2018届高三数学(文)一轮复习夯基提能作业本：第六章 数列 第一节 数列的概念及简单表示法

第二节 等差数列及其前n 项和A 组 基础题组1.若等差数列｛a n }的前5项之和S 5=25，且a 2=3，则a 7=（ )A.12B.13C.14 D 。

152。

已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为｛a n }的前n 项和。

若S 8=4S 4,则a 10=（ )A.172B.192C.10D.123。

已知等差数列{a n ｝前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ）A.100 B 。

99 C 。

98 D 。

974。

（2016湖北黄冈检测)在等差数列｛a n ｝中,如果a 1+a 2=40,a 3+a 4=60,那么a 7+a 8=（ )A.95 B 。

100 C.135 D.805。

在等差数列｛a n ｝中,a 1=0,公差d ≠0,若a m =a 1+a 2+…+a 9，则m 的值为（ ) A 。

37 B.36 C 。

20 D 。

196。

若数列{a n }满足a 1=15，且3a n+1=3a n -2，则使a k ·a k+1<0的k 值为( ）A.22B.21C.24D.237。

若等差数列{a n }的前17项和S 17=51,则a 5—a 7+a 9-a 11+a 13等于 .8。

已知等差数列{a n ｝中，a n ≠0（n ∈N *）,若对任意的n ≥2有a n —1+a n+1—a n 2=0且S 2m —1=38,则m 等于 .9。

在等差数列{a n }中,a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为 。

10.已知数列｛a n }满足a 1=1，a n =a n -12a n -1+1（n ∈N ＊，n ≥2)，数列{b n ｝满足关系式b n =1a n（n ∈N *)。

（1)求证：数列｛b n ｝为等差数列;(2）求数列｛a n ｝的通项公式.B 组 提升题组11.设S n 为等差数列｛a n }的前n 项和,(n+1）S n <nS n+1(n ∈N ＊）.若a8a 7<-1，则（ ）A。

2018课标版理数一轮（6）第六章-数列（含答案）2第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业本第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2016青岛模拟)在等差数列{a n}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是()A.24B.48C.96D.无法确定2.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为()A.14B.15C.16D.173.(2016淄博模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若-a m<a1<-a m+1(m∈n*,m≥2),则必有()<="" p="">A.S m>0且S m+1<0B.S m<0且S m+1>0C.S m>0且S m+1>0D.S m<0且S m+1<04.数列{a n}的前n项和S n=2n2+3n(n∈N*),若p-q=5,则a p-a q=()A.10B.15C.-5D.205.设数列{a n}的前n项和为S n,若S nS2n为常数,则称数列{a n}为“吉祥数列”.已知等差数列{b n}的首项为1,公差不为0,若数列{b n}为“吉祥数列”,则数列{b n}的通项公式为()A.b n=n-1B.b n=2n-1C.b n=n+1D.b n=2n+16.在等差数列{a n}中,公差d=12,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=.7.等差数列{a n}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{a n}的前n项和S n中最大的为.8.(2016福建莆田期中)如果数列{a n}满足a1=2,a2=1,且an-1-a nan-1=a n-a n+1a n+1(n≥2),则这个数列的第10项等于.9.(2016威海模拟)已知S n为正项数列{a n}的前n项和,且满足S n=12a n2+12a n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{a n}的通项公式.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数,(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.B组提升题组11.(2016德州模拟)已知正项数列{a n}的前n项的乘积T n=14n2-6n(n∈N*),b n=log2a n,则数列{b n}的前n项和S n中最大的是()A.S6B.S5C.S4D.S312.已知等差数列{a n}的公差d>0,若a1+a2+…+a2017=2017a m(m∈N*),则m=.13.(2016四川成都一诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a9=24,则S88·S1010的最大值为.14.(2016安徽安庆二模)已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列,S n为其前n项和,且a n=S2n-1(n∈N*).若不等式λa n ≤n+8n对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为.15.已知数列{a n}是等差数列,b n=a n2-a n+12.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{b n}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{b n}的前n项和为S n,是否存在实数k,使S n当且仅当n=12时取得最大值?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.16.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n},求证:{a n}为等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n},求{b n}的前n项和S n.答案全解全析 A 组基础题组1.B 由等差数列的通项公式知,a 2+a 12=2a 1+12d=2(a 1+6d)=32,所以 a 1+6d=16,所以2a 3+a 15=3a 1+18d=3(a 1+6d)=48.2.C 设等差数列{a n }的公差为d,∵a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,∴5a 8=120,a 8=24,∴a 9-13a 11=(a 8+d)-13(a 8+3d)=23a 8=16.3.A 由题意知,a 1+a m >0,a 1+a m+1<0,得S m =m (a 1+a m )2>0,S m+1=(m +1)(a 1+a m +1)2<0.4.D 解法一:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2+3n-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1, 当n=1时,a 1=S 1=5,符合上式, ∴a n =4n+1,∴a p -a q =4(p-q)=20.解法二:由题意可知{a n }为等差数列,且公差d=2×2=4,∴a p -a q =d(p-q)=20.5.B 设等差数列{b n }的公差为d(d ≠0),S n S 2n=k,因为b 1=1,则n+12n(n-1)d=k 2n +12×2n(2n-1)d ,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n 上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=14.所以数列{b n }的通项公式为b n =2n-1.6.答案 10 解析 S 100=1002(a 1+a 100)=45,a 1+a 100=0.9,a 1+a 99=a 1+a 100-d=0.4,则a 1+a 3+a 5+…+a 99=502(a 1+a 99)=502×0.4=10.7.答案 S 5解析∵ a 4+a7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴ a 5>0,a 6<0,∴S n 中最大的为S 5. 8.答案15解析∵a n -1-a n a n -1=a n -a n +1a n +1(n ≥2),∴a n =2a n -1a n +1an +1+a n -1(n ≥2),∴2a n=1an +1+1a n -1(n ≥2),∴ 1a n为等差数列.∴公差d=1a 2-1a 1=1-12=12,∴1a 10=12+9×12=5,∴a 10=15.9.解析(1)已知{a n}是正项数列,由S n=1 2a n2+12a n(n∈N*),可得a1=12a12+12a1,解得a1=1;S2=a1+a2=12a22+12a2,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2)S n=12a n2+12a n,①当n≥2时,S n-1=12an-12+12a n-1,②①-②化简得(a n-a n-1-1)(a n+a n-1)=0(n≥2),又{a n}为正项数列,∴a n-a n-1=1(n≥2).由(1)知a1=1,故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列,故a n=n.10.解析(1)证明:由题设a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减可得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1. 由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.此时a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}(n∈N*)是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}(n∈N*)是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.B组提升题组11.D当n=1时,a1=T1=14-5=45,当n≥2时,a n=T nTn-1=142n-7,显然a1=45也适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=142n-7,所以b n=log2a n=14-4n,数列{b n}是以10为首项,-4为公差的等差数列,所以S n=10n+n(n-1)(-4)2=-2n2+12n=-2[(n-3)2-9],易得S n中最大的是S3.12.答案1009解析因为数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a2017=2017a1+2017×20162d=2017(a1+1008d),又 a m=a1+(m-1)d,所以根据题意得,2017(a1+1008d)=2017[a1+(m-1)d],解得m=1009.13.答案 64解析设等差数列{a n }的公差为d,则a 2+a 4+a 9=3a 1+12d=24,即a 1+4d=8,所以S n n=na 1+n (n -1)2d n=a 1+n -12d=8-4d+n -12d,则S 88=8-4d+72d=8-d 2,S 1010=8-4d+92d=8+d 2,S 88·S 1010= 8-d 2 8+d2 =64-d 24≤64,当且仅当d=0时取等号,所以S88·S 1010的最大值为64.14.答案 9解析 a n = S 2n -1?a n = (2n -1)(a 1+a 2n -1)2= (2n -1)a n ?a n 2=(2n-1)a n ?a n =2n-1,n ∈N *.因为λa n ≤n +8n,所以λ≤(+8)(2n -1)n,即λ≤2n-8n+15.易知y=2x-8x(x>0)为增函数,∴2n -8n+15≥2×1-81+15=9,所以λ≤9,故实数λ的最大值为9. 15.解析 (1)证明:设{a n }的公差为d,则b n+1-b n =(a n +12-a n +22)-(a n 2-a n +12)=2a n +12-(a n+1-d)2-(a n+1+d)2=-2d 2,∴数列{b n }是以-2d 2为公差的等差数列.(2)∵a 1+a 3+a 5+…+a 25=130,a 2+a 4+a 6+…+a 26=143-13k,∴13d=13-13k,∴d=1-k,又13a 1+13×(13-1)2×2d=130,∴a 1=-2+12k,∴a n =a 1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3,∴b n =a n 2-a n +12=(a n +a n+1)·(a n -a n+1)=-2(1-k)2n+25k 2-30k+5.(3)存在.要满足当且仅当n=12时S n 最大,则b 12>0,b 13<0.即-2(1-k )2·12+25k 2-30k +5>0,-2(1-k )2·13+25k 2-30k +5<0? k 2+18k-19>0,k 2-22k +21>0? k >1或k <-19,k >21或k <1?k>21或k<-19,故存在满足题意的实数k,此时k ∈(-∞,-19)∪(21,+∞). 16.解析 (1)证明:∵f(x)=x 2-2(n+1)x+n 2+5n-7=[x-(n+1)]2+3n-8,∴a n =3n-8.∵a n+1-a n =3(n+1)-8-(3n-8)=3,∴数列{a n }为等差数列.(2)由题意知,b n =|a n |=|3n-8|,∴当1≤n ≤2,n ∈N *时,b n =8-3n,S n =n (b 1+b n )2=n [5+(8-3n )]2=13n -3n 22;当n ≥3,n ∈N *时,b n =3n-8,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =5+2+1+…+(3n-8)=7+(n -2)[1+(3n -8)]2=3n 2-13n+282.∴S n = 13n-3n 22,1≤n ≤2,n ∈N *,3n 2-13n+282,n ≥3,n ∈N *.</a1<-a>。

第四节数列求和
组基础题组
.数列{}的通项公式是,前项和为,则等于( )
.已知数列{}满足,且,则该数列的前项的和等于( )
.在数列{}中(),那么的值为( )
.已知数列{}的前项和,则{}的前项和( )
.
.设数列{}的前项和为.若∈*,则.
.(课标Ⅱ分)设是数列{}的前项和,且,则.
.对于数列{},定义数列{}为数列{}的“差数列”,若,{}的“差数列”的通项为,则数列{}的前项和. .已知等比数列{}的前项和为,且满足.
()求的值及数列{}的通项公式;
()若数列{}满足,求数列{}的前项和.
.正项数列{}的前项和满足()().
()求数列{}的通项公式;
()令,数列{}的前项和为.证明:对于任意的∈*,都有<.
组提升题组
.在数列{}中,若{}的前项和,则( )
.数列{}的通项公式为,其前项和为,则等于( )
.已知数列{}的前项和为,当≥时,则的值为( )
.(江西八校联考)在数列{}中,已知()()π],记为数列{}的前项和,则.
.(安徽师大附中模拟)用]表示不超过的最大整数,例如]]].已知数列{}满足,则
.
.在数列{}中,若为{}的前项和,且数列{}是等比数列,则.
.(安徽分)已知数列{}是递增的等比数列,且.
()求数列{}的通项公式;
()设为数列{}的前项和,求数列{}的前项和.
.已知{}是递增的等差数列是方程的根.
()求{}的通项公式;
()求数列的前项和.。

第一节数列的概念及简单表示法A组基础题组1.(2016济宁模拟)数列0,,,,…的一个通项公式为()A.a n=(n∈N*)B.a n=(n∈N*)C.a n=(n∈N*)D.a n=(n∈N*)2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列3.(2016临沂模拟)已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=(n∈N*),则a20等于()A.0B.-C.D.4.(2016广东3月测试)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=(a n-1)(n∈N*),则a n=()A.3(3n-2n)B.3n+2C.3nD.3·2n-15.若数列{a n}满足a1=19,a n+1=a n-3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.96.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的第项.7.(2016威海模拟)在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是.8.已知数列{a n}满足a1=1,a n=-1(n>1),则a2017=,当n>1时,|a n+a n+1|=.9.已知数列{a n}满足前n项和S n=n2+1,数列{b n}满足b n=,且前n项和为T n,设c n=T2n+1-T n.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)判断数列{c n}的增减性.10.设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=a(a≠3),a n+1=S n+3n,n∈N*.(1)设b n=S n-3n,求数列{b n}的通项公式;(2)若a n+1≥a n,n∈N*,求a的取值范围.B组提升题组11.(2016浙江杭州三模)数列{a n}定义如下:a1=1,当n≥2时,a n=若a n=,则n的值为()A.7B.8C.9D.1012.若数列{a n}满足a1=1,且对于任意的n∈N*,都有a n+1=a n+n+1,则++…+等于()A. B. C. D.13.如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第(n)个图案中需用黑色瓷砖块.(用含n的代数式表示)14.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n·2n+1,将该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为.(1)若a=-7,求数列{a n}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立,求a的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.C将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子可表示为2(n-1),n∈N*,分母可表示为2n-1,n∈N*.2.A因为a n+1-a n=-=>0,所以a n+1>a n,数列{a n}为递增数列.3.B由a1=0,a n+1=(n∈N*),得a2=-,a3=,a4=0,……,所以{a n}是周期为3的数列,所以a20=a2=-.4.C由题意知解得代入选项逐一检验,只有C符合.5.B∵a1=19,a n+1-a n=-3,∴数列{a n}是以19为首项,-3为公差的等差数列,∴a n=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n}的前k项和数值最大,则有k∈N*,∴∴≤k≤,∵k∈N*,∴k=7,∴满足条件的n的值为7.6.答案10解析令=0.08,得2n2-25n+50=0,即(2n-5)(n-10)=0.解得n=10或n=(舍去).7.答案解析由已知得a2=1+(-1)2=2.又a3·a2=a2+(-1)3,所以a3=.所以a4=+(-1)4,所以a4=3.所以3a5=3+(-1)5,所以a5=.所以=×=.8.答案-1;1解析由a1=1,a n=-1(n>1)得a 2=-1=12-1=0,a3=-1=02-1=-1.=-1=(-1)2-1=0,a5=-1=02-1=-1,a4由此可猜想当n>1时,若n为奇数,则a n=-1,若n为偶数,则a n=0,∴a2017=-1,当n>1时,|a n+a n+1|=1.9.解析(1)由已知得,a1=2,a n=S n-S n-1=2n-1(n≥2,n∈N*).则b n=(2)∵c n=b n+1+b n+2+…+b2n+1=++…+(n∈N*),∴c n+1-c n=+-=-=<0,∴c n+1<c n,∴数列{c n}为递减数列.10.解析(1)依题意得S n+1-S n=a n+1=S n+3n,即S n+1=2S n+3n,由此得S n+1-3n+1=2(S n-3n),即b n+1=2b n,又b1=S1-3=a-3,因此,所求通项公式为b n=(a-3)2n-1,n∈N*.(2)由(1)可知S n=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,a n+1-a n=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2,所以,当n≥2时,a n+1≥a n⇒12+a-3≥0⇒a≥-9,又a2=a1+3>a1,a≠3.所以,所求的a的取值范围是-9,3)∪(3,+∞).B组提升题组11.C因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,所以n=9,选C.12.C∵a1=1,a n+1-a n=n+1,∴当n≥2时,a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=1+2+3+…+n=,又当n=1时,a1=1满足上式,∴a n=,则==2,则++…+=21-++…+=2×=,故选C.13.答案4n+8解析第(1),(2),(3)…个图案中黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;……,由此可猜测从前往后的各图案中黑色瓷砖数成等差数列,且首项为12,公差为4,∴第(n)个图案中黑色瓷砖数为12+(n-1)×4=4n+8.14.答案97解析由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n}的第1+2+3+…+9+3=+3=48项,又a48=(-1)48×96+1=97,故该数阵第10行第3个数为97.15.解析(1)∵a=-7,∴a n=1+.结合函数f(x)=1+的性质,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>a n>1,∴数列{a n}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)a n=1+=1+.∵对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立,∴利用函数g(x)=1+的性质,可知5<<6,解得-10<a<-8.。

2018课标版文科数学一轮复习夯基提能练习题目录2018课标版文科数学一轮复习1.1集合夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.1函数及其表示夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.2函数的单调性与最值夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.4二次函数与幂函数夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.5指数与指数函数夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.6对数与对数函数夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.7函数的图象夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.8函数与方程夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习2.9函数模型及其应用夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习3.1变化率与导数、导数的计算夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习3.2导数与函数的单调性夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习3.3导数与函数的极值、最值夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习3.4导数与函数的综合问题夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习4.2同角三角函数基本(含答案)关系式与诱导公式夯基提能作业本2018课标版文科数学一轮复习4.3三角函数的图象与性质夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习4.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习4.6简单的三角恒等变换夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习4.7正弦定理和余弦定理夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习4.8解三角形夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习5.1平面向量的概念及其线性运算夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习5.2平面向量基本(含答案)定理及坐标表示夯基提能作业本2018课标版文科数学一轮复习5.2平面向量基本(含答案)定理及坐标表示夯基提能作业本2018课标版文科数学一轮复习5.3平面向量的数量积与平面向量应用举例夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习6.1数列的概念及简单表示法夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习6.2等差数列及其前n项和夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习6.3等比数列及其前n项和夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习6.4数列求和夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习7.1不等关系与不等式夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习7.2一元二次不等式及其解法夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习7.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习7.4基本(含答案)不等式及其应用夯基提能作业本2018课标版文科数学一轮复习8.1空间几何体及其三视图、直观图夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习8.2空间几何体的表面积和体积夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习8.3空间点、直线、平面之间的位置关系夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习8.4直线、平面平行的判定与性质夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习8.5直线、平面垂直的判定与性质夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习9.2直线的交点与距离公式夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习9.3圆的方程夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习9.4直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习9.5椭圆夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习9.6双曲线夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习9.7抛物线夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习9.8直线与圆锥曲线夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习9.9圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习10.1随机事件的概率夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习10.2古典概型与几何概型夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习10.3随机抽样夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习10.4用样本(含答案)估计总体夯基提能作业本2018课标版文科数学一轮复习10.5变量的相关关系、统计案例夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习10.6概率与统计的综合问题夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习11.1数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本(含答案) 2018课标版文科数学一轮复习11.2算法与程序框图夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习11.3合情推理与演绎推理夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习11.4直接证明与间接证明夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习12.1坐标系夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习12.2参数方程夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习13.1绝对值不等式夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习13.2不等式的证明夯基提能作业本(含答案)2018课标版文科数学一轮复习阶段检测卷01(含答案)2018课标版文科数学一轮复习阶段检测卷02(含答案)2018课标版文科数学一轮复习阶段检测卷03(含答案)2018课标版文科数学一轮复习阶段检测卷04(含答案)2018课标版文科数学一轮复习阶段检测卷05(含答案)2018课标版文科数学一轮复习阶段检测卷06(含答案)第一节集合A组基础题组1.已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M∩N=( )A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)2.已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=( )A.{1,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}3.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )A.-3∈AB.3∉BC.A∩B=BD.A∪B=B4.(2016陕西西安模拟)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]5.已知集合A=,则集合A中的元素个数为( )A.2B.3C.4D.56.(2016山东,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}7.(2017山东临沂期中)设集合M={-1,0,1,2},N={x|lg(x+1)>0},则M∩N=( )A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,0,1}8.(2016辽宁沈阳模拟)设集合A=,B={b,a+b,-1},若A∩B={2,-1},则A∪B=( )A.{2,3}B.{-2,2,5}C.{2,3,5}D.{-1,2,3,5}9.已知A={0,m,2},B={x|x3-4x=0},若A=B,则m= .10.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则A∪(∁R B)= .11.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3},若C∩A=C,则a的取值范围为.B组提升题组12.(2017山西大同模拟)已知全集为R,集合M={-1,0,1,5},N={x|x2-x-2≥0},则M∩(∁R N)=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,5}D.{-1,1}13.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )A.4B.2C.0D.0或414.设集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠⌀,则实数a的取值范围是( )A.[-1,2)B.(-∞,2]C.[-1,+∞)D.(-1,+∞)15.(2016广西南宁模拟)已知全集U={x∈Z|0<x<8},集合M={2,3,5},N={x|x2-8x+12=0},则集合{1,4,7}为( )A.M∩(∁U N)B.∁U(M∩N)C.∁U(M∪N)D.(∁U M)∩N16.(2016辽宁沈阳模拟)已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素之和为( )A.15B.16C.20D.2117.设集合A={x|y=lg(-x2+x+2)},B={x|x-a>0},若A⊆B,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-∞,-1]C.(-∞,-2)D.(-∞,-2]18.(2016辽宁沈阳二中月考)设[x]表示不大于x的最大整数,集合A={x|x2-2[x]=3},B=,则A∩B= .答案全解全析A组基础题组1.B M∩N={x|-1<x<3}∩{x|-2<x<1}={x|-1<x<1}.2.A 由题意可得B={1,3,5},∴A∩B={1,3},故选A.3.C 化简A={y|y≥-1},因此A∩B={x|x≥2}=B.4.A 由题意知M={0,1},N={x|0<x≤1},所以M∪N=[0,1].故选A.5.C ∵∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3,又∵x∈Z,∴x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.6.A 由题意知A∪B={1,3,4,5},又U={1,2,3,4,5,6},∴∁U(A∪B)={2,6},故选A.7.C ∵M={-1,0,1,2},N={x|lg(x+1)>0}=(0,+∞),∴M∩N={1,2}.8.D 由A∩B={2,-1},可得或当时,此时B={2,3,-1},所以A∪B={-1,2,3,5};当时,此时不符合题意,舍去.9.答案-2解析由题意知B={0,-2,2},若A=B,则m=-2.10.答案(-∞,1]∪[2,+∞)解析由题意知B={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},∴∁R B=(-∞,0]∪[2,+∞),又A=[-1,1],∴A∪(∁R B)=(-∞,1]∪[2,+∞).11.答案a≤-1解析因为C∩A=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,满足C⊆A,此时-a≥a+3,解得a≤-;②当C≠⌀时,要使C⊆A,则有解得-<a≤-1.由①②,得a≤-1.B组提升题组12.A ∵全集为R,N={x|x2-x-2≥0}={x|x≤-1或x≥2},∴∁R N={x|-1<x<2},又集合M={-1,0,1,5},∴M∩(∁R N)={0,1}.故选A.13.A ∵集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,即ax2+ax+1=0只有一个解,∴当a≠0时,Δ=a2-4a=0,解之得a=0(舍)或a=4.当a=0时,A=⌀,不合题意.∴a=4.14.D 借助数轴可知a>-1,故选D.15.C由已知得U={1,2,3,4,5,6,7},N={2,6},又M={2,3,5},所以∁U N={1,3,4,5,7},∁U M={1,4,6,7},M∪N={2,3,5,6},M∩N={2},所以M∩(∁U N)={3,5},∁U(M∩N)={1,3,4,5,6,7},(∁U M)∩N={6},∁U(M∪N)={1,4,7},故选C.16.D 由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,则-1≤x≤3,又x∈N,故集合A={0,1,2,3}.由题意知A*B 中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,∴A*B={1,2,3,4,5,6},∴A*B中的所有元素之和为1+2+3+4+5+6=21.17.B A={x|y=lg(-x2+x+2)}={x|-1<x<2},B={x|x>a}.因为A⊆B,所以a≤-1.18.答案{-1,}解析∵x2-2[x]=3,∴[x]=,又[x]≤x<[x]+1,∴∴-1≤x<1-或1+<x≤3,∴[x]=-1或[x]=2或[x]=3.结合x2=2[x]+3,可得x=-1或x=或x=3.∴A={-1,,3}.由<2x<8得-3<x<3,∴B={x|-3<x<3}.∴A∩B={-1,}.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础题组1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤02.(2016陕西五校三模)已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定3.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015安徽,3,5分)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.若p是¬q的充分不必要条件,则¬p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.a<0,b<0的一个必要条件为( )A.a+b<0B.a-b>0C.>1D.<-17.原命题p:“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.48.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A.-3<m<1B.-4<m<2C.0<m<1D.m<19.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是.10.有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.11.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是.12.已知函数f(x)=+a(x≠0),则“f(1)=1”是“f(x)为奇函数”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)B组提升题组13.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是( )A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④14.(2016山东烟台诊断)若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )A.a≥2B.a≤2C.a≥-2D.a≤-215.(2016辽宁大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R,则命题p:“函数f(x)为偶函数”是命题q:“∂x0∈R,f(x0)=f(-x0)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.(2016广东佛山一模)已知a,b都是实数,那么“>”是“ln a>ln b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.(2016江西鹰潭余江一中月考)在下列给出的命题中,正确命题的个数为( )①函数f(x)=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)中心对称;②若x+y≠0,则x≠1或y≠-1;③若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;④若△ABC为锐角三角形,则sin A<cos B.A.1B.2C.3D.418.下列命题:①若ac2>bc2,则a>b;②若sinα=sinβ,则α=β;③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是.19.设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;命题q:实数x满足x2+2x-8>0,且q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.答案全解全析A组基础题组1.D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.2.B 命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p 的否命题.3.D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.4.C 令A={x|x<3},B={x|-1<x<3}.∵B⫋A,∴p是q的必要不充分条件.故选C.5.B ∵p是¬q的充分不必要条件,∴¬q是p的必要不充分条件.“若¬p,则q”是“若¬q,则p”的等价命题,∴¬p是q的必要不充分条件,故选B.6.A 若a<0,b<0,则一定有a+b<0,故选A.7.C 当c=0时,ac2=bc2,所以原命题是错误的;由于原命题与逆否命题的真假一致,所以逆否命题也是错误的;逆命题为“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,它是正确的;由于否命题与逆命题的真假一致,所以逆命题与否命题都为真命题.综上所述,真命题有2个.8.C 若直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0,即(x-1)2+y2=2有两个不同交点,则<,即|m+1|<2,解得-3<m<1,这是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的充要条件,因此直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件可以是0<m<1,故选C.9.答案若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3解析根据否命题的定义知否命题为若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3.10.答案②③解析对于①,原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,是假命题.对于②,原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题.对于③,原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,是真命题.11.答案m=-2解析∵f(x)=x2+mx+1的对称轴为直线x=-,∴f(x)的图象关于直线x=1对称⇔-=1⇔m=-2.12.答案充要解析若f(x)=+a是奇函数,则f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,∴+a++a=2a++=0,即2a+=0,∴2a-1=0,即a=,f(1)=+=1.若f(1)=1,即f(1)=+a=1,解得a=,代入得,f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,∴“f(1)=1”是“f(x)为奇函数”的充要条件.B组提升题组13.D 只有一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行时,这两个平面才相互平行,所以①为假命题;②符合两个平面相互垂直的判定定理,所以②为真命题;垂直于同一直线的两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以③为假命题;根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题.14.A p:|x|≤2⇔-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以有[-2,2]⫋(-∞,a],即a≥2.15.A 若f(x)为偶函数,则有f(x)=f(-x),所以p⇒q;若f(x)=x,当x=0时,f(0)=f(-0),而f(x)=x为奇函数,所以q⇒/p,故选A.16.B 由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>,故必要性成立;当a=1,b=0时,满足>,但ln b无意义,所以ln a>ln b不成立,故充分性不成立,故选B.17.C 对于①,由f(x)+f(-x)=2x3-3x+1-2x3+3x+1=2,得函数f(x)=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)中心对称,∴①正确;对于②,“若x+y≠0,则x≠1或y≠-1”的逆否命题为“若x=1且y=-1,则x+y=0”,该逆否命题正确,∴②正确;对于③,实数x,y满足x2+y2=1,如图,表示过圆O上任一点(x,y)和点(-2,0)的连线的斜率,则的最大值为,∴③正确;对于④,△ABC为锐角三角形,则A+B>,则A>-B,又A<,-B>0,∴sin A>sin=cos B,∴④错误.∴正确命题的个数是3.18.答案①③④解析对于①,ac2>bc2,c2>0,所以a>b正确;对于②,sin30°=sin150°⇒/30°=150°,所以②错误;对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2≠A2C1,所以③正确;④显然正确.19.答案(-∞,-4]解析不等式x2-4ax+3a2<0的解集为A=(3a,a)(a<0),不等式x2+2x-8>0的解集为B={x|x<-4或x>2},因为q是p的必要不充分条件,所以A⫋B,故实数a的取值范围是(-∞,-4].第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A组基础题组1.(2015湖北,3,5分)命题“∂x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( )A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1C.∂x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1D.∂x0∉(0,+∞),ln x0=x0-12.(2015浙江,4,5分)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∂n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∂n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n03.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )A.p∧(¬q)B.(¬p)∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∧q4.下列命题中的假命题为( )A.∀x∈R,e x>0B.∀x∈N,x2>0C.∂x0∈R,ln x0<1D.∂x0∈N*,sin=15.设非空集合A,B满足A⊆B,则以下表述一定正确的是( )A.∂x0∈A,x0∉BB.∀x∈A,x∈BC.∀x∈B,x∉AD.∀x∈B,x∈A6.(2016湖南四县一模)下列命题中,为真命题的是( )A.∂x0∈R,≤0B.∀x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要条件是=-1D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件7.(2016云南昆明一中考前强化)已知命题p:∀x∈R,x+≥2;命题q:∂x∈,使sin x+cosx=,则下列命题中,为真命题的是( )A.(¬p)∧qB.p∧(¬q)C.(¬p)∧(¬q)D.p∧q8.已知命题p:∂x0∈R,使sin x0=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0,给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(¬q)”是假命题;③命题“(¬p)∨q”是真命题;④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题.其中正确的结论是( )A.②③B.②④C.③④D.①②③9.命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p是.10.已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:函数f(x)=x2-x在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题:①p∨q;②p∧q;③(¬p)∧(¬q);④(¬p)∨q.其中为假命题的序号为.11.若命题p:关于x的不等式ax+b>0的解集是,命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a<x<b},则在命题“p∧q”“p∨q”“¬p”“¬q”中,是真命题的是.12.若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是.B组提升题组13.下列说法中正确的是( )A.命题“∀x∈R,e x>0”的否定是“∂x∈R,e x>0”B.命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x∈[1,2],有(x2+2x)min≥(ax)max”D.命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题14.下列说法错误的是( )A.命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”B.若命题p:∂x0∈R,+x0+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0C.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≥”的充要条件D.已知命题p和q,若“p或q”为假命题,则命题p与q中必一真一假15.若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,则f(x)>g(x)(x∈R)成立的充要条件是( )A.∂x0∈R,f(x0)>g(x0)B.有无穷多个x∈R,使得f(x)>g(x)C.∀x∈R,f(x)>g(x)+1D.R中不存在x使得f(x)≤g(x)16.已知命题p:∂x0∈R,tan x0=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},现有以下结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且¬q”是假命题;③命题“¬p或q”是真命题;④命题“¬p或¬q”是假命题.其中正确的是( )A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④17.(2016湖南邵阳石齐中学月考)下列命题正确的个数是( )①“在三角形ABC中,若sin A>sin B,则A>B”的逆命题是真命题;②若p:x≠2或y≠3,q:x+y≠5,则p是q的必要不充分条件;③“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x3-x2+1>0”;④“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”.A.1B.2C.3D.418.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2≥a”,命题q:“∂x0∈R,+2ax0+2-a=0成立”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-2]B.(-2,1)C.(-∞,-2]∪{1}D.[1,+∞)19.下列结论:①若命题p:∂x0∈R,tan x0=2;命题q:∀x∈R,x2-x+>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为.(把你认为正确结论的序号都填上)20.给定两个命题,命题p:对任意实数x,ax2>-ax-1恒成立,命题q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数a的取值范围是.答案全解全析A组基础题组1.A 特称命题的否定为全称命题,所以∂x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1的否定是∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1,故选A.2.D “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.3.A 由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,故¬q为真命题,所以p∧(¬q)为真命题.4.B 对于选项A,由函数y=e x的图象可知,∀x∈R,e x>0,故选项A为真命题;对于选项B,当x=0时,x2=0,故选项B为假命题;对于选项C,当x0=时,ln=-1<1,故选项C为真命题;对于选项D,当x0=1时,sin=1,故选项D为真命题.综上知选B.5.B 根据集合之间的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确.6.D 因为y=e x>0,x∈R恒成立,所以A不正确;因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以B不正确;当a=b=0时,a+b=0,但是没有意义,所以C不正确;“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件,显然正确.故选D.7.A 在命题p中,当x<0时,x+<0,所以命题p为假命题,所以¬p为真命题;在命题q中,sinx+cos x =sin,当x=时,sin x+cos x=,所以q为真命题,故选A.8.A ∵>1,∴命题p是假命题.∵x2+x+1=+≥>0,∴命题q是真命题.由真值表可以判断“p∧q”为假,“p∧(¬q)”为假,“(¬p)∨q”为真,“(¬p)∨(¬q)”为真,所以只有②③正确,故选A.9.答案∂x 0∈(0,+∞),≤x0+1解析因为p是¬p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论否定即可.10.答案②③④解析显然命题p为真命题,则¬p为假命题.∵f(x)=x2-x=-,∴函数f(x)在区间上单调递增.∴命题q为假命题,则¬q为真命题.∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,(¬p)∧(¬q)为假命题,(¬p)∨q为假命题.11.答案¬p、¬q解析依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“¬p”为真、“¬q”为真.12.答案[-8,0]解析当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,由题意知解得-8≤a<0.综上,a的取值范围是-8≤a≤0.B组提升题组13.B 全称命题“∀x∈M,p(x)”的否定是“∂x∈M,¬p(x)”,故命题“∀x∈R,e x>0”的否定是“∂x∈R,e x≤0”,A错;命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”的逆否命题为“已知x,y∈R,若x=2且y=1,则x+y=3”,是真命题,故原命题是真命题,B正确;“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x∈[1,2],有(x+2)min≥a”,由此可知C错;命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为“若函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1”,而函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点⇔a=0或a=-1,故D错.故选B.14.D 易知A、B正确;由xy≥⇔4xy≥(x+y)2⇔4xy≥x2+y2+2xy⇔(x-y)2≤0⇔x=y知C正确;对于D,命题“p或q”为假命题,则命题p与q均为假命题,所以D不正确.15.D A是f(x)>g(x)(x∈R)成立的必要不充分条件,所以A不符合;对于B,由于在区间(0,1)内也有无穷多个数,因此无穷性是说明不了任意性的,所以B也不符合;对于C,由∀x∈R, f(x)>g(x)+1可以推导出∀x∈R,f(x)>g(x),即充分性成立,但f(x)>g(x)成立时不一定有f(x)>g(x)+1,比如f(x)=x2+0.5,g(x)=x2,因此必要性不成立,所以C不符合;易知D符合,所以选D.16.D ∵命题p:∂x0∈R,tan x0=1为真命题,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}为真命题,∴“p且q”是真命题,“p且¬q”是假命题,“¬p或q”是真命题,“¬p或¬q”是假命题,故①②③④都正确.17.C “在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B”的逆命题为“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”,在△ABC中,若A>B,则a>b,根据正弦定理可知sin A>sin B,∴逆命题是真命题,∴①正确;¬p:x=2且y=3,¬q:x+y=5,显然¬p⇒¬q,则由原命题与逆否命题的等价性知q⇒p,则p是q的必要条件;由x≠2或y≠3,推不出x+y≠5,比如x=1,y=4时,x+y=5,不满足x+y≠5,∴p不是q的充分条件,∴p是q的必要不充分条件,∴②正确;“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∂x∈R,x3-x2+1>0”,∴③不对;“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”,∴④正确.18.C 若p是真命题,即a≤(x2)min,x∈[1,2],所以a≤1;若q是真命题,即+2ax0+2-a=0有解,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.命题“p∧q”是真命题,则p是真命题,q也是真命题,故有a≤-2或a=1.19.答案①③解析在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(¬q)”是假命题是正确的.在②中,由l1⊥l2,得a+3b=0,所以②不正确.在③中“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,正确.20.答案(-∞,0)∪解析若p真,则a=0或故0≤a<4.若q真,则(-1)2-4a≥0,即a≤.∵“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,∴p,q中有且仅有一个为真命题.若p真q假,则<a<4;若p假q真,则a<0.综上,实数a的取值范围为(-∞,0)∪.第一节函数及其表示A组基础题组1.函数g(x)=+log2(6-x)的定义域是( )A.{x|x>6}B.{x|-3<x<6}C.{x|x>-3}D.{x|-3≤x<6}2.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( )A.g(x)=2x+1B.g(x)=2x-1C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+73.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( )A.g(x)=2x2-3xB.g(x)=3x2-2xC.g(x)=3x2+2xD.g(x)=-3x2-2x4.已知f(x)=则f+f的值等于( )A.1B.2C.3D.-25.具有性质:f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y=x-;②y=x+;③y=f(x)=中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.②③C.①③D.只有①6.(2015湖北,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgn x=则( )A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x7.设函数f(x)=若f=4,则b= .8.如果函数f(x)满足:对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=1,则++++…+= .9.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(a,c为常数).已知此工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时15分钟,那么c和a 的值分别是, .10.根据如图所示的函数y=f(x)(x∈[-3,2))的图象,写出函数的解析式.11.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x2-2)的值域.B组提升题组12.(2016陕西西安模拟)已知函数f(x)=若f(4)=2f(a),则实数a的值为( )A.-1或2B.2C.-1D.213.函数y=的定义域为R,则实数k的取值范围为( )A.k<0或k>4B.0≤k<4C.0<k<4D.k≥4或k≤014.设映射f:x→-x2+2x-1是集合A={x|x>2}到集合B=R的映射.若对于实数p∈B,在A中不存在对应的元素,则实数p的取值范围是( )A.(1,+∞)B.[-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1]15.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)=x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+316.(2016湖南邵阳石齐中学月考)已知函数f(x)=-1的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],那么满足条件的整数数对(a,b)共有( )A.2个B.3个C.5个D.无数个17.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数6．时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )A.y=B.y=C.y=D.y=18.已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f+f=2成立,则f+f+…+f= .19.已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.20.已知函数f(x)=2x-1,g(x)=求f(g(x))和g(f(x))的解析式.答案全解全析A组基础题组1.D 由解得-3≤x<6,故函数的定义域为[-3,6).2.B ∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1.3.B 设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,∴解得∴g(x)=3x2-2x.4.C f=-cos=cos=,f=f+1=f+2=-cos+2=+2=,故f+f=3.5.C 易知①满足条件;②不满足条件;对于③,易知f=满足f=-f(x),故③满足“倒负”变换,故选C.6.D 由已知可知xsgn x=而|x|=所以|x|=xsgn x,故选D.7.答案解析f=3×-b=-b,若-b<1,即b>,则3×-b=-4b=4,解得b=,与b>矛盾,舍去;若-b≥1,即b≤,则=4,即-b=2,解得b=.8.答案2016解析已知f(a+b)=f(a)f(b),令b=1,∵f(1)=1,∴f(a+1)=f(a),即=1,由于a是任意实数,所以当a取1,2,3,…,2016时,==…==1.故++++…+=2016.9.答案60;16解析因为组装第a件产品用时15分钟,所以=15,①所以必有4<a,且==30.②联立①②解得c=60,a=16.10.解析由题图易知:当-3≤x<-1时,f(x)=-x-,当-1≤x<1时,f(x)=x-,当1≤x<2时,f(x)=1,综上,f(x)=11.解析(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意可知整理得∴解得∴f(x)=x2+x.(2)由(1)知y=f(x2-2)=(x2-2)2+(x2-2)=(x4-3x2+2)=-,当x2=时,y取最小值-,故函数y=f(x2-2)的值域为.B组提升题组12.A f(4)=log24=2,因而2f(a)=2,即f(a)=1,当a>0时,f(a)=log2a=1,因而a=2,当a≤0时, f(a)=a2=1,因而a=-1,故选A.13.B 由题意,知kx2+kx+1≠0对任意实数x恒成立,当k=0时,1≠0恒成立,∴k=0符合题意.当k≠0时,Δ=k2-4k<0,解得0<k<4.综上,0≤k<4.14.B 令y=-x2+2x-1=-(x-1)2,当x>2时,y<-1,而对于实数p∈R,在A={x|x>2}中不存在对应的元素,所以实数p的取值范围是[-1,+∞),故选B.15.B 由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6,故选B.16.C ∵函数f(x)=-1的值域是[0,1],∴1≤≤2,∴0≤|x|≤2,∴-2≤x≤2,∴[a,b]⊆[-2,2].又由于仅当x=0时,f(x)=1,当x=±2时,f(x)=0,故在定义域中一定有0,且2,-2中必有其一,故满足条件的整数数对(a,b)有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,2),(0,2),共5个.17.B 根据规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表,即当余数分别为7、8、9时可增选一名代表.因此用取整函数可表示为y=.故选B.18.答案7解析由f+f=2,得f+f=2,f+f=2,f+f=2,又f==×2=1,∴f+f+…+f=2×3+1=7.19.答案-解析①当a>0时,1-a<1,1+a>1,此时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a,解得a=-.不符合,舍去.②当a<0时,1-a>1,1+a<1,此时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得a=-.综上可知,a的值为-.20.解析当x≥0时,g(x)=x2,则f(g(x))=2x2-1,当x<0时,g(x)=-1,则f(g(x))=-3,∴f(g(x))=当2x-1≥0,即x≥时,g(f(x))=(2x-1)2,当2x-1<0,即x<时,g(f(x))=-1,∴g(f(x))=第二节函数的单调性与最值A组基础题组1.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )A.y=B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x2.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的是( )A.f(x)=-xB.f(x)=x3C.f(x)=ln xD.f(x)=2x3.函数f(x)=x|x-2|的单调减区间是( )A.[1,2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+∞)4.(2015吉林长春质量检测(二))已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(-∞,-1]C.[-1,+∞)D.[1,+∞)5.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( )A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)6.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( )A.-1B.1C.6D.127.已知f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是.8.已知函数f(x)=则f(x)的最小值是.9.已知f(x)=(x≠a),若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,则a的取值范围为.10.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.。

1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)．3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b a ，G 2＝ab ，G ＝±ab .我们称G 为a ，b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.2．(2016·南昌一模)若等比数列{a n }的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( ) A.32 B.94 C ．1 D ．2 答案 D解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 因为前4项的和为9，积为814， 所以a 1(1－q 4)1－q＝9，且a 41q1＋2＋3＝a 41q 6＝814， 即a 21q 3＝92，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1(1－1q 4)1－1q＝a 1(1－q 4)1－q ·1a 21q3＝2，故选D.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.答案 (1)C (2)2n －1解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.(2)∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×[1－(12)n ]1－12＝4(1－12n )，∴S na n ＝4(1－12n )42n＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)B (2)3n －1解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②，得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1. 由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，∴公比q ≠－1，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558答案 (1)C (2)A解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10，∴S 4＝lg 100＝2.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18.13．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N ＋)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤136.[12分]1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列，得 (3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24.2．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23D.23或－23答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23. 又a 1<0，因此q ＝－23.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．(2016·昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A ．－2 B ．－ 2 C ．±2 D. 2 答案 B解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1(1－126)1－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12 B.32 C ．1 D ．－32 答案 B解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7) ＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4， 则q ＝a 4a 3＝4.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N ＋)，则通项a n ＝________. 答案12n解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×(12)n －1＝12n . 10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2， ∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3， ∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.11．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ∈N ＋)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1. 从而b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N ＋)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N ＋)， 数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)， 数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n －1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1. 12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 13．(2016·昆明一检)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18∶S 9＝7∶8.(1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是不是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项？如果不是，请说明理由．(1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1， 则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1，S 18∶S 9＝2∶1≠7∶8，∴q ≠1.∴S 18＝a 1(1－q 18)1－q ，S 9＝a 1(1－q 9)1－q， S 18∶S 9＝1＋q 9.∴1＋q 9＝78，解得q ＝－2－13. ∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝32×a 11－q ， S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝34×a 11－q ， S 9＝a 1(1－q 9)1－q＝98×a 11－q . ∵S 9－S 3＝－38×a 11－q， S 6－S 9＝－38×a 11－q， ∴S 9－S 3＝S 6－S 9.∴S 3，S 9，S 6依次成等差数列．(2)解 a 7与a 10的等差中项为a 7＋a 102＝a 1(2－2－2－3)2＝a 116， 设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项，则a 1(－2－13)n －1＝a 116，化简得(－2)－n －13＝(－2)－4， 即－n －13＝－4，解得n ＝13. ∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项．。

第1节数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式:如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式:如果已知数列{a n}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[微点提醒]1.若数列{a n }的前n 项和为S n ,通项公式为a n ,则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对任意n ∈N *,都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 解析 (1)数列:1,2,3和数列:3,2,1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的,可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(必修5P33A4改编)在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2),则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2,a 3＝1＋（－1）3a 2＝12, a 4＝1＋（－1）4a 3＝3,a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 答案 D3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1＝5×1－4,a 2＝6＝5×2－4,a 3＝11＝5×3－4,…,归纳a n ＝5n －4. 答案 5n －44.(2019·衡水中学摸底)已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *),S n 为其前n 项和,则S 5的值为( ) A.57B.61C.62D.63解析 由条件可得a 2＝2a 1＋1＝3,a 3＝2a 2＋1＝7,a 4＝2a 3＋1＝15,a 5＝2a 4＋1＝31,所以S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1＋3＋7＋15＋31＝57. 答案 A5.(2019·北京朝阳区月考)数列0,1,0,－1,0,1,0,－1,…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cos n ＋12πD.cos n ＋22π解析 令n ＝1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确. 答案 D6.(2019·郑州一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝a 1（4n －1）3,若a 4＝32,则a 1＝________.解析 ∵S n ＝a 1（4n －1）3,a 4＝32,则a 4＝S 4－S 3＝32.∴255a 13－63a 13＝32,∴a 1＝12.答案 12考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 (1)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1(2)已知数列{a n }为12,14,－58,1316,－2932,6164,…,则数列{a n }的一个通项公式是________. 解析 (1)对n ＝1,2,3,4进行验证,a n ＝2sin n π2不合题意.(2)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出从第2项起,每一项的分子都比分母少3,且第1项可变为－2－32,故原数列可变为－21－321,22－322,－23－323,24－324,…,故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n .答案 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(－1)k 或(－1)k ＋1,k ∈N *处理.【训练1】 写出下列各数列的一个通项公式: (1)－11×2,12×3,－13×4,14×5,…; (2)12,2,92,8,252,…; (3)5,55,555,5 555,….解 (1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ×1n （n ＋1）,n ∈N *.(2)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.即12,42,92,162,252,…,分子为项数的平方,从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(3)将原数列改写为59×9,59×99,59×999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n －1,故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1).考点二 由a n 与S n 的关系求通项 易错警示【例2】 (1)(2019·广州质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且log 2(S n ＋1)＝n ＋1,则数列{a n }的通项公式为________________.(2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1,则S 6＝________. 解析 (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1,得S n ＋1＝2n ＋1, 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ,所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1,得a 1＝2a 1＋1,所以a 1＝－1. 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1), 得a n ＝2a n －1.∴数列{a n }是首项为－1,公比为2的等比数列. ∴S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝－（1－26）1－2＝－63.答案 (1)a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝12n ，n ≥2 (2)－63规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时,a 1若适合S n －S n －1,则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ;②当n ＝1时,a 1若不适合S n －S n －1,则用分段函数的形式表示.易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时,往往容易忽略先求出a 1,而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式,但它只适用于n ≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出a n ＝2n (n ∈N *).【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ,则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1,则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5,由于a 1也适合上式,∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时,a 1＝S 1＝3＋1＝4,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时,不满足上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2考点三 由数列的递推关系求通项易错警示【例3】 (1)在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ,则a n 等于( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n(2)若a 1＝1,na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2),则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋3,则通项公式a n ＝________. 解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ,所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1, a 3－a 2＝ln 3－ln 2, a 4－a 3＝ln 4－ln 3,a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1, 则a n ＝2＋ln n ,且a 1＝2也适合, 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *). (2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2),得a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1＝2n ＋1,又a 1也满足上式,所以a n ＝2n ＋1.(3)由a n ＋1＝2a n ＋3,得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3,则b 1＝a 1＋3＝4,且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1,∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)A (2)2n ＋1(3)2n ＋1－3 规律方法 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1,且a n －a n －1＝f (n ),可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0),且a na n －1＝f (n ),可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1,且a n ＋1＝qa n ＋b ,则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定),可转化为{a n ＋k }为等比数列.易错警示 本例(1),(2)中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式.【训练3】 (1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1,则a n ＝________. (2)若a 1＝1,a n ＋1＝2n a n ,则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1,a n ＋1＝2a n a n ＋2,则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1⇒a n ＋1－a n ＝2n －1＋1⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n－2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1,则a n ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋n －1＋a 1 ＝1－2n －11－2＋n －1＋2＝2n －1＋n .(2)由a n ＋1＝2n a n ,得a na n －1＝2n －1(n ≥2),所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2.又a 1＝1适合上式,故a n ＝2n （n －1）2. (3)因为a n ＋1＝2a na n ＋2,a 1＝1,所以a n ≠0,所以1a n ＋1＝1a n ＋12,即1a n ＋1－1a n＝12.又a 1＝1,则1a 1＝1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *).答案 (1)2n －1＋n (2)2n （n －1）2(3)2n ＋1考点四 数列的性质【例4】 (1)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90,则数列{a n }中的最大项是( )A.310B.19C.119D.1060(2)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35,则数列的第2 019项为________.解析 (1)令f (x )＝x ＋90x (x >0),运用基本不等式得f (x )≥290,当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ,所以1n ＋90n≤1290,由于n ∈N *,不难发现当n ＝9或n ＝10时,a n ＝119最大.(2)由已知可得,a 2＝2×35－1＝15,a 3＝2×15＝25,a 4＝2×25＝45,a 5＝2×45－1＝35, ∴{a n }为周期数列且T ＝4, ∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25. 答案 (1)C (2)25规律方法 1.在数学命题中,以数列为载体,常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性,常由条件求出数列的前几项,确定周期性,进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a n 与a n ＋1的大小,常用比差或比商法进行判断.【训练4】(1)已知数列{a n}满足a1＝1,a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N*),则a2 020＝________.(2)若a n＝n2＋kn＋4且对于n∈N*,都有a n＋1>a n成立,则实数k的取值范围是________.解析(1)∵a1＝1,a n＋1＝a2n－2a n＋1＝(a n－1)2,∴a2＝(a1－1)2＝0,a3＝(a2－1)2＝1,a4＝(a3－1)2＝0,…,可知数列{a n}是以2为周期的数列,∴a2 020＝a2＝0.(2)由a n＋1>a n知该数列是一个递增数列,又通项公式a n＝n2＋kn＋4,所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4,即k>－1－2n.又n∈N*,所以k>－3.答案(1)0(2)(－3,＋∞)[思维升华]1.数列是特殊的函数,要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法:(1)算出前几项,再归纳、猜想.(2)形如“a n＋1＝pa n＋q”这种形式通常转化为a n＋1＋λ＝p(a n＋λ),由待定系数法求出λ,再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后,若为a n＋1－a n＝f(n)型,则采用累加法;若为a n＋1a n＝f(n)型,则采用累乘法.[易错防范]1.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数.(2)数列的通项公式不一定唯一.(3)注意a n＝S n－S n－1中需n≥2.2.数列{a n}中,若a n最大,则a n≥a n－1且a n≥a n＋1;若a n最小,则a n≤a n－1且a n≤a n＋1.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.数列1,3,6,10,15,…的一个通项公式是( ) A.a n ＝n 2－(n －1) B.a n ＝n 2－1 C.a n ＝n （n ＋1）2D.a n ＝n （n －1）2解析 观察数列1,3,6,10,15,…可以发现: 1＝1, 3＝1＋2, 6＝1＋2＋3, 10＝1＋2＋3＋4, …所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2,所以数列1,3,6,10,15,…的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2.答案 C2.已知数列{a n }满足:任意m ,n ∈N *,都有a n ·a m ＝a n ＋m ,且a 1＝12,那么a 5＝( ) A.132B.116C.14D.12解析 由题意,得a 2＝a 1a 1＝14,a 3＝a 1·a 2＝18,则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中,a 1＝－14,a n ＝1－1a n －1(n ≥2,n ∈N *),则a 2 019的值为( ) A.－14B.5C.45D.54解析 在数列{a n }中,a 1＝－14,a n ＝1－1a n －1(n ≥2,n ∈N *),所以a 2＝1－1－14＝5,a 3＝1－15＝45,a 4＝1－145＝－14,所以{a n }是以3为周期的周期数列,所以a 2 019＝a 673×3＝a 3＝45.答案 C4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝2,a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *),则S 5＝( )A.31B.42C.37D.47解析 由题意,得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *),∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *),故数列{S n ＋1}为等比数列,其首项为3,公比为2,则S 5＋1＝3×24,所以S 5＝47.答案 D5.(2019·成都诊断)已知f (x )＝⎩⎨⎧（2a －1）x ＋4（x ≤1），a x （x >1），数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＝f (n ),且{a n }是递增数列,则a 的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.(1,3)D.(3,＋∞)解析 因为{a n }是递增数列,所以⎩⎨⎧a >1，a 2>2a －1＋4，解得a >3, 则a 的取值范围是(3,＋∞).答案 D二、填空题6.在数列－1,0,19,18,…,n －2n 2,…中,0.08是它的第________项.解析 令n －2n 2＝0.08,得2n 2－25n ＋50＝0,则(2n －5)(n －10)＝0,解得n ＝10或n ＝52(舍去).所以a 10＝0.08.答案 107.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1,则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2;当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5,显然当n ＝1时,不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥28.在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ,则a n ＝________. 解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a n n ＝ln(n ＋1)－ln n ,a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2). ∴a 22－a 11＝ln 2－ln 1,a 33－a 22＝ln 3－ln 2,…,a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).累加得a n n －a 11＝ln n ,∴a n n ＝2＋ln n (n ≥2),又a 1＝2适合,故a n ＝2n ＋n ln n .答案 2n ＋n ln n三、解答题9.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1,a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意得a 2＝12,a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数,所以a n ＋1a n＝12. 故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n ＝12n －1. 10.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和,且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1,a 2,a 3,a 4的值;(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *),可得 a 1＝12a 21＋12a 1,解得a 1＝1,S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2,解得a 2＝2,同理,a 3＝3,a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n ＋a n 2,① 当n ≥2时,S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1,② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0,所以a n －a n －1＝1,又由(1)知a 1＝1,故数列{a n }为首项为1,公差为1的等差数列,故a n ＝n .能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2019·晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2 018这2 018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{a n },则此数列共有( )A.98项B.97项C.96项D.95项解析 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故a n ＝21n －20,由1≤a n ≤2 018得1≤n ≤97,又n ∈N *,故此数列共有97项.答案 B12.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n,则数列{a n }的项取最大值时,n ＝________.解析 假设第n 项为最大项,则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥（n ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n －1，（n ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥（n ＋3）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1，解得⎩⎨⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5, 又n ∈N *,所以n ＝4或n ＝5, 故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项,且a 4＝a 5＝6574. 答案 4或513.(2019·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n ＝(－1)n ·a n －12n ,记b n＝8a 2·2n －1,若对任意的n ∈N *,总有λb n －1>0成立,则实数λ的取值范围为________.解析 令n ＝1,得a 1＝－14;令n ＝3,可得a 2＋2a 3＝18;令n ＝4,可得a 2＋a 3＝316,故a 2＝14,即b n ＝8a 2·2n －1＝2n . 由λb n －1>0对任意的n ∈N *恒成立,得λ>⎝ ⎛⎭⎪⎫12n对任意的n ∈N *恒成立, 又⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12, 所以实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14.已知数列{a n }中,a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *,a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *,a ∈R ,且a ≠0),又a ＝－7,∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2,最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2, 已知对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性, 可知5<2－a 2<6,即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10,－8).。

1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 【知识拓展】1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )1．下列说法中，正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n } 答案 C解析 ∵数列{n ＋1n }的通项公式为a n ＝n ＋1n ＝1＋1n ，∴a k ＝1＋1k.故C 正确；数列中的数讲究顺序，而集合无序，故A 、B 均错； D 中0无对应的n .2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，…，下列各数中是此数列中的项的是( )A.135 B.142 C.148 D.154答案 B3．(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.4．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是________． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－(n －112)2＋1214，∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n －1)2(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)C (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴a n ＝n (n ＋1)2.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，89⎝⎛⎭⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n－32n. 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式例2 (1)(2017·南昌月考)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n ＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1；(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，则其通项a n ＝________；若它的第k 项满足5<a k <8，则k ＝________.答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)2n －10 8解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，n ＝1，2n －10，n ≥2.又∵－8也适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10，n ∈N *. 由5<2k －10<8，∴7.5<k <9，∴k ＝8. 题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，∴a n －a n －1＝ln(1＋1n －1)＝ln nn －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln(n n －1.n －1n －2 (3)2·2)＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；(4)当出现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5等于( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝__________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n ，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)(2016·哈尔滨模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为________．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4D ．0答案 (1)25(2)D解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.12．解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·(1011)n ，则此数列的最大项是第________项．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析． 解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ×9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }中的项 B ．3只是数列{a n }中的第2项 C ．3只是数列{a n }中的第6项 D ．3是数列{a n }中的第2项和第6项 答案 D解析 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，整理得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6.3．(2016·山西长治月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120答案 C解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23 答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B.72C.92D.132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 6．(2016·开封一模)已知函数y ＝f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )(n ∈N *)，则a 2 015的值为( )A ．4 029B ．3 029C ．2 249D ．2 209答案 A解析 根据题意，不妨设f (x )＝(12)x ，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 015＝4 029.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝________.答案 10解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·(67)n ，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝____________. 答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧ (n ＋2)·(67)n ≥(n ＋1)·(67)n －1，(n ＋2)·(67)n ≥(n ＋3)·(67)n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4， 即4≤n ≤5， 又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. *10.在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.答案 28解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解 (1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1] ＝2×3n －1＋2， 由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2. 12．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n .*13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)． 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，2－a可知5＜2＜6，即－10＜a＜－8.。