第三节 混凝土徐变次内力计算的换算弹性模量法一、徐变次内力概念（一）名词定义1、徐变变形在长期持续荷载作用下，混凝土棱柱体继瞬时变形e ∆（弹性变形）以后，随时间t 增长而持续产生的那一部分变形量，称之为徐变变形c ∆，如图2-4-16所示。
图2-4-16 棱柱体的徐变变形2、徐变应变单位长度的徐变变形量称为徐变应变c ε，它可表示为徐变变形量c ∆与棱柱体长度l 之比值，即 c c l ε∆=（2-4-15） 3、瞬时应变瞬时应变又称弹性应变e ε，它是指初始加载的瞬间所产生的变形量e ∆与棱柱体长度l 之比，即 e e l ε∆=（2-4-16）4、徐变系数徐变系数是自加载龄期0τ后至某个t 时刻，在棱柱体内的徐变应变值与瞬时应变（弹性应变）值的比值，可表示为0(,)/c e t ϕτεε=（2-4-17） 或0(,)c e t εεϕτ=⋅ （2-4-17a ）（二）徐变次内力超静定混凝土结构的徐变变形当受到多余约束的制约时，结构截面内将产生附加内力，工程上将此内力称为徐变次内力。
现举一个最简单的例子来说明。
设图2-4-17a 中的两条对称于中线的悬臂梁，在完成瞬时变形后，悬臂端点均处于水平位置，此时，悬臂根部的弯矩均为22ql M -=。
随着时间的增长，该两个悬臂梁的端部，将发生随时间t 而变化的下挠量t ∆和转角t θ（图2-4-17a ），尽管如此，直到徐变变形终止，该梁的内力沿跨长方向是不发生改变的。
图2-4-17 徐变变形与徐变次内力 现在再考察图2-4-17c 的情况，当两悬臂端完成瞬时变形后，立即将合拢段的钢筋焊接和浇筑接缝混凝土，以后虽然在接缝处仍产生随时间变化的下挠量t ∆，但转角t θ始终为零，这意味着两侧悬臂梁相互约束着角位移，从而使结合截面上的弯矩从0t M →，而根部截面的弯矩逐渐卸载，这就是所谓的内力重分布（或应力重分布），直到徐变变形终止。
结合截面上的t M 就是徐变次内力，但它与根部截面弯矩的绝对值之和仍为22ql 。
由此可见，静定结构只产生徐变变形，而不产生次内力，但当结构发生体系转变而成为超静定结构时，由于徐变变形受到了约束才会产生随时间t 变化的徐变次内力。
二、徐变系数表达式（一）三种理论为了计算结构徐变变形和徐变次内力，就需要知道徐变系数变化规律的表达式。
根据一些学者的长期观察和研究，一致认为徐变系数与加载龄期和加载持续时间两个主要因素有关。
所谓加载龄期是指结构混凝土自养护之日起至加载之日之间的时间间距，它用i τ表示，i =0，1，2……，单位以天计；所谓持续荷载时间是指自加载之日τ起至所欲观察之日t 的时间间距，即t τ-。
但是，在采用具体的表达式时，却提出了三种不同的观点，即三种理－ -论。
1、老化理论该理论认为：不同加载龄期τ的混凝土徐变曲线在任意时刻()t t τ>，其徐变增长率相同。
如图2-4-18a 所示。
其中任意加载龄期τ的混凝土在t 时刻的徐变系数计算公式为00(,)(,)(,)t t ϕτϕτϕττ=-（2-4-18） 式中：0(,)t ϕτ——加载龄期0τ时的混凝土至()t t τ>时刻的徐变系数；0(,)ϕττ——加载龄期0τ时的混凝土至0()τττ>时的徐变系数。
图2-4-18 三种徐变理论曲线2、先天理论该理论认为：不同龄期的混凝土徐变增长规律都是一样的，如图2-4-18b 所示。
其中任意加载龄期的混凝土在t 时刻的徐变系数计算公式为0(,)()t t ϕτϕτ=-t tt（2-4-19）式中：0()t ϕτ-——以0τ为原点的徐变基本曲线上，加载持续时间为t τ-的徐变系数。
3、混合理论兼有上述两种理论特点的理论称混合理论，试验研究表明，老化理论比较符合初期加载情况，先天理论比较符合后期加载情况，如图2-4-18c 所示。
（二）徐变系数的表达式1、按老化理论的狄辛格表达式狄辛格在20世纪30年代提出了表达徐变变化规律的基本曲线为00(,)(,)(1)t t e βϕϕ-=∞-（2-4-20）当该式与老化理论结合起来，便得到 ()(,)(,)1t t e βτϕτϕτ--⎡⎤=∞-⎣⎦ （2-4-21）式中：0(,)t ϕ——加载龄期0τ=的混凝土在t （t >τ）时的徐变系数；0(,)ϕ∞——加载龄期0τ=的混凝土在t =∞时的徐变系数终值；β——徐变增长系数，在冬季零下温度较长地区取β=1～2，常温地区β=2～4；(,)ϕτ∞——加载龄期τ的混凝土在t =∞时的徐变系数终值，0(,)(,)e βτϕτϕ-∞=∞。
该式曾在我国几座大桥的设计中得到了应用。
2、按先天理论的狄辛格表达式当式（2-4-20）与先天理论结合起来，便得到()0(,)(,)1t t e βτϕτϕ--⎡⎤=∞-⎣⎦ （2-4-22）该式由于缺乏实测资料印证，故在工程上较少应用。
三、结构混凝土的徐变变形计算（一）基本假定当计算由混凝土徐变引起的结构徐变变形时，一般采用下列基本假定：1、不考虑结构内配筋的影响；2、混凝土的弹性模量假定为常值；3、采用徐变线性理论，即徐变应变与应力成正比关系的假定，由此可以应用“力的独立作用原理”和“应力与应变的叠加原理”。
（二）静定结构在恒定荷载条件下的徐变变形计算现用图2-4-19所示的等截面悬臂梁作为例子进行阐明。
图2-4-19 不变荷载作用下的徐变变形设e ∆和e θ分别为悬臂梁端部作用有恒定垂直力P 和恒定弯矩M 时的弹性（瞬时）挠度和端转角，(,)c t τ∆和(,)c t θτ分别为相应的加载龄期为τ且持续到t 时刻的徐变挠度和徐变端转角（图2-4-19）。
于是便有下列关系式，即(,)(,)(,)(,)(,)(,)c e e c e e t t P t t t M t τϕτϕτθτϕτθθϕτ⎫∆=∆=∆⋅⎪⎬==⋅⎪⎭ （2-4-23） 式中：e ∆——单位力P=1时，在其作用方向上的位移；e θ——单位力矩M=1时，在作用方向上的转角。
按照结构力学中的虚功原理，e ∆和e θ可以表示为：21112222l e l e M dx EI M dx EI δθδ⎫∆==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭⎰⎰ （2-4-24） 式中的1M 和2M 分别为P=1和M=1时悬臂梁的内力分布图（图2-4-19c,d ）。
将式（2-4-24）代入式（2-4-23）便有2122(,)(,)(,)(,)l c l c M t P dx t EI M t M dx t EI τϕτθτϕτ⎫∆=⋅⋅⎪⎪⎬⎪=⋅⋅⎪⎭⎰⎰ （2-4-25）（三）静定结构在随时间t 变化的荷载作用下之徐变变形计算本节前面介绍了随时间t 变化的徐变次内力概念。
现在以图2-4-20所示先简支后连续的两等跨连续梁作为例子来阐明静定结构在随时间t 变化的荷载作用下之徐变变形。
从中支点截开，取两跨简支梁（静定结构）作为基本结构，如图2-4-20b 所示。
由于该结构是采用先分两跨有支架施工而后合拢的体系转换方法，故在此切口处的初始恒载弯矩00M =，基本结构上只有垂直恒载q 和随时间变化的赘余次力矩M(t)的作用。
为了分析上的简单起见，暂假定左、右简支梁的徐变系数(,)t ϕτ相同，这样，参照图2-4-20，M(t)便可以应用两种方法求解：一个是建立微分方程式的狄辛格法；另一个是建立代数方程式的特劳斯德·巴曾法。
图2-4-20 变化荷载下的徐变变形应用狄辛格法时，在时间增量d t 内，切口两侧变形增量的协调方程则为22222M()d d M()d 0q t t δϕδϕ++∆=（2-4-26）应用巴曾法时，在任意时刻t 时，切口两侧的变形协调方程则为 222M()(1)0q t δρϕϕ+⋅+∆=（2-4-27）式中： 222,q δ∆——在切口处分别由单位力矩M 1=和恒载q 引起截面两侧的相对弹性角位移；(,)t ρτ——老化系数，又称时效系数，它是考虑结构次内力的徐变因混凝土的老化而逐渐衰减的一个折减系数，其值小于1。
d ϕ——时间增量dt 内的徐变系数增量从以上二式不难看出，式（2-4-26）在理论上是比较精确的，但当结构为高次超静定，且各梁段的徐变系数(,)t ϕτ又不相同时，必须建立庞大的微分方程组，求解十分困难。
式（2-4-27）中的第二项是代表在t 时刻由恒载q 在切口处产生的相对徐变角位移，而第一项是代表同一时刻由徐变次内力M(t)在切口处产生的总的相对角位移，它可表为22(,)M()(1)c t t θτδρϕ=+⋅ （2-4-28）它是将M(t)假想地视为不随时间t 变化的赘余力，通过老化系数(,)t ρτ修正徐变系数(,)t ϕτ以后，求得该次内力产生的总变形。
但是在该式中却有两个未知量，即M(t)和(,)t ρτ，故不能求解。
为此，我国的金成棣教授采取联立混合求解的方法，具体的思路是应用式（2-4-26）求解M(t)，再将它代入式（2-4-27），便得到关于(,)t ρτ的一般表达式，解得这个未知量后，再求解线性代数方程组就不成问题了。
下面简单介绍关于式（2-4-26）的求解。
首先用22δ除全式，且令222M p e δ∆==常数，则得 d M()[M()M ]d 0e t t ϕ++=（a ）注意到d M e =0，则上式可以写成 d[M()M ]d M()M e et t ϕ+=-+ （b ）此微分方程的解为 ln[M()M ]C e t ϕ+=-+（常数）（c ）利用图2-4-20e ，f 中的边界条件，当t τ=时，则M(t)=0，(,)t ϕτ=0便解得常数C 为 ln(M )e C =（d ）再将式（d ）代入式（c ）后，则得 M()(1)M e t e ϕ-=--（e ）式（2-4-27）也可以改写成如下的形式 M()M 1e t ϕρϕ=-+⋅ （f ）联立解式（e ），（f ），便得到老化系数(,)t ρτ的一般表达式为：11(,)1t e ϕρτϕ-=-- （2-4-29）最后，参照式（2-4-24），则完全可以应用式（2-4-28）计算出在随时间t 变化的M(t)荷载下切口处的徐变变形2t δ⊕，即 220M (,)()(2d )[1(,)(,)]EI l t c t M t x t t δθτρτϕτ⊕==⋅+⋅⎰（2-4-30）（四）换算弹性模量概念 为了便于应用结构力学中的力法来求解超静定结构的徐变次内力问题，引入两个广义换算弹性模量：1、应用在不变荷载下徐变变形的换算弹性模量E ϕ (,)E E t ϕϕτ=（2-4-31）2、应用在随t 变化荷载下徐变变形的换算弹性模量E ρϕ[]1(,)(,)E E t t ρϕρτϕτ=+ （2-4-32）于是，式（2-4-25）和式（2-4-30）可以写成：2122(,)dx (,)dx l c l c M t P E I M t M E I ϕϕτθτ⎫∆=⋅⎪⎪⎬⎪=⎪⎭⎰⎰ （2-4-33） 22(,)()2dx l c M t M t E I ρϕθτ=⋅⋅⎰ （2-4-34）以上各式中，E 为混凝土的弹性模量，其余符号意义同前。
