小学数学行程问题之环形跑道含答案

五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 1 of 20 环形跑道

知识框架

本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。

一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：

路程和=相遇时间×速度和

路程差=追及时间×速度差

二、解环形跑道问题的一般方法：

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

环线型

同一出发点 直径两端

同向：路程差 nS nS+0.5S

相对(反向)：路程和 nS nS-0.5S

例题精讲

【例 1】两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 右图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点180－90＝90（米）．甲从A到C用了180÷20＝9（分），所以乙每分行驶90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A，B

五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 2 of 20 出发相向而行相遇需要90÷（20＋10）＝3（分）．

【答案】3分

【巩固】 周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点．甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米?

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时间的12.即AC=12×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．

【答案】1000米

【例 2】甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 首先是一个相遇过程，相遇时间：6(6555)0.05小时，相遇地点距离A点：550.052.75千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：6(6555)0.6小时，乙车在此过程中走的路程：550.633千米，即5圈余3千米，那么这时距离A点32.750.25千米．甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.252.753千米，而第4次相遇时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与开始相同．所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在A点，又11332，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，距离A点是3000米．

【答案】3000米

【巩固】 二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？

五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 3 of 20 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 1428

【答案】1428

【例 3】下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边（300米）需300÷（90－70）＝15（分），此时甲走了90×15÷300＝4．5（条）边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走0．5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共需 300×5÷90＝1623（分钟0，即16分40秒．

【答案】16分40秒

【巩固】 如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】

开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米．

甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．

甲、乙的位置如右图所示：

五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 4 of 20 显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面

的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=23秒．所以经过16+23=1623秒后甲第一次看见乙.

【答案】1623秒

【例 4】如图，长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在( )边上。

(A)AB (B)BC (C)CD

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【关键词】2006年，第十一届，华杯赛，初赛

【解析】 如图，长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。将AB，CD边各5等分，BC，DA边各4等分。设每份长度为a。由于两只蚂蚁第一次在B点相遇，所以第一只蚂蚁走5a，第二只蚂蚁走4a，接下来，第一只蚂蚁由B走到E点时，第二只蚂蚁由B走到F点，再接下来，当第一只蚂蚁由走到G点时，第二只蚂蚁由F也走到G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在DA边上。

【答案】DA边上

【巩固】 甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A，C同时出发绕池边沿A→B→C→D→A的方向行走。甲每分行50米，乙每分行46米，甲、乙第一次在同一边上行走，是发生在出发后的第多少分？第一次在同一边上行走了多少分？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 第104分；823分。甲追上乙一条边长，即追上400米需

400÷（50－46）＝ 100（分），此时甲走了50×100＝5000（米），位于一条边的中点，与乙相距400米（见右图）。甲再走200米到达前面的顶点还需4分。这4分乙走了184米，距下

五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 5 of 20 一个顶点还差16米。所以甲、乙第一次在同一边上行走，发生在出发后第100＋4＝104（分），第一次在同一边上行走了8164623（分）。

【答案】823分

【例 5】在一个周长90厘米的圆上，有三个点将圆周三等分。A，B，C三个爬虫分别在这三点上，它们每秒依次爬行10厘米、5厘米、3厘米。如果它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行，那么它们第一次到达同一位置需多长时间？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 60秒。A第一次追上B需30÷（10－5）＝6（秒），以后每隔90÷（10－5）＝18（秒）追上B一次，即A，B到达同一位置的时间（单位：秒）依次是

6，24，42，60，78，…

同理，B，C到达同一位置的时间（单位：秒）依次是15，60，105，…

比较知，A，B，C第一次到达同一位置需60秒。

【答案】60秒

【巩固】 如图2，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿闹墙按顺时针方向运动，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，则至少经过 秒甲、乙走到正方形的同一条边上。

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】填空

【关键词】2010年，希望杯，第八届，四年级，二试，第8题

【解析】 行程问题

由题设可知，甲走完一条边需要10秒，乙需要503秒，要在同一条边上，首先路程差应小于一个边长．经过50(53)25秒后，甲、乙路程差为一个边长，此时甲在CD边的中点，而乙在AD

五年级奥数.行程.环形跑道 .教师版 Page 6 of 20 边的中点．因此需要再经过5秒后，甲到达D点，甲、乙才走到同一条边上．综上，至少需要30秒．

【答案】至少需要30秒

【例 6】如图所示，大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从A

点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑。父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？

BA

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由A沿逆时针方向到B这一段跑道上相遇．而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲．儿子跑一圈所用的时间是19(400100)76（秒），也就是说，儿子每过76秒到达A点一次．同样道理，父亲每过50秒到达A点一次．在从A到B逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑19(200100)38（秒），父亲要跑20(200100)40（秒）．因此，只要在父亲到达A点后的2秒之内，儿子也到达A点，儿子就能从后面追上父亲．于是，我们需要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比50的一个整数倍大，但至多大2．换句话说，要找76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间．这试一下就可以了：7650余26，76250余2，正合我们的要求．因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈．