空间直角坐标系(优质课)教案
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1.13空间直角坐标系（优质课）教案
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教学目标：
通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；
通过空间中两点的距离解决问题．
教学过程：
一、空间直角坐标系
1. 从空间某一定点O
引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了
空间直角坐标系.如右图所示.
点O
叫做坐标原点，x
、y
和z
三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每
两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy
平面、yOz
平面、zOx
平面.
通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x
轴的正方向，
食指指向y
轴的正方向，中指指向z
轴的正方向.
2．空间特殊平面与特殊直线：
每两条坐标轴分别确定的平面yOz
、xOz
、xOy
，叫做坐标平面．
xOy
平面(通过x
轴和y
轴的平面)是坐标形如(x
，y,
0)的点构成的点集，其中x
，y
为任意的实数；
xOz
平面(通过x
轴和z
轴的平面)是坐标形如(x,
0，z
)的点构成的点集，其中x
，z
为任意的实数；
yOz
平面(通过y
轴和z
轴的平面)是坐标形如(0，y
，z
)的点构成的点集，其中y
，z
为任意的实数；
x
轴是坐标形如(x,
0,0)的点构成的点集，其中x
为任意实数；
y
轴是坐标形如(0，y,
0)的点构成的点集，其中y
为任意实数；
z
轴是坐标形如(0,0，z
)的点构成的点集，其中z
为任意实数．
3．空间结构：
三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy
上方，分别对应该坐标
平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、
第Ⅷ卦限．
二、关于一些对称点的坐标求法
1.关于坐标平面对称
()()
1,, ,,PxyzxOyPxyz−
关于坐标平面对称
()()
1,, ,,PxyzyOzPxyz−
关于坐标平面对称
()()
1,, ,,PxyzxOzPxyz−
关于坐标平面对称
2.关于坐标轴对称
()()
1,, ,,PxyzxPxyz−−
关于轴对称
Oz
y
x54
43
332
221
11 ()()
1,, ,,
yPxyzPxyz−−
关于轴对称
()()
1,, ,,PxyzzPxyz−−
关于轴对称
三、空间两点间的距离公式
一般地，空间中任意两点()()
11112222,,,,,PxyzPxyz
间的距离为
()()()222
12121212PPxxyyzz=−+−+−
特殊地，任一点()
,,P
xyz
到原点O
的距离为222
POxyz=++
类型一 空间点的坐标
例1：已知棱长为2的正方体ABCD
－A
′B
′C
′D
′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别
写出正方体各顶点的坐标．
解析：由空间直角坐标系定义求解
答案：①对于图一，因为D
是坐标原点，A
、C
、D
′分别在x
轴、y
轴、z
轴的正半轴上，又正方体
的棱长为2，所以D
(0,0,0)、A
(2,0,0)、C
(0,2,0)、D
′(0,0,2)．
因为B
点在xDy
平面上，它在x
轴、y
轴上的射影分别为A
、C
，所以B
(2,2,0)．
同理，A
′(2,0,2)、C
′(0,2,2)．
因为B
′在xDy
平面上的射影是B
，在z
轴上的射影是D
′，所以B
′(2,2,2)．
②对于图二，A
、B
、C
、D
都在xD
′y
平面的下方，所以其z
坐标都是负的，A
′、B
′、C
′、D
′都
在xD
′y
平面上，所以其z
坐标都是零．因为D
′是坐标原点，A
′，C
′分别在x
轴、y
轴的正半轴
上，D
在z
轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D
′(0,0,0)、A
′(2,0,0)、C
′(0,2,0)、D
(0,0，
－2)．
同①得B
′(2,2,0)、A
(2,0，－2)、C
(0,2，－2)、B
(2,2，－2)．
练习1：如图所示，在正方体ABCD－A
1B
1C
1D
1中，E、F分别是BB
1、D
1B
1的中点，棱长为1，求
E、F点的坐标．
答案：建立如图所示的空间直角坐标系．
E
点在xOy面上的射影为B
(1,1,0)，
且z
坐标为1
2，∴E
1，1，1
2. F
点在xOy
面上的射影为BD
的中点G
，
G
1
2，1
2，0
，且z
坐标为1，∴F
1
2，1
2，1
.
练习2：点(2,0,3)位于( )
A．y
轴上 B．x
轴上
C．xOz
平面内 D．yOz
平面内
答案：C
例2：已知V
－ABCD
为正四棱锥，O
为底面中心，AB
＝2，VO
＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各
顶点的坐标．
解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方
形ABCD
的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x
轴、y
轴建系．如以A
为顶
点AB
、AD
所在直线分别为x
轴、y
轴建系，等等．
答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O
为原点，互相垂直
的对角线AC
、BD
所在直线为x
轴、y
轴，OV
为z
轴建立如图所示坐标系．
∵正方形ABCD
边长AB
＝2，
∴AO
＝OC
＝OB
＝OD
＝2，又VO
＝3，
∴A
(0
，－2，0)，B
(2，0,0)，C
(0
，2，0)，
D
(
－2，0,0)，V
(0,0,3)．
练习1：如图所示，棱长为a
的正方体OABC
－D
′A
′B
′C
′中，对角线OB
′与BD
′相交于点Q
，顶点O
为
坐标原点，OA
、OC
分别在x
轴、y
轴的正半轴上，试写出点Q
的坐标．
答案：∵OB
′与BD
′相交于Q
点，
∴Q
点在xOy
平面内的投影应为OB
与AC
的交点，
∴Q
点坐标为
1
2a
，1
2a
，z
.
同理可知Q
点在xOz
平面内的投影也应为AD
′与OA
′的并点，
∴Q
点坐标为
1
2a
，1
2a
，1
2a
.
练习2：(2014·湖北理，5)在如图所示的空间直角坐标系O
－xyz
中，
一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的
四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )
A．①和② B．③和①
C．④和③ D．④和②
答案：D
例3：在平面直角坐标系中，点P
(x
，y
)的几种特殊的对称点的坐标如下：
(1)关于原点的对称点是P
′(－x
，－y
)，
(2)关于x
轴的对称点是P
″(x
，－y
)，
(3)关于y
轴的对称点是
P
(－x
，y
)，
那么，在空间直角坐标系内，点P
(x
，y
，z
)的几种特殊的对称点坐标：
(1)关于原点的对称点是P
1________；
(2)关于横轴(x
轴)的对称点是P
2________；
(3)关于纵轴(y
轴)的对称点是P
3________；
(4)关于竖轴(z
轴)的对称点是P
4________；
(5)关于xOy
坐标平面的对称点是P
5________；
(6)关于yOz
坐标平面的对称点是P
6________；
(7)关于zOx
坐标平面的对称点是P
7________.
解析：由空间直角坐标系定义，类比平面直角坐标系得出结论
答案：(1)(－x
，－y
，－z
)．(2)(x
，－y
，－z
)．
(3)(－x
，y
，－z
)．(4)(－x
，－y
，z
)．
(5)(x
，y
，－z
)．(6)(－x
，y
，z
)．
(7)(x
，－y
，z
)．
练习1：求点A
(1,2，－1)关于坐标平面xOy
及x
轴对称的点的坐标．
答案：如图所示，过A
作AM
⊥xOy
交平面于M
，并延长到C
，使AM
＝CM
，则A
与C
关于坐标平面xOy
对称，且C
(1,2,1)．
过A
作AN
⊥x
轴于N
并延长到点B
，使AN
＝NB
，
则A
与B
关于x
轴对称，且B
(1，－2,1)．
∴A
(1,2，－1)关于坐标平面xOy
对称的点C
(1,2,1)；
A
(1,2，－1)关于x
轴对称的点B
(1，－2,1)．
练习2：点()
1,2,3P−
关于坐标平面xOz
对称点的坐标是（ ）
A.()
1,2,3
B.()
1,2,3−−
C.()
1,2,3−−
D.()
1,2,3−−
答案：B
类型二 空间两点间距离公式
例4：证明以A
(4,3,1)、B
(7,1,2)、C
(5,2,3)为顶点的△ABC
是等腰三角形．
解析：运用两点间距离公式
答案：
由两点间距离公式：
|AB|
＝(7－4)2
＋(1－3)2
＋(2－1)2
＝14，
|BC|
＝(5－7)2
＋(2－1)2
＋(3－2)2
＝6，
