微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)

1．10lim2xx_________。

（A ） - （B ） + （C） 0 （D） 不存在

2．当0x时，()xxfxx的极限为 _________。

（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D） 不存在

３． 下列极限存在，则成立的是_________。

0()()()lim()xfaxfaAfax0()(0)()lim(0)xftxfBtfx0000()()()lim2()tfxtfxtCfxt0()()()lim()xfxfaDfaax

４． 设f（x）有二阶连续导数，且0()(0)0,lim1,0()_______xfxfffxx则是的。

（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D） 不是极值点也不是拐点

5．若()(),fxgx则下列各式 成立。

()()()0Afxx()()()BfxxC()()()Cdfxdx()()()ddDfxdxxdxdxdx

二、 填空题（每小题3分，共18分）

1. 设0(2)()0(0)0,lim1sinxfxfxxfx在处可导，且，那么曲线()yfx在原点处的切线方程是__________。

２．函数()3fxxx在区间[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的=。

3．设1(),()lnfxfxdxx的一个原函数是那么 。

4．设(),xfxxe那么2阶导函数 ()___fxx在点取得极_____值。

5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数52QP，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格

下降1％，需求量将。

6．若,11),(xxuufy且,1)('uufdydx。

三、计算题（每小题6分，共42分）：

1、 求11ln(ln)limxxex 2、 1[(1)]limxxxex

3、设211~,21xaxxcbx时，无穷小量求常数a、b、c.

4、1(2)1dxxx

5、ln(2)xxedxe

6、3cossinxxdxx

7、设函数f(x)具有二阶导数，且f（0）=0,

又(0)0()()0fxgxfxxx ，求()gx。

四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。

（1） 求边际收益函数和边际成本函数；

（2） 求使销售利润最大的商品单价。

五、（12分）作函数221(1)xyx的图形

六、证明题（每题5分，共计10分）

1、 设函数)(xf在[,]ab上连续，且()fx在(,)ab内是常数，证明)(xf在[,]ab上的表达式为

(),fxAxBAB其中、为常数。

2、设函数)(xf在[0,)上可导，且()0,(0)0.fxkf证明)(xf在(0,)内仅有一个零点。

《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)

1．C； 2． D； 3.B C; 4.A; 5.B C.

二、 填空题（每小题3分，共18分）

1.12yx ２．23．21lnCxx

4．X=2,极小值 5．上升2% 6．221dydxx

三、计算题（每小题6分，共42分）：

1、求11ln(ln)limxxex

解：令11ln(ln)xyx，则1lnln(ln)______21lnyxx分

00011lnlimlnlimln(lnlim11lnxxxxxyxxx）=-1-----3分

10limxye-----1分

3、 1[(1)]limxxxex

解：原式= 11[(1)1]2limxxxex分

11111lim(1)241limxxxxxeexex分

3、设211~,21xaxxcbx时，无穷小量求常数a、b、c.

解：由2211axxcbx3分

得a=0，b=-2，c取任意实数。3分

4解：1(2)1dxxx211112[1(1)]1[1(1)]dxdxxxx3分 1arc12tgxC3分

5、解ln(2)1ln(2)ln(2)2xxxxxxxedxedeeedxee2分

12ln(2)22xxxxxeeeedxe 2分

11ln(2)ln(2)2211()ln(2)22xxxxxeexeCeexC2分

6、解：32cos11sin2sinxxdxxdxx 2分

221[csc]2sinxxdxx2分

2112sin2xctgxCx2分

7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f（0）=0,

又(0)0()()0fxgxfxxx ，

求()gx

解：2()()0()xfxfxxxx当时，g，这时()gx连续 2分

200()(0)()(0)10(0)limlim(0)22xxfxxffxfxfxx当时，g 3分

所以2()(),0,()1(0),0.2xfxfxxxgxfx1分

四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。

（3） 求边际收益函数MR和边际成本函数MC；

（4） 求使销售利润最大的商品单价。

解：（1）212008,5;MRPQPPMC3分

（2）利润函数 2()812408500,LPPQCPP1分

155()1612400,2LPP令得P=

()160,Lp唯一驻点，又2分

P=155/2时利润最大。2分

五、（12分）作函数221(1)xyx的图形

答案： （1）定义域是1,,11,x是间断点1分

（2）渐近线

因,0)1(122limxxx故y=0为水平渐近线

因,)1(1221limxxx故x=1为垂直渐近线2分

(3)单调性、极值、凹凸及拐点

,)1(23'xxy令,0'y得x=0

,)1(244''xxy令,0''y得21x

再列表

1)0(f是极小值；拐点是)89,21(.6分 x)21,(000间断点 拐

点 )1,0(),1()0,21(21'y''yy(4)选点当21x 时，y=0;当23x时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时，45y1分

(5)描点作图 略2分

六、证明题（每题5分，共计10分）

1、设函数)(xf在[,]ab上连续，且()fx在(,)ab内是常数，证明)(xf在[,]ab上的表达式为

(),fxAxBAB其中、为常数。

证明：设(),fxk在（a，b）内任取一点x，在区间[a，x]上由拉格朗日中值定理有：()()()()()fxfafaxkaxax2分

则()()(,())fxkxkafaAxBAkBkafa其中2分

当x=a时，上式也成立。 1分

2、设函数)(xf在[0,)上可导，且()0,(0)0.fxkf证明)(xf在(0,)内仅有一个零点。

证明：在0,)（内任取一点x，则()[0]fxx在，上满足拉格朗日中值定理条件，

1()(0)(),fxffxkx()(0),fxkxf即3分

令11(0)0,()0fxfxk且，由f（x）的单调性和零值定理知原命题成立。2分