整理得 y=e 1 -1 x+(1-x1)e 1 -1 ①,
函数 y=g(x)在点 Q 处的切线方程为 y-ln
比较①和②得
e
1 -1
=
1
③,
2
1
x2= (x-x2),整理得
2
1
y= x+ln x2-1②,
2
(1-1 )e 1 -1 = ln 2 -1④,
两曲线公切线的条数即为该方程组解的组数,
2 -1
' = e ,
21 = e 2 ,
即
4(2 -1)
a= e2 ,设
4(-1)
f(x)= e ,则
4(2-)
f'(x)= e ,令
ae 2 =4x2-4,
f'(x)=0,解得 x=2,
所以 f(x)在(1,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调递减,所以
B.3
C.e+1
D.2
解析 设(t,et)是 f(x)图象上的一点,f'(x)=ex,
所以 f(x)在点(t,et)处的切线方程为 y-et=et(x-t),y=etx+(1-t)et①,
令
1 t
g'(x)==e ,解得
-t
-t
-t
2--e
x=e ,所以 g(e )=ln e +2=2-t,所以
[对点训练1](2024·福建南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共
点,且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l,则l的方程为__________.
2 ex-y-e=0
解析 设曲线 g(x)=aln x 和曲线 f(x)=x2 在公共点(x0,y0)处的切线相同,