弹性压杆的大变形分析_李银山

屈曲梁Workbench仿真与试验分析李爱民【摘要】研究弹性直梁在受轴向力作用下大变形非线性屈曲分析的方法,并对两端固支的梁进行非线性屈曲分析与仿真实验.根据材料力学,当此弹性直梁所受轴向力大于某一临界值时,梁才会产生大变形,即成为后屈曲梁.直接建立了此后屈曲梁的数学模型,推导出梁受轴向力的理论公式,用椭圆积分法以MATLAB编程求解数学模型,得出其非线性屈曲特征曲线.在AnsysWorkbench中建立相对应的模型,添加相应的边界条件,对其进行非线性屈曲分析.通过实验与理论计算和仿真数据进行对比,验证理论计算的正确性.并且发现随着轴向力的改变,弹性直梁的刚度也是可变的.而对梁屈曲等特性的分析研究,在减振、工业建筑领域方面的应用提供理论依据.【期刊名称】《实验室研究与探索》【年(卷),期】2018(037)005【总页数】5页(P95-99)【关键词】大变形;非线性屈曲;椭圆积分;Workbench仿真;变刚度【作者】李爱民【作者单位】江苏建筑职业技术学院机电工程学院,江苏徐州221116【正文语种】中文【中图分类】O343;TH1220 引言弹性直梁的平衡和稳定性问题起源于1730年Daniel Bernoulli和Euler的工作[1]，即最经典的欧拉-伯努利梁，在材料力学中有具体的阐述[2-3]。

但是，欧拉-伯努利方程只是针对梁的小变形进行分析。

随着技术的发展，人们开始对梁大变形进行研究，如梁的平面大变形的椭圆解[4-5]，在研究梁大挠度的过程中，梁屈曲稳定有一定的临界值，即前屈曲过渡到后屈曲，实际运用中，需要推导出不同约束条件下屈曲的临界值[6]，进而对其大挠度进行求解[7-8]。

国外早已对受轴向压缩的梁进行研究，如文献[9-10]中对受轴向力屈曲梁的稳态性探究，而大多数是对梁在横向力作用下特性的研究分析[11] 。

赵剑[12-13]则利用屈曲的跳跃特性设计出加速度开关等。

随着研究的进一步深入，对弹性直梁的研究不仅局限于对其力学性能的分析，而是在力学的基础上发现它的刚度可变以及振动特性[14-17]。

理论力学中的杆件的变形分析杆件在力学中扮演着重要的角色，广泛应用于各种工程领域。

在理论力学中，对于杆件的变形进行分析是十分重要的，它能帮助工程师和设计师预测和评估结构的性能和可靠性。

本文将介绍杆件的变形分析的基本原理和方法。

1. 弹性变形杆件受到外力作用时，会发生弹性变形。

在弹性变形情况下，杆件会迅速恢复到未受力状态，且不会发生永久形变。

弹性变形是基于胡克定律，即应力与应变成正比。

根据胡克定律，可以得到杆件的弹性形变的方程。

2. 杆件的拉伸和压缩当杆件受到拉伸或压缩作用时，会发生轴向变形。

在理论力学中，我们可以使用材料力学的知识来分析杆件的轴向变形。

拉伸和压缩是杆件最常见的变形形式，例如，建筑物的柱子或者桥梁的支撑杆件都会经历拉伸或压缩。

3. 杆件的弯曲当杆件受到弯曲力矩作用时，会发生弯曲变形。

弯曲是指杆件在垂直于其长度方向上发生形状改变。

在理论力学中，我们可以使用梁的理论来分析杆件的弯曲变形。

通过应力和应变的关系以及几何形状的考虑，可以计算出杆件在弯曲过程中的变形情况。

4. 杆件的扭转当杆件受到扭矩作用时，会发生扭转变形。

扭转是指杆件在一个固定的截面上，某一段杆件相对于其他段发生旋转。

通过扭转变形分析，我们可以计算出杆件在扭转过程中的变形情况。

杆件的变形分析对于在工程设计过程中非常重要。

通过对杆件的变形情况进行准确的分析，可以帮助工程师和设计师了解结构的性能和可靠性。

此外，在设计过程中，合理地选择材料和截面形状也是非常关键的，因为不同的材料和截面形状会直接影响杆件的变形情况。

总之，理论力学中的杆件的变形分析是一个复杂但重要的领域。

它涉及到弹性变形、拉伸和压缩、弯曲和扭转等不同类型的变形。

通过对杆件变形进行准确的分析，可以帮助工程师预测结构的行为，并确保结构的性能和安全性。

对于工程设计和结构优化来说，杆件的变形分析是一项必不可少的工作。

河北工业大学学报JOURNAL OF HEBEI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY第40卷第5期V ol.40No.52011年10月October 2011文章编号：1007-2373(2011)05-0031-05弹性压杆的大变形分析李银山，刘波，潘文波，侯书军（河北工业大学机械工程学院，天津300130）摘要建立了弹性压杆大变形的数学模型，采用Maple 编程求解了该数学模型，并对细长柔韧压杆弹性失稳后挠曲线形状进行了计算机仿真．分析计算了失稳后屈曲的力学特征，给出了解析表达式；分析计算了失稳后屈曲的平衡状态曲线的几何特征，给出了计算机仿真曲线．关键词细长弹性杆；大变形；分岔；Maple 中图分类号O343.9文献标志码AAnalysis of large deflection of flexible compression barsLI Yin-shan ，LIU Bo ，PAN Wen-bo ，HOU Shu-jun(School of Mechanical Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China )Abstract A mathematical model for large deflection of flexible bars is founded and then solved via Maple programming.The shape of the deflection curve of the slender flexible bar after buckling is given through computer simulation.Mech-anical character of instability after buckling is then analyzed and computed for its analytical expression;meanwhile,the curve's geometry in equilibrium case after buckling is also analyzed and computed for its simulated curve.Key wordsslender flexible bar;large deflection;bifurcation;Maple弹性细杆的平衡和稳定性问题起源于1730年Daniel Bernoulli 和Euler 的工作．弹性细杆的平衡和稳定性问题有着广泛的应用背景，如海底电缆和钻杆．由于在分子生物学中将弹性杆作为DNA 等生物大分子链的力学模型，这一经典力学问题在近30年内又重新引起注意[1-2]．2010年全国大学生数学建模邀请赛赛题，实质上就是一个细长弹性压杆大变形问题．本文采用Maple 对该问题给出了详细解答和计算机仿真．问题：对于某一均匀圆柱形细长弹性棒长为）的轴向压力．实验表明，当且仅当1时，棒才会发生弯曲．这个力=1时，棒的平衡状态如示意图1所示：棒的两个端点重合（假设棒仍处在弹性限度之内）．试建立数学模型来验证实验的结果．并且完成以下任务：I ）计算力学特征(i )临界力2/=//(单位：°)．1弹性压杆大变形的力学特征分析以一端固定并在自由端作用集中力超过临界压力时，杆件将发生大挠度弯曲变形．由弯曲理论知，曲率1=，曲率1的精确表达式是1=d，式收稿日期：2011-04-18基金项目：国家自然科学基金（10872063）作者简介：李银山（1961-），男（汉族），教授．图1两端弹性杆受压变形成封闭曲线Fig.1A closed deflection curve of a compressedflexible bar in free-freecase32河北工业大学学报第40卷中：算起的曲线长度；轴的夹角．负号是因为在图2所示情况下，的增加而减小．mn 截面上的弯矩则为，因此杆的平衡方程为d+2=È¡µ¼Êý£¬ÓÉÓÚd=sin2+=0(2)压杆在自由端的边界条件，ｄ|=0,=|=Ϊ2s i n2=sin£¬Ê¹sinsin=1=1£¬Çó³öÖµ£®¸ù¾Ý£¬ºÍ2sin2=2（7）这也就是压杆的临界压力．以上结果表明，当压杆刚开始失稳时，弯曲变形很小，欧拉公式是足够精确的．由式(6)和式(7)得到=42(8a)Óë±ÈÖµ之非线性关系见图3．表1中列出了最大转角/±È212sin2=2(9a )图2一端固定一端自由的理想弹性压杆的大变形示意图Fig.2A schematic diagram of large deflectionof an ideal compressed flexible barin fixed-freecase33李银山，等：弹性压杆的大变形分析第5期ｄ（９ｂ）其中挠度=42(10a)范围内的任一给定的与与=>=0的分支上平衡是不稳定的，而在另两个分支上平衡是稳定的．这两个分支完全是对称的，但实际上的平衡只能是沿着某一分支实现，并不具有对称性．该图揭示了系统平衡对参数之下判断平衡是否稳定，更不能只限于探求临界载荷变化的整个平衡路径（平衡路径又常称为平衡解曲线，或简称为解曲线）．在解曲线上发生分岔的点具有特殊的地位，如图3b)中的与比值，之间的关系．图3载荷比值与自由端位移之关系Fig.3Relation between the force ratio and the displacement at free enda)转角/之关系b)载荷比值与挠度值关系c)载荷与轴向位移之关系１．００．８０．６０．４０．２０－０．２－０．４－０．６－０．８－１．０１２３４５／／／１．００．８０．６０．４０．２０－０．２－０．４－０．６２０４０６０８０１００１２０１４０１６０１８０１．００．８０．６０．４０．２０－０．２－０．４－０．６－０．８－１－０．６－０．４－０．２００．２０．４０．６０．８１．０／34河北工业大学学报第40卷讨论竞赛问题I ，由于对称性，取一半杆长1=2．棒的两个端点重合时21=2.183．2柔韧压杆挠曲线封闭时平衡状态曲线的几何特征由dcos=d，dd2cos可以得d12sin 212sin2d=sin(11b )积分式(11)，得到２d212sin22d=1(13a)cos=(14a )(14b )并注意到式(10)和式(13)得到２，，（１５ａ）１ａｒｃｓｉｎ（１５ｃ）（１５ｄ）变动=2/0°1.000 1.000010° 1.0040.9920.0553820° 1.0150.9700.219430°1.0350.9320.324040° 1.0630.88100.422450° 1.1020.8170.312660° 1.1520.7400.593470° 1.2140.6550.662680°1.2940.55900.719490° 1.3930.4570.7625100° 1.5190.3480.7914110° 1.6780.2370.8052113.7°1.7490.19470.8063120° 1.8830.12300.8032130°2.1600.00800.7848130.7° 2.183000.7832140° 2.540-0.10740.7504150°3.104-0.22260.6980160°4.029-0.34040.6246170°5.948-0.47120.520180°35李银山，等：弹性压杆的大变形分析第5期根据=130.7°，=0.9089，=2.183，=0.3916．当==130.7°，＝２．１８３；而达到最大挠度时/=sin =arcsinsin．>z [i ]:=sin (phi [i ]):#．>K [i ]:=EllipticK (p [i ]):#第1类完全椭圆积分．>KK [i ]:=EllipticF (z [i ],p [i ]):#第1类椭圆积分．>E [i ]:=EllipticE (p [i ]):#第2类完全椭圆积分．>EE [i ]:=EllipticE (z [i ],p [i ]):#第2类椭圆积分．>u [i ]:=1/K [i ]*(2*EE [i ]-KK [i ]):#轴向位移值．>v [i ]:=2*p [i ]/K [i ]*(1-cos (phi [i ])):#挠度值．>od:#仿真循环结束．>plot ([seq ([v [i ],u [i ],theta =0..Pi ],i=1..8)]);#仿真曲线绘图．参考文献：[1]Manning R S ，Hoffman K A ．Stability of n-covered circles for an elastic rod with planar intrinsic curvature [J ]．Journal of Elasticity ，2001，62（1）：1-23．[2]刘延柱．弹性杆基因模型的力学问题[J ]．力学与实践，2003，25（1）：1．[3]李银山．Maple 材料力学[M ]．北京：机械工业出版社，2009．[4]刘鸿文．高等材料力学[M ]．北京：高等教育出版社，1985．[5]武际可，苏先樾.弹性系统的稳定性[M ]．北京：科学出版社，1994．[6]王晓艳，苏飞，张铮．弹性杆的大变形分析及全国数模大赛题的解答[J ]．力学与实践，2010，32（6）：945．[7]李银山．Maple 理论力学[M ]．北京：机械工业出版社，2006．[8]李银山，张明路，罗利军，等．回转窑两圆柱体任意交叉角接触压力系数计算[J ]．河北工业大学学报，2006，35（1）：1．［责任编辑张颖志］图7细长柔韧压杆弹性失稳后达到最大挠度时的挠曲线形状仿真Fig.7simulation of the shape of the maximum deflectioncurve of the slender flexible bar after bucklingin free-free case0.30.20.10-0.1-0.2-0.30.20.40.6。

《材料力学》课程中杆件内力与变形计算的Matlab实现李春锋;蒲兴龙;于彬;杨旭辉;王丽【摘要】杆件的内力与变形计算是材料力学课程教学的主要任务之一，其确定往往涉及较大的计算量，学生在学习中易形成重计算而轻力学原理与力学思想的学习观念。

将Matlab科学计算软件引入材料力学课程，将杆件内力与变形中比较繁杂的数学运算由计算机完成，一方面能使学生将大量时间用于掌握力学原理和力学思想，提高教学质量和教学效果，另一方面对培养学生用计算机解决问题与创新能力的提高有着积极的推动作用，为相关力学类课程的教学与学习提供一些参考。

%Internal forces and deformation calculation of the prismatic bar is one of the main tasks of mechanics of materials,and its calculation often takes much time. Hence, many students spend much time learning the calculation but neglect the learning of the mechanical calculation principle and mechanics. However, there’re solutions of putting the Matlab scientific computing software into the material mechanics course and making more complex mathematical operations done by the computer on internal forces and deformation calculation, which enable students to focus on the principles of mechanics and mechanical thinking,which also improve teaching quality and teaching effectiveness. In addition, students are promoted to use computers actively to solve problems and to improve their innovation capability. And the solutions also provide some reference for the teaching and learning of other mechanics courses.【期刊名称】《河西学院学报》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】12页(P55-65,9)【关键词】材料力学;内力;变形;Matlab;计算【作者】李春锋;蒲兴龙;于彬;杨旭辉;王丽【作者单位】河西学院土木工程学院，甘肃张掖734000;河西学院土木工程学院，甘肃张掖 734000;河西学院土木工程学院，甘肃张掖 734000;河西学院土木工程学院，甘肃张掖 734000;河西学院土木工程学院，甘肃张掖 734000【正文语种】中文【中图分类】O3材料力学课程是土木、机械等专业的核心基础课程，传统力学类课程教学及学习过程中经常要面对大量而繁杂的数学计算，使得教学、学习过程中容易产生重计算而轻视或忽略力学模型的建立及力学原理的学习，其已经暴露出许多不尽如人意的方面，国内很多理工科院校在材料力学课程的教学中进行了较多的探讨与研究.将计算机技术与现代数值计算方法引入材料力学课程的教学，给力学类课程的教学提供了新的教学视野，对提高教学质量，加强学生力学建模与力学原理思想及培养学生创新思维提供了积极的因素.Matlab软件以其强大的计算与图形仿真能力正逐渐成为理工科大学本科生、硕士生、博士生必需掌握的基本技能之一，国内很多学者已将其引入到力学类课程教学中并取得了丰富的成果.罗义银、邓旭辉等［1-4］通过运用Matlab来分析运动学、动力学问题来讲述Matlab在理论力学教学中的运用，李银山［5-6］将 Maple软件作为学习理论力学、材料力学的工具，并将之编写为教材，王玉山等［7］介绍了Matlab在材料力学超静定问题求解及梁变形可视化中的应用，张宁等［8］利用Simmechanics对曲柄连杆机构进行了运动学和动力学仿真，敖文刚［9］利用Matlab设计了虚拟实验可视化用户界面，可将分析结果以曲线动画和表格表达出来.内力与变形计算是《材料力学》课程教学的重要内容，采用Matlab软件进行较为系统的构件、简单结构内力与变形计算的研究还不是很多，较系统的对材料力学课程中的拉压、扭转、弯曲及梁的剪力与弯矩问题进行计算机分析仿真，并利用Matlab自身强大的数据图形处理能力对分析结果以图形输出，使学生能在课堂上直观了解工程实际问题的处理过程，既可提高学生的学习兴趣，又可增强学生对工程实际的感性认识和解决工程问题的能力，对《材料力学》课程的教学方法改革将有着重要的补充意义.1.1 静定问题1.1.1 拉（压）杆件计算的Matlab仿真（1）计算方法拉压杆的内力与应力计算是《材料力学》课程四种基本计算内容之一.对于常见的杆系结构，其求解往往涉及线性方程组的求解，耗时耗力.运用Matlab软件只需针对所建立力学模型列出方程（组），运用Matlab软件下的solve命令即可得到结果.其计算的基本思路可概括如下：①确定荷载；②画受力分析图；③静力平衡方程，求解.（2）举例与Matlab仿真计算例题1：如图1所示，实心圆钢杆AB和AC在点A铰接连接，在A点作用有铅垂向下的力F= 35KN.已知杆AB和AC的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，钢的弹性模量E=210Gpa.试求各杆轴力及A点的铅垂位移.Matlab程序：%考虑节点位移问题；以水平向右为X正方向1.1.2 等直圆杆的扭转计算与Matlab仿真（1）计算方法等直圆杆扭转时的应力计算，需要先从变形几何方面和物理方面两方面确定切应力在横截面上的分布规律，然后再考虑静力平衡进行求解.几何方面通过一点处切应变随该点在横截面上的位置变化而变化的规律，通过下面公式计算.在物理方面，由剪切胡克定律可知，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比计算，即在静力学方面，由合力矩原理可得扭矩T.结合三方面便可算出等直圆杆在扭转时的切应力.其计算的基本思路可概括为：①确定作用在圆杆上的外力偶；②列静力平衡方程；③求解并画扭矩图.（2）举例与Matlab仿真计算例题2：一传动轴如图2所示，其转速n=300r/min，主动轮输入的功率P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW，P3=150kW及P4=200kW，试做轴的扭矩图.运行结果：如图2所示.1.1.3 静定梁的计算与仿真（1）计算方法梁截面内力求解的基本方法是截面法，工程常根据梁截面内力图以确定梁构件的配筋计算图，依据所绘制梁的内力图，一方面可直观地确定出梁的“危险点”、“危险截面”.另一方面是完成梁的截面尺寸设计和强度、刚度校核的关键环节.其计算的基本思路可概括如下：①计算支座约束力；②建立剪力函数（剪力的单位kN）；③建立弯矩函数（弯矩的单位kN·m）；④绘制剪力图；⑤绘制弯矩图；（2）举例与Matlab仿真计算例题3：已知简支梁上均布荷载与力偶共同作用时，Me=4KN.m，q=0.2KN/m，l=10m，b=2m，绘制其剪力及弯矩图，计算简图如图3所示.运行结果：如图3所示.1.2 超静定问题1.2.1 拉（压）杆件超静定问题计算与Matlab仿真（1）计算方法实际工程中，大多数杆件结构为超静定结构，其特点是未知力的数目多于独立静力平衡方程的数目，在计算时首先要确定体系的超静定次数，根据变形协调条件，得出补充方程，再依据平衡条件求出未知力，最后得到结构体系的内力图，计算思路简单，但计算量非常之大.其常用基本计算思路可概括如下：①确定荷载；②画受力分析图，确定超静定次数并列静力平衡方程；③建立杆件的变形方程（几何关系）；④建立物理方程（力与变形之间的关系）；⑤求解.（2）举例与Matlab仿真计算例题4：如图4所示，支架承受荷载F=10KN，1、2、3各干由同一材料制成，其横截面积分别为A1=100mm2，A2=150mm2和A3=200mm2.试求各杆轴力.1.2.2 扭转超静定计算与Matlab仿真（1）计算方法扭转变形是结构体系中杆件的基本变形之一，工程中的大部分构件在正常工作阶段需考虑其扭转效应，扭转超静定问题比简单的扭转问题更为复杂，需要考虑杆件在扭转时的几何条件、物理条件，然后联合求解.其计算的基本思路可概括如下：①确定荷载；②画受力分析图，确定超静定次数并列静力平衡方程；③建立杆件的变形方程（几何关系）；④建立物理方程（力与变形之间的关系）；⑤联合求解.（2）举例与Matlab仿真计算例题5：如图5所示，圆截面杆AC的直径d1=100mm，A端固定，在截面B承受外力偶矩Me= 7kN.m，截面C的上、下两点处的直径均为d2=20mm的圆杆EF、GH铰接.已知各杆件材料相同，弹性常数间的关系为G=0.4E.试求杆AC的最大切应力.Matlab程序：%考虑杆件的扭转问题1.2.3 简单超静定梁的计算与Matlab仿真（1）计算方法在超静定梁的计算中，需要运用变形计算法来对其求解，确定超静定次数是解决此问题的首要条件，超静定次数决定了补充方程的个数，将梁所受的约束去掉加为未知力，根据叠加原理求解此问题.其解决思路可概括如下：①确定超静定次数；②确定静定基（去约束，加未知力）；③建立补充方程（变形条件）；④联合静力方程求解；⑤绘制内力图.（2）举例与Matlab仿真计算例题6：如图6所示，矩形梁AB受到均布荷载q=5kN/m的作用，其梁的截面尺寸为b=250mm，h=500mm，梁的跨度为l=6m，弹性模量E=210Gpa.绘制梁的内力图.2.1 拉（压）杆件的变形计算与Matlab仿真（1）计算方法拉压杆件的变形计算主要以轴向变形与横向变形为主，其主要计算思路可概括如下：①确定荷载，用截面法确定杆件的轴力.②由于材料力学范围内主要讨论线弹性范围内变形，故广义胡克定律成立，可用下述公式来计算出轴线方向的变形.③由所求的轴向变形根据泊松比即可计算出杆件在拉压时的横向变形.（2）举例与Matlab仿真计算例题7：图7所示结构中AB为水平放置的刚性杆，杆1、2、3材料相同，其弹性模量为E= 210Gpa，已知l=1m，A1=A2=A3=100mm2，F=20kN.求C点的水平位移与铅垂位移.解题思路：设图示中各杆件受拉为正，C点因各杆变形而引起X方向位移，Y方向位移.①由胡克定律，得杆件变形表达式为：②节点的变形几何关系为：式中，ls表示水平位移，lv表示竖直位移，由于3杆为刚性杆，故不发生形变.③由于以上计算均为线性方程，可利用Matlab矩阵左除命令求解.2.2 等直圆杆的扭转变形计算与Matlab仿真（1）计算方法等直圆杆扭转时的变形为一端固定不动，另一端相对固定端扭转角来表现.主要计算思路如下：①确定扭矩，运用截面法通过已知的外力偶确定杆件内部的扭矩.②根据已知杆件尺寸确定杆件极惯性矩IP.③圆轴扭转的变形（扭转角）可根据下列公式确定.对于扭转问题来说，通常极惯性矩的计算是在扭转变形计算中是非常繁琐且耗费大量时间，而在Matlab中只需根据不同类型的杆件来选择相应的计算方法，之后便是矩阵形式的线性方程组的运用，大大的简化了复杂的计算过程.（2）举例与Matlab仿真计算例题8：已知Ma=5.4kN.m，Mb=1.8kN.m，Mc=3.6kN.m，G=80×103pa，D=125mm，d=100mm，计算扭转角Φ.解题思路：首先，通过外力偶计算杆件扭矩T.其次，由于是空心圆杆，故采用下列公式来计算其极惯性矩.最后，将求得的极惯性矩以及扭矩代入扭矩下述公式，即可计算出杆件的转角. 2.3 静定梁的变形计算与Matlab仿真（1）计算方法静定梁变形的主要指标是：挠度和转角.其主要的计算思路如下：①确定荷载，确定杆件上作用的剪力及弯矩.②写出杆件的弯矩方程.③对弯矩方程一次积分得到转角方程且含有未知常数C，再次积分得到杆件的挠度方程且含有未知常数C和D.④利用杆件特殊位置的挠度与转角的边界条件，求出未知数C，D.⑤将所求位置点代入挠度转角方程，即可得到所求的挠度与转角方程.在静定梁的变形计算中最为繁琐之处在于采用积分方法确定挠度与转角的方程，积分会耗费大量的时间且容易出错，运用Matlab强大的计算能力，可以用计算机来计算积分，从而得到变形方程，节省大量时间.（2）举例与Matlab仿真计算例题9：如图8所示，一悬臂梁在端部受集中力F=10kN作用，其梁的截面尺寸为b=250mm，h= 500mm，梁的跨度为l=3m，弹性模量E=210Gpa.求梁的转角和挠度并绘制变形曲线.通过上面分析可以看出，《材料力学》课程中引入Matlab编程功能，进行杆件或杆系结构内力与变形计算将对课程的教学与学生学习、创新能力的培养有着积极的作用，具体为：（1）使学生从力学类课程繁杂的数学手算中解脱出来，将课程学习的主要精力集中到力学建模与力学分析思路的养成上，把繁杂的计算任务交给计算机去完成. （2）通过Matlab科学计算平台，引导学生建立数值求解的思想和方法，提高学生的工程素养与工程意识.（3）Matlab软件在课程教学中的引进，有利于提高教学效率，加强学生对基本概念和原理的理解，为学生创新思维的发挥拓展了广阔的空间，给学生自主学习和研究性学习提供了一个良好的平台，为相关力学类课程教学与学习提供一些参考.【相关文献】［1］罗义银.机械类专业理论力学教学改革的发展与思考［J］.力学与实践，2000，22（3）：56-57.［2］邓旭辉，张平，肖攀.Matlab在理论力学教学中应用［J］.力学与践，2006，28（5）：82-83.［3］胡超，程建钢.《理论力学》多媒体仿真教学实验［J］.力学与实践，2003，25（1）：67-70.［4］李校兵，扬芳，王军.Matlab在理论力学教学中的应用［C］.2009力学课程报告论坛论文集，2009：63-65.［5］李银山.Maplel理论力学［M］.北京：机械工业出版社，2006.［6］李银山.Maplel材料力学［M］.北京：机械工业出版社，2009.［7］王玉山，王锐.Matlab在材料力学超静定问题求解及梁变形可视化中的应用［J］.石河子大学学报，2007，25（1）：109-111.［8］张宁，田杰，陈奇.基于simmechanics的曲柄压力机机构仿真分析［J］.宜春学院学报，2013，35（3）：35-36.［9］敖文刚.基于Matlab的可视化理论力学虚拟实验［J］.重庆工商大学学报：自然科学版，2012，29（9）：101-105.［10］孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学（Ⅰ）［M］.北京：高等教育出版社，2013.。

弹性力学中的杆件稳定性分析引言在工程领域中，杆件是常见的结构元素，如桥梁、建筑物和机械装置等。

杆件的稳定性分析是判断结构在承受外部加载时是否会失去稳定的重要工作。

本文将从弹性力学的角度探讨杆件稳定性分析的基本原理，并介绍一些应用的方法和计算。

一、简谈杆件稳定性的概念在弹性力学中，杆件稳定性是指一根受拉或受压的杆件在外部荷载作用下保持平衡状态的能力。

一个杆件在受力时有可能发生屈曲失稳现象，即杆件表现出一种突然的侧移或弯曲。

因此，杆件的稳定性分析是非常重要的，以确保结构的安全性和可靠性。

二、杆件稳定的基本原理杆件稳定性与材料、几何形状和荷载条件等因素有关。

根据力学原理，杆件失稳的临界荷载（屈曲承载力）可以通过最初屈曲的载荷计算得到。

当外部荷载超过这个临界值时，杆件将会发生失稳。

因此，理解临界载荷的计算方法对于杆件稳定性分析至关重要。

三、常见的杆件稳定性分析方法1. 欧拉公式法欧拉公式法是一种经典分析杆件稳定性的方法，通过假设杆件在屈曲状态下呈现为弹性平面内的稳定形状，并利用该形状求解。

欧拉公式是在假设杆件为理想无瑕材料，且截面为均质及线弹性材料情况下推导出来的。

2. 线性弹性稳定分析线性弹性稳定分析通过对杆件的截面进行数学建模，采用有限元分析等方法来估计杆件的临界载荷。

该方法适用于复杂的结构和非均质材料的稳定性分析。

3. 差分法与数值法差分法和数值法是近似计算杆件的稳定性的方法。

差分法适用于简单结构和均质材料，通过将杆件分割为若干小段，建立差分方程并求解来得到支持条件和应力分布。

数值法则基于有限差分、有限元等数值计算技术，对杆件进行离散化处理，并通过迭代计算得到稳定状态。

四、实际工程中的杆件稳定性分析在实际工程中，杆件稳定性的分析和设计非常重要，可影响结构的安全性和寿命。

例如，在桥梁设计中，工程师需要考虑桥梁支撑柱的稳定性，避免发生侧移或弯曲导致桥梁的倒塌。

此外，在机械装置设计中，对杆件的稳定性要求也很高，以保证装置的正常运行和寿命。

弹性力学对杆件分析弹性力学是工程力学中一个重要的分支，它研究物体在力和变形作用下的力学行为。

在众多的力学研究领域中，弹性力学的作用比较重要，它提供了对物体作用力及其变形的一个模型，为工程设计和分析提供了重要的理论支持。

杆件是弹性力学中一个重要的研究对象，它是结构实体中最为常见的部分，在桥梁、建筑等大型结构中均有应用。

因此，对杆件弹性变形的分析是弹性力学研究中不可或缺的一部分。

杆件是由三种可用于弹性力学分析的基本类型组成的，分别是简支梁、悬臂梁和支承梁。

根据等效变形的原理，这三种类型的结构都可以被等效为具有一定泊松比的弹性梁，其变形行为可以由弹性力学理论来分析。

按照结构配置的不同，杆件的弹性变形也有很大的差别。

简支梁的变形为单轴向，其变形只受轴向力的影响，而悬臂梁及支承梁的变形为双轴向，其变形既受轴向力作用，也受到跨越力的影响。

此外，悬臂梁和支承梁的变形还受到结构设计参数的影响，如空跨距、纵梁横截面积及截面形状等。

这些影响因素的综合作用导致杆件的变形比较复杂，但已经可以用弹性力学理论来分析。

以杭州湾大桥为例，这座桥由大量钢筋混凝土构件组成，其中最为重要的结构构件就是杆件。

在计算要素上，这种复合构件的计算是比较复杂的，因为它不仅包含杆件的弹性变形计算，也需要进行混凝土等材料的耗能计算。

因此，需要采用弹性力学理论对复合构件的杆件作用力进行分析。

除了桥梁结构，建筑结构中的柱体也属于杆件，也可以采用弹性力学理论来分析柱体的弹性变形情况。

在建筑结构中，杆件的弹性变形则受地震和风力的影响，必须要采取某些措施来减小其变形，以确保建筑结构的安全性。

例如，采用改变杆件的参数设计，提高杆件的弹性模量，可以降低建筑构件受地震、风力等外力作用时的变形；另外，还可以采用增加刚度或采用柔性支座等措施来减小构件的变形，降低建筑结构的结构变形。

以上，通过介绍杆件及其弹性变形的分析，以及运用弹性力学理论对杆件作用力的分析，可以得出结论：弹性力学理论在结构设计和分析中占有重要的地位，为桥梁、建筑、机械等结构的设计和分析提供了理论支持。

弹性力学对杆件分析弹性力学是力学中关于弹性体在外部应力作用下的动力学变形、变形计算和弹性反应规律的研究。

它研究体的变形、应力和变形的关系，从而确定材料的弹性模量，以及材料对外加力的响应。

在力学中，弹性力学是一个十分重要的研究领域，被广泛应用于结构力学，固体力学，流体力学，力学技术和机械结构设计等领域。

二、杆件分析杆件分析即对结构中的杆件的弹性反应及其弹性属性的研究，是弹性力学的一个重要领域。

杆件的分析和计算依赖于杆件的形状，杆件的材料性质，杆件受力前和受力后的变形量以及在杆件上产生的应力和应变。

它研究的内容主要有：杆件的弹性模量，杆件的挠度，杆件的刚度以及杆件的变形分布。

三、弹性力学对杆件分析1、杆件受力分析根据体系的受力情况，确定杆件承受外力的杆件，并进行受力分析。

根据杆件受力分析，确定杆件承受外力的节点，并确定承受外力的杆件轴线上的各种组合受力类型。

2、杆件变形分析根据受力分析，确定受力类型，然后根据杆件变形的计算公式，进行杆件变形的分析，并确定受力节点的变形量。

3、杆件弹性属性分析根据杆件的受力类型，结合变形量，利用弹性力学的原理，进行杆件弹性属性的分析，确定杆件的挠度，变形分布以及杆件的弹性模量和刚度等。

四、弹性力学对杆件分析的应用1、结构分析弹性力学可以用于结构受力分析，可以根据外力对结构杆件的变形分析和计算，从而确定某一结构的性能指标，可以进一步检测结构的稳定性和强度。

2、振动分析弹性力学可以用于振动分析，在结构设计和机械设计领域中，可以利用杆件和弹性模量等参数进行振动参数的计算，从而检测结构或机械的振动状态和对结构或机械的噪声控制等。

3、多体系统分析弹性力学在多体系统受力分析中广泛运用，可以得出结构中各种部件和杆件的变形量和受力情况，从而确定结构的稳定性和强度等指标，从而判断结构的性能。

五、结论弹性力学对于杆件的受力分析显得十分重要，弹性力学可以用于结构受力分析，振动分析和多体系统分析等，研究结果可以用于结构和机械设计方面，可以作为设计和结构优化的依据，为工程技术的发展做出贡献。

文章编号 :1671 - 2021 (2006) 02 - 0221 - 03杆件结构大变形问题的优化精确算法侯祥林1 ,刘大任2(11 沈阳建筑大学理学院 ,辽宁 沈阳 110168 ; 21 沈阳建筑大学学报编辑部 ,辽宁 沈阳 110168)摘 要 :目的 研究解决弹性杆件结构在载荷作用下产生大变形时内力和变形量的精 确计算问题. 方法 提出了以变形后平衡状态下杆件变形量与作用力的非线性函数关 系构造目标函数 ,以最终平衡时坐标为设计变量 ,建立了确定杆件结构大变形问题的 无约束直接优化算法. 结果 通过杆件结构大变形计算方法 ,采用 Fo rt r an Power S ta 2ti o n 编制杆件大变形问题计算的通用程序 ,进行杆件大变形问题实例分析 ,算例表明可获得较为合理的结果. 结论 通过建立杆件大变形问题计算新方法 ,为复杂结构系 统大变形问题计算 ,提供一种可行的分析方法. 关键词 :杆件结构 ;大变形 ;优化算法 ;程序分析 中图分类号 :O34315文献标识码 :A1 受载荷平衡状态下内力与变形非线性函数关系设一个空间杆件结构见图 1 ,有 n 个弹性杆 0 引 言当工程结构具有弹性小变形行为时 ,通常采 用材料力学来研究杆件承载变形问题. 先忽略受 载后的小变形 ,进行杆件内力分析 ,再计算杆件变 形量1 . 但这种方法不能解决杆件大变形问题. 对于大变形问题 ,应该是施加载荷后 ,结构在一个 新的位置平衡. 对于弹性变形杆件 ,杆件明显符合 胡克定律 ,但新的平衡点远离初始位置. 杆件内力 与变形关系可用非线性方程描述. 这种问题的分 析在理论上和应用上具有一定的实际意义. 对于 工程较大变形问题计算 ,以往可采用逐步逼近法 的有限元求解2 - 6. 直接分析杆件大变形问题研件 ,第 i 个杆件质量不计 ,原长为 l i ,一端为点 B i( x , y z ) ,另一端与其他杆件铰接在 A ( x , y , i i i 0 0 z 0) 点. 在铰接点上 ,施加载荷 P 后 , 若每个杆件发生较大的弹性变形 ,平衡时 ,铰接点应该到新的位置 A ′( x , y , z ) ,当变形量较大时 ,杆件在 A 点 不满足平衡条件 ,而是应该研究在新的平衡位置A ′变形与受力关系并且应该满足非线性方程.在新平衡位置 , 第 i 个杆件伸长量 为 l ′i =x i ) 2 + ( y - y i ) 2 + ( z - z i ) 2 ,伸长量为Δl i ( x -= l ′i - 究较少7 - 9 . 笔者通过接触工程问题 , 总结并提 ( x - x i ) y - y i ) 2 + ( z - z i ) 2 -2 + li = ( 出一种杆件结构大变形问题实用的计算方法. 通 过建立杆件内力和变形关系非线性方程 ,编制优 化程序直接按承载后平衡状态分析进行受力与变 形的计算10 ,有效地直接解决了非线性大变形问 题.l i ,杆件内力为 F i = k iΔl i . 杆与 3 个坐标轴夹角 x - x i y - y i 余弦为 co s αi = - ,co s βi = - ,co s γi = l ′ l ′ i iz - z i 由空间汇交力系静力平衡方程 :- l ′i收稿日期 :2005 - 12 - 16基金项目 :辽宁省教育厅项目 (20040297)作者简介 :侯祥林 (1962 - ) ,男 ,教授 ,博士 ,主要从事非线性问题分析与优化研究.- 5 n搜索精度 e 2 = 110 ×10 . 载荷 P x = 1 kN , P y = 2∑F i co s αi + P x = 0 i = 1 kN , P = 10 kN. z n∑F i co s βi + P y = 0 (1)i = 1n∑F i c o s γi - P z = 0i = 1方程式 (1) 表示杆件在受载荷平衡状态时内 力与变形量关系 ,它为复杂非线性方程组.图 2 大变形算例312 优化计算与结果分析本题设计变量为 n = 3 . 初始值选加载前坐标点 x = 11000 , y = 11333 , z 3 = - 21500 . 程序采用FoOrt ran Power Stati o n Fo r Window 编制. 程序由主程序 ;powell 法子程序 ;一维搜索 ( 包括进退法 , 黄金分割) . 优化计算后 ,将计算过程列表 3 . 可见优化计算过程从不平衡状态向平衡状态过渡 ,最后达到平衡.图 1 大变形杆件受载示意图2 杆件平衡状态下内力与变形量的优化算法优化问题建立表 1 优化计算过程列表搜索轮次目标函数xyz211 011000 11333 - 21500 1051015 min F ( z ) ]其中设计变量 z = (2)x , y , z ] T ,目标函数为21957 21620 - 21725 311664 1 2 11852 21507 - 31507 41831 nnF ( z ) = ( ∑F i co s αi + P x ) 2+ ( ∑F i co s βi +i = 1i = 111704 21013 - 31517 01448 3 nP y ) 2 + ( ∑F i co s γi - P z ) 211561 11995 - 31576 01011 4 i = 15 11567 11973 - 31581 010002 3311 杆件大变形算例结构与优化参数铰接静不定结构见图 2 , 设 4 个杆件与固定11567 11974 - 31582 010001 6 7 11567 11974 - 31582 010001 11567 11974 - 31582 010001 8 面铰于 B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , 并 共 同 铰 于 A , B 1 B 2 ⊥B 2 B 3 , B 4 为 B 1 B 3 中 点 , B 1 B 2 = 3 m , B 2 B 3 = 4m , G 为ΔB 1 B 2 B 3 形心. 在加载前 GA ⊥α, GA = 215 m . 由图可以获得 : B 4 G = 01833 m , co s φ = 016 ,co s θ= 018 . 并计算得 :B 1 G = 21404 m , B 3 G = 21848 m , l 1 = 31468 m ,l 2 = 31005 m , l 3 = 31789 m , l 4 = 21635 m杆弹簧刚度 : k 1 = 3 kN/ m , k 2 = 215 kN/ m , k 3 = 215 kN/ m , k 2 = 4 kN/ m.设定一维搜索精度为 e 1 = 110 ×10 - 4 , 多维9 11567 11974 - 31582 0100006 11568 11974 - 31582 0100005 10 11 11568 11974 - 31582 0100004 11568 11974 - 31582 0100003 12 13 11568 11974 - 31582 0100002 11569 11974 - 31582 0100001 14 15 11569 11974 - 31582 0100001第 22 卷 侯祥林等 :杆件结构大变形问题的优化精确算法 223受载平衡时各杆伸长量和杆受力见表 2 .出发 ,建立杆件大变形分析的有效可行优化计算 方法. 并通过算例分析 ,表明本方法可以确定大变 形问题 ,为实际工程分析提供一种新的思想. 表 2 受载平衡时的杆参数受载前杆长 l i 0/ m受载平衡时杆长 l i / m伸长量 Δl i / m杆受力F i / kN杆号参考文献 :1 3146831005 31789216354133341381 41404315820186411376 01615019482159331441 11538317921 单 辉 祖. 材 料 力 学 M . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 ,1999 .Crisfield M A. No n 2linear Finit e Element Analysis of S olids and S t r uct u resM . New Y o r k : W ile y ,1991 . 郭乙木 ,陶伟明 ,庄茁. 线性与非线性有限元及其 应用 M . 北京 :机械工业出版社 ,2003 .Bo net J ,w oo d R D. No nlinear C o ntinuum Mechanicsfo r Element Analysis M . New Y o r k : Cambrid ge u 2 niversit y p r ess ,1997 .宋天霞 ,邹时智 ,杨文兵. 非线性结构有限元计算 M . 武汉 :华中理工大学出版社 ,1995 .S anso ur C. A Theo ry and Finit e Element Fo r mu latio n of Shells at Finit e Defor matio n Inv olving Thickness Change J . Arch A ppl Mech ,1995 (65) :194 - 216 .黄文彬 ,杨青春. 杆件在大变形时的弹性系数 J .力学与实践 ,1996 ,18 (6) :12 - 14 .Chen J iun 2shyan , Pan Chun 2hu i , Liu Wing 2kai . Re 2 p ro ducing Ker nel Partial Met h o ds fo r L arge Defor ma 2 tio n Analysis of No n 2linear S t ruct ur es J . C o m p ut ers Met ho ds in Applied Mechanics and Eng ineering ,1996 (139) :195 - 227 .隋允康. 建模. 变换. 优化 - 结构综合方法新进展 M . 大连 :大连理工大学出版社 ,1996 .F ou lds L R. Optimization T echniqu es M . New Y ork : S pring er 2V erlag ,1992.2 32 43 可见伸长量与原始杆长具有同等量级. 已经 不是传统意义上的小变形问题.表 3 列出 P x = 1 kN , P y = 2 kN , P z 为不同值 平衡时坐标与各杆伸长量情况对比.表 3 几种载荷的变形结果45 6Δl 1/ m Δl 2/ m Δl 3/ m Δl 4/ mP z / kNx / m y / mz / m5 11701 21108 - 31045 01457 11071 01179 01419 8 11612 21020 - 31372 01700 11244 01440 01739 7 11569 11974 - 31582 01864 11376 01615 01947 10 811506 11900 - 41079 11272 11740 11039 11445 1511471 11853 - 41552 11678 21125 11454 1191920结 论4 9 笔者研究杆件结构大变形问题. 是从杆件结 构在承载平衡条件下变形量与杆件受力关系方程10Optimization A lgorithm of LargeHO U X i a n g 2l i n 1 , L I U D a 2re n 2Def o rm ation a b out T russ Structure(11S chool of S cience ,Shenyang J i anzhu U n iversity ,shenyang ,China ,110168 ; 21 E d ito rial De p art m ent of Jo ur nal of S J ZU )Abstract :This article aims to st u dy large defo r m ati o n and inter n al fo r ce of elastic t r uss st r uct u re under l oad. The met ho d being used are t hat making no nlinear relati o n of defo r mat i o n and inter nal fo rce of t r uss as o b 2jective f uncti o n and coo rdinate of balance state as design variables ,A no n 2co nst rain op timizati o n algo rit h m is p ropo sed to calculate large defo r mat i o n and inter nal fo rce of t russ st ruct ure . Weakness of solving sm al l de 2 fo r mat i o n met ho d is overco me . Wit h such a result ,universal p ro gra m of calculating large defo r mat i o n is gi v 2 en. Pract ical e xa m ple is analyzed and rati o nal result is o btained. The article draw s t he co nclusi o n t hat t h e met ho d can be used to define co m ple x co nst ructi o n la rge defo r mati o n and can be used to st udy engineering p r o b lem. K ey Words :t r uss st r uct u re ;large defo r mat i o n ;op t imizati o n algo r it h m ;p r o g ra m design。

压杆优化设计
梁应彪;李银山
【期刊名称】《重型机械》
【年(卷),期】1994(000)002
【摘要】本文对压杆不同的截面形状，提出了几种直接的优化计算方法，比试算法简单，比图解法精确。

其方法适用于大、中、小型各种柔度的压杆；适用于截面形状因子为常数的截面和常用的型钢截面；导出了一些简便实用的计算公式，能够直接得出截面面积，利于选取型钢型号，应用范围广泛。

【总页数】7页(P27-32,26)
【作者】梁应彪;李银山
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TH210.3
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