求t 的值；(2) 求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．解：(1) ∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴ AB ＝√AC 2+BC 2＝√62+82＝10(cm).当点D 与点A 重合时，BD ＝AB ＝10 cm ，此时2t ＝10，∴ t ＝5(2) 显然，当t ＝0或t ＝8时，△CDE 不存在，不合题意．① 当0＜t ＜5时，点D 在AB 上，BD ＝2t cm.∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC. ∴DE BC＝AD AB＝AE AC.∴DE 8＝10−2t 10＝6−CE 6.∴ DE ＝40−8t 5cm ，CE ＝65t cm.∵ DE ∥BC ，∠ACB ＝90°，∴ DE ⊥AC.∴ ∠CED ＝90°.∴ S ＝12DE ·CE ＝12×40−8t 5×65t ＝－2425t 2＋245；② 当t ＝5时，点D 与点A 重合，△CDE 不存在，不合题意；③ 如图，当5＜t ＜8时，点D 在AC 上，AD ＝(2t －10)cm ，CD ＝AB ＋AC －2t ＝(16－2t)cm.∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ACB.∴DE CB＝AD AC.∴DE 8＝2t−106.∴ DE ＝8t−403cm.∵ DE ∥BC ，∠ACB ＝90°，∴ DE ⊥AC.∴ ∠CDE ＝90°.∴ S ＝12DE ·CD ＝12×8t−403×(16－2t)＝－83t 2＋1043t －3203. 综上所述，S关于t 的函数解析式为S ＝{−2425t 2+245t (0<t <5)，−83t 2+1043t −3203(5<t <8)16..如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，B ，C ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，AD ，BD 交AC 于点F.(1) 若AD 2＝DF ·DB ，求证：AD ＝BF. (2) 若∠BAD ＝90°，BE ＝6.求： ① tan ∠DBE 的值； ② DF 的长．证明：(1) ∵ AD 2＝DF ·DB ，∴ ADDB ＝DFAD .∵ ∠ADF ＝∠BDA ，∴ △ADF ∽△BDA.∴ ∠FAD ＝∠ABD.∵ △ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴ AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝∠CDE ＝60°.∴ ∠ACD ＝60°.∴ ∠ACD ＝∠BAF.∴ △ADC ≌△BFA(ASA)．∴ AD ＝BF(2) ① 过点D 作DG ⊥BE 于点G.∵ ∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，∴ ∠DAC ＝30°.∵ ∠ACD ＝60°，∴ ∠ADC ＝90°.∴ DC ＝12AC.∴ CE ＝12BC.∵ BE ＝6，∴ CE ＝2，BC ＝4.∴ CG ＝EG ＝1，BG ＝5.∴ DG ＝√3.∴ tan ∠DBE ＝DG BG＝√35② 在Rt △BDG 中，∵ ∠BGD ＝90°，DG ＝√3，BG ＝5，∴ BD ＝√DG 2+BG 2＝√(√3)2+52＝2√7.∵ ∠ABC ＝∠DCE ＝60°，∴ CD ∥AB.∴ △CDF ∽△ABF.∴ DF BF＝CD AB＝CE BC＝12.∴DFBD＝13.∴ DF ＝2√7317.我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BCAB ＝ABAC ， 那么称B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为√5−12. (1) 在图①中，若AC ＝20 cm ，则AB 的长为______________cm.(2) 如图②，用边长为 20 cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 再展开得折痕EF ，连接CE ，将 CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG.试说明：G 是AB 的黄金分割点．(3) 如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E(AE ＞DE)，连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF ，CB 交于点P . 他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E ，F 恰好分别是AD ，AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由．解：（1）(10√5－10)(2) 如图，延长CG ，DA 交于点J.∵ CG 是折痕，得∠BCG ＝∠ECG. ∵ 在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴ ∠J ＝∠BCG ＝∠ECG.∴ JE ＝CE.∵ EF 是折痕，∴ DE ＝AE ＝12AD ＝10 cm.∴ 在Rt △CDE 中，CE ＝√DE 2+CD 2＝10√5 cm.∴JE ＝10√5 cm.∴ AJ ＝JE －AE ＝(10√5－10)cm.∵ AJ ∥BC ，∴ △AGJ ∽△BGC.∴AG BG＝AJBC＝10√5−1020＝√5−12. ∴ G 是AB 的黄金分割点(3) 当BP ＝BC 时，满足题意理由：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ＝BC ＝AD ，∠BAE ＝∠CBF ＝90°，AD ∥BC ，即AE ∥BP .∴ BP ＝AB ＝AD.∵ BE ⊥CF ，∴ ∠ABE ＋∠CFB ＝90°.又∵ 在Rt △FBC 中，∠BCF ＋∠CFB ＝90°，∴ ∠BCF ＝∠ABE.∴ △BCF ≌△ABE(ASA)．∴ BF ＝AE.∴ AF ＝DE. ∵ AE ∥BP ，∴ △AEF ∽△BPF.∴ AE BP＝AF BF，即AEAD＝DE AE，BF AB＝AFBF.∴ E ，F 分别是AD ，AB 的黄金分割点．。

中考数学压轴题分类强化训练3-抛物线与圆CDEOAB重合，的等边△恰好与坐标系中的△1、如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2CDEABGGDECDE180°到△点也是现将△绕边，按顺时针方向旋转的中点的中点()1的位置。

C点的坐标；求 (1)1OA、C求经过三点的抛物线的解析式；、 (2)1GABBGxFBF求切线是以的切线与为直径的圆，过，点作⊙(3)如图③，⊙轴相交于点的解析式；S:S?16:3MM的坐标；请求出点使得．(4)抛物线上是否存在一点若存在，，OAB??AMF若不存在，请说明理由。

3)(3，解(1)C1 2:*#z@zste~p.c^om]来源xyax[b＝ (2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为＋0?2b4a??323?3a＝－＝C`(3，， )带入，得解得b，把A(2，0)?333b?9a?3??3232xyx－∴抛物线解析式为＝33 :~zzste^p.c@*#om]∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°[来源(3)0)，(－2又AB＝2 ∴AF＝4 ∴OF＝2 ∴F xy*~@#%][k中国教育出版网＋b 设直线BF的解析式为＝?3323b?k??3，＝解得k，0)2F(－，＝带入，得b B(1把，)?330??bk?2??332xy＝BF∴直线的解析式为＋33．2332xxxx) M(， (4)①当M在－轴上方时，存在33332112xx)]：[×2×4]＝16：3[中国×4×#@*(教育出－S△AMF：S△OAB＝[%~版网] 33222xxxx＝－2 ＝48＝0得，解得－2，－21338322yx]%网中@~国教育出#&版×4当4＝时，－×4＝＝；[1333 383232yx＝2 当时，－2)－×(－2)＝－＝×(13333388，2) ∴M(4，，M(－)21333232xxxx，M在M(－轴下方时，不存在，设点) ②当33323112xx)]：[×2×4]＝ S△AMF：S△OAB＝[－×4×16(：－3332222xxa c＜0 无实解 0，b－得4－28＋＝3883，)． (4 综上所述，存在点的坐标为M，，M(－2)21333）为圆心的圆与y轴相切于（2 ，2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；1．如果的面积是菱形ABCP面积的1）在（）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP（22存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最.短的路径的长．G．⊥P作PGBC于点，过点，1 解：（）联结PAPB，PC A，P∵⊙与y轴相切于点轴，A⊥yP∴3 2，，）（∵PZ*X*X*K]网*科*学来源[3 =PG=OA∴OG=AP=2，∴PB==2．PC =1．∴BG yBC=2．∴CG=1，OC=3．∴OB=1，PA3 1，0），C（3，0∴A（0），），B（GCOB x3)x?1)(x?y?a(根据题意设二次函数解析式为：，33(0?1)(0?3)a?，解得a∴．= 334323?xy??x∴二次函数的解析式为：333338，，0（，7），（3，0），（4，））的坐标为（（2）存在．点M334333222?)x?2x?x?x?3)3y??((x?43=，）∵（33333y3?，2∴抛物线的顶点Q （）．3PP'A3OBC-2，．）y作点P关于轴的对称点P'，则P'（x Q83 =P' Q'Q，则P Q是最短总路径，根据勾股定理，可得联结P'3P(2,3)PA?y轴yA Pxoy，以点3中，已知点作．如图，在直角坐标系交，过轴于点2?bx?cy?axxCB,PAP APBC三点．，轴于点经过，，抛物线为圆心为半径作⊙交，ABC的坐标；）求点，，（1（2）求出该抛物线的解析式；Q?BPQ ABCP面积的面积是（3）抛物线上是否存在点，使得四边形的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．PD?BCBCDP,1解：（）过交作于PD?OA?32PBPA???PC :由题意得,1CDBD??, ∴1OB?∴)3A(0,)),0C(3B(1,0 ,∴,)3)(x?y?a(x?1，则有（2）设该抛物线解析式为：3?a)33?a0(?1)(0?解之得33)x?3y?(x?1)(故该抛物线的解析式为3 3）存在（2?BD?1,BP??BDP?90∵,1BD???DBPcos∴2BP?60DBP??∴??60BPA?∴BPC?ABP?∴与都是等边三角形S2?S2S?∴BCP??ABPABCP四边形)(23,P)0B1(,，∵3?3x?yPB,两点的直线解析式为：∴过?y?b3x BPA平行的直线解析式为：则可设经过点且与13x?y?3?03??bb3?3且有解之得即11?33yx??7x?x?0???或得解方程组???333y8?y??y3)(x?)1(x????3?b3x?y?CBP且与也可设经过点平行的直线解析式为：23x??3??3y3b0?33?b3解之得即且有22?33?3x?y4x??3x???或解方程组得???3y?0y?3y?)(x?3)?(x1???3?Q(0,3),(7,83),(3,0),(4,3)∴．x32CB，，(3A0)，4．如图，在直角坐标系中，轴相交于点为圆心，以点为半径的圆与以ED，y轴相交于点与．12D，C c?x??bxyB是否在）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点1（3该抛物线上．PBD△P2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点的周长最小．，使得（QM，使得为（1（3）设）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点BCQMM是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．四边形yECBO A x32?AC∵?OA?3AB0)，，0)C(3∴3B(?3）1，, 解：，（DAODRt△3OA??23AD又在中，，223?OA∴OD??AD，3)(0?D∴的坐标为,C，D又两点在抛物线上，3?2c????3b???∴解得31??20?c??(33)33b??3?c?3??32123???xxy∴抛物线的解析式为：333?x?，?3B0)(0y?∴点当时，, 在抛物线上3121223∵?xy??x4?3)?x?( 2）（33332123x???yx?3x∴抛物线的对称轴方程为33PBD△P，使的周长最小．在抛物线的对称轴上存在点PBD△PDPB∴∵BD?周长最小只需最小．的长为定值要使PBD△DCDC周长最小的点．连结，则与对称轴的交点即为使y?mx?nDC．的解析式为设直线?33?n??3?m??DC?yx?3∴的解析式为,直线由得??3333m?n?0???n??3??3??yx?33?x??2)，-(3P3的坐标为,故点由得??2??y???3?x?3?x3，(t)Q M在抛物线上要使四边形3（为抛物线对称轴上一点，）存在，设BCQMBC∥QMBC?QMM在对称轴的左侧．且为平行四边形，则，点L∥BC M(x，t)Q作直线于是，过点与抛物线交于点m t?123?3?x3?QM4QM?BC,由，得从而m M(?，312)BCQM故在抛物线上存在点，使得四边形为平行四边形．。

2022年山东省泰安市岱岳区中考数学第三次模拟试题 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（ ）．A ．28B ．54C ．65D ．75 2、如图，OE 为AOB ∠的角平分线，30AOB ∠=︒，6OB =，点P ，C 分别为射线OE ，OB 上的动点，则PC PB +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，0)，B (3，0)，C 为平面内的动点，且满足·线○封○密○外∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为（ ）A ．1B ．2C 1D 14、如图，在ABC 中，D 是BC 延长线上一点，50B ∠=︒，80A ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒5、如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从左面、上面看到的形状图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6、下列结论正确的是（ ）AB 1C ．不等式（2x ＞1的解集是x ＞﹣（D7、如图，一个几何体是由六个大小相同且棱长为1的立方块组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．16B ．19C ．24D ．36 8、如图，AD 为O 的直径，8AD =，DAC ABC ∠=∠，则AC 的长度为（）A．B．C ．4 D．9、如图是一个运算程序，若x 的值为1-，则运算结果为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ． 4·线○封○密○外10、纳米（nm ）是非常小的长度单位，1nm 0.000000001m =．1nm 用科学记数法表示为（ ）A ．7110m -⨯B ．8110m -⨯C ．91m 10-⨯D ．10110m -⨯第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB 的值为______．2、如图，90,ACB AC BC ∠=︒=，D 为ABC 外一点，且,AD BD DE AC =⊥交CA 的延长线于E 点，若1,3AE ED ==，则BC =_______．3、已知2m a =，2n b =，m ，n 为正整数，则2m n +=______．4、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD 为12米时，球移动的水平距离PD 为9米．已知山坡PA 的坡度为1：2（即:AC PC ），洞口A 离点P 的水平距离PC 为12米，则小明这一杆球移动到洞口A 正上方时离洞口A 的距离AE 为______米．5、如图，在矩形ABCD 中，8AB =cm ，6BC =cm ．动点P 、Q 分别从点A 、C 以1cm/s 的速度同时出发．动点P 沿AB 向终点B 运动，动点Q 沿CD 向终点D 运动，连结PQ 交对角线AC 于点O ．设点P 的运动时间为()s t ． （1）当四边形APQD 是矩形时，t 的值为______． （2）当四边形APCQ 是菱形时，t 的值为______．（3）当APO △是等腰三角形时，t 的值为______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y （个）与销售单价x （元/个）之间的函数关系如图所示． (1)求y 与x 的表达式并写出自变量的取值范围； (2)要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？2、按下列要求画图： ·线○封○密○外(1)如图1，已知三点A ，B ，C ，画直线AB ，射线AC ；(2)如图2.已知线段a ，b ，作一条线段MN ，使2MN a b =-（尺规作图，保留作图痕迹）．3、已知，如图，AD BE ∥，C 为BE 上一点，CD 与AE 相交于点F ，连接AC ．12∠=∠，34∠=∠．（1）求证：AB CD ∥；（2）已知12cm AE =，5cm AB =，13cm =BE ，求AC 的长度．4、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，ABO 和CBO 关于y 轴对称，且32ABC A ∠=∠，(1)如图1，求ABO ∠的度数；(2)如图2，点P 为线段AB 延长线上一点，PD BC 交x 轴于点D ，设15OA OD t ==，点P 的横坐标为d ，求d 与t 之间的数量关系；(3)如图3，在（2）的条件下，点E为x轴上一点，连接PE交y轴于点F，且12APE APD ∠=∠，PBFS =FP的延长线上取一点Q，使PQ AE=，求点Q的横坐标．5、如图，直线3y x=-+与反比例函数()2=>y xx的图象交于A，B两点．(1)求点A，B的坐标；(2)如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若45AOE∠=︒，求AEEC的值；(3)如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数()2=>y xx的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于2m，求m的值．-参考答案-一、单选题·线○封○密○外1、B【解析】【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x，则上面的数是x-7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x，让选项等于3x列方程．解方程即可【详解】设中间的数是x，则上面的数是x-7，下面的数是x+7，则这三个数的和是（x-7）+x+（x+7）=3x，∴3x=28，解得：283x=不是整数，故选项A不是；∴3x=54，解得：18x=，中间的数是18，则上面的数是11，下面的数是28，故选项B是；∴3x=65，解得：653x=不是整数，故选项C不是；∴3x=75，解得：25x=，中间的数是25，则上面的数是18，下面的数是32，日历中没有32，故选项D 不是；所以这三个数的和可能为54，故选B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和的特点． 2、A 【解析】 【分析】 过点B 作BD ⊥OA 于D ，交OE 于P ，过P 作PC ⊥OB 于C ，此时PC PB +的值最小，根据角平分线的性质得到，PD=PC ，由此得到PC PB +=BD ，利用直角三角形30度角的性质得到BD 的长，即可得到答案． 【详解】 解：过点B 作BD ⊥OA 于D ，交OE 于P ，过P 作PC ⊥OB 于C ，此时PC PB +的值最小， ∵OE 为AOB ∠的角平分线，PD ⊥OA ，PC ⊥OB ， ∴PD=PC ， ∴PC PB +=BD ， ∵30AOB ∠=︒，6OB =， ∴132BD OB ==， 故选：A ． ·线○封○密·○外【点睛】此题考查了角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，最短路径问题，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．3、C【解析】【分析】取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．【详解】解：取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D，∵点A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3，∴OE=2，∴ED∵∠ACB=90°，∴点C 在以AB 为直径的圆上，∴线段CD−1．故选：C ．【点睛】本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定C ，D 两点的位置是解题的关键． 4、B 【解析】 【分析】 根据三角形外角的性质可直接进行求解． 【详解】 解：∵50B ∠=︒，80A ∠=︒， ∴130ACD A B ∠=∠+∠=︒； 故选B ． 【点睛】 本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 5、C 【解析】 【分析】 根据从左面看到的形状图，可得该几何体由2层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，3列，从而得到上层至少1块，底层2行至少有3+1=4块，即可求解． 【详解】 解：根据从左面看到的形状图，可得该几何体由2层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，3·线·○封○密○外列，所以上层至少1块，底层2行至少有3+1=4块，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是1+4=5块．故选：C【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）从正面看：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）从左面看：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）从上面看：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．6、D【解析】【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：A A不符合题意．B、原式＝|1﹣1，故B不符合题意．C、∵（2x＞1，∴x∴x＜﹣2C不符合题意．D D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型．7、C【解析】【分析】分别求出各视图的面积，故可求出表面积． 【详解】 由图可得图形的正视图面积为4，左视图面积为 3，俯视图的面积为5 故表面积为2×（4+3+5）=24 故选C ． 【点睛】 此题主要考查三视图的求解与表面积。

题型三方程应用类型二分式方程（专题训练）1．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（）A．40030050x x=-B．30040050x x=-C．40030050x x=+D．30040050x x=+2．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（）A．2x1x x3+=+B．23x x3=+C．11x221x x3x3-⎛⎫+⨯+=⎪++⎝⎭D．1x1x x3+=+3．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x表示（）A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量4.（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（）A．1600010010x x+=-B．10000600010010x x-=+C．10000600010010x x=--D．10000600010010x x-=-5．（山东省淄博市2021年中考数学试题）甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/hx，则下列方程中正确的是（）A．1010121.2x x-=B．10100.21.2x x-=C．1010121.2x x-=D．10100.21.2x x-=6.（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得（ ） A ．400x−30=500xB ．400x=500x+30C ．400x=500x−30D ．400x+30=500x7.（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．3（x ﹣1）=6210xB ．6210x−1=3C ．3x ﹣1=6210xD ．6210x=38.（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x 件，根据题意可列方程为（ ） A ．3000x =4200x−80 B ．3000x +80=4200xC ．4200x=3000x−80D ．3000x=4200x+809.（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．80(1+35%)x −80x=40 B ．80(1+35%)x−80x=40 C ．80x−80(1+35%)x=40 D ．80x−80(1+35%)x=4010.（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？11.（2021·山东东营市·中考真题）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为________．12.（2021·辽宁本溪市·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．13．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．14.（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．15.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．16.（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．17.（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？18.（2021·辽宁丹东市·中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？19．（2021·江苏徐州市·中考真题）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？20.（2021·江苏常州市·中考真题）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？21.（2021·吉林长春市·中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？22.（2021·辽宁营口市·中考真题）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？23.（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？24.（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍． （1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．25.（2020•广东）某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米．建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．26.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？。