《线性代数》知识点

行列式

1. 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等TDD.

性质2 互换行列式的两行列,行列式变号.

推论1 如果行列式有两行列的对应元素完全相同,则此行列式的值为零.

如abcabc0abc

性质3 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k乘此行列式.

如111213111213212223212223313233313233aaaaaakakakakaaaaaaaaa

推论2 如果行列式中有两行列元素成比例,则此行列式的值为零．

如abcabc0kakbkc

性质4 若行列式的某一行列的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.

如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

性质5 把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去,行列式的值不变.

如111213111213212223212223313233311132123313aaaaaaaaaaaaaaaakaakaaka

2. 余子式与代数余子式

在n阶行列式中,把元素ija所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素ija的余子式,记作ijM,ijijijA(1)M叫做元素ija的代数余子式．

如111213212223313233aaaaaaaaa,元素23a的余子式为1112233132aaMaa,

元素23a的代数余子式为11122323233132aaA(1)Maa.

3. 行列式按行列展开法则 定理1 行列式的值等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

1122iiiiininDaAaAaA或 1122jjjjnjnjDaAaAaA

1.aj：向量α的第j个分量。

2.n维实向量空间：全体n维实列向量构成的集合及其上定义的向量。的加法和数乘运算的合称。

Ps：1.全体n维行向量构成的集合记为R1*n；

2.R2即2维空间。

3.Rn的子集：多个n维实向量构成的一个集合。

4.V是Rn的子空间：V具有下列性质的Rn的子集。

设V⊆Rn是一个非空集合，V满足：

（1）若α、β∈V，则α+β∈V;

（2）若γ∈V，k∈R，则kγ∈V；

5.齐次线性方程组的解空间：齐次线性方程组的全部解向量构成的合。

6.向量组：多个相同维数的向量组成的集合。

7.线性组合：给定Rn中向量组A：α1，α2，…，αm，以及数k1，k2，…，km，称向量β=k1α1+k2α2+…+kmαm（k∈R）为向量组A的一个线性组合。

8.张成：给定Rn中向量组A：α1，α2，…，αm，由A的全体线性组合构成的集合。

Ps；（1）记为Span（α1，α2，…，αm）={k1α1+k2α2+…+kmαm}；

（2）张成是一Rn的一个子空间；

9.向量β能由向量组A线性表示：给定n维向量组A：α1，α2，…，αm和n维向量β，若存在m个数k1，k2，…，km，使β=k1α1+k2α2+…+kmαm（k∈R）

10.线性方程的三中表示：

（1）矩阵方程Ax=b；

（2）向量方程x1α1+x2α2+…+xnαn=β；

（3）一般式方程；

11.线性相关；k1α1+k2α2+…+knαn=0（k不全为0）；

线性无关；k1α1+k2α2+…+knαn=0（k全为0）；

12.线性相关的几何解释；

（1）若向量组A：α1，α2线性相关，则它们共线：

（2）若向量组A：α1，α2，α3线性相关，则它们共面。

13.向量组A线性相关的充要条件为R（A）＜n（即齐次线性方程组有非零解）；

向量组A线性无关的充要条件为R（A）=n（……只有零解）。

➢ pnppnnnnnnnnpapapaaaaaaaaaaD212211212222111211)1(逆序数

（1）行列中两个数一次对换改变奇偶性

（2）全部n（n≥2）级排列中奇偶各占一半，2!n个；n!项相加，每项n个数相乘

➢ 行列式性质：

（1）D=DT （2）某行（列）提公因数k出来 （3）任意互换两行（列），值变号，r行j列

（4）两行（列）元素成比例，D=0 （5）某一行（列）全为0，D=0 （6）可拆

（7）某一行（列）×k＋另一行（列），值不变

➢ 反对称行列式：0000yxncbcanbaD=0

➢ 余子式：划去aij，所剩Mij ；代数余子式：Aij=(-1)i+jMij

➢ D=ai1Ai1+ai2Ai2+……+ainAin（按行展开）

D=a1jA1j+a2jA2j+……+anjAnj（按列展开）

（1）各元素与其代数余子式乘积的和

（2）某一行（列）元素×另一行（列）对应代数余子式之和=0

➢ 上（下）三角：nabnbaD

➢ 副对角：nababnDnn2)1()1(

➢ 范德蒙：

的乘积所有满足)(1)(1111112112222121ijnjiijnnnnnnxxnjixxxxxxxxxxx

➢ 拉普拉斯展开式：babcacba ➢ n元线性方程组：（1）D＝Dn≠0 → 唯一解 njDDxjj2,1,

（2）D＝Dn≠0 → 齐次方程“零解”

D＝Dn＝0 → 齐次方程“非零解”

➢ 方（矩）阵：m=n

零矩阵：000000000上三角：nnaaa2211＊ 下三角：nnaaa＊2211

线性代数大一上知识点

线性代数是一门研究向量空间、线性变换和线性方程组的数学学科。作为一门基础学科，线性代数在大一上是必修课之一。本文将为您介绍线性代数大一上的一些重要知识点。

一、向量与向量空间

1. 向量的定义与表示方法

向量是由若干个数构成的有序数组，通常用加粗的小写字母表示。可以采用坐标表示法、分量表示法或单位向量表示法表示向量。向量具有平移、缩放和取反等运算性质。

2. 向量的线性组合与线性相关

向量的线性组合是指将向量乘以一定的实数后相加的过程。若存在非零的实数使得向量的线性组合为零向量，则称这些向量线性相关。

3. 向量空间的定义与性质 向量空间是指由一组向量构成的集合，满足加法和数乘运算封闭、满足各种运算的性质。向量空间具有唯一的零向量和各向量的加法逆元素。

二、矩阵与矩阵运算

1. 矩阵的定义与表示方法

矩阵是一个按照矩形排列的数，通常用大写字母表示。矩阵的元素可以是实数或复数。矩阵的维数指的是它的行数和列数。

2. 矩阵的运算

矩阵的运算包括矩阵的加法、矩阵的数乘和矩阵的乘法。矩阵的加法和数乘满足交换律和结合律；矩阵的乘法要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。

3. 矩阵的转置与逆矩阵

矩阵的转置是指行与列互换的操作，用上标T表示。一个方阵若存在逆矩阵，则称其为可逆矩阵，逆矩阵可以用于解线性方程组和求解矩阵的特征值与特征向量。

三、线性方程组与矩阵的应用

1. 线性方程组的表示与解法

线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，通过矩阵的形式可以简洁地表示。线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵求逆法或克拉默法则等方法求解。

2. 矩阵的行列式与特征值

矩阵的行列式是一个用于判断矩阵可逆性和求解特征值的重要工具。矩阵的特征值和特征向量可以用于描述矩阵的性质和变换。

3. 线性方程组的几何意义

线性方程组可以表示为向量的线性组合，通过解线性方程组可以得到向量组的几何性质。线性方程组的解空间可以用于描述向量组的几何特征。