【精选】新课标高考数学二轮复习专题能力训练6三角函数的图象与性质理

专题强化练六三角函数的图象与性质一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tan x1＋tan2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C．π D．2π解析：f(x)＝tan x1＋tan2x＝sin xcos x1＋sin2xcos2x＝sin x cos xcos2x＋sin2x＝sin x cos x＝12sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.答案：C2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：f(x)＝2cos2x－sin2x＋1＝1＋cos 2x－1－cos2x2＋2＝52＋3cos 2x2.所以f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为4.答案：B3.(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则点P所在的圆弧是( )A.AB︵B.CD︵C.EF︵D.GH︵解析：由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在AB︵上，tan α>sin α，不满足；在CD ︵上，tan α>sin α，不满足；在EF ︵上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α满足； 在GH ︵上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足． 故选C. 答案：C4．偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数f (x )与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22 B.62C. 2 D ．2 2 解析：依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0＜φ＜π. 所以φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.答案：C5．(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 解析：把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z)得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z)．令k ＝1，得34π≤x ≤54π.所以函数g (x )＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4. 答案：A 二、填空题6．(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．解析：因为函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π3对称，所以x ＝π3时，函数取得最大值或最小值，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝k π－π6(k ∈Z)．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π6.答案：－π67．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：依题意，当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则πω4－π6＝2k π(k ∈Z)． 所以ω＝8k ＋23(k ∈Z)，由ω＞0，所以ω的最小值为23.答案：238．(2018·广东省际名校联考(二))将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________．解析：f (x )＝－23cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－ 3.所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12三、解答题9．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2. (2)f (x )的最小正周期为π.令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z.10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝5π12＋k π(k ∈Z)时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝5π12＋k π，k ∈Z ，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝5π12.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝5π6，则x 1＝5π6－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.11．(2018·郑州市调研)已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx ，2)(ω＞0)，函数f (x )＝m ·n ＋3，若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，求函数g (x )的值域． 解：(1)f (x )＝m ·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知，最小正周期为T ＝π， 所以ω＝1，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π.故函数f (x )的增区间为[－π8＋k π，3π8＋k π]，k ∈Z. (2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象．故g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，由π4≤x ≤π2，知5π4≤4x ＋π4≤9π4， 所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22，故函数g (x )的值域为[－2，1]．。

专题06 三角函数的图像与性质【自主热身，归纳总结】1、已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．【答案】： 3＋2 2【解析】：由tan θ＝6cos θ得sin θ＝6cos 2θ，即sin θ＝6(1－sin 2θ)，解得sin θ＝63(负值已舍去)，cos θ＝33，代入sin θ＋cos θsin θ－cos θ，可得结果为3＋2 2. 2、在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________． 【答案】： 97【解析】：由三角函数的定义可知tan α＝21＝2，tan β＝15，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－151＋2×15＝97. 3、 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________．【答案】： π2【解析】：由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.4、若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________． 【答案】： 4【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】： －1【解析】：由题意，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎪⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思 依图求函数y ＝A sin (ωx＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．6函数f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－3cos x2的最小正周期为________．【答案】2π【解析】：因为f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－3cos x 2＝12sin x －3·1＋cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32，所以最小正周期为2π.7、将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________. 【答案】：. 5π128、 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________． 【答案】： 12【解析】：因为f (x )的最小正周期为π，所以2πω＝π，故ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 2π3＋π6＝sin 5π6＝12.9、 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________.【答案】：－4＋6215【解析】： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215.10、 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．【答案】： －13【解析】：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13. 11．若函数的图象过点(0,3)，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是 ▲ ．【答案】： ]127,12[ππ（或)127,12(ππ）12、在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ．【答案】．2解法1 令，可得即，又x ∈[0，2π]，所以116x π=或2x π=，故原函数图象与12y =的交点个数为2. 解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为213、 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.【答案】： －3125思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sin θ＝45，cos θ＝35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意． 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，所以sin θ＋cos θ＝－3125.解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解． 本质上，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由A sin θ＋B cos θ＝C 求sin θ，cos θ可能有两组解．14、 已知sin(x ＋π6)＝13，则sin(x －5π6)＋sin 2(π3－x)的值为________．【答案】： 59【解析】：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin(x ＋π6)＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1－sin 2(x ＋π6)＝1－19＝89，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59.解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分． 【问题探究，变式训练】例1、 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )【解析】：由题意可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3.又最小正周期为π，故ω＝2.又该函数的对称轴为直线x＝0，所以φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π6(k ∈Z )．又因为||φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos x ，故单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )．【变式1】、.. 若f(x)＝3sin (x ＋θ)－cos (x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.【变式2】、. 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 【答案】π6解法1 函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移m (m >0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3，由于函数y ＝2sin x 的图像至少向左平移π2个单位长度后可得到关于y 轴对称的图像，所以m ＋π3的最小值是π2，故m 的最小值是π6.【关联6】、将函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（π6，32)，则φ的最小值为________. 【答案】： π6【解析】：将函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y ＝sin(2x ＋2φ)的图像，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，所以π3＋2φ＝2k π＋π3或π3＋2φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即φ＝k π或φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又因为φ>0，所以φ的最小值为π6.易错警示 错以为函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y ＝sin(2x ＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件．例2、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示．(1) 求函数y ＝f (x )的【解析】式；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．【解析】： (1) 由图像知，A ＝2，(2分)又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.(4分) 所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.(6分)所以f (x )＝2sin x ＋π6.(8分)(2) 当x ∈[－π2，π2]时，x ＋π6∈[－π3，2π3]，(10分)所以sin x ＋π6∈[－32，1]，即f (x )∈[－3，2]．(14分)易错警示 在求f (x )的【解析】式中φ的值时，如果选用图像过点5π6，0来求，往往会导致增根，这是因为在正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求φ的值时，一般会用最值点来求，这样，就会有效地避免出现增根． 【变式1】、已知函数（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的【解析】式； （2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．【解析】：（1）由图可知，A 2，T 2π，故1ω=，所以，f (x )2sin()x ϕ+．又，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-．于是，f (x )2sin()6x π-．（2）由3()2f α=，得．所以，=．【变式2】、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2部分图像如图所示． (1) 求函数f (x )的【解析】式；【解析】：(1) 首先把函数化简为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，其中A ＞0，ω＞0. (2) 利用正弦、余弦定理，列出关于边a ，b 的方程组． 规范解答 (1) 因为f (x )＝32sin2x －12(1＋cos2x )－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1所以函数f (x )的最小值是－2，此时2x －π6＝2k π－π2，k ∈Z ，得x ＝k π－π6，k ∈Z ，即x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z .(2) 由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3由sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a .(11分) 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝3由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，a 2＋b 2－ab ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.【关联】、已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1) 当a ∥b 时，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的值； (2) 设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域．【解析】 (1) 因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－34－11－34＝－7.(2) f (x )＝2(a ＋b )·b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋cos x ，－14·(cos x ，－1) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos 2x ＋14 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1， 所以12≤f (x )≤32＋2，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32＋2.。

训练　三角函数的图象和性质 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知α，tan α＝－，则sin(α＋π)等于( )． A. B．－ C. D．－ 2．设函数y＝3sin(2x＋φ)(0＜φ＜π，xR)的图象关于直线x＝对称，则φ等于( )． A. B. C. D. 3．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )． 4．已知函数f(x)＝(cos 2xcos x＋sin 2x·sin x)sin x，xR，则f(x)是( )． A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 5．已知函数y＝sin x＋cos x，y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是( )． A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形 B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形 C．两个函数在区间上都是单调递增函数 D．两个函数的最小正周期相同 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________. 7．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位后，其图象的一条对称轴方程可以是________． 8．函数f(x)＝cos (0＜φ＜2π)在区间 (－π，π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________． 三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋2cos2x，xR，求f(x)的最小正周期和它的单调增区间． 10．(12分)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，xR. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 11．(12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( xR，A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式； (2)设g (x)＝2，求函数g(x)在x上的最大值，并确定此时x的值．参考答案 1．B　[由题意可知，sinα＝，sin(α＋π)＝－sin α＝－.故选B.] 2．D　[由题意知，2×＋φ＝kπ＋(kZ)，所以φ＝kπ－(kZ)，又0＜φ＜π.故当k＝1时，φ＝，选D.] 3．A　[变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A正确．] 4．A　[f(x)＝sin 2xcos 2x＋sin2x ＝sin 2xcos 2x－sin 2xcos 2x＋sin 2x ＝sin 2x，故f(x)的最小正周期为π，又是奇函数．] 5．C　[由于y＝sin x＋cos x＝sin ， y＝2sin xcos x＝sin 2x.对于A、B选项，当x＝－时，y＝sin＝0，y＝sin 2x＝－，因此函数y＝sin x＋cos x的图象关于点成中心对称图形、不关于直线x＝－成轴对称图形，函数y＝2sin xcos x的图象不关于点成中心对称图形、关于直线x＝－成轴对称图形，故A、B选项均不正确；对于C选项，结合图象可知，这两个函数在区间上都是单调递增函数，因此C正确；对于D选项，函数y＝sin的最小正周期是2π，y＝sin 2x的最小正周期是π，D不正确．综上所述，选C.] 6．解析　先计算r＝＝，且sin θ＝－，所以sin θ＝＝＝－，θ为第四象限角，则y＝－8. 答案　－8 7．解析　依题意得，将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝ sin 2＝sin的图象．令2x－＝kπ＋(kZ)，得x＝＋，kZ，即其图象的一条对称轴方程可以是x＝＋，其中kZ. 答案　x＝(符合x＝＋，kZ即可) 8．解析　令－π＋2kπ≤＋φ≤2kπ(kZ)， 得6kπ－3π－3φ≤x≤6kπ－3φ，kZ. ∵f(x)在(－π，π)上单调递增， ∴2kπ－π≤φ≤2kπ－(kZ)．又0＜φ＜2π，令k＝1，得π≤φ≤π，即实数φ的取值范围为. 答案 9．解　由题知，f(x)＝1＋sin 2x＋＝＋sin 2xcos＋cos 2xsin ＝＋sin. 所以f(x)的最小正周期为π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，kZ， 得kπ－≤x≤kπ＋，kZ. 所以f(x)的单调增区间为，kZ. 10．解　(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f＝－1，f＝， f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1. 11．解　(1)由图知A＝2， ＝，则＝4×，ω＝. 又f＝2sin＝2sin＝0， sin＝0，0＜φ＜，－＜φ－＜，φ－＝0，即φ＝， f(x)的解析式为f(x)＝2sin. (2)由(1)可得f＝2sin＝2sin，g(x)＝2＝4×＝2－2cos， x∈，－≤3x＋≤， 当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.。

高考押题专练1．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( )A ．－35 B.35C ．－45 D.45【解析】因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35，故选A.【答案】A2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0， 则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12 B ．1C.12 D ．－32【解析】由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos2a ＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12. 【答案】A3．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5 D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5【解析】不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.【答案】C4．若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，0 D.⎝⎛⎭⎫－π12，0 【解析】将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，故选A.【答案】A5．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减【解析】A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是减区间，2π3，π是增区间，D 项错误．故选D. 【答案】D6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6 C.π3 D.5π6【解析】函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6.因为函数的图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π，m ＝k π＋π6(k ∈Z )，所以m 的最小值为π6，故选B.【答案】B7．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移2π3个单位长度，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象与直线x ＝－π2，x ＝π3，x 轴围成图形的面积为( )A.52B.32 C ．1＋32 D ．1－32【解析】将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π3 ＝sin(2x －π)＝－sin2x 的图象，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g (x )＝－sin x 的图象．函数y ＝g (x )的图象与直线x ＝－π2，x ＝π3，x 轴围成的图形面积S ＝⎠⎛0－π2(－sin x)d x－∫π30(－sin x)d x ＝cos x ⎪⎪⎪⎪ 0－π2－cos x ⎪⎪⎪⎪π30＝1－⎝⎛⎭⎫－12＝32，故选B . 【答案】B8．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( ) A ．x ＝π6 B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π12【解析】将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3， 因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6成立，故选A .【答案】A9．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2的值为( )A ．2 2B .2C ．－22 D ．－24【解析】依题意得f′(x)＝Aωcos (ωx ＋φ)，结合函数y ＝f′(x)的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f′⎝⎛⎭⎫3π8＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，f(x)＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D . 【答案】D10．将函数f(x)＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A .32 B .12C ．－12D ．－32【解析】依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32，选D . 【答案】D11．已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ，下列结论正确的是( ) A ．函数f(x)的最小正周期为2π B ．函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫π12，π4上单调递增 C ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称D ．函数f(x)的图象关于⎝⎛⎭⎫－π12，0对称 【解析】由已知，得f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1.函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π，A 错误；当π12<x<π4时，π3<2x ＋π6<2π3，所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫π12，π4上不具有单调性，B 错误；因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＋1＝2sin π2＋1＝3，即当x ＝π6时，函数f(x)取得最大值，所以函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称，C 正确；⎝⎛⎭⎫－π12，1是函数f(x)的图象的一个对称中心，D 错误，故选C . 【答案】C12．已知函数f(x)＝sin ωx －3cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A .⎝⎛⎦⎤136，72B .⎝⎛⎦⎤72，256 C .⎝⎛⎦⎤256，112 D .⎝⎛⎦⎤112，376 【解析】因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，方程2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0<x<π，所以－π3<t<ωπ－π3，所以19π6<ωπ－π3≤23π6，解得72<ω≤256，故选B .【答案】B13．函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为( )A.2 B ．32 C ．62 D ．－2 【答案】A【解析】由图象可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，∴f (x )是周期为8的周期函数， 而2 017＝8×252＋1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝ 2.14．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0 【答案】B【解析】.由f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x 得x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2，故选B. 15．若函数y ＝f (x )的最小正周期为π，且图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则f (x )的解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin 2x －1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 【答案】D.【解析】依次判断各选项，A 项周期不符；B 项函数图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称；C 错，因为y ＝2sin 2x －1＝－cos 2x ，同样点⎝⎛⎭⎫π3，0不是图象的对称中心，故选D.16．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94 D.⎣⎡⎦⎤32，74 【答案】D【解析】函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z .依题意，则有－π＋2k π≤ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4≤2k π(ω＞0)得4k －52≤ω≤2k －14，由⎝⎛⎭⎫4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0且4k －52＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，74，故选D.17．为了得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π3 B ．向右平移π3C ．向左平移π6D ．向右平移π6【答案】D【解析】依题意得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，因此为了得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，故选D.18．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称 【答案】B【解析】依题意，得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，故函数g (x )图象的对称轴为x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，故A 错误；因为g (－x )＝－sin 2x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫－34π，－14π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14π，14π上单调递增，故B 正确，C 错误；因为g ⎝⎛⎭⎫38π＝sin 34π＝22≠0，故D 错误．综上所述，故选B.19．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33C. 3 D ．1 【答案】C【解析】因为f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，πω＝π2，ω＝2，则f (x )＝tan 2x ，f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝3，故选C. 20．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为( )A.π6B.π3 C.5π12 D.7π12 【答案】A【解析】函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π3，因为图象关于原点对称，所以－2φ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以φ＝π6－k π，k ∈Z ，则当k ＝0时，φ取得最小正值π6，故选A.21．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32 【答案】D【解析】因为当－2＜x ＜10时，0＜π6x ＋π3＜2π，故令f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3＝0，则π6x ＋π3＝π，解得x ＝4，由正弦函数的对称性可知点B ，C 关于点A (4,0)成中心对称，故有(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝32，故选D.22．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )A.π6，－π12B.π6，π12C.π3，－π6D.π3，π6 【答案】D【解析】依题意得2×π12＋α＝2k 1π＋π2，即α＝2k 1π＋π3，k 1∈Z ，A ，B 均不正确．由f (x －β)是奇函数得f (－x －β)＝－f (x －β)，即f (－x －β)＋f (x －β)＝0，函数f (x )的图象关于点(－β，0)对称，f (－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k 2π，k 2∈Z ，结合选项C ，D 取α＝π3得β＝k 2π2＋π6，k 2∈Z ，故选D.23．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 【解析】y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间即为0≤x ＋π3≤π2与x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6 24．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________. 【解析】利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以k ＝－1，φ＝π3. 【答案】π325．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．【解析】将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋ω－1π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx －ω＋1π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－1π4＝ωx －ω＋1π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.【答案】226．已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)． ①y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π对称； ③f (x )的最大值为32； ④f (x )既是奇函数，又是周期函数．【解析】依题意，对于①，f (4π－x )＝cos(4π－x )·sin[2(4π－x )]＝－cos x ·sin 2x ＝－f (x )，因此函数y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称，①正确；对于②，f ⎝⎛⎭⎫π4＝22，f ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝－22，因此f ⎝⎛⎭⎫2π－π4≠f ⎝⎛⎭⎫π4，函数y ＝f (x )的图象不关于直线x ＝π对称，②不正确；对于③，f (x )＝2sin x cos 2x ＝2(sin x －sin 3x )；令t ＝sin x ，则y ＝2(t －t 3)，t ∈[－1,1]，y ′＝2(1－3t 2)，当－33＜t ＜33时，y ′＞0；当－1≤t ＜－33或33＜t ≤1时，y ′＜0，因此函数y ＝2(t －t 3)在[－1,1]上的最大值是y ＝2⎣⎡⎦⎤33－⎝⎛⎭⎫333＝439，即函数f (x )的最大值是439，③不正确；对于④，f (－x )＝－f (x )，且f (2π＋x )＝2sin(2π＋x )cos 2(2π＋x )＝2sin x cos 2x ＝f (x )，因此函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，④正确．综上所述，其中正确的结论是①④.【答案】①④27．已知函数f (x )＝2sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．【解析】(1)f (x )＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32， 即函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤0，1＋32.1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

专题06 三角函数的图像与性质1.三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)( A >0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式公式一sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α公式二sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α公式三sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α4.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x ＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)． 对称轴：x ＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．考点一 三角函数图象及其变换例1、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【答案】A且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.优解：代入特殊点检验排除． 当x ＝π3，y ＝2时，排除B ，D.当x ＝－π6，y ＝－2时，排除C ，故选A.(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【答案】23π【解析】通解：化简后平移函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【方法规律】1．已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的方法 (1)求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点； (2)看左右移动方向，左“＋”右“－”；(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.【变式探究】1．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z，故选D.考点二 三角函数性质及应用例2、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 【答案】B【解析】通解：写出解析式求对称轴．函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故选B.优解：由对称轴平移得对称轴．y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位长度得x ＝π4－π12＋k 2π＝k π2＋π6.(k ∈Z)，故选B.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】B【方法技巧】 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 1．求单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．三角函数的周期的求法 (1)定义法；(2)公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)利用图象．【变式探究】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增考点三 三角函数的图象与性质的综合应用例3、已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，32. (1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期；(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．解：(1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＋32【方法技巧】三角函数解析式化简的基本思路1．将“sin x cos x ”化为12sin 2x ，将sin 2x 或cos 2x 降幂．2．函数解析式成为“a sin x ＋b cos x ”后，利用辅助角公式化为a 2＋b 2sin(x ＋φ)，⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2.3．利用整体思想，对于a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的三角函数． 视“ωx ＋φ”为整体，利用sin x 的性质来求解．【变式探究】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋1112π＝5912π.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15【解析】选A.解法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.所以选A.1.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010（C ）1010 （D ）31010【答案】C2.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.【2016年高考四川文数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π5.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B7.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 8.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 9.【2016高考浙江文数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B10.【2016高考山东文数】函数f （x ）=3sin x +cos x ）3x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 11.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B13.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 14.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 15.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A 310 （B 10（C ）1010 （D ）31010【答案】C16.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【2015高考新课标1，文2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）3-（B 3（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【2015高考福建，文19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(kZ).2xk；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到当1m<5时，+=2(),2();2当5<m<1时, 3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m (【2015高考山东，文16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆ 23+ 【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【2015高考重庆，文9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C . 【2015高考山东，文3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【2015高考新课标1，文8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【考点定位】三角函数图像、辅助角公式2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角． 3. 【2014辽宁高考文第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B【考点定位】函数sin()yA x ωϕ=+的性质.4. 【2014四川高考文第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.5. 【2014全国1高考文第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【答案】CPOAMD POAM D【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．6. 【2014高考北卷文第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .【答案】π【解析】由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ，所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T . 【考点定位】函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性， 7. 【2014高考安徽卷文第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.8. 【2014浙江高考文第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】Ｄ【解析】sin 3cos3234y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将23y x =向左平移4π个单位．【考点定位】三角函数化简,图像平移.9. 【2014陕西高考文第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】B【解析】由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B . 【考点定位】三角函数的最小正周期.10. 【2014大纲高考文第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .【答案】(],2-∞．【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫'=-+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【考点定位】三角函数的单调性11. 【2014高考江西文第16题】已知函数()sin()cos(2)f xx a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.【答案】（1最小值为-1. （2）1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【考点定位】三角函数性质12. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x ＋cos x)． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.[]由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得k π－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.13. (2014·北京卷)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．。

高考数学复习专题训练—三角函数的图象与性质一、单项选择题1.(2021·山东青岛一模)已知角θ终边上有一点P(tan4π3,2sin(-17π6)),则cos θ的值为()A.12B.-12C.-√32D.√322.(2021·新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin x-π6单调递增的区间是()A.(0,π2) B.(π2,π) C.(π,3π2) D.(3π2,2π)3.(2021·山西临汾一模)已知θ=π3,则下列各数中最大的是()A.sin(sin θ)B.sin(cos θ)C.cos(sin θ)D.cos(cos θ)4.(2021·浙江金华期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)的图象经过点(π24,0),一条对称轴方程为x=π6,则函数f(x)的周期可以是()A.3π4B.π2C.π4D.π125.(2021·广东广州月考)将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,√32),则φ的值可以是()A.3π2B.5π6C.π2D.π66.(2021·山东日照期末)已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有6个零点,则实数ω的取值范围为()A.[176,+∞) B.(176,+∞) C.[176,103) D.(176,103)7.(2021·江西临川期末)函数f(x)=x-1x ·cos(π2x)的大致图象可能为()8.(2021·湖北荆门模拟)已知函数f (x )=a sin 2x-b sin 2x (a>0,b>0),若f (π2)=f (5π6),则下列结论正确的是( )A.f (0)<f (12)<f (1)B.f (0)<f (1)<f (12)C.f (12)<f (1)<f (0)D.f (1)<f (12)<f (0)二、多项选择题9.(2021·山西太原月考)已知函数f (x )=2(2|cos x|+cos x )sin x ,则下列结论错误的是( ) A.当x ∈[0,3π2]时,f (x )∈[0,3] B.函数f (x )的最小正周期为π C.函数f (x )在区间[π,5π4]上单调递减 D.函数f (x )的对称中心为(2k π,0)(k ∈Z )10.(2021·辽宁锦州模拟)已知ω>13,函数f (x )=sin (2ωx -π3)在区间(π,2π)上没有最值,则下列结论正确的是( )A.f (x )在区间(π,2π)上单调递增B.ω∈[512,1124]C.f (x )在区间[0,π]上没有零点D.f (x )在区间[0,π]上只有一个零点三、填空题11.(2021·四川绵阳期中)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°,cos 215°),则α=.12.(2021·海南海口中学期末)已知函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在区间(0,4π3)上单调递增,在区间(4π3,2π)上单调递减,则ω=.13.(2021·河北石家庄期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π3)满足f(x+π)=f(x),f(π12)=1,则f(-π12)的值等于.14.(2021·浙江金华月考)已知函数f(x)=sin 4x-2cos 4x,若对任意的x∈R都有f(x)≥f(x0),则f(x0+π8)=.答案与解析1.D 解析 因为tan 4π3=tan (π+π3)=tan π3=√3,sin (-17π6)=sin (-2π-π+π6)=sin (-π+π6)=-sin π-π6=-sin π6=-12,所以2sin (-17π6)=-1,所以P (√3,-1).所以cos θ=√3√(√3)2+(-1)=√32. 2.A 解析 由x-π6∈[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ,得x ∈[-π3+2kπ,2π3+2kπ],k ∈Z .当k=0时,得函数f (x )=7sin (x -π6)的单调递增区间为[-π3,2π3],∵(0,π2)∈[-π3,2π3],∴(0,π2)是函数f (x )的一个单调递增区间.故选A . 3.D 解析 当θ=π3时,sin θ=√32,cos θ=12,则sin(sin θ)=sin √32=cos (π2-√32),sin(cos θ)=sin 12=cos (π2-12),cos(sin θ)=cos √32,cos(cos θ)=cos 12,∵0<12<π2−√32<√32<π2−12<π,且函数y=cos x 在区间(0,π)上单调递减, ∴cos 12>cos (π2-√32)>cos √32>cos (π2-12),∴最大的是cos 12,即最大的是cos(cos θ).4.B 解析 由题意得π6−π24=2k+14T (k ∈Z ),则T=π4k+2(k ∈Z ).结合四个选项可知,只有选项B 符合.5.B 解析 依题意g (x )=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x+θ-2φ),因为f (x ),g (x )的图象都经过点P (0,√32),所以{sinθ=√32,sin (θ-2φ)=√32,因为-π2<θ<π2,所以θ=π3,θ-2φ=π3+2k π或θ-2φ=2π3+2k π(k ∈Z ),即φ=-k π或φ=-k π-π6(k ∈Z ).结合四个选项可知,只有选项B 符合.6.C解析令f(x)=0,即ωx+π3=kπ(k∈Z),故x=-π3ω+kπω(k∈Z),又ω>0,可知在区间[0,2π]上,从左到右f(x)的第1个零点为x1=-π3ω+πω=2π3ω,而第6个零点为x6=-π3ω+6πω=17π3ω,第7个零点为x7=-π3ω+7πω=20π3ω,故17π3ω≤2π<20π3ω,解得176≤ω<103.7.A解析函数f(x)=(x-1x )cos(π2x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(-x-1-x)cos(-πx2)=-(x-1 x )cos(πx2)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除B,C选项;当0<x<1时,x-1x=x2-1x<0,0<πx2<π2,则cos(πx2)>0,所以f(x)<0,排除D选项.8.B解析由题意得f(x)=a sin 2x-b1-cos2x2=√a2+b24·sin(2x+φ)-b2(其中tanφ=b2a,0<φ<π2).令g(x)=sin(2x+φ),由f(π2)=f(5π6),得g(π2)=g(5π6),则g(π2+5π62)=±1,即sin(4π3+φ)=±1,解得φ=-5π6+kπ,k∈Z,∴φ=π6,∴g(x)=sin(2x+π6).故g(0)=12,g(1)=sin(2+π6)>sinπ6=12,又函数g(x)的图象关于直线x=π6对称且函数g(x)在区间[0,π6]上单调递增,π6−12<1-π6,∴g(12)>g(1),于是g(0)<g(1)<g(12),从而f(0)<f(1)<f(12).9.ABD解析依题意f(x)={3sin2x,-π2+2kπ≤x<π2+2kπ,-sin2x,π2+2kπ≤x<3π2+2kπ(k∈Z),画出函数f(x)的大致图象如图所示.由图象知,当x ∈[0,3π2]时,f (x )∈[-1,3],故A 错误;函数f (x )的最小正周期为2π,故B 错误;函数f (x )在区间[π,5π4]上单调递减,故C 正确;函数f (x )的对称中心为(k π,0)(k ∈Z ),故D 错误.10.BD 解析 由函数f (x )=sin (2ωx -π3)在区间(π,2π)上没有最值,得2k π-π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2k π+π2,或2k π+π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2k π+3π2,k ∈Z ;解得k-112≤ω≤k 2+524,或k+512≤ω≤k2+1124,k ∈Z ,由T2≥2π-π=π,得T ≥2π,即2π2ω≥2π,则ω≤12.又ω>13,所以13<ω≤12.所以可取k=0,得ω∈[512,1124],且f (x )在区间(π,2π)上单调递减;所以A 错误,B 正确;当x ∈[0,π]时,2ωx-π3∈[-π3,2ωπ-π3],且2ωπ-π3∈[π2,7π12],所以f (x )在区间[0,π]上只有一个零点,所以C 错误,D 正确. 11.235° 解析 由三角函数的定义可得cos α=√sin 2215°+cos 2215°=sin 215°=cos235°,sin α=√sin 2215°+cos 2215°=cos 215°=sin 235°,所以α=235°.12.12 解析 由题意f (4π3)=sin (4π3ω-π6)=1⇒4π3ω-π6=2k π+π2(k ∈Z )⇒ω=32k+12(k ∈Z ),若k>0,则ω≥2,T ≤π与已知矛盾;若k<0,ω<0,与已知不符,当k=0时,得ω=12满足题意. 13.-12 解析 设f (x )的最小正周期为T ,因为f (x+π)=f (x ),所以nT=π(n ∈N *),所以T=πn =2πω(n ∈N *),所以ω=2n (n ∈N *),又f (π12)=1,所以当x=π12时,ωx+φ=n ·π6+φ=π2+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以φ=π2+2k π-n ·π6(n ∈N *,k ∈Z ),因为0<φ<π3,所以0<π2+2k π-n ·π6<π3(n ∈N *,k ∈Z ),整理得1<n-12k<3(n ∈N *,k ∈Z ),因为n-12k ∈Z (n ∈N *,k ∈Z ),所以n-12k=2(n ∈N *,k ∈Z ),所以φ=π2+2k π-(2+12k )·π6=π6(k ∈Z ),则n ·π6+π6=π2+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以nπ6=π3+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以f (-π12)=sin [2n ·(-π12)+π6]=sin -nπ6+π6=sin (-π3-2kπ+π6)=sin (-π6)=-12(n ∈N *,k ∈Z ).14.0 解析 由于f (x )=sin 4x-2cos 4x=√5sin(4x-φ)(其中tan φ=2),所以函数f (x )的最小正周期T=2π4=π2,而f (x )≥f (x 0),因此f (x )在x=x 0处取得最小值,而x 0+14T=x 0+π8,所以点(x 0+π8,0)是f (x )图象的对称中心,故f x 0+π8=0.。

1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题．2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉．一、三角函数1．公式（1）扇形的弧长和面积公式如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l rα=．相关公式：①l =|α|r②21122S lr r α==（2）诱导公式：正弦余弦正切α+k ⋅2πsin αcos αtan αα+π―sin α―cos αtan α―α―sin αcos α―tan απ―αsin α―cos α―tan α2πα+cos α―sin α2πα-cos αsin α32πα+―cos αsin α32πα-―cos α―sin α（3）同角三角函数关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin tan cos ααα=（4）两角和与差的三角函数：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α―β)=sin αcos β―cos αsin βcos(α+β)=cos αcos β―sin αsin βcos(α―β)=cos αcos β+sin αsin βtan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（5）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-（6）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=2．三角函数性质性质y =sin x ，x ∈Ry =cos x ，x ∈R奇偶性奇函数偶函数单调性在区间()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是增函数，在区间()32,222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是减函数在区间[―π+2kπ，2kπ](k ∈Z )上是增函数，在区间[2kπ，π+2kπ](k ∈Z )上是减函数最值在()22x k k ππ=+∈Z 时，y max ；在()22x k k ππ=-∈Z 时，y min在x =2kπ(k ∈Z )时，y max ；在x =2kπ+π(k ∈Z )时，y min对称中心(kπ，0)(k ∈Z )(),02k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z x =kπ(k ∈Z )正切函数的性质图象特点定义域为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z 图象与直线2x k k ππ=+∈Z ，没有交点最小正周期为π在区间,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，上图象完全一样在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是增函数图象在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是上升的对称中心为,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，图象关于点,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，成中心对称3．函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换（1）φ对函数y =sin(x +φ)的图象的影响（2）ω(ω>0)对y =sin(ωx +φ)的图象的影响（3）A(A >0)对y =A sin(ωx +φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义（2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos 356πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则x 0=（ ）ABCD【答案】C【解析】∵,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,636πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又3cos 65πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以,063ππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴0cos cos cos cos sin sin 666666x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=-⨯=，故选C ．【点评】本题容易忽视6πα+的范围，而导致sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭出错．2．已知 tan 2θ―4tan θ+1=0，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C（70分钟）经典训练题【解析】由 tan 2θ―4tan θ+1=0，可得1tan 4tan θθ+=，所以sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4cos sin θθθθ+=⋅，即1cos sin 4θθ⋅=，211cos 2121sin 212sin cos 124cos 422224πθπθθθθ⎛⎫++-⨯⎪--⎛⎫⎝⎭+===== ⎪⎝⎭，故选C ．【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有1tan 4tan θθ+=，从而可得1cos sin 4θθ⋅=，由21cos 21sin 22cos 422πθπθθ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭12sin cos 2θθ-=可解，属于中档题．3．已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)，(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．―2B ．2C ．―3D ．―1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π，则1ω=，∴f (x )=2sin(x +φ)，将点,14A π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-，则()2sin 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=，故选A ．【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，sin cos sin CA B<变形为sin C <sin B cos A ，由内角和定理可得sin(A +B)<cos A sin B ，化简可得：sin A cos B <0，∴cos B <0，所以2B π>，所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．5．（多选）已知函数f(x)=3sin x +sin 3x ，则（ ）A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数且最小正周期为2πC ．f(x)的值域是[―4，4]D ．当x ∈(0，π)时，f(x)>0【答案】ABD【解析】A ．f (―x )=3sin(―x )+sin(―3x )=―3sin x ―sin 3x =―f (x )，故f(x)是奇函数，故A 正确；B ．因为y =sin x 的最小正周期是2π，y =sin 3x 的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是f(x)的最小正周期，故B 正确；C ．分析f(x)的最大值，因为3sin x ≤3，sin 3x ≤1，所以f(x)≤4，等号成立的条件是sin x =1和sin 3x =1同时成立，而当sin x =1，即()22x k k ππ=+∈Z 时，()3362x k k ππ=+∈Z ，sin 3x =―1，故C 错误；D ．展开整理可得()2()3sin sin cos 2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当x ∈(0，π)时，f(x)>0，故D 正确，故选ABD ．【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．二、解答题．6．已知m =(2sin x ，sin x ―cos x )，n =(3cos x ，sin x +cos x )，函数f(x)=m ⋅n ．求函数f(x)的最大值以及取最大值时x 的取值集合．【答案】f(x)的最大值为2，,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【解析】()()()cos sin cos sin cos f x x x x x x x =⋅=+-+m n2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数f(x)的最大值为2，当2262x k πππ-=+，即,3x k k ππ=+∈Z 取得，即集合为,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点评】本题与向量的坐标运算结合，考查三角函数的最值，属于基础题．7．已知函数2()cos 222x x x f x =+-．（1）求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．【答案】（1）[―2，2]；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()2cos 2sin(2224x x x f x x x x π=+-==+，令4U x π=+，∵x ∈[0，π]，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知，sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数f(x)的值域为[―2，2]．（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>，∵f(ωx)=3，2sin(4x πω∴+=，即sin()4x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ，由于方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为f(x)=A sin(ωx +φ)，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．8．已知函数f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥．【解析】（1）f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1cos 21133212cos 2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，∴f(x)的为最小正周期22T ππ==，值域为()15,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）记f(x)=t ，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由f 2(x)―k ⋅f(x)―2≤0恒成立，知t 2―kt ―2≤0恒成立，即kt ≥t 2―2恒成立，∵t >0，∴222t k t t t-≥=-．∵()2g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，max 5541722510g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围是1710k ≥．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为，求a +b +c 的最小值．【答案】（1）13；（2）4+．【解析】（1）由3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ，∵A +B +C =π，所以228(sin sin )sin sin sin 3B C A B C +=+，由正弦定理可得228()3b c a bc +=+，则22223b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 23b c a A bc +-==．（2）由1cos 3A =，得sin A =，∵1sin 2ABC S bc A ==△，∴bc =12，由22223b c a bc +-=，得222224216333a b c bc bc bc bc =+-≥-==，∴a ≥4，当且仅当b =c =23时，等号成立．又b +c ≥2bc =43，当且仅当b =c =23时，等号成立．∴a +b +c ≥4+43，当且仅当b =c =23时，等号成立．即a +b +c 的最小值为4+．【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a +b ，ab ，a 2+b 2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．10．设函数f(x)=12cos 2x ―43sin x cos x ―5．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=―5，a =3，求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π，[―43+1，43+1]（2）(3+3，33]．【解析】（1）f (x )=12cos 2x ―43sin x cos x ―5=12cos 2x ―23sin 2x ―56cos 221216x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，T π∴=，值域为[―43+1，43+1]．（2）由f(A)=―5，可得212cos cos A A A =，因为三角形为锐角△ABCsin A A =，即tan A =，3A π=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，22sin 2sin()3c C B π==-，所以212sin sin()2(sin sin )32a b c B B B B B π⎡⎤++=++-=++⎢⎥⎣⎦32(sin ))26B B B π==++，因为△ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，02C π<<，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin(16B π<+≤，即36B π+<+≤，所以周长的取值范围为区间(3+3，33]．【点评】在解三角形的周长范围时，将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求周长的取值范围，是常用解法．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b )(sin A ―sin B )=(b +c )sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =2，求△ABC 的面积的最大值．【答案】（1）23π；（2）23．【解析】（1）由题意得(a +b)(a ―b)=(b +c)c ，∴b 2+c 2―a 2=―bc ，1cos 2A ∴=-，()0,A π∈，23A π∴=．（2）1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()()2222211244AD AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()1224AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅，当且仅当AB =AC 时，等号成立，∴AB ⋅AC ≤8，11sin120822S AB AC =⋅︒≤⨯=故△ABC 的面积的最大值是23．【点评】用三角形中线向量进行转化是解题关键．12．如图，在△ABC 中，AB =2AC ，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ．（1）求ABD ADCS S △△的值；（2）若AC =1，BD =2，求AD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，即sin ∠BAD =sin ∠CAD，∴1sin 21sin 2ABDADC AB AD B AB AD S S AC AD A ACC D ⋅∠∠==⋅V V ，又∵AB =2AC ，∴2ABD ADC S S =△△．（2）由（1）知2ABD ADC S AB S AC ==△△，而1212ABDADC BC h S BC S CDCD h ⋅==⋅△△，2AB BD AC CD ∴==且AC =1，BD =2，∴2AB =，CD =∵∠BAD =∠CAD ，∴cos ∠BAD =cos ∠CAD ，在△ABD 中，22222422cos 2224AB AD BD AD AD BAD AB AD AD AD+-+-+∠===⋅⨯⨯，在△ACD 中，2222211122cos 2212AD AD AC AD CD CAD AC AD AD AD +-++-∠===⋅⨯⨯，∴2212242AD AD AD AD ++=，∴AD =1．【点评】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，解题的关键在于对角平分线的性质的理解和运用，考查解题和运用能力．13．在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ．（1）求角C 的值；（2）若c =2，且ΔABC 为锐角三角形，求a +b 的取值范围．【答案】（1）3C π=；（2）(23，4]．【解析】（1）由题意知(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵C ∈(0，π)，∴3C π=．（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===a A =，b B =，∴)2sin sin sin sin 3a b A B A A π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又∵ΔABC 为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上a +b 的取值范围为(23，4]．【点评】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．一、选择题．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“b cos A ―c <0”，是“△ABC 为锐角三角形”的（ ）条件．A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【答案】C高频易错题即sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A >sin B cos A ，∴sin A cos B >0，因为sin A >0，∴cos B >0，所以B 为锐角．当B 为锐角时，△ABC 不一定为锐角三角形；当△ABC 为锐角三角形时，B 一定为锐角，所以“b cos A ―c <0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要非充分条件，故选C ．【点评】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法．我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________．【答案】(22，23)【解析】由sin2sin b a A A=，得4cos b A =，由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒，01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos A A ︒<<︒⇒<<cos A <<b =4cos A ∈(22，23)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．三、解答题．3．已知a >0，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，―5≤f (x )≤1．（1）求常数a ，b 的值；（2）设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【答案】（1）2a =，5b =-；（2）递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【解析】（1）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(2)2,6a x a a π-+∈-，所以f (x )∈[b ，3a +b]，又因为―5≤f (x )≤1，可得531b a b =-⎧⎨+=⎩，解得2a =，5b =-．（2）由（1）得()4sin(2)16f x x π=-+-，则()74sin(214sin(21266g x f x x x πππ⎛⎫=+=-+-=+- ⎪⎝⎭，又由lg g (x )>0，可得g (x )>1，所以4sin(2116x π+->，即1sin(2)62x π+>，所以5222666k x k k πππππ+<+<+∈Z ，，当222662k x k k πππππ+<+≤+∈Z ，时，解得6k x k k πππ<≤+∈Z ，，此时函数g (x )单调递增，即g (x )的递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；当5222266k x k k πππππ+<+<+∈Z 时，解得63k x k k ππππ+<<+∈Z ，，此时函数g (x )单调递减，即g (x )的递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力．一、选择题．1．如图所示，扇形OQP 的半径为2，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是（）AB．CD ．23【答案】A【解析】如图，记∠COP =α，在Rt △OPC 中，2cos OB α=，2sin BC α=，在Rt △OAD中，OA DA BC α===，所以2cos AB OB OA αα=-=，设矩形ABCD 的面积为S，(2cos )2sin S AB BC ααα=⋅=⋅精准预测题24sin cos 2sin 22ααααα==+-)6πα=+，由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S =，故选A ．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解．2．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为（ ）A ．221124x y +=B ．sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移12π个单位得2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin[ω(x +φ)]=sin(ωx +ωφ)，而不是y =sin(ωx +)，考查运算求解能力，是基础题．3．（多选）如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．ω=2B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数，f (x )的一个对称中心C ．23πϕ=D ．函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【解析】由题知，A =2，函数f (x )的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==，故A 正确；因为1111112sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得423k πϕπ=-，k ∈Z ，又|φ|<π，所以23πϕ=，故C 正确；函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为22sin 22sin 06633f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以,06π⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数f (x )的一个对称中心，故B 错误；令23222232m x m πππππ+≤+≤+，m ∈Z ，得51212m x mx πππ-≤≤+，m ∈Z ，当m =―1时，1371212x ππ-≤≤-，因为4137,,51212ππππ⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确，故选ACD ．【点评】已知()(sin 0,0)()f x A x A ωϕω+>>=的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由2Tπω=，即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=(或0x ωϕπ+=)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．二、解答题．4．已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数()()0,42g x x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()12f A =-，△ABC 的面积为33，b ―c =2，求a 的值．【答案】（1）ω=2，值域为[―1，2]；（2）4．【解析】（1）因为函数f(x)=cos(ωx)的最小正周期为π，由2T ππω==，2ω=，又因为ω>0，所以ω=2．此时f(x)=cos 2x ，则得()2cos 24g x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即g(x)=3sin 2x ―cos 2x ，即()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以所求函数的值域为[―1，2]．（2）由题意得1cos 22A =-，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则得2A ∈(0，π)，所以223A π=，解得3A π=，因为△ABC 的面积为33，则得1sin 2bc A =，即1sin 23bc π=，即bc =12．又因为b ―c =2，由余弦定理，得a =b 2+c 2―2bc cos A =b 2+c 2―bc =(b ―c )2+bc =22+12=4，所以a =4．【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是f(x)=A sin(ωx +ϕ)+k 形式），然后利用正弦函数性质确定求解．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A +B ―C )=c sin(B +C )．（1）求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．【答案】（1）3C π=；（2）6+23．【解析】（1）∵a sin(A +B ―C)=c sin(B +C)，∴sin A sin(π―2C)=sin C sin A ，∴2sin A sin C cos C =sin C sin A ，∵sin A sin C ≠0，1cos 2C ∴=，0C π<<，3C π∴=．（2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得，c 2=12，c =23，此时周长为6+23．【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．6．如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=．记∠EPM =θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（2）求S 的最小值．【答案】（1）4sin cos PM θθ=+，PN =，30arctan 34πθ≤≤-；（2）8(2―1)平方米．【解析】（1）在△PME 中，∠EPM =θ，4PE AE AP =-=米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ⨯∠===∠+；同理在PNE △中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin PE PEN PN PNE ⨯∠===∠当M 与E 重合时，θ=0；当N 与D 重合时，tan ∠APD =3，即∠APD =arctan 3，3πarctan 3arctan 344πθπ=--=-，所以30arctan 34πθ≤≤-．（2）△PMN 的面积214sin 2cos sin cos S PM PN MPN θθθ=⨯⨯∠=+481cos 21sin 2cos 21sin 222θθθθ===++++，因为30arctan 34πθ≤≤-，所以当242ππθ+=，即30,arctan 384ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S)81=-，所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2―1)平方米．【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．7．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos 2A =0，且△ABC 为锐角三角形，a =7，c =6，求b 的值；（2）若a =3，3A π=，求b +c 的取值范围．【答案】（1）5b =；（2）b +c ∈(3，23]．【解析】（1）22223cos cos 223cos 2cos 10A A A A +=+-=Q ，∴21cos 25A =，又∵A 为锐角，1cos 5A =，而a 2=b 2+c 2―2bc cos A ，即2121305b b --=，解得b =5或135b =-（舍去），∴b =5．（2）由正弦定理可得()22sin sin 2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<Q ，∴5666B πππ<+<，∴1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴b +c ∈(3，23]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．。

高考专题训练 (六)三角函数的图象与性质A 级——基础稳固组一、选择题1． (2014 全·国纲领卷 )已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝() 4 3 34A. 5B.5 C ．－ 5D ．－ 5分析－ 44cos α＝2＋ 32＝－ .－5答案 D2． (2014 四·川卷 )为了获得函数 y ＝sin(2x ＋ 1)的图象，只要把函数y ＝ sin2x 的图象上全部的点 ()A ．向左平行挪动12个单位长度B ．向右平行挪动12个单位长度C ．向左平行挪动 1 个单位长度D ．向右平行挪动 1 个单位长度分析∵y ＝ sin(2x ＋ 1)＝ sin2 x ＋ 1 ，∴只要把 y ＝ sin2x 图象上全部的点向左平移1个22单位长度即获得y ＝ sin(2x ＋1)的图象．答案Aπ3．(2014 北·京东城一模 )将函数 y ＝ sin(2x ＋ φ)的图象沿 x 轴向左平移 8个单位后， 获得一个偶函数的图象，则 φ的一个可能取值为 ()3π π ππA. 4B.2C.4D ．－ 4 分析y ＝ sin(2x ＋ φ)错误 ! sin 错误 ! ＝ sin 错误 ! 是偶函数，即 错误 ! ＋ φ＝ k π＋ 错误 !(k ∈Z) ?ππφ＝ k π＋ (k ∈ Z) ，当 k ＝ 0 时， φ＝ ，应选 C.4 4 答案Cπ 的部分图象如下图，若x 1， x 2 ∈A>0 ， ω >0， | φ |<4 ．函数 f(x) ＝ Asin( ωx＋φ)2π π，且 f(x 1)＝ f(x 2) ，则 f(x 1＋x 2)＝ ()－ ， 361 2 A ．1B.2C. 2分析 察看图象可知， A ＝ 1， T ＝ π，∴ ω＝2， f(x) ＝sin(2x ＋φ)．π 代入上式得π 将－，0sin － ＋ φ ＝0，63π π由 | φ|<，得 φ＝ ，23π则 f(x) ＝ sin 2x ＋3 .π π－ ＋63π函数图象的对称轴为x ＝2＝ 12.π π又 x 1， x 2∈ － ，，6 3x 1＋ x 2 π且 f(x 1 )＝ f(x 2)，∴ 2＝ ，12 π∴ x 1＋ x 2＝ ，6∴ f(x ＋ xπ π2)＝ sin 2× ＋＝ 31632 .应选 D.答案 D5．函数 f(x) ＝ sin(πωx＋φ )( ω，>0| φ |<)的最小正周期是2 后获得的函数为奇函数，则函数f(x) 的图象 ()3D. 2ππ，若其图象向右平移6个单位π， 0 对称 B ．对于直线 πA ．对于点 12x ＝12对称π 对称D ．对于直线 πC ．对于点 ， 0x ＝ 对称6 62π分析∵T ＝ ω＝π，∴ ω＝ 2.π∴ f(x) ＝ sin(2x ＋ φ)向右平移 个单位，6π得 y ＝sin 2x － 3＋φ 为奇函数，π∴－ ＋ φ＝k π(k ∈ Z) ，3π∴ φ＝ 3＋ k π(k ∈Z) ，ππ∴ φ＝ ，∴ f(x) ＝ sin2x ＋ 3 .3π π∵ sin 2× ＋ ＝1，12 3∴直线 x ＝ π为函数图象的对称轴．应选B.12答案B6．已知函数 f(x) ＝ cos 2x ＋π－ cos2x ，此中 x ∈ R ，给出以下四个结论：①函数 f(x)3是最小正周期为π的奇函数；②函数 f(x) 图象的一条对称轴是直线x ＝ 2π3 ；③函数 f(x) 图象5ππ2π的一个对称中心为 12， 0 ；④函数 f(x) 的递加区间为k π＋6， k π＋ 3 ，k ∈ Z. 则正确结论的个数是 ( )A ．1B ．2C ． 3D ． 4πππ解 析 由 已知 得 ， f(x) ＝ cos 2x ＋ 3 － cos2x ＝ cos2xcos 3 － sin2xsin 3 － cos2x ＝ －sin 2x ＋ π ，不是奇函数，故①错；当 x ＝ 2π 2π 4π π＝ 1，故②正确；当 x 6 3时， f 3 ＝－ sin ＋6 3＝ 5π 5π π ππ 时， f ＝－ sin π＝ 0，故③正确；令 2k π＋ ≤ 2x ＋ ≤ 2k ＋π3π， k ∈ Z ，得 k π＋ ≤ x ≤ k π12 122 6 2 62 ＋3π， k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为 3.答案 C二、填空题ππ7．若 sin ＋ α＝1，则 sin＋ 2α ＝ ________.3 36分析 sinπ π π 2π 2 π7 ＋ 2α ＝－ cos2＋ ＋ 2α＝－ cos＋ 2α ＝2sin＋ α － 1＝－ .66339答案 －798． (2014 ·苏卷江 )已知函数 y ＝ cosx 与 y ＝ sin(2x ＋φ )(0 ≤φ，<它π)们的图象有一个横坐π 标为的交点，则 φ的值是 ________．3分析利用函数 y ＝ cosx 与 y ＝ sin(2x ＋φ)(0 ≤φ <的π)图象交点横坐标，列方程求解．π π由题意，得 sin 2× ＋ φ ＝ cos ，33由于π0≤φ <，π所以 φ＝ .6答案π69． (2014 北·京卷 )设函数 f(x) ＝Asin( ωx＋φ )(A ， ω， φ是常数， A>0 ，ω >0)．若 f(x) 在π ππ2ππ区间 ，上拥有单一性，且 f 2 ＝ f3 ＝－ f 6 ，则 f(x) 的最小正周期为 ________．6 2π ππππ分析 由 f(x) 在区间 6， 2 上拥有单一性， 且 f 2 ＝－ f6 知， f(x) 有对称中心 3，0 ，由 fπ 2 1 π 2 71 π π2 ＝ fπ知 f(x) 有对称轴 x ＝2＋ π ＝ 12π，记 T 为最小正周期，则 T ≥－ ? T ≥ π，2 3 2 3 22637 π T进而12π－3＝ 4 ，故 T ＝ π.答案π三、解答题π ππ≤φ<对10．(2014 重·庆卷 )已知函数 f(x) ＝ 3sin( ωx＋φ )( ω，>0－ 2x ＝ 32)的图象对于直线称，且图象上相邻两个最高点的距离为 π.(1) 求 ω和 φ的值；α3π2π 3π (2) 若 f ＝6 <α< ，求 cos α＋的值．2 432解(1)因 f(x) 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以 f(x) 的最小正周期 T ＝π，进而 ω＝2π ＝ 2.Tπ 又因 f(x) 的图象对于直线x ＝ 对称，3所以π π 2·＋ φ＝k π＋ ， k ＝0， ±1，±2， .32因－ π ππ 2ππ ≤φ<得 k ＝ 0，所以 φ＝ －＝－.2 2 2 36(2) 由(1) 得 f α ＝ α π3，2 3sin 2·－ ＝2 6 4π 1所以 sin α－ 6 ＝ 4.π 2π π π由<α< 得 0<α－< ，636 2π 2π1 2 15所以 cos α－ 6 ＝1－ sin α－6 ＝1－ 4 ＝ 4.3ππ π所以 cos α＋ 2 ＝ sin α＝ sin α－ 6 ＋6＝ sin α－ π π π π6 cos ＋ cos α－ 6 sin 66＝ 1 × 3 15 1 3＋ 15 .4＋ × ＝ 82 4 211．(2014 ·山东菏泽一模 )已知函数 f(x) ＝ 2sin ωxcos ωx ＋ 2 3sin 2ωx － 3(ω>0) 的最小正周期为 π.(1) 求函数 f(x) 的单一增区间；πy ＝ g(x) 的图(2) 将函数 f(x) 的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，获得函数6象，若 y ＝ g(x) 在 [0， b]( b>0) 上起码含有 10 个零点，求 b 的最小值．解(1)由题意得 f(x) ＝ 2sin ωxcos ωx＋ 2 3 sin 2ωx－ 3 ＝ sin2 ωx－ 3 cos2 ωx＝ 2sin 2ωx－π，3由最小正周期为 π，得 ω＝ 1，π所以 f(x) ＝2sin 2x － 3 ，由 2k π－πππ2≤ 2x －，k ∈ Z ，3≤ 2k ＋π2整理得 k π－π5π12≤ x ≤ ＋k π ，k ∈ Z ，12所以函数 f(x) 的单一增区间是k π－ π，k π＋ 5π， k ∈ Z.12 12π1 个单位，获得y ＝2sin2x ＋ 1 的(2) 将函数 f(x) 的图象向左平移 6个单位，再向上平移图象，所以 g(x) ＝ 2sin2x ＋ 1.7π11π令 g(x) ＝ 0，得 x ＝ k π＋ 12或 x ＝ k π＋12 (k ∈ Z) ，所以在 [0， π]上恰巧有两个零点，若y ＝ g(x) 在 [0， b]上有 10 个零点，则 b 不小于第11π 59π10 个零点的横坐标即可，即b 的最小值为 ＝4π＋ 12 12 .B 级 —— 能力提升组π，且其图象对于直线x ＝ 0 对称，()φ |<1．设函数 f(x) ＝ 3cos(2x ＋ φ)＋ sin(2x ＋φ)2π上为增函数A ． y ＝ f(x) 的最小正周期为 π，且在 0， 2B ． y ＝ f(x) 的最小正周期为 π，且在 0， π上为减函数2π π C ． y ＝ f(x) 的最小正周期为 2，且在0， 4 上为增函数π π上为减函数D ． y ＝ f(x) 的最小正周期为 ，且在0， 4 2分析 f(x) ＝ 3cos(2x ＋ φ)＋ sin(2x ＋ φ)π＝ 2sin 2x ＋ 3＋ φ，∵其图象对于 x ＝ 0 对称，∴ f(x) 是偶函数．π π∴ 3＋ φ＝ 2＋ k π， k ∈ Z.又∵ π π| φ|<，∴ φ＝ .2 6π π∴ f(x) ＝ 2sin 2x ＋3＋ 6 ＝ 2cos2x.易知 f(x) 的最小正周期为π，在 0，π上为减函数．2答案B2． (2014 ·国纲领卷全 )若函数 f(x) ＝ cos2x ＋ asinx 在区间取值范围是 ________．π πa 的，是减函数，则实数6 2分析f(x) ＝ 1－ 2sin 221 ， 1 ，令 t ＝ sinx ∈ 1，1 ，x ＋ asinx ＝－ 2sin x ＋ asinx ＋ 1，sinx ∈ 2 2则 y ＝－ 2t 2 ＋ at ＋ 1 在 1， 1 是减函数，∴对称轴a 1t ＝≤ ，∴ a ≤2.24 2答案(－ ∞， 2]3． (2014 湖·北卷 )某实验室一天的温度 (单位：℃ )随时间 t(单位： h)的变化近似知足函数关系：ππf(t) ＝ 10－ 3cos 12t － sin 12t ， t ∈[0,24) ．(1) 务实验室这天的最大温差；(2) 若要务实验室温度不高于 11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？3 π 1 ππ π 解 (1)由于 f(t) ＝ 10－ 2 2 cos 12t ＋ 2sin 12t ＝ 10－ 2sin 12t ＋3 ，又 0≤t<24，所以 π π π 7π≤ t ＋ < ，3 12 3 3π π－ 1≤sin 12t ＋ 3 ≤ 1.π π当 t ＝ 2 时， sin 12t ＋ 3 ＝ 1；ππ当 t＝ 14 时， sin 12t＋3＝－ 1.于是 f(t) 在 [0,24) 上获得最大值12，获得最小值8.故实验室这天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为 4 ℃ .(2)依题意，当 f(t)>11 时实验室需要降温．ππ由 (1) 得 f(t) ＝ 10－ 2sin 12t＋3，ππ故有10－2sin 12t＋3 >11，π π1即 sin 12t＋3 <－2.7π ππ 11π又 0≤t<24 ，所以 6 <12t＋3< 6，即 10<t<18.在 10 时至 18 时实验室需要降温．。

高考数学（理）二轮复习规范答题示例：三角函数的图象与性质（含答案）规范答题示例4 三角函数的图象与性质典例4 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－34，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．审题路线图 (1)f (x )＝m·n ―――――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性周期性求出ω――――――→()2f =α和差公式cos α(2)y ＝f (x )―――→图象变换y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间评分细则 (1)化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；(2)计算cos α时，算对cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3给1分；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3计算sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3时没有考虑范围扣1分；(3)第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练4 (2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。

专题检测（六） 三角函数的图象与性质A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2019·某某省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z解析：选B 由－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，则函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z .故选B.2．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：选A 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知，12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.3．(2019·某某七校第一次联考)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象( )A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴解析：选A 当x ＝π3＋k π，k ∈Z 时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝±1，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的对称轴是x ＝π3＋k π，k ∈Z ，又当2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π2，k ∈Z 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝±1，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象的对称轴是x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的对称轴都是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象的对称轴；当x ＝5π6＋k π，k ∈Z 时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝0，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋k π，0，k ∈Z ，又当x ＝π12＋k π2，k ∈Z 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，0，k ∈Z ，由此可得，它们的对称中心均不相同．故选A.4．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度得到f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3B ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3C ．g (x )＝sin 4xD ．g (x )＝cos x解析：选C 根据题图得A ＝1，34T ＝5π6－π12＝3π4⇒T ＝π＝2πω⇒ω＝2(T 为f (x )的最小正周期)，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.将f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的12，则所得图象对应函数g (x )的解析式为g (x )＝sin 4x .故选C.5．(2019·某某省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减解析：选C f (x )＝|sin x |·|cos x |＝12|sin 2x |，作出函数f (x )的图象如图所示，由图知函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，f (x )的最小正周期为π2，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，f (x )的图象无对称中心．故选C.6．(2019·某某市质量检测)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m ，m ]上单调递增，则m 的最大值为( )A.π8B.π4 C.3π8D.π2解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋kπ≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8，所以m 的最大值为π8.故选A.二、填空题7．(2019·某某揭阳检测改编)已知f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x ＋1)－3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x ＋1)，则f (x )的最小正周期为________，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：依题意可得f (x )＝2sin π3x ，其最小正周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2 3.答案：6 238．(2019·某某高考改编)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝________.解析：因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2.所以f (x )＝2sin 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.答案：29．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是________．解析：由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8，即m 的最大值为3π8.答案：3π8三、解答题10．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.11．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ，即tan x＝3.(2)f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＋1＝32sin x cos x －12cos 2x ＋1 ＝34sin 2x －cos 2x ＋14＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π6－cos 2x sin π6＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12．已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，某某数m 的取值X 围．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x＝3sin 2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π. (2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解， 即m ≤f (x )max ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.从而可得m ≤2.所以实数m 的取值X 围为(－∞，2]．B 组——大题专攻强化练1．已知向量m ＝(2sin ωx ，sin ωx )，n ＝(cos ωx ，－23sin ωx )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ＋3，直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数y ＝f (x )的图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)因为向量m ＝(2sin ωx ，sin ωx )，n ＝(cos ωx ，－23sin ωx )(ω>0)，所以函数f (x )＝m ·n ＋3＝2sin ωx cos ωx ＋sin ωx ·(－23sin ωx )＋3＝sin 2ωx －23sin 2ωx ＋3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3.因为直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数y ＝f (x )的图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2×2＝π，即2π2ω＝π，得ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．2．已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象． 解：(1)f (x )＝3sin 2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )·(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1.∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋12，k ∈Z .∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1.由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：x ＋π6－5π6－π2 0 π2π 7π6 x －π －2π3－π6 π35π6π f (x )－1 131则函数f (x3．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)∵函数f (x )的最小值为－1， ∴－A ＋1＝－1，即A ＝2.∵函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π， ∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，解得α＝π3. 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且在x ＝π8时取得最大值1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8时，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3，求x 1＋x 2＋x 3的取值X 围．解：(1)由题意，T ＝2×π2＝π，故ω＝2ππ＝2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1， 所以π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z . 因为0≤φ≤π2，所以φ＝π4， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)画出该函数的图象如图，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰好有三个根，且点(x 1，a )和(x 2，a )关于直线x ＝π8对称，点(x 2，a )和(x 3，a )关于直线x ＝5π8对称， 所以x 1＋x 2＝π4，π≤x 3<9π8， 所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8， 故x 1＋x 2＋x 3的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π4，11π8.。

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专题能力训练6 三角函数的图象与性质(时间:6０分钟满分：１００分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分)1。

函数f（ｘ）=sin的最小正周期为（）A。

4πB．2πＣ。

πﻩＤ.2.(2０17浙江湖州期末）已知ｓin=—，α∈,则tan α=（)Ａ.Ｂ。

—ﻩC.－Ｄ。

3．若当x=时，函数f(x)=Aｓｉn(x+φ）（A〉0)取得最小值,则函数y=f是（)A.奇函数且图象关于点对称B。

偶函数且图象关于点（π,0）对称C.奇函数且图象关于直线x＝对称D.偶函数且图象关于点对称4．已知函数f(x）=ｓin(ω〉0),若f＝f，且f(ｘ）在区间上有最小值，无最大值，则ω的值为()A。

B.Ｃ. D。

５.已知函数f(x)=siｎ(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对任意x∈R恒成立,且f〉ｆ(π），则f（ｘ）的单调递增区间是（）A。

(k∈Z)ﻩB.（k∈Z)C.(k∈Z）ﻩD.（ｋ∈Z)6.已知函数f(x)=2sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示,则把函数f（x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式是()A.y=２sin ２xB.y=2siｎＣ。

y=2sｉnD。

y=２ｓiｎ7.为了得到函数ｙ=cos的图象,只需将函数y=sin ２x的图象（)Ａ.向右平移个单位长度B。