线性代数详细知识点

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Word 文档 线性代数

第一章 行列式

§1 二阶和三阶行列式

一、二元一次线性程组与二阶行列式

结论：如果112212210aaaa，则二元线性程组

11112212112222axaxbaxaxb

的解为

122122111221221baabxaaaa，1121212112121abbaxabba。

定义：设11122122,,,aaaa，记11221221aaaa为11122122aaaa。称11122122aaaa为二阶行列式

有了行列式的符号，二元线性程组的求解公式可以改写为

112222111122122babaxaaaa，111122211122122ababxaaaa

二、三阶行列式与三元一次线性程组

定义：111213212223313233aaaaaaaaa

112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa

定理：如果1112132122233132330aaaDaaaaaa，则***123(,,)xxx是下面的三元线性程组的解

111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb

当且仅当

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Word 文档 *1x112132222333233/baabaaDbaa,*2x111132122331333/abaabaDaba,*3x111212122231323/aabaabDaab

其中111213212223313233aaaaaaaaa为系数行列式。

证明：略。

性质1：行列式行列互换，其值不变。即111213112131212223122232313233132333aaaaaaaaaaaaaaaaaa。

性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如

111213212223212223111213313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa

推论：行列式有两行相同，其值为零。

性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如

111213111213212223212223313233313233aaaaaakakakakaaaaaaaaa

推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。

推论：行列式有一行全为零，其值为零。

性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。

性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如

111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233aaaaaaaaaabababaaabbbaaaaaaaaa

性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上, 其值不变。例如

111213111213211122122313212223313233313233aaaaaaakaakaakaaaaaaaaaa

性质7：行列式按某一行展开

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Word 文档 111213222321232122212223111213323331333132313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

定理的证明：用22233233aaaa乘第一个程1111221331axaxaxb，得

222322232223222311112213313233323332333233aaaaaaaaaxaxaxbaaaaaaaa①

用12133233aaaa乘第一个程2112222332axaxaxb，得

121312131213121321122223323233323332333233aaaaaaaaaxaxaxbaaaaaaaa②；

同理，有

121312131213121331132233332223222322232223aaaaaaaaaxaxaxbaaaaaaaa③。

①+（-1）②+③，得

2223121312131121311323332332223()aaaaaaaaaxaaaaaa

2223121312131222322323332332223()aaaaaaaaaxaaaaaa

2223121312131323333323332332223()aaaaaaaaaxaaaaaa

222312131213123323332332223aaaaaabbbaaaaaa

利用性质7，得

111213121213131213112132122231222223223222332222331323332323333323333233aaaaaaaaabaaaaaxaaaxaaaxbaaaaaaaaaaabaa

从而

1112131121321222312222331323333233aaabaaaaaxbaaaaabaa。

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Word 文档 定理：111122133211222233311322333000axaxaxaxaxaxaxaxax有非零解当且仅当系数行列式0D。

证明：必要性：若齐次程组有非零解，如果0D，由前面的定理，矛盾。

充分性：若0D，注意

111213212223313233aaaaaaaaa=222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa

把222321232122323331333132(,,)aaaaaaaaaaaa带入第2和第3个程，容易验证它是程组的解。

因此，如果222321232122323331333132,,aaaaaaaaaaaa不全为零，则定理得证。

如果2223212321223233313331320,0,0aaaaaaaaaaaa，则232122313233aaaaaa。原程组实际上等价于11112213321122223300axaxaxaxaxax。而该程组一定有非零解（为什么？自己讨论）。

§2 全排列及其逆序数

定义：1,2,,n的一个排列是指这n个数组成的一个有序组。

定义（逆序与逆序数）：设12niii是1,2,,n的一个排列，如果jk，而jkii，则称(,)jkii构成一个逆序对，排列12niii的所有逆序对的个数叫做置换排列12niii的逆序数，记为12()niii。12()(1)niii叫做排列12niii的符号，记为12()nsgniii。12()1nsgniii的排列叫做偶排列，12()1nsgniii的排列12niii叫做奇排列。

定理3.2.1：设12niii，12njjj是1,2,,n的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换把是12niii变成12njjj。

例：排列7523146包含的逆序对有

75、72、73、71、74、76；

52、53、51、54；

21；

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Word 文档 31。

故逆序数为12。

§3 n阶行列式的定义

一、n阶行列式的正式定义

定义：数域K上的n阶行列式定义为

nnnnnnaaaaaaaaa212222111211121212()12(1)nnnjjjjjnjjjjaaa。

其中对任意的,1,2,,ijn，ijaK。通常记之为A。

例1：0001002012342403004000。

例2：1000101001LLLLLLL

例3：121421243233430000?00000aaaaaaa

例4：。12345123451212120000000000aaaaabbbbbccddee。

例5：111212221122000nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLLL

§5、行列式的性质

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Word 文档 性质1：行列式行列互换，其值不变。即

111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL112111222212nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL。

性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。

推论：行列式有两行相同，其值为零。

性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。

推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。

推论：行列式有一行全为零，其值为零。

性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。

性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。

性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上, 其值不变。

§6 行列式按行展开

定义1：在111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL

中，把位于i行，j列的元素划去后留下的1n行列式叫做ija的余子式，记为ijM。而(1)ijijijAM叫做ija的代数余子式。

引理： 111211112100nnnnnnnnnnnaaaaAaaaaLLLL。

证明：注意121njjjn的逆序数与121njjj的逆序数的关系，其中121njjj是1,2,,(1)n的一个排列。

引理：在n阶行列式A中，若0ija，而对所有的kj，0ika。则ijijAaA。