一次函数的一种性质及应用
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一次函数的一种性质及应用
一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），教科书给出一种性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减少。
但是没有给出它经过坐标象限的性质，出现这类型的例题，一般要作出它的图象。在这里我们推出它的性质及应用这种性质。
给出y=kx（k≠0）正比例函数的图象如下。
得出：（1）当k＞0时，直线y=kx必须过一、三象限；
（2）当k＜0时，直线y=kx必须过二、四象限。
因为直线y=kx+b与直线y=kx是平行的，所以它们经过同样的象限。而且当b＞0时，直线y=kx+b，经过在y的正半轴上的点（o，b），所以它必过一二象限，当b＜0时，直线y=kx+b经过y的负半轴上的点（o，b），所以它必经过三四象限。我们可以总结出y=kx+b这样的性质：
（1）当k＞0时，直线y=kx+b必须过一三象限。
（2）当k＜0时，直线y=kx+b必经过二四象限。
（3）当b＞0时，直线y=kx+b必经过一二象限。
（4）当b＜0时，直线y=kx+b必经过三四象限。
应用它灵活判别直线y=kx+b经过的象限，和已知直线y=kx+b经过的象限，判别k、b的符号及其它相关系的问题，又是中考热点。下面试举几例。
例1：一次函数y=3-2x不经过的象限是（）。
（A）第一，（B）第二，（C）第三，（D）第四。
解：∵k=-2＜0，
∴直线必经过二四象限。
2∵b=3＞0
∴直线必经过一二象限。
∴直线y=3-2x经过一二四象限，即不经过第三象，故选（C）。
例2：函数y=ax+b的图象，经过一二四象限，则（）。
（A）a＞0，b＞0，（B）a＞0，b＜0，
（C）a＜0，b＞0，（D）a＜0，b＜0。
解：∵直线经过二四象限。
∴a＜0。
2∵直线经过一二象限。
∴b＞0。故选（C）。
例3：已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）。
（A）一二三象限， （B）一三四象限，
（C）一二四象限， （D）二三四象限。
解：∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，-k＜0，
∴y=kx-k经过一三四象限，故选（B）。
例4：在下列直角坐标系中，一次函数y=kx-2k的图象只可能是下图的（ ）。
解：当k＞0时，直线y=kx-2k必过一三四象限。
当k＜0时，直线y=kx-2k必过一二四象限。
可以排除（C），（D）。
可以排除（A），故选（B）。
例5：一次函数y=mx+n与y=mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）。
（A）（1）和（3）， （B）（2）和（3）， （C）（1）和（4）， （D）（3）和（4）。
解：（1）∵y=mx+n经过一二三象限，
∴m＞0，n＞0，
∴y=mnx经过一三象限，排除（1）。
（2）∵y=mx+n经过一三四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴y=mnx经过二四象限，排除（2）。
（3）∵y=mx+n经过二三四象限，
∴m＜0，n＜0，
∴y=mnx经过一三象限，
故可能为（4），故选（D）。
