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第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时)一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
第十5章 傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ； 又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。
第十二章 数项级数§ 1 级数的收敛性1． 试讨论几何级数（也称为等比级数） )0....( (2)≠++++a a a ar a r rn的收敛性。
2． 证明下列级数的收敛性，并求其和数：（1）....;)15)(45(1......161111161611++-+⋅+⋅+⋅n n （2）.....;)11....()11()312!(323222++++++nn（3）;)2)(1(1++∑n n n（4）);122(n n n ++-+∑ （5）;122nn -∑3． 证明：若级数un∑发散，0≠c ,则unc∑也发散。
4． 设级数un∑和v n∑都发散，试问)(v u nn+∑一定发散吗？又若un与v n（n=1,2,….）都是非负数，则能得出什么结论？ 5． 证明：若数列}{a n收敛于a,则级数a a aa n n-=-∑+11)(6． 证明：若数列}{b n有+∞=bnlim ，则（1） 级数)(1b bn n -∑+发散；（2） 当0≠b n 时，级数)11(1bb n n+-∑=117． 应用第5，6题的结果求下列级数的和：（1）;))(1(1∑+-+n a n a（2）;)1(12)1(1++∑-+n n n n（3）;]1)[1(12)1(22∑++++n n n8． 应用柯西准则判别下列级数的收敛性：（1）∑22sin n n； （2）∑-+-12221)1(n n n ；（3）∑-n)1(； （3）∑+nn 21；9． 证明级数∑un收敛的充要条件是：任给正数ξ，存在某自然数N,对一切n>N,总有ξ<++++u uu n N N (1)。
10． 举例说明：若级数∑un对每一个自然数p 满足条件0)...(1lim =++++∞→u uu p n n nn ，则这级数不一定收敛。
§ 2 正项级数1． 应用比较原则判别下列级数的收敛性：（1）an 221+∑； （2）32sinnnπ∑；（3）∑+n211； （4）∑∞=2)(ln 1n nn ；（5）)1cos 1(∑-n ； （6）∑nnn1；（7）)0(),2(11>-+-∑a a a nn； （8）∑∞=2ln )(ln 1n nn ；2． 用比较判别法或根式判别法鉴定下列级数的收敛性：（1）∑-⋅⋅⋅⋅!)12(31n n ； （2）∑+10)!1(n n ；（3）∑+)12(n n n； （4）∑n nn !；（5）∑22nn； （6）∑)(a b nn（其中)0,,);(b a b a n a a an n≠>∞→→且3． 设∑u n和∑vn为正项级数，且存在正数N,对一切n>N,有vv uunn nn 11++≤。
*点击以上标题可直接前往对应内容幂级数的一般形式为2010200()()()nnn a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-∑为方便起见, 下面将重点讨论 00x =的情形. ∞==+++++∑20120.(2)nnnn n ax a a x a x a x 0,x x -因为只要把(2)中的 x 换成 就得到(1). 幂级数的收敛区间后退 前进 目录 退出++-+0()(1)nn a x x 即首先讨论幂级数(2)的收敛性.除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？定理14.1（阿贝尔定理）若幂级数(2)在收敛, 0x x =≠则对满足不等式 ||||x x >的任何x , 幂级数(2)发散.20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑的任何x , ||||x x <则对满足不等式 x x =时发散, 若幂级数(2)在 幂级数(2)收敛而且绝对收敛;即存在某正数 M , 使得||(0,1,2,).nn a x Mn <=||||,x x x <对任意一个满足不等式的设1,x r x=<则有 ||n n a x 由于级数 0nn Mr ∞=∑收敛,证 0,nn n a x 设级数收敛∞=∑(2)当 ||||x x <时绝对收敛.且有界, {}nn a x 从而数列收敛于零故由优级数判别法知幂级数 ||n nn n n n n x x a x a x x x =⋅=.n Mr <设幂级数(2)在 x x =时 0x 0||||x x >如果存在一个, 满足不等式 , 且使 级数 0nn n a x ∞=∑收敛, (2)应该在 x x =时绝对收敛, 与假设矛盾. 切满足不等式 ||||,x x x 的>幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！ 间的长度, 发散, 则由定理得第一部分知, 所以对一 下面证明定理的第二部分. 幂级数这是非常好的性质. 若以2R 表示区 则称R 为幂级数的收敛半径.事实上, 收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点 的绝对值的上确界. 0R =0x =(i) 当 时, 幂级数(2)仅在 处收敛; (ii) ,(2)(,);R 当时幂级数在上收敛=+∞-∞+∞(iii) 0,(2)(,);R R R 当时幂级数在内收敛<<+∞-x R >x 对一切满足不等式 的 , 幂级数(2)都发散; x R =±至于 , (2)可能收敛也可能发散. 为幂级数(2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑所以有因此称(,)R R -定理14.2对于幂级数(2), 若lim ,(3)nn n a ρ→∞=则当1(i)0,(2);R ρρ<<+∞=时幂级数的收敛半径(ii)0,(2);R ρ==+∞时幂级数的收敛半径(iii),(2)0.R ρ=+∞=时幂级数的收敛半径0ρ<<+∞(i) 当 时, 幂级数(2)收敛半径 1;R ρ=0,||1,x x ρρ=<当时对任何都有(ii) ||1x ρ>当 时, 级数发散. ,0||1,x x x ρρ当时除外的任何都有=+∞=>(iii) 证∞=∑0||,nn n a x 对于幂级数lim ||lim ||||||,nnn n n n n a x a x x ρ→∞→∞==于是 由于 根据级数的根式判别法, ||1x ρ<当时，收敛； 级数 0||nn n a x ∞=∑所以 R= 0.;R =+∞所以注 由定理14.2可知, 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.究竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.在第十二章§2第二段曾经指出: 1||lim,||n n na a ρ若+→∞=则有 lim ||.nn n a ρ→∞= 因此也可用比式判别法来得出幂级数(2)的收敛半径. 一个幂级数的收敛域等于它的2,nx n∑级数由于2121(),(1)n n a n n a n +=→→∞+例1 1R =(1,1)-所以其收敛半径 , 即收敛区间为; ∑21,n 由于级数收敛 所 21nxx n在时也收敛.=±∑以级数 的收敛域为 [1,1].-而当 于是级数 2nx n ∑±=±=22(1)11,,nx n n 时有因此幂级数(4)的收敛区间是 (1,1)-.1x =时发散, 1x =-时收敛, 敛域是半开区间 [1,1)-. !!n n x n xn ∑∑与R =+∞0R =的收敛半径分别为 与 .例2 设有级数2,(4)2nx x x n ++++11lim lim 1,n n n n a n R a n →∞→∞++===由于但级数 (4) 当 照此方法, 容易验证级数 从而得到级数(4)的收*定理14. 3（柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理）对于幂级数(2), 设lim ||,(5)nn n a ρ→∞=则有1(i)0,;R ρρ<<+∞=当时收敛半径(ii)0,;R ρ==+∞当时(iii),0.R ρ=+∞=当时注 由于上极限(5)总是存在, (5)式得到它的收敛半径.因而任一幂级数总能由*例3 设有级数2342122242121,323232n nn n x x x x x x--+++++++1lim ||,2n n n a →∞=2R =由于 所以收敛半径 . 时, 级数都发散, 因 2x =±(2,2).-故此级数的收敛域为例4 求幂级数 2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.解 (i)先求收敛半径.2z x =方法1 设 , 21lim |3|nnn R n ρ→∞==-29x z =<29x z =>从而 时原级数收敛, 原级数发 2213nn n xn ∞=-∑ 3.R =散, 所以 的收敛半径为幂级数 213nn n zn ∞=-∑的收敛半径为2=9lim 19,3nn n n→∞-=方法2 应用柯西-阿达玛定理 (,0),n n a 奇数时==由于 221lim ||lim 3n n n n n n a n ρ→∞→∞==-22111lim ,3313nn n n →∞==-所以, 收敛半径为3.R =3x =±(ii) 再求收敛域. 当 时, 相应的级数都是 所以原级数的收敛域为 (3,3)-.求幂级数 2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.223lim 13nn n n →∞=-, 因此该级数发散, 由于 , 22133nn n n ∞=-∑定理14. 4若幂级数(2)的收敛半径为 0R >, (,)R R -[,](,)a b R R ⊂-区间内任一闭区间 上, 级数(2)都一致收敛.证=∈-max{||,||}(,),x a b R R 设任一点 x , ||||.n nn n a x a x ≤由于级数(2)在点 x 绝对收敛, 数(2)在 [,]a b 上一致收敛.则在它的收敛 [,]a b 那么对于上由优级数判别法得级 都有定理14. 5[0,]R 则级数(2)在 ([,0])R -或上一致收敛.x R =证 设级数(2)在 时收敛, (){}[0,]n x nn Ra R R 已知级数收敛,函数列在上∑ 若幂级数 (2) 的收敛半径为R > 0, )x R =-时收敛, ().nx n n n n R a x a R =∑∑对于 [0,]x R ∈有递减且一致有界,()21x xRR≥≥≥≥即 且在x R =(或 ()n x R≥≥故由函数项级数的阿贝尔判别法, [0,]R 级数(2)在 上一致收敛.例5 级数22(1)1(1)(1),(6)22222n nn nx x x x n n----=++++⋅∑由于1112(1)(),12(1)22n n n n n n n++=→→∞+所以级数(6)的收敛半径2R =, |1|2x -<(1,3).-从而级数(6)的收敛区间为即(2)1111(1).223nnn n n-=-+-++-+∑当 x = 3 时, 级数(6)为发散级数211111.223nn n n n==+++++∑∑于是级数(6)的收敛域为[1,3).-1x =- 当 时, 级数(6)为收敛级数定理14. 6根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的 (i) 幂级数(2)的和函数是 (,)R R 内的连续函数; (ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续.幂级数的性质一系列性质. 由定理14.4、14.5和13.12立刻可得2112323(7)n n a a x a x na x -+++++231120(8)231n n a a a a x x x x n +++++++的收敛区间.定理14. 7幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间. 证 只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间即可， 先来确定幂级数(2) 逐项求积后得到的幂级数在收敛区间(,)R R -内逐项求导与 因为 对(8)逐项求导就得到(2).由阿贝耳定理(定理14.1)的 证明知道, 都有||.n nn a x Mr <于是100||||n nn n n na xa x x -=0.nn nr 根据比式判别法可知级数收敛∞=∑较原则及上述不等式, 就推出幂级数(7)在点 0x 绝对 0x (,)R R -由于 为 中任一点, 这就证明了幂级数(7) 在(,)R R -上收敛. 由级数的比收敛(当然也是收敛的!). 设 00(,),0x R R x ∈-≠, 存在正数 M 与 r (r <1), 对一切正整数 n , 0,||n M nr x <>>0,||||.x x x R 使得=x x 时绝对收敛.1||||||,||n n nn n n n na x a x a x x -=≥根据比较原则得幂级数(2)在 x x =处绝对收敛.与所设幂级数(2)的收敛区间为 (,)R R -相矛盾. 幂级数(7)的收敛区间也是(,).R R -其次证明幂级数(7)对一切满足||x R >的x 都不收敛. 如若不然, 幂级数(7)在点 00(||)x x R >收敛, 幂级数(7)在,由阿贝尔定理≥||,n x 但是,取时就有这 于是 则存在2112323(7)n n a a x a x na x-+++++定理14. 8(i) f 在 x 可导, 且11();n n n f x na x ∞-='=∑(ii) f 在区间 [0,]x 上可积, 证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半径 R .(,)x R R ∈-，设幂级数(2)在收敛区间(,)R R -上的和函数为 f , 若 x 为(,)R R -内任意一点, 因此,对任意一个则 10()d .1xn n n a f t t x n ∞+==+∑⎰且 总存在正数 r , 使得 |x | < r < R , 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r , r ]上一致收敛. 再由逐项求导与逐项求积定理, 就得到所要的结论.推论1nn n a x ∞=∑(,)R R -设 f 为幂级数 在收敛区间上的和 则在(,)R R -上 f 具有任意阶导数, 意次逐项求导, 21123()23,n n f x a a x a x na x-'=+++++223()232(1),n n f x a a x n n a x-''=+⋅++-+()1()!(1)(1)2,n n n fx n a n n n a x +=++-+.函数, 即且可任 由本定理立可得幂级数在其收敛区间上可以逐项求导 和逐项求积.推论2(0,1,2,)n a n =0f x =与在处的则级数(2)的系数各阶导数有如下关系:()0(0)(0),(1,2,).!n n fa f a n n ===注 推论2表明, 若幂级数(2)在 (,)R R -上有和函数 f , 则级数(2)由 f 在0x =处的各阶导数所惟一确定. 这是一个重要的结论, 在讨论幂级数展开时要用到.设 f 为幂级数 某邻域内的和函数,0nn a x x =∑在定理14. 9nn n a x ∞=∑0nn n b x ∞=∑0x =若幂级数 与 在 的某邻域内有相同的和函数, (1,2,).n na b n ==这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到. 根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇 (偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.幂级数的运算则它们同次幂项的系数相等, 即定理14. 10nn n a x 与∞=∑0n n n b x∞=∑若 的收敛半径分别为R a 和R b ,00,||,n nn n a n n a x a x x R λλ∞∞===<∑∑0(),||,nnnnn n n n n n ax b x a b x x R ∞∞∞===±=±<∑∑∑000,||,n n nn n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0,min{,},.na b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.则例6 几何级数在收敛域 (1,1)-内有 21()1.(10)1nf x x x x x==+++++-对级数(10)在 (1,1)-内逐项求导得 2121()123,(11)(1)n f x x x nx x -'==+++++--''==+⋅++-+-232!()232(1),(12)(1)n f x x n n x x 将级数(10)在[0,](1)x x <上逐项求积得到 00d d ,1-xx nn t t t t ∞==∑⎰⎰所以2311ln (||1).(13)1231n x x x x x x n +=++++<-+上式对也成立(参见本节习题3). 1x =-111(1)ln 1,223nn-=-+-++111(1)ln21.23n n--=-+++从这个例子可以看到: 由已知级数(10)的和函数, 于是有 逐项求导或逐项求积可间接地求得级数(11)、(12)或通过 (13)的和函数.例7 求幂级数 121(1)n nn n x ∞-=-∑的和函数.2lim 1nx n →∞=，21n n ∞=∑因为 且级数 121(1)n n n ∞-=-∑与 都发散, 121()(1)n nn S x n x ∞-==-∑()(1,1).x g x x =⋅∈-解 首先求出收敛域. (1,1).-所以收敛域为 设 1211(1)n n n x n x∞--==-∑1211()d (1)d xx n n n g t t ntt ∞--==-∑⎰⎰11(1)n nn nx ∞-==-∑因为 111=(1)n n n x nx∞--=-∑().xh x =所以()1()x x h x +'=2()(())(1)x g x xh x x '⎡⎤'==⎢⎥+⎣⎦23()()(1,1).(1)x xS x xg x x x -==∈-+本题还可以用逐项求导的方法求和函数, 请自行练习.对 ()h x 逐项积分, 111()d (1)d x xn n n h t t n tt ∞--==-∑⎰⎰=∈-+,(1,1).1x x x 得11(1)n nn x∞-==-∑111()=(1)n n n h t nx∞--=-∑21(1);x +=3;(1)xx 1-=+于是复习思考题,nn n a x ∞=∑1,n n n na x∞-=∑101n n n a x n ∞+=+∑1. 幂级数 有相同收敛 试问它们的收敛域之间有什么关系?2. 一个幂级数有无限多个项的系数为零,3.为什么在幂级数逐项求导中没有要求在收敛区间上4. 逐项求导和逐项求积是求幂级数和函数的一个有效 半径, 例4 给出了求缺项幂级数收敛半径的方法, 称为缺项幂级 数. 还有其他方法吗? 除此以外 请读者总结.一致收敛？请总结出求和函数的常规方法.的方法,。
!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&%!"!!&%!#!&!!&%!’%$&!由此易得)若级数!收敛#则&’()’!$*)+*,三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!%!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"!"&)"%"#*#"!""&)#’("易知)"$"$#""&)#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#"""&)#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(,’%+’,(,+%#证明)级数"$"$"+’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(,’%+’,(,+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式+’,(++’%(!+’-%(,!"#+.’"(,#+"#+.’"(,#!’"在%与,之间(又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"#$+.’"($,#)!#,#令,+""#则$+’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"+’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!%!’中山大学##%%1年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&都有&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/"$%!所以&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*""!"!&!*"!’$&!%特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*""!/"$&!%%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*""!"!&!*"#!/#$&!%&&&&这与&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%的假设矛盾#$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"$"$"’7"("8’),"*,,%都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%,"%###此时8’),"#%#且8’),!""为单调递减数列#且&’("’!$8’),"+%#由莱布尼兹判别法知"$"$"’7"("8’),"收敛#而当"#%,时#’7"("8’),"+8’),"#%#&’("’!$8’),","+"#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"8’),"也发散#所以*,,%#级数"$"$"’7"("8’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*11"1*""1"""*"11&1"’0"2/(’0"1"(1&+’#(’"#1".(1’"##1".#(1&1’"#"1"."(1&+’.(""$"$""’"1"(’"1#(+’/(""$"$’"1!#2#"1!"1!"(+’0(""$"$#"2"#"-!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"3$"""’032/(’031"($"0"3$""’"032/2"031"($"0’"2"0"1"(于是($&’("’$("$"0#故级数收敛且其和为"0-’#(("$"3$""’"#31".3($"3$"""#31"3$""".3$"#2"#"1""2"#1".2"."1""2".$.#2"#"2"#4."于是($&’("’$("$.##故级数收敛且其和为.#-’.(("$"3$"""3’31"(’31#($"#"3$"","3’31"(2"’31"(’31#(-$"#,"#2"’"1"(’"1#(-于是($&’("’$("$"/#故级数收敛且其和为"/-’/(("$"3$""’31!#2#31!"1!3($"3$""’31!#231!"(2"3$""’31!"2!3($’"1!#2!#(2’"1!"2"($"2!#1""1!#1"1!"于是("$&’("’$("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-’0(("$#("2("$"3$""#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$#"#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$""2"##32#"2"#"*$*第十二章!数项级数$"1"2"#"2""2"#2#"2"#"$.2"#"2#2#"2"#"’"&#(于是($&’("’$("$.#故级数收敛且其和为.-.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&!%所以65!&%1"15!&1#1&15!&%1’%6$6566!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&656!%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6$!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%&!%和67&"1"17&"1#1&17&"1’"6$7&"1"17&"1#1&17&"1’"&!"故6’!&%1"17&%1"(1’!&%1#17&%1#(1&1’!%1’%17&%1’%(6$’!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%(1’7&%1"17&%1#1&7&%1’%(&!%即"’!"17"(必发散--/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"2*"1"($*"2*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’("’$*"$*#故("$"3$""’*32*31"($*"2*"1"从而($&’("’$("$&’("’$’*"2*"1"($*"2&’("’$*"1"$*"2*-0-证明)若数列!8""有&’("’$8"$$#则’"(级数"’8"1"28"(发散+’#(当8",%时#级数""8"2"8"1’("$"8"-分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"3$""’831"283($8"1"28"($&’("’$("$&’("’$’8"1"28"($$*%*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时("$"3$"""832"831’("$"8"2"8"1"即($&’("’$("$"8"2&’("’$"8"1"$"8"故级数""8"2"8"1’("收敛于"8"--1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*1"2"(’*1"(+!!!!!!’#(""$"$’2"("1"#"1""’"1"(+’.(""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"--!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’("’$""#$%#!解!’"(因为""$"$"’*1"2"(’*1"($""$"$"*1"2"2"*1’("而数列"*1"2!""收敛于%#故由第/题的结论#可知""$"$"’*1"2"(’*1"($"*1"2"2%$"*’*,%(’#(因为""$"$’2"("1"#"1""’"1"($""$"$,2’2"(""2’2’2"("1""1"(-而数列2’2"("!""收敛于%#故""$"$’2"("1"#"1""’"1"($2’2"(""2%$"’.(因为""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""$"$,""#1"2"’"1"(#1"-而数列""#1!""收敛于%#故""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""#1"2%$"#-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("8’)#"#"+!!!!’#("’2"("2""##"#1"+’.("’2"(""+’/("""1"!#-分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*第十二章!数项级数解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$68’)#&1"#&1"18’)#&1##&1#1&8’)#&1’#&1’6!!%"#&1"1"#&1#1&1"#&1’$"#&2"#&1’%"#&因此#对任意的!#%-取&$&;<#",-!使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出"8’)#"#"收敛-’#(因&’("’$’2"("2""##"#1"$"##"/#故取!%$"/-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"#有6!&%1"6$’&%1"(##’&%1"(#1"#"/$!%由柯西准则可知"’2"("2""##"#1"发散-’.(由于数列"!""单调减小#故6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6$"&%1"2"&%1#1&1’2"(’2""&%1’%"&%1"%"&%因此#*!#%#取%$",-!1"当&%#%及’+:1时#都有6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6%!成立-由柯西准则可知级数"’2"("""收敛-’/(取!%$"!##*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有"3$"’%"’&%13(1’&%13(!##"3$"’%"#’&%13(!#$"’%3$""!#’&%13(#"3$"’%"!#’&%1&%($"!##由柯西准则知"""1"!#发散-/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:1#*"#%#总有6!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:1有!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’("’$’!"1"1&1!"1’($%#此级数仍可能不收敛-!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有&’("’$""1"1""1#1&1""1’(’$&’("’$""1"1&’("’$""1#1&1&’("’$""1’$%但该级数""#是发散的-/"%-设级数"!"满足)加括号后级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛’""$%(#且在同一括号的!"31"#!"31##&#!"31"符号相同#证明"!"亦收敛-分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛#则有&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"31"($%所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有("$":$""!"$":$"32"’!":1"1!":1#1&1!":1"(1’!"31"1!"31#1&!"319($(-32"1’!"31"1!"31#1&1!"319(其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’("’$("$&’("’$(-32"1&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"319($&’("’$(-32"故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#1*#+!!!!!!!!!!’#("#"8’)#."+’.("""1"!#+’/(""$#$"’&)"("+’0("’"2=;8""(+’1(""""!"+’2("’"!*2"(’*#"(+’3(""$#$"’&)"(&)"+’4("’*""1*2""2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑8’)#."*#"$#’#.("#’1(识记"""数列是发散的#’2(先做代换;$""#!解!’"(因为%)""#1*#%""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#1*#收敛-’#(因为%%#"8’)#."$#’(#."!’"’$(而正项级数"#’(#."收敛#所以级数"#"8’)#."收敛-’.(因为""1"!#&""1"&%而正项级数"""1"发散#所以级数"""1"!#发散-’/(因为%%"’&)"("%"#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’&)"("收敛-’0(因为"2=;8""$"#"’("#’"’1$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""2=;8"’("收敛-’1(因为&’("’$"!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"!"%#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散-所以级数""""!"发散-’2(因为&’("’$"!*2"""令;$"000000"&’(;’%*;2";$&’(;’%*;&)*"$&)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*2"(发散-’3(因为"’&)"(&)"$">&)’&)"(&)"$"’>&)"(&)’&)"($""&)’&)"(%""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’&)"(&)"收敛-’4(因为&’("’$*""1*2""2#’"#"(#$&’("’$’*"#"2*2"#"(#’"#"(#令;$"#000000"&’(;’%1*;2*2;’(;#$’#&)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""1*2""2#(收敛--#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"("0+!!!’#("’"1"(0"%"+’.("’"#"1"("+’/(""0""+’0(""##"+’1("."*"0""+’2("8*’(""’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-分析!’/(运用到&’(,’%’"1,(",$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#解!’"(因为!&’("’$!"1"!"$&’("’$"*.*&*’#"1"(’"1"(0*"0"*.*&*’#"2"($&’("’$#"1""1"$#所以由比式判别法知正项级数""*.*&*’#"2"("0发散-’#(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1#(0"%"1"*"%"’"1"(0$&’("’$"1#"%$1$所以由比式判别法知正项级数"’"1"(0"%"发散-’.(因为&’("’$"’"#"1"(!"$&’("’$"#"1"$"#%"所以由根式判别法知正项级数"’"#"1"("收敛-’/(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"(0’"1"("1"*"""0$&’("’$"’"1""("$">%"所以由比式判别法知正项级数""0""收敛-’0(因为&’("’$"!!"$&’("’$""!##$&’("’$’"!"(##$"#%"**!*所以由根式判别法知正项级数""##"收敛-’1(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$."1"’"1"(0’"1"("1"*"".""0$&’("’$.’"1""("$.>#"所以由比式判别法知正项级数".""0""发散-’2(因为&’("’$"!!"$&’("’$8*"$8*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8*"("收敛+当*%8时#正项级数"’8*"("发散--.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有!"1"!")7"1"7"-证明)若级数"7"收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有!"1"!")7"1"7"#即%%!"1"7"1")!"7")&)!%%1"7%%1"故!"1")!%%1"7%%1"*7"1"!’"#%%(而!%%1"7%%1"是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同理可证正项级数"7"亦发散-./-设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛+试问反之是否成立.!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’("’$*"$%即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*#"收敛-!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*即%)*"%)"从而%)*#"%)#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛-.1-设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#%(也收敛-!证明!对*"#%及任意正整数"#有%%*"")"#*#"1""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛--2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"1!"也收敛-!分析!注意运用!*8)"#’*18(#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有%)!"!"1!")"#’!"1!"1"(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"1!"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(&’("’$""’"0(#$%+!!!’#(&’("’$’#"(0*"0$%!’*#"(-!解!’"(设!"$""’"0(##则正项级数"!"$"""’"0(#是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"("1",’"1"(0-#*’"0(#""$&’("’$""1""1"’(""$%故由柯西准则可知&’("’$!"$&’("’$""’"0(#$%-’#(设!"$’#"(0*"0则正项级数"!"$"’#"(0*"0是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’#’"1"((0*’"1"(0**"’#"(0$&’("’$’#"1"(’#"1#(*"1"$%故由柯西准则知&’("’$!"$&’("’$’#"(0*"0$%--4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#1"+!!!!!!!’#("""#1"+’.(""$."""&)"&)’&)"(+’/(""$.$""’&)"(’’&)&)"(<#!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况#!解!’"(设+’,($",#1"*"!*则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而11$"?,"1,#$#/故由积分判别法知"""#1"收敛-’#(设+’,($,,#1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而&’(,’$,*,,#1"$"由11$",,#1"?,发散#于是由积分判别法知"""#1"发散-’.(设+’,($",&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而11$.+’,(?,$11$.?,,&),&)’&),($11$&)&).?!!$1$故由积分判别法知""$."""&)"&)’&)"(发散-’/(设+’,($",’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-$(若’$"#这时有11$.?,,&),’&)&),(<$11$&)&).?!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有11$.?,,’&),(’’&)&),(<$11$&)&).?!>’’2"(!!<对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$%即该积分收敛#当’2"%%时#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$1$即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#&*#&同时收敛或同时发散-!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#&*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"()*"1#*#1&1#9*#9$=9!’")#9(故若正项级数"#&*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当"	时#则("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#92"1"1&1*#9(#"#’*"1#*#1/*/1&1#9*#9($"#=9故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#&*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"(#*/*&*’#"(*"#"1"+’#(""0’,1"(’,1#(&’,1"(!’,#%(-!解!’"(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$,"2"*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"1#(*’#"1.(*#*/*&*’#"(*’#"1"("*.*&*’#"2"(-$&’("’$"’1"10(’#"1#(’#"1.($.##"所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$""2’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"1"(’,1"(’,1#(&’,1"(",-0$&’("’$",,1"1"$,所以由拉贝判别法知+当,#"时级数收敛+当,)"时级数发散--"#-用根式判别法证明级数"#2"2’2"("收敛#并说明比式判别法对此级数无效-!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#!证明!设!"$#2"2’2"("#则&’("’$"!!"$&’("’$"#""#’2"(!"$"#由根式判别法知"!"收敛#但&’("’$!"1"!"$&’("’$#2"1#’2"("不存在#所以比式判别法对此级数无效-*$!*.".-求下列极限’其中’#"()’"(&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’+’#(&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("-!解!’"(因为’#"#"""’收敛-由柯西准则知*!#%#(%+:1#当"#%时#有"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(’%!所以&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’$%’#(因为’#"#级数""’"收敛#由柯西准则知*!#%#(%+:1使得对一切"#%时#有"’"1"1"’"1#1&1"’#"%!所以&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("$%/"/-设*"#%#证明数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"同时收敛或同时发散-!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"&)’"1*"(有相同的敛散性-因而本题只需证"*"和"&)’"1*"(的敛散性相同-这两者之一若收敛#必有&’("’$*"$%且当&’("’$*"$%时&’("’$&)’"1*"(*"$"故由比较原则的推论可知"&)’"1*"(与"*"有相同的敛散性-故数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"有相同的敛散性-!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数-"-下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("8’)","0+!!!!!!!’#("’2"("""1"+’.("’2"(""’1""+’/("’2"("8’)#"+’0("’2"("!"1"’("+’1("’2"("&)’"1"("1"+*%!*’2("’2"("#"1"%%."1’(""+’3(""0,’(""-!分析!’.(需要将’分为’2%#%-#’%#"-#’"#1$(三段讨论#’1(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#!解!’"(因为8’)","0)""0而"""0收敛#所以"8’)","0为绝对收敛-’#(因为&’("’$’2"("""1"$",%所以"’2"("""1"发散-’.(当’)%时&’("’$’2"(""’1"",%故这时级数发散-当’#"时#由于’2"(""’1""$""’而"""’收敛#故这时级数绝对收敛-当%%’)"时#令!!!"$""’1""则!"1"!"$"""’"1""(’’"1"(""1"%"""’"1""(’"""1"$"""’"1"(’"1""(’而"1"’("’’>’#"#"""’"1"(’"!’"’$(从而当"充分大时#有!"1"%!"即!!""为单调递减#又有&’("’$!"$%故由定理"#-""’莱布尼茨判别法(可知#级数"’2"(""’1""在%%’)"时条件收敛-’/(因为’2"("8’)#"$#"’"’$(而"""发散#即原级数不是绝对收敛级数#但8’)#!""是单调递减且&’("’$8’)#"$%-所以由莱布尼茨判别法可知"’2"("8’)#"条件收敛-’0(由于"""发散#"’2"(""!"收敛#故"’2"("!"1"’("发散-’1(因为&)’"1"("1"#""1"*&!*。
