七年级数学一元二次方程及其解法(配方法,公式法)人教实验版五四制知识精讲

一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2。

同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。

七年级数学一元二次方程的解法（因式分解法）人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程的解法（因式分解法）二. 基础知识：利用因式分解解一元二次方程重点：用因式分解法解一元二次方程难点：因式分解解一元二次方程的基本方法及如何灵活选用适当方法解一元二次方程【典型例题】[例1] 用不同的方法解2532=-x x解法一：（因式分解法） 02532=--x x∴0)2)(13(=-+x x ∴013=+x ，02=-x ∴311-=x ，22=x 为原方程的解 解法二：（公式法）3=a ，5-=b ，2-=c∴4942=-=∆ac b ∴675242±=-±-=a ac b b x ∴311-=x ，22=x 解法三：（配方法）方程两边都除以3得，32352=-x x222)65(32)65(35+=+-x x ∴3649)65(2=-x ∴6765±=-x ∴311-=x ，22=x[例2] 解下列方程（用因式分解法）（1）)51)(23()4)(32(x x x x --=+-（2）22)6(16)3(49+=-x x（3）0625412=-+x x （4）x x x x 324)3()5()4(222-=-++-+解：（1）原方程可化为0)51)(23()4)(23(=--++-x x x x∴0)45)(23(=--x x∴023=-x 或045=-x ∴321=x ，452=x （2）原方程化为0)]6(4[)]3(7[22=+--x x∴0)]6(4)3(7)][6(4)3(7[=+--++-x x x x∴0)453)(311(=-+x x ∴1131-=x ，152=x （3）原方程化为024102=-+x x∴0)2)(12(=-+x x ∴121-=x ，22=x（4）原方程可化为02452=--x x∴0)3)(8(=+-x x ∴81=x ，32-=x[例3] 解下列关于x 的方程（1）22)23(b b a x a x =+--（2）abx x b a 4)1)((222=--|)||(|b a ≠解：（1）原方程化为0)2(3222=--+-b ab a ax x∴0)]()][2([=--+-b a x b a x∴0)2(=+-b a x 或0)(=--b a x∴b a x +=21或b a x -=2（2）原方程化为0)(4)(22222=----b a abx x b a 0)]())][(()[(=+---++b a x b a b a x b a∴0)()(=-++b a x b a 或0)()(=+--b a x b a∵||||b a ≠∴0≠+b a ，0≠-b a ∴b a a b x +-=1，b a b a x -+=2[例4] 解下列方程（1）04)21(3)21(2=----x x（2）04)1(5)1(222=+---x x（3）05624=+-x x解：（1）原方程化为04)21(3)21(2=----x x 0)421)(121(=--+-x x ∴211-=x 292=x （2）由已知，令12-=x y ，则原方程化为 0452=+-y y ∴0)4)(1(=--y y∴11=y ，42=y当1=y 时，112=-x ∴21=x ，22-=x当4=y 时，412=-x ∴53=x ，54-=x∴21=x ，22-=x ，53=x ，54-=x（3）∵05624=+-x x ，令y x =2原方程化为0562=+-y y0)5)(1(=--y y ∴11=y ，52=y当1=y 时，12=x ∴11=x ，12-=x当5=y 时，52=x ∴53=x ，54-=x[例5] 方程0120032001)2002(2=-⨯-x x 的较大根为a ，方程 020*******=--x x 的较小根为b ，求2007)(b a +的值。

一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。

顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)[有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0] .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±配方法　:1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法解一元二次方程的步骤1.将方程右边化为0；2.将方程左边分解为两个一次式的积；3.令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。

一二次方程配方法微型课一、一元二次方程配方法一元二次方程配方法是一种求解一元二次方程（即形如ax²+bx+c=0 的方程）的一种常用技巧。

二、配方法步骤配方法的步骤如下：1. 移项：将方程中的所有常数项移至等号的右侧。

2. 化成完全平方：在方程两边同时加上一个数，使得左边的多项式可以因式分解成一个完全平方项。

这个数可以是任何一个数，但通常选择使 bx 的系数为偶数的数。

3. 开平方法：将完全平方项开平方，并将结果移至等号的两边。

4. 解方程：将平方根的相反数与 x 相加或减去，得到两个根。

1. 求解方程：x² - 8x + 15 = 0移项：x² - 8x = -15化成完全平方：x² - 8x + 16 = -15 + 16 = 1开平方法：x - 4 = ±1解方程：x = 3 或 x = 52. 求解方程：2x² + 6x - 5 = 0移项：2x² + 6x = 5化成完全平方：2x² + 6x + 9 = 5 + 9 = 14开平方法：x + 3 = ±√7解方程：x = -3 ± √7配方法是一种方便快捷的求解一元二次方程的方法，特别是当二次项系数 a 为 1 时。

它可以避免使用求根公式，从而节省时间和精力。

五、配方法的局限性配方法只适用于二次项系数 a 为 1 的一元二次方程。

对于二次项系数a ≠ 1 的方程，需要使用求根公式或其他方法来求解。

六、配方法的应用配方法在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。

例如，它可以用于求解抛射体的轨迹方程，或用于确定电路中的电阻值。

数学初中七年级优质课解一元二次方程的方法与应用一、引言数学作为一门基础学科，在学生的学习过程中是不可或缺的。

而解一元二次方程是数学中的一个重要内容，也是学生们所面临的一道难题。

本文将介绍初中七年级数学的优质课，致力于帮助学生理解一元二次方程的解法和应用。

二、一元二次方程的概念一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。

在解一元二次方程前，学生需要掌握平方根的概念，了解二次函数的图像特点以及常见的关系式。

三、解一元二次方程的基本步骤1. 整理方程：将一元二次方程变形，使其满足标准形式ax²+bx+c=0。

2. 求解方程：利用配方法或因式分解法，将方程转化为形如(x+d)²=e的形式，再求得x的解。

3. 检验解：将求得的解代入原方程，检查是否满足等式。

四、一元二次方程解法的实际应用1. 几何问题：可以通过解一元二次方程来解决一些几何问题，如求解正方形的边长、长方形的长宽等。

2. 物理问题：一元二次方程的解法也可以应用于物理问题，如自由落体问题中的抛物线运动的轨迹。

3. 经济问题：在经济学中，解一元二次方程可以应用于成本、收益等相关问题，帮助分析和解决实际情况。

五、数学初中七年级优质课设计下面是一个数学初中七年级的优质课设计示例，旨在向学生详细解释一元二次方程的解法和应用。

一、导入部分通过一个生活实际问题引入一元二次方程，并与学生们一起思考解决问题的方法。

二、概念讲解详细解释一元二次方程的定义、标准形式以及解法的基本步骤，并举例说明。

三、例题讲解选择一些简单易懂的例题，手把手地教学生如何利用配方法或因式分解法解一元二次方程，以帮助学生更深入地理解解题思路。

四、拓展应用通过实际问题的应用，让学生感受一元二次方程在几何、物理、经济等领域的实际应用情景，并进行相关计算和推理。

五、总结与归纳对本节课的内容进行总结和归纳，重点强调一元二次方程解法的重要性和应用。

一元二次方程及其解法（一）配方法和公式法【知识回顾】一元一次方程：1、0(0)ax b b +=≠是一元一次方程的标准形式2、含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

3、解一元一次方程的步骤：（若分子或分母中有小数的，先把分子分母同乘以一个相同的倍数，把小数化为整数）去分母：方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数去括号：按照第二章中的去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变移项：把一项从方程的一边移动到另外一边，要改变符号系数化为1：两边同时除以x 的系数【例题剖析】例1：解下列一元一次方程：2151168x x -+-=；【一元二次方程知识点】一、一元二次方程定义:1.一个未知数2.未知数的最高次数是23.整式方程4、一元二次方程的一般形式: ax²+bx+c=0（a ≠0）其中，二次项______，一次项________二次项系数_______，一次项系数________，常数项__________二、一元二次方程的解（根）1、定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）2、判定一个数值是否是一元二次方程的解的方法是：将这个值代入一元二次方程的左右两边，看是否相等。

【例题指路】例2：下列是一元二次方程的是（ ）A 、223x x +-B 、2521x x =+C 、2(1)(2)x x x +-=D 、2(1)2(1)t t t +=- 例3：a 为何值时，方程1(1)270a a x x +-+-=为一元二次方程？例3：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数和常数项：（1）2(2)43x x x x -=-； （2）22(8)4(21)x x x +=+-；（3）211322x x x +---=；（4）关于x 的方程22(0)mx nx mx nx q p m n -++=-+≠例4：下列哪些数是一元二次方程243x x -=-的根：-3，-2，-1，0，1，2，3例5：若x=-1是关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根，求代数式2008（a-b+ c ）的值。