三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第六章 数列3 文

第六章 数列第一节 等差数列与等比数列题型67 等差（等比）数列的公差（公比）1.(2017北京理10)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =_______. 解析 由11a =-，48a =，则21132a a d =+=-+=，由11b =-，48b =，则2q =-，则212b b q ==.故22212a b ==. 2.（2017全国1理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）. A ．1B ．2C ．4D ．8解析 45113424a a a d a d +=+++=，61656482S a d ⨯=+=，联立112724 61548 a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②，得()211524-=d ，即624d =，所以4d =.故选C.3.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析 设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．故选B.4.（2017全国3理14）设等比数列{}n a 满足12–1a a +=， 13––3a a =，则4a = ___________．解析 因为{}n a 为等比数列，设公比为q ．由题意得121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即112111 3 a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①② 显然1q ≠，10a ≠，式式②①，得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， 所以()3341128a a q ==⨯-=-．题型68 等差、等比数列求和问题的拓展1.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >：且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）. A.440B.330C.220D.110解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题意得，100N >，令()11002n n +>，得14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn -=--，n 组总共的和为()12122212n n n n +--=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，得n 的最小值为295n k ==，，则()2912954402N ⨯+=+=.故选A.2.2017山东理19）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=， （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，依次联结点()111P x ，，()222P x ，，…，()11,1n n P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T.解析 （1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -= （2）过1231,,,,n P P P P +向x 轴作垂线，垂足分别为1231,,,,n Q Q Q Q +，由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯，所以1n n T b b b b =++++=13n n n n ---⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯① 又012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯②-①②，得132(n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(221n n n---+--所以(21)21.2n n n T -⨯+=题型69 等差、等比数列的性质及其应用1.（2017江苏09）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ． 解析 解法一：由题意等比数列公比不为1，由()()313616171416314a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，因此36319S q S =+=，得2q =． 又3123S a a a =++()2117174a q q a =++==，得114a =，所以78132a a q ==．故填32．解法二（由分段和关系）：由题意3363374634S S S q S ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，所以38q =，即2q =．下同解法一．2.（2017全国2理15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 解析 设{}n a 首项为1a ，公差为d ．由3123a a d =+=，414610S a d =+=，得11a =，1d =，所以n a n=，()12n n n S +=，()()112222122311nk k Sn n n n ==++++=⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.题型70 判断或证明数列是等差、等比数列1.（2017江苏19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足1111+n k n k n nn k a a a a a --+-++-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2n k na k a +=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“()3P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．解析 （1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则()11n a a n d =+-， 从而当4n …时，()()1111=n k n k a a a n k d a n k d -++=+--+++-()12212n a n d a +-=，1,2,3k =，所以321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”． （2）由数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n …时，21124n n n n n a a a a a --+++++= ① 当4n …时，3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++= ② 由①知，()()321144n n n n n a a a a a n ---++=-+≥ ③()()231142n n n n n a a a a a n +++-+=-+≥ ④将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n …， 所以345,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d '．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d '=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以312a a d '=-， 从而数列{}n a 是等差数列．评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．（2015南通基地密卷7第20题）设数列{}n a 的各项均为正数，若对任意的*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得22n k n n k a a a ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列．（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明数列{}n a 是等比数列．解析 （1）由题意得，2468,,,,a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，且公比138212a q a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以412212n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）由{}n a 是“4J 型”数列得159131721,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为t ，由{}n a 是“3J 型”数列得1471013,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为1α；2581114,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为2α； 3691215,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139a t a α==， 所以123ααα==，不妨令123αααα===，则43t α=． 所以()3211311k k k a aα----==，()2311223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，所以131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====，综上11n n a a -=，从而{}n a 是等比数列．2.(2017北京理20)设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 解析（1）111110c b a =-=-=，{}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n …时，()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k kb na -关于*k ∈N 单调递减.从而{}112211ma x ,,,1n n n c b a n b a n b a n b a n=---=-=-，将1,2,3n =代入，满足此式，所以对任意1n …，1n c n =-，于是11n n c c +-=-，得{}n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则()[]()()121111211(1)1k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--. 所以()()11212111211,,n b a n n d nd d nd c b a n d nd ⎧-+-->⎪=⎨-⎪⎩当时当时….①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m …时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n …， (){}(){}()11211211max ,01max ,0n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--. 此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <，所以()()()11211211121n b a n n d nd c b d nd d a d n nn-+---==-+-++… ()111212||n d d a d b d -+-+--.对任意正数M ，取正整数12112211||max ,M b d a d d d m d d ⎧⎫+-+-->⎨⎬-⎩⎭，故当n m …时，nc M n>. 题型71 等差数列与等比数列的交汇问题——暂无第二节 数列的通项公式与求和题型72 数列通项公式的求解 题型73 数列的求和1.（2017天津理18）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N .解析 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以2n n b =.由3412b a a =-，可得138d a -= ① 由114=11S b ，可得1516a d += ② 联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =. (2)设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=1112(14)4(31)4=(32)4814n n n n n ++⨯----⨯--⨯--，得1328433n n n T +-=⨯+.所以数列{}221n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 2.（2017全国3理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 前6项的和为（ ）. A ．24-B ．3-C ．3D ．8解析 因为{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d ，则2326a a a =，即()()()211125a d a d a d +=++.因为11a =，代入上式可得220d d +=，又0d ≠，则2d =-，所以()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-.故选A. 第三节 数列的综合题型74 数列与不等式的综合1.(2017浙江理22)已知数列{}n x 满足：11x =，()()*11ln 1n n n x x x n ++=++∈N .证明：当*n ∈N 时. （1）10n n x x +<<； （2）1122n n n n x x x x ++-…； （3）1-21122n n n x -剟. 解析 （1）用数学归纳法证明：0n x >. 当1n =时，110x =>，假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +…，则()110ln 10k k k x x x ++<=++…，矛盾，故10k x +>. 因此()*0n x n >∈N ，所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>. 因此()*10n n x x n +<<∈N . （2）由()111l n 1n n n nx x x x +++=++>，得()()21111114222l n1nnnnn n n nx x x x x x x x ++++++-+=-+++.11 记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++….()()()()()222122222ln 1ln 1ln 10111x x x x x f x x x x x x x x -++++'=-+++=++=+++++…，知函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f =…，因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=…，即()*1122n n n n x x x x n ++-∈N …. （3）因为()()*11111ln 12n n n n n n x x x x x x n +++++=+++=∈N …，得112n n x x +…，以此类推，21111,,22n n x x x x -厖，所以112112112n n n n n n x x x x x x x x ----⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=x ?，故112n n x -…. 由（2）知，()*1122n n n n x x x x n ++-∈N …，即111112022n n x x +⎛⎫--> ⎪⎝⎭…， 所以1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭厖?，故212n n x -…. 综上，()*121122n n n x n --∈N 剟.。

§6.3简单的线性规划Ａ组基础题组1.(2015北京,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为( )A.0B.1C.D.22.(2015山东,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=( )A.3B.2C.-2D.-33.(2015浙江名校(诸暨中学)交流卷四,4)变量x,y满足约束条件则函数z=3|x|+|y-3|的取值范围是( )A. B.[-2,3]C.[1,6]D.4.(2016超级中学原创预测卷十,7,5分)已知x,y满足约束条件若直线y+1=k将不等式组表示的平面区域分成的两部分中有一个三角形,则实数k的取值范围是( )A.B.∪[4,+∞)C.(-∞,-1)∪D.(-∞,-2)∪∪[4,+∞)6.(2015浙江冲刺卷一,7)已知实数x,y满足则z=2|x|+y的取值范围是( )A.[2,6]B.[-2,6]C.[-2,2]D.[-2,4]7.(2015浙江五校一联,9,5分)定义max{a,b}=设实数x,y满足约束条件则z=max{4x+y,3x-y}的取值范围是( )A.[-8,10]B.[-7,10]C.[-6,8]D.[-7,8]8.(2015浙江温州十校联考,8)已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A. B.2或C.2或1D.2或-19.(2015陕西,10,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元10.(2016超级中学原创预测卷七,12,4分)已知变量x,y满足约束条件若z=,则z的最大值与最小值之和为.11.(2014浙江,12,4分)若实数x,y满足则x+y的取值范围是.12.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.13.(2015衢州一模,14)已知非负实数x,y,z满足x+y+z-=0,则x+y+1的最大值为.B组提升题组1.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,3)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=|x-2y|的最大值为( )A.0B.1C.-1D.22.(2015浙江冲刺卷三,7,5分)设实数x,y满足不等式组若目标函数z=3x+y的最大值为5,则实数m=( )A.-B.0C.2D.-3.(2015台州一模,8,5分)已知点P(x,y)是平面区域内的动点,A(1,-1),O为坐标原点,设|-λ|(λ∈R)的最小值为M,若M≤恒成立,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.4.(2015浙江台州第一次调考)设实数x,y满足则的取值范围为( )A. B. C. D.5.(2015安徽安庆三模)若x,y满足约束条件则z=+y2的最大值为( )A.2B.3C.9D.86.(2016超级中学原创预测卷二,7,5分)设[x]表示不超过x的最大整数,若集合A={(x,y)|x2+y2≤1},集合B={(x,y)|[x]2+[y]2≤1},则集合A∩B所表示的平面区域的面积等于( )A.πB.C.D.7.(2016领航高考冲刺卷五文,13,4分)如果实数a,b满足则的最大值为.8.(2015安徽黄山第二次质检)已知变量x,y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为.9.(2015浙江镇海中学测试卷二,16)已知实数x,y满足则z=xy的取值范围是.10.(2015浙江冲刺卷四,12)设不等式组所确定的平面区域为Ω,则当m=10时,平面区域Ω的面积为;若实数x,y满足上述不等式组,且z=x-y的最小值为-3,则m= .11.(2015浙江模拟训练冲刺卷四,11)已知x,y∈R,且满足则由不等式组确定的可行域的面积为;z=x2+y2的最小值是.12.(2015浙江宁波十校联考,12)已知点A(3,),O为坐标原点,点P(x,y)满足则满足条件的点P所形成的平面区域的面积为,的最大值是.13.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?Ａ组基础题组1.D 由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.2.B 作出可行域如图.①当a<0时,显然z=ax+y的最大值不为4;②当a=0时,z=y在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;③当0<a<1时,z=ax+y在B(1,1)处取得最大值,z max=a+1=4,故a=3,舍去;④当a=1时,z=x+y的最大值为2,不符合题意;⑤当a>1时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,z max=2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.3.D 约束条件表示的可行域是以A(0,1),B,C(2,0)为顶点的三角形区域(含边界),则有0≤x≤2,0≤y≤3,所以目标函数即为z=3x-y+3.平移直线y=3x+3-z知,过点B时,z取最小值,过点C(2,0)时,z取最大值9,故选D.4.D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为直线y+1=k恒过点A且该直线将平面区域分成的两部分中有一个三角形,所以0<k≤k AB或k≥k AD或k<k AC,又因为k AB=,k AD=4,k AC=-2,所以实数k的取值范围是(-∞,-2)∪∪[4,+∞).故选D.5.D 由得代入不等式组得作出a,b满足的平面区域如图所示,由图易得阴影部分的面积S=×2×1=1,故选D.6.B z=2|x|+y=先求z=2x+y在且x≥0的条件下的取值范围,可行域是以A(0,2),B(0,-2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),平移直线l:y=-2x+z,可知直线l过点B时,z=2x+y取最小值-2,直线l 过点C时,z=2x+y取最大值6,故取值范围为[-2,6].再求z=-2x+y在且x<0的条件下的取值范围,可行域是以A(0,2),B(0,-2),D(-2,-2)为顶点的三角形区域(含边界,除去线段AB),平移直线l':y=2x+z,可知直线l'过点B时,z=-2x+y取最小值-2,直线l'过点A,D时,z=-2x+y取最大值2,故取值范围为(-2,2].∴z=2|x|+y的取值范围是[-2,6].7.B 作出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示.令4x+y≥3x-y,得x≥-2y,当x≥-2y时,z=4x+y;当x<-2y时,z=3x-y.在同一直角坐标系中作出直线x=-2y,如图粗实线部分所示.当(x,y)在平面区域CDEF内运动时(含边界区域),此时x≥-2y,故z=4x+y,可知目标函数z=4x+y在D(2,2)时取到最大值10,在F(-2,1)时取到最小值-7;当(x,y)在平面区域ABCF内运动时(含边界区域但不含线段CF),此时x<-2y,故z=3x-y,可知目标函数z=3x-y在B(2,-2)时取到最大值8,在F(-2,1)时z=3x-y=-7,所以在此区域内-7<z≤8.综上所述,z=max{4x+y,3x-y}∈[-7,10],故选B.8.D 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).由z=y-ax得y=ax+z,即直线在y轴上的截距最大时,z最大.若a=0,则y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足题意;若a>0,则目标直线y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,需直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行,此时a=2;若a<0,则目标直线y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,需直线y=ax+z与直线x+y-2=0平行,此时a=-1.综上,a=-1或a=2,故选D.9.D 设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得,x,y满足:不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.10.答案 1解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立得A(m,4-m),联立得B(m,2m-4),易知z=在点A处取得最大值,在点B处取得最小值,且z的最大值与最小值之和为+=1.11.答案[1,3]解析画出可行域如图,可行域为△ABC的内部及其边界.设x+y=t,则y=-x+t,t的几何意义为直线y=-x+t在y轴上的截距,当直线通过点A、B时,t取得最小值与最大值,可求得A、B两点的坐标分别为(1,0)和(2,1),所以1≤t≤3,即x+y的取值范围是[1,3].12.答案 3解析由约束条件画出可行域,如图.的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以的最大值即为直线OA的斜率,又由得点A的坐标为(1,3),则=k OA=3.13.答案+1解析由题意可得z=-x-y≥0,所以约束条件为对应的平面区域是以点(0,0),(1,0),(0,)为顶点的三角形,当m=x+y+1经过点(0,)时,目标函数取得最大值+1.B组提升题组1.D 不等式组表示的平面区域是以,(1,0),(2,2)为顶点的三角形区域(含边界),平移直线y=x-z知z=x-2y的取值范围为[-2,1],所以z=|x-2y|的最大值为2.2.A 当m≥0或≤-2时,其可行域是一个开放区域,此时目标函数z=3x+y没有最大值,当-1<<0时,不等式组表示的可行域为空集.故-2<≤-1,即-1≤m<-,此时可行域是以A(1,1),B,C为顶点的三角形区域(含边界),平移直线z=3x+y知,过点B时,目标函数z=3x+y取最大值,从而有=5,解得m=-.3.B |-λ|=|(x,y)-λ(1,-1)|=|(x-λ,y+λ)|=≥M,其几何意义是可行域内的任意一点与点B(λ,-λ)的距离不小于M.因为M≤恒成立,所以P(x,y)到直线y=-x上点B(λ,-λ)距离的最小值不大于.由于可行域的边界x=m(y-4)过定点(0,4)由得x=y=.当m<0时,如图1,由≤,解得-≤m≤,即-≤m<0;图1m=0时,如图2,显然符合题意;图2m>0时,如图3,显然符合题意.图3综上,m∈,故选B.4.C 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域.令=a,其中a>0,则y2=ax,a越大,抛物线的开口就越大;结合图形可知,当曲线y2=ax(x>0),即y=(x>0)与直线y=x+1相切时,相应的抛物线开口达到最小,设切点坐标是(x0,),于是有由此解得即切点坐标是(1,2),且注意到点(1,2)是该平面区域内的点,此时=a取得最小值,最小值是=a==4;当抛物线经过该平面区域内的点时,相应的抛物线开口达到最大,此时=a取得最大值,最大值是.因此,的取值范围是,故选C.5.C 显然z的算术平方根为椭圆+=1的短半轴长,故≤3,0<z≤9,故选C.6.D 由于[x],[y]的值为整数,结合集合B中不等式可知或可得或结合图形可得所求面积为.7.答案解析画出可行域如图所示.易知A(1,1),B(1,2),C.设=z,则a+2b=2za+zb,即(1-2z)a=(z-2)b,当z≠2时,有=.∵表示可行域内的点(a,b)与原点连线的斜率,∴1≤≤3.∴1≤≤3,解得1≤z≤.当z=2时,=2,即a+2b=4a+2b,即a=0,不合题意,∴的最大值为.8.答案8解析作出约束条件对应的可行域是一个三角形区域(含边界),当z'=2x+y经过点(1,1)时取得最大值3,所以z=4x·2y=22x+y的最大值是8.9.答案[2,8]解析不等式组构成的可行域是以A(1,3),B(2,1),C(4,2)为顶点的三角形区域(含边界),显然x≠0,由z=xy,得y=,其图象为曲线.曲线y=过点B(2,1)时,z=xy取到最小值2,曲线y=过点C(4,2)时,z=xy取到最大值8,∴z=xy的取值范围为[2,8].10.答案;6解析当m=10时,平面区域Ω是以A(-4,7),B(1,2),C(2,4)为顶点的三角形区域(含边界),则BC=,点A(-4,7)到直线2x-y=0的距离为d=,则平面区域Ω的面积为S=××=.∵m>5,∴平面区域Ω是以A(6-m,m-3),B(1,2),C为顶点的三角形区域(含边界),平移直线y=x-z,知在点A(6-m,m-3)处z取得最小值,依题意有9-2m=-3,∴m=6.11.答案3;解析可行域是以A(0,1),B(1,0),C(4,3)为顶点的三角形区域(含边界),且∠ABC=90°,则可行域的面积为S=×|AB|×|BC|=3.而z=x2+y2表示原点O与可行域内的点的距离的平方.可知原点O到直线x+y-1=0的距离的平方最小,且点O到直线x+y-1=0的距离为,则z=x2+y2的最小值是.12.答案;解析不等式组表示的可行域是以B(-2,0),O(0,0),C(1,)为顶点的三角形区域(含边界),其面积为×2×=.设向量与的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°.又=||cosθ,要使取到最大值,则30°≤θ≤90°,此时0≤cosθ≤,1≤||≤2,且cosθ取到最大值时,||也取到最大值2,故的最大值为×2=.13.解析设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯,获得利润总额为z元.由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满足可行解为图中阴影部分中的整点.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组得A点坐标为(200,240).答:应每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯方可获利最大.。

等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的定义及通项公式①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式.③了解等比数列与指数函数的关系2018课标全国Ⅰ,17,12分等比数列判定及通项公式递推公式★★★2017课标全国Ⅱ,17,12分等比数列基本量计算等差数列基本量计算等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2015课标Ⅱ,9,5分等比数列下标和定理等比数列通项公式★★☆等比数列的前n项和掌握等比数列的前n项和公式2016课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和等差数列基本量计算★★★2018课标全国Ⅲ,17,12分等比数列前n项和公式等比数列通项公式2017课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和计算等差数列的判定2015课标Ⅰ,13,5分等比数列前n项和计算等比数列定义分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.破考点【考点集训】考点一等比数列的定义及通项公式1.(2019届某某某某模拟,6)已知等比数列{a n}各项均为正数,满足a1+a3=3,a3+a5=6,则a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7=( )A.62B.62√2C.61D.61√2答案 A2.(2018某某八校第一次联考,17)已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n.(1)求证:{a n+1-2a n}是等比数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=4a n+1-4a n得a n+2-2a n+1=2a n+1-4a n=2(a n+1-2a n)=22(a n-2a n-1)=…=2n(a2-2a1)≠0,∴a a+2-2a a+1a a+1-2a a=2,∴{a n+1-2a n}是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2a n=2n-1(a2-2a1)=2n,∴a a+12a+1-a a2a=12,∴{a a2a}是首项为12,公差为12的等差数列,∴a a2a=a2,则a n=n·2n-1.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某马某某第二次教学质量监测,5)已知等比数列{a n}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为( )A.2B.4C.92D.6答案 B2.(2019届某某某某新华区模拟,9)已知正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81,那么a1+a8的最小值是( )A.2√3B.2√2C.8D.6答案 A考点三等比数列的前n项和1.(2018某某某某教学质量检测(二),16)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=3-2a+32a,n∈N*,则a1+a2+…+a n=.答案1-12a2.(2019届某某某某模拟,15)设等比数列{a n}的前n项和为S n,8a2-a5=0,则公比q的值为,若-a a2a有最大值-2,则a1的值为.答案2;43.(2018某某(长郡中学、某某八中)、某某(某某二中)等十四校第二次联考,17)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=2a3+2.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)若{a aa a}的前n 项和为S n ,求证:S n <2.解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{2a =2(1+a ),2a 2=2(1+2d)+2,解得{a =1,a =2或{a =-1,a =0(舍), ∴a n =n,b n =2n. (2)证明:由(1)知a a a a =a2a, ∴S n =12+222+323+…+a -12a -1+a2a, 则12S n =122+223+324+…+a -22a -1+a -12a+a 2a +1,两式相减得12S n =12+122+123+…+12a -a2a +1=12[1-(12)a ]1-12-a2a +1,∴S n =2-(12)a -1-a2a ,∴S n <2.炼技法 【方法集训】方法 等比数列的判定方法1.(2019届某某某某模拟,15)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形两直角边上再连接正方形,……,如此继续下去,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为√2,则最小正方形的边长为.答案 1162.(2017某某仿真模拟,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 1=1,a 2=2,S n +1=a n+2-a n+1(n∈N *),若不等式λS n >a n 恒成立,则实数λ的取值X 围是. 答案 (1,+∞)过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =a aa. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解析 (1)由条件可得a n+1=2(a +1)aa n .将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a a +1a +1=2a aa,即b n+1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a a a=2n-1,所以a n =n·2n-1.2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=21,求S 3.解析 设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则a n =-1+(n-1)d,b n =q n-1. 由a 2+b 2=2得d+q=3①. (1)由a 3+b 3=5得2d+q 2=6②. 联立①和②解得{a =3,a =0(舍去),或{a =1,a =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n-1. (2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q-20=0. 解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S 3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S 3=-6.考点二 等比数列的性质及其应用(2015课标Ⅱ,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2B.1C.12D.18答案 C考点三 等比数列的前n 项和1.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n=. 答案 62.(2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.3.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +a 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n. (2)由(1)可得S n =a 1(1-a a )1-a =-23+(-1)n·2a +13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2a +3-2a +23=2[-23+(-1)a·2a +13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23fB.√223f C.√2512fD.√2712f答案 D2.(2014某某,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,……,A 5A 6=a 7,则a 7=.答案 14考点二 等比数列的性质及其应用(2015某某,13,5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b=. 答案 1考点三 等比数列的前n 项和1.(2017某某,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 答案 32解析 设等比数列{a n }的公比为q. 当q=1时,S 3=3a 1,S 6=6a 1=2S 3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得{a 1(1-a 3)1-a =74,a 1(1-a 6)1-a=634,解得{a 1=14,a =2,∴a 8=a 1q 7=14×27=32.2.(2018某某,18,13分)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.解析 (1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n =2n-1.所以,T n =1-2a1-2=2n-1.设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4. 由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n, 所以,S n =a (a +1)2.(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+ (2))-n=2×(1-2a )1-2-n=2n+1-n-2.由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得a (a +1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n 的值为4.3.(2016,15,13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设=a n +b n ,求数列{}的前n 项和. 解析 (1)等比数列{b n }的公比q=a 3a 2=93=3,(1分)所以b 1=a 2a=1,b 4=b 3q=27.(3分)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2.(5分) 所以a n =2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (2)由(1)知,a n =2n-1,b n =3n-1. 因此=a n +b n =2n-1+3n-1.(8分)从而数列{}的前n 项和S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n-1=a (1+2a -1)2+1-3a1-3=n 2+3a -12.(13分)C 组 教师专用题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2014某某,17,12分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,依题意得{a 1q =3,a 1a 4=81,解得{a 1=1,a =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =a (a 1+a a )2=a 2-n2.2.(2014,15,13分)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,由题意得 d=a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n -a n }的公比为q,由题意得 q 3=a 4-a 4a 1-a 1=20-124-3=8,解得q=2.所以b n -a n =(b 1-a 1)q n-1=2n-1. 从而b n =3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知b n =3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n 项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n 项和为1×1-2a1-2=2n-1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n(n+1)+2n-1.3.(2013某某,16,12分)在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及前n项和.解析设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列的前n项和S n=3a-12.4.(2013某某,19,14分)已知首项为32的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明S n+1a a ≤136(n∈N*).解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=32×(-12)a-1=(-1)n-1·32a.(2)证明:S n=1-(-12)a,S n+1a a=1-(-12)a+11-(-12)a={2+12a(2a+1),n为奇数,2+12a(2a-1),n为偶数.当n为奇数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S1+1a1=136.当n为偶数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S2+1a2=2512.故对于n∈N*,有S n+1a a ≤136.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案 B2.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64答案 C3.(2013某某,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63考点三等比数列的前n项和1.(2013课标Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )3A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n答案 D2.(2013某某,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案 63.(2013,11,5分)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案2;2n+1-24.(2015某某,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和为T n,求T n.(2)设数列{1a a解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1a a=12a .所以T n =12+122+…+12a =12[1-(12)a ]1-12=1-12a .5.(2015某某,16,13分)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公差为d,则由已知条件得 a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92,化简得a 1+2d=2,a 1+d=32, 解得a 1=1,d=12, 故通项公式a n =1+a -12,即a n =a +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q,则q 3=a 4a 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =a 1(1-a a )1-a =1×(1-2a )1-2=2n-1.6.(2014某某,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,点(a n ,b n )在函数f(x)=2x的图象上(n∈N *). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n a a 2}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可知,b n =2a a >0, 当n≥1时,a a +1a a=2a a +1-a a =2d, 所以数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x的图象在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(x-a 2)2a 2ln 2,该切线在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意知,a 2-1ln2=2-1ln2,解得a 2=2. 所以d=a 2-a 1=1,a n =n,b n =2n,a n a a 2=n·4n.于是,S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n-1+n×4n,4S n =1×42+2×43+…+(n -1)×4n +n×4n+1, 因此S n -4S n =4+42+ (4)-n×4n+1=4a +1-43-n×4n+1=(1-3a )4a +1-43.所以S n =(3a -1)4a +1+49.7.(2013某某,19,13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,则a 1≠0,q≠0.由题意得{a 2-a 4=a 3-a 2,a 2+a 3+a 4=-18,即{-a 1a 2-a 1a 3=a 1a 2,a 1q(1+q +a 2)=-18, 解得{a 1=3,a =-2.故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n-1. (2)由(1)有S n =3·[1-(-2)a]1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得S n ≥2 013,则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.当n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N ,k≥5}.【三年模拟】 时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018某某某某一模,3)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=3,S 6=63,则S 5=( ) A.-33 B.15 C.31 D.-33或31 答案 D2.(2018某某某某调研,4)已知等比数列{a n }的公比为正数,前n 项和为S n ,a 1+a 2=2,a 3+a 4=6,则S 8等于( ) A.81-27√3 B.54C.38-1D.80 答案 D3.(2019届某某模拟,6)设数列{(n 2+n)a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3na n }的前15项和为( )A.1415B.1516C.1617D.1718答案 B4.(2019届某某渝中区模拟,7)已知各项均为正的等比数列{a n }中,a 2与a 8的等比中项为√2,则a 42+a 62的最小值是( ) A.1B.2C.4D.8答案 C5.(2019届某某双台子区模拟,5)已知等比数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且满足:a 1+3a 3=72,S 3=73,则a 4=( ) A.14B.18C.4D.8答案 A6.(2019届某某杨浦区模拟,11)在数列{a n }中,a 1=1,a 2=64,且数列{a a +1a a}是等比数列,其公比q=-12,则数列{a n }的最大项等于( ) A.a 7B.a 8C.a 6或a 9D.a 10答案 C二、填空题(共5分)7.(2019届某某某某模拟,15)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n+r,则a 3-r=,若数列{a (a +4)(23)a}的最大项是第k 项,则k=. 答案 19;4三、解答题(共20分)8.(2018某某福安一中考试,17)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2=4,a 3+a 4=24. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的前n 项和S n =n 2+n+2n+1-2(n∈N *),求证:数列{a n -b n }是等差数列. 解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0. 因为{a 2=4,a 3+a 4=24,所以{a 1q =4,a 1a 2+a 1a 3=24,两式相除得q 2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以a 1=a2a =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n.(2)证明:当n=1时,b1=4;当n≥2时,b n=S n-S n-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b1=4符合此式,∴b n=2n+2n(n∈N*).设=a n-b n,则=-2n,当n≥2时,--1=-2,∴{}即{a n-b n}是等差数列.9.(2019届某某模拟,18)已知等比数列{a n}的公比q>1,且满足:a2+a3+a4=28,a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n lo g12a n,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.解析(1)由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2).因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以{a1q+a1a3=20,a1a2=8,解得{a1=2,a=2,或{a1=32,a=12.又q>1,所以{a n}为递增数列. 所以a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)b n=a n lo g12a n=2n·log122n=-n·2n.S n=b1+b2+…+b n=-(1×2+2×22+…+n×2n)①,则2S n=-(1×22+2×23+…+n×2n+1)②,②-①,得S n=(2+22+…+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 即数列{b n}的前n项和S n=2n+1-2-n·2n+1,由S n+n·2n+1=2n+1-2>62,得n>5,所以正整数n的最小值为6.。

(建议用时：60分钟)1.（2015·成都诊断)已知公比q＞0的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S3＝7，数列｛b n}中b1＝0，b3＝1。

(1)若数列{a n＋b n｝是等差数列，求a n，b n；（2）在(1）的条件下，求数列｛b n}的前n项和T n。

解（1)由题意得S3＝1＋q＋q2＝7，∴q＝－3或q＝2,∵q＞0，∴q＝2，∴a n＝2n－1。

∴a1＋b1＝1,a3＋b3＝5,∴数列{a n＋b n｝的公差d＝2，∴a n＋b n＝2n－1.∴b n＝2n－1－a n＝2n－1－2n－1。

（2)由(1)得b n＝2n－1－2n－1,∴T n＝（1－20）＋(3－21)＋(5－22）＋…＋［(2n－1)－2n－1］＝［1＋3＋5＋…＋（2n－1）］－（20＋21＋22＋…＋2n－1)＝n2－2n＋1。

2.（2016·河南六市联考)已知{a n｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14。

(1）求数列{a n}的通项公式;(2)若数列｛b n}满足b12＋错误!＋…＋错误!＝a n＋1（n∈N*),求数列｛b n}的前n项和S n。

解(1)设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0,由a2＋a6＝14,可得a4＝7。

由a3a5＝45，得(7＋d)（7－d)＝45，可得d＝2(d＝－2舍去）.∴a1＝7－3d＝1.可得a n＝2n－1. （2）设c n＝错误!，则c1＋c2＋…＋c n＝a n＋1。

即c1＋c2＋…＋c n＝2n，可得c1＝2,且c1＋c2＋…＋c n＋c n＋1＝2（n＋1）。

∴c n＋1＝2，可知c n＝2（n∈N*）.∴b n＝2n＋1,∴数列｛b n｝是首项为4，公比为2的等比数列.∴数列｛b n}的前n项和S n＝错误!＝2n＋2－4.3.（2016·石家庄一模）设数列｛a n｝的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝λS n＋1（n∈N ＊,且λ≠－1)，且a1，2a2,a3＋3为等差数列{b n}的前三项.(1）求数列{a n}，｛b n｝的通项公式；(2)求数列{a n b n｝的前n项和。

第一节 数列的概念及简单表示法A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，13)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.2.(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.3.(2015·安徽，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明T n ≥14n.4.(2014·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东佛山一模)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋sin 2n π2a n ＋4cos 2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( )A.a 9>a 10B.a 9＝a 10C.a 9<a 10D.大小关系不确定 2.(2016·陕西西安模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·玉溪一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n （n 为正奇数），a n＋1 （n 为正偶数），则其前6项之和是( )A.16B.20C.33D.1204.(2015·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) A.a n ＝1 B.a n ＝（－1）n ＋12 C.a n ＝2－|sin n π2| D.a n ＝（－1）n －1＋325.(2016·河南洛阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________.6.(2016·宁夏银川模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.7.(2015·温州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________.8.(2015·天津新华中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为________.9.(2015·青岛一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.1 121 [由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1，①a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列. ∴S 5＝1－1×351－3＝121.]2.2011 [∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n－1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n ，故b n＝2n （n ＋1）＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.] 3.(1)解 y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1,曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2， 从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1).令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)证明 由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫342…⎝⎛⎭⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝⎛⎭⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n . 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.4.解 (1)依题有⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 1＝2a 2－3－4，S 2＝a 1＋a 2＝4a 3－12－8，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，解得a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)∵S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，①∴当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)a n －3(n －1)2－4(n －1).② ①－②并整理得a n ＋1＝（2n －1）a n ＋6n ＋12n .由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明. 当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3，命题成立； 假设当n ＝k 时，a k ＝2k ＋1命题成立. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝（2k －1）a k ＋6k ＋12k ＝（2k －1）（2k ＋1）＋6k ＋12k ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立.综上，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [n 为奇数时，a 3＝2a 1＝2，a 5＝2a 3＝22，a 7＝2a 5＝23，a 9＝2a 7＝24； n 为偶数时，a 4＝a 2＋4＝5，a 6＝a 4＋4＝9，a 8＝a 6＋4＝13，a 10＝a 8＋4＝17. 所以a 9<a 10.故选C.]2.A [若数列{a n }为递增数列,则a n ＋1－a n >0,即2n ＋1>2λ对任意n ∈N *都成立,于是有3>2λ,λ<32,由λ<1可得λ<32;反之由λ<32不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.]3.C [a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.]4.C [A 项显然不成立;n ＝1时,a 1＝－1＋12＝0,故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝（－1）2－1＋32＝1,故D 项不正确.由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C.] 5. 3 [由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3， a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，所以{a n }是以4为周期的数列，而2015＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，则前2 015项的乘积为1503·a 1·a 2·a 3＝3.] 6.2n－1[(1)∵S n ＝2a n －1，∴n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2). ∵n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，∴a 1＝1.∴数列{a n }是1为首项，2为公比的等比数列.∴a n ＝2n －1.]7. 5或6 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）⎝⎛⎭⎫78n ≥（n ＋1）⎝⎛⎭⎫78n －1，（n ＋2）⎝⎛⎭⎫78n ≥（n ＋3）⎝⎛⎭⎫78n ＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.]8.{1，2，3，4}[因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列.又因为a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1， 故a n ＝2n －1，而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1，2，3，4}.]9.解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n .①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，②②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，（n ＋1）a n ＋1na n＝3，∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)， ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n ·3n －2(n ≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1），设f (n )＝n （n ＋1）2·3n(n ≥2，n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n ＋1<0， ∴1f （n ＋1）>1f （n ）(n ≥2)，又1f （2）＝13及a 12＝12，可得λ≥1f （2），∴所求实数λ的最小值为13.。

第六章 数列第二节 数列的应用第一部分 三年高考体题荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010江西理）5.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

考虑到求导中，含有x 项均取0，则()'0f只与函数()f x 的一次项有关；得：412123818()2a a a a a a ⋅⋅==。

2.（2010江西理）4.2111lim 1333n x →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（ ） A. 53 B. 32 C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

1133lim ()1213n n →+∞-=- 3.（2010北京理）（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12【答案】C4.（2010四川理）（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim n n na S →∞=（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+作差得a n ＋2＝2a n ＋1又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1 ⇒ a 2＝2a 1故{a n }是公比为2的等比数列S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1 则11121lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==- 【答案】B5.（2010天津理）（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

§6.2不等式的解法Ａ组基础题组1.(2016绍兴一中期中,1,5分)若全集U=R,集合M={x|x2>4},N=,则M∩(∁U N)等于( )A.{x|x<-2}B.{x|x<-2或x≥3}C.{x|x≥3}D.{x|-2≤x<3}2.(2014大纲全国,3,5分)不等式组的解集为( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}3.(2015浙江名校(衢州二中)交流卷二,2)已知f(x)=x2-2x+3,g(x)=kx-1,则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2013浙江,7,5分)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( )A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=07.记方程①:x2+a1x+1=0,方程②:x2+a2x+2=0,方程③:x2+a3x+4=0,其中a1,a2,a3是正实数.当a1,a2,a3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( )A.方程①有实根,且②有实根B.方程①有实根,且②无实根C.方程①无实根,且②有实根D.方程①无实根,且②无实根8.(2016效实中学期中文,10,6分)若指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则f(3)= ;不等式f(x)+f(-x)<的解集为.9.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.10.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是.11.(2015浙江冲刺卷一,16,4分)已知函数f(x)=若f(2m-1)<f(m+3),则m的取值范围是.12.(2015浙江绍兴一中回头考,20)已知f(x)=x2-2ax-3a2.(1)设a=1,解不等式f(x)>0;(2)若不等式f(x)<x的解集中有且仅有一个整数,求a的取值范围;(3)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f(x)|≤4a恒成立,试确定a的取值范围.B组提升题组1.(2016温州高三返校联考文,5)不等式≤0的解集为( )A. B.C.∪(3,+∞)D.∪[3,+∞)2.(2016新昌中学期中,3,5分)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为( )A.{x|x<-1或x>lg2}B.{x|-1<x<lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}3.(2015浙江新高考研究卷一(镇海中学),2)设集合M={x|x2-4x-5<0},N=,则使M∩N=⌀成立的实数a的取值范围是( )A.{a|a≥5}B.{a|a≥-1}C.{a|a≥1,或a≤-1}D.{a|a≥5,或a≤-5}4.(2014浙江,6,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( )A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>95.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]6.(2015山东日照一中校际联合检测,8)在R上定义运算:x*y=x(1-y).若关于x的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是( )A.[0,2]B.[-2,-1]∪(-1,0]C.[0,1)∪(1,2]D.[-2,0]7.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,8)关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的取值范围为( )A.k≤5B.k≥5C.k≤6D.k≥68.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为.9.不等式(x-4)≥0的解集是.10.(2013江苏,11,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.11.(2013重庆,15,5分)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为.12.(2015浙江测试卷,14)若对于任意的n∈N*,n2+(a-4)n+3+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是.13.(2015浙江绍兴质量调测)已知b,c∈R,若关于x的不等式0≤x2+bx+c≤4的解集为[x1,x2]∪[x3,x4](x2<x3),则(2x4-x3)-(2x1-x2)的最小值是.14.解不等式mx2+(m-4)x-4<0,其中m∈R.Ａ组基础题组1.B 不等式x2>4的解集为{x|x<-2,或x>2};不等式>0⇔<0⇔(x+1)(x-3)<0,其解集为{x|-1<x<3},所以M={x|x<-2,或x>2},N={x|-1<x<3},则M∩(∁U N)={x|x<-2,或x>2}∩{x|x≥3,或x≤-1}={x|x<-2或x≥3}.选B.2.C 由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,所以不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.3.B ∵f(x)≥g(x)恒成立,即x2-2x+3≥kx-1,也即x2-(2+k)x+4≥0恒成立,∴(2+k)2-16≤0,得-6≤k≤2,而[-2,2]⫋ [-6,2],故选B.4.A ∵f(0)=f(4)>f(1),∴c=16a+4b+c>a+b+c,∴16a+4b=0,即4a+b=0,且15a+3b>0,即5a+b>0,而5a+b=a+4a+b,∴a>0.故选A.5.B 由题意可知,a<0,x1+x2=-,x1·x2=<0,所以c>0.所求不等式解集在两根之间,且等价于x2-x+1>0,即x1x2x2+(x1+x2)x+1>0,解得x∈,故选B.6.C 根据题意,由于1+2x+(a-a2)·4x>0对于一切的x∈(-∞,1]恒成立,令2x=t(0<t≤2),则可知1+t+(a-a2)t2>0⇔a-a2>-,故可知只要求解-的最大值即可,结合二次函数的性质可知a-a2>-,所以4a2-4a-3<0,解得实数a的取值范围为,选C.7.B 当方程①有实根,且②无实根时,≥4,<8,从而=<=16,即方程③:x2+a3x+4=0无实根,选B.选项A,D由于不等式方向不一致,不可推;C推出③有实根.8.答案;(-1,1)解析设f(x)=a x(a>0,且a≠1),因为图象过(-2,4),所以a=(负值舍去),即f(x)=,所以f(3)=,f(x)+f(-x)<⇒+2x<.令t=2x,则不等式化为2t2-5t+2<0,解得<t<2,即<2x<2,则-1<x<1,所以原不等式的解集为(-1,1).9.答案解析要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需即解得-<m<0.10.答案(-7,3)解析∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|).又x≥0时,f(x)=x2-4x,不等式f(x+2)<5⇒f(|x+2|)<5⇒|x+2|2-4|x+2|<5⇒(|x+2|-5)(|x+2|+1)<0⇒|x+2|-5<0⇒|x+2|<5⇒-5<x+2<5⇒-7<x<3.故原不等式的解集为(-7,3).11.答案解析函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数,故f(2m-1)<f(m+3)等价于|2m-1|<|m+3|,即4m2-4m+1<m2+6m+9,解得-<m<4,故m 的取值范围是.12.解析(1)当a=1时,不等式f(x)>0⇔x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1.故当a=1时,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).(2)f(x)-x=x2-(2a+1)x-3a2,令g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,若a=0,则f(x)<x的解集为(0,1),不满足条件;若a≠0,由g(0)=-3a2<0知x=0是不等式f(x)<x的一个整数解,所以由得≤a<0.综上,a的取值范围为.(3)若<a≤1,则即得<a≤;若a>1,因为|f(a)|=4a2,|f(4a)|=5a2,4a2<5a2,所以应满足|5a2|≤4a,此不等式的解集为⌀. 综上,a的取值范围是.B组提升题组1.C ≤0可化为≥0,等价于解得x≤-,或x>3,故选C.2.D 因为一元二次不等式f (x)<0的解集为,所以f(x)>0的解集为,令-1<10x<,解得x<-lg2,故选D.3.D M=(-1,5).a>0时,N=(-∞,-a)∪(a,+∞),由M∩N=⌀,得得a≥5.a=0时,N=R,不合题意.a<0时,N=(-∞,a)∪(-a,+∞),由M∩N=⌀,得得a≤-5.综上,a∈(-∞,-5]∪[5,+∞).4.C 由得解得则有f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6,由0<f(-1)≤3,得6<c≤9.5.C 矩形的一边长为x,则其邻边长为40-x,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300m2得-x2+40x≥300,即10≤x≤30.6.D 由题意得,x*(x-a)=x·[1-(x-a)]=x[(a+1)-x],所以x*(x-a)>0即x[x-(a+1)]<0.当a=-1时,不等式的解集为空集,符合题意;当a>-1时,不等式的解集为(0,a+1),又该解集为[-1,1]的子集,所以a+1≤1,得-1<a≤0; 当a<-1时,不等式的解集为(a+1,0),又该解集为[-1,1]的子集,所以a+1≥-1,得-2≤a<-1. 综上所述,a的取值范围是[-2,0].故选D.7.C 令f(x)=x2+9+|x2-3x|(x∈[1,5]),则f(x)=当3≤x≤5时,2x2-3x+9≥kx恒成立,只需k+3≤,而y=2x+在[3,5]上递增,∴=9,∴k+3≤9,∴k≤6.当1≤x≤3时,3x+9≥kx,即k≤3+恒成立,∴k≤=6.综上可知k≤6.8.答案{x|-1<x<2}解析不等式<4可转化为<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}.9.答案{x|x≥4或x=-1}解析当x2-3x-4>0时,x-4≥0,解得x>4;当x2-3x-4=0,即x=-1或4时,原不等式也成立,所以解集是{x|x≥4或x=-1}.10.答案(-5,0)∪(5,+∞)解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,又当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+4x.又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2-4x(x<0),∴f(x)=(1)当x>0时,由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5;(2)当x=0时,f(x)>x无解;(3)当x<0时,由f(x)>x得-x2-4x>x,解得-5<x<0.综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).11.答案∪解析由8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,得Δ=(-8sinα)2-4×8cos2α≤0,即64sin2α-32(1-2sin2α)≤0,得到sin2α≤,∵0≤α≤π,∴0≤sinα≤,∴0≤α≤或≤α≤π,即α的取值范围为∪.12.答案解析对于n∈N*,不等式n2+(a-4)n+3+a≥0变形为-a≤.令x=n+1,则x≥2,x∈N*,问题可转化为-a≤对于x≥2,x∈N*恒成立.设f(x)==x+-6,则f(x)在[2,2]上为减函数,在[2,+∞)上为增函数.而f(2)=0,f(3)=-,∴f(x)min =-,故有-a ≤-,即a ≥. 13.答案 4解析 如图,据题意可知x1,x 4是方程x 2+bx+c=4的两根,x 2,x 3是方程x 2+bx+c=0的两根,由韦达定理可得(2x 4-x 3)-(2x 1-x 2)=2(x 4-x 1)-(x 3-x 2)=2-=2-,令b 2-4c=t,则有(2x 4-x 3)-(2x 1-x 2)=f(t)=2-,令f'(t)=-=0,解得t=,据题意可知f(t)min =f=4.14.解析 (1)当m=0时,不等式的解集为{x|x>-1}. (2)当m>0时,不等式等价于(mx-4)(x+1)<0, 即(x+1)<0,因为>-1,所以不等式的解集为x -1<x<.(3)当m<0时,不等式等价于(x+1)>0, 又-(-1)=,则①当-4<m<0时,有<-1,所以原不等式的解集为x x<或x>-1.②当m=-4时,原不等式可化为(x+1)2>0,所以不等式的解集为{x|x ∈R 且x ≠-1}. ③当m<-4时,有>-1,所以原不等式的解集为x x<-1或x>.。

第三节 等比数列及其前n 项和A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A.2B.1C.12D.182.(2014·大纲全国，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A.31 B.32 C.63 D.643.(2015·新课标全国Ⅰ，13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和． 若S n ＝126，则n ＝________.4.(2015·广东，13)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.5.(2014·广东，13)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.6.(2016·新课标全国Ⅲ,17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1,a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.7.(2016·北京，15)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.8.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .9.(2014·北京，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．10.(2014·福建，17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北衡水中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝( ) A.1 B.2 C.－2D.42.(2016·烟台诊断)已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.[3，＋∞)D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)3.(2016·安徽安庆第二次模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为( ) A.24里 B.12里 C.6里D.3里4.(2015·河南省焦作市高三统考)已知正项等比数列{a n }满足a 3·a 2n －3＝4n(n ＞1)，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝( ) A.n 2B.(n ＋1)2C.n (2n －1)D.(n －1)25.(2015·山西省三诊)在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8.设S 3n 为该数列的前3n 项和，T n 为数列{a 3n }的前n 项和.若S 3n ＝tT n ，则实数t 的值为( )A.7B.9C.12D.156.(2016·江西八所重点中学一联)已知数列{a n }中，a 1＝a (a ≠1)，{b n }是公比为23的等比数列.记b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *)，若不等式a n >a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是________. 7.(2016·河南八市重点高中第二次质量检测)数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＋a n ＝n 2＋2n ＋2，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝a n －n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和T n .8.(2015·湖南十二校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列，并写出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)n，求数列{b n }的前n 项和S n .答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24， 所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.选C.答案 C2.解析 方法一 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1（1－q 2）1－q＝3，S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝15，两式相除得1＋q 2＝5，解得q 2＝4.故q ＝2或q ＝－2.若q ＝2，代入解得a 1＝1，此时S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝1×（1－26）1－2＝63.若q ＝－2，代入解得a 1＝－3，此时S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝（－3）×[1－（－2）6]1－（－2）＝63.故选C.方法二 因为数列{a n }为等比数列，若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1. 设其前n 项和为S n ＝Aq n－A .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝A ×q 2－A ＝3S 4＝A ×q 4－A ＝15，两式相除得1＋q 2＝5， 解得q 2＝4，代入解得A ＝1. 故S n ＝q n－1.所以S 6＝q 6－1＝(q 2)3－1＝43－1＝63.故选C. 方法三 设等比数列的公比为q .则S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2)×3＝15， 解得q 2＝4.故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2＋q 4)(a 1＋a 2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C. 答案 C3.解析 由a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， 由S n ＝2（1－2n）1－2＝126，解得n ＝6.答案 64.解析 ∵三个正数a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1. ∵b 为正数，∴b ＝1. 答案 15.解析 由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23， 于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2 a 1＋log 2 a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5. 答案 56.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1). 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.7.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3. ∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…). (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . ∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×（1－3n）1－3＝2×（n ＋1）n 2－n ＋3n－12＝n 2＋3n－12.即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n－12.8.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .9.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1，b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)，数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n－1，所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n－1.10.解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.所以a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 依题意得q ＝a 1q ＋a 3q a 1＋a 3＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝2，故选B.答案 B2.解析 因为a 2＝1＝a 1q ，所以S 3＝a 1＋1＋a 1q 2＝1q＋q ＋1，当q >0时，1q ＋q ≥2，当q <0时，1q＋q ≤－2，所以S 3≥3或S 3≤－1，故选D. 答案 D3.解析 记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比q ＝12等比数列，S 6＝378，又S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，∴a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6.答案 C4.解析 ∵a 3·a 2n －3＝4n，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 2…a 2n －1)＝log 2(a 1a 2n －1a 3a 2n －3…)＝log 2(4n)n2＝n 2.答案 A5.解析 ∵q 3＝a 4a 1＝8，q ＝2，S 3n ＝1－23n 1－2，数列{a 3n }仍为等比数列，公比为q 3＝8，T n ＝1－8n1－8，∴1－8n －1＝t 1－8n－7，t ＝7. 答案 A 6.解析 ∵b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －2b n －1. 由a n ＋1－a n ＝b n ＋1－2b n ＋1－1－b n －2b n －1＝1b n －1－1b n ＋1－1＝b n ＋1－b n（1－b n ＋1）（1－b n ）＝－13b n⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b n （1－b n ）<0，解得b n >32或0<b n <1.若b n >32，则b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>32对一切n ∈N *恒成立，显然不可能；若0<b n <1，则0<b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<1对一切n ∈N *恒成立，只需0<b 1<1即可，即0<a 1－2a 1－1<1，解得a ＝a 1>2. 答案 (2，＋∞)7.解 (1)由2S n ＋a n ＝n 2＋2n ＋2， ① 得2S 1＋a 1＝5，∴a 1＝53，2S n ＋1＋a n ＋1＝(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋2， ② ②－①得3a n ＋1－a n ＝2n ＋3.∵b n ＝a n －n ，∴a n ＝b n ＋n ，a n ＋1＝b n ＋1＋n ＋1， ∴3b n ＋1＝b n ，b 1＝a 1－1＝23.∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列.∴b n ＝23n .(2)由(1)得b n ＝23n ，∴nb n ＝2n3n ，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋232＋333＋…＋n 3n ，∴13T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋233＋334＋…＋n －13n ＋n 3n ＋1，两式相减得23T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n1－13－n 3n ＋1＝1－2n ＋33n ＋1， ∴T n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋33n ＋1.8.(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. ∴a n ＋1＝2n ，a n ＝2n－1.(2)解 ∵4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)n， ∴4b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －n ＝2n 2， ∴2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )－2n ＝n 2， 即2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n 2＋2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12n 2＋n .。

2017高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解)(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解)(word版可编辑修改)的全部内容。

生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”。

若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。

1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法。

2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法。

4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.四、典型例题分析【题型5】 构造法：1）构造等差数列或等比数列例5 设各项均为正数的数列的前n 项和为,对于任意正整数n ，都有等式：{}n a n S 成立，求的通项.n n n S a a 422=+{}n a n a 解：，n n n S a a 422=+⇒112142---=+n n n S a a ∴nn n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+----，∵，∴。

第四节 数列求和、数列的综合应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．2.(2015·浙江，10)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零．若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1＋a 2＝1,则a 1＝________,d ＝________.3.(2016·新课标全国Ⅰ，17)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a nb n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和.4.(2016·浙江，17)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.5.(2016·山东，19)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .6.(2016·四川，19)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1， 其中q >0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n .7.(2015·北京，16)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 8.(2015·重庆，18)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .9.(2015·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．10.(2015·湖北，19)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ， 已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .11.(2015·安徽，18)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 12.(2015·福建，17)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．13.(2015·天津，18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．14.(2015·山东，19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .15.(2015·浙江，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .16.(2015·湖南，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ；(2)求S n .17.(2014·安徽，18)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列{a n n}是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18.(2014·新课标全国Ⅰ，17)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2}的前n 项和．19.(2014·山东，19)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1)2n n a ，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .20.(2014·广东，19)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0,n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ,有1a 1a 1＋＋1a 2a 2＋＋…＋1a na n ＋＜13. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东威海一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ；且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( ) A.－16 B.16 C.31D.322.(2016·豫东、豫北十所名校阶段测试)已知{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n－1，若1＋a m ＝b 4，则正整数m 等于( ) A.29 B.28 C.27D.263.(2015·青岛模拟)已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( ) A.11 B.99 C.120D.1214.(2016·天津南开中学第四次月考)设{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n 项和， 若S 4＝10S 2，则数列的公比q 的值为________.5.(2015·太原模拟)设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10,点P n (n ,a n )对任意的n ∈N *,都有向量P n P n ＋1＝(1,2),则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.6.(2015·江西九校联考)已知数列{a n },{b n },其中a 1＝12,数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N *),数列{b n }满足b 1＝2,b n ＋1＝2b n . (1)求数列{a n },{b n }的通项公式；(2)是否存在自然数m ,使得对于任意n ∈N *,n ≥2,有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＜m －84恒成立？若存在,求出m 的最小值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.2011 解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.2.解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )， ∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1，即3a 1＋d ＝1， ∴a 1＝23，d ＝－1.答案 23－13.解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n3，所以{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3. 4.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n . 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n -1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n -1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1， 当n ≥3时，因为3n -1＞n ＋2， 所以b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n－n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *. 5.解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）＝3(n ＋1)·2n ＋1.. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝－3n ·2n ＋2.6.解 (1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立. 所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列，a n ＝q n -1. 由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3， 所以a 3＝2a 2，q ＝2， 所以a n ＝2n -1(n ∈N *).(2)由(1)可知，a n ＝q n -1，所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）.由e 2＝1＋q 2＝2解得q ＝3， 所以e 21＋e 22＋…＋e 2n＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q2(n －1)]＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n－1).7.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2. 又因为a 1＋a 2＝10， 所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4.所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q ， 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26-1＝128. 由128＝2n ＋2，得n ＝63， 所以b n 与数列{a n }的第63项相等．8.解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2，故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1.9.(1)解 当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得：a 4＝78.(2)证明 因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)， 因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，因为a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．(3)解 由(2)知；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12公比为的等比数列，所以a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝4，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是以a 112＝2为首项，4为公差的等差数列，所以a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，即a n ＝(4n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.10.解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n -1，故c n ＝2n －12n -1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n . ② ①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n -2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n -1.11.解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n -1＝2n -1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.12.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，（a 1＋3d ）＋（a 1＋6d ）＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n＋n ， 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2（1－210）1－2＋（1＋10）×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.13.解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n -1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n -1，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n -2＋(2n －1)×2n -1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n -1＋(2n －1)×2n， 两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n＝2n +1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n－3，所以S n ＝(2n －3)·2n＋3，n ∈N *. 14.解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3. 令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15. 解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n ·22n -1＝n ·4n，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n， 所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n +1，两式相减得，－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n +1＝4（1－4n）1－4－n ·4n +1＝1－3n 3×4n +1－43.所以T n ＝3n －19×4n +1＋49＝4＋（3n －1）4n +19.15.解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n(n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b nn ，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n.因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n +1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n +1. 故T n ＝(n －1)2n +1＋2(n ∈N *)．16.(1)证明 由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ≥2，n ∈N *，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减得，a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3， 所以数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3等比数列； 数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列， 所以a 2n －1＝3n -1，a 2n ＝2×3n -1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n -1)＋2(1＋3＋…＋3n -1) ＝3(1＋3＋…＋3n -1)＝3(3n－1)2.所以S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n－1)2－2×3n -1＝32(5×3n -2－1)．综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32（5×3n －32－1），当n 是奇数，32（3n 2－1），当n 是偶数.17.(1)证明 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1. 所以{a n n }是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)得a nn＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，b n ＝n ·3n.S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ， ①3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1. ②①－②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n +1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n +1＝(1－2n )·3n +1－32.所以S n ＝(2n －1)·3n +1＋34.18.解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3. 设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12， a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设数列{a n2}的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2.两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n +1－n ＋22n +2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n -1－n ＋22n +2.所以S n ＝2－n ＋42n +1.19.解 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由题意知b n ＝a n (n ＋1)2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ×(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，所以可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2(4＋2n )2＝n (n ＋2)2；当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝(n －1)(n ＋1)2－n (n ＋1)＝－(n ＋1)22.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(n ＋1)22，n 为奇数，n (n ＋2)2，n 为偶数.19.(1)解 由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或S 1＝2，即a 1＝－3或a 1＝2，又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *可得(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3，又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n .又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n .(3)证明 当n ＝1时，1a 1（a 1＋1）＝12×3＝16＜13成立；当n ≥ 2时，1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＜1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋1＜16＋16＝13. 所以对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 由S n ＝2a n －1得S n ＋1＝2a n ＋1－1，两式相减得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ， 又S 1＝2a 1－1，a 1＝1，∴a 5＝1×25-1＝16.答案 B2.解析 因为{a n }是等差数列，a 9＝17，a 3＝5，所以6d ＝17－5，得d ＝2，a n ＝2n －1.又因为S n ＝3n －1，所以当n ＝1时，b 1＝2，当n ≥2时，S n －1＝3n -1－1，b n ＝3n －3n -1＝2·3n -1，由1＋a m ＝b 4得1＋2m －1＝54，即m ＝27，故选C.答案 C3.解析 ∵S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1， ∴S m ＝m ＋1－1＝10，得m ＝120.答案 C 4.解析 由题意，q >0，S 4S 2＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 1＋a 1q ＝（1＋q 2）（1＋q ）1＋q＝1＋q 2＝10，∴q ＝3. 答案 35.解析 依题意得(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，a n ＋1－a n ＝2，数列{a n }是以2为公差的等差数列， 又a 2＋a 4＝2a 3＝10，a 3＝5＝a 1＋4，所以a 1＝1，S n ＝1×n ＋n （n －1）2×2＝n 2. 答案 n 26.解 (1)因为S n ＝n 2a n (n ∈N *)，所以当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，即a n a n －1＝n －1n ＋1， 又a 1＝12，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·12＝1n (n ＋1).当n＝1时，上式成立，故a n＝a1＝1n(n＋1).因为b1＝2，b n＋1＝2b n，所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，b n＝2n.(2)由(1)知，b n＝2n，则1＋1b1＋1b2＋…＋1b n－1＝1＋12＋122＋…＋12n-1＝2－12n-1.假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋1b1＋1b2＋…＋1b n－1＜m－84恒成立，即2－12n－1＜m－84恒成立，由m－84≥2，解得m≥16.所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋1b1＋1b2＋…＋1b n－1＜m－84恒成立，此时m的最小值为16.。

第二节等差数列及其前n项和A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江,6)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n＋1|＝|A n＋1A n＋2|,A n≠A n＋n∈N*,|B n B n＋1|＝|B n＋1B n＋2|,B n≠B n＋2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若d n＝|A n B n|,S n为2,△A n B n B n＋1的面积，则( )A.{S n}是等差数列B.{S2n}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d2n}是等差数列2.(2016·全国Ⅰ，3)已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )A.100B.99C.98D.973.(2015·重庆，2)在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )A.－1B.0C.1D.64.(2015·北京，6)设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( )A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞05.(2014·福建，3)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )A.8B.10C.12D.142n a a}为递减数列，则( )6.(2014·辽宁，8)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{1A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>07.(2016·北京，12)已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.8.(2016·江苏，8)已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.9.(2016·全国Ⅱ，17)S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记b n＝[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1 000项和.10.(2015·广东，10)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.11.(2015·陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.12.(2015·新课标全国Ⅰ，17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.13.(2014·北京，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大.14.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.15.(2014·大纲全国，18)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .16.(2014·江苏，20)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”.(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·黑龙江哈六中模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( )A.30B.45C.90D.1862.(2016·湖南岳阳二模)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织________尺布( )A.12B.815C.1631D.16293.(2016·广东东莞一模)设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项和为( ) A.128 B.80 C.64 D.564.(2015·云南省昆明模拟)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＝S 4，则S 8a 9等于( )A.4B.5C.8D.105.(2015·浙江杭州一模)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为( )A.12B.－12C.32D.－326.(2016·陕西八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________.7.(2016·河北唐山统考)数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，若S 20＝－360，则a 2＝________.8.(2015·福建厦门质检)公差不为零的等差数列{a n }的三项a 1，a 4，a 16成等比数列，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是________.9.(2015·河北衡水模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝6, S n 为其前n 项和，S 5＝353.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2),b 1＝3,S n ＝b 1+b 2+…＋b n ,若S n <m 对一切n ∈N *成立,求最小正整数m .答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）(2016年高考题6月底更新)1.A [S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半,即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A.]2.C [由等差数列性质,知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27,得a 5＝3,而a 10＝8,因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1,∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.]3.B [由等差数列的性质,得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0,选B.]4.C [A,B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立.]5.C [设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.]6.C [{2a 1a n }为递减数列，可知{a 1a n }也为递减数列，又a 1a n ＝a 21＋a 1(n －1)d ＝a 1dn ＋a 21－a 1d ，故a 1d <0，故选C.]7.6 [∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0.又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×（6－1）2×(－2)＝6.]8.20 [设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.]9. (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.10.10 [因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.]11.5 [由题意设首项为a 1，则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a 1＝5.] 12.解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ). 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3（2n ＋3）. 13.8 [∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大.]14.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n. (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12－1＜11 000，即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.15.解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知：等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）. 16.(1)证明 由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n＝a m .所以{a n }是“H 数列”.(2)解 由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”.因此d 的值为－1.(3)证明 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *). 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *). 下证{b n }是“H 数列”. 设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *).于是对任意的正整数n ，总存在正整数m＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”.同理可证{c n }也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . ∴b n ＝a 2n ＝6n ，∴b 1＝a 2＝6，∴数列{b n }是首项为6，公差为6的等差数列.∴数列{b n }的前5项和S 5＝5×6＋5×42×6＝90，故选C.]2.D [设从第2天起每天比前一天多织d 尺布，则30×5＋30×292d ＝390.解得d ＝1629，故选D.]3.C [法一 因为S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 2＋a 7)＝4×16＝64， 法二 {a n }是等差数列，且a 2＝3，a 7＝13，则公差d ＝2，a 1＝1，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8＋56＝64，故选C.]4.A [由a 10＝S 4得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8a 1＋28d ＝36d ，所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d9d＝4，选A.]5.D [若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32，故选D.] 6. 37 [a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，∴m ＝37.]7.－1 [∵2S n －na n ＝n ①∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1② ∴①－②得，(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1③ ∴(1－n )a n ＋1＋na n ＝1④∴③－④得，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴数列{a n }为等差数列，∵当n ＝1时，2S 1－a 1＝1，∴a 1＝1， ∵S 20＝20＋20×192d ＝－360，∴d ＝－2.∴a 2＝1－2＝－1.]8.34 [由已知得a 24＝a 1·a 16，即(a 1＋3d )2＝a 1·(a 1＋15d )，∴d ＝a 1，∴a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝3a 33a 4＝34.] 9.解 (1)由a 2＋a 6＝6，得a 4＝3，又由S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝353，得a 3＝73，设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝73，a 1＋3d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝23，∴a n ＝23n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，上式同样成立，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， 又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随n 递增，且92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜92≤m ， ∴m ≥5，m min ＝5.即最小正整数m 的值为5.。

第四节 数列求和、数列的综合应用A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A.6B.7C.8D.92.(2015·浙江，3)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A.a 1d ＞0，dS 4＞0B.a 1d ＜0，dS 4＜0C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞03.(2016·北京，20)设数列A ：a 1，a 2，…，a N (N ≥2).如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.(1)对数列A ：－2，2，－1，1，3，写出G (A )的所有元素； (2)证明：若数列A 中存在a n 使得a n ＞a 1，则G (A )≠∅；(3)证明：若数列A 满足a n －a n －1≤1(n ＝2，3，…，N )，则G (A )的元素个数不小于a N －a 1.4.(2016·四川，19)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求a n 的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1.5.(2016·山东，18)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .6.(2015·新课标全国Ⅱ，16)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________.7.(2015·山东，18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .8.(2015·天津，18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.9.(2015·广东，21)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .10.(2015·浙江，20)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *). (1) 证明：1≤a n a n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *).11.(2014·山东，19)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .12.(2014·江西，17)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .13.(2014·四川，19)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .14.(2014·湖北，18)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南百校联盟质量监测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5＝-20，则-6a 4＋3a 5＝( ) A.-20B.4 C.12D.202.(2016·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)n a n }的前n 项和，则S 2 014＝( ) A.2 015B.-2 015C.3 021D.-3 0213.(2016·山东实验中学模拟)设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( )A.11个B.12个C.15个D.25个4.(2016·天津调研)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A.1 300B.2 600 C.0D.2 6025.(2015·广东揭阳一模)已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （-1）g （-1）＝52,若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( ) A.5B.6 C.7D.86.(2015·吉林长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列,则a n ＝( )A.n2n －1B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋17.(2015·辽宁沈阳模拟)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( ) A.2 0072 008B.2 0071 004C.2 0082 009D.4 0162 0098.(2016·湖北荆州市第一次质量检测)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ·a n ＋1＝2S n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{n ·2a n }的前n 项和T n .9.(2016·嘉峪关市一中第三次模拟考试)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ，数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20， (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ＝1，2，3，…)，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n <72.10.(2016·南通模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.D [由题意知:a ＋b ＝p ,ab ＝q ,∵p ＞0,q ＞0,∴a ＞0,b ＞0.在a ,b ,-2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ,b ,-2;b ,a ,-2;-2,a ,b ;-2,b ,a ;成等比数列的情况有:a ,-2,b ;b ,-2,a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5,q ＝4,∴p ＋q ＝9,故选D.]2.B [∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d ),整理得a 1＝－53d ,∴a 1d ＝-53d 2＜0,又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3,∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.]3.(1)解 G (A )的元素为2和5.(2)证明 因为存在a n 使得a n ＞a 1，所以{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i ＞a 1}≠∅.记m ＝min{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i ＞a 1}，则m ≥2，且对任意正整数k ，m ，a k ≤a 1＜a m . 因此m ∈G (A ).从而G (A )≠∅.(3)证明 当a N ≤a 1时，结论成立.以下设a N ＞a 1.由(2)知G (A )≠∅.设G (A )＝{n 1，n 2，…，n p }，n 1＜n 2＜…＜n p .记n 0＝1.则a n 0＜a n 1＜a n 2＜…＜a n p ， 对i ＝0，1，…，p ，记G i ＝{k ∈N *|n i ＜k ≤N ，a k ＞an i }. 如果G i ≠∅，取m i ＝min G i ，则对任何1≤k ＜m i ，a k ≤a n i ＜a m i .从而m i ∈G (A )且m i ＝n i ＋1.又因为n p 是G (A )中的最大元素，所以G p ＝∅. 从而对任意n p ≤k ≤N ，a k ≤a n p ，特别地，a N ≤a n p .对i ＝0，1，…，p －1，a n i ＋1－1≤a n i .因此a n i ＋1＝a n i ＋1－1＋(a n i ＋1－a n i ＋1－1)≤an i ＋1. 所以a N －a 1≤a n p －a 1＝∑i ＝1p(a n i －a n i －1)≤p .因此G (A )的元素个数p 不小于a N －a 1.4.(1)解 由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立. 所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列.从而a n ＝q n －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明 由(1)可知，a n ＝qn －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）. 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q 2(k－1)>q 2(k－1)，所以1＋q 2（k －1）>q k －1(k ∈N *).于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋qn －1＝q n －1q －1.故e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1. 5.解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得-T n ＝3×[2×22+23+24+…+2n ＋1-(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝-3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.6.－1n [由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.] 7.解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n )，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n )，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ， 经检验，n ＝1时也适合.综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n.8.解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n2.所以，{a n}的通项公式为a n＝⎩⎨⎧2n －12，n 为奇数，2n2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.9.(1)解 a 1＝1，a 1＋2a 2＝2，a 2＝12，a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54，a 3＝14.(2)解 n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n -1)a n －1＝4－n ＋12n －2，与原式相减，得na n ＝n 2n －1，a n ＝12n －1，n ＝1也符合，T n ＝1－12n1－12＝2－12n －1.(3)证明 n ≥2时，b n ＝T n －1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n 故S n ＝∑i ＝1nb i＝a 1＋a 12＋⎝⎛⎭⎫1＋12a 2＋a 1＋a 23＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13a 3＋…＋a 1＋a 2＋…＋a n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ⎝⎛⎭⎫2－12n －1<2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ， 只需证明2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n <2＋2ln n ，n ∈N *. 对于任意自然数k ∈N ,令x ＝-1k ＋1∈(-1,0)时，ln ⎝⎛⎭⎫－1k ＋1＋1＋1k ＋1<0，即1k ＋1<ln(k ＋1)－ln k .∴k ＝1时，12<ln 2－ln 1，k ＝2时，13<ln 3<ln 2.…k ＝n －1时，1n<ln 2－ln(n －1).∴1＋12＋13＋…＋1n <1＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n －ln(n －1)]，即1＋12＋13＋…＋1n<1＋ln n ，所以n ≥2时，2⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n <2＋2ln n ，综上n ∈N ＋时，S n <2＋2ln n . 10.证明 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ，故a n ≤12. 由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1＞0. 由0＜a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈[1，2]，即1≤a n a n ＋1≤2 (2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1① 由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n a n ＋1≤2得1≤1a n ＋1－1a n ≤2，所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ， 因此12（n ＋1）≤a n ＋1≤1n ＋2(n ∈N *).②由①②得12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *).11.解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n （2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋112.解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{c n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n－1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1， 3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.13.解 (1)由已知得,b 7＝2a 7,b 8＝2a 8＝4b 7,有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意得，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.14.解(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2＋d ,2＋4d 成等比数列,故有(2+d )2＝2(2+4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立. 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.C [因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝-3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12.] 2.C[a 1＝tan 225°＝tan 45°＝1，设等差数列{a n }的公差为d ， 则由a 5＝13a 1，得a 5＝13，d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴S 2 014＝-a 1+a 2-a 3+a 4+…+(-1)2 014a 2 014＝-(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1 007d ＝1 007×3＝3 021.故选C.]3.A [(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.]4.B [原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列.所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600.]5.A [令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0，∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去),∴f (n )g (n )＝⎝⎛⎭⎫12n，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＝3132，∴n ＝5.]6.A [设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，有b 1＝4，b 2＝8，则b n ＝4n ，即b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1＝0， 所以2（n ＋1）n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比，1为首项的等比数列， 所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a n ＝n 2n －1.故选A.] 7.D [法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ,则可得a 1＝1,a 2＝3,a 3＝6,a 4＝10,则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎫1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2， 所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D.]8.解(1)当n ＝1时，a 1a 2＝2a 1，a 2＝2.又a n ·a n ＋1＝2S n ①∴n ≥2时，a n －1·a n ＝2S n －1②①－②得a n (a n ＋1－a n －1)＝2a n∵a n >0,∴a n ＋1－a n －1＝2.则a 1,a 3,…,a 2n －1,…是以1为首项,2为公差的等差数列,a 2n －1＝2n -1. a 2，a 4，…，a 2n ，…是以2为首项，2为公差的等差数列，a 2n ＝2n . ∴a n ＝n (n ∈N *).(2)由于a n ＝n ，所以T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .2T n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1 两式相减得T n ＝n ·2n ＋1－(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n ·2n ＋1－2（1－2n ）1－2＝n ·2n ＋1＋2－2n ＋1 ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 9.(1)解 由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23，b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29， 当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n . 即b n b n －1＝13，所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，所以b n ＝2·13n . (2)证明 数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，可得a n ＝3n －1， 从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n ， ∴T n ＝2⎣⎡2×13＋5×132＋8×133＋ ⎦⎤…＋（3n －1）·13n ∴13T n ＝2⎣⎡2×132＋5×133＋…＋（3n －4） ⎦⎤.13n ＋（3n －1.13n ＋1)两式相减得 23T n ＝2⎣⎢⎡23＋3×132＋3×133＋ (3)⎦⎤13n －（3n －1）·13n ＋1 ＝2·⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋3×132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13 －（3n －1）⎭⎬⎫·13n 1 ＝2⎩⎪⎨⎪⎧23＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －1⎭⎬⎫－（3n －1）·13n ＋1 ＝2⎣⎡⎦⎤76－⎝⎛⎭⎫n ＋76·13n ∴T n ＝72－⎝⎛⎭⎫n ＋7613n －1<72. 10.(1)证明 依题意，当n ＝1时，a 2＝9a 1＋10＝100，故a 2a 1＝10. 当n ≥2时，a n ＋1＝9S n ＋10，a n ＝9S n －1＋10，两式相减得a n ＋1－a n ＝9a n ，即a n ＋1＝10a n ，a n ＋1a n＝10， 故{a n }为等比数列，且a n ＝a 1q n －1＝10n (n ∈N *)， ∴lg a n ＝n .∴lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)－n ＝1，即{lg a n }是等差数列.(2)解由(1)知，T n ＝3⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3－3n ＋1. (3)解 ∵T n ＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值32. 依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6， 故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}.。

【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】数列{}n a 满足113a =，且对任意211N*,,1n n n n n n a a a c a +∈=+=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则2017S 的整数部分是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．2．【2017安徽阜阳二模】等比数列{}n a 中， 132410,30a a a a +=+=，则数列{}n a 前5项和5S = （ ）A. 81B. 90C. 100D. 121【答案】D【解析】解：由题意可知： 21131110{30a a q a q a q +=+= ，解得： 11{3a q == ， 由等比数列的求和公式有： ()51511211a q S q-==- .本题选择D 选项.3．【2017湖南娄底二模】我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（ ） A. 多712斤 B. 少712斤 C. 多16斤 D. 少16斤 【答案】D【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等数列{}n a ,则123789104,3a a a a a a a ++=+++=,由等差数列的性质得28943,32a a a =+=，()289431326a a a -+=-=-,故选D.4．【2017重庆二诊】《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ） A. 10日 B. 20日 C. 30日 D. 40日 【答案】B5．【2017福建4月质检】若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =（ ） A. 1 B. 9 C. 17 D. 19 【答案】C【解析】由等差数列求和公式可得： 199559()98192a a S a a +===⇒=，再由等差数列通项公式可知： 549817a d +=+=6．【2017四川资阳4月模拟】已知等差数列{}n a 中， 1510a a +=，则47a =，则数列{}n a 的公差为A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可知：153343210,5,752a a a a d a a +==∴==-=-= .本题选择A 选项.7．【2017安徽阜阳二模】若,x y 满足约束条件2{212510x y x y x y +≤-≥+-≥，则23x y -的最大值为 （ ）A. 1-B. 1C. 7D. 9 【答案】D8．【2017广东佛山二模】已知实数x ， y 满足0{2x x y x y ≥≤+≥，则2z x y =+的最小值是（ ）A. 0B. 2C. 3D. 5 【答案】B【解析】可行域如图，所以直线2z x y =+过点()0,2A ，时取最小值2，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．【2017湖南娄底二模】若实数x ， y 满足不等式组330,{230,10,x y x y x y +-≥--≤-+≥则2x y +的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 187D. 14 【答案】A10．【2017陕西汉中二模】若变量x ，y 满足约束条件则 (x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.B.C. 5D.【答案】C【解析】点睛：解答本题的关键是先画出不等式组表示的区域，再搞清楚()222x y -+的几何意义是定点()2,0M 到区域内动点(),P x y 的距离的平方，然后数形结合求出动点(),P x y 到点()0,1A 的最小距离。

第三节 y ＝A sin ωx ＋φ 的图象和性质及其综合应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.102.(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z3.(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2) 4.(2015·天津，15)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值.5.(2015·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值.6.(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北衡水中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝( )A.π6B.7π12C.76πD.73π2.(2016·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π12＋2k π，5π12＋2k π，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫－π6＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 3.(2016·四川成都模拟)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 4.(2015·辽宁丹东模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π2，πC.⎝⎛⎭⎫－π2，－π4D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5.(2015·河北正定模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( ) A.f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B.f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数 C.f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0D.将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象6.(2016·辽宁五校协作体模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图，令a n＝f ⎝⎛⎭⎫n π6，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝ .7.(2016·北京昌平区模拟)已知偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为 .8.(2016·山东烟台模拟)已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝ .9.(2015·皖南八校三模)已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]2.D [由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确.]3.A [由于f (x )的最小正周期为π,∴ω＝2,即f (x )＝A sin(2x ＋φ),又当x ＝2π3时,2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4， 又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.] 4.解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12,f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 5.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5， ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.6.解 (1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温.由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [由题中图象知T 4＝π3－π12，∴T ＝π，∴ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫712π，－A ， 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，∴A ＝712π，∴A ·ω＝76π.故选C.]2.B [A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，ω＝2.由f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－2得φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2x －π3∈⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).] 3.D [设y ＝sin(ωx ＋α)，ω>0，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 由T 4＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4，解得T ＝π，∴ω＝2πT＝2， 又x ＝π12时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋α＝1，∴π6＋α＝2k π＋π2(k ∈Z )， 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选D.] 4.C [因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称且|φ|<π2，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝⎛⎭⎫－π2，－π4递减，故选C.] 5.C [因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因为f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0，故选C.]6.0 [14T ＝5π12－π6＝π4，T ＝π，故ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，又f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫π6，1. ∴1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ，又|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴a 1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝1， a 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2×2π6＋π6＝12， a 3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×3π6＋π6＝－12， a 4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×4π6＋π6＝－1， a 5＝sin ⎝⎛⎭⎫2×5π6＋π6＝－12， a 6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×6π6＋π6＝12， a 7＝sin ⎝⎛⎭⎫2×7π6＋π6＝1， a 8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×8π6＋π6＝12， …… 观察规律可知a n 的取值变化以6为周期，且每一个周期内的和为0，又2014＝6×335＋4， 则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋a 2 014＝1＋12－12－1＝0.7.14 [△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，所以A ＝12，T ＝2，ω＝2πT ＝π，又f (x )是偶函数，0<φ<π，所以φ＝π2，∴f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2＝14. 8. 4030 [函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1(A >0，ω>0，0<φ<π2)的最大值为3，所以A ＝2，其相邻的两条对称轴的距离为2，所以ω＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋2φ＋2(A >0，ω>0，0<φ<π2)，又f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0，2)，所以φ＝π4，f (x )＝－sin π2x ＋2，而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，且周期为4，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503×8＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4 030.]9. 解 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx -1＝1-cos 2ωx ＋3sin 2ωx -1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 由题意可知函数的周期T ＝2π2ω＝π，即ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z .解得x ＝k π＋π12(k ∈Z )， 所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z .。

第一节 数列的概念及简单的表示方法A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·新课标全国Ⅱ，16)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.2.(2014·某某，17)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 3.(2014·某某，16)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某文登第二次模拟)数列{a n }满足：a 3＝15，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则数列{a n a n ＋1}的前10项和为( ) A.1021B.2021C.919D.18192.(2016·某某七校联考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，若a 1＝1，a 5＝8，则a 3＝( ) A.1 B.2 C.3D.723.(2015·某某某某诊断)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为πn ，则π2 017的值为( )A.－12B.－1C.12D.24.(2015·某某模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n5.(2015·某某市检测)在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( ) A.－2 B.0 C.1D.26.(2016·某某质量检测)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________；数列{na n }中数值最小的项是第________项.7.(2016·某某某某第二次适应性测试)数列{a n }满足a 1＝3，(a n ＋1－2)(a n ＋1)＋2＝0，则a n ＝________.8.(2015·某某重点中学联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 2＝________，a n ＝________.9.(2015·某某某某三模)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }中项的最大值为________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12； 再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 5＝2.由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.答案 122. (1)解 由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2， 所以数列{a n }的通项公式为：a n ＝3n －2.(2)证明 要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ， 即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2， 而此时m ∈N *，且m ＞n .所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 3.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)nn ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2（1－22n）1－2＝22n +1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n +1＋n －2.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析因为a 3＝15，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，所以1a n ＋1－1a n ＝2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1a 3＋2(n －3)＝2n －1，a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以数列{a n a n ＋1}的前10项的和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋119－121＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021.答案A2.解析a 3＝a 2＋a 1＝a 2＋1，a 4＝a 3＋a 2＝2a 2＋1，a 5＝a 4＋a 3＝2a 2＋1＋a 2＋1＝3a 2＋2＝8， 故a 2＝2，所以a 3＝a 2＋a 1＝3. 答案C3.解析由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，所以a 2 017＝2×(－1)672＝2. 答案D4.解析由已知得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，故a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左右分别相加，得a n －a 1＝ln n ，所以a n ＝2＋ln n .故选A. 答案 A5.解析∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n ， 又∵a n ＋1＋a n －1＝a 2n ，∴a 2n ＝2a n ， ∵a n ≠0，∴a n ＝2，故S 2n －1－4n ＝(2n －1)·2－4n ＝－2. 答案A6.解析当n ≥2时，S n －S n －1＝2n －11，n ＝1时也符合，则a n ＝2n －11，∴na n ＝2n 2－11n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1142－1218，且n ∈N *，故n ＝3时，na n 最小. 答案 2n －11 37.解析由(a n ＋1－2)(a n ＋1)＋2＝0得2n ＋1a n ＋1－2na n＝2n，由累加法得a n ＝2n2n－43. 答案2n2n－438.解析由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ， ∴a 2＝2，a n ＝n . 答案2 n9.解析a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2)⇒3n a n ＝3n -1·a n －1＋1⇒3n a n －3n -1a n －1＝1⇒{3na n }是首项为3a 1＝3，公差为1的等差数列，∴3na n ＝3＋n －1＝n ＋2⇒a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.∵a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ＋3－3n －6)＜0，∴数列{a n }单调递减，∴数列{a n }中项的最大值为a 1＝1. 答案 1。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题）和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分．4．请在密封线内作答,保持试卷清洁完整．单元检测六 数 列第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．(2015·南通模拟）各项都是正数的等比数列{a n ｝的公比q ≠1，且a 2,12a 3，a 1成等差数列，则q 的值为________． 2．（2015·福建改编）若a ,b 是函数f （x ）＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．3．（2015·青岛模拟)已知等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ＝3n ＋a （n ∈N＊)，则实数a的值是________．4．(2015·徐州二模）已知数列｛a n｝是等差数列，若a2 016＋a2 017<0，a2 016·a2 017〈0，且数列{a n｝的前n项和S n有最大值，那么S n取得最小正值时n＝________。

5．等比数列｛a n}中，a2＝2，a4＝8，a n〉0，则数列{log2a n}的前n项和为____________．6．(2015·安徽芜湖四校期末）若数列{a n}的前n项和为S n＝错误!a n ＋错误!，则数列｛a n}的通项公式为______________．7．(2015·连云港检测)在等差数列｛a n｝中,若a1<0，S n为其前n项之和，且S7＝S17，则S n为最小时的n的值为________．8．(2015·天津模拟)已知数列｛a n}的前n项和S n＝2a n－1,则满足错误!≤2的正整数n的集合为__________．9．（2015·北京海淀区模拟)已知数列{a n}满足a1＝1，a n〉0,a错误!－a错误!＝1 （n∈N*)，那么使a n<5成立的n的最大值为________．10．（2015·黄冈中学月考）若数列{a n｝满足错误!－错误!＝0，n∈N＊，p为非零常数,则称数列｛a n}为“梦想数列”．已知正项数列{错误!｝为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是________．11．数列｛a n｝是等差数列,若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________。