数学解题思维障碍的成因及对策
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数学解题思维障碍的成因及对策
在学习数学中，数学概念与原理的掌握离不开具体的概念操作和思维操作，而解题过程就是一种概念操作和思维操作的过程。它可以帮助学生掌握基础知识，巩固和强化记忆，提高分析问题和解决问题的能力，使思维得到发展。从这个意义上讲，数学解题在学习数学中具有不可替代的作用。但是，在数学解题过程中，由于学生的思维形式或结果与具体问题的解决要求存在差异，因而会造成思维过程中断或思路僵化，解答错误，即产生思维障碍。具体来说，所谓数学解题思维障碍是指在数学解题过程中，出现了所学知识与面对所要解决的问题联系不起来，联想的过程中出现了知识断裂，或者所联想的知识与解题缺乏一定的逻辑关系，思维过程出现了中断，思维失去了连贯性，知识之间失去了内在的联系。下面以具体问题为例，分析数学解题思维障碍的表现形式及成因，并提出克服障碍的几点建议。
一、数学解题思维障碍的几种表现形式及成因分析
1.知识基础不牢固导致思维片面性
学生的知识基础在一定程度上决定了学生的思维方式，而学生的思维方式又表现在学生的解题上。如果学生的基础知识不牢固，他在解题时就可能看不懂题目的要求，或者不能够自觉地挖掘题目中隐含的对解题有利的信息，只是利用题目中的一些比较明显但不充分的条件去解决问题，导致找不到解决问题的思路；或者学生在解题时，不能够全面的解题，只是从事物的局部去分析问题，不能自觉地把握整体，深入本质的解决问题，等等。
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显然，错解的学生是由于一下手就按照常规的方法去列式，求解，而不是先考虑题目有解的首要条件是△≥0。如果注意到了隐含条件△≥0，那就可以求得的范围是a≥3 或a≤-2。这是二次方程情景知识的缺乏而导致思维的不严谨。
例2 已知关于x 的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0的解集是R，求数m 的取值范围。
片面性思维的学生解答如下：
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上述解答中，虽然注意到了二次函数图像的特征与问题要求的关系，但却遗漏了系数是可变的特点，即m2 +4m-5=0的情形。因此，本题的解答应补充：
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2.数学解题方法的欠缺导致思维中断
教师在讲解某一部分基础知识或利用某部分知识解题时，总会侧重某种解题方法，其余的方法，往往是一笔带过，或提出了思路，由学生自己去做，学生在解题时，也常常是只用一种方法，仅仅是能够做出答案了事，很少去思考题目除了能用自己所运用的方法解之外，是不是存在其他的方法或许更容易。遇到稍微与平常方法不同时，往往会不知所措，不懂如何下手。
例3 求 的最小值。
在课堂上，求最值通常都用均值不等式法，放缩法等，所以学生有拿到此题，以前学过的方法行不通，思维受阻了。由于根号内均以二次函数面目出现，有很大一部分学生钻进了用代数方法求函数最值的“胡同”，出不来了。其实，认真观察题目，分析题目的结构，我们可以首先把题目变形成：，从而不难看出，本题可以看成是在x 轴上求一点P(x，0)，使它到点A（1，1），B（4，3）的距离的和最小，显然，这个最小值就是点A＇（1，-1）与点B（4，3）的距离，由距离公式得，故原式的最小值为5.
3.消极的思维定势导致思维混沌思维定势是指思维的倾向性和定向性。在长时期的数学教学过程中，由于受到教师的示范和学生自我训练的影响，学生形成了一个比较稳固的习惯性思考和解答数学问题的程序化、意向化、规律化的个性思维策略的连续系统———解决数学问题所遵循的某种思维格式和惯性。这种解决数学问题的思维格式和思维惯性是数学知识的积累和解题经验、技能的汇集，它一方面有利于学生按照一定的程序思考数学问题，比较顺利地求得一般同类数学问题的最终答案；另一方面，这种定势思维的单一深化和习惯性增长又带来许多负面影响，如使学生的思维向固定模式方面发展，解题适应能力提高缓慢，分析问题和解决问题的能力得不到应有的提高。有很强思维定势心理的学生往往是当题目转换了还运用原来的方法去解题，从而导致解题的失误，甚至是按照以前的思维去解题，导致解题越来越烦，结果使解题思路出现混沌状态。
例4 设z∈C，则等式|z-2i|+|z+2i|=4 所表示的轨迹是什么？
有不少学生不假思索，回答是椭圆，理由大概是根据椭圆的定义。而事实上，满足等式的复数有z=0，z=2i,z=-2i，即等式所表示的轨迹是三个点.
例5 已知实数x,y 满足，点P（x，y）所对应的轨迹为___.
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
在复习圆锥曲线时，面对这个问题，学生一着手就简化方程，化简了半天还是看不出结果，就再找自己运算中的错误(怀疑自己算错)，而不去仔细研究此式的结构进而可以看出到点(1，1)及到直线x+y+1=0的距离相等,从而其轨迹为抛物线。
4.思维的惰性导致思维僵化
思维惰性是指思维的懒惰性，就数学而言，就是解题时懒于思考，特别是解某些同类问题放在一起时，往往不愿认真分析思考，不探究其相异之处，简单套用一种方法，结果造成失误。如将下面两题放在一起让学生完成： .
学生们对问题（1）完成得比较顺利，对问题（2）只有很少一部分学生想到利用裂项法解。裂项后即转化为问题（1），而其余学生都是从分母有理化考虑，结果运算过程冗繁，并且做对的同学极少数。这是思维的惰性所致。如果学生能够认真地观察分析这两个式子，那么对问题（2）也就不难发现了。
例7 求函数y=lgx+logx10 的值域。
有些学生回答值域为[2,+∞]，原因是他们以前学习重要不等式的应用时，做过类似的问题。显然，这部分同学只是简单地从记忆表象出发解决问题，而没有分析问题的具体情况，从而得出错误的结论。其实，因为此函数的定义域为{x|x>0，x≠1}，所以lgx 可以取任意非零实数，故函数y=lgx+logx10 的值域为(-∞,-2]∪[2，+∞].
二、克服数学解题思维障碍的几点建议
1.重视知识的循序渐进，形成良好的认知结构
在数学教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动性精神，培养学生良好的意志品质。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，提高学生学好数学的信心。在此基础上，引导学生重视知识体系的完整性，把新旧知识有机地联系起来，而不是把数学知识作为一个个分裂、独立的个体，从而避免因知识不牢固而导致思维的片面性。
2.重视数学思想方法的教学
在教学中，重视数学思想方法的提炼可以帮助学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择：该做什么及怎么做。有时一些方法学生并非不懂，而是不知怎么用合理；有的学生面对数学问题，首先想到的是套用公式或模仿做过的题目，但对背景稍微陌生的题型便无从下手，这是数学意识落后的表现。例如，灵活转换解题方法的意识就是一种很重要的数学意识，要形成这样的意识，必须在平时的数学解题练习中，注重方法的训练，做题追求的不仅仅是能够把题目解答出来，还要求能够用尽可能多的方法解题，并且比较各个解题方法之间的异同，分析最简单的解题思路及方法，经过针对性的训练，才能在不同的题型中灵活的选用解题方法。
3.养成学生对数学知识经验进行归纳总结的习惯
在学完每一个章节的过程中，培养学生自行归纳、总结的习惯。在归纳、总结本章节的主要内容的同时，对比每一小节之间的联系与差别，并学着去发现每一节之间是怎么样联系的，章节在整个教学过程中的地位。但是，课本上的知识总是伴随着相关的数学活动经验才被学习者所掌握的，那种只会死记硬背课本上知识的做法，是无法真正掌握数学的。因此，教师应设法让学生在各种数学活动中学会总结归纳数学活动经验，即掌握数学的情景知识，这些知识将告诉学生哪些知识应该在怎么样的场合和情形下应用才是恰当的。换言之，使学生同时握课本的基础知识及其情景知识，整合并灵活应用这两方面知识，才能让学生融会贯通所学数学理论，发展他们的数学思维，提高分析问题和解决问题的能力。
总之，由于引起数学解题思维障碍的原因是多方面、多因素的，因此，除了以上几点建议外，教师在数学教学过程中，要随时观察和分析学生的解题心理，并通过“心理换位”来研究形成学生解题思维障碍的原因，寻求合适的启发角度，帮助不同程度的学生获得不同层次的成功体验。
