四川省成都市第七中学高一下学期期末考试数学试题

四川省成都市成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．1313B ．21313．如图，三棱锥-P ABC 中，PC 二、多选题9．对于两个平面a ，b 和两条直线m ，n ，下列命题中假命题是（ ）A ．若m a ^，m n ^，则//n aB ．若//m a ，a b ^，则//m b三、填空题13．已知()4,2a =r ，()6,b y =r ，且//a b r r ，则y =___________.14．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x ，17，y ，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x y +=___________.15．一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了9km 到达B 地，然后由B 地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30°骑行了16km到达D地，则A，D两地距离为____________km.16．某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由OA，OB，OC，OD四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有___________.一条线段所在的直线竖直向上，则sin AOBÐ=【分析】（1）设AC 中点为D ，则1A D ^平面ABC ，然后由面面垂直的判定可得平面ABC ^平面11ACC A ，从而可得二面角1B AC C --为直二面角；（2）由面面垂直的性质可得BC ^平面11ACC A ，则1BC AC ^，再结合11AC A B ^可得1AC ^平面1A BC ，则11AC AC ^，从而可得11ACC A 为菱形，进而可求得结果；（3）利用等体积法求解即可.【详解】（1）设AC 中点为D ，因为1A 在底面ABC 上的投影恰为AC 的中点.所以1A D ^平面ABC ，因为1A D Ì平面11ACC A ，所以平面ABC ^平面11ACC A ，所以二面角1B AC C --的正弦值为1.（2）因为平面ABC ^平面11ACC A ，且平面ABC Ç平面11ACC A AC =又因为BC AC ^，所以BC ^平面11ACC A ，因为1AC Ì平面11ACC A ，所以1BC AC ^.。

成都七中2019届高一下学期期末考试数学试题一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A ． 18 B ．36 C ．54 D ．722.已知点(),P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A．10 B ． 8 C ． 10 D ． 163.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．2nB ． 3nC ．2n- D ． 3n-4.如图0,,,45AB AC BAD CAD αβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC ∠=（ ）A ．90°B ． 60° C. 45° D ．30°5.若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ） A ． 1 B ． -1 C. 1± D ．32-6.若ABC ∆的内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且sin sin 2sin sin a A c C a C b B +=，则B 等于（ ）A ．6π B ．4π C. 3πD ．34π7.直线10ax y ++=与连接()()2,33,2A B -、的线段相交，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,2- B ． [)(]2,,1+∞-∞- C. []2,1- D ．(][),21,-∞-+∞8.已知某几何体的三视图中，正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）A ．2132π+ B ．4136π+ C. 2166π+ D ．2132π+ 9. ()()001tan171tan 28++的值是（ ） A ．-1 B ．0 C. 1 D ． 210.设000020132tan151cos50cos 2sin 2,,21tan 152a b c -=-==+，则有（ ） A ．c a b << B ．a b c << C. b c a << D ．a c b << 11.若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值可以为（ ） A ．12-或1 B ．12 C. 34 D ．34- 12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC. 三棱锥B AEF -的体积为定值 D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为 ．14.过点()1,3且与原点的距离为1的直线共有 条. 15.已知关于x 的不等式()2110ax a x +-->的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则a = ． 16.数列{}n a 满足，123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式 ．三、解答题 （共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点. （1）在棱11A B 上找一点1D ，当1D 在何处时可使平面11//AC D 平面1CDB ，并证明你的结论； （2）求二面角1B CD B --大小的正切值.18. 已知直线():120l kx y k k R -++=∈，直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B . （1）记ABO ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）直线l 过定点M ，求MA MB 的最小值.19.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M N 、分别为AB PC 、的中点，045,2,1PDA AB AD ∠===.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求PC 与面PAD 所成角大小的正弦值； （3）求证：MN ⊥面PCD .20. 已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x a b =，ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,3,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ；（2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值. 21. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan :tan A B 的值； （2）若4b =，求ABC S ∆的最大值.22.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .试卷答案一、选择题1-5:DCABC 6-10:BDCDA 11、12：AD二、填空题13. 3π14. 2 15. -2 16. 16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩三、解答题17.解：（1）当1D 在棱11A B 中点时，可使平面11//AC D 平面1CDB ，证明略.（2）在平面ABC 内，过点B 作直线CD 的垂线，记垂足为E ，连接1B E ，1B EB ∠即为二面角1B CD B --的平面角.由已知，结合勾股定理得ABC ∆为直角三角形，125345BE BE =⨯⇒=，从而1145tan 123BB B EB BE ∠===. 二面角1B CD B --大小的正切值为53. 18.解：由题意，分别令0x =，0y =解得 ()10,12,2,0B k A k ⎛⎫+--⎪⎝⎭且0k >. （1）()111112244,022S k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时114244k k k k +≥=，当且仅当12k =时取等.所以S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=.（2）易得()2,1M -，∴()1,1,2,2MA MB k k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，224MA MB MA MB k k =-=-+≥，当且仅当1k =时取到，MA MB 的最小值为4. 19.解：记PD 中点为E ，易得EN 平行且等于AM ， （1）证明：如图，取PD 的中点E ，连结AE EN 、， 则有////EN CD AM ，且1122EN CD AB MA ===， ∴四边形AMNE 是平行四边形.∴//MN AE .∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴//MN 平面PAD ；（2）易得CPD ∠即为PC 与面PAD 所成角，sin CD CPD PC ∠==，所以，PC 与面PAD 所成角（3）证明：∵PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD ADC ⊂平面ABCD . ∴,PA CD PA AD ⊥⊥， ∵,CD AD PAAD A ⊥=，∴CD ⊥平面PAD ，又∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥， ∵045PDA ∠=，E 为PD 中点， ∴AE PD ⊥，又∵PD CD D =，∴AE ⊥平面PCD . ∵//MN AE ， ∴MN ⊥平面PCD .20.解：()2113sin cos sin 2cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π⎛⎫==+-=-=- ⎪⎝⎭，（1）由12B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭，结合,,A B C 为三角形内角得2,33B C A ππ+==而1a b ==.由正弦定理得,62B C ππ==，所以122S ab ==. （2）由()3sin 2,0654f ππααα⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭时，2663πππα-<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21.解析：（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：()3sin cos sin cos sin cos sin cos 5A B B A A B B A -=+， 从而sin cos 4sin cos A B B A =，即tan :tan 4A B =；（2）由（1）知内角A B 、均为锐角，如图所示过C 作CD 垂直于AB 垂足为D . 设,CD m AD n ==，由题意结合tan :tan 4A B =得4BD n =，且22216m n b +==，所以m n ==22555162022222ABCm n S mn ∆+=≤==. 22.答案：（1）易得n b n =；（2）易得2nn a n =，其前n 项和()1122n n S n +=-+；（3）()()()()()()()()()()22211114221421212121212nnnnn nn n n nn nn nn n n c n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()111111111111221222212nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()22312122311111111111222212222232212n n nn n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11121136212n nn n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()114123312n n n n +++---+.。

成都七中2017～2018 学年度下期高2020 届数学期末考试考试时间： 120 分钟 满分： 150 分一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题 目要求的 )1 1 1 1⋯⋯的一个通项公式为（1. 数列） 1, , 3 , ,24 5( 1) n1( 1) n 11A.C.B.D.nnnn2．已知 acos75 ,sin15 ,bcos15 ,sin 75 ，则 a b 的值为（）A. 01 C.3 D. 1B.223. 在 ?ABC 中， AB4， BC 3， CA 2 ，则 ?ABC 为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 以下不等式正 确的是（）．．A. x 3 2x 2 x 4B. x 2 y 22 x y 1 C. 237 4 103145．两平行直线 3x 4y1 0 与 6x ay 18 0 的距离为（）19B. 28 D. 1A.C.51 x 256. 若对于 x 的不等式2x mx 的解集为 (0, 4) ，则实数 m 的值为（ ）2A. 1B. 0C. 1D. 27.过点 P(2 ， 3) ，而且在两坐标轴上的截距互为相 反数的直线方程为（）．．．A. x y 1 0或 3x 2y 0B. x y 5 0C. x y 1 0D. x y 5 0或 3x 2y 08.一个棱长为 5cm 的表面涂为红色的立方体，将其适合切割成棱长为1cm 的小正方体， 则两 面涂色的小．．．．正方体的个数为（） A. 12B. 24C. 36D. 489. 如图是某正方体的平面睁开图，则在这个正方体中：①AF 与 BM 成60 角. ② AF 与 CE 是异面直线 .③BN DE.④平面 ACN // 平面 BEM .以上四个命题中，正 确命题的个数是（）．．A. 4B. 3C. 2D. 1高一数学（共 4页，第 1页）10.已知数列a n 的前 n 项，前 2n 误的是（）项，前 3n 项的和分别为 a ， b ， c ，则以下说法错．．A. 若 a n 是等差数列，则3b 3a cB.若 a n 是等差数列，则 a, b a, c b 也为等差数列C. 若 a n 是等比数列，则 a 2b 2 ab acD.若 a n 是等比数列，则 a, ba, c b 也为等比数列11. 已知直线 l 过点 P(1,3) ，交 x 轴， y 轴的正半轴分别为 A ， B 两点，则 PA PB 的最大值为（）A. 6B. 3C. 3D. 612.在锐 角三角形 ABC 中， sin A k cos B cos C k 为常数 ， 则 tan Btan C 的取值范围是（）．．A.0, kB.0,1 k 2k 2C. 1，D. k,44二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在答卷横线上 )13. 已知 ?ABC 中， A(5 ， 0)， B(3 ， 3 )， C(0， 2)，则 BC 边上的高所在直线的方程为；14. 数列a n 的前 n 项和为 n ，且 S 2 2a n ，则 an；S n15．某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体积 为；16. 在平 面四边形 ABCD 中， CD= 6 ，对角线 BD= 83 ， BDC 90 sin A3则对角线 AC 的最大值．．2为．高一数学（共 4页，第 2页）三、解答题（17 题 10 分， 18～22 每题12 分，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知数列a n是等差数列，a1 3 ，前三项和为15.数列b n 是等比数列，公比为2，前五项和为 62．．．．．（）1 求数列 a n ， b n的通项公式；（）2 求数列 a n b n的前 n 项和．.81 在 ?ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为a, b, c，且 A ，B，C 成等差数列， acos A bcosB ．．．（1）求cosA的值；（2）若a5，求?ABC的面积．.91如图，一辆汽车在一条水平的公路上向西行，到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北30°的方向上，行驶 10km 后抵达 B 处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°．（注：山高 CD平面ABC）．（1）求直线DA与平面ABC所成角的正切值；（2）求二面角 D AB C 的正切值．高一数学（共4页，第 3页）20.如图，已知直线l1∥ l2，A为l1，l2之间的定点，而且 A 到的 l1，l2距离分别为 2， 3，点 B，C 分别是直线 l1，l2上的动点，使得BAC . 过点 A 做直线 DE⊥l1，交l1于点 D，交l2于点 E，设 ACE.（1）当90 时，求 ?ABC 面积的最小值；（2）当60 时，求 ?ABC 面积的最小值．21. 如图，在矩形 ABCD 中， AB= 3，AD= 6，点 E，F 分别在 AD ， BC 上，且 AE= 1， BF= 4，沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形A EFB，使点B在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上．（1）求证：平面 B CD 平面 BHD ；（2）求证：AD//平面BFC（3）求直线HC 与平面A ED所成角的正弦值．.2已知数列 a 是正项数列，知足 a a a 2 3 a 3 a 3．an 1 2 n 1 2 n（1）求数列a n的通项公式；（2）求证：数列a 1 的前 n 项和T n 3 ；a4n n 2a n1 2（3）若 0 1， b n 2 ，求证：11 1 1 1 ．1 1b 2 3 b n 4b b高一数学（共4页，第 4页）。

成都七中2013—2014学年度下期高一数学期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）【试卷综析】注重对基本知识和基本技能的考察：试题利用选择、填空、解答三种题型，全面考察了这一阶段学习的高中数学的基本知识和基本技能，考查了数形结合的思想方法；注重能力考查，在知识中考能力，试题体现考虑基础的一面，但并没有降低对能力的要求，靠单纯的记忆公式就能解决的问题不多，而是将数学思想、数学素质、能力融入解题过程中。

试题通过不同的数学载体全面考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力. 选择题（共50分）1.已知()11,sin ,cos ,,2a b a a 骣琪==琪桫且//a b ，则锐角a 等于（ ）. A. 030 B. 045 C. 065 D. 075 【知识点】向量共线定理的坐标运算.【答案解析】B 解析 ：解：∵//a b ，∴11sin cos 0,2a a ?=，化为sin2α＝1．∵a 是锐角，∴()0020180a Î，．∴0290a =，解得a =045．故选：B ．【思路点拨】利用向量共线定理的坐标运算即可得出．2.已知A ，B ，C 是直线l 上三点，M 是直线l 外一点，若,MA xMB yMC =+则,x y 满足的关系是（ ）A. x y +?0B. 1x y +>C. 1x y +<D. 1x y += 【知识点】向量共线的基本定理.【答案解析】D 解析 ：解：因为A ，B ，C 是直线l 上三点，所以A ，B ，C 三点共线，则有AB k BC =，又因为,AB MB MA BC MC MB =-=-，由以上三个式子联立可以得到：()MB MA k MC MB-=-，整理可得()()1MA k MB k MC =++-，而已知条件当中有,MA xMB yMC =+由此可得1,x k y k =+=-，故1x y +=，故选D.【思路点拨】先借助于A ，B ，C 三点共线，则有AB k BC =，然后用k 表示出MA 进而比较可得1x y +=.3.已知2241a b +=，则ab 的最大值是（ ）A ．12 B. 14 C. 13 D. 18【知识点】基本不等式.【答案解析】B 解析 ：解：因为2241a b +=，所以()()22222111412222224a b a b ab a b ++=４=?，故选B.【思路点拨】利用基本不等式直接求最大值即可.4.已知0a b +>，0c >，则()14a b c a b c 骣琪+++琪+桫的最小值是（ ） A.5 B.6 C.8 D.9【知识点】基本不等式.【答案解析】D 解析 ：解：把原式变形()()1414a b c a b c a b c a b c 骣骣轾琪琪+++=+++琪琪臌++桫桫()45a b ca b c +=+++，又因为0a b +>，0c >，所以利用基本不等式可得()455549a b c a b c +++?+=+，故选D.【思路点拨】把原式变形后利用基本不等式直接求最大值即可.5.设变量,x y 满足约束条件0121x y x y x y ì-?ïï+?íï+?ïî，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ） A ．32 B ．1 C ．12 D ．2【知识点】简单的线性规划.【答案解析】B 解析 ：解：先根据约束条件画出可行域，当直线2z x y =+过点11,33A 骣琪琪桫时，z 最小值是1，故选B ． 【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．6.平面上,,A B C 三点不共线，O 是不同于,,A B C 的任意一点，若()()0OB OC AB AC -+=，则ABC D 的形状是（ ）A.等腰DB.Rt DC.等腰直角DD.等边D 【知识点】向量的基本运算；中垂线定理.【答案解析】A 解析 ：解：根据题意画出图形为ABC D ，设BC 中点为E 点，O 是不同于,,A B C 的任意一点，()()0OB OC AB AC -+=，即20CB AE?,所以AE 是BC 的中垂线,所以AB AC =,故ABC D是等腰D ，故选A. ECB【思路点拨】画出图形后利用已知条件得到20CB AE ?，然后再利用中垂线的性质即可.7.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位cm ）可得这个几何体的体积是（ ）A. 433cmB. 833cm C.33cm D.43cm【知识点】三视图的应用;空间几何体的体积.【答案解析】B 解析 ：解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD 为边长为2cm 的正方体，OE ⊥CD 且E 是CD 的中点，所以棱锥的高OE=2cm ．所以四棱锥的体积为23182233cm 创＝．故选B ．【思路点拨】由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．8.如果将OA=1,2桫绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB ，则OB 的坐标是（ ）A.12骣琪-琪桫B.12-桫C. (-D. 12骣琪-琪桫【知识点】向量间的关系；点的对称性.【答案解析】D 解析 ：解：因为OA =122琪琪桫所在直线的倾斜角为030，绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB 所在直线的倾斜角为0150，所以,A B 两点关于y 轴对称，由此可知B点坐标为122骣琪-琪桫，故OB的坐标是122骣琪-琪桫，故选D.【思路点拨】将OA=1,2桫绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB 后可得,A B 两点关于y 轴对称，据此可得结果.9.设001cos662a =-，0202tan131tan 13b =+,则有（ ） A. a b < B. a b > C. a b ³ D. ,a b 的大小关系不确定【知识点】两角差的正弦公式；万能公式；正弦函数的单调性.【答案解析】A 解析：解：因为0001cos66sin 24,2a =-=00202tan13sin 261tan 13b ==+，由正弦函数的单调性可知0sin 24sin 26<，故选A.【思路点拨】先把两个三角式化简，再利用正弦函数的单调性即可.10.如图，在直角梯形ABCD 中，1,2DA AB BC ===点P 在阴影区域（含边界）中运动，则有PA BD 的取值范围是（ ）A ．1,12轾-犏犏臌 B ．11,2轾-犏犏臌 C ．[]1,1- D ．[]1,0- 【知识点】向量的坐标表示；简单的线性规划.【答案解析】C 解析：解：以BC 所在的直线为x 轴，以BA 所在的直线为y 轴建立坐标系，如下图：可得()0,0B ,()2,0C ,()0,1A ,()1,1D ,设(),P x y ,所以1PA BD x y =--+，令1z x y =--+，由几何意义可知z 表示y 轴上的负截距，可知过()0,0B 时有最大值1，与DC 重合时有最小值1-，故答案为[]1,1-.【思路点拨】建立坐标系后用坐标表示出PA BD 后再借助于线性规划求得最值. 二、填空题（共25分） 11.已知数列{}n a 为等差数列，前九项和9S =18，则5a =_________．【知识点】等差数列的前n 项和；等差数列的性质.【答案解析】2解析 ：解：()199599182a a S a +===,52a \=，故答案为：2. 【思路点拨】利用等差数列的前n 项和以及等差数列的性质找出9S 与5a 间的关系解之即可.12.如果数列{}n a 满足1111n n a a +-=，11a =，则2014a =_________ ． 【知识点】 等差数列的通项公式；等差数列的定义.【答案解析】12014解析 ：解：因为11a =，1111n n a a +-=，所以数列1n a 禳镲睚镲铪是以1为首项，1为公差的等差数列，则有()()1111111n n d n n a a =+-=+-?，所以201412014a =，即201412014a =，故答案为12014.【思路点拨】由等差数列的定义可得数列1n a 禳镲睚镲铪是等差数列，然后求其通项公式再求结果即可.13.圆柱形容器内盛有高度为4cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm.【知识点】组合几何体的面积、体积问题．【答案解析】2解析 ：解：设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得32243463r r r rp p p ?创＝，解得2r =．故答案为：2.【思路点拨】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可． 14.在等比数列{}n a 中，1234561,3a a a a a a ++=++=，则该数列的前9项的和等于_____ ．【知识点】等比数列的性质. 【答案解析】13解析 ：解： 因为()34561233a a a q a a a ++=++=，1231,a a a ++=所以33q =，而()3789456339a a a q a a a ++=++=?，所以该数列的前9项的和()()()912345678913913S a a a a a a a a a =++++++++=++=，故答案为:13.【思路点拨】利用已知条件先求得789a a a ++，再求该数列的前9项的和即可.15.=_____ ．【知识点】诱导公式；二倍角的余弦公式的逆用；辅助角公式.2020=()0000000000sin 45cos5cos 45sin5cos5sin5cos 40cos 40cos 40++===【思路点拨】借助于三角公式进行化简即可. 三、解答题（共75分）16. ABC D 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2,b ac =且22a bc ac c +=+.（1）求A Ð的大小;（2）求sin b Bc 的值.【知识点】正弦定理；余弦定理.【答案解析】（1）60A =（2）解析 ：解：(1)2222222cos b aca bc ac c abc bc A ì=ïï+=+íïï=+-î1cos 2A ?60A ?. 6分(2)sin sin sin sin b B B Bc C ⋅=，又2b ac =，有2sin sin sin B A C =，则sin sin b B A c==分 【思路点拨】（1）利用已知条件结合余弦定理即可得到结果；（2）正弦定理结合已知条件2b ac =的变形2sin sin sin B A C =即可.17.已知()()13cos ,cos 55a b a b +=-=. （1）求tan tan a b 的值；（2）若()30,,0,2pa b p a b 骣琪+??琪桫求cos 2b的值.【知识点】两角和与差的余弦公式.【答案解析】（1）12（2）解析 ：解：(1) 1cos()5cos()3cos()3cos()5αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⇒-=+⎨⎪-=⎪⎩14sin sin 2cos cos tan tan 2αβαβαβ⇒=⇒=5分(2) 1cos()()5(0,)sin αβαβαβπ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪+∈⎩ 6分3cos()5(,0)32(,0)2αβπαβπαβ⎧-=⎪⎪⇒-∈-⎨⎪-∈-⎪⎩ 7分 4sin()5αβ-=-8分cos2cos[()()]βαβαβ=+--=12分【思路点拨】（1）把两个已知条件展开即可；（2）用a b +与a b -表示出2b 即可求cos 2b .18.已知0,a >解关于x 的不等式()22140ax a x -++<.【知识点】含参数的一元二次不等式的解法.【答案解析】不等式的解集为当01a <<，解为22x a <<；当1a >，解为22x a <<；当1a =，无解解析 ：解：方程22(1)40ax a x -++<的两根为2,2a ，1当01a <<，即22a >，解为22x a <<； 4分 2当1a >，即22a <，解为22x a <<； 8分 3当1a =，即22a =，无解； 11分综上，不等式的解集为当01a <<，解为22x a <<；当1a >，解为22x a <<；当1a =，无解 12分 【思路点拨】对参数进行分类讨论即可. 19.已知向量()1cos ,sin p a a =，向量()2cos ,sin p b b =.（1）求1p 在2p 方向上的投影；（2）求122p p +的最大值；（3）若3pa b -=，R l Î，()12nn a p p l 轾=?犏臌，12...n n S a a a =+++，求n S .【知识点】向量的数量积公式; 向量的坐标表示; 分类讨论的思想方法;等比数列求和.【答案解析】（1）cos()a b -（2）3（3）,21(1())2,22n n n S l l l l l ì=ïï=í-ï¹ï-î解析 ：解：(1)12122=cos()||p p p p p αβ⋅-在方向上的投影为3分(2)21212|2|=5+4cos()9|2|3p p p p αβ-≤⇒≤++， 当cos()1αβ-=，即当2()k k Z αβπ-=∈时，12max |2|3p p =+， 7分 (3) 12()(cos())1()23n nn n n a p p a λλαβλπαβ⎧=⋅=-⎪⇒=⎨-=⎪⎩， 9分12111()()()222nn S λλλ=+++，,211(1())22,201120=0n n n S l l l l ll l ì=ïï-ïï=构íï-ïïïî且，,21(1())2,22n n l l l l l ì=ïï=í-ï¹ï-î 12分【思路点拨】（1）利用向量的数量积公式的变形公式即可；（2）用向量的坐标表示出122p p +再求最大值即可；（3）利用分类讨论的思想方法求等比数列的前n 项和即可. 20.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-.（1）当时0,2x p轾Î犏犏臌，求()f x 的值域； （2）如果6()5f q =，263p pq <<，求cos 2q 的值；（3）如果6()5f q =，求2tan 6p q骣琪-琪桫的值.【知识点】降次公式；辅助角公式；函数的值域；两角差的余弦公式.【答案解析】（1）[1,2]-（23）14解析 ：解：（1）解：()cos 222sin(2)6f x x x x π=+=+… 2分 [0,]2x π∴∈ 72666x πππ∴≤+≤1sin(2)126x π∴-≤+≤ … 3分()f x ∴的值域为[1,2]- … 4分（2）6()5f θ=∴3sin(2)65πθ+=又263ππθ<<， ∴32262πππθ<+<∴4cos(2)65πθ+=- …5分 ∴cos 2cos[(2)]66ππθθ=+- …7分 =cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππθθ+++=431552-⋅…8分（3） 6()5f θ=∴3sin(2)65πθ+= ∴cos(2)3πθ-=3sin(2)65πθ+= …10分 ∴222sin ()1cos(2)63tan ()6cos ()1cos(2)63ππθθπθππθθ----==-+- …12分 =31153415-=+ … 13分 【思路点拨】（1）先把函数化简，然后再借助于定义域可求；（2）利用已知条件可求出sin(2),cos(2)66p p q q ++，然后代入cos 2cos[(2)]66ππθθ=+-的展开式即可；（3）利用正切式可求.21.已知数列{}n a 的前项n 和()*2324n n n S a n N =-??.（1）求证数列2nn a 禳镲睚镲铪是等差数列；（2）设n T 是数列{}4n S -的前项n 和，求n T ；（3）设()11352n nn n n c a a -++=，数列{}n c 的前项n 和为n Q ，求证2152n Q ?.【知识点】构造新数列；错位相减法；数列的单调性.【答案解析】（1）见解析（2）14(146)2n n T n =--（3）见解析解析 ：解：(1)证明：2324n n n S a =-⋅+ ① 当2n ≥时，1112324n n n S a ---=-⋅+ ②①-②得：112232n n n n a a a --=--⋅即11232n n n a a --=+⋅，等式两边同除2n 得：113222n n n n a a --=+,∴数列{}2n n a 是等差数列 …4分（2）1112324S a =-⋅+，∴12a =,由（1）113(1)222n n a a n =+-=312n - ∴3122n n n a -=⋅,∴4(34)2n n S n -=- …6分 12(4)(4)...(4)n n T S S S =-+-++-=12(314)2(324)2...(34)2n n ⋅-+⋅-++⋅-错位相减易求14(146)2n n T n =-- …8分（3）11(35)231322222n n n n n C n n -++=-+⋅⋅⋅=(35)(31)(32)2n n n n +-⋅+⋅ …9分 =2(32)(31)(31)(32)2n n n n n +---⋅+⋅ =111(31)2(32)2n n n n ---+ …12分易求n Q =011(311)2(32)2n n -⨯-+ =112(32)2n n -+ …13分显然{}n Q 单增，又1(32)2n n +>0，∴112n Q Q ≤<,即2152n Q ≤<…14分 【思路点拨】（1）由已知得到1112324n n n S a ---=-⋅+，两式相减构造新数列即可证明；（2）利用错位相减法求和即可；（3）利用函数的单调性即可证明.。

成都七中高 2026 届高一下期期末考试数学试题一. 单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 若z=2−i ,则|z−z|=（） .A. √2B. 2iC. 2D. 42. 若|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗夹角为60∘ ,且b⃗⃗⊥(a⃗−b⃗⃗) ,则|b⃗⃗|=（）.A. √32B. 1C. √3D. 23. 已知tanα=2,α为锐角,则sin(α+π4)=（） .A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10104. 将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可能为（）.A. 5π12B. π12C. 5π3D. π35. 已知α,β,γ是三个不同的平面, m,n是两条不同的直线,且α∩β=m ,给出下列四个命题: ①若m//n ,则n//α或n//β②若m⊥n ,则n⊥α或n⊥β③若α⊥β , γ⊥β ,则α//γ④若γ∩β=n,m//n ,则γ//α则上述命题中正确的个数为（）.A. 0B. 1C. 2D. 36. 同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子, 则所得点数之差绝对值小于 2 的概率为（）.A. 23B. 59C. 49D. 137. 羌族是中国西部地区的一个古老民族, 被称为“云朵上的民族”, 其建筑颇具特色. 碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑, 一般多建于村寨住房旁. 现有一碉楼, 其主体部分可以抽象成正四棱台ABCD−A1B1C1D1 ,如图,已知该棱台的体积为224 m3,AB=8 m ,A1B1=4 m ,则二面角A1−AB−C的正切值为（）.A. 3B. 3√22 C. √3 D. 328. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a =1,A =60∘ ,设 O,G 分别是 △ABC 的外心和重心,则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16二. 多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 已知 a ⃗⃗=(1,λ),b ⃗=(λ+2,3) ,则（ ）.A. “ λ=1 ” 是 “ a⃗⃗//b ⃗ ” 的必要条件 B. “ λ=−3 ” 是 “ a ⃗⃗//b ⃗ ” 的充分条件 C. “ λ=−12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的必要条件 D. “ λ=12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的充分条件 10. 已知一组样本数据 x 1,x 2,⋯,x 20,(x 1≤x 2≤⋯≤x 20) 下列说法正确的是（ ）.A. 该样本数据的第 60 百分位数为 x 12B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则其平均数大于中位数C. 若样本数据的方差 s 2=120∑x i 220i=1−25 ,则这组样本数据的总和为 100D. 若由 y i =2x i (i =1,2,⋯,20) 生成一组新的数据 y 1,y 2,⋯,y 20 ,则这组新数据的平均值是原数据平均值的 2 倍11. 如图,在长方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 中, AB =BC =2,AA ′=4,N 为棱 C ′D ′ 中点,D ′M =12,P 为线段 A ′B 上一动点,下列结论正确的是（ ）. A. 线段 DP 长度的最小值为 6√55B. 存在点 P ,使 AP +PC =2√3C. 存在点 P ,使 A ′C ⊥ 平面 MNPD. 以 B 为球心, 176 为半径的球体被平面 AB ′C 所截的截面面积为 6π 三. 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.12. 习主席曾提出 “绿水青山就是金山银山” 的科学论断, 为响应国家号召, 农学专业毕业的小李回乡创业, 在自家的田地上种植了 A, B 两种有机生态番茄共 5000 株, 为控制成本,其中 A 品种番茄占 40% . 为估计今年这两种番茄的总产量,小李采摘了 10 株 A 品种番茄与 10 株 B 品种番茄,其中 A 品种番茄总重 17 kg, B 品种番茄总重 23 kg ,则小李今年共可收获番茄约 kg .13. 已知三棱锥 A −BCD,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, △BCD 是面积为 2 的等腰直角三角形,且平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,则三棱锥 A −BCD 的外接球表面积为 .14. 在 △ABC 中, AB ⊥AC,AB =4,AC =3,P 为斜边 BC 上一动点,点 Q 满足 |PQ |=2 ,且 AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 2m +n 的最大值为 .四. 解答题: 本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, O 是 AC 的中点, E 是 AA 1 的中点,点 F 在 AB 上.(I) 当 F 是 AB 的中点时,证明: 平面 EFO// 平面 A 1D 1C ;(II) 当 F 是靠近 B 的三等分点时,求异面直线 FO 与 A 1C 所成角的余弦值.16. (15 分) 2024 年 4 月 26 日, 主题为“公园城市、美好人居” 的世界园艺博览会在四川成都正式开幕, 共建成 113 个室外展园, 涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格, 吸引了全球各地游客前来参观游玩. 现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了 50 名游客, 统计他们的参观时间 (从进入至离开该展园的时长, 单位: 分钟, 取整数),将时间分成[45,55),[55,65),⋯,[85,95]五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(I) 求图中a的值;(II) 由频率分布直方图, 试估计该展园游客参观时间的第 75 百分位数 (保留一位小数);(III) 由频率分布直方图,估计样本的平均数x(每组数据以区间的中点值为代表).17. (15 分) 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛, 并约定规则如下: 在每个回合中, 若发球方赢球, 则得 1 分, 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球, 则双方均不得分, 且下一回合交换发球权; 比赛持续三回合后结束, 若最终甲乙得分相同, 则为平局.,各回合比赛结果相互独立,第一回合由甲发球.已知在每回合中,甲获胜的概率均为23(I) 求甲至少赢 1 个回合的概率;(II) 求第二回合中有选手得分的概率;(III) 求甲乙两人在比赛中平局的概率.18. (17 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a =4,c =2 , asinA +csinC =2bsinB.D 是线段 AC 上的一点,满足 AD =13AC ,过 D 作一条直线分别交射线 BA 、射线 BC 于 M 、N 两点.(I) 求 b ,并判断 △ABC 的形状;(II) 求 BD 的长;(III) 求 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.19. (17 分) 如图,斜三棱柱 A 1B 1C 1−ABC 中, ∠ABC =90∘ ,四边形 ABB 1A 1 是菱形, D 为 AB 中点, A 1D ⊥ 平面 ABC ,点 A 1 到平面 BCC 1B 1 的距离为 √3,AA 1 与 CC 1 的距离为 2 . (I) 求证: CB ⊥ 平面 ABB 1A 1 ;(II) 求 A 1C 与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦值;(III) 若 E,F 分别为 AA 1,AC 的中点,求此斜三棱柱被平面 B 1EF 所截的截面面积.。

2019-2020学年成都七中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数为上的减函数，则满足的实数的取值范围是()A. B.C. D.2.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()．A. B. − C. ± D. −3.已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β.②若m//α，n//α，则m//n，③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β.④若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β，其中真命题有()A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④4.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−2sin2x−m在[0,π2]上有两个零点，则实数m的取值范围是()A. [1,√2)B. [1,√2]C. (1,√2)D. [1,+∞)5.如果直线y=2x−1和y=kx互相垂直，则实数k的值为()A. 2B. 12C. −2 D. −126.设x，y满足约束条件{x+3y≤3x−y≤1x+y≥1，则z=x+2y的最大值为()A. 3B. 2C. 1D. 527. 已知{a n }是等差数列，a 1=−9，S 3=S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 8. 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a =bcosC +csinB ，且sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC ，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 9. 已知函数f(x)={ln(−x),x <0x e x−1．x ≥0，若方程[f(x)]2+mf(x)−m(m +1)=0有四个不等的实数根，则m 的取值范围是( )A. −1≤m <45B. m ≤−1或m >1C. m =−1或m >1D. m =−1或0<m <1 10. 若f(x)=4sin(2x +2π3)在[−π12,θ]上的值域为[−2,4]，则θ的值是( ) A. 0 B. π12 C. π6 D. π4 11. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，则( )A. a,b,c 依次成等差数列B. a,b,c 依次成等比数列C. a,c,b 依次成等差数列D. a,c,b 依次成等比数列12. 在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚．现有直径为2m 的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚．设正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于______ ．14. (理科做)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2AA 1，则直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，则两圆的位置关系为(1)(填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，它们的公切线条数为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R))的值；(I)求f(3π8(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．17.在四棱锥P−ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．(Ⅰ)求证：BE//平面APD；(Ⅱ)求证：BC⊥平面PBD．18.如图，鱼雷快艇在A处发现正北方向上有一敌舰在B处以30nmile/ℎ的速度朝正东北方向行驶，此时立刻发射鱼雷，鱼雷速度50nmile/ℎ，且经过th后在C处击中敌舰，求鱼雷发射方向与正北方向的夹角α的正弦值．(n≥2,n∈N)，首项为a1>1．19.已知数列{a n}满足a n=4a n−1−6a n−1−1(1)若a1>a2，求a1的取值范围；(n∈N∗)，当2<a1<3时，求证：数列{b n}是等比数列；(2)记b n=a n−3a n−2(3)若a n>a n+1(n∈N∗)恒成立，求a1的取值范围．20.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=3×2n−3，其中n∈N∗．(I)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)数列{b n}为等差数列，T n为其前n项和，b2=a5，b11=S3，求T n的最值．21.在平面内，已知圆P经过点F(0,1)且和直线y+1=0相切．(1)求圆心P的轨迹方程；(2)过F的直线l与圆心P的轨迹交于A、B两点，与圆M：(x−1)2+(y−4)2=4交于C、D两点，若|AC|=|BD|，求三角形OAB的面积．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查函数单调性的应用，绝对值不等式.属于中档题．解：因为函数为上的减函数，且满足，那么：，解不等式有：．故选．2.答案：B解析：如图，∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤，当∠AOB=时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d=．设AB方程为y=k(x−)(k<0)，即kx−y−k=0．由d==，得k=−.(也可k=−tan∠OPH=−).3.答案：B解析：解：α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，①，若m⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质定理可得α//β，故①正确；②，若m//α，n//α，可得m//n或m，n相交或异面，故②错误；③，若m⊂α，m⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故③正确；④，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，若α⊥β，可得m⊥β，若α、β相交，则m⊥β不成立，故④错误．可得①③正确，②④错误．故选：B．由垂直于同一直线的两个平面平行，可判断①；由线面平行的性质和线线的位置关系可判断②；由面面垂直的判定定理可判断③；由面面垂直的性质定理可判断④．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的性质，利用函数的零点求参数的取值范围，属于中档题．首先把三角函数式通过恒等变换转化成正弦型函数，进一步利用函数的零点转化成求方程的根，最后通过求y1=m与y2=(sinx+cosx)2−2sin2x有两个交点，求出参数的范围．解：已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−2sin2x−m在[0,π2]上有两个零点，即方程f(x)=0在[0,π2]上有两个实根．即：设函数y1=m与y2=(sinx+cosx)2−2sin2x有两个交点，y2=(sinx+cosx)2−2sin2x=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，x∈[0,π2]，π4≤2x+π4≤5π4，根据函数的图象求得：1≤m<√2，故选：A．5.答案：D解析：解：∵直线y=2x−1和y=kx互相垂直，∴2k=−1，解得k=−12．故选：D利用直线垂直的条件求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．6.答案：D解析：解：x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≤1x +y ≥1的可行域如图：当目标函数经过图中A 时使得z 最大；由{x +3y =3x −y =1得到A(32,12)， 所以z 最大值为32+2×12=52；故选：D ．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 7.答案：B解析：试题分析：，令，所以前5项和最小 考点：等差数列求和求通项点评：本题还可求出前n 项和，再求其取得最值的条件 8.答案：C解析：本题考查三角形形状的判定，考查正弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．由a =bcosC +csinB ，利用正弦定理化边为角，求得B =π4；由sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC 再由正弦定理化角为边，求得A =π4，则答案可求．解：由a =bcosC +csinB ，由正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ，即sin(B +C)=sinBcosC +sinCsinB ，∴sinBcosC +cosBsinC =sinBcosC +sinCsinB ，得cosBsinC =sinCsinB ，∵sinC ≠0，∴sinB =cosB ，即tanB =1．又B ∈(0,π)，∴B =π4；又sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC ， 由正弦定理得a 2=b 2+c 2−√2bc ，即√2bc =b 2+c 2−a 2，又b 2+c 2−a 2=2bc ⋅cosA ，∴√2bc =2bc ⋅cosA ，得cosA =√22， 又A ∈(0,π)，∴A =π4．则C =π−π4−π4=π2．即△ABC 的形状为等腰直角三角形．故选：C ． 9.答案：D解析：解：作出函数f(x)的图象如图：令t =f(x)，由图可知，当t <0或t >1时，方程f(x)=t 有1解；当t =0或t =1时，方程f(x)=t 有2解；当0<t <1时，方程f(x)=t 有3解．若方程[f(x)]2+mf(x)−m(m +1)=0有四个不等的实数根，则方程t 2+mt −m(m +1)=0必有两个不等的实数根，∴△=m 2+4m(m +1)>0，解得m >0，或m <−45．不妨设这两个根为t 1<t 2且t 1<t 2，则{t 1=0t 2=1或{t 1<00<t 2<1或{0<t 1<1t 2>1， 令g(t)=t 2+mt −m(m −1)，则{m(m −1)=01+m −m(m −1)=0或{m(m −1)>01+m −m(m −1)>0或{m(m −1)<01+m −m(m −1)<0， 解得0<m <1或m =−1．故选D ．作出f(x)的函数图象，得出方程f(x)=t的解得个数，从而确定关于t的方程t2+mt−m(m+1)=0的解得分布情况，根据二次函数的性质列出不等式解出m的范围．本题考查了方程的解与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．10.答案：D解析：解：因为f(x)=4sin(2x+2π3)；且x∈[−π12,θ]⇒2x+2π3∈[π2,2θ+2π3]；∵值域为[−2,4]，则2θ+2π3=5π6⇒θ=π4；故选：D．根据x的范围求出2x+2π3的范围；再结合正弦函数的图象和性质即可解题本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力，需要熟练掌握三角函数的图象和性质．11.答案：B解析：解：因为sin A、sin B、sin C依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列．本题考查等比中项的性质，以及正弦定理的应用，属于基础题．12.答案：C解析：解：设△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=30°，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α．要使S△ABD最大，只需DF最大．在△CFD中，CFsin30∘=DFsin(150∘−α)．∴DF=CF⋅sin(150°−α)sin30∘．∵CF为定值，∴当α=60°时，DF最大．故圆面与阴影面所成角的大小为60°．故选：C．设△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，为了使遮阴影面ABD的面积最大，作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α，进而可知要使S△ABD最大，只需DF最大．利用正弦定理求得DF的表达式，利用正弦函数的性质求得圆面与阴影面所成角的大小．本题考查解三角形的实际应用、正弦定理、立体几何的应用，考查三角形、正弦定理、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．13.答案：725解析：根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cosθ−5sinθ=1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2θ的值，然后根据θ的范围求出2θ的范围即可判断出cos2θ的正负，利用同角三角函数间的基本关系由sin2θ即可求出cos2θ的值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．本题的突破点是将已知的两等式两边平方．解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．∴5cosθ−5sinθ=1，∴cosθ−sinθ=15．∴两边平方得：1−sin2θ=125，∴sin2θ=2425．∵θ是直角三角形中较小的锐角，∴0<θ<π4,0<2θ<π2．∴cos2θ=√1−sin 22θ=725． 故答案为 725．14.答案：√55 解析：解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2AA 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =BC =2AA 1=2，则A(2,0，0)，C 1(0,2，1)，B 1(2,2，1)，C(0,2，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，1)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，−1)，设直线AC 1与B 1C 所成角为θ，则cosθ=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√9⋅√5=√55． ∴直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为√55． 故答案为：√55． 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：相交2解析：解：圆C 1：x 2+y 2+2x +2y −2=0，可化为(x +1)2+(y +1)2=4，其圆心坐标C 1(−1,−1)，半径为2，圆C 2：x 2+y 2−4x −2y +1=0，可化为(x −2)2+(y −1)2=4，其圆心坐标C 2(2,1)，半径为2， 又|C 1C 2|=√(2+1)2+(1+1)2=√13<2+2=4，．则两圆的位置关系为：相交，故它们的公切线有2条．故答案为：相交；2．依题意可求得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径，计算两圆心之间的距离即可得到答案．本题考查圆与圆的位置关系的判定，分别求得两圆的圆心坐标与半径是判断的关键，属于中档题．16.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=1+cos2x2+12sin2x=√22(√22sin2x+√22cos2x)+12 =√22sin(2x+π4)+12∴f(3π8)=√22sinπ+12(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2∴2kπ−3π4≤2x≤2kπ+π4，即kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)时，f(x)单调递增．∴f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)解析：本题考查二倍角的正弦与余弦，考察辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的单调性，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角的正弦与余弦和辅助角公式将f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)化简为：f(x)=√2 2sin(2x+π4)+12.即可求f(3π8)的值；(Ⅱ)由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2即可求得f(x)的单调递增区间．17.答案：证明：(1)取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，∴EF//CD，且EF=12CD=1，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，∴EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，∴BE//AF，BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE//平面PAD(2)平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD在直角梯形ABCD中，BD=BC=√2,DC=2，∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．解析：(1)取PD 的中点F ，连结EF ，AF ，证明EF//CD ，EF//AB ，推出BE//AF ，通过直线与平面平行的判定定理证明BE//平面PAD ．(2)证明DB ⊥BC.PD ⊥BC ，然后证明BC ⊥平面PBD ．本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力． 18.答案：解：由题可得，在△ABC 中，∠ABC =135°，AC =50t ，BC =30t ，由正弦定理，得30t sinα=50t sin135∘，得sinα=3√210． 解析：根据示意图，直接利用正弦定理即可得到答案．本题主要考查解三角形的实际应用，属于基础题．19.答案：(1)解：∵a 2=4a 1−6a 1−1， ∴由a 1>a 2，即4a 1−6a1−1−a 1<0，∴a 12−5a 1+6a 1−1>0，∵a 1>1，∴a 12−5a 1+6>0，(2分)∴a 1>3或1<a 1<2；(4分)(2)证明：由b n =a n −3a n −2=4a n−1−6a n−1−1−34a n−1−6a n−1−1−2=12⋅a n−1−3a n−1−2=12b n−1(6分) ∵b 1=a 1−3a 1−2≠0 ∴{b n }是等比数列，且b n =(12)n−1⋅b 1(10分) (3)解：由(1)有a 1>3或1<a 1<2.于是b 1=a 1−3a 1−2>0， 由(2)可知b n =(12)n−1⋅b 1，又b n =a n −3a n −2，得a n =11−b n +2，(12分) 故a n+1−a n =11−b n+1+2−11−b n+1+2=b n+1−b n (1−b n+1)(1−b n ) =⋯=−(12)n b 1[1−(12)n ⋅b 1][1−(12)n−1⋅b 1]<0.(14分) 所以[1−(12)n ⋅b 1][1−(12)n−1⋅b 1]>0，从而0<b 1<2n−1或b 1>2n 恒成立．因此0<b 1<1，(16分)即0<a 1−3a 1−2<1，则a 1的范围为a 1>3.(18分)解析：(1)先求出a 2，利用a 1>a 2，a 1>1，即可求出a 1的取值范围；(2)由b n =a n −3a n −2，代入条件，利用等比数列的定义，即可证明； (3)利用a n+1−a n >0，确定b 1的范围，即可确定a 1的范围．本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ) 由S n =3×2n −3，(i)当n =1时，a 1=S 1=3×2−3=3，(ii)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3×2n −3)−(3×2n−1−3)=3×2n−1(∗)其中，n =1时，a 1=3也满足(∗)式，所以，对任意n ∈N ∗，都有a n =3×2n−1；(Ⅱ)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，b 2=a 5=3×24=48，b 11=S 3=3×23−3=21，由等差数列的通项公式得，{b 2=b 1+d =48b 11=b 1+10d =21，解得{b 1=51d =−3， 所以b n =54−3n ；可以看出b n 随着n 的增大而减小，b 1=51>0，令b n =0，解得n =18，所以T n 有最大值，且T 18(或T 17)为前n 项和T n 的最大值，且T 18=18(b 1+b 18)2=9×(51+0)=459．解析：(Ⅰ) 运用数列的递推式：(i)当n =1时，a 1=S 1，(ii)当n ≥2时，a n =S n −S n−1，计算可得所求通项公式；(Ⅱ)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，运用等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，讨论b n 随着n 的增大而减小，可得所求和的最大值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的前n 项和的最值，注意分析数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)设圆心P(x,y)，由圆P 经过点F(0,1)且和直线y +1=0相切，可得√x 2+(y −1)2=|y +1|，两边平方化简得x 2=4y ；(2)显然直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，由于l 过焦点F(0,1)，所以直线l 的方程为y =kx +1，取CD 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥CD ，由于|AC|=|BD|，所以N 点也是线段AB 的中点，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、N(x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，由{x 2=4y y =kx +1得x 2−4kx −4=0，所以x 1+x 2=4k ， ∴x 0=2k ，y 0=2k 2+1，即N(2k,2k 2+1)，∵k MN =−1k ，即(2k 2+1)−42k−1=−1k ， 整理得2k 3−k −1=0，即(k −1)(2k 2+2k +1)=0，∴k =1，∵|AB|=y 1+y 2+2=(x 1+1)+(x 2+1)+2=8，原点到直线AB 的距离为d =√2=√22， ∴S △OAB =12⋅|AB|⋅d =2√2． 解析：本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和两点距离公式，考查三角形的面积的求法，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、抛物线的定义，考查运算能力，属于中档题．(1)设圆心P(x,y)，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，平方后化简整理可得P 的轨迹方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +1，取CD 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥CD ，由直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得N 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，求得k ，|AB|，再由三角形的面积公式计算可得所求值．。

四川省成都市七中育才学校高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得的试验数据中，变量x 和y的数据的平均值都相等，且分别都是s、t，那么下列说法正确的是A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)； B．必有直线l1∥l2；C．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)； D．l1和l2必定重合．参考答案：A略2. 已知全集，集合，集合，则=（）A． B． C． D．参考答案：A【解析】∵集合,，∴全集,∴,故选A．3. 函数与的图象关于直线对称，则a可能是（）A. B. C. D.参考答案：A 结合下图可得当时，，故A成立．4. 关于函数，下列说法错误的是（）A. f(x)是奇函数B. f(x)是周期函数C. f(x)有零点D. f(x)在上单调递增参考答案：B【分析】根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；，选项C正确；求，判断选项D正确.【详解】，则为奇函数，故A正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B错误；因为，在上有零点，故C正确；由于，故在上单调递增，故D正确.故选B.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.5. 设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．9参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6. 若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．（4，8）D．[4，8）参考答案：D【考点】分段函数的应用；函数单调性的判断与证明．【分析】若对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则函数f（x）=在R上单调递增，进而可得答案．【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得：a∈[4，8），故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．7. 若向量, ,，则等于( )A. B.+ C. D.+参考答案：A略8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )A. B.C. D.参考答案：B【分析】记点正下方为，在与，根据题中数据，分别求出，即可得出结果.【详解】记点正下方为，由题意可得，，，在中，由，得到；在中，由得到，所以河流的宽度等于米.故选B【点睛】本题主要考查解三角形，熟记特殊角对应的三角函数值，已经两角和的正切公式即可，属于常考题型.9. 已知函数，若f（x0）=2，则x0=（）A．2或﹣1 B．2 C．﹣1 D．2或1参考答案：A【考点】函数的值．【分析】利用分段函数性质求解．【解答】解：∵函数，f（x0）=2，∴x0≤0时，，解得x0=﹣1；x0＞0时，f（x0）=log2（x0+2）=2，解得x0=2．∴x0的值为2或﹣1．故选：A．10. （3分）若直线ax+by+c=0（a，b，c都是正数）与圆x2+y2=1相切，则以a，b，c为边长的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定参考答案：B考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆相切的性质可得=1，化简可得 a2+b2=c2，故以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．解答：由直线ax+by+c=0（a，b，c都是正数）与圆x2+y2=1相切，可得=1．化简可得 a2+b2=c2，故以a，b，c为边长的三角形是直角三角形，故选B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过一分钟，该物体位于点，且，则的值为________．参考答案：略12. 函数的增区间是▲ ；值域是 ▲ .参考答案：（2,4）[－2,+∞)13. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）是幂函数，且图象过点，则f（x ）在R 上的解析式为 ．参考答案：【考点】幂函数的性质．【分析】由题意设当x ＞0时，f （x ）=x α（α是常数），把点代入解析式求出α的值，即可求出x ＞0时的解析式，设x ＜0则﹣x ＞0，利用奇函数的性质求出x ＜0、x=0时的解析式，利用分段函数表示出来．【解答】解：由题意设当x ＞0时，f （x ）=x α（α是常数）， 因为当x ＞0时，图象过点，所以f （3）=3α=，解得，则当x ＞0时，f （x ）=，设x ＜0，则﹣x ＞0，即f （x ）=，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以f （﹣x ）=﹣f （x ）=，且x=0时，f （0）=0，所以，故答案为：．14. 已知.若,则 ；若的夹角为钝角,则的范围为 ．参考答案：15. 若，则的值等于_______________．参考答案：16. 函数定义域为_____________________。

2022-2023学年度下学期期末考试高一数学试卷考试时间：2023年6月27日上午8：00-10：00试卷满分：150分注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，复数2z i =+，则z i ⋅的虚部为（）A ．1B ．2C ．iD ．2i的夹角为（）A ．23πB ．2πC ．3πD ．6π7.在边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,,AED BEF DCF ∆∆∆分别沿,,DE EF DF 折起，使,,A B C 三点重合于点A '，则A '到平面EFD 的距离为（）A ．1B ．23C ．43D ．28.已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12．将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（）A ．10B ．10.6C ．12.6D ．13.6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（）A ．平均来说乙班比甲班防守技术好B ．乙班比甲班防守技术更稳定C ．乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差D ．甲班很少不失球10.已知x C ∈（全体复数集），关于x 的方程()220t t x x R +=∈+的两根分别为12,x x ，若12||22x x -=，则t 的可能取值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．411.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，加入以下哪个选项作为已知条件，可以唯一确定ϕ的值（）A ．(0)1,2f A =-=B ．125,1212x x ππ==C ．212x x =D ．214x x =12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP m AB n AD =+，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A ．当n =1时，对任意[]0,1m ∈，CP ∥平面ABB 1A 1恒成立B ．当m =0，21=n 时，B 1P 与平面ABC 1D 1所成的线面角的余弦值为36C ．当1m n +=时，111A C B P ⊥恒成立D ．当1m n +=时，PA +PC 的最小值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年四川省成都市第七中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a c b c +≥- B ．2()0a b c -≥ C ．ac bc > D ．b bc a a c+≤+ 【答案】B【解析】根据不等式性质确定选项. 【详解】当0c <时，a c b c +≥-不成立；因为20,0c a b ≥->，所以()20a b c -≥；当0c <时，ac bc >不成立； 当0c <时，b b c a a c+≤+不成立； 所以选B. 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.2．直线210mx y --=与直线2310x y 垂直，则m 的值为（ ） A ．3 B ．34-C ．2D ．3-【答案】A【解析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由于直线210mx y --=与直线2310x y 垂直，所以()2230m ⨯+-⨯=，解得3m =.故选：A 【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的条件，属于基础题.3．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B【解析】试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱． 【考点】由三视图还原几何体.4．在△ABC 中，a ＝3b ＝3，A ＝3π，则C 为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】C【解析】由正弦定理先求出B 的值，然后求出结果 【详解】 在ABC 中，33,3,3a b A π===33sin 12sin 233b A B a ∴=== b a <，则6B π=362C A B πππππ∴=--=--=故选C 【点睛】本题运用正弦定理解三角形，熟练运用公式即可求出结果，较为简单。

成都七中高2025 届高一下期期末考试数学参考答案一、单选题：1-4B A C A5-8D C D A 二、多选题：9.ABC 10.AD11.AD 12.ACD三、填空题：13.314.3315.km 195（可不带单位）16.322四、解答题17.（本小题满分10分）【解】（1）()21i +=a z ，i 342-=z ，21i z z =，()i 43i 21i 22+=+-=+∴a a a ，从而⎩⎨⎧==-42312a a ，解得2=a ，所以2的值为a .……………………………………………………………………分5（2）依题意得：()()()()()25i 38346425i 341i 2i 34i 222221-++--=+-+=-+=a a a a a a a z z ，因为21z z 是纯虚数，所以⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--0383046422a a a a ，解得212-==a a 或.………………分1018.（本小题满分12分）【解】（1）函数()3sin cos cos sin 3222--+-=x x x x x f ，即()332cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ，所以()x f 的最小正周期为：ππ==22T .………分6（2）()2332cos 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒=πx x f ，因为是三角形的内角x ，所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+⇒∈37,3320ππππx x ，，所以6133261132ππππ=+=+x x 或，即121143ππ==x x 或，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧1211,43ππ，的集合为x .……………………………分12（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=．所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为::604032=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为:32．……分1221.（本小题满分12分）【解析】（1）中ABD ∆，由余弦定理：25cos 2222=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB ，得5=AB ，所以252==AB AC ．……………分5（2）在中ABD ∆，由正弦定理：BADBD ADB AB ∠=∠sin sin ，则ADB BAD AB ∠=∠⋅sin 62sin ．又ADB ADB BD AD BD AD AB ∠-=∠⋅-+=cos 61233cos 2222，且DAC BAD ∠+=∠2π，在DAC ∆中，由余弦定理：BADAB AB DAC AC AD AC AD CD ∠⋅-+=∠⋅⋅-+=sin 2629cos 22222()()ϕ+∠-=∠+∠-=ADB ADB ADB sin 7275sin cos 232475，且2tan =ϕ，所以当()1sin =+∠ϕADB 时，最小值3=CD ．………………………………分1222.（本小题满分12分）【解】（１）设D AC 中点为，则ABC D A 平面⊥1，，11111A ACC ABC A ACC D A 平面平面平面⊥∴⊂ 所以二面角1C AC B --的正弦值为１．……分3（２）1111111AC BC A ACC BC ACBC AC A ACC ABC A ACC ABC ⊥∴⊥∴⊥=⊥平面又平面且平面平面平面 B BC B A B A AC =⊥ 111,又，BC A AC 11平面⊥∴，C A AC 11⊥∴，从而11A ACC 为菱形，.21=∴AA 又121==AC AD ，326011=︒=∠∴AC AC A ，从而．………分7（３）3323222131311Δ11=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==--D A S V V ABC ABC A A C BC 设1CC 到平面11A ABB 的距离为h ，则332377221313111Δ==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=-h h h S V AB A AB A C 7212=∴h ．……………………………………………………………………分12。

小金中学高一数学期末考试试卷1.选择题（ ）1.设集合A={1,2,3},集合B={-2,2},则A ∩B 等于(A) {1} (B){2}(C){-2,2} (D){-2,1,2,3}（ ）2.设a=20.3,b=0.32,c=log 20.3,则a,b,c 的大小关系为(A)a<b<c (B)b<a<c (C)c<a<b (D)c<b<a（ ）3．一扇形的面积是3π8，半径为1，则该扇形的圆心角是 A.3π16 B.3π8 C.3π4 D.3π2（ ）4．下列各角中与330°角终边相同的角是A ．510°B ．150°C ．－150°D ．－390°（ ）5．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是（ ）6．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是A ．(0，π) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π（ ）7．如果sin(π－α)＝－13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α的值为 A.13 B ．－13 C.223D ．－223 （ ）8．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为 A ．－2 B ．2 C.2316 D ．－2316( )9.函数f(x)＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)( )10.若函数f(x)=x (2x+1)(x -a)为奇函数,则a 等于(A) 12 (B)23 (C)34 (D)1( )11.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且对任意x ∈R 都有f(x+4)=f(x)+f(2),则f(2 014)等于(A)0 (B)3 (C)4 (D)6( )12.已知二次函数f(x)=ax 2-2ax+c 在[0,1]上单调递减,若f(m)≤f(0),则实数m 的取值范围是(A)(-∞,0] (B)[2,+∞)(C)[0,2] (D)(-∞,0]∪[2,+∞)2.填空题 1.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象的对称轴方程是________2.sin(π＋θ)＝45，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则θ角的终边在第________象限． 3.函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是_______．4.函数f(x)是个奇函数，当x>0时，f(x)=x+1；则x<0时，f(x)=_______．3.解答题1.化简：(1)（2） 31log 53+2.已知扇形的周长为20 cm ，面积为9 cm 2，求扇形圆心角的弧度数3.已知sin α＝55，且α是第一象限角．(1)求cos α的值；(2)求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos (π－α)的值．4.为得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象，只要把函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换？5. 已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求tan α的值．6.求函数451()2x x y 2-++=的单调增区间7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图：(1)求其解析式；(2)写出函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的单调递减区间．。

成都七中高2026届高一下期数学期末考试参考答案一．单项选择题−14：CBDD −58：BCAB8．解析：设D 为BC 边中点，则23A A A AD O G O ⎛⎫= ⎪⎝⎭21()32A AO AC B =+()AB AO AC =+312211AB AC =+66=+b c 6()122, 在∆ABC 中,==︒a A 1,60,由余弦定理得=+−︒a b c bc 2cos 60222,∴+=+b c bc 122, 由均值不等式,+=+≥bc b c bc 1222,所以≤bc 1（当且仅当==b c 1等号成立）, 所以1111()(1)(11)6663A AG O c b bc =+=+≤+=22,故选B. 二．多项选择题9．BC 10．BCD 11．AC11．解析：A ：当⊥'AP A B 时，线段DP 长度最小，此时=AP =DP ，A 正确；B ：将面''A D CB 旋转至面'A AB 同一平面，连接AC ，此时+=AP PC AC 为最小值，=>=AC 不存在这样的点P ，故B 错误； C ：如图，取='B E 1，='B F 21，='A G 23，连接FG 交'A B 于P ，易证此时⊥'A C MN ，⊥'A C EN ，且M N E F G ,,,,五点共面．因为MN EN N =，面⊥'A C MNEFG ，所以存在这样的点P 使面⊥'A C MNP ，故C 正确； D ：以点B 为球心，617为半径的球面被面'AB C 所截的截面为圆形，记其半径为r ，则=r d 为点B 到平面'AB C 的距离．由=−−''V V B ABC B AB C 易求得B 到平面'AB C 的距离为34，解得=r 25，所以截面面积==ππS r 4252，D 错误．本题选AC 三．填空题12．1030013．π32814．+3214．解析：取AB 中点D ，则2AQ m AB nAC m AD nAC =+=+ ；连接CD 交AQ 于点E ，则()1AE AD AC λλ=+−，且()()1AQAQAQ AE AD AC λλ=⋅=⋅+−AE AE ，故+=AE m n AQ2．17．解：I ()设事件=A i “第i 回合甲胜”,事件=M “甲至少赢一回合”,故=M “甲每回合都输”.A A i i ,为对立事件,=P A i 32(),故=P A i 31)(. ……2分 =−=−P M P M P A A A ()1()1()123⎝⎭ ⎪=−=⎛⎫P A P A P A 3271=12631()()()-123， 故甲至少赢1个回合的概分为2726． ……5分(II)设事件=N “第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =，且A A 12和A A 12互斥，则=+=⋅+⋅=P N P A A P A A P A P A P A P A 9()512121212)()()()()()(, 故第二回合有人得分的概分为95. ……10分 (III)设事件=Q “甲乙两人平局”，由题可知，只有1：1与0：0两种情况， 因此13123Q A A A A A A =2， 故=+=P Q P A A A P A A A P A P A P A ()221312313)()()()()(+=P A P A P A 274123)()()(, 故甲乙两人平局的概分为274. ……15分18．解：(I)由正弦定理得，+=a c b 2,222解得=b ….…4分又因为+−=−<b c a 20222，故=<+−bcA b c a 2cos 0222，>πA 2，所以△ABC 是钝角三角形． …………6分 (II)由平面向量基本定理，BA ，BC 可作为一组基底向量，且有2BA =，4BC =，cos ,cos BA BC B <>===+−ac a c b 285222．由于1AD AC =3，所以21BD BA BC =+33． …………8分 2222212152()2cos BD BD BD BA BA BC B BC ⎛⎫=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅== ⎪33339． …………11分 (III) 由题意可设BM xBA = ，BN yBC = ．由于M ，D ，N 三点共线，可设(1)BD t BM t BN =−+，∈t 0,1)(．所以21(1)BD t x BA ty BC BA BC =−⋅+⋅=+33， 由平面向量基本定理，解得()−=t x 312 ，=ty 31 ，所以()2BM BA =−t 31 ，1BN BC =t 3 ． …………13分因此()212BM BN BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⋅t t t t 3139(1)， …………15分 而cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，因此当=t 21时，40BM BN ⋅=9为最小值． ……17分19．证明：(I)因为面平⊥A D ABC 1，面平⊂BC ABC ，故⊥A D BC 1． ……2分 又由∠=︒ABC 90，即⊥AB BC ，1AB A D D =，因此面平⊥BC ABB A 11．……5分 (II)由于菱形ABB A 11，且A D 1为AB 的垂直平分线，因此可知△A AB 1和△B A B 11均为等边三角形．由面平⊥BC ABB A 1，⊂BB 1面平ABB A 1，可得⊥BC BB 1， 结合斜三棱柱进一步可得B BCC 11是矩形． …………6分此时作⊥A P BB 11，⊥A Q CC 11，连接PQ ，PC ，A C 1．由题知，=A Q 21，面平⊂A P ABB A 111，可得⊥BC A P 1，1BC BB B =，因此⊥A P 1平面BCC B 11，因此由题知，=A P 1，⊂PQ PC 平面BCC B 11，所以也有⊥A P PQ 1，⊥A P PC 1． 因此，角成所为面平与∠A CP A C BB C C 1111． …………8分进一步，在△R A PQ t 1 中，==Q P 1 ，由矩形可知==BC PQ 1 ．一一方面，由于=A P 1△B AB 1中，可以解得=BB 21，P 为BB 1中点，=BP 1．所以，在△R BCP t 中，PC △A CP R t 1中，=A C 1∠===A C A CP A P 5sin 111，值弦正的角成所面平与A C BBC C 111． ……11分 (III)延长EF ，C C1交于点M ，连接MB 1，交BC 于N ，连接FN ，如右图，故四边形B EFN 1即为所得截面． ………12分 由上一问可知，菱形ABB A 11的边长为2，矩形B BCC 11中=BC 1，平行四边形ACC A 11中==AA CC 211，===A C A C AC 111．要计算截面B EFN 1的面积，首先研究△B EM 1．在△A B E 11中，由于∠=︒EA B 12011，由余弦定理可得=B E 1，E F 为中点，因此===EM EF A C 21，此时有==MC AE 1，在直角△MB C 11中=MB 1，N 为BC 的三等分点． …………14分因此△B EM 1中，由余弦定理可得⋅⋅∠==+−EM MB EMB EM MB EB 25cos 1121221，所以可以计算得∠=EMB 5sin 1．设截面面积为S ，由于=MF ME 21，=MN MB 311，有△△△=−=⋅⋅∠−⋅⋅∠=S S S ME MB EMB MF MN EMB S B EM NFM B EM 226sin sin 11511111因此，此斜三棱柱被平面B EF 1 ……………17分。

2022-2023学年度下学期期末考试高一数学答案一.选择题题号123456789101112答案BCDCDABDACDACDABDABC【详解】1．解析：(2)12z i i i i ⋅=-⋅=+，选B.6.解析：1a =，2b =且对t ∀∈R ，有b ta b a +≥-恒成立，数形结合可知,3a b <>=，1a b ⋅=所以22a b -== ，则2a b - 与b 的夹角余弦值为(2)122a b b a b b-⋅=-- ，答案选A.A 从平均数角度考虑是对的；B 从标准差角度考虑是错的；C 从标准差角度考虑是对的；D 从平均数和标准差角度考虑是对的.10.解析：因为2221212121212,2()()48x x t x x x x x x x x t +=-=⇒-=+-=-当280t -≥时，12||4x x t -===±；当280t -<时，1212,||0x x x x t -=-===；选ACD11.解析：当(0)1,2f A =-=时得1sin ,0226ππϕϕϕ=--<<∴=-，A 选项正确；当125,1212x x ππ==时，函数得最小正周期233πω∴=，以及12324424x x ππππϕϕ+=∴⋅+=⇒=-，，B 正确；由图像可以22121101x x x x x x πϕπωϕωϕπϕϕ-+=+=∴=⇒-+=-，，又因为210,232x x ππϕϕ-<<∴<-⇒>，所以C 错，D 对.答案：ABD12.解析：当n =1时,P 点在线段C 1D 1上,CP 包含于平面CDD 1C 1，又因为平面CDD 1C 1∥平面ABB 1A 1所以A 对；当m =0，21=n 时，P 是AD 1的中点，且B 1C 1⊥ABC 1D 1，H 是垂足，所以∠B 1PH 为所求，所以B 正确；当1m n +=时，点P 在线段1BD 上，1111AC BB D ⊥ 面，所以C 对；当1m n +=时，点P 在线段1BD 上，将11ABD BCD 平面和平面展开成平面图后，线段AC 为所求，PA PC +，答案：ABC 二.填空题13.14.2415.416.31413.解析：62222iz i z i+==+∴=-，15.解析：设△ABC 的中心为O '，三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，则当体积最大时，点D ，'O ，O 在同一直线上，且垂直于底面ABC，如图，因为△ABC为等边三角形且其面积为，所以△ABC 的边长x满足24x =，故6x =，所以'AO =，DO AO R ==，故'OO ==，故三棱锥的高DO DO OO R ''=+=，所以1(13V R +=⨯=，所以4R =.16.解析：设5(66BDE EF x ππαα∠=<<=，则BDE ∆中(3DEB DE ππα∠=-+=，由正弦定理得：sin()3,sin sin()sin333DE BD BD παπππα+=∴=⋅+，在ADF ∆中2,,36DF x A AFD ππα=∠=∠=-，同理可得sin(62sin 3AD xπαπ-=⋅因此可得2sin())(3sin cos )363AB AD BD x x x ππαααα=+=++-=+1213sin 233DEF ABC DE EF S S AB AB π∆∆⋅==⋅⋅32212213sin )333αααϕ+=+≤经检验max 3(3sin )3αα+=，则DEF ABC S S ∆∆的最小值为314.三.解答题17.（1）2(cos2cos )(sin 2sin )z z i θθθθ-=-+- ，2cos2cos 2cos cos 10,(0,)θθθθθπ∴-=--=∈，12cos 23θθπ∴=-⇒=;…………………………………………………….5分(2)3sin 12z θ∴==-+，21331313i i,4422222z z i ∴=--=--=--，21111i i 02222z z ∴++=-+--=.在复平面上对应的点分别为13((,),(0,0)22A B C ---，2CA ∴=，1CB =，AB =，由余弦定理可得2221471cos 2222CA CB AB ACB CA CB +-+-∠===-⋅⨯，且(0,π)ACB ∠∈，sin 2ACB ∴∠=，1133sin 122222ABC S CA CB ACB ∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.……………………………..10分18.（1）因为22cos 0c b a B +-=，由正弦定理可知：2sin sin 2sin cos 0C B A B +-=，sin sin(),2sin()sin 2sin cos 012cos sin sin 0(sin 0),cos 2C A B A B B A B A B B B A =+∴++-=∴+=≠∴=-又A 为三角形内角，所以23A π=;…………………………………………………..6分（2）由3,2BA AC ⋅= 得3cos 332cb bc π=⇒=，又a =ABC ∆中由余弦定理得：222222cos 9a b c bc A b c =+-⇒+=22211113,()22442AD AB AC AD b c bc =+∴=+-=所以62AD =.…………………………………………………………………………..12分因此：12补全的频率分布直方图，如图样本的平均数550.30650.40x =⨯+⨯+设80%分位数为x ，则0.03100.04⨯+⨯解得：23076.673x =≈(分);………………………………………………….……….…6（2）由分层抽样可知，第三组和第四组分别抽取分层抽样的平均值：1327255x =⨯+⨯所以这200人中分数在区间[)70,90所有人的成绩的方差为55.4.……………………….12分21.（1）设AC 的中点为O ，连接1,,OA OB 因为AB BC =，所以AC OB ⊥，又因为11//,AC A C 且111A C A B ⊥，所以1AC A B ⊥，因为1,A B OB ⊂平面1OBA ，且1A B OB B = ，所以AC ⊥平面1OBA ,因为1OA ⊂平面1OBA ，所以1AC OA ⊥,在△ABC 中，由余弦定理求得AC =则11A C AC ==因为111A C A B ⊥，所以2221111A C A B BC +=，解得1A B =,在Rt △AOA 1和Rt ABC △中，可知11,A O OB ==.在1OBA △中，22211OA OB A B +=，因此1A O OB ⊥.由(1)知，1AC OA ⊥，且,AC OB ⊂平面ABC ，且AC OB O = ，所以1A O ⊥平面ABC .因此平面1A AC ⊥平面ABC 得证……………………..6分（2）由第一问证明易得1111,A A AC AA B CA B =∆≅∆，且11AB BC AA CA ===.取1A B 的中点P ，APC ∠为二面角1A A B C --的平面角，且2AC AP CP ===2225cos 27AP CP AC APC AP CP +-∠==-⋅，所以二面角1A A B C --的平面角的余弦值为57-.….12分22.因为边BC 上的高h =，所以11sin 22bc A a =化简可得：sin sin sin 4B C A =.…………………………………………………………2分（1）sin cos 2A CB π=⇒=所以sin cos sin 263B B B B ππ=⇒==或;……………………………………6分（2）由sin sin sin sin )B C A B C B C =⇒=+所以sin sin cos cos sin ),B C B C B C =+即11tan tan tan )tan tan B C B C B C =+⇒+=且tan ,tan 0B C >11tan tantan 4tan )(tan 4tan )4)tan tan tan tan B C B C B C B C C B+=++=++所以当tan 2tan B C ==时，min (tan 4tan )B C +=.………………….12分。

四川省成都七中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．110y +-=的倾斜角是( ) A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π〖解 10y +-=，得1y =+，可得直线的斜率为(0)ααπ<，则tan α=，23πα=． 〖答 案〗C2．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A ．球B ．圆锥C ．圆台D ．圆柱〖解 析〗由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆柱． 〖答 案〗D3．已知4-，x ，16-成等比数列，则x 的值为( ) A ．8B ．8-C ．8±D ．4±〖解 析〗4-，x ，16-成等比数列，2(4)(16)x ∴=-⨯-，解得8x =±．〖答 案〗C4．若x ，y 满足约束条件220x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最小值是( )A ．2-B ．4-C ．2D ．0〖解 析〗由约束条件作出可行域如图，由图可知，(2,0)A ，由2z y x =-，得2y x z =+，由图可知，当直线2y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-． 〖答 案〗B5．已知直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:(1)10l a x y --+=互相垂直，则实数a 的值为() A ．0B ．2-C ．0或2-D ．0或2〖解 析〗直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:(1)10l a x y --+=互相垂直，2(1)1(1)0a ∴-+⨯-=，即220a a -=，解得0a =或2． 〖答 案〗D6．已知,(0,)2παβ∈，5cos()13αβ+=，4sin 5β=，则cos (α= )A ．6365-B ．5665-C ．5665D ．6365〖解 析〗因为,(0,)2παβ∈，所以(0,)αβπ+∈，因为5cos()13αβ+=，所以12sin()13αβ+=， 因为4sin 5β=，所以3cos 5β=，故cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+-=+++531246313513565=⨯+⨯=． 〖答 案〗D7．在ABC ∆中，6BC =，ABC ∆的面积为15，则AB AC ⋅的取值不可能是( ) A ．15B ．17C ．19D ．21〖解 析〗如图，在ABC ∆中，6BC =，ABC ∆的面积为15，设A 到BC 的距离为h ， 则1||152ABC S BC h ∆=⋅=，即5h =． ∴点A 在与BC 平行，且距离BC 为5的直线上，∴222()()()()||||||9AB AC AO OB AO OC AO OC AO OC AO OC AO ⋅=+⋅+=-⋅+=-=-． ∴当O 位于BC 的中垂线上时，||AO 最小为5，即AB AC ⋅的最小值为25916-=．结合选项可得，AB AC ⋅的取值不可能是15． 〖答 案〗A8．已知数列{}n a 的通项公式为2cos3n n a n π=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2022S 的值为( ) A ．672B ．1011C ．2022D ．6066〖解 析〗由于数列{}n a 的通项公式为2cos3n n a n π=， 所以当1n =时，121cos 32a π==-， 当2n =时，2412cos 2()132a π==⨯-=-，当3n =时，363cos 33a π==，当4n =时，484cos 23a π==-；当5n =时，510155cos 5()322a π==⨯-=-；当6n =时，66a =；当7n =时，772a =-，.........，所以12332b b b ++=，45632b b b ++=，......， 故20221234562020202120223()()...()67410112S b b b b b b b b b =+++++++++=⨯=． 〖答 案〗B9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为563，则该方亭的表面积为( )A ．20+B ．20+C ．5+D ．5+〖解 析〗如图，由题意得2EFHG S EF =，24ABCD S EF =，则方亭的体积为22156(433V EF EF EF =⨯⨯+=，解得2EF =，则4EFHG S =，16ABCD S =，作EM AB ⊥于M ，BF ==4212AM -==，则EM =，1(24)2ABFE S =⨯+=则该方亭的表面积为：420EFHG ABCD ABFE S S S ++=+ 〖答 案〗A10．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，112AD CD AB ===．点P 是梯形内一点（含边界），且满足{|P AP AB AD λμ=+，312λμ+，λ，}R μ∈，则P 点可能出现的区域的面积是( )A B C ．12D ．1〖解 析〗以A 为原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立如图所示得平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)D ，设(,)P x y ，则(x ，)(2y λ=，0)(0μ+，1)(2λ=，)μ，则2x λ=，y μ=，又312λμ+，则3122x y +， 在坐标系中画出12x y +=和322x y +=，又点P 是梯形内一点（含边界），则P 点可能出现得区域是如图所示的阴影部分，故P 点可能出现的区域的面积是111122⨯⨯=．〖答 案〗C11．一个长方体的盒子内装有部分液体（液体未装满盒子），以不同的方向角度倾斜时液体表面会呈现出不同的变化，则下列说法中错误的个数是（ ） ①当液面是三角形时，其形状可能是钝角三角形 ②在一定条件下，液面的形状可能是正五边形③当液面形状是三角形时，液体体积与长方体体积之比的范围是④当液面形状是六边形时，液体体积与长方体体积之比的范围是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个〖解 析〗对于①，当液面是三角形时，则液体所在平面必和长方体共顶点的三个面相交，和另外三个平面不相交设相交形成的三角形为如图所示ABC ，则P A，PB，PC两两垂直，设P A＝m，PB＝n，PC＝p，则有AB2＝m2+n2，BC2＝n2+p2，AC2＝m2+p2，余定理得cos∠BAC＝＞0，则∠BAC为锐角，同理可得∠ABC，∠ACB为锐角，则当液面是三角形时，该三角形必是锐角三角形，①错误；对于②，当液面是五边形时，液面只与长方体的五个面只有交线，而一个平面与长方体的五个平面相交，必有两组相对面，又长方体的每一组相对面平行，由两个平面平行的性质知，截面五边形必有两组平行的边，因正五边形的任意两边都不平行，则一平面截长方体所得截面不可能是正五边形，即液面的形状不可能是正五边形，②错误；对于③，当液面形状是三角形时，液面只与长方体的三个面相交，最大液面是长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，如图中△ABC，液面三角形顶点F，D，E在棱P A，PB，PC上任意移动（除P点外），长方体体积V＝P A•PB•PC，V P﹣EFD＝PD•PE•PF≤P A•PB•PC＝V，则当三棱锥P﹣DEF盛满液体时液体体积与长方体体积之比的范围是（0，〗，当长方体去掉三棱锥P﹣DEF余下部分盛满液体时，液体体积与长方体体积之比的范围是〖，1），所以液体体积与长方体体积之比的范围是，③正确；对于④，作长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，如图中△POR和△GMN，易得平面POR ∥GMN ．在长方体棱PM 上任取一点A （PM 除外），过点A 作出与平面POR 平行的平面截长方体可得六边形ABCDEF 长方体体积V ＝PM •PN •PP ′，三棱锥P ′﹣PQR 体积V P ′﹣PQR ＝PP ′•PQ •PR ＝V ．令三棱锥P ′﹣POR 部分有液体，当液面形状是六边形时，液面六边形必在平面POR 和平面GMN 之间，即液面漫过△PQR 所在平面但不能到△GMN 所在平面， 则液体体积V 满足V ＜V ′＜V ；当液面六边形在两个平行平面PQR 与平面GMN 之间任意变换，不管与平面PQR 平行还是相交均满足V ＜V ′＜V ，即液体体积与长方体体积之比的范围是（，），④错误． 则错误个数有3个． 〖答 案〗C12．在ABC ∆中，若2AC =，11111sin tan sin tan B B A A+=++，则ABC ∆的周长的最大值为( )A ．4B ．4C ．7D ．7〖解 析〗由11111sin tan sin tan B B A A +=++可得1cos 1cos 1sin sin sin sin B A B B A A+=++， 两边同乘sin sin A B 得，sin sin cos sin sin cos sin sin A A B B B A A B +=++，两边同加sin cos B A 得，sin sin cos sin cos sin 2sin cos sin sin A A B B A B B A A B ++=++， 即sin sin()sin 2sin cos sin sin A A B B B A A B ++=++， 又sin()sin()sin A B C C π+=-=， 则sin sin sin (12cos sin )A C B A A +=++，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，由正弦定理得(12cos sin )2(12cos sin )2[1)]a c b A A A A A ϕ+=++=++=++，其中sin ϕϕ=不妨设(0,)2πϕ∈，易得当2A πϕ+=时，a c +取得最大值2+此时周长最大值为224+++ 〖答 案〗A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答 案〗填在答题卡上．13．已知1sin cos 5αα+=-，(0,)απ∈，则sin2α= ．〖解 析〗1sin cos 5αα+=-，两边平方得：221sin 2sin cos cos 1sin 225ααααα++=+=， 24sin 225α∴=-． 〖答 案〗2425-14．已知点(,)a b 在直线1x y +=上，当0a >，0b >时，12a b+的最小值为 ． 〖解 析〗因为点(,)a b 在1x y +=上，所以1a b +=．所以12122()()3322a b a b a b a b b a+=++=+++．当且仅当2a bb a=，即1a =，2b =时等号成立．〖答 案〗3+15．在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，D 是BC 中点，AD ABC ∆沿AD 折起得到三棱锥A BCD -，使得120BDC ∠=︒，则该三棱锥A BCD -的外接球的体积为 ．〖解 析〗如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，D 是BC 中点，AD =．在BCD ∆中，由已知可得，2BD DC ==，将ABC ∆沿AD 折起得到三棱锥A BCD -，使得120BDC ∠=︒，可得BC =设BCD ∆的外心为G，则2GD ==，再设四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接OG，则12OG AD ==． ∴外接球的半径R OD ===． 可得四面体A BCD -的外接球的体积为343V π=⨯=． 〖答16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，人们把函数[]y x =，x R ∈称为高斯函数（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3π=，[ 1.7]1)-=-．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和记为n S ．若k 为函数()[2sin cos ][sin cos ]5f x x x x x =⋅+++，[0,]2x π∈值域内的任意元素，且当整数n k >时，都有22n k n k n k S S S S +--=-成立，则{}n a 的通项公式为 ．〖解析〗()[2sin cos ][sin cos ]5[sin 2])]54f x x x x x x x π=⋅+++=+++，又[0,]2x π∈时，当4x π=时，sin21x =，[sin 2]1x =，当[0,)(,]442x πππ∈⋃时，sin 2[0x ∈，1)，则3[sin 2]0;[,],)4444x x x ππππ=+∈+∈，则)]14x π+=， 则()[2sin cos ][sin cos ]5{6f x x x x x =⋅+++∈，7}，所以6k =或7； 又当整数n k >时，有22n k n k n k S S S S +--=-，则11122n k n k n k S S S S ++++--=-， 两式相减得1112n k n n k a a a +-++--=-，即1112n k n k n a a a +++-++=；当6k =时，6n >时，有7512n n n a a a +-++=， 则5n a -，1n a +，7n a +成等差数列，设公差为1d ；当7k =时，7n >时，有8612n n n a a a +-++=，则6n a -，1n a +，8n a +成等差数列， 设公差为2d ；则7n >时，151n n a a d +--=，162n n a a d +--=，两式相减得5621n n a a d d ---=-， 令21d d d =-，则7n >时，56n n a a d ---=，即1n >时，1n n a a d +-=， 故数列{}n a 从第二项开始为等差数列，又22n k n k n k S S S S +--=-可得()2n k n n n k k S S S S S +----=， 当6k =时，666()2n n n n S S S S S +----=， 即651156()()2n n n n n n a a a a a a S +++--+++-+++=，即122362(510)2(1510)d a a d a d =++=++； 当7k =时，777()2n n n n S S S S S +----=， 即751167()()2n n n n n n a a a a a a S +++--+++-+++=，即122492(615)2(1615)d a a d a d =++=++，解得23a =，2d =，则21a a d -=， 即数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-． 〖答 案〗21n a n =-三、解答题（17题10分，18～22每小题10分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系中，平面向量(1,1)a =，||2b =，,a b 的夹角为4π． （Ⅰ）求|3|a b -；（Ⅱ）若2m a b =-，求m 在a 方向上的投影的值． 解：（Ⅰ）因为平面向量(1,1)a =，||2b =，,a b 的夹角为4π，所以22||11a =+=|3|(3a b a +=+==． （Ⅱ）2(2)242||cos 2||||2a b a a a b m a a θ-⋅-⋅-⋅====． 18．（12分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，555S =，9153S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{2}n n a ⋅的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ． 则115455529891532a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得153a d =⎧⎨=⎩；故53(1)32n a n n =+-=+； （Ⅱ）设(32)2n n c n =+⋅．故2(32)2(62)2(32)2n n T n =+⨯++⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⨯，①；2312(32)2(62)2(32)2n n T n +=+⨯++⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⨯，②； ①-②得：134(12)(32)2(32)212n n n T n +⨯⨯--=+⨯-+⨯+-， 整理得：(62)22n n T n =-⋅+．19．（12分）已知ABC ∆的顶点(5,1)B ，AB 边上的高所在的直线方程为250x y --= （Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）在下列两个条件中任选一个，求直线AC 的方程． ①角A 的平分线所在直线方程为2130x y +-=； ②BC 边上的中线所在的直线方程为250x y --=． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（Ⅰ）由AB 边上的高在250x y --=上可知，2AB k =-． 又(5,1)B ，所以直线AB 的方程为：2110x y +-=．（Ⅱ）若选①：2130x y +-=是角A 的平分线．则21102130x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得35x y =⎧⎨=⎩，得到A 点坐标：(3,5)A ．设0(B x '，0)y 是点B 关于2130x y +-=的对称点．则000011()15251213022y x x y -⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪+⨯-=⎪⎩，解得：3729(,)55B '．又点3729(,)55B '是直线AC 上的点．所以29525371135AC k -==-． 所以得到AC 的直线方程为：211490x y -+=． 若选②：250x y --=是BC 边上的中线所在的直线． 有2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得点A 坐标：(4,3)A ． 设点1(C x ，1)y ，则BC 的中点在直线250x y --=上， 所以115125022x y ++⨯--=，即11210x y --=，则点C 在直线210x y --=上． 又点C 在250x y --=上，则有250210x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得1x -，3y =-．即(1,3)C --，所以336145AC k --==-- 所以直线AC 的方程为：6590x y --=．20．（12分）如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，平面CDE ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠DAB ＝90°，EC ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求直线EB 与平面EAC 所成的角的正弦值．（Ⅰ）证明：在四棱锥E ﹣ABCD 中，平面CDE ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠DAB ＝90°， EC ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，，∵∠ABC ＝∠DAB ＝90°，四边形ABCD 是直角梯形，AB ＝BC ＝1， ∴，∠CAD ＝45°，∴，∴CD 2+DE 2＝4＝CE 2，即CD ⊥DE ，∵平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE ∩ABCD ＝CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴DE ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，则有DE ⊥AB ，而AD ⊥AB ，AD ∩DE ＝D ，AD ，DE ⊂面ADE ，∴AB ⊥平面ADE ； （Ⅱ）解：∵DE ⊥平面ABCD ，∴，又∵AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AD ，DE ⊥BD ， ∴，，∴，即，∴，设B 点到平面AEC 的距离为d ，直线EB 与平面EAC 所成的角为θ，∴，∴，即直线EB 与平面EAC 所成的角的正弦值为．21．（12分）第31届世界大学生夏季运动会，是继2001年北京大运会、2011年深圳大运会之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，也是中国西部第一次举办世界性综合运动会．共设篮球、排球、田径、游泳等18个体育项目．届时将有来自约170个国家和地区的1万余名运动员及官员赴蓉参加．现某学校决定将一个直角三角形的空地划分为多个部分，为该校运动员打造一个训练场地．已知直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，200BC m =．经过全校海选后，现有以下两种设计方案：①如图1，在ABC ∆内部取一点T ，使得TB TA =，23ATB π∠=；②如图2，在斜边AC 上P ，Q 取两点P ，Q ，且3PBQ π∠=．（Ⅰ）求方案①中折线跑道TA ，TB ，TC 的长度之和；（Ⅱ）求方案②中训练场地PBQ ∆的面积的取值范围．解：（Ⅰ）90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，200BC m =，tan 30AB BC ∴=︒= 又TB TA =，120BTA ∠=︒，60TBC ∴∠=︒，2003TA TB ==，22222220020012cos60200()2200()332TC BC BT BC BT ∴=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，∴TB TA TC ++， 故跑道TA ，TB ，TC米． （Ⅱ）设QBA α∠=，则6PBC πα∠=-，由（Ⅰ）得：BA =，AC = ∴在QBA ∆中，sin sin BQ BAA BQA =∠，∴1002sin()3BQ πα=-， 在PBC ∆中，sin sin BP BCC CPB =∠，∴1002sin()3BP πα=+，∴1sin 23sin()sin()33S BP BQ παα=⋅⋅=+-2222()()33sin cos cos sin αα-222cos sin cos 444ααα=--，[0,]6πα∈，故23[,1]4cos α∈，∴S ∈，故训练场地面积的取值范围是．22．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=*)n N ∈（Ⅰ）判断并证明数列{}n a 的单调性； （Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<． （Ⅰ）解：结论：数列单调递减； 由于数列{}n a 满足11a =，1n a +=所以：1n n na a a---=．na >，1n na a+∴-<，∴数列{}na单调递减．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，∴1[1,)na∈+∞．11a =，213a=，3a=，∴1234332a a a++=>，即202132S>．2211113111)()242n na a a+==++，0na>，∴1112na+-．当2n，累加可得11(1)12nna-+．∴2221444114() 111313(1)[(1)1](1)()()242222 nann n n n n n=<==⨯-+-++-++++∴202112148514()33737220212S=++⨯-<+<+．。