【数学】河南省南阳市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题一、单选题1．与角20244'-o 终边相同的角是（ ） A ．4044'-oB ．2244'-oC ．31556'oD ．67556'o2．已知()1,2A ，()4,3B ，(),6C x ，若AB AC ∥u u u r u u u r，则x =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．133．在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦2AB =，则扇形AOB 的面积是（ ） A ．1sin1B ．()21sin1 C ．sin1D ．()2sin14．在梯形ABCD 中，90BAD CDA ∠=∠=︒，5AD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．25B ．15C ．10D ．55．在ABC V 与111A B C △中，已知11111π,3AB A B x BC B C C C =====，若对任意这样两个三角形,总有111ABC A B C ≅△△，则（ ）A ．30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．(x ∈C ．)x ∞∈+D ．)32x ∞⎧⎫∈+⋃⎨⎬⎩⎭6．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G u r，两人手臂上的拉力分别为1F u u r ，2F u u r ，且12F F =u u r u u r ，1F u u r 与2F u u r 的夹角为θ，下列结论中正确的是（ ）A ．θ越小越费力，θ越大越省力B ．始终有122G F F ==ru u r u u rC ．当2π3θ=时，1F G =u u r r D ．当π2θ=时，1F G =u u r r7．若π,,0,2αβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c o s t a n αα=，cos ββ=，cos sin θθ=，则α，β，θ的大小是（ ）A ．αθβ<<B ．αβθ<<C ．βαθ<<D ．βθα<<8．已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<.其部分图象如下图，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．二、多选题9．下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin πsin αα+=B ．πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．3πsin cos 2αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．()tan πtan αα+=-10．已知向量()1,2a =r，2b =r ，a b +=r r ）A ．a r 在b r 上的投影数量是12-B ．b r 在a r 上的投影向量是⎛ ⎝⎭C ．a r 与b rD ．()4a b b +⊥r r r11．设函数f x =A sin ωx +φ （其中0A >，0ω>，π0ϕ-<<），若()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π5ππ266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）A ．2A =B ．23ω=C ．π2ϕ=-D ．当π3π,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣ 12．在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则（ ）A ．ABC V 的周长是5B ．BCC ．BCD ．BC三、填空题13．若[]0,2πx ∈，满足条件sin cos 0x x +>的x 的集合是.14．将函数1sin 22y x =的图象上各点向左平移π3个单位长度，再把横坐标缩短为原来的13，得到的图象的函数解析式是.15．已知5πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭19πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭. 16．在ABC V 中，D 为BC 边上的任一点，若1cos 3B =，22AB AD BD DC =+⋅，则sin C =.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与π0π2ββα⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为x ⎛ ⎝⎭.(1)求2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-的值；(2)若OP OQ ⊥，求P 的坐标.18．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N 在BD 上，3BN BD =.(1)设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r 表示向量u u u rNC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线.19．（1）已知()1,0A -，()0,2B ，求满足5AB AD ⋅=u u u r u u u r，210AD =u u u r 的点D 的坐标；（2）设a r ，b r 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c r 与a b +r r 共线，求b c +r r 的最小值.20．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =-. (1)求C ；(2)若5b =，c =ABC V 的面积.21．已知()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且对任意的x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 解析式；(2)若函数()()()g x f x m m =-∈R 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点1x ，2x ，求()12f x x +的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC V 中角A ，B ，C 的对边，G 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线.(1)若ABC V 60CGD ∠=o ，1CG =，求AB 的长； (2)若GB GC ⊥，求cos BAC ∠的最小值.。

2019-2020学年河南省南阳市邓州第六高级中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列{a n}中，a5＝1，a8＋a10＝16，则a13的值为（A）27 （B）31 （C）30 （D）15参考答案：D2. 已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是（）A.(8,10)B.C.D.参考答案：B【分析】根据大边对大角定理知边长为所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出的取值范围。

【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到，由于，解得，故选：C。

【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：为锐角；为直角；为钝角.3. 函数的零点所在的一个区间是（）A.(－2, －1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)参考答案：B函数f（x）=2x+3x是连续增函数，∵f（-1）= ,f（0）=1+0＞0∴函数的零点在（-1，0）上，故选：B4. 若是常数，函数对于任何的非零实数都有，且，则不等式的解集为( )A． B． C．D．参考答案：A略5. 已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2+n（n≥1），则数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．参考答案：A6. 设是上的奇函数，，当时，，则等于( )A、0.5B、C、1.5D、参考答案：B略7. 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D8. 从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).A.至少有一个黒球与都是黒球B.至少有一个黒球与恰有1个黒球C.至少有一个黒球与至少有1个红球D.恰有个黒球与恰有2个黒球参考答案：D略9. 已知均为锐角，且满足，则与的关系（）参考答案：解析：．由题设：．∴ ．∴ ．10. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1+x）=f（3﹣x），当x≥1时，f（x）单调递增，则关于θ不等式的解范围（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】正弦函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】根据条件判断函数的对称性，结合三角函数的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f（﹣1+x）=f（3﹣x），∴函数关于=1对称性，∵log82=log82===，∴不等式等价为f（sin2θ）＜f（），∵当x≥1时，f（x）单调递增，∴当x＜1时，f（x）单调递减，则不等式等价为sin2θ＞，即2kπ+＜2θ＜2kπ+，k∈Z．则kπ+＜θ＜kπ+，k∈Z．故不等式的解集为（kπ+，kπ+），k∈Z．故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数对称性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数且的图象恒过定点P，P在幂函数f(x)的图象上，则___________．参考答案：2712. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．参考答案：3:1:213. 已知实数满足，则的最大值为．参考答案：414. , 设△ABC 的内角A满足，且，则BC边上的高AD 长的最大值是________.参考答案：【分析】通过已知条件可求出A角，bc乘积，于是可求得面积，利用余弦定理与基本不等式可得到a的最小值，于是再利用面积公式可求得答案.【详解】根据题意，,故，求得，,故，根据余弦定理得，即，即而三角形面积为，所以边上的高长的最大值是，故答案为.【点睛】本题主要考查解三角形，基本不等式的实际应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.15. 函数的定义域为______________．参考答案：略16. 已知直线l过点，，则直线l的倾斜角为______.参考答案：【分析】根据两点求斜率的公式求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.【详解】依题意，故直线的倾斜角为.【点睛】本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.17. 已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））= ．参考答案：3【考点】函数的值．【分析】由分段函数先求出f（﹣2）=，由此能求出f（f（﹣2））的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=，f（f（﹣2））=f（）=1﹣=1﹣（﹣2）=3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是( ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( )2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( )A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( ) A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( )A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 10.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b .12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为_______. 14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅， 则AB 的长为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=b a . (1)求a 与b的夹角的余弦值；(2)若向量b k a +与b k a -互相垂直，求实数k 的值.17.设a 、b 是两个不共线的向量，(1)记OA ＝a ，OB ＝tb ，OC ＝13(a ＋b )，当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？(2)若|a |＝|b |＝1且a 与b 的夹角为120°，那么实数x 为何值时，|a －x b |的值最小？18.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值； （2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是(C ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( C ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( A )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．||||||⋅≤a b a b B ．||||||||--≤a b a b C ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( B)2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( D ) A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( C B )A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( B A )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( C D )A ．21 B ．31 C ．41 D ．6110.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( A B )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b 4 . 12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 50 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为____120⁰____.14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 2 3 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅， 则AB 的长为 1/3 1/2 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=.(1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量k+与k-互相垂直，求实数k的值.⑴解：由题意：a（4,-3）,b（5,0）∴cosa,b=a·b/|a||b|=20/5×5=4/5∴a与b夹角的余弦值为4/5⑵解：由题意知：（a+kb）·（a-kb）=a²-k²b²=0∵a²=25=b²∴25-25k²=0∴k=1或-117.设a、b是两个不共线的向量，(1)记＝a，＝tb，＝13(a＋b)，当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b的夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－x b|的值最小？⑴解：由题意知：AB=λAC，即-a+tb=λ（b-a）解得：t=1∴当t=1时，A,B,C三点共线⑵解：由题意知：|a-xb|=√（a-xb）²解得x=-1/2∴当x=-1/2时，其最小值为√3/218.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值； （2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．⑴解：设点p （cosα，sinα），AP=（cosα+1/2,sinα）,BP=（cosα-3/2,sinα） ∵AP·BP=-1/4，解得cosα=1/3∵α是锐角∴α=π/3 ⑵解：设M 点坐标为（t,0），则MP=（cosα-t,sinα） 由题意知（4+2t ）cosα-t²+4=0恒成立，解得t=-2 ∴M （-2,0）。

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。

南阳市2020年春期高中一年级期终质量评估历史试题弟I卷（选择题60分）一、选择题（共40小题，每小题1.5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．汉代董仲舒、王莽等人对商鞅“废井田，开阡陌”的土地变革极为不满；宋代王安石、朱熹等人主张“复古井田制，田尽归官”；近代孙中山曾多次给予井田制高度的评价。

这些主张的共同目的是A.保护田庄经济B.发展商品经济C.维护封建统治D.限制土地兼并2．隋唐是我国封建社会的繁荣时期。

由于农业经济的发展、手工业的进步，特别是隋朝时开凿的贯通南北的大运河，促进了商品流通范围的扩大。

在此基础上出现了邸店、柜坊、飞钱等，它们的共同作用是A.为对外贸易服务B.为远距离和大宗商品交易服务C.为存款、贷款、兑换钱币服务D.为储存金银财物服务3．北宋初年，统治者非常注重朝贡的政治、军事意义，而置朝贡的经济利益于不顾；至南宋时期，重名不重实的朝贡贸易开始降到次要地位，市舶贸易成为国家财政收入的主要来源之一。

这一变化反映了A.南宋统治者采取务实政策B．传统朝贡贸易体制已动摇C.南宋统治者注重贸易管理D.官方贸易让位于民间贸易4．南宋时期，商品价格由行户、行头、官府三方制定，将商品质量分为精、次、粗三等，然后按照质量等级确定商品价格，最后将制定好的价格登录在案写成状文，报送官府专门管理价格的部门备案。

这表明当时A.商品价格由市场决定B.商品经济高度发达C.政府重视市场的监管D.官府操纵商品价格5．元代时，中国的棉纺织技术与近代英国一样都进行了技术革新，但在中国没有引发与英国相同的革命性效应，反而为自闭创造了条件。

其根源是中国A.小农经济的生产模式B.农民的购买力低下C.重农抑商政策的影响D.长途贩运呈现萎缩6．明朝嘉靖年间，山西武城县县令鉴于该县“集日寡而旷多”，每逢集日，便组织“歌舞剧戏之徒，各呈其技于要街”，结果“众且观且市，远近毕至，喧声沸腾……粟米丝麻布帛，禽而鸡骛，兽而牛羊，食而鱼肉果菰，与夫南北水陆之产，可以供民生所需者，错然填街溢巷”。

2024年春期高中一年级期终质量评估数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（）AB ．CD2．已知：，其中为虚数单位，则（ ）A ．1B CD ．23．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（）A ．B ．2C D4．已知：，，，若，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（）22cos 15sin 15︒-︒=12()11z i i -=+i z =O ()1,2a = ()2,4b =-- c = ()52a b c +⋅= a c xOy ()3,4OA = OA 23πOB OB OA322⎛+-⎝3,22⎛⎫⎪⎝⎭322⎛---+ ⎝3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E F :::2:1SD DA SE EB CF FS ===A．B ．C ．D ．7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（）A ．函数的对称中心为B ．若，则C ．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D ．若，则8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．下列有关复数内容表述正确的是（）A ．若复数满足，则一定为纯虚数B ．对任意的复数均满足：C ．设在复数范围内方程的两根为，，则D ．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为019272327293331351cos θ-θsin ver θ1sin θ-θcov ers θ()sin cov 1f x ver x ersx =-+,14k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-()g x 1()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+()1h α=02πα<<α43πsin 1cov 1ver x ersx -=-cov 311cov 13ers x ersx -=-ABCD AD BC 1AD AB ==90BAD ∠=︒45BCD ∠=︒ABD △BD PBD △P BD C --P BCD -83π143π4π6πz 0z z +=z z 22z z=24130x x -+=1x 2x 124x x +=1z 2z 120z z ⋅=1z 2z10．已知函数，且，则（ ）A ．B ．函数是偶函数C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在区间上单调递减11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（）A ．若，则不可能存在这样的点，使得B ．若，，则C ．若平面，则D ．周长的最小值是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.14．设为函数图象上任意一点，的最大值是___________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分13分）（1）已知复数满足，求；()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b=4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 54x π=()f x ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭A BCD -a 2a E F AC AD BE AC ⊥F EF AC⊥13AE AC = 23AF AD = 29E ABF B EFDCV V --=CD BEF EF CDBEF △52a ()1,2OA = ()2,1OB =-P AB P ABC △60ABC ∠=︒AC =2BC =ABC ∠AC D A BC E DE =(),P x y ()[]()sin cos 11,122f x x x x ππ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭z 13z i z =+-()()1334i i z++（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.16．（本小题满分15分）已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.17．（本小题满分15分）在中，，.（1）求证：；（2）若，，求的值.18．（本小题满分17分）如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.（1）求证：；（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.19．（本小题满分17分）x ∈R ()2121log 1log cos 2z x i x ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭x αβsin α=1tan 7β=-sin 2β2βα-ABC △ABD α∠=DBC β∠=()sin sin sin BD BA BCαββα+=+AB AC =72C ∠=︒cos36︒PA ⊥ABCD ABCD 112PA AB BC ===E PB AE PC ⊥M N PD AC 2PM ANDM CN==Q MN P ABQ -已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.（1）求证：；（2）若，，①求的最大值；②当时，求的值.ABC △AB C a b c M ABC △AC BA BC M ABC △M AC T ABC △S M r 2Sr a b c=-+3B π=8b =r r =AM AC ⋅。

河南省南阳市2019-2020学年初二下期末调研数学试题一、选择题（每题只有一个答案正确）1．直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b <+的解集为（ ）A ．0x >B ．0x <C ．1x >-D ．1x <-2．如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b+ab 2的值为（ ）A ．60B ．16C ．30D ．113．若关于x 的方程33x m x -=+的解为负数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m >-B ．3m <-C ．3m ≥-D ．3m ≤-4．若,,a b c 是三角形的三边长，则式子()22a b c --的值（ ）. A ．小于0B ．等于0C ．大于0D ．不能确定5．若关于x 的方程x 2+5x+a ＝0有一个根为﹣2，则a 的值是( ) A ．6B ．﹣6C ．14D ．﹣146．如图,在△ABC 中,P 为BC 上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③7．已知第一象限内点(4,1)P a +到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ） A ．3B ．4C ．－5D ．3或－58．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟B ．公园离小丽家的距离为2000米C ．小丽在便利店时间为15分钟D ．便利店离小丽家的距离为1000米9．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a ﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（ ） A ．方有两个相等的实数根 B ．方程有一根等于0 C ．方程两根之和等于0D ．方程两根之积等于010．某校八年级(1)班全体学生进行了第一次体育中考模拟测试，成绩统计如下表： 成绩(分) 24 25 26 27 28 29 30 人数(人)6558774根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是( ) A ．该班一共有42名同学B ．该班学生这次考试成绩的众数是8C ．该班学生这次考试成绩的平均数是27D ．该班学生这次考试成绩的中位数是27分 二、填空题11．直角三角形的两边长分别为3和5,则第三条边长是________. 12．计算：2b cc b- =_____． 13．直线21y x =-+过第_________象限，且y 随x 的增大而_________． 14．已知反比例函数12my x-=的图象上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是 _______________15．如图，在ABC ∆中，点D 在AB 上，请再添加一个适当的条件，使ADC ∆与ACB ∆相似，那么要添加的条件是__________．(只填一个即可)16．已知一组数据3，5，9，10，x ，12的众数是9，则这组数据的平均数是___________． 17．若n 边形的内角和是它的外角和的2倍，则n= . 三、解答题18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AB 斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离AC 为0.7米，顶端到地面距离BC 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端到地面距离'B D 为2米，求小巷的宽度CD .19．（6分）计算（1）计算：04(2019)|32|π--+- （2）2(22)21+-- 20．（6分）当m ，n 是正实数，且满足m +n ＝mn 时，就称点P （m ，mn）为“完美点”．（1）若点E 为完美点，且横坐标为2，则点E 的纵坐标为 ；若点F 为完美点，且横坐标为3，则点F 的纵坐标为 ；（2）完美点P 在直线 （填直线解析式）上；（3）如图，已知点A （0，5）与点M 都在直线y ＝﹣x +5上，点B ，C 是“完美点”，且点B 在直线AM 上．若MC 3AM ＝2MBC 的面积．21．（6分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AO CO =，EF 过点O 且与AD 、BC 分别相交于点E 、F ，OE OF =(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)连接AF ，若EF AC ⊥，ABF ∆周长是15，求四边形ABCD 的周长. 22．（8分）已知等腰三角形的周长是18cm ，底边()y cm 是腰长()x cm 的函数。

2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±2．已知非零向量(4,0)a k =- ，(6,2)b k =+，若a b ∥ ，则||a = （）A ．8B ．C ．6D ．3．17tan6π=（）A ．3-B ．3C ．D ．4．如图，在ABC △中，E 为边AB 的中点，2BD DC =，则DE = （）A ．1263AB AC-+B ．5163AB AC+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-5．如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD ，选取与碑基C 在同一水平面内的两个测量点A ，B ．现测得30BAC ∠=︒，105ABC ︒∠=，156AB =米，在点B 处测得碑顶D 的仰角为30︒，则纪念碑高CD 为（）A ．262米B ．392米C ．266米D ．393米6．已知向量,a b 满足||2||||2a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．14-B ．12-C ．14D ．127．已知函数()2cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若函数()f x θ+的图象关于y 轴对称，则||θ的最小值为（）A ．16B ．13C ．12D ．18．如图，在ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，线段AC 与DE 交于点F ，则cos AFE ∠=（）A ．32114-B ．217-C ．714-D ．17-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3b =，60A =︒，a 为常数，满足条件的ABC △唯一确定，则a 的值可能为（）A ．2B 3C ．112D ．3210．已知向量(1,3)a =，(,2)(0)b x x =-> ，且()a b b +⊥ ，则（）A ．与b 同向的单位向量为55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．a 与b 的夹角为4πC ．||a b +=D ．a 在b上的投影向量是(1,2)-11．已知函数()|sin |cos f x x x =（注：sin 22sin cos x x x =⋅），则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 图象的一条对称轴为直线2x π=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若扇形的弧长为43π，圆心角为6π，则扇形的面积为__________．13．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()sin sin sin sin a b c A B C a B +++-=，则C =__________．14．如图，在面积为3的ABC △中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则254PB PC BC⋅+ 的最小值为__________．．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量,a b 满足||a = ，||2b = ，且|2|a b +=（Ⅰ）求,a b 〈〉；（Ⅱ）在ABC △中，若AB a = ，AC b = ，求||BC．16．（15分）已知函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线8x π=对称．（Ⅰ）求()f x 的解析式及零点；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移524π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间．17．（15分）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为7,26M π⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）完善下面的表格，并画出()f x 在[0,]π上的大致图象；x6ππx ωϕ+π32π2π()f x 02-0（Ⅲ）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．18．（17分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知8a =，且()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=-．（Ⅰ）求ABC △面积的最大值；（Ⅱ）若8,AB AC D ⋅=为边BC 的中点，求线段AD 的长度．19．（17分）如图，记OA a = ，OB b = ，OC c = ，已知||2||2b a ==，,60a b ︒〈〉= ．（Ⅰ）若点D 在线段OA 上，且13OD OA =，求BD BA ⋅ 的值；（Ⅱ）若向量c a - 与b 方向相同，且||3c =，求ACB ∠；（Ⅲ）若()0b c c -⋅=，求||a c - 的最大值．2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B命题意图本题考查由三角函数的定义求参数．解析由题知3cos 5θ==-，解得34m =-．2．答案C命题意图本题考查由向量平行的坐标表示求出k ，再求向量的模．解析a b ∥ ，(4)(2)0k k ∴-+=，4k ∴=（舍去），或2k =-，(6,0)a ∴= ，即||6a =．3．答案A 命题意图本题考查正切函数的诱导公式．解析173tantan 3tan tan 66663πππππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．答案D命题意图本题考查平面向量基本定理在平面几何中的应用．解析E 为AB 的中点，2BD DC =，212112()323263DE DB BE CB AB AB AC AB AB AC ∴=+=-=--=- ．5．答案C命题意图本题考查利用正弦定理解决高度测量问题．解析在ABC △中，1803010545ACB ︒︒︒︒∠=--=，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠，即156sin 45sin 30BC =︒︒，解得BC =，在Rt BCD △中，tan 303CD BC =⋅︒==6．答案B命题意图本题考查投影数量的定义及平面向量数量积的运算．解析222||2524a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅= ，12a b ∴⋅=- ，a ∴ 在b方向上的投影数量为1||cos ,||2||||||a b a b a a b a a b b ⋅⋅〈〉=⋅==- ．7．答案D命题意图本题考查利用余弦函数图像求解析式，利用余弦函数的对称性求参数．解析由图可知(0)2cos 1f ϕ==，则1cos 2ϕ=，又02πϕ-<<，3πϕ∴=-，又502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据五点法作图原理，得5232ππω⨯-=，解得,()2cos 333f x x πππω⎛⎫=∴=- ⎪⎝⎭，从而()2cos (1)33f x x ππθθ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦，()f x θ+ 的图象关于y 轴对称，()f x θ∴+为偶函数，(1),3k k πθπ∴-=∈Z ，得min ||1θ=．8．答案C命题意图本题考查余弦定理．解析因为60DAB ∠=︒，AE AD =，所以ADE △是等边三角形，所以60AED ∠=︒．因为AFE CFD ∽，所以EF DF =12AE CD =，所以1133EF ED AE ==．设1EF =，则3AE =，在AEF △中，由余弦定理可得AF==，所以222cos 14AFE ∠=-．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABD 命题意图本题考查判定三角形解的个数问题．解析若满足条件的ABC △唯一确定，则3sin sin 602a b A ==︒=或a b ≥=，故A ，B ，D 正确．10．答案ACD 命题意图本题考查向量的垂直、夹角、模、投影向量及单位向量等概念．解析()a b b +⊥ ，()0a b b ∴+⋅=，(1,1)(,2)0x x ∴+⋅-=，解得1x =或2x =-（舍去）．对于A ，(1,2)b =- ，∴与b 同向的单位向量为525,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-⋅，则3,4a b π〈〉= ，故B 错误；对于C ，(1,3)(1,2)(2,1)a b +=+-=，||a b ∴+=，故C 正确；对于D ，a 在b上的投影向量是||cos ,,(1,2)255||b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅〈〉⋅=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．11．答案BC命题意图本题考查诱导公式，求正（余）弦型函数的最小正周期、单调性、对称中心及对称轴．解析对于A ，()|sin()|cos()|sin |(cos )()f x x x x x f x πππ+=++=-=- ，π∴不是()f x 的周期，故A 错误；对于B ， 当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0x >，1()|sin |cos sin cos sin 22f x x x x x x ∴===，又3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1()sin 22f x x ∴=在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确；对于C ，设()f x 图象上任意一点(,)M x y ，则M 关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的对称点为(,)M x y π'---，()|sin()|cos()|sin |(cos )()f x x x x x f x πππ--=----=-=- ，()f x ∴的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；对于D ，设()f x 图象上任意一点(,)P x y ，则P 关于直线2x π=的对称点为(,)P x y π'-，()sin()cos()sin (cos )()()f x x x x x f x f x πππ-=--=-=-≠ ，()f x ∴的图像不关于直线2x π=对称，故D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案163π命题意图本题考查扇形的弧长、面积的有关计算．解析设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ．l r θ= ，即436r ππ=⋅，8r ∴=，1141682233S l r ππ∴=⋅=⨯⨯=扇形．13．答案23π命题意图本题考查正（余）弦定理的应用．解析()(sin sin sin )sin a b c A B C a B +++-= ，由正弦定理变形得()()a b c a b c ab +++-=，222a b c ab ∴+-=-，又由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，23C π∴=．14．答案6命题意图本题考查平面向量在平面几何中的应用．解析如图，取BC 边的中点D ，连接PD ．22221()()()()4PC PB PD DC PD DB PD DC PD DC PD DC PD BC ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，22252||||4PB PC BC PD BC PD BC ∴⋅+=+⋅≥ ，当且仅当||||PD BC =时取等号．设点A 到BC 边的距离为h ，则1||||||32PD BC h BC ⋅≥= ，当PD BC ⊥时取等号，254PB PC BC ∴⋅+ 的最小值为6，当且仅当PD BC ⊥且PD BC =时取得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查平面向量及其应用．解析（Ⅰ）22222(2)447a b a b a a b b +=+=+⋅+=，342cos ,167a b ∴+〈〉+=，cos ,2a b ∴〈〉=- ，又[],0,a b π∈，5,6a b π∴= ．（Ⅱ）在ABC △中，BC AC AB b a =-=-，2222||()2BC b a b a a b ∴=-=+-⋅ 34322132⎛⎫=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，||BC ∴=．16．命题意图本题考查三角函数的对称性、单调性以及图象变换．解析（Ⅰ）()sin(2)22x f x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭ 的图象关于直线8x π=对称，2()82k k ππϕπ∴⨯+=+∈Z ，得()4k k πϕπ=+∈Z ，又22ππϕ-<< ，4πϕ∴=，()sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．令2()4x k k ππ+=∈Z ，得()28k x k ππ=-∈Z ，()f x ∴的零点为()28k x k ππ=-∈Z ．（Ⅱ）355()sin 3sin 32241246g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3232262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，可得22253939k k x ππππ+≤≤+，k ∈Z ，故()g x 的单调递减区间为2225,()3939k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．17．命题意图本题考查求函数解析式、用“五点法”画图、求三角函数的值域．解析（Ⅰ）由()f x 的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为2π，可知最小正周期T π=，222T ππωπ∴===．由一个最高点为7,26M π⎛⎫⎪⎝⎭，得2A =，由72sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即7sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得72()32k k ππϕπ+=+∈Z ，得112()6k k πϕπ=-∈Z ，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6πϕ∴=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）完善表格如下：x6π512π23π1112ππx ωϕ+6π2ππ32π2π136π()f x 122-01()f x 在[0,]π上的大致图象如图：（Ⅲ）,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，故()f x 的值域为[1,2]-．18．命题意图本题考查正（余）弦定理、三角形面积公式以及不等式的应用．解析（Ⅰ）()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=- ，由正弦定理可得()()()a b a b c c b -+=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，故3A π=．2222a b c bc bc bc bc =+-≥-= ，64bc ∴≤，当且仅当b c =时取等号．1sin 24ABC S bc A bc ∴==≤△故ABC △面积的最大值为．（Ⅱ）D 是边BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+ ，()()2222221111()||2||4442AD AB AC AB AB AC AC b c AB AC ∴=+=+⋅+=++⋅ ．8AB AC ⋅= ，cos 8bc A ∴=，16bc ∴=，又由（Ⅰ）知22264b c bc a +-==，2280b c ∴+=，2118082442AD ∴=⨯+⨯=，||AD ∴= 即线段AD的长度为．19．命题意图本题考查向量的基本运算．解析（Ⅰ）由题可知13BD BO OD a b =+=- ，BA a b =- ，又||||cos ,12cos601a b a b a b ⋅=〈〉=⨯︒= ，2211414()4333333BD BA a b a b a a b b ⎛⎫∴⋅=-⋅-=-⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ．（Ⅱ）设(0)c a b λλ-=> ，则c a b λ=+ ，222222()21423c a b a b a b λλλλλ∴=+=++⋅=++= ，解得12λ=或1λ=-（舍去）．12CA a c b ∴=-=- ，12CB b c b a =-=- ，1||||12CA b ∴==，||1CB == ，211111cos 22422||||CA CB b b a b a b CA C A B CB ⋅⎛⎫∴==-⋅-=-+⋅=- ⎭∠⎪⎝ ，120ACB ∴=∠︒．（Ⅲ）()0b c c -⋅= ，0CB OC ∴⋅= ，22()112cos600a b a a a b -⋅=-⋅=-⨯︒= ，0OA BA ∴⋅= ．,,,O A C B ∴四点均在以OB 为直径的圆上，AC ∴的最大值为该圆的直径，为2，即||a c - 的最大值为2．。

2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。

南阳一中高一年级2024年春期第4次月考数学试题一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D.2.如图，，分别为平行四边形边的两个三等分点，分别连接，，并延长交于点，连接，，则（ ）A. B. C. D.3.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（）A. B.4C. D.4.已知，，，那么，，之间的大小顺序为（ ）A. B. C. D.5.已知，，，，则（ ）A.B. C.D.6.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①；②与成60°的角；③与是异面直线；④.z ()1i 2i z +=z z =1i+1i-ii-E F ABCD AD BE CF O OA OD OD =2133OA OB-+2OA OB -+2OA OB -+ 2OA OB- OAB △O A B '''△O A B '''△B x sin100cos100M =︒-︒)sin 44cos12sin 46sin12N =︒︒+︒︒()()11tan 221tan 232P =+︒+︒M N P M N P <<P M N <<N M P <<P N M <<α()0,πβ∈()5sin 6αβ-=tan 1tan 4αβ=-αβ+=5π6π7π611π6AB EF ⊥AB CM EF MN //MN CD其中正确的是（ ）A.①②B.③④C.②③D.①③7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则该三角形外接圆的半径为（ ）A.1C.2D.8.在中，若，为的中点，，则面积的最大值为（ ）B.2C.3D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A.若B.若点的坐标为，且是关于的方程（，）的一个根，则C.若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限D.若复数满足，则的最小值为11.已知圆锥（是圆锥底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3.若，为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（）ABC △A B C a b c a =20c b C -+=ABC △AB AC =D AC BD =ABC △l m n αβγl m ⊥l n ⊥//m n //l m //l αm α⊄//m αm α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥αβ⊥βγ⊥n αγ= n β⊥z Z O i ()2i z ⋅+=2z z ⋅=Z ()3,2-z x 20x px q ++=p q ∈R 19p q +=101i i 1z =+z z 12i 1z -+=z 1-SO O S P QA.圆锥的侧面积为B.面积的最大值为C.三棱锥D.圆锥的内切球的表面积为三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知角终边上一点，则的值为______.13.在锐角中，角，，的对边分别为，，，点是的重心，若，，则边______.14.如图，在三棱锥中，为的中点，和均为等腰三角形，且，，.则三棱锥的体积为______.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为中点.（1）求证：平面；SO 12πSPQ △O SPQ -SO 36π7α()4,3P -()πcos sin π211π9πcos sin 22αααα⎛⎫+--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC △A B C a b c P ABC △2b =AP =(()cos24sin 1A B C ++=+c =P ADC -B DC PAC △ABC △90APC BAC ︒∠=∠=4AB =PD =P ADC -a b c()1,2a = c = //c a cb = 2a b + 2a b - a b θP ABCD -ABCD F PA E PB //PC BFD（2）已知点在上满足平面，求的值.17.（15分）如图，扇形的圆心角为，半径为1.点是上任一点，设（）.（1）记，求的表达式；（2）若，求的取值范围.18.（17分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.（1）求证：平面；（2）若直线与平面的夹角为，求二面角的大小.19.（17分）定义有序实数对的“跟随函数”为（）.（1）记有序数对的“跟随函数”为，若，求的单调增区间；（2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；（3）已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围.M PD //EC BFM PMMDAOB 2π3P AB AOP α∠=2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f OP AB α=⋅()f αOP xOA yOB =+ 22x y +111ABC A B C -1A BC ⊥11A ABB 12AA AB ==AB ⊥11B C CB AC 1A BC π61A AC B --(),a b ()sin cos f x a x b x =+x ∈R ()1,1-()f x []0,2πx ∈()f x ()0,1()f x ()()g x f x x =+[]0,2πx ∈y k =k 3a =(),a b ()y f x =0x x =b (0tan 2x南阳一中高一年级2024年春期第4次月考数学试题答案1. B2. C3. A4. B5. C6. D7. A8. B9. BCD 10. ABD 11. ACD12.13.415.解：（1）设，因为，，，所以，解得或，所以或（2）因为与垂直，所以，即，又，所以，得到，所以，又，所以.16.解：（1）证明：连结交于，连结，因在中，为中点，为中点，则.又平面，平面，故平面；（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，.67(),c x y = ()1,2a = c = //c a 2220120x y y x ⎧+=⎨⨯-⨯=⎩24x y =⎧⎨=⎩24x y =-⎧⎨=-⎩()2,4c = ()2,4c =--2a b +2a b - ()()220a b a b +⋅-= 222320a a b b +⋅-= b = a == 5253204a b ⨯+⋅-⨯= 52a b ⋅=- cos 1a b a bθ⋅===-⋅ []0,πθ∈πθ=AC BD O OF PAC △F PA O AC //PC FO PC ⊄BFD FO ⊂BFD //PC BFD FM AD G BG CD N EF FN PG EN因，则，，，四点共面.又平面，平面平面，则，四边形为平行四边形，可得，所以为中点.又，所以，所以，所以为的中线，又因为也为的中线，故点为的重心，所以.17.解（1）由题意，以为坐标原点，为轴正向建立如图平面直角坐标系，则，，.故，所以，即，（2）由（1），，即，//EF CN E F N C //EC BFM BFM EFNC FN =//EC FN EFNC12EF CN CD ==N CD //DG BC DG BC =DG AD =PD PAG △FG PAG △M PAG△2PMMD=O OAx ()cos ,sin P αα()1,0A 12B ⎛-⎝32AB ⎛=- ⎝ ()3πcos 23f αααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭()π3fαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦OP xOA yOB =+()()11cos ,sin 1,022x y x y y αα⎛⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭故，解得，其中，故，即，，故，所以，故，即的取值范围为.18.解：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以.因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以.又，从而侧面，又侧面，故，又三棱柱是直三棱柱，则底面，所以，又因为平面，且平面，所以平面.（2）连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影1cos 2sin x y yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222cos x y ααα⎫⎫+=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭225142π4sin 2cos 2cos 2sin 2333363αααααα⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭222π4sin 2363x y α⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ7π,6666α⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π12,162α⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]221,2x y +∈22x y +[]1,21A B D AD 1AA AB =1AD A B⊥1A BC ⊥11A ABB 1A BC 111A ABB A B =AD ⊥1A BC BC ⊂1A BC AD BC ⊥111ABC A B C -1AA ⊥ABC 1AA BC ⊥1AA AD A = BC ⊥11A ABB AB ⊂11A ABB AB BC ⊥111ABC A B C -1CC ⊥ABC 1CC AB ⊥BC ⊂11B C CB 1CC ⊂11B C CB AB ⊥11B C CB CD AD ⊥1A BC CD AC 1A BC∴即为直线与平面所成的角，则在等腰直角中，，且点是中点∴，且，∴作于点，连由（1）知平面，则，且∴即为二面角的一个平面角在直角中：又，，∴，且为锐角∴，即二面角的大小为.19解：（1）由题意，又，所以，则的单调增区间为和；（2）由题意，则，时，，时，，作出函数，的图象，如图，ACD ∠AC 1A BC π6ACD ∠=1A AB △12AAAB ==D 1A B 112AD A B ==π2ADC ∠=π6ACD ∠=AC =A 1AE AC ⊥E DEAD ⊥1A BC 1AD AC ⊥AE AD A =AED ∠1A AC B --1A AC △11A A AC AE A C ⋅===AD =π2ADE ∠=sin AD AED AE ∠===AED ∠π3AED ∠=1A ACB --π3()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭[]0,2πx ∈ππ7π,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()f x 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π,2π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()cos f x x =()cos g x x x =[]0,πx ∈()1πcos 2cos 2sin 26g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(]π,2πx ∈()1πcos 2cos 2sin 26g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫===-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y g x =[]0,2πx ∈在和上递增，在和上递减，，，由图象可知，时，函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点，所以的范围是；（3）由题意，其中，易知，时，，（），，同理，，，时，函数是增函数，因此，从而，即.()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭5π,2π3⎛⎤⎥⎝⎦()max 2f x =()()02π1f f ==12k ≤<()()g x f x x =[]0,2πx ∈y k =k [)1,2()()2sin cos f x x b x x ϕ=+=+cos ϕ=sin ϕ=π2π2x k ϕ+=+k ∈Z ()max f x =0π2π2x k ϕ=+-k ∈Z 0πsin sin 2πcos 2x k ϕϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭0cos sin x ϕ=000sin cos tan cos sin x x x ϕϕ==002222022cos 2tan 2sin cos sin tan 2cos 1tan sin cos 1sin x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕ===---22222444444444b b b b b b bb b +===---++(b ∈4y b b =-4,b b ⎛-∈-∞ ⎝)44b b⎡∈-⎣-)0tan 2x ⎡∈-⎣。

2020-2021高一下学期期末考试考前预测卷02试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．在复平面内，已知复数11z i =-，则其共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【分析】 根据复数运算和共轭复数定义求得z ，由此可得对应点坐标，从而确定结果.【详解】 ()()111111122i z i i i i +===+--+，1122z i ∴=-， z ∴对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D. 2．在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（ ）A ．至少摸出1个白球B ．至少摸出1个红球C ．摸出2个白球D ．摸出2个白球或摸出2个红球【答案】C【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项．【详解】对于A ，至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于B ，至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于C ，摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件；对于D ，摸出2个白球或摸出2个红球与摸出个白球1个红球是互斥也是对立事件. 故选：C ．3．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（ ）A ．70，75B ．70，50C ．75，1.04D ．65，2.35【答案】B【分析】由数据可知平均分不变，结合方差公式，写出更正前和更正后的方差表达式，即可求出更正后的方差.【详解】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2，由题意得， s 2＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x 48－70)2]，而更正前有： 75＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x 48－70)2]， 化简整理得s 2＝50.故选:B.4．已知空间三条直线a ，b ，c ．若a b a c ⊥⊥，，则（ ）A ．b 与c 平行B ．b 与c 异面C ．b 与c 相交D ．b 与c 平行、异面、相交都有可能【答案】D【分析】利用正方体模型进行分析判断【详解】解：如图在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB AD AB AA ⊥⊥，此时AD 与1AA 相交； 当,AB AD AB BC ⊥⊥时， AD ∥BC ；当1,AB AD AB CC ⊥⊥时，AD 与1CC 异面， 所以由a b a c ⊥⊥，，可得b 与c 平行、异面、相交都有可能，故选：D5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan a c bB ac +-=，则角B 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】C【分析】将()222tan a c b B ac +-=，变形为222cos 2s 2in =ac a c b B B +-求解. 【详解】因为()222tan a c b B ac +-=， 所以222co =s cos sin 22a c b B a B Bc +-=， 即()cos 2sin 10B B -=，因为cos 0B ≠， 所以1sin 2B =， 因为()0,B π∈， 所以6B π=或56π， 故选：C6．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且PA PB PC ==，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是（ ）A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PAE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面ABC【答案】D【分析】 由//DF BC 判断A ，由,AE PE 与BC 垂直，证明线面垂直，再结合平行线判断B ，根据面面垂直的判定定理判断C ，根据正棱锥的性质判断D ．【详解】 P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且PA PB PC ==，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，//DF BC ∴，DF ⊂平面PDF ，BC ⊂/平面PDF ，//BC ∴平面PDF ，故A 正确； PA PB PC ==，E 是BC 中点，PE BC ∴⊥，AE BC ⊥，PE AE E =，,PE AE ⊂平面PAE ，BC ∴⊥平面PAE ，//DF BC ，DF ⊥∴平面PAE ，故B 正确；BC ⊥平面PAE ，BC ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故C 正确；设AEDF O =，连结PO ，O 不是等边三角形ABC 的重心，PO ∴与平面ABC 不垂直， ∴平面PDF 与平面ABC 不垂直，故D 错误．故选：D ．7．已知向量,a b 满足5a =，6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ） A ．3135- B ．1935- C ．1735 D ．1935【答案】D【分析】 利用数量积的运算律可求得a b +，根据向量夹角公式可求得结果.【详解】 ()222225127a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=， ()225619cos ,5735a ab a a b a a b a a b a a b ⋅++⋅-∴<+>====⨯⋅+⋅+.故选：D.【点睛】 结论点睛：（1）求夹角的大小：若,a b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos a ba b θ⋅=⋅(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题；（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角． 8．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B CD -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，1DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．2【答案】C【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由1DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∥P AC ∈．正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∥1DQ ==，∥Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上，显然M 关于直线AC 的对称点为E ，11PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-==，当且仅当,,,E P Q D共线时取等号，∥所求最小值为1．故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．（多选）已知复数z a =+（a ∈R ）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2则下列结论正确的是（ ）A ．z 3＝8B ．zC ．z 的共轭复数为1+D ．z 2＝4 【答案】AB【分析】由已知求解a ，进一步求出z 2与z 3的值，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】解：∥复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，∥a ＜0，又|z |2，得a ＝﹣1（a ＜0），∥1z =-+，则()2212z =-+=--，()()322118z z z =⋅=-+-=．∥A 正确，B 正确，故选：AB ．10．下列说法正确的是（ ）A ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B ．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C ．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D ．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】AB【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.【详解】对于A ，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A 正确对于B ，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B 正确．对于C ，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C 错误．对于D ，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D 错．故选：AB ．【点睛】本题考查频率与概率的关系、概率的定义，注意两者之间的关系是概率是频率的稳定值，本题属于基础题．11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7【答案】ACD【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA ，则OA ==，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点. 同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而2<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故1AE ==，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ，同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面.由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确.因为在直角三角1BA C 中，1A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误. 由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥，因为EF EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒，故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确.因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ABC ，的面积为S ，若22a S =，则（ ） A ．sin sin 2(cos cos )b Cc B b C c B +=+ B ．2a bc的最大值为1 C ．c b b c+的最大值为5 D ．2222tan 2b c a A a+-= 【答案】ABC【分析】 由面积公式可得2sin bc A a =，再由正弦定理化简即可判断A ；由2sin a A bc =根据sin 1A ≤可判断B ；利用余弦定理可得22sin 2cos b c bc A bc A +=+，进而得出sin 2cos c b A A b c+=+可判断C ；由已知结合余弦定理即可判断D.【详解】 211sin 22S bc A a ==，即2sin bc A a =， 由正弦定理可得2sin sin sin sin B C A A =，sin 0A ≠，()sin sin sin sin sin cos cos sin B C A B C B C B C ∴==+=+，即()sin sin sin sin 2sin cos cos sin B C B C B C B C +=+， 由正弦定理可得sin sin 2(cos cos )b C c B b C c B +=+，故A 正确；2sin bc A a =，2sin a A bc=，()0,A π∈,则当2A π=时，2a bc取得最大值为1，故B 正确；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，22sin 2cos b c bc A bc A ∴+=+，()22sin 2csin 2c o o s s bc A bc Ac b c b A A A b c bc bcϕ+∴+==+=+=+，其中tan 2ϕ=，则可得c bb c+C 正确；由2sin bc A a =，2222cos a b c bc A =+-联立可得22222tan a A b c a=+-，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，解题的关键是利用面积公式和正弦定理将已知化简得出2sin bc A a =.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知向量||3,||2,|2|213a b a b ==+=，则,a b 的夹角为_________． 【答案】3π 【分析】设a ，b 的夹角为θ，则22244213a b a b a b +=++⋅=，利用数量积的定义，将已知代入即可得到答案. 【详解】设a ，b 的夹角为θ，则22244213a b a b a b +=++⋅=，又3a =，2b ==所以1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，故3πθ=．故答案为：3π14．已知复数1z ，2z 满足221z z =，121z z =+，则对于任意的t ∈R ，12tz z +的最小值是________．【分析】先设出2z a bi =+，根据题意得到21z ==，()121z z =⋅，代入12tz z +化简得到21z t z =+12tz z +的最小值. 【详解】解：设2z a bi =+， 则2z a bi =-， 又()()22221z z a bi a bi a b =+⋅-=+=，21z ∴==，121z z =+， ()121z z ∴=⋅，12tz z ∴+()221t z z =+⋅+()211t z =++⋅()11t =+===t R ∈，∴当14t =-时，1min 2tz z ==+15．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．【答案】【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得． 【详解】由题意1,4r l ==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2APA π'∠=，则4AA '==故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短求解．16．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =a 、b 、c 、S 为三角形的三边和面积）表示.在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若3a =，且22cos cos 3c b C c B -=，则ABC 面积的最大值为___________.【分析】由条件22cos cos 3c b C c B -=结合余弦定理可得出223b c =，然后利用二次函数的基本性质结合公式S =ABC 面积的最大值. 【详解】22cos cos 3c b C c B -=，则22222222223cos 3cos cos cos 22a b c a c b c b C c B ab C ac B ab ac b c ab ac+-+-=-=-=⋅-⋅=-，可得223b c =，所以，S ===12==. 当且仅当3c =时，等号成立.因此，ABC .【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，求： （1）2人都未解决的概率； （2）问题得到解决的概率. 【答案】（1）13；（2）23【分析】（1）由两个独立事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率乘积，即可求出2人都未解决的概率；（2）根据问题能得到解决的对立事件为两人都未解决问题，再根据对立事件概率和等于1，即可求解.【详解】解：（1）由题意知：甲、乙两人都未能解决的概率为：11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）问题能得到解决，即至少有1人能解决问题， 其对立事件为两人都未解决问题，∴问题得到解决的概率为：12133-=. 18．已知复数(1)(21)()z m m i m R =-++∈ （1）若z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及z 的最小值【答案】（1）1；（2）1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，||min z = 【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出． （2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出． 【详解】 解：（1）(1)(21)()z m m i m R =-++∈为纯虚数，10m ∴-=且210m +≠ 1m ∴=（2）z 在复平面内的对应点为(1,21))m m -+ 由题意：10210m m -<⎧⎨+>⎩，∴112m -<<．即实数m 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭．而||z ===当11(,1)52m =-∈-时，||5min z =19．已知(1,0),(2,1)a b ==．（1）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？（2）若23,AB a b BC a mb =+=+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【答案】（1）12k =-；（2）32. 【分析】（1）由题意，求得(2,1)ka b k -=--，2(5,2)a b +=，根据ka b -与2a b +共线，列出方程，即可求解；（2）因为A ，B ，C 三点共线，得到AB BC λ=，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）由(1,0),(2,1)a b ==，可得(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=+=，因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(1)50k ---⨯=， 即2450k -+=，解得12k =-. （2）因为A ，B ，C 三点共线，所以,AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，所以23m λλ=⎧⎨=⎩，解得32m =.20．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，2PA PC ==，PB PD =.（∈）若O 是AC 与BD 的交点，求证：PO ⊥平面ABCD ； （∈）若点M 是PD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的余弦值.【答案】（∥）证明见解析；（∥. 【分析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，可证得PO AC ⊥，PO BD ⊥,从而得证；（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角），根据边长，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连OP .PA PC =，PD PB =，且O 是AC 和BD 的中点，PO AC ∴⊥，PO BD ⊥,AC 和BD 为平面ABCD 内的两条相交直线， PO ∴⊥平面ABCD .（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角），根据题意得2,PA PC AC AB AD PO OD =======所以112MN AD ==，NC =PD =所以，MC =故222cos 2MN MC NC NMC MN MC +-∠==⋅21．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，_________． （1）求角C 的大小；（2）若1,tan b c B -==，求ABC 的面积S ．在①cos c C R =（R 为ABC 外接圆的半径），②sin 2cos cos sin 2B C A Bb a-=，③2224S a b c =+-（S 为ABC 的面积），这三个条件中选一个，补充在横线上，并加以解答．【答案】（1）4C π；（2）4+【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及二倍角正弦公式即可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解.（2）根据同角三角函数的基本关系求出sin 3B =，再根据正弦定理可得34c b =，求出,b c ，利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）选①，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 则cos cos 2sin cos 12sin cc C R c C C C C=⇒=⇒=sin 21C ⇒=， 又02C π<<， 所以22C π=，解得4Cπ.选②，sin 2cos cos sin 2B C A Bb a-= 2sin cos cos cos sin 2sin sin B B C A BB A-⇒=sin cos cos sin cos A B A B C ⇒+= ()sin cos A B C ⇒+=sin cos C C ⇒= tan 1C ⇒=，因为0C π<<，所以4C π.选③，2224S a b c =+-14sin 2cos 2ab C ab C ⇒⨯=sin cos C C ⇒=tan 1C ⇒=，因为0C π<<，所以4C π.（2）tan B =sin cos BB⇒=， 又22sin cos 1B B +=，解得sin 3B =，1cos 3B =，由（1）4Cπ，由正弦定理sin sin b cB C=，=，整理可得34c b =，又1b c -=，解得4,3b c ==，14sin sin()sin cos cos sin 32326A B C B C B C =+=+=+⨯=114sin 124226ABCSbc A +==⨯⨯=+ 22．如图，棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，过AB 的截面与上底面交于PQ ，且点P 在棱11A D 上，点Q 在棱11C B 上，且1AB =，AC =2BC =.（1）求证：11//PQ A B ；（2）若二面角1A C D C --，求侧棱1BB 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）由线面平行的性质定理可推出//AB PQ ，再由平行的传递性可证得11//PQ A B （2）先找出二面角1A C D C --的平面角CAP ∠，表示出tan CAP ∠，求出CP ，再设1CC x =，建立方程求出1CC ，进而求出1BB .【详解】（1）在棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB 面1111D C B A ，AB面ABPQ ， 面1111A B C D 面ABPQ PQ =，由线面平行的性质定理有//AB PQ ，又11//AB A B ，故11//PQ A B ；（2）证明：在底面ABCD 中，1AB =，AC =2BC =.222AB AC BC +=， AB AC ∴⊥，AC CD ∴⊥又因为侧棱1AA ⊥底面ABCD ，则1CC ⊥底面ABCDAC ⊂面11ABB A ，1CC AC ∴⊥又1=CC CD C ，AC ∴⊥面11CDD C过点C 作1CS C D ⊥于S ，连接AS ，则CSA ∠是二面角1A C D C --的平面角．os c CSA ∠=22cos sin 1CSA CSA ∠+∠=，则in s CSA ∠=an t CSA ∠=2tan AC CS CSCSA ==∠=，CS ∴= 设1CC x =，则1111122CC D SC D CS CD CC =⋅⋅=⋅．CS x =，CS ∴==故12CC =，故12BB =．【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．。

2019-2020学年河南省南阳一中高三（下）第九次考试数学试卷（理科）试题数：23，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|-3＜x＜2}，B={x|lnx＞0}，则A∩B=（）A.{-3，-2，-1，0，1}B.{1，2}C.{x|-3≤x≤1}D.{x|1＜x＜2}2.（单选题，5分）已知复数z=13+4i，则下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的虚部为425iC.复数z的共轭复数为325+425iD.复数的模为13.（单选题，5分）椭圆x29+y216=1的一个焦点坐标为（）A.（5，0）B.（0，5）C.（√7，0）D.（0，√7）4.（单选题，5分）已知m=log40.4，n=40.4，p=0.40.5，则（）A.m＜n＜pB.m＜p＜nC.p＜n＜mD.n＜p＜m5.（单选题，5分）曲线y=（x3+x2）e x在x=1处的切线方程为（）A.y=7ex-5eB.y=7ex+9eC.y=3ex+5eD.y=3ex-5e6.（单选题，5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=11，S15=15，则a2=（）A.18B.16C.14D.127.（单选题，5分）要得到函数y=−√2sin3x的图象，只需将函数y=sin3x+cos3x的图象（）A.向右平移3π个单位长度4个单位长度B.向右平移π2C.向左平移个π单位长度4D.向左平移个π单位长度28.（单选题，5分）若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（）A. 12B. 14C. 16D. 189.（单选题，5分）定义在R上的奇函数f（x）满足，当x≤0时f（x）=e x-e-x，则不等式f （x2-2x）-f（3）＜0的解集为（）A.（-1，3）B.（-3，1）C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-3）∪（1，+∞）10.（单选题，5分）过原点O作直线l：（2m+n）x+（m-n）y-2m+2n=0的垂线，垂足为P，则P到直线x-y+3=0的距离的最大值为（）A. √2 +1B. √2 +2C. 2√2 +1D. 2√2 +211.（单选题，5分）已知圆锥的母线长l为4，侧面积为S，体积为V，则V取得最大值时圆S锥的侧面积为（）A. 2√2πB. 3√2πC. 6√2πD. 8√2π12.（单选题，5分）已知点A是双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右顶点，若存在过点N（3a，0）的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得△AMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（）A.存在最大值3√24B.存在最大值2√33C.存在最小值3√24D.存在最小值2√3313.（填空题，5分）已知向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（-1，m），且a⃗与a⃗+b⃗⃗垂直，则m=___ ．14.（填空题，5分）已知所有项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若a1=1，S4=a4+21，则公比q=___ ．15.（填空题，5分）二项式(x3√x )7的展开式中，x4的系数为___ ．16.（填空题，5分）已知角α∈(π，32π)，β∈(0，π2)，且满足tanα=1+sinβcosβ，则β=___（用α表示）17.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos2C-cos2B=sin2A--sinAsinC．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3√3，b= √13，求a+c的值．18.（问答题，12分）如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED || FB，DE= 12BF，AB=FB，FB⊥平面ABCD（Ⅰ）设BD与AC的交点为O，求证：OE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角E-AF-C的正弦值．19.（问答题，12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a＞b＞0)的离心率e=√32，且经过点(√3，12)，A，B，C，D为椭圆的四个顶点（如图），直线l过右顶点A且垂直于x轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）P为l上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若S△PCD=2S△PEF，求点P的坐标．20.（问答题，12分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf'（x），x≥0，其中f'（x）是f （x）的导函数．（1）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）设n∈N*，比较g（1）+g（2）+⋅⋅⋅+g（n）与n-f（n）的大小，并说明理由．21.（问答题，12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．（Ⅰ）求系统不需要维修的概率；（Ⅱ）该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；（Ⅲ）为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？22.（问答题，10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=2cosφy=1+cos2φ（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标23.（问答题，0分）已知函数f（x）=|x-1|+|2x+4|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）若f（x）-|m-1|≥0恒成立，求实数m的取值范围2019-2020学年河南省南阳一中高三（下）第九次考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|-3＜x＜2}，B={x|lnx＞0}，则A∩B=（）A.{-3，-2，-1，0，1}B.{1，2}C.{x|-3≤x≤1}D.{x|1＜x＜2}【正确答案】：D【解析】：先解出B中不等式，然后根据交集的定义求解即可．【解答】：解：因为：lnx＞0，所以x＞1，故B={x|x＞1}，故A∩B={x|1＜x＜2}．故选：D．【点评】：本题考查集合的运算以及不等式的解法．属于基础题．2.（单选题，5分）已知复数z=13+4i，则下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的虚部为425iC.复数z的共轭复数为325+425iD.复数的模为1【正确答案】：C【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】：解：∵ z=13+4i =3−4i25=325−425i，∴z的实部为325，虚部为−425，z的共轭复数为325+425i，模为√(325)2+(425)2=15，【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.（单选题，5分）椭圆x29+y216=1的一个焦点坐标为（）A.（5，0）B.（0，5）C.（√7，0）D.（0，√7）【正确答案】：D【解析】：判断椭圆的焦点坐标所在的轴，然后求解即可．【解答】：解：椭圆x 29+y216=1的焦点坐标在y轴，又因为a=4，b=3，所以c= √7，故双曲线x 29+y216=1的上焦点的坐标是(0，√7)．故选：D．【点评】：本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.（单选题，5分）已知m=log40.4，n=40.4，p=0.40.5，则（）A.m＜n＜pB.m＜p＜nC.p＜n＜mD.n＜p＜m【正确答案】：B【解析】：根据幂函数，指数函数，对数函数的性质可得．【解答】：解：因为m=log40.4＜0，n=40.4＞1，0＜p=0.40.5＜1，所以m＜p＜n．故选：B．【点评】：本题考查了不等关系与不等式，幂函数，指数函数，对数函数的性质，属基础题．5.（单选题，5分）曲线y=（x3+x2）e x在x=1处的切线方程为（）A.y=7ex-5eB.y=7ex+9eD.y=3ex-5e【正确答案】：A【解析】：求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．【解答】：解：由y=（x3+x2）e x得y'=（3x2+2x）e x+（x3+x2）e x，所以y'|x=1=7e，又x=1时，y=2e，所以所求切线方程为y-2e=7e（x-1），即y=7ex-5e．故选：A．【点评】：本题考查切线方程的求法，函数的导数的应用，是基本知识的考查．6.（单选题，5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=11，S15=15，则a2=（）A.18B.16C.14D.12【正确答案】：B【解析】：由S15=15，⇒a8=1，又a4=11，所以公差d=1−114=−52，即可求出a2．【解答】：解：因为S15=15(a1+a15)2=15a8=15，所以a8=1，又a4=11，所以公差d=1−114=−52，所以a2=a4-2d=11+5=16．故选：B．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，属于基础题．7.（单选题，5分）要得到函数y=−√2sin3x的图象，只需将函数y=sin3x+cos3x的图象（）A.向右平移3π4个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移个π4单位长度D.向左平移个π2单位长度【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果．【解答】：解：因为y=sin3x+cos3x=√2sin(3x+π4)，所以将其图象向左平移π4个单位长度，可得y=√2sin[3(x+π4)+π4]=√2sin(3x+π)=−√2sin3x，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.（单选题，5分）若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（）A. 12B. 14C. 16D. 18【正确答案】：C【解析】：分2步分析：① 先从5个人里选2人，其位置不变，有C52=10种，② 对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，有2种，所以恰有两人站在自己原来的位置上包含的基本事件为10×2=20，又基本事件总数为120，代入古典概型概率公式即可．【解答】：解：根据题意，分2步分析：① 先从5个人里选2人，其位置不变，有C52=10种选法，② 对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有10×2=20种．而基本事件总数为A55=120，所以所求概率为20120=16．故选：C．【点评】：本题考查了古典概型的概率求法，考查了计数原理，排列组合的知识，本题属于基础题．9.（单选题，5分）定义在R上的奇函数f（x）满足，当x≤0时f（x）=e x-e-x，则不等式f （x2-2x）-f（3）＜0的解集为（）A.（-1，3）B.（-3，1）C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-3）∪（1，+∞）【正确答案】：A【解析】：由已知求得函数解析式，再由导数研究函数的单调性，把f（x2-2x）-f（3）＜0转化为关于x的一元二次函数求解．【解答】：解：设x＞0，则-x＜0，∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-（e-x-e x）=e x-e-x，，∴当x∈R时，f(x)=e x−1e x∴ f′(x)=e x+1＞0，则f（x）为R上的单调递增函数，e x故由f（x2-2x）-f（3）＜0，得f（x2-2x）＜f（3），即x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，故选：A．【点评】：本题考查函数解析式及其求法，训练了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，属中档题．10.（单选题，5分）过原点O作直线l：（2m+n）x+（m-n）y-2m+2n=0的垂线，垂足为P，则P到直线x-y+3=0的距离的最大值为（）A. √2 +1B. √2 +2C. 2√2 +1D. 2√2 +2【正确答案】：A【解析】：整理直线方程，找到直线过的定点Q（0，2），则点P在以oq为直径的圆上，将P到直线x-y+3=0的距离的最大值转化为圆心（0，1）到直线的距离处理即可．【解答】：解：（2m+n ）x+（m-n ）y-2m+2n=0整理得（2x+y-2）m+（x-y+2）n=0， 由题意得 {2x +y −2=0x −y +2=0 ，解得 {x =0y =2 ，所以直线l 过定点Q （0，2）．因为OP⊥l ，所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为（0，1），半径为1， 因为圆心（0，1）到直线x-y+3=0的距离为 d =√2=√2 ，所以P 到直线x-y+3=0的距离的最大值为 √2+1 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了直线过定点问题，考查了圆的方程，点到直线的距离公式，属于中等题． 11.（单选题，5分）已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则 VS 取得最大值时圆锥的侧面积为（ ） A. 2√2π B. 3√2π C. 6√2π D. 8√2π 【正确答案】：D【解析】：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r 2+h 2=l 2=16，求出 V S的表达式，利用基本不等式求解即可．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r 2+h 2=l 2=42=16，所以VS=13πr 2ℎπrl=rℎ12≤112×r 2+ℎ22=112×162=23，当且仅当 r =ℎ=2√2 时取等号． 此时侧面积为 12×2π×2√2×4=8√2π ． 故选：D ．【点评】：本题考查几何体的体积以及侧面积的求法，基本不等式的应用，考查计算能力． 12.（单选题，5分）已知点A是双曲线 x 2a 2−y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的右顶点，若存在过点N（3a ，0）的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（ ） A.存在最大值 3√24B.存在最大值2√33C.存在最小值3√24 D.存在最小值2√33【正确答案】：B【解析】：取双曲线的渐近线方程 y =b a x ，设 M (m ，b a m) ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −a ，ba m) ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −3a ，b am) ． 若存在过N （3a ，0）的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，通过 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，化简利用判别式转化求解离心率的最大值．【解答】：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的右顶点A （a ，0），双曲线的渐近线方程为 y =±ba x ， 不妨取 y =bax ，设 M (m ，b a m) ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −a ，ba m) ， NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −3a ，b am) ． 若存在过N （3a ，0）的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 (m −a )(m −3a )+(b a m)2=0 ， 整理可得 (1+b 2a 2)m 2−4am +3a 2=0 ， 由题意可知此方程必有解， 则判别式 △=16a 2−12a 2(1+b 2a 2)≥0 ，得a 2≥3b 2，即a 2≥3c 2-3a 2， 解得 1＜e =ca ≤2√33， 所以离心率存在最大值 2√33． 故选：B ．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系，向量的数量积判断直线的垂直，考查转化思想以及计算能力．13.（填空题，5分）已知向量 a ⃗ =（2，3）， b ⃗⃗ =（-1，m ），且 a ⃗ 与 a ⃗+b ⃗⃗ 垂直，则m=___ ． 【正确答案】：[1]- 113【解析】：由向量的坐标运算求出a⃗ + b⃗⃗，再由两向量垂直数量积为0可得关于m的方程，即可求解．【解答】：解：∵向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（-1，m），∴ a⃗+b⃗⃗=(1，3+m)，∵ a⃗与a⃗+b⃗⃗垂直，∴2+3（3+m）=0，解得m=- 113．故答案为：- 113．【点评】：本题主要考查向量的坐标运算及数量积与两个平面向量垂直的关系，属于基础题．14.（填空题，5分）已知所有项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若a1=1，S4=a4+21，则公比q=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】：解：由题意得S4-a4=21，∴S3=21，又a1=1，∴ S3=1−q31−q=21，解得q=4或q=-5（舍），∴q=4．故答案为：4．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.（填空题，5分）二项式(x3√x )7的展开式中，x4的系数为___ ．【正确答案】：[1] 283【解析】：由二项式定理及展开式通项公式可得：x4系数为C72•(−23)2=283，得解．【解答】：解：由二项式(x−3√x )7展开式的通项公式为T r+1=C7r•x7−r•(−23x−12)r=C7r•(−23)r•x7−32r得：令7−32r=4，解得r=2，即x4系数为：C72•(−23)2=283，故答案为：283．【点评】：本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．16.（填空题，5分）已知角α∈(π，32π)，β∈(0，π2)，且满足tanα=1+sinβcosβ，则β=___（用α表示）【正确答案】：[1] 2α−52π【解析】：直接利用三角函数的中的角的范围的应用和三角函数关系式的恒等变换及同角三角函数的应用求出结果．【解答】：解：法一：由tanα=1+sinβcosβ得sinαcosα=1+sinβcosβ，所以sinαcosβ=cosα（1+sinβ），即sin（α-β）=cosα．结合诱导公式得sin(α−β)=sin(π2−α)．因为α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以α−β∈(π，3π2)，π2−α∈(−π，−π2)．由诱导公式可得sin(α−β)=sin[2π+(π2−α)]，易知2π+(π2−α)∈(π，32π)，因为y=sinx在(π2，32π)上单调递减，所以α−β=2π+(π2−α)，即β=2α−52π．法二：由tanα=1+sinβcosβ得tanα=sinβ2+cosβ2cosβ2−sinβ2=tanβ2+11−tanβ2=tan(β2+π4)，所以tanα=tan(β2+π4)．因为α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以β2+π4∈(π4，π2)．由诱导公式可得tan（α-π）=tanα，即tan(α−π)=tan(β2+π4)因为y=tanx在(0，π2)上单调递增，所以α−π=β2+π4，即β=2α−52π．故答案为：2α−52π【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的单调性的应用，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos2C-cos2B=sin2A--sinAsinC．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3√3，b= √13，求a+c的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，根据余弦定理可求cosB的值，结合范围0＜B＜π，利用特殊角的三角函数值即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=π3，利用余弦定理可得b2=a2+c2-ac，利用三角形的面积公式可得ac=12，联立可求a+c的值．【解答】：解：（Ⅰ）由cos2C-cos2B=sin2A-sinAsinC，得sin2B-sin2C=sin2A-sinAsinC．由正弦定理，得b2-c2=a2-ac，即a2+c2-b2=ac，所以cosB=a 2+c2−b22ac=ac2ac=12．因为0＜B＜π，所以B=π3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=π3，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac．①又S=12acsinB=3√3，∴ac=12，②又∵ b=√13，∴据① ② 解，得13=（a+c）2-3ac=（a+c）2-3×12，∴a+c=7．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.（问答题，12分）如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED || FB，DE= 12BF，AB=FB，FB⊥平面ABCD（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE⊥平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E-AF-C 的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）证明DE⊥AC ，在△EOF 中，利用勾股定理证明OE⊥OF ，然后证明OE⊥面ACF ．（Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，求出面AEF 的一个法向量，面AFC 的一个法向量，设θ为二面角E-AF-C 的平面角，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】：（Ⅰ）证明：由题意可知：ED⊥面ABCD ， 从而Rt△EDA≌Rt△EDC ，∴EA=EC ，又O 为AC 中点， ∴DE⊥AC ，在△EOF 中， OE =√3，OF =√6，EF =3 ， ∴OE 2+OF 2=EF 2，∴OE⊥OF 又AC⋂OF=O ， ∴OE⊥面ACF ．（Ⅱ）解：ED⊥面ABCD ，且DA⊥DC ，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而E （0，0，1），A （2，0，0），C （0，2，0），F （2，2，2），O （1，1，0） 由（Ⅰ）可知 EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1 ，1，-1）是面AFC 的一个法向量， 设 n ⃗⃗=(x ，y ，z ）为面AEF 的一个法向量，由 {AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗=2y +2z =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗=−2x +z =0 ，令x=1得 n ⃗⃗=(1 ，-2，2）．设θ为二面角E-AF-C 的平面角， 则 |cosθ|=|cos ＜EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n ⃗⃗＞|=|EO⃗⃗⃗⃗⃗⃗n ⃗⃗||EO⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|n ⃗⃗|=√33，∴ sinθ=√63． ∴二面E-AF-C 角的正弦值为 √63 ．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力． 19.（问答题，12分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0) 的离心率 e =√32 ，且经过点 (√3，12) ，A ，B ，C ，D 为椭圆的四个顶点（如图），直线l 过右顶点A 且垂直于x 轴． （1）求该椭圆的标准方程；（2）P 为l 上一点（x 轴上方），直线PC ，PD 分别交椭圆于E ，F 两点，若S △PCD =2S △PEF ，求点P 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）利用椭圆的离心率 e =√32 ，且经过点 (√3，12) ，列出方程组求解即可． （2）设P （2，m ），m ＞0，直线PC 的方程为 y =m−12x +1 ，与椭圆联立，利用韦达定理，推出E 的坐标，结合联立方程组 {y =m+12x −1x 24+y 2=1 求出F 点的横坐标，由S △PCD =2S △PEF ，转化求解即可．【解答】：解：（1）因 x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0) 的离心率 e =√32 ，且经过点 (√3，12) ， 所以 {c a=√32(√3)2a 2+14b 2=1……………（2分） 解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆标准方程为 x 24+y 2=1 ．………（4分）（2）由（1）知椭圆方程为 x 24+y 2=1 ，所以直线l 方程为x=2，C （0，1），D （0，-1）． …………（6分）设P （2，m ），m ＞0，则直线PC 的方程为 y =m−12x +1 ，…………………………（8分）联立方程组 {y =m−12x +1x 24+y 2=1消y 得（m 2-2m+2）x 2+4（m-1）x=0，所以E 点的横坐标为 x E =−4(m−1)m 2−2m+2 ； …………………………（10分） 又直线PD 的方程为 y =m+12x −1 ，联立方程组 {y =m+12x −1x 24+y 2=1消y 得（m 2+2m+2）x 2-4（m+1）x=0，所以F 点的横坐标为 x F =4(m+1)m 2+2m+2． …………………………（12分）由S △PCD =2S △PEF 得 12PC •PDsin∠DPC =2×12PE •PFsin∠EPF ， 则有 PC•PDPE•PF =2 ，则2−02+4(m−1)m 2−2m+2•2−02−4(m+1)m 2+2m+2=2 ，…………………………（14分）化简得 m 4+4m4=2 ，解得m 2=2，因为m ＞0，所以 m =√2 ，所以点P 的坐标为 (2，√2) ． …………………………（16分）【点评】：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力． 20.（问答题，12分）设函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=xf'（x ），x≥0，其中f'（x ）是f （x ）的导函数．（1）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）设n∈N*，比较g（1）+g（2）+⋅⋅⋅+g（n）与n-f（n）的大小，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）将已知不等式转化为ln（1+x）≥ ax1+x恒成立，构造函数ϕ（x）=ln（1+x）- ax1+x（x≥0），求导，分a≤1，a＞1两种情况讨论，即可得解；（2）在（2）中取a=1，可得ln（1+x）＞x1+x ，x＞0，令x= 1n，则ln n+1n＞1n+1，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】：解：（1）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥ ax1+x恒成立．设ϕ（x）=ln（1+x）- ax1+x （x≥0），则ϕ′（x）= 11+x- a(1+x)2= x+1−a(1+x)2，………………………（1分）当a≤1时，ϕ（x）≥0仅当x=0，a=1时等号成立，∴ϕ（x）在[0，+∞）上单调递减，又ϕ（0）=0，∴ϕ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴a≤1时，ln（1+x）≥ ax1+x恒成立（仅当x=0时等号成立）；……………………………………..（3分）当a＞1时，对x∈（0，a-1]有ϕ′（x）＜0，ϕ（x）在（0，a-1]上单调递减，∴ϕ（a-1）＜ϕ（0）=0，即a＞1时，存在x＞0，使ϕ（x）＜0，故知ln（1+x）≥ ax1+x不恒成立．………………………．（5分）综上可知，a的取值范围是（-∞，1]．………………………………………………………………………（6分）（2）由题设知g（1）+g（2）+…+g（n）= 12 + 23+…+ nn+1，n-f（n）=n-ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n-ln（n+1）．证明如下：上述不等式等价于ln（n+1）＞12 + 13+…+1n+1，……………………………………………………………（8分）在（1）中取a=1，可得ln（1+x）＞x1+x，x＞0，…………………………………………………………（10分）．令x= 1n ，n∈N，则ln n+1n＞1n+1，故有ln2-ln1＞12，ln3-ln2＞13，…ln（n+1）-lnn＞1n+1，上述各式相加可得ln（n+1）＞12 + 13+…+ 1n+1，结论得证……………………………………………………………（12分）【点评】：本题主要考查构造函数解决不等式问题；利用导数求函数的最值，不等式比较大小，累加法的应用，属于一道综合题．21.（问答题，12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．（Ⅰ）求系统不需要维修的概率；（Ⅱ）该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；（Ⅲ）为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）用2个电子元件正常工作加上3个电子元件正常工作可得．（Ⅱ）设X为维修维修的系统的个数，则X～B(3，12)，且ξ=500X，所以P(ξ=500k)=P(X=k)=C3k•(12)k•(12)3−k，k=0，1，2，3．再求出概率，写出分布列，期望．（Ⅲ）按照原来和后来增加的原件中正常工作的个数分类讨论，利用独立重复试验的概率公式计算可得．【解答】：解（Ⅰ）系统不需要维修的概率为C32•(12)2•12+C33•(12)3=12．（Ⅱ）设X为维修的系统的个数，则X～B(3，12)，且ξ=500X，所以P(ξ=500k)=P(X=k)=C3k•(12)k•(12)3−k，k=0，1，2，3．所以ξ的分布列为所以ξ的期望为E（ξ）=0×8 +500×8+1000×8+1500×8=750．．（Ⅲ）当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统的才正常工作．若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为C31• 12•（12）2•p2= 38p2；若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为C32•（12）2• 12• C21•p•（1-p）+ C32•（12）2• 12p2= 38（2p-p2）；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为C33•（12）3= 18．所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为38 p2+ 38（2p-p2）+ 18= 34p+ 18，于是由34 p+ 18- 12= 38（2p-1）知，当2p-1＞0时，即12＜p＜1时，可以提高整个G系统的正常工作概率．【点评】：本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．22.（问答题，10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=2cosφy=1+cos2φ（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标．【解答】：解：（I ）依题意，曲线C 2的极坐标方程为 θ=π3(ρ∈R ) 转换为的直角坐标方程为y= √3x ．（II ）因为曲线C 1的参数方程为 {x =2cosφy =1+cos2φ （φ为参数），所以曲线的直角坐标方程为 y =12x 2 （x∈[-2，2]），联立 {y =√3x y =12x 2 解方程组得 {x =0y =0或 {x =2√3y =6 ， 根据x 的范围应舍去 {x =2√3y =6， 故交点的直角坐标为（0，0）．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，方程组的解法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x-1|+|2x+4|．（Ⅰ）求不等式f （x ）＞6的解集；（Ⅱ）若f （x ）-|m-1|≥0恒成立，求实数m 的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）利用分段讨论法，去掉绝对值，解不等式即可；（2）利用绝对值不等式求出f （x ）的最小值，再把f （x ）-|m-1|≥0恒成立化为|m-1|≤3，从而求出实数m 的取值范围．【解答】：解：（1）依题意，|x-1|+|2x+4|＞6，当x ＜-2时，原式化为1-x-2x-4＞6，解得x ＜-3，故x ＜-3；当-2≤x≤1时，原式化为1-x+2x+4＞6，解得x ＞1，故无解；当x ＞1时，原式化为x-1+2x+4＞6，解得x ＞1，故x ＞1；综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（-∞，-3）∪（1，+∞）；（2）因为f（x）=|x-1|+|2x+4|=|x-1|+|x+2|+|x+2|≥|x-1|+|x+2|≥3，当且仅当x=-2时，等号成立．故f（x）-|m-1|≥0恒成立等价于|m-1|≤3；即-3≤m-1≤3，解得-2≤m≤4；故实数m的取值范围为[-2，4]．【点评】：本题出来含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是基础题．。

南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（ ）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（ ）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8 设，，，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（ ）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或 （2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。

2020-2021高一下学期期末考试考前预测卷03试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体【答案】C 【分析】由球体截面的性质，即可确定正确选项. 【详解】各个截面都是圆，几何体中只有球体的任意截面都是圆，∴这个几何体一定是球体，故选：C ．2．已知复数z 满足()234z i i +=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】C 【分析】根据复数模的公式，结合复数除法运算的法则、共轭复数的定义进行求解可. 【详解】解：∵()234z i i +=+，∵3455(2)222(2)(2)i i z i i i i i +-=====-+++-，∵2z i =+， 故选：C ．3．已知数据12,,,,n x x x t 的平均数为t ，方差为21s ，数据12,,,n x x x 的方差为22s ，则（ ）A ．2212s s > B ．2212s s = C ．2212s s < D ．21s 与22s 的大小关系无法判断【答案】C 【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断2212,s s 的大小.【详解】 由题设，123...1n x x x x t t n +++++=+，即123...nx x x x t n++++=，∵22111()1n i i s x t n ==-+∑，22211()n i i s x t n ==-∑，即有2212s s <. 故选：C.4．甲乙两人进行扑克牌得分比赛，甲的三张扑克牌分别记为A ，b ，C ，乙的三张扑克牌分别记为a ，B ，c .这六张扑克牌的大小顺序为A a B b C c >>>>>.比赛规则为：每张牌只能出一次，每局比赛双方各出一张牌，共比赛三局，在每局比赛中牌大者得1分，牌小者得0分.若每局比赛之前彼此都不知道对方所出之牌，则六张牌都出完时乙得2分的概率为（ ） A ．16B ．23C ．12D ．13【答案】D 【分析】依题意列出所有的可能情况，根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意基本事件总数有3216⨯⨯=种； 分别有以下情况：A a ↔，bB ↔，C c ↔，此时乙得1分； A a ↔，b c ↔，C B ↔，此时乙得1分； A B ↔，b a ↔，C c ↔，此时乙得1分； A B ↔，b c ↔，C a ↔，此时乙得1分； A c ↔，b a ↔，C B ↔，此时乙得2分；A c ↔，bB ↔，C a ↔，此时乙得2分；故六张牌都出完时乙得2分的概率2163P == 故选：D5．在ABC 中，若138,7,cos 14a b C ===，则最大角的余弦是（ ） A ．15- B ．16-C ．17-D ．18-【答案】C 【分析】运用余弦定理求出c ，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为138,7,cos 14a b C ===，所以3c ===， 因为a b c >>，所以A B C >>，因此222499641cos 22737b c a A bc +-+-===-⨯⨯，故选：C6．一个正方体的展开图如图所示，A B C D 、、、为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）A ．//AB CD B ．AB 与CD 相交C ．AB CD ⊥ D ．AB 与CD 异面【答案】D【分析】将展开图还原为正方体，然后判断,AB CD 的关系即可 【详解】解：还原的正方体如图所示， 显然AB 与CD 异面，连接,CE DE ，则AB ∵DE ，则EDC ∠为异面直线所成的角，因为CDE △是等边三角形，所以60EDC ∠=︒，所以AB 与CD 不垂直， 故选：D7．已如平面向量a 、b 、c ，满足33a =，2b =，2c =，2b c ⋅=，则()()()()222a b a c a b a c ⎡⎤-⋅---⋅-⎣⎦的最大值为（ ）A ．B ．192C ．48D ．【答案】B 【分析】作OA a =，OB b =，OC c =，取BC 的中点D ，连接OD ，分析出BOC 为等边三角形，可求得OD ，计算得出()()()()()22222ABC a b a c a b a c S ⎡⎤-⋅---⋅-=⎣⎦△，利用圆的几何性质求出ABC 面积的最大值，即可得出结果. 【详解】如下图所示，作OA a =，OB b =，OC c =，取BC 的中点D ，连接OD ， 以点O 为圆心，|a⃗|为半径作圆O ，1cos cos ,2b c BOC b c b c⋅∠=<>==⋅，0BOC π≤∠≤，3π∴∠=BOC ， 所以，BOC 为等边三角形，D 为BC 的中点，OD BC ，所以，BOC 的底边BC 上的高为2sin3OD π==，a ⃗−b⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OA OC a c CA --==， 所以，()()cos a b a c BA CA AB AC AB AC BAC -⋅-=⋅=⋅=⋅∠，所以，()()()()()222222cos a b a c a b a c AB AC AB AC BAC ⎡⎤-⋅---⋅-=⋅-⋅∠⎣⎦()()22sin 2ABC AB AC BACS =⋅∠=△，由圆的几何性质可知，当A 、O 、D 三点共线且O 为线段AD 上的点时，ABC 的面积取得最大值，此时，ABC 的底边BC 上的高h 取最大值，即max 43h AO OD =+=，则()max 122ABC S =⨯⨯=△因此，()()()()222a b a c a b a c ⎡⎤-⋅---⋅-⎣⎦的最大值为(24192⨯=.故选：B. 【点睛】结论点睛：已知圆心C 到直线l 的距离为d ，且圆C 的半径为r ，则圆C 上一点到直线l 距离的最大值为d r +.8．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D 【答案】A 【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠ C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 【答案】AC 【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确； 对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误； 故选：AC 【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．10．已知向量()()1,0,cos ,sin ,,22a b ππθθθ⎡⎤==∈-⎢⎥⎣⎦，则a b +的值可以是（ ）A B C ．2·D ．【答案】ABC 【分析】由题意，向量()()1,0,cos ,sin a b θθ==，求得22cos a b +=+结合余弦函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，向量()()1,0,cos ,sin a b θθ==， 可得1,1,cos a b a b θ==⋅=，又由22222cos a b a b a b +=++⋅=+因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则cos [0,1]θ∈2]， 即[2,2]a b +∈，结合选项，可得ABC 适合. 故选：ABC.11．已知正三棱锥P ABC-的底面边长为1，点P 到底面ABC，则（ ） A．该三棱锥的内切球半径为6B．该三棱锥外接球半径为12C D 【答案】ABD 【分析】设PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.【详解】如图，PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，21ABC S ==△1133P ABC ABC V SPM -=⋅==△C 错D 正确； 113DM ==，6PD ==CM=． 12PBC S BC PD =⨯⨯△112=⨯=所以331242PBC ABC S S S =+=⨯+=△△， 设内切球半径为r ，则13P ABC Sr V -=，3r ==A 正确；易知外接球球心在高PM 上，球心为O ，设外接球半径为R ，则)2223R R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得R =，B 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查空间几何体的内切球，外接球问题，三棱锥的体积求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题内切球的半径的求解利用等体积法求解，即：13V S r =⋅表面积（其中r 为内切球半径）.12．下列说法正确的是（ ）A ．若非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形 B ．已知,,,OA a OB b OC c OD d ====，且四边形ABCD 为平行四边形，则0a b cd +--=C ．已知正三角形ABC 的边长为圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA PB ⋅的最大值为1D ．已知向量()()()2,0,2,2,2cos OB OC CA αα===，则OA 与OB 夹角的范围是5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A ；利用向量的加法运算可判断B ；利用向量的加、减运算可判断C ；由题意可得点A 在以()2,2为圆心，2为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.【详解】A ，因为非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠的平分线与BC 垂直， ABC 为等腰三角形，又12AB AC ABAC⋅=，所以3BAC π∠=， 所以ABC 为等边三角形，故A 正确； B ，a b c d OA OB OC OD +--=+--,CA DB CD DA DA AB =+=+++，在平行四边形ABCD 中，有AB DC =， 所以原式20DA =≠，故B 错误； C ，设正三角形ABC 内切圆半径r ， 由面积相等可得112332323sin 223r π⨯⨯=⨯， 解得1r =，令AB 的中点为D ，从而3DA DC == 则2PA PB PD +=，2PA PB BA DA -==, 两式平方作差可得22444PA PB PD DA ⋅=-,即23PA PB PD ⋅=-，若要使PA PB ⋅最大，只需2PD 最大由于D 为AB 的中点，也为圆O 与AB 的切点，所以PD 的最大值为22r =， 所以23431PA PB PD ⋅=-≤-=，故C 正确； D ，设(),OA x y =，())222,2CA OA OC x y αα=-=--=，所以22x α-=，22y α-=，所以()()22222x y -+-=，即A 在以()2,2为半径的圆上， 如图：1sin 2COA ∠==，所以6COA π∠=，当OA 与圆在下方相切时，OA 与OB 夹角最小，此时为4612πππ-=，当OA 与圆在上方相切时，OA 与OB 夹角最大，此时为54612πππ+=，所以OA 与OB 夹角的范围是5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知向量(1,2),(2,3)a b ==-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =________． 【答案】77(,)93-- 【分析】设(,)c x y =，表示出相关向量的坐标，然后利用向量的平行与垂直的坐标公式代入计算.【详解】设(,)c x y =，则()1,2c a x y +=++，()3,1+=-a b ，因为()//c a b +，()c a b ⊥+，所以()()3122030x y x y ⎧-+-+=⎨-=⎩，得77,93x y =-=-，所以77(,)93c =--. 故答案为：77(,)93--14．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为________．【答案】0.55 【分析】用1减去销量为[)30,50的概率，求得日销售量不低于50件的概率. 【详解】用频率估计概率知日销售量不低于50件的概率为1－（0.015＋0.03）×10＝0.55. 故答案为：0.55 【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算事件概率，属于基础题.15．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.【答案】【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解． 【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 122OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=13(sin )60)2θθθ=-=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为： 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C 平面角的大小为60︒时，k 的值为_____.【分析】 设二面角PAB C 平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为||QH ，点Q 到定直线AB 的距离为d ，则||sin QH d θ=.再由点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ，可得||||QH PQ k =，故sin PQ d kθ=，根据抛物线的定义sin k θ=，由给定的二面角的大小可求k 值. 【详解】 如图，设二面角P AB C 平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为||QH ，点Q 到定直线AB 得距离为d ，则|in |s d QH θ=，即||sin QH d θ=. ∵点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ，∵||||QH k PQ =，则||||QH PQ k =，所以sin PQ d kθ=. ∵动点Q 的轨迹是抛物线，故sin k θ=.因为60θ=︒，故k =.【点睛】本题考查空间中动点的轨迹以及二面角的应用，前者需利用平面解析几何中圆锥曲线的定义来求动点满足的几何性质，本题属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17．已知向量(3,2)a =，(2,1)b =-． （1）若k +a b 与ka b +平行，求k 的值； （2）若a b λ-与a b λ+垂直，求λ的值．【答案】（1）1k =±（2）1λ=-±【分析】（1）根据向量平行的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量垂直的坐标表示计算可得结果. 【详解】（1）因为向量(3,2)a =，(2,1)b =-，所以(32,2)a kb k k +=+-，(32,21)ka b k k +=+-，因为k +a b 与ka b +平行，所以(32)(21)(2)(32)0k k k k +---+=，即21k =， 所以1k =±.（2）因为向量(3,2)a =，(2,1)b =-，所以a b λ-(32,21)λλ=-+，a b λ+(32,2)λλ=+-，因为a b λ-与a b λ+垂直，所以(32,21)λλ-+(32,2)λλ⋅+-0=，所以(32)(32)(21)(2)0λλλλ-+++-=，解得1λ=-±18．若复数1z 满足()()1211z i i i -++=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z 是实数．（1）求1z 的模长； （2）求2z ．【答案】（1）（2）222z i =+. 【分析】（1）利用复数的四则运算直接化简已知等式可求得1z ，由模长运算可求得结果； （2）设22z a i =+，由12z z 为实数可知12z z 的虚部为零，构造方程求得a ，进而得到2z . 【详解】 （1）()()1211z i i i -++=-，1122221iz i i i i i-∴=+-=-+-=-+，1z ∴==（2）设22z a i =+，则()()()()122222442z z i a i a a i =-+=++-，12z z 为实数，420a ∴-=，解得：2a =，222z i ∴=+.19．如图，圆锥的底面直径和高均是4，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.（1）求该圆锥的表面积； （2）求剩余几何体的体积.【答案】（1）4π+（；（2）103π. 【分析】（1）先求母线长，再求侧面积和底面积. （2）用锥体体积减去柱体体积. 【详解】（1）因为圆锥的底面直径和高均是4，所以半径为2，母线l ==所以圆锥的表面积为2222(4S r r l πππππ=⋅+⋅⋅=⨯+⨯⨯=+.（2）由题意知，因为O '为PO 的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积， 所以22110241233V πππ=⋅⨯⨯-⨯⨯=. 20．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率.【答案】（1）0.42；（2）0.46. 【分析】（1）由相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解；（2）由互斥事件概率的加法公式及相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解. 【详解】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB ，事件A ，B 相互独立， 由题意可知()()0.7,0.6P A P B ==，所以()()()0.70.60.42P AB P A P B =⋅=⨯=；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为AB +AB ，且AB ,AB 互斥 所以()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+()()10.70.60.710.60.46=-⨯+⨯-=.21．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠=，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，(m 为长度单位).陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M ，N 分别落在PA ，PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点P 到点R 的距离；（2）为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值.【答案】（1；（2）PM = 【分析】（1）连接ST ，PR ，在RST 中，利用余弦定理求出ST ，可求出cos STR ∠，可得出sin PTS ∠的值，在PST 中，利用正弦定理求出SP 的值，进而利用勾股定理可求得PR ；（2）利用三角形的面积公式可得出234PM PN PM PN ⋅=+，利用基本不等式可求得PM PN ⋅的最小值，进而可求得PMN 面积的最小值及其对应的PM 的值.【详解】解：（1）连接ST 、PR ，在RST 中，60SRT ∠=，由余弦定理可得：22246246cos6028ST =+-⨯⨯⨯=，ST ∴=在RST 中，由余弦定理可得，222cos 2ST RT SR STR ST RT +-∠==⋅.在PST 中，sin cos PTS STR ∠=∠=，由正弦定理可得：sin sin120SP ST PTS =∠，解得：sin sin120ST PTS SP ∠==.在直角SPR △中，2222211243PR RS SP =+=+=⎝⎭，3PR ∴=；（2）13sin1202PMN S PM PN PM PN =⋅⋅=⋅△， 11462322PMN PRM PRN S S S PM PN PM PN =+=⨯+⨯=+△△△.23PN PM PN ⋅=+≥.128PM PN ∴⋅≥，当且仅当23128PM PNPM PN =⎧⎨⋅=⎩时，即当PM =因此，4PMN S PM PN =⋅≥△ 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 22．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅰ）设AA 1= AC=CB=2，C 一A 1DE 的体积.【答案】（∵）见解析（∵）111132C A DE V -=⨯=【详解】试题分析：（∵）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∵BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∵平面A1CD．（∵）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD∵平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D∵DE．进而求得S∵A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为13•S∵A1DE•CD，运算求得结果试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1∵DF．3分因为DF∵平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，4分所以BC1∵平面A1CD．5分（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1∵CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD∵AB．又AA1∩AB=A，于是CD∵平面ABB1A1．8分由AA1=AC=CB=2，得∵ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE∵A1D 10分所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1．12分考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。

河南省南阳市第二实验高级中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知在数列{a n}中，a1＝2，a2＝5，且，则＝()A．13 B. 15 C．17 D．19参考答案：D2. 如下图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. B. C. D.参考答案：A3. 函数的图象的一条对称轴方程是（）A. B.C.D.参考答案：C4. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A． B．C． D．且参考答案：B5. 将两个数a=2, b= -6交换，使a= -6, b=2，下列语句正确的是( )参考答案：B略6. 函数则的值为（）A．B．C．D．18参考答案：C7. 若函数为定义域上的单调函数，且存在区间(其中)，使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数。

若函数是上的正函数，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C略8. 已知=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），?=，且x∈[﹣，]，则sin2x的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积和两角和的正弦公式求出sin（2x+）=，根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），=，∴sin（x+）?cos（x﹣）+sin（x﹣）?cos（x+）=sin（2x+）=，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴cos（2x+）=，∴sin2x=sin（2x+﹣）=sin（2x+）cos﹣cos（2x+）sin=×﹣×=，故选：B 9. 已知集合，，且，，则下列判断不正确的是A． B． C． D．参考答案：D10. 下列函数中既是偶函数又是（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．y=B．C．y=x﹣2 D．参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题．【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】解：函数y=，既是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，故A不正确；函数，是非奇非偶函数，故B不正确；函数y=x﹣2，是偶函数，但在区间（﹣∞，0）上单调递增，故C正确；函数，是非奇非偶函数，故D不正确；故选C．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数单调性的判定和幂函数的性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则参考答案：12. 已知正四棱锥的底面边长为4cm ，侧面积为24cm 2，则该四棱锥的体积是________ cm 3.参考答案：【分析】先算侧面三角形的高，再算正四棱锥的高，最后算四棱锥的体积. 【详解】如图：由已知得，,所以；所以四棱锥的高；因此四棱锥的体积.【点睛】本题考查了锥体体积的计算，几何体体积问题要结合图形.13. 已知函数f （x ）=m （x ﹣2m ）（x+m+3），g(x)=，若对任意的x ∈R ，都有f （x ）＜0或g（x ）＜0，则实数m的取值范围是 ．参考答案：（﹣2，﹣）【考点】函数恒成立问题．【分析】先对g （x ）＜0，可得x ＜﹣1，讨论f （x ）＜0在[﹣1，+∞）上恒成立．注意对m 的讨论，可分m=0，m ＜0，m ＞0，结合二次函数的图象和性质，以及二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：∵当x ＜﹣1时，g （x ）=2x ﹣＜0，若使对任意实数x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0，则在[﹣1，+∞）上，f （x ）=m （x ﹣2m ）（x+m+3）＜0恒成立． ∴①当m=0时，f （x ）=0，不成立；②当m ＜0时，f （x ）＜0即为（x ﹣2m ）（x+m+3）＞0在[﹣1，+∞）上恒成立， 则2m ＜﹣1，﹣m ﹣3＜﹣1，且（﹣1﹣2m ）（﹣1+m+3）＞0，解得﹣2＜m ＜﹣；③当m ＞0时，f （x ）＜0即为（x ﹣2m ）（x+m+3）＜0在[﹣1，+∞）上恒成立，由于2m ＞0，﹣m ﹣3＜0，可得﹣m ﹣3＜x ＜2m ，f （x ）＜0，则f （x ）＜0在[﹣1，+∞）上不恒成立．综上可得m 的范围是（﹣2，﹣）． 故答案为：（﹣2，﹣）．14. 若实数x ，y 满足，则的最大值为 。