张量的梯度散度旋度

梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。

上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。

如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。

梯度的数值有时也被成为梯度。

在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。

1。

梯度gradient设体系中某处的物理参数（如温度、速度、浓度等）为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率.更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数,或者，对于一个线性函数,也就是线的斜率. 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度.梯度的数值有时也被成为梯度.在二元函数的情形，设函数z=f（x，y）在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P（x,y）∈D，都可以定出一个向量（δf/x)*i+（δf/y)*j这向量称为函数z=f（x,y）在点P(x，y）的梯度，记作gradf（x,y）类似的对三元函数也可以定义一个：（δf/x）*i+（δf/y）＊j+（δf/z）*k 记为grad［f(x,y，z）]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度.微积分学→多元微积分→多元函数积分中:设某量场由A(x，y，z）= P(x,y,z)i + Q(x.y，z)j + R（x，y,z）k 给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点（x,y，z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度,记作div A，即div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。

三个矢量相乘：)()()(c b a c a b c b a c b a c b a ∙-∙=⨯⨯⨯∙=∙⨯ 直角坐标中的梯度、散度、旋度运算：)()()(x y z z x y y z x z y x z y x f y f x e f x f z e f z f y e f f zf y f x f ze y e x e ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇∂∂+∂∂+∂∂=∙∇∂∂+∂∂+∂∂=∇ ϕϕϕϕ 矢量微分运算符的运算公式：)()()()()()()()(g f g f g f f f f f f f ⨯∇∙-∙⨯∇=⨯∙∇⨯∇+⨯∇=⨯∇∙∇+∙∇=∙∇∇+∇=∇ϕϕϕϕϕϕϕψψϕϕψ f f f f g f g g f g f g f g f g f f g f g g f 2)()()()()()()()()()()()(∇+∙∇∇=⨯∇⨯∇∇∙+⨯∇⨯+∇∙+⨯∇⨯=∙∇∙∇-∇∙-∙∇+∇∙=⨯⨯∇ 积分变换公式： ⎰⎰⎰⎰∙⨯∇=∙∙=∙∇S L V S S d A l d A S d A dV A ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇-∇=∇-∇=∇⨯=∇⨯=⨯∇S V L S S V S V S d dV l d S d S d dV f S d f dV )()(22φψψφφψψφϕϕϕϕ张量运算公式：单位张量：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=1 0 00 1 00 0 1z z y y x x e e e e e e I单位张量的运算：Φ=∙Φ=Φ∙=∙=∙ I I f I f f I Φ=Φ=Φ trace I I ::张量的一次点乘：()()()T D D T F A E B F E B A ∙≠∙∙=∙张量的二次点乘： ()()()()()()F A E B F E B A D T trace kl ij ∙∙=:()()()T k z T j y T i x T ∙∂∂+∙∂∂+∙∂∂=∙∇张量的散度： ()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∂∂-∙∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∂∂-∙∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∂∂-∙∂∂=⨯∇T i y T j xk T k x T i z j T j z T k yi T 张量的旋度：T z k T y j T x i T ∂∂+∂∂+∂∂=∇张量的梯度：()()()()()()()T T T g f g f g f g f g f g f ∙∇+∙∇=∙∇∇⨯-⨯∇=⨯∇∇∙+∙∇=∙∇ ϕϕϕ矢量的梯度： z f e y f e x f e f z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰→∇⨯=⨯∇∙=∙∇S V SV S V d d T d d T T d d T στστστ 张量的积分变换：矢量与张量叉乘：()()()()f T T f B A f B A f e e f T e e f T T f j i j i ij j i j i ij ⨯≠⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯∑∑,, 矢量与张量叉乘： ()()()()f T T f f B A f B A f T B A f B A f T f ∙≠∙∙=∙=∙∙=∙=∙球坐标中的梯度运算： φψθθψψψφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r e r e r e r 球坐标中的散度运算：φθφθθθθf r f r f r r r f r ∂∂+∂∂+∂∂=∙∇sin 1) (sin sin 1)(122 球坐标中的旋度运算：()()()φθθφφθθφθφθθθe A rA r e rA r A r e A A r A r r r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=⨯∇1 sin 11 sin sin 1A 2∇在球坐标中的三个分量：()()()()φθθφθθφθθθθφθθθθθφφφφθθθφθ∂∂+∂∂+-∇=∇∂∂-∂∂+-∇=∇∂∂-∂∂--∇=∇A r A r A r A A A r A r A r A A A r A r A r A A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 2sin 1sin cos 22 sin 1sin 2sin sin 22直角坐标与球坐标之间的变换关系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r z y x 0 sin - cos cos sin cos sin sin sin - cos cos cos sin。

散度旋度梯度运算散度、旋度和梯度是数学中常用的运算符号，用来描述矢量场的性质和变化规律。

它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

本文将分别介绍散度、旋度和梯度的定义、性质和应用。

一、散度（Divergence）散度是描述矢量场发散或收敛性质的一个概念。

它表示矢量场在某一点上的流出或流入程度。

具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其散度定义为 D = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。

散度可以理解为该点上各个方向的流量之和。

若散度为正，则表示该点上的流量向外；若散度为负，则表示该点上的流量向内；若散度为零，则表示该点上的流量无净流出或流入。

散度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，根据散度定理，流体的质量守恒可以用散度来描述。

此外，在电场和磁场中，散度也可以用来描述电荷和磁荷的分布情况。

二、旋度（Curl）旋度是描述矢量场的旋转性质的一个概念。

它表示矢量场在某一点上的旋转程度。

具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其旋度定义为 C =∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)。

旋度可以理解为该点上绕着某一轴旋转的程度。

若旋度为正，则表示该点上的旋转方向符合右手定则；若旋度为负，则表示旋转方向符合左手定则；若旋度为零，则表示该点上没有旋转。

旋度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋的生成。

此外，在电场和磁场中，旋度也可以用来描述电流和磁场的旋转情况。

三、梯度（Gradient）梯度是描述标量场变化率和方向的一个概念。

它表示标量场在某一点上变化最快的方向和速率。

具体地说，对于一个标量场f(x, y, z)，其梯度定义为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。

梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：分类：电子技术旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。

之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。

这里假设读者已经了解了三者的定义。

它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。

这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。

这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。

下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。

这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。

I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。

事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。

当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。

II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。

梯度散度旋度例题（最新版）目录1.梯度、散度、旋度的概念和计算方法2.梯度散度旋度例题的类型和特点3.解决梯度散度旋度例题的步骤和技巧4.总结与展望正文一、梯度、散度、旋度的概念和计算方法梯度、散度、旋度是向量分析中的三个基本概念，它们在物理学、数学以及工程领域中都有着广泛的应用。

1.梯度：一个向量场的梯度是指该向量场在某一点的变化率，也就是该点的切线方向。

在二维空间中，一个函数的梯度可以用一个向量表示，该向量的模长等于函数在该点的变化率，方向则指向变化最快的方向。

2.散度：一个向量场的散度是指该向量场在某一点的流出或流入速度。

在三维空间中，一个向量场的散度是一个标量值，它表示该向量场在该点的流出或流入速度。

3.旋度：一个向量场的旋度是指该向量场在某一点的旋转速度。

在三维空间中，一个向量场的旋度是一个向量值，它表示该向量场在该点的旋转速度。

二、梯度散度旋度例题的类型和特点梯度散度旋度例题主要分为两类：一类是计算某函数的梯度、散度、旋度；另一类是计算某向量场的梯度、散度、旋度。

这类题目的特点是涉及到向量运算和微积分知识，需要有一定的数学基础。

三、解决梯度散度旋度例题的步骤和技巧解决梯度散度旋度例题的一般步骤如下：1.确定题目中所给出的函数或向量场，理解其物理意义。

2.根据梯度、散度、旋度的定义，确定需要计算的量。

3.利用向量运算和微积分知识，进行计算。

4.根据计算结果，进行分析和解释。

解决这类题目需要掌握一定的数学技巧，例如向量运算技巧、微积分技巧等，同时还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力。

四、总结与展望梯度散度旋度例题是向量分析中的一个重要内容，掌握这类题目的解法对于理解和应用向量分析具有重要意义。

梯度、散度、旋度的关系梯度gradient设体系中某处的物理参数（如温度、速度、浓度等）为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。

如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

更严格的说，从欧氏空间rn到r的函数的梯度是在rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。

梯度的数值有时也被成为梯度。

在二元函数的情形，设函数z=f（x，y）在平面区域d内具有一阶连续偏导数，则对于每一点p（x，y）∈d，都可以定出一个向量（δf/x）*i+（δf/y）*j这向量称为函数z=f（x，y）在点p（x，y）的梯度，记作gradf（x，y）类似的对三元函数也可以定义一个：（δf/x）*i+（δf/y）*j+（δf/z）*k记为grad[f（x，y，z）]梯度的汉语词义，用法。

《现代汉语词典》附：新词新义梯度1.坡度。

2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。

3.依照一定次序分层次地。

我国经济发展由东向西～推进。

4.依照一定次序分出的层次。

考试命题要讲究题型有变化，难易有～。

散度散度（divergence）的概念：在矢量场f中的任一点m处作一个包围该点的任意闭合曲面s，当s所限定的体积Δv以任何方式趋近于0时，则比值∮f·ds/Δv的极限称为矢量场f在点m处的散度，并记作divf由散度的定义可知，divf表示在点m处的单位体积内散发出来的矢量f的通量，所以divf描述了通量源的密度。

在直角坐标系中梯度散度旋度的计算公式在数学和物理学中，直角坐标系是一种常用的坐标系，用于描述空间中的点的位置。

在直角坐标系中，对于矢量场的梯度、散度和旋度的计算公式是非常重要的，可以帮助我们理解矢量场的性质和行为。

梯度梯度是矢量场中变化率最快的方向。

在直角坐标系中，对于标量场f(x, y, z)，其梯度可以用如下的公式表示：•梯度表示为：∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k其中，∇是梯度算子，i、j、k分别是x、y、z轴方向的单位矢量。

散度散度描述的是矢量场在某一点的流出量和流入量的差异。

在直角坐标系中，对于矢量场F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k，其散度可以用如下的公式表示：•散度表示为：∇·F = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)其中，∇·是散度算子，P、Q、R分别是F在x、y、z方向的分量。

旋度旋度描述的是矢量场围绕某一点旋转的强度和方向。

在直角坐标系中，对于矢量场F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k，其旋度可以用如下的公式表示：•旋度表示为：∇×F = [(∂R/∂y) - (∂Q/∂z)]i - [(∂R/∂x) - (∂P/∂z)]j + [(∂Q/∂x) - (∂P/∂y)]k其中，∇×是旋度算子，P、Q、R分别是F在x、y、z方向的分量。

梯度、散度和旋度是矢量分析中的重要概念，它们可以帮助我们理解矢量场的性质和变化规律。

通过上述公式的计算，我们可以准确地求解直角坐标系中矢量场的梯度、散度和旋度，进一步推动数学和物理学的发展。

电动力学第0章场及其梯度、散度和旋度第一CONTENTS•场的基本概念与性质•梯度、散度和旋度的定义与性质•梯度、散度和旋度的计算方法•梯度、散度和旋度在电磁学中的应用•梯度、散度和旋度在其他领域的应用场的基本概念与性质01场的定义及分类场的定义场是一种物理量在空间中的分布，它可以描述物理量随空间位置和时间的变化。

场可以是标量场、矢量场或张量场，分别对应于物理量的标量、矢量和张量性质。

场的分类根据物理量的性质和场的数学描述，场可以分为不同类型，如标量场、矢量场、张量场等。

其中，标量场描述物理量的数值大小，矢量场描述物理量的方向和大小，而张量场则描述更复杂的物理量结构和性质。

场的基本性质连续性场在空间中是连续的，即物理量在空间中的变化是连续的，没有突变或跳跃。

可微性场在空间中是可微的，即物理量的变化率（梯度）在空间中是连续的。

对称性场可能具有某些对称性，如空间对称性、时间对称性等，这些对称性反映了物理定律的内在结构。

场与物理量的关系场是物理量的空间分布场描述了物理量在空间中的分布和变化，因此场与物理量密切相关。

例如，电场描述了电荷在空间中的分布和相互作用，磁场描述了电流和磁体在空间中的分布和相互作用。

场与物理量的相互作用场不仅描述了物理量的空间分布，还描述了物理量之间的相互作用。

例如，在电场中，电荷之间的相互作用是通过电场力来实现的，而在磁场中，电流和磁体之间的相互作用是通过磁场力来实现的。

场与物理定律的关系场是物理定律的空间表现形式。

物理定律通常可以表示为场方程的形式，这些方程描述了场的性质和行为。

例如，麦克斯韦方程组描述了电磁场的性质和行为，而牛顿第二定律则描述了质点在力场中的运动行为。

梯度、散度和旋度的定义与性质02梯度的定义梯度是一个向量，其方向指向标量场增长最快的方向，大小等于该方向上的最大增长率。

梯度的物理意义在物理学中，梯度通常用来描述空间中场的变化情况。

例如，在电场中，电势的梯度即为电场强度；在重力场中，重力势的梯度即为重力加速度。

梯度散度和旋转速度——定义及公式梯度是标量场的一个向量值函数，它描述了函数在其中一点的变化率和方向。

对于一个标量场 f(x, y, z)，其梯度可以表示为∇f 或grad(f)，其中∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）是称为向量微分算子的 nabla符号。

梯度的每个分量表示相应方向上的变化率，即变化最快的方向和速率的大小。

梯度的公式可以表示为：∇f=(∂f/∂x，∂f/∂y，∂f/∂z)其中，∂f/∂x，∂f/∂y和∂f/∂z是f对各个坐标的偏导数。

梯度的长度表示函数在其中一点的变化率大小，即梯度的模表示了函数在该点的变化速率。

因此，梯度可以用来描述场的变化方向和速率。

散度是矢量场的一个标量值函数，它描述了矢量场的发散和收敛情况。

对于一个矢量场 F(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z)，其散度可以表示为∇·F 或 div(F)。

散度描述了矢量场在其中一点的源头和汇聚情况，即矢量场的流入和流出情况。

散度的公式可以表示为：∇·F=(∂F_x/∂x+∂F_y/∂y+∂F_z/∂z)其中，∂F_x/∂x，∂F_y/∂y和∂F_z/∂z分别是F_x，F_y和F_z对各个坐标的偏导数。

散度的大小表示了场在其中一点的流入和流出速率，正值表示流出速率大于流入速率，负值表示流入速率大于流出速率。

旋转速度是矢量场的一个矢量值函数，它描述了矢量场的旋转和曲率情况。

对于一个矢量场 F(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z)，其旋转速度可以表示为∇×F 或 curl(F)。

旋转速度描述了矢量场的环流和涡旋情况，即矢量场围绕其中一点或曲线旋转的程度和方向。

旋转速度的公式可以表示为：∇×F=((∂F_z/∂y-∂F_y/∂z),(∂F_x/∂z-∂F_z/∂x),(∂F_y/∂x-∂F_x/∂y))其中，∂F_z/∂y-∂F_y/∂z，∂F_x/∂z-∂F_z/∂x和∂F_y/∂x-∂F_x/∂y分别是F_x，F_y和F_z对各个坐标的偏导数之差。

梯度散度旋度例题摘要：一、梯度散度旋度的概念和性质1.梯度的概念2.散度的概念3.旋度的概念4.梯度、散度和旋度之间的关系二、梯度散度旋度的计算方法1.梯度的计算2.散度的计算3.旋度的计算三、梯度散度旋度的应用1.梯度在物理中的应用2.散度在物理中的应用3.旋度在物理中的应用四、梯度散度旋度例题解析1.梯度例题解析2.散度例题解析3.旋度例题解析正文：梯度、散度和旋度是矢量分析中的基本概念，它们在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

本文将详细介绍这三个概念的性质、计算方法和应用，并通过例题进行解析。

一、梯度散度旋度的概念和性质梯度是一个矢量，表示某一点上的变化率。

散度是一个标量，表示一个矢量场在某一点的分布情况。

旋度是一个矢量，表示一个矢量场在某一点旋转的情况。

这三个量之间存在密切的关系：梯度是散度的矢量表示，散度是梯度的标量表示；旋度是梯度的旋转变换。

二、梯度散度旋度的计算方法梯度的计算方法是求某一点的偏导数。

散度的计算方法是求某一点的散度公式。

旋度的计算方法是求某一点的旋度公式。

三、梯度散度旋度的应用梯度在物理学中的应用主要包括求解速度、加速度等物理量。

散度在物理学中的应用主要包括求解质量密度、电荷密度等物理量。

旋度在物理学中的应用主要包括求解角速度、角加速度等物理量。

四、梯度散度旋度例题解析以下是一个关于梯度的例题：设函数f(x, y) 在点(x0, y0) 处的梯度为(a, b)，求函数在点(x0, y0) 处的二阶导数。

解：根据梯度的定义，可得a = f_x(x0, y0), b = f_y(x0, y0)。

再根据二阶导数的定义，可得f_xx(x0, y0) = a, f_yy(x0, y0) = b，f_xy(x0, y0) = 0。

以下是一个关于散度的例题：设向量场F = (P(x, y), Q(x, y)) 在点(x0, y0) 处的散度为R(x, y)，求R(x, y)。

解：根据散度的定义，可得R(x, y) = P/x + Q/y。

梯度、发散和旋度——定义及公式梯度、发散和旋度是矢量场分析中常用的概念，它们用于描述矢量场的特性和变化。

以下是它们的定义及相关公式：1. 梯度（Gradient）梯度表示矢量场在给定点上最大变化的方向和速率。

我们可以将一个标量场（Scalar field）与一个矢量场（Vector field）的梯度进行计算。

梯度的定义：$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partialf}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$f$ 表示标量场，$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 表示坐标轴的单位向量。

2. 发散（Divergence）发散用于描述矢量场的流出和流入情况，它表示在给定点的矢量场流量的变化率。

发散的定义：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\cdot$ 表示点乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。

3. 旋度（Curl）旋度用于描述矢量场的旋转和循环性质，它表示在给定点的矢量场环量的变化率。

旋度的定义：$$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partialF_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partialy}\right)\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\times$ 表示叉乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。

梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程——蒋小敏2012-05-07在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。

惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。

本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。

先定义一下本文的一些符号表达：矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 标量：小写斜体字母u单位矢量：小写上加倒勾e x一、矢量（1）矢量的定义若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。

例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ，z y x A z A y A xA ˆˆˆ++=（2）矢量的模222z y x A A A A ++=（3）矢量的乘积标量积，Dot production 点乘，这是一个标量AB a B A B A cos =⋅2222AA A A A AB A B A B A B A zyxz z y y x x =++=⋅++=⋅A xe矢量积，Cross production 叉乘，这是一个矢量AB a B A nB A sin ˆ=⨯ 其中 为A , B 所在平面的右手法向。

zy x z y x B B B A A A zy x B A ˆˆˆ=⨯ 二、通量（1）通量的定义若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则⎰⋅=ψSd SA为矢量A 沿有向曲面S 的通量。

（2）通量的物理含义表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。

若0>ψ穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；若0<ψ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；若0=ψ，闭合面无源。

梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。

上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

1。

梯度gradient设体系中某处的物理参数（如温度、速度、浓度等）为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率.更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数,或者，对于一个线性函数,也就是线的斜率. 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度.梯度的数值有时也被成为梯度.在二元函数的情形，设函数z=f（x，y）在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P（x,y）∈D，都可以定出一个向量（δf/x)*i+（δf/y)*j这向量称为函数z=f（x,y）在点P(x，y）的梯度，记作gradf（x,y）类似的对三元函数也可以定义一个：（δf/x）*i+（δf/y）＊j+（δf/z）*k 记为grad［f(x,y，z）]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度.微积分学→多元微积分→多元函数积分中:设某量场由A(x，y，z）= P(x,y,z)i + Q(x.y，z)j + R（x，y,z）k 给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点（x,y，z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度,记作div A，即div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。

梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。

之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。

这里假设读者已经了解了三者的定义。

它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。

这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。

这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。

下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。

这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X 度”。

I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。

事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。

当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。

II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。

这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。