2019年普通高考模拟考试理科数学一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}ln 1A x x =<，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =（ ）A. {}1B. {}1,2C. {}2101--,,, D. {}2-【答案】B 【解析】 【分析】首先求得集合A ，然后进行交集运算即可.【详解】求解对数不等式可得{}|0A x x e =<<， 结合题意和交集的定义可知：A B ={}1,2.故选：B .【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，交集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）【答案】A 【解析】 【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可. 【详解】由题意可得：2211iz i i i i i+=+=-++=-，则1,z i z =+=故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意观察所给的折线图考查所给的结论是否正确即可.【详解】考查所给的结论：①2011-2012年的市场规模量有所下降，该说法错误；②增长最快的一年为2013～2014，该说法正确；③这8年的增长率约为63.545.345.3-≈40％，该说法正确；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.综上可得：正确的结论有3个.故选：C.【点睛】本题主要考查折线图的识别，属于基础题.4.已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解两者之和即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值， 据此可知目标函数的最大值为：max 2226z =⨯+=，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：2020y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2022z =⨯+=.综上可得：2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8. 故选：C .【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.5.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A. 27B.57C.29D.59【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况. 其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为59p =. 故选：D .【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.6.函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，设()()()11h x f x g x =+++，则下列结论中正确的是（ ）A. ()h x 的图象关于(1,0)对称B. ()h x 的图象关于(1,0)-对称C. ()h x 的图象关于1x =对称D. ()h x 的图象关于1x =-对称【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数()h x 的性质 【详解】首先考查函数()()()H x f x g x =+，其定义域为R ，且()()()()()()f x g x f x x H x x H g =--=+=-+， 则函数()H x 为偶函数，其图像关于y 轴对称，将()H x 的图像向左平移一个单位可得函数()()()()111h x H x f x g x =+=+++的图像，据此可知()h x 的图象关于1x =-对称. 故选：D .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法是将()20182017201620192018201721f x x x x x =+++⋯++化为()()()()20192018201721f x x x x x x =⋯+++⋯++再进行运算，在计算()0f x 的值时，设计了如下程序框图，则在◇和中可分别填入（ ）A. 2n ≥和0S Sx n =+B. 2n ≥和01S Sx n =+-C. 1n ≥和0S Sx n =+D. 1n ≥和01S Sx n =+-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合秦九韶算法和流程图确定所需填入的程序语句即可.【详解】由题意可知，当1n =时程序循环过程应该继续进行，0n =时程序跳出循环，故判断框中应填入1n ≥，由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为：0S Sx n =+， 故选：C .【点睛】本题主要考查流程图问题，流程图与秦九韶算法的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在ABC ∆中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ）A.2B.2C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得cos C 的值，然后利用正弦定理解三角形即可. 【详解】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得：916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C =，在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin AB ACC B=2=，据此可得：AB =故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2222x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.【详解】设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得：2=，解得：1d =， 双曲线的渐近线方程为：0bx ay ±=，圆心坐标为()0,2，1=，即：21a c =，双曲线的离心率2ce a==. 故选：B .【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）A. 2 C.2D. 1【答案】A【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后结合面积公式求解面积的最大值即可.【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为r=，高1h=，故俯视图是一个腰长为2，顶角为120的等腰三角形，易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2，顶角的范围为(0,120⎤⎦，设顶角为θ，则截面的面积：122sin2sin2Sθθ=⨯⨯⨯=，当90θ=时，面积取得最大值2.故选：A.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.若函数()2xf x x ke =-在(0,)+∞上单调递减，则k 的取值范围为（ ）A. 8,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 4,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】将原问题进行等价转化为恒成立的问题，然后利用导数的性质可得实数k 的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得：()'2xf x x ke =-，函数在(0,)+∞上单调递减，则()'0f x ≤恒成立，即：20x x ke -≤， 据此可得：2xxk e ≥恒成立， 令()()20x xg x x e =>，则()()21'x x g x e-=， 故函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， 函数()g x 的最大值为()21g e =，由恒成立的结论可得：2k e≥， 表示为区间形式即2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数最值的求解，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A. 35-B. 45-C. -D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈， 即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题.13.已知向量a ，b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则||a b -=_____．【答案】3 【解析】 【分析】由题意结合平行四边形的性质可得a b -的值.【详解】由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得：()22222a ba b a b +=++-，即：()2222234a b +=+-，据此可得：3a b -=.【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数()()log 11a f x x =--（0a >，且1a ≠）的图象恒过点A ，若点A 在角α的终边上，则2cos 2sin αα-=__________． 【答案】25【解析】 【分析】首先确定点A 的坐标，然后由三角函数的定义求得sin ,cos αα的值，最后结合二倍角公式可得三角函数式的值.【详解】由函数的解析式可知点A 的坐标为()2,1A -， 由三角函数的定义可得：sin αα==， 故()22224112cos 2sincos sin sin 5555ααααα⎛⎫-=--=--= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查对数函数恒过定点问题，由终边点的坐标求解三角函数值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.在621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为____．【答案】40 【解析】 【分析】由题意利用排列组合的性质可得3x 项的系数.【详解】由题中的多项式可知，若出现3x ，可能的组合只有：()032x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭和()142x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，结合排列组合的性质和二项式展开式的过程可得3x 系数为：()()34330111166512112140C C C ⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-=.【点睛】本题主要考查二项式展开式与排列组合的综合运用，属于中等题.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则AB MN的最小值为____．【解析】 【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ l ⊥于点Q ，BP l ⊥于点P ，由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b ====，由勾股定理可知：AB ==由梯形中位线的性质可得：2a bMN +=，则：22AB MN=≥=当且仅当a b =时等号成立.即AB MN. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足111,22nn n a a a +==-+．（1）判断数列{}2nn a +是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S .【答案】（1）见解析；（2）21222n n S n n +=+-+【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的定义和数列的递推关系即可确定数列为等差数列；(2)结合(1)中的结论首先确定数列{}n a 的通项公式，然后分组求和确定其前n 项和即可.【详解】（1）∵122n n n a a +=-+，∴()()11222n n n na a+++-+=，∴数列{}2nn a +为公差为2的等差数列（2）∵11a =，∴123a +=，由（1）可得：232(1)21nn a n n +=+-=+， ∴221nn a n =-+，∴()232(123)2222n n S n n =++++-+++++，.()212(1)2212nn n n -+=⨯-+- 21222n n n +=+-+【点睛】本题主要考查由递推关系式证明数列为等差数列的方法，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，已知矩形ABCD 中，22AB AD ==，点E 是CD 的中点，将BEC ∆沿BE 折起到BEC '∆的位置，使二面角C BE C '--是直二面角．（1）证明：BC '⊥平面AEC '； （2）求二面角C AB E '--的余弦值．【答案】（1）见证明；（2【解析】 【分析】(1)由题意利用几何关系结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(2)由几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，分别求得两个半平面的法向量，利用所得的法向量整理计算可得二面角的余弦值.【详解】（1）∵22AB AD ==，点E 是CD 的中点， ∴ADE ∆，BCE ∆都是等腰直角三角形， ∴90AEB =︒∠，即AE BE ⊥..又∵二面角C BE C '--是直二面角，即平面C EB '⊥平面ABE ， 平面C EB '⋂平面ABE BE =，AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥平面C EB '， 又∵BC '⊂平面C BE '， ∴BC AE '⊥，又∵BC EC ''⊥，EC '⊂平面AEC '，AE EC E '⋂=， ∴BC '⊥平面AEC '.（2）如图，取BE 的中点O ，连接C O '， ∵C B C E ''=，∴C O BE '⊥，∵平面C EB '⊥平面ABE ，平面C EB '⋂平面ABE BE =，C O '⊂平面C EB '，∴C O '⊥平面ABE ，过O 点作OF AE ，交AB 于F ，∵AE EB ⊥，∴⊥OF OB ，以OF ，OB ，OC '所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，2A ⎫-⎪⎪⎭，0,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2C ⎛' ⎝⎭，∴2,22C A ⎛'=-- ⎭，0,,22C B ⎛⎫'=- ⎪ ⎪⎝⎭，2OC ⎛'= ⎝⎭，设(,,)n x y z =为平面ABC '的一个法向量，则0n C A n C B ''⎧⋅=⎨⋅⎩，即00y z y z --==，取1y z ==，则1x =，∴(1,1,1)n =， 又C O '⊥平面ABE ，∴0,0,2m OC ⎛== ⎝⎭为平面ABE 的一个法向量， 所以cos ,||||3m n m n m n ⋅<>===⋅，即二面角C AB E '--【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于M ，N两点，OMN ∆ （O为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=（2）【解析】 【分析】(1)由题意求得a ,b ,c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，可设(M x，(,N x ， ∵OMN ∆的面积为∴=2x =，∴M，(2,N ，由已知得222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =2b =，2c =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，(2,B，(2,C -，故142ABC ∆=⨯=；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>，2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+，||AB ==22121k k +=+， 点O 到直线20kx y k--=的距离d ==，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d =，∴1||22ABCS AB d∆=⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅⎪+⎝⎭=∵()()()()22222222211211k k k k k k k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k k k k +=+…，又221k k≠+，所以等号不成立.∴ABC S ∆=<综上，ABC ∆面积的最大值为.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A 、B 两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关?（2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X （单位：百元）近似地服从正态分布(,196)N μ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）．若X 落在区间(2,2)μσμσ-+的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导. ①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费，月薪不低于μ的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞Z 及对应的概率分别为：则李阳预期获得的话费为多少元? 附：()()()()()22n ad bc K a b b c c d b d -=++++，其中，n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】(1)首先写出列联表，然后计算2K 的值给出结论即可； (2)由题意求得2μσ-的值然后判定学生就业是否理想即可；由题意首先确定Z 可能的取值，然后求得概率可得分布列，最后利用分布列计算数学期望可得其预期获得的话费.【详解】（1）列出列联表如下：22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关. （2）①月薪频率分布表如下：将样本的频率视为总体的概率，该大学2018届的大学本科毕业生平均工资为：350.1450.18550.22650.25750.2850.0559.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∵月薪~(,196)X N μ，∴2196σ=，14σ=， ∴259.22831.2μσ-=-=，2018届大学本科毕业生李某的月薪为3500元35=百元231.2μσ>-=百元，故李阳不属于“就业不理想”的学生；②由①知59.2μ=百元5920=元，故李阳的工资为3500元，低于μ，可获赠两次随机话费，所获得的话费Z 的取值分别为120，180，240，300，360，111(120)224P Z ==⨯=，12111(180)233P Z C ==⨯⨯=，1211115(240)332618P Z C ==⨯+⨯⨯=，12111(300)369P Z C ==⨯⨯=，111(360)6636P Z ==⨯=.故Z 的分布列为：则李阳预期获得的话费为115111201802403003602004318936EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列的计算与期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数()221xe f x x mx =-+．（1）若(1,1)m ∈-，求函数()f x 的单调区间；（2）若10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[0,2m 1]x ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在不等式y x >所表示的平面区域内，请写出判断过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果是否成立.【详解】（1）解：∵(1,1)m ∈-，∴2440m ∆=-<，∴2210y x mx =-+>恒成立， ∴函数定义域为R ,()()222e 21e (22)()21x x x mx x m f x xmx '-+--=-+()222e (22)2121x x m x m xmx ⎡⎤-+++⎣⎦=-+()22e (1)(21)21x x x m xmx ---=-+，①当0m =时，即211m +=，此时()0f x '…，()f x 在R 上单调递增， ②当01m <<时，即1213m <+<，(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (1,21)x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减， (21,)x m ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③10m -<<时，即1211m -<+<时，(,21)x m ∈-∞+，()0f x '>，()f x 单调递增，(21,1)x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减， (1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，①0m =时，()f x 在R 上递增，②01m <<时，()f x 在(,1)-∞和(21,)m ++∞上递增，在(1,21)m +上递减； ③10m -<<时，()f x 在(,21)m -∞+和(1,)+∞上递增，在(21,1)m +上递减. （2）当10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知()f x 在[0,1]递增，在[1,21]m +递减，令()g x x =，则()g x 在R 上为增函数，函数()y f x =的图象总在不等式y x >所表示的平面区域内，等价于函数()f x 图象总在()g x 图象的上方，①当[0,1]x ∈时，min ()(0)1f x f ==，max ()()1g x g x ==， 所以函数()f x 图象在()g x 图象上方； ②当[1,21]x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以()f x 最小值为21e(21)22m f m m ++=+，()g x 最大值为(21)21g m m +=+，所以下面判断(21)f m +与21m +的大小，即判断2122m e m ++与21m +的大小，因为10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以即判断21e m +与(21)(22)m m ++的大小，令21x m =+，∵10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即判断e x 与(1)x x +大小，作差比较如下：令()e (1)xu x x x =-+，31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()21xu x e x '=--，令()()h x u x '=，则()e 2xh x '=-，因为31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()0h x '>恒成立，()u x '在31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增；又因为(1)e 30u '=-<，323e 402u ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()000210xu x e x '=--=，所以()u x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()0()u x u x …0200e xx x =--200021x x x =+--2001x x =-++， 因为二次函数2()1v x x x =-++的图象开口向下，其对称轴为12x =， 所以2()1v x x x =-++在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.. 因为031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0393*******v x v ⎛⎫>=-++=> ⎪⎝⎭， 所以()()00()0u x u x v x =>…，即(1)x e x x >+，也即(21)21f m m +>+， 所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方，所以函数()y f x =的图象总在不等式y x >所表示的平面区域内【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 1ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭．（1）求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线11,63ππθθθ⎛⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与圆C 的交点为O ，M ，与直线l 的交点为N ，求OM ON ⋅的取值范围．【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l的直角坐标方程为10x y +-=.（2）[1,3] 【解析】 【分析】(1)首先化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得C 的极坐标方程，展开三角函数式可得l 的普通方程；(2)利用极坐标方程的几何意义，将原问题转化为三角函数求值域的问题，据此整理计算可得OM ON ⋅的取值范围．【详解】（1）圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式：222(cos 1)sin 1ρθρθ-+=，化简得：2cos ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 直线l的极坐标方程为cos 1ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代人上式，得：10x y -=， ∴直线l的直角坐标方程为10x y -=. （2）设()11,M ρθ，因为点M 在圆:2cos C ρθ=上，则有112cos ρθ=，设()21,N ρθ，因为点N在直线:cos 1l ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则有2ρ=，所以12||||OM ON ρρ⋅===， ∵1,63ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1tan 3θ-12tan 1233θ+剟，∴1133，即1||||3OM ON ⋅剟，故||||OM ON ⋅的范围为[1,3].【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的转化，极坐标的几何意义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数()()22,12f x x a x g x x =-+-=-+． （1）求不等式()5g x <的解集；（2）若对任意1x R ∈都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|24}x x -<<（2）(,0][8,)-∞+∞ 【解析】 【分析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；(2)将原问题转化为函数值域之间的包含关系问题，然后分类讨论可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()5g x <得|1|25x -+<， ∴|1|3x -<， ∴313x -<-<， ∴24x -<<， ∴不等式()5g x <解集为{|24}x x -<<.（2）设函数()f x 的值域为M ，函数()g x 的值域为N ，∵对任意1x ∈R 都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，. ∴M N ⊆，∵()|1|2g x x =-+，∴[2,)N =+∞，①当4a =时，()3|2|f x x =-，此时[0,)M =+∞，不合题意；②当4a >时，23,2()2,2232,2a x x a f x a x x a x a x ⎧⎪+-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--⎪⎩……，此时2,2a M ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，∵M N ⊆，∴2224aa ⎧-≥⎪⎨⎪>⎩，解得8a …； ③当4a <时，23,2()2,2232,2a a x x a f x x a x x a x ⎧+-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩……，此时2,2a M ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，∵M N ⊆，∴2224aa ⎧-⎪⎨⎪<⎩…，解得0a …. 综上所述，实数a 的取值范围为(,0][8,)-∞+∞. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
