正弦曲线

正弦曲线的图像细品教材众所周知，海⽔会发⽣潮汐现象，⼤约在每⼀昼夜的时间⾥，潮⽔会涨落两次，因此潮汐是周期现象．当潮汐发⽣时，⽔的深度会发⽣周期性的变化，这种周期性的变化，与正弦函数的周期性变化有什么联系吗？⼀、正弦函数的图象正弦函数的图象⼀、1．正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象利⽤单位圆中的正弦线作y=sinx，x∈[0，2π]的图象．如下图，在直⾓坐标系的x轴的负半轴上任取⼀点O1，以O1为圆⼼作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份，过⊙O1上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于⾓等分点的正弦线．相应地，再把x轴上从0到2π这⼀段分成12等份，再把⾓x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，最后⽤光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．2．正弦曲线(1)任意给定⼀个实数x，有唯⼀确定的值sinx与之对应．由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫做正弦函数，其定义域是R．(2)根据诱导公式⼀，终边相同的⾓的三⾓函数值相等，可知函数y=sinx，x∈[2kπ，2(k+1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0，2π)的图象的形状完全⼀致，只是位置不同．我们只需把y=sinx，x∈[0，2π)的图象左、右平移(每次2π个单位长度)，就可得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如下图)．正弦函数的图象叫做正弦曲线．技术提⽰(1)利⽤单位圆和三⾓函数线画三⾓函数图象的⽅法称为⼏何法作图，其优点是图象精确，缺点是画图⽐较⿇烦，影响解题速度．(2)作图象时，函数的⾃变量要⽤弧度制，这样⾃变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统⼀单位，作出的图象较为准确．【⽰例】函数y=1-sinx，x∈[0，2π]的⼤致图象为下图中的( )【⽰例】思路分析：令x=0，则y=1-sinx=1，因此图象过(0，1)，可排除C、D，⼜令，则y=1-sinx=2，思路分析：可排除A．答案：B状元笔记“五点法”作图中的“五点”是指函数的最⾼点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正、余弦函数图象、研究正、余弦函数性质时的最常⽤⽅法．⼆、“五点法”作简图通过正弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间…，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[0，2π]，[2π，4π]，…分段，这些闭区间的长度都等于2π个单位长度，并且在每⼀个闭区间上曲线的形状完全⼀致．因此，要研究曲线的形状，只需选⼀个闭区间，在这⾥，我们不妨选择[0，2π]，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作⽤．对于正弦曲线(如下图)，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)因此，在精确度要求不太⾼时，可先找出这五个关键点，再⽤光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图．这种⽅法称为“五点(画图)法”．技术提⽰五点法作简图抓住了正弦函数图象的特征，反映了正弦曲线的基本特征，其中需特别注意的是曲线的⾛向，把握住简图的画法，有助于快速解题．综合探究1．余弦曲线根据诱导公式，可知y=cosx与是同⼀函数，⽽的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位⽽得到的．如下图所⽰：余弦函数的图象叫做余弦曲线．事实上，，可知余弦函数y=cosx，x∈R与函数也是同⼀函数，余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位⽽得到．五点法画正、余弦函数的图象余弦函数的图象2．五点法画正、画正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，有五个关键点，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，因此描出这五点后，正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]图象的形状基本上就确定了．在描点时，光滑曲线是指经过最⾼点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形状，经过位于x轴的点时要改变“圆弧的圆⼼位置”．⽤五点法画余弦函数y=cosx的图象时也是⼀样．注意:(1)五点法是我们画三⾓函数图象的基本⽅法，与五点法作图有关的问题曾出现在历届⾼考试题中．(2)作图象时，函数⾃变量要⽤弧度制，这样⾃变量与函数值均为实数．对于⼀些正、余弦函数的变形形式，如画，的图象时，应当令分别等于得到对应的x值与y 值，然后再描点连线成图．其取值如下表：描点连线如下图：【⽰例】试⽤五点法画函数的简图．【⽰例】思路分析：抓住关键点，横坐标依次为的点．思路分析：解：列表：解：画图(如图)：余弦函数的对称性质3．正、．正、余弦函数的对称性质正弦函数y=sinx图象的对称轴为直线，并且对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是正弦函数的最值，对称中⼼为(kπ，0)(k∈Z)，正弦函数的图象与x轴的交点均是正弦函数的对称中⼼．余弦函数y=cosx图象的对称轴为直线x=kπ(k∈Z)，并且对称轴与余弦曲线的交点的纵坐标是余弦函数的最值，对称中⼼为，余弦函数的图象与x轴的交点均是余弦函数的对称中⼼．归纳整理本节的主要内容是正、余弦函数的图象——正、余弦曲线的画法：⼏何法与五点法．⼏何法是⽤单位圆和三⾓函数线作图，图形准确但画图⿇烦；五点法只能作简图，但⽅便快捷．重点是会⽤五点法画函数简图，以解决相关问题．答案：①单位圆　②三⾓函数线　③(0，0)　④　⑤(π，0)　⑥　⑦(2π，0)　⑧(0，1)　⑨　⑩(π，-1) (2π，1)思考发现1．y=sinx的五个特殊点(0，0)、，(π，0)，、(2π，0)；y=cosx的五个特殊点(0，1)、、(π，-1)、、(2π，1)．2．五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图，五点的取法是ωx+φ分别等于来求得相应的x值及对应的y 值，最后描点成图．3．含有三⾓式、指数式、对数式的⽅程叫做超越⽅程，⽤初等解⽅程的⽅法不能求它的解；通常把这类⽅程分解成两个函数，把求⽅程的解转化为求两个函数的交点问题．4．利⽤单位圆或正弦曲线解简单三⾓不等式时，可先在长度为[0，2π]的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域中去．。

正弦函数的图象
正弦函数曲线是一种二次函数, 它表示振动或周期运动物体的物理量和它相关的位置、速度与时间之间的变化关系. 它是几何学中最常用的函数之一, 它与余弦函数具有相同的
属性. 由于正弦函数的基本性质, 它的图形具有一定的特点.
首先, 正弦函数的图形是一个周期性的曲线，它的周期是指函数值重复在相同的值域
上的次数。

其次,正弦函数的曲线是对称的，即它的图中有一条对称轴，且具有周期性，
它值的正负值可以能够在曲线图中相互交替出现。

此外, 正弦函数的曲线有两个极点，即
函数值最大（1）和最小（-1）时的位置。

当以x轴为横轴表示时，y轴上的正弦函数的曲线可以用下面的公式来表示：y=sin x, 其中的x是x轴的变量（时间），y代表函数值（位置和速度）。

当x从0到2π（360度）变化时，正弦函数曲线会沿着一定的规律从最大值开始，直到x变化到270 度时，正弦函数值变为最小值（-1），然后从270度开始，沿着同样的规律正弦函数值变为最大值（1），以此类推，直到x变为360度时，再从最大值（1）开始重复变化。

因此，正弦函数的图象是一条有规律的曲线，它是一条对称的曲线，有两个极点, 它
的变化是一个有规律的周期性运动。

在数学中，正弦函数的分析有助于我们理解振动及周
期性运动的物理量和它们相关的位置、速度及时间的变化关系。

一、正弦余弦曲线： 正弦曲线公式为：A 为波幅（纵轴），ω为（相位矢量）角频率=2PI/T ，T 为周期，t 为时间（横轴）， θ为相位（横轴左右）。

周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。

例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。

正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。

三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。

这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。

每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。

1、函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线。

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里n=12）等份。

把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里n=12）等份。

（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。

第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π，…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。

第三步：连线。

用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x （x ∈R ）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。

2、余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线。

根据诱导公式，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx的图象。

3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（23π，-1）、（2π，0）。

有谐波的正弦曲线
有谐波的正弦曲线是指在正弦波中存在谐波分量。

在这种情况下，原始的正弦波形的形状会发生改变，并且会受到谐波分量的影响。

对于一个正弦波，其数学表达式可以表示为：y = Asin(ωt + φ)。

其中，A是振幅，ω是角频率，φ是初相。

如果存在谐波分量，那么正弦曲线会受到高次谐波的影响，导致波形不再严格符合标准的正弦波形。

这些谐波分量可以来自系统的非线性特性或者其他激励源。

在实际应用中，可以通过傅里叶变换等方法将正弦波分解为多个不同频率的谐波分量，并分析每个分量的幅值和相位。

这种方法可以用于信号处理、图像处理等领域。

sin、tan、cos曲线是三角函数的基本概念，它们分别代表正弦、正切和余弦函数。

1. 正弦曲线：y=sinx
定义域为实数域R，值域为[-1,1]。

正弦函数的图像曲线呈周期性变化，其图像曲线与x轴呈45°，并且有规律地从-1到1，再从1回到-1。

2. 余弦曲线：y=cosx
定义域为实数域R，值域为[-1,1]。

余弦函数的图像曲线呈周期性变化，其图像曲线与y轴呈45°，并且有规律地从1到-1，再从-1回到1。

3. 正切曲线：y=tanx
定义域为实数域R，值域为无穷大。

正切函数的图像曲线呈周期性变化，其图像曲线的斜率从无穷大到无穷小，再从无穷小回到无穷大。

这些曲线在各种数学模型中发挥着重要作用，是数学和工程领域的基础知识。