重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学(理)试题(解析版)

重庆市第一中学校2019届高三3月月考

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集，集合，，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出集合A，B的补集，找出A补集与补集的交集即可．

【详解】∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合，集合B＝{2，4，6，8}，

∴（∁UA）＝{5，6，7，8}，（∁UB）＝{1，3，5，7}，

∴（∁UA）∩（∁UB）＝{5，7}，

故选：A．

【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2.若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（ ）

A. B. C. 3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

化简复数为，利用纯虚数的定义可得a﹣6＝0 且2a+3≠0，求出a 值，可得复数z的虚部．

【详解】∵复数 为纯虚数，∴a﹣6＝0 且2a+3≠0，

∴a＝6，复数z3i，则复数的虚部为3，

故选：C．

【点睛】本题考查纯虚数及虚部的定义，复数代数形式的除法，属于基础题．

3.实数数列为等比数列，则等于（ ）

A. B. 4 C. 2 D. 或4

【答案】B

【解析】

【分析】

由实数数列是等比数列，可得q3＝8，利用等比数列通项公式即可求出的值

【详解】∵实数数列是等比数列，

∴q3＝8，∴q=2，

∴a2＝1．

故选B．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，比较基础．

4.某几何体的三视图如图所示（图中半圆.圆的半径均为2），则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三视图可判断几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，运用球与圆锥的体积公式计算即可．

【详解】∵几何体的三视图可得出几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，如图：

∴该几何体的体积为π23π×22×2＝=，

故选：B．

【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了球体与锥体的体积公式，属于基础题.

5.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为15，18，则输出的为（ ）

A. 12 B. 6 C. 3 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．

【详解】由a＝15，b＝18，不满足a＞b，

则b变为18﹣15＝3，

由b＜a，则a变为15﹣3＝12，

由b＜a，则a变为12﹣3＝9，

由b＜a，则a变为9﹣3＝6，

由b＜a，则a变为6﹣3＝3，

由a＝b＝3，

则输出的a＝3．

故选：C．

【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．

6.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ）

A. 若，则

B. 若，是在内的射影，，则

C. 若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有

D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意逐一考查所给命题是否正确即可.

【详解】逐一分析所给的选项：

A中，在如图所示的正方体中，

若取直线为，为，平面为，平面为，

满足，但是不满足，题中的说法错误；

由射影定理可知选项B正确；

选项C中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面或，题中的说法错误；

选项D中，在如图所示的正方体中，

若取平面为，平面为，平面为，

满足，但是不满足，题中的说法错误.

本题选择B选项.

【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：

（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；

（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.

7.函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

函数的值域为R，等价于真数a能取遍一切正实数，由a＝0时，显然成立，a≠0时，利用二次函数的图象性质得关于a的不等式，即可解得a的范围

【详解】若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．

当a＝0时符合条件；

当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0

综上知实数a的取值范围是．故选D.

【点睛】本题考查了对数函数的值域及性质，二次函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于中档题，关键利用二次函数性质得出△≥0的条件．

8.过抛物线焦点的直线交于点，若线段中点的纵坐标为1，则（ ）

A. 3 B. 4 C. D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】

设出直线方程，利用只需与抛物线联立，利用条件求得直线方程，再利用弦长公式求解即可．

【详解】抛物线C：y2＝4x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：x＝my+1，

则可得y2﹣4my﹣4＝0，l与C有两个交点A（）、B（），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m＝2，解得m，所以y2﹣2y﹣4＝0的两根满足，，由弦长公式可得=5，

故选D.

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，涉及弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．

9.（ ）

A. B. 1 C. D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用两角和的正弦函数及诱导公式化简求解即可.

【详解】∵

=

=

=

==.

【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查了计算能力，属于基础题.

10.已知是定义在上且以4为周期的奇函数，当时，（为自然对数的底），则函数在区间上的所有零点之和为（ ）

A. 6 B. 8 C. 12 D. 14

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知，利用导数分析函数的单调性y与极值，画出函数f（x）的图象，数形结合，可得函数f（x）在区间[0，4]上的所有零点的和．

【详解】∵f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，

∴f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），∴f（2）=0，

且当x∈（0，2）时，，则==0,则x=1，且在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，2）时，单调递增，，=f(2)>0,

故函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：函数f（x）在区间区间上共有7个零点，

故这些零点关于x＝2对称，

故函数f（x）在区间区间上的所有零点的和为3×4+2＝14，

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是函数的周期性及奇偶性的应用，考查了函数的零点与函数图象和性质的综合应用，数形结合是解决函数零点问题的常用方法，属于中档题．

11.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先分析出基本事件的所有情况，再求出相应基本事件个数，利用分类计数加法原理可得结果．

【详解】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），

其中（白黑黑白）的取法种数为=，

（黑黑白白）的取法种数为=，

（黑白黑白）的取法种数为=，

综上共有，

故选A.

【点睛】本题考查独立事件概率的求法，考查了分类计数原理的应用，解题时要认真审题，注意相互独立概率计算公式的合理运用．

12.若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有（ ）组？

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】

设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，利用距离公式得到关于的方程，解得共有3解，即可得到结论.

【详解】∵，则=，设两切点分别为A(,)，B(,)，若两切线平行，则的两根为，，且+=2，

不妨设>，过A的切线方程为y=x-, 过B的切线方程为y=x-,

∴两条切线距离为d==,

化简得=1+9，令，显然u=1为一解，

又-8u+10=0有两个异于1的正根，

∴这样的u有3解，而，>，且+=2，即与是一一对应的，

∴这样的，有3组，故选D.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了新定义的理解与应用，考查了运算能力及推理能力，属于难题.

二.填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在的展开式中的常数项为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

写出通项公式，给r赋值即可得出．

【详解】的通项公式为：Tr+1（-1）rx6﹣2r．

令6﹣2r＝0

解得r＝3，

∴（-1）320，所以常数项为-20．

故答案为：-20．

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．