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第14讲 圆锥曲线最值问题(原卷及答案)-高考数学复习《导数与解析几何》必掌握问题

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第14讲 最值问题

典型例题

目标函数法求最值问题

【例1】已知椭圆22:14xyWmm的长轴长为4,左、右顶点分别为,AB,经过点1,0P的动直线与椭圆W相交于不同的两点,CD(不与点,AB重合).

(1)求粗圆W的方程及离心率;

(2)求四边形ACBD面积的最大值;

(3)若直线CB与直线AD相交于点M,判断点M是否位于一条定直线上.若是,写出该直线的方程.(结论不要求证明)

不等式法求最值问题

【例2】如图8.2所示,设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF,上顶点为A,过点A与2AF垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且12220FFFQ,若过2,,AQF三点的圆恰好与直线:330lxy相切.过定点0,2M的直线1l与椭圆C交于,GH两点(点G在点,MH之间).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线1l的斜率0k,在x轴上是否存在点,0Pm,使得以,PGPH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.

(3)若实数满足MGMH,求的取值范围.

强化训练

1.已知粗圆2222:1(0)xyMabab的离心率为223,且粗圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为642.

(1)求椭圆M的方程;

(2)设直线l与椭圆M交于,AB两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求ABC面积的最大值.

2.如图8.1所示,椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于,AB两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为60.

(1)求该椭圆的离心率;

(2)设线段AB的中点为,GAB的中垂线与x轴和y轴分别交于,DE两点.记GFD的面积为1,SOED(O为原点)的面积为2S,求12SS的取值范围.

3.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32,椭圆C与y轴交于,AB两点,且2AB.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线,PAPB与直线4x分别交于,MN两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点,EF,求点P横坐标的取值范围及EF的最大值.

4.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22,以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是22.

(1)求椭圆C的方程;

（2）设A是椭圆C的右顶点,点B在x轴上.若椭圆C上存在点P,使得90APB,求点B横坐标的取值范围.

5. 已知点0,2A和抛物线24yx上两点,BC使得ABBC,求点C纵坐标的取值范围.

第14讲 最值问题

典型例题

目标函数法求最值问题

【例1】已知椭圆22:14xyWmm的长轴长为4,左、右顶点分别为,AB,经过点1,0P的动直线与椭圆W相交于不同的两点,CD(不与点,AB重合).

(1)求粗圆W的方程及离心率;

(2)求四边形ACBD面积的最大值;

(3)若直线CB与直线AD相交于点M,判断点M是否位于一条定直线上.若是,写出该直线的方程.(结论不要求证明)

【分析】

本题的第(2)问是求四边形ACBD面积的最大值,作为一般的四边形面积,首先要拆分为两个三角形的面积之和;关于最值的探求,在解析几何中常常用到目标函数法,即把目标表示为引入的一个新的变量的函数,求最值的方法,通常是转化为二次函数或者是利用平均值不等式,或者是一个基本初等函数的单调性来处理,在这个过程中一定要关注定义域.下面给出的解法四 是导数法,但在解析几何最值问题中用导数法较少．

【解析】解(1)由题意得244am,解得1m.因此椭圆W方程为2214xy.故2a,221,3bcab.所以椭圆W的离心率为32cea.

(2)不妨设四边形ACBD的面积为S.

(解法)(拆分方式为ABCABDSSS,目标函数转化为二次函数求最值)当直线CD的斜率k不存在时,由题意得CD的方程为1x.代人椭圆W的方程,得31,2C,31,2D.又因为24,ABaABCD,所以四边形ACBD的面积为

123.2SABCD

当直线CD的斜率k存在时,设CD的方程为112210,,,,ykxkCxyDxy.则联立方程221,1,4ykxxy消去y,得

2222418440.kxkxk

由题意可知Δ0恒成立,则 22121222844,?.4141kkxxxxkk

因此四边形ACBD的面积为

1211.22ABCABDSSSAByABy

1212122AByykxx

22221212223124841kkkxxxxk

设241kt,则四边形ACBD的面积为

212123?0,1.Sttt

所以

2121423.St

综上可知,四边形ACBD面积的最大值为23.

（3）解法一（拆分方式为ACDBCDSSS,目标函数转化为二次函数求最值)当直线CD的斜率k不存在时,同上.此时四边形ACBD的面积为

123.2SABCD

当直线CD的斜率k存在时,设CD的方程为112210,,,,ykxkCxyDxy.则联立方程221,1,4ykxxy消去y,得

2222418440.kxkxk

由题意可知Δ0恒成立,则

22121222844,?.4141kkxxxxkk

设,AB两点到直线CD的距离分别为12,dd.则四边形ACBD的面积为

1211.22ACDBCDSSSCDdCDd

因为 |CD∣22121214kxxxx

222222844144141kkkkk

22221314,41kkk

又因为12223,11kkddkk,所以

222222222131314148.214141ACDBCDkkkkkSSSkkk

以下同解法一 .

解法三 （注意直线的设法不同,会带来运算量的降低,目标函数初步转化为平均值不等式法;验证等号取不到时,转化为函数单调性法)由题意,设CD的方程为1xty,

1122,,,CxyDxy.则联立方程221,1,4xtyxy消去x,得

224230.tyty

由题意可知Δ0恒成立,所以

12122223,?.44tyyyytt

因此四边形ACBD的面积为

121122ABCABDSSSAByABy

21212121242AByyyyyy

222222222433124881444323ttttttt

求导知函数12fxxx在3,上单调递增,所以

22116323.33tft 所以

221823? (?0?).?1323Sttt当时取等号

即当CD的直线方程为1x时,四边形ACBD的面积取到最大值23.

解法四 (拆分方式为ABCABDSSS,目标函数转化为导数法求最值)当直线CD的斜率k不存在时,同上.此时四边形ACBD的面积1232SABCD.

当直线CD的斜率k存在时,设CD的方程为10ykxk.同解法一 ,得

2222318.41ACDBCDkkSSSk

令20tk,且223(41)ttgtt.因为

gt22461(41)3841(41)tttttt

321,(41)tt

所以0gt恒成立.因此223(41)ttgtt在0,上单调递增,从而可得

limtgt222233limlim(41)1681ttttttttt2133lim,811616tttt

即316gt.故3823.16S

即当CD的直线方程为1x时,四边形ACBD的面积取到最大值23.

(3)结论:点M在一条定直线上,且该直线的方程为4x.

【点睛】在引入参数时,不同的直线设法,对于运算量还是有一定影响的.作为直线,若斜率不存在时满足题意,但斜率为零时不满足题意,常常设为xtym,可使得计算简便;其次,在换元的过程中,一定要注意换元的方式和等价性,这是保证函数的定义域正确,也是求得最值正确的保障.

不等式法求最值问题

【例2】如图8.2所示,设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF,上顶点为A,过点A与2AF垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且12220FFFQ,若过2,,AQF三点的圆恰好与直线:330lxy相切.过定点0,2M的直线1l与椭圆C交于,GH两点(点G在点,MH之间).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线1l的斜率0k,在x轴上是否存在点,0Pm,使得以,PGPH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.

(3)若实数满足MGMH,求的取值范围.

【分析】我们重点研究一下第(3)问:解法一 和解法二 均为设直线法,那么难点在于如何用好韦达定理.解法一 反复利用了12xx这个条件,构造出1221xxx与2122xxx,再利用右方共同的2x,来构建出12xx与12xx的等量关系,然后代入韦达定理,得到Mkg结构的式子,由Mk的范围,得出g的范围,然后通过解关于的不等式,得到的取值范围,这个过程对计算的技巧要求比较高;解法二 的原理同解法一 ,但在配整韦达定理的过程中,观察到12xx,故而直接利用了21212211212xxxxxxxx的变形技巧,比解法一

稍简化了计算;解法三 用的是设点法,需要利用点在椭圆上和向量共线,得出4个方程,由于有5个末知数1212,,,,xxyy,故而最终得到与2y的关系,再利用目标函数法或者是由范围解范围的方法求解.

【解析】 解(1)因为12220FFFQ,所以1F为2FQ的中点.设Q的坐标为3,0c,因为2AQAF,所以222233,4bcccac,且过2,,AQF三点的圆的圆心为1,0Fc,半径为2c.因为该圆与直线l相切,所以

32.2cc

解得1c,因此2,3ab.故所求椭圆方程为22143xy.

(2)设1l的方程为2(0)ykxk,则由222,1,43ykxxy得

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考点47 直线与曲线的最值问题(解析版)

考点47 直线与曲线的最值问题(解析版)

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考点47 直线与曲线的最值问题

一.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

1.是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

2.是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解

二．解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

①利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；

①利用基本不等式求出参数的取值范围；

①利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

考向一 最值问题

【例1】（2021·漠河市高级中学高三月考（文））如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab上一点(0,2)A，右焦点为(c,0)F，直线AF交椭圆于B点，且满足||2||AFFB， 33||2AB．

（1）求椭圆C的方程； 知识理解

考向分析 2 / 26

（2）若直线(0)ykxk与椭圆相交于,CD两点，求四边形ACBD面积的最大值．

【答案】（1）22132xy；（2）32.

【解析】（1）(0,2)A为椭圆C上一点，2b

又 ||2||AFFB，33||2AB可得，||3AF，即3a

所以椭圆C的标准方程是22132xy.

（2）由（1）知(1,0)F，(0,2)A，直线AF的方程为220xy，

联立22132220xyxy ，整理得：22462(3)0xxxx，

解得：1230,2xx，32(,)22B

设点(0,2)A，32(,)22B到直线(0)ykxk的距离为1d和2d，

则1221dk，223221kdk，

高考圆锥曲线最值问题常见类型及解法探究

高考圆锥曲线最值问题常见类型及解法探究

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高考圆锥曲线最值问题常见类型及解法探究

作者：章玉

来源：《现代商贸工业》2019年第28期

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摘 要：圆锥曲线是解析几何的核心内容，圆锥曲线中的最值问题一直是数学高考的热点，也是学生学习中的一个难点。这类问题具有综合性强、方法多、技巧强、计算量大等特点，作为考察学生逻辑推理、数学运算以及综合运用数学知识分析和解决问题的能力的重要题龙源期刊网

型，圆锥曲线与三角、函数、几何、不等式、方程、平面向量等都有密切的联系，学生在解题时，存在许多思维障碍或运算问题。结合近几年高考，就此类问题的常见类型及其解法进行梳理总结，希望对学生的解题有所帮助。

关键词：高中数学;圆锥曲线;最值问题

中图分类号：G4 文献标识码：Adoi：10.19311/ki.1672-3198.2019.28.087

参考文献

[1]丁晨晖.谈谈高中数学圆锥曲线中的最值問题[J].课程教育研究，2015，（32）：244-245.

[2]黄寒凝，张海峰.一类圆锥曲线最值问题的探究与突破策略[J].福建基础教育研究，2019，（02）：41-44.

[3]张自鹤.圆锥曲线中最值问题的求解策略[J].高中数学教与学，2016，（03）：18-21.

2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理

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题型一 范围问题

例1 (2015·天津)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.

(1)求直线FM的斜率；

(2)求椭圆的方程；

(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．

解 (1)由已知，有c2a2＝13，

又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.

设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．

由已知，有kck2＋12＋c22＝b22，

解得k＝33.

(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1，直线FM的方程为y＝33(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－53c或x＝c.

因为点M在第一象限，可得M的坐标为c，233c.

由|FM|＝ c＋c2＋233c－02＝433.

解得c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.

(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，

得t＝yx＋1，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立，

 y＝tx＋，x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，

又由已知，得t＝ 6－2x2x＋2＞2， 解得－32＜x＜－1或－1＜x＜0.

设直线OP的斜率为m，得m＝yx，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝2x2－23.

①当x∈－32，－1时，有y＝t(x＋1)＜0，

因此m＞0，于是m＝ 2x2－23，得m∈23，233.

圆锥曲线最值问题方法总结

圆锥曲线最值问题方法总结

圆锥曲线最值问题方法总结

圆锥曲线最值问题方法总结

圆锥曲线最值问题涉及到求解曲线上最大值或最小值的问题，在数学和物理学中经常应用。以下是一些常用的解决方法：

1. 初等法

初等法是指通过观察和推理，利用数学基本法则和基本知识来解题的方法。初等法的优点是简单易懂，适用范围广，但受限于个人数学基础，对复杂问题求解不够实用。

2. 使用微积分

微积分是解决圆锥曲线最值问题最常用的方法之一。通过求取曲线函数的导数，并令导数为零，可以得到函数可能的最值点。对于一些复杂的问题，需要用到高阶导数和一些特殊的微积分技巧。

3. 利用几何形状特征

圆锥曲线具有不同的几何形状特征，如椭圆的长轴和短轴，双曲线的渐近线和焦点等等。利用这些特征，可以通过画图等方式确定曲线的最值点。

4. 使用向量分析

向量分析是一种基于微积分的高级数学方法，通过对曲线方程进行向量运算，可以求解曲线的最大值或最小值。

5. 应用拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是一种求解约束条件的最值问题的方法，也可以应用于圆锥曲线最值问题中。通过合理选择拉格朗日乘数，可以得到曲线的最值点。

总之，对于圆锥曲线最值问题的求解，需要综合运用多种数学工具和方法，以最快、最简单、最准确的方式解决问题。