《数值分析》第六章答案
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第六章习题解答1、设函数01(),(),,()n x x x φφφ 在[,]a b 上带权()x ρ正交,试证明{}()nj j x φ=是线性无关组。
证明:设0()nj jj l x φ==∑,两端与01()(,,,)kx k n φ= 作内积,由()jx φ的正交性可知,200(),()((),())((),())()()n n b k j j j k j k k k k k a j j x l x l x x l x x l x x dx φφφφφφρφ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑⎰, 于是有001(,,,)k l k n == ,即{}()nj j x φ=是线性无关组。
2、试确定系数,a b 的值使22(()cos )ax b x dx π+-⎰达到最小。
解:定义02,[,]f g C π∈上的内积为20fgdx π⎰,取011(),()x x x ϕϕ==,()s x ax b =+,()cos f x x =,则法方程为0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中()2000112,dx ππϕϕ=⨯=⎰,()2201018,xdx ππϕϕ=⨯=⎰,()3211024,x xdx ππϕϕ=⨯=⎰,()2001,cos f xdx πϕ==⎰,()21012,cos f x xdx ππϕ==-⎰,于是方程组为22312812824a b πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭,解之得1158506644.,.a b ==-。
3、已知函数11()(,)f x x =∈-,试用二类Chebyshev 多项式()n U x 构造此函数的二次最佳平方逼近元。
解:法一、取20121(),(),(),x x x x x ϕϕϕ===()()()00112222235,,,,,ϕϕϕϕϕϕ===,()()()011202203,,,,ϕϕϕϕϕϕ===,同时由二类Chebyshev 多项式的性质知 ()()()11101211028,,,,,f f f x ππϕϕϕ---======⎰⎰⎰于是可得法方程为0122203220003220835c c c ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,解之得0121.0308,0,0.7363c c c ===-, 于是()f x 的二次最佳逼近元是2001122() 1.03080.7363x c c c x ϕϕϕϕ=++=-法一、二类Chebyshev 多项式2012()1,()2,()41U x U x x U x x ===-,取内积权函数()()x f x ρ==,于是11200114(,)(1)3f U fU dx x dx ρ--==-=⎰⎰,1121111(,)2(1)0f U fU dx x x dx ρ--==-=⎰⎰,112222114(,)(41)(1)15f U fU dx x x dx ρ--==--=-⎰⎰ 由()n U x 正交性及(,)2n n U U π=可得0000(,)8(,)3f U c U U π==,1111(,)0(,)f U c U U ==,2222(,)8(,)15f U c U U π==-, 于是()f x 的二次最佳逼近元为001122()x c U c U c U ϕ=++=21632515x ππ- 4、设012{(),(),()}L x L x L x 是定义于[0,)+∞上关于权函数()xx eρ-=的首项系数为1的正交多项式组,若已知01()1,()1L x L x x ==-,试求出二次多项式2()L x 。
第六章 习 题1. 计算下列矩阵的1A ,2A ,A ∞三种范数。
(1)1101A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠,(2)312020116A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组1231231238322041133631236x x x x x x x x x −+=⎧⎪+−=⎨⎪++=⎩ 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ,并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。
3. 用Gauss-Seidel 迭代求解1231231235163621122x x x x x x x x x −−=⎧⎪++=⎨⎪−+=−⎩ 以(0)(1,1,1)T x =−为初值,当(1)()310k k x x +−∞−<时,迭代终止。
4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=⎧⎨+=⎩ (1)写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵,并讨论迭代收敛条件。
(2)写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵,并讨论迭代收敛条件.5. 设有系数矩阵122111221A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ , 211111112B −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,证明:(1)对于系数矩阵A ,Jacobi 迭代收敛,而Gauss-Seidel 迭代不收敛.(2)对于矩阵B ,.6. 讨论方程组112233302021212x b x b x b −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性;如果都收敛,比较哪种方法收敛更快.7. 对下列方程组进行调整,使之对Gauss-Seidel 迭代收敛,并取初始向量(0)(0,0,0)T x =,求解1213123879897x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−−=⎩ 试将Jacobi 迭代前后的老值与新值加权平均,设计出一种基于Jacobi 迭代的松弛迭代格式.8.分别取松弛因子 1.03ω=,1ω=, 1.1ω=,用SOR 方法解下列方程组1212323414443x x x x x x x −=⎧⎪−+−=⎨⎪−+=−⎩要求()(1)610k k xx −−∞−≤时,迭代终止.。
7、计算的近似值,取。
利用以下四种计算格式,试问哪一种算法误差最小。
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解:计算各项的条件数由计算知,第一种算法误差最小。
解:在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着的增大,会出现大数吃小数的现象。
9、通过分析浮点数集合F=〔10,3,-2,2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
10、试导出计算积分的递推计算公式,用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差,计算取三位有效数字。
解:此算法是数值稳定的。
第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。
〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞,“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
设A是n×n的正交矩阵。
证明A-1也是n×n的正交矩阵。
证明:〔2〕A是n×n的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是n×n的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵,证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。
证A-1也是单位上〔下〕三角阵。
证明:A是单位上三角阵,故|A|=1,∴A可逆,即A-1存在,记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E,那么〔其中 j>i时,〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得,b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k>j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
R n×n中的子集“正交矩阵〞,“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。
A=解:A=~~~故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为,3.求以下矩阵的特征值和特征向量。
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。
解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足,而,故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。
解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.下列公式如何才比较准确?(1)(2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。
(1)(2)4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取,利用:式计算误差最小。
四个选项:第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。
线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值误差限,因,故二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值误差限,故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?解:用误差估计式(5.8),令因得3. 若,求和.解:由均差与导数关系于是4. 若互异,求的值,这里p≤n+1.解:,由均差对称性可知当有而当P=n+1时于是得5. 求证.解:解:只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解:根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解:先构造差分表计算,用n=4得Newton前插公式误差估计由公式(5.17)得其中计算时用Newton后插公式(5.18)误差估计由公式(5.19)得这里仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。
第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分21ln xdx ⎰的近似值,并估计两种方法计算值的最大误差限。
解:①由梯形公式:21ln 2()[()()][ln1ln 2]0.3466222b a T f f a f b --=+=+=≈ 最大误差限3''2()111()()0.0833********T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中,(1,2)η∈ ②由梯形公式:13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262b a b a S f f a f f b -+=++=++≈ 最大误差限5(4)4()66()()0.0021288028802880S b a R f f ηη-=-=≤≈,其中,(1,2)η∈。
4、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明:构造一次函数P (x ),使'',()()2222a b a b a b a b P f P f ++++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则,易求得'()()()()222a b a b a bP x f x f +++=-+ 且'()()()()222bbaa a ba b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰,令()b a P x dx Z =⎰现分析截断误差:令'()()()()()()-()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=-- 由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a b x +=为()r x 的二重零点,所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-,构造辅助函数2()()()()()2a b K t f t P t x t ϕ+=---,则易知: ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 ∴由罗尔定理,存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- ∴截断误差[]''2()()()()()()()22b bb baaa af a b R f f x dx Z f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰ 2()2a b x +-Q 在(a,b)区间上不变号,且连续可积,由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()224baa b b a f x dx Z R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕6、计算积分1x e dx ⎰,若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式,问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字?解:①由复化梯形公式的误差限32''522()1()()101212122T b a b a e R f h f e n n η---=-≤=≤⨯可解得:212.85n ≥即至少剖分213等分。
第六章课后习题解答(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186,2.99999k k k k k k k k k Tx x x x x x x x x x x+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解:(a )因系数矩阵按行严格对角占优,故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。
(b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)Tk k k k k k k k k TTx x x x x x x x x x++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求1212:00.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DL U I BD L U l l l l--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--÷ç桫-=-+-=>-æ--çççç=-=-ççççèlJJJS解(a )雅可比法的迭代矩阵B()BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002SJBDL U I BD L Ul l¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷ø?<骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç桫llSJJ SB故高斯-塞德尔迭代法收敛。
习题61.求解初值问题y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y取步长2.0=h ,分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算,并与准确解xe x y 21+-=相比较。
解: 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+,其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.4599242) 用改进的Euler 公式进行计算,具体形式如下: 10=y)()(1i i i D i y x h y y ++=+ )()(11)(1D i i i C i y x h y y +++++= )(21)(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i计算结果列表如下i i x i y )(1D i y + )(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.0311473. 对初值问题1)0(=-='y y y)0(>x ,证明用梯形公式所求得的近似值为ii hh y ih y )22()(+-=≈ ),2,1,0( =i并证明当0→h 时,它收敛于准确解ix e y -=,其中ih x i =为固定点。
解:1) 对以上初值问题用梯形公式得 )]()[(211++-+-+=i i i i y y h y y , ,2,1,0=i10=y其中ih x i = 由上式递推得 ii hh y )22(+-= , ,2,1,0=i2) 22)2(2)21()21(2121i i x h xh ii h h h h y ∙--+-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= iii ii x x x x h h x h n i h eeeh h y --→--∞→→==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22220)2(2)21(lim )21(lim lim5.证明)4(63211k k k h y y i i +++=+),(1i i y x f k = 2(2h x f k i +=,)211hk y i +h x f k i +=(3,)221hk hk y i +- 是1个3阶公式。
证明 )4(63211k k k h y y i i +++=+),(1i i y x f k = 2(2h x f k i += ,)21k h y i +h x f k i +=(3 ,)221hk hk y i +- 是一个3阶公式解局部截断误差为)4(6)()(32111K K K h x y x y R i i i ++--=++))(,(1i i x y x f K = 2(2h x f K i += ,)2)(1K h x y i +h x f K i +=(3 ,)2)(21hK hK x y i +- 由微分方程有))(,()(x y x f x y =' yx y x f x y xx y x f x y ∂∂'+∂∂=''))(,()())(,()(⎢⎣⎡∂∂∂'+'∂∂∂+∂∂='''y x x y x f x y x y yx x y x f xx y x f x y ))(,()()())(,())(,()(2222y x y x f x y x y yx y x f ∂∂''+⎥⎦⎤'∂∂+))(,()()())(,(22yx x y x f x y xx y x f ∂∂∂'+∂∂=))(,()(2))(,(222yx y x f x y yx y x f x y ∂∂''+∂∂'+))(,()())(,()(222)(1i x y K '=2(2h x f K i += ,)(2)(i i x y h x y '+yx y x f x y h xx y x f h x y x f i i i i i i i ∂∂'+∂∂+=))(,()(2))(,(2))(,(y x x y x f x y hh xx y x f h i i i i i ∂∂∂'⋅⋅+∂∂⎢⎣⎡+))(,()(222))(,()2(212222 )())(,()(23222h O y x y x f x y hi i i +⎥⎦⎤∂∂'+ )())(,()()(8)(2)(32h O y x y x f x y x y h x y hx y i i i i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂''-'''+''+'= (h x f K i +=3,))()()()(3h O x y h x y h x y i i i +''∂+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂''+'+∂∂+=y x y x f x y h x y h x x y x f h x y x f i i i i i i i i )(,())()(())(,())(,(2y x x y x f x y h h xx y x f h i i i i i ∂∂∂'⋅⋅+⎢⎣⎡∂∂+))(,()(2))(,(21222 )())(,()(32222h O y x y x f x y h i i i +⎥⎦⎤∂∂'+ )())(,()()(21)()(32h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂''+'''+''+'= )()(6)(2)(4321h O x y hx y hx y h R i i i i +'''+''+'=+⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-'''+''+'+'-y x y x f x y x y h x y h x y x y h i i i i i i i ))(,()()(2)(2)(4)(62⎥⎦⎤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-'''+''+'+)())(,()()(2)()(32h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i)(4h O =∴所给公式是一个3阶公式6.导出中点公式(或称Euler 两步公式) ),(211i i i i y x hf y y +=-+并给出局部截断误差。
解: o 1 法1 将后退Eluer 公式 ),(1i i i i y x hf y y +=- 和Eluer 公式),(1i i i i y x hf y y +=+ 相加得到),(211i i i i y x hf y y +=-+o2 法2得)(612)()()(211i i i i y h hx y x y x y ξ'''--='-+,),(11+-∈i i i x x ξ 代入等式 ))(,()(i i i x y x f x y =' 得到)(61))(,(2)()(211i i i i i y h x y x f hx y x y ξ'''+=--+变形得到 )(31))(,(2)()(311i i i i i y h x y x hf x y x y ξ'''++=-+忽略小量项)(313i y h ξ''',并用i y 代替)(i x y ,得到中点公式),(211i i i i y x hf y y +=-+ o3 局部截断误差))(,(2)()(111i i i i i x y x hf x y x y R --=-++ θ+'''+'=i i x f h x y h (61)(23)(2)i x y h h '-θ+'''=i x f h (613)h7.证明解),(y x f y ='的公式: )],(3),(),(4[4)(21111111--++-++-++=i i i i i i i i i y x f y x f y x f h y y y是二阶的,并求出其局部截断误差。
解:))(,(4[4)]()([21)(11111++-++-+-=i i i i i i x y x f h x y x y x y R))](,(3))(,(11--+-i i i i x y x f x y x f )(43)(4)()(21)(21)(1111-+-+'-'+'---=i i i i i i x y h x y h x y h x y x y x y)(21)()(6)(2)()(432i i i i i x y h O x y hx y hx y h x y -+'''+''+'+=)]()(6)(2)()([21432h O x y hx y hx y h x y i i i i +'''-''+'--)(4)]()(21)()([32i i i i x y h h O x y h x y h x y h '++'''+''+'-)]()(2)()([4332h O x y hx y h x y h i i i +'''+''-'-)()(6543h O x y h i +'''-=9.直接推导出2步Adams 显式公式 )],(),(3[2111--+-+=i i i i i i y x f y x f h y y和局部截断误差 )(125)3(31i i yh R ξ=+, ),(11+-∈i i i x x ξ解: dx x y x f x y x y i ix xi i ⎰++=+1))(,()()(1以i x 和1-i x 为节点作))(,(x y x f 的一次插值多项式 111111))(,())(,()(-------+--=i i i i i i i i i i x x x x x y x f x x x x x y x f x L则有dx x L x y x y i ix x i i ⎰++≈+1)()()(11dx x x hx y x f x y i ix x i i i i ⎰+--⋅+=121)(1))(,()(dx x x h x y x f i ix x i i i ⎰+-⋅+--1)(1)(,(11))(,(21))(,(23)(11---+=i i i i i x y x hf x y x hf x y于是我们得到如下二步Adams 显式格式 ),(21),(23111--+-+=i i i i i i y x hf y x hf y y)],(),(3[211---+=i i i i i y x f y x f h y局部截断误差))](,())(,(3[2)()(1111--++---=i i i i i i i x y x f x y x f h x y x y R)]()(3[2)()(11-+'-'--=i i i i x y x y h x y x y)()(6)(2)()(432h O x y hx y hx y h x y i i i i +'''+''+'+=[])()(2)()(2)(23)(32h O x y hx y h x y h x y h x y i i i i i +'''+''-'+'-- )()(12543h O x y h i +'''=10.导出具有下列形式的3阶方法:+++=--+221101i i i i y a y a y a y)],(),(),([2221110----++i i i i i i y x f b y x f b y x f b h的系数所满足的方程组。