二元一次方程组

二元一次方程组教案3 篇一、学习内容分析：执教者钱嘉颖时间XXXX年6月12日1、选自初一年级(下)数学学科第八章(第一单元)第一节(课)(1课时45分钟)2、教材内容简要分析教材以引言中的一个实际例子，“一班和二班进行篮球比赛，总共打了22场。

每胜一场得2分，每负一场得1分，已知比赛结束一班累计得了40分，思考：一班胜了多少场，负了多少场”来开展这次课程。

以本例来首先回忆已学过的一元一次方程的知识内容，以此作为切入点，引导学生思考用两个未知数来表示方程，借此进入二元一次方程的介绍。

之后，引导学生利用一元一次方程的解法特点来思考二元一次方程组的解答方法，本次课程内容主要介绍了代入解答法(也称消元法)的详细解答过程，以及二元一次方程组的实际运用及解答，让学习者更好的吸收及掌握二元一次方程组和二元一次方程组的消元法。

另外，在本单元结束介绍了作为课外知识的“二元一次方程古代表示方法”。

3、学习内容分析表：知识点重点难点编号内容1二元一次方程组定义及特点二元一次方程组的两个特点二元一次方程组成立的条件(未知数要同时满足两个条件)2二元一次方程组代入消元法代入消元法的具体解法消元法与一元一次方程解法间的联系3二元一次方程组实际运用以实际例题列出方程并解答未知数的假设以及运用已知条件列出正确方程。

二、学习者分析：本次教学的对象是云南省某中学的初中一年级学生，平均年龄12岁。

初一年级是学生由幼稚的童年向青年转化和个性逐渐成型的重要转折点，初一年级学生具有其特殊性。

初一年级学生由于刚刚接触完全不同于小学的学习生活而有手足无措的情况。

而在这个时期的学生生理和心理飞速发展变化，自我意识开始强烈，有了自己的兴趣，独立性增强，感情趋于丰富复杂化，有一定独立思考的能力、一定程度的抽象思维能力和逻辑思维能力，处于识记能力最强的时期。

此时，进行的教育可以更加重视独立思考，在数学教学中更加重视引导教学，致使学习者能够更加深刻的理解所学知识，达到教学目标。

二元一次方程组的格式
二元一次方程组是指两个未知量和两个方程组成的数学模型，是高中
数学中比较常见的方程类型。

二元一次方程组具有如下特点：
1、由两个未知量组成：二元一次方程组的未知量只有两个，称为x、y。

2、由两个方程组成：二元一次方程组中包括两个方程，即x方程和y
方程，可表示为ax + by = c (1)、dx + ey = f (2)，其中a、d、b、e、c、f为实数常数。

3、解决方法是等式消元法：通过将两个方程进行消元，就可以求出未
知量x、y的值，这种消元法也称为等式消元法，更常见的求解方法也
可以通用于二元一次方程组。

4、研究方法是绘制出x和y的图形：在计算机语言中，可以将两个方
程组合起来，求出关于x和y的图形，也称一次曲线，更直观的研究
该方程组的解。

5、适用范围有限：如果一个方程中有三个以上的未知量，或者两个方
程中的变量不是x、y，那么二元一次方程组就不适用了。

此外，如果
非一次方程，比如多项式方程、二次方程，二元一次方程组也不适用。

以上就是二元一次方程组的特点，可以看出，在高中数学中，二元一次方程组是比较常见的方程类型，解决起来比较容易，但是仍有其有限性。

一、二元一次方程（组）与二元一次方程解定义1．若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+3y＝6是二元一次方程，则k＝．【解答】﹣22．若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的立方根是【解答】13．二元一次方程x+2y＝3的正整数解是．【解答】4．写出二元一次方程x+2y＝8的一组整数解：．【解答】（答案不唯一）5．由方程3x﹣2y﹣12＝0可得到用x表示y的式子是．【解答】y＝x﹣66．已知x﹣3y＝9，请用含x的代数式表示y，则y＝．【解答】x﹣37．已知二元一次方程2x﹣3y﹣5＝0的一组解为，则6b﹣4a+3＝．【解答】﹣78．若方程组是二元一次方程组，则a的值为．【解答】09．试写出一个以为解的二元一次方程组．【解答】．10．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是．【解答】﹣2或﹣311．若＝＝1，将原方程组化为的形式为．【解答】12．观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为．【解答】13．当m＝时，关于x、y的方程组有无穷多解．【解答】414．若方程组的解是，其中y的值看不清楚了，则b的值是．【解答】二、解二元一次方程组与三元一次方程组（1）．【解答】（2）【解答】（3）；【解答】（4）【解答】（5）【解答】（6）【解答】．（7）【解答】（8）【解答】．（9）．【解答】（10）【解答】（11）【解答】（12）【解答】二．含参数方程组1．对有理数x、y规定运算⊕：x⊕y＝ax﹣by．已知1⊕7＝9，3⊕8＝14，求2a+5b的值．【解答】，所以2a+5b＝﹣1．2．若关于x，y的方程组的解为正数，当m为整数时，求的值．【解答】∴m＝4，∴＝＝5．3．k为正整数，已知关于x，y的二元一次方程组有整数解，求2k+x+y的平方根．【解答】2k+x+y的平方根＝±3．4．若实数x、y满足方程组，则代数式2x+2y﹣4的值是．【解答】45．已如是方程的解，则（a+b）（a﹣b）的值为．【解答】45．6．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b＝．【解答】5．7．已知关于x，y的方程组的解为，则m＝．n＝．【解答】．8．若二元一次方程组的解为，则a+b的值为【解答】﹣1．9．如果方程组的解是方程7x+my＝16的一个解，则m的值为．【解答】2．10．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则（m﹣5）2019=．【解答】﹣1．．已知方程组的解满足12．如果方程组的解中x与y的值相等，那么a的值是．【解答】313．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程﹣y＝4，则m=．【解答】﹣12．方程组的解适合方程15. 已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 和方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax 的解相同，求代数式3a ＋7b 的值.16．已知方程组和方程组的解相同，则b ﹣2a 的值是 ．【解答】﹣3．17．若关于x 、y 的二元一次方程组和的解相同，求a 、b 的值．【解答】．18．若方程组与方程组的解相同，分别求a ，b 的值．【解答】a ＝﹣3，b ＝2．19．若关于x 、y 的方程组与有相同的解．（1）求这个相同的解； （2）求m 、n 的值．【解答】（1）；（2）．20．在解关于x 、y 的方程组时，可以用①×2﹣②消去未知数x ，也可以用①×4+②×3消去未知数y ，试求a 、b 的值．【解答】a ＝6，b ＝21．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得到解为，乙看错了方程组中的b ，而得到解为．（1）求正确的a ，b 的值；（2）求原方程组的解．【解答】（1）b ＝5a ＝4（2）22．小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为”，而小红说：“我求出的解是，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x 的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．【解答】23．在解方程组时，哥哥正确地解得，弟弟因把c 写错而解得．求：（1）a +b +c 的值．（2）弟弟把c 写错成了什么数？【解答】（1）a +b +c ＝4+5+（﹣2）＝7．（2）c ＝﹣11．24．已知关于x，y的二元一次方程组．（1）若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？（2）若y＜0，且m≤n，试求x的最小值．【解答】（1）；（2）x的最小值是5．25．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．这时原方程组化为解得把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．得解得所以，原方程组的解为请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：（1）解方程组（2）若方程组的解是，求方程组的解．【解答】（1）；（2）．26．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组解：由（1）﹣（2）得2x+2y＝2即x+y＝1（3）（3）×16得16x+16y＝16（4）（2）﹣（4）得x＝﹣1，从而可得y＝2∴方程组的解是．（1）请你仿上面的解法解方程组．【解答】（1）（2）．（2）猜测关于x、y的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．27．如下是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组n．方程组集合：，，，…对应方程组解的集合：，，，…．（1）方程组1的解为；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出方程组n为，方程组n的解；（3）若方程组的解是，求a的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．【解答】（1），（2）方程组n它的解是；（3）a＝5，即原方程组为所以该方程组符合（2）中的规律．28．已知：．（1）用x的代数式表示y；（2）如果x、y为自然数，那么x、y的值分别为多少？（3）如果x、y为整数，求（﹣2）x•4y的值．【解答】（1）y＝；（2）当x＝1时，y＝3；x＝3时，y＝2；x＝5时，y＝1；x＝7时，y＝0；（3）方程组整理得：x+2y＝m+2+5﹣m＝7，则原式＝（﹣2）x+2y＝（﹣2）7＝﹣128．29．当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点A（a，﹣4）、B（4，b）是“爱心点”，请判断A、B两点的中点C在第几象限？并说明理由；（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．【解答】（1）A点为“爱心点”，B点不是“爱心点”；（2）A、B两点的中点C在第四象限（3）P＝0，q＝﹣．30．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点．（1）判断点A（2，3）是否为完美点．（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．【解答】（1）A（2，3）不是完美点．（2）点B（x，y）是完美点．31．阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm；（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．【解答】（1）60；（2）20cm．（3）S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．。

第四讲 二元一次方程组的概念及解法考点梳理考点一 二元一次方程组的概念含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

典例分析 例1、在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有 个；例2、已知二元一次方程2x －y ＝1，若x ＝2，则y ＝ ;若y ＝0，则x ＝ ． 练习：1、方程x ＋y ＝2的正整数解是__________. 2、在方程3x －ay ＝8中，如果是它的一个解，那么a 的值为例3、方程组⎩⎨⎧=+=-521y x y x 的解是（ ）A 、 ⎩⎨⎧=-=21y xB 、⎩⎨⎧-==12y x C 、⎩⎨⎧==21y x D 、⎩⎨⎧==12y x例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组。

例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。

问鸡兔各几何。

”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。

考点二 解二元一次方程⎩⎨⎧==13y x（一）消元解二元一次方程⎧⎨⎩代入消元法加减消元法典例分析例1、把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ， 化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ． 练习：用含一个未知数的代数式表示另一未知数 （1）5x-3y=x+2y (2)2(3y-3)=6x+4 (3)1223=+y x （4）24741=+y x例2、用代入消元法解下列方程 （1）⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x（3）23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩例3、用加减消元法解下列方程 （1）⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x（3）23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩ （4）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩（二）二元一次方程组的特殊解法 1、整体代入法例4、解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪14232313、设参代入法例6、解方程组⎩⎨⎧==-3:4:23y x y x2、先消常数法 例5、解方程组⎩⎨⎧=-=+1523334y x y x4、换元法例7、解方程组()()x y x yx y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩⎪236345、简化系数法 例8、解方程组⎩⎨⎧=-=-443334y x y x练习：解下列方程（1）⎩⎨⎧-=-+=-85)1(21)2(3y x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=184332y x y x（3）⎩⎨⎧=--=--023256017154y x y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+234321332y x y x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y （6）⎩⎨⎧=+=+24121232432321y x y x考点三 二元一次方程组解的应用 例1、若，则＝ ，＝ 。

二元一次方程组
二元一次方程组是指由两个未知数的一次方程构成的方程组。

一般形式为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。

解二元一次方程组的方法有图解法、代入法、消元法等。

下面将以一个具体例子来说明这些解法。

例子：
解方程组：
2x - 3y = 11
4x + 5y = 7
1. 图解法：
首先将两个方程转化为直线的形式。

将第一个方程中的y单独提出来，得到y = (2x - 11)/3。

将第二个方程中的y单独提出来，得到y = (7 - 4x)/5。

然后根据这两个方程，我们可以画出它们的图像。

交点即为方程组的解。

2. 代入法：
先从第一个方程中解出x的值，再将x的值代入第二个方程，求出y的值。

将第一个方程转化为x = (3y + 11)/2。

将第二个方程中的x用上一步得到的式子代入，得到4((3y + 11)/2) + 5y = 7，然后求解得到y的值。

再将y的值代入第一个方程中，求得x的值。

3. 消元法：
通过加法或减法将一个方程中的一个未知数消去，然后求解另一个未知数。

将第一个方程乘以4，得到8x - 12y = 44。

将第二个方程乘以2，得到8x + 10y = 14。

然后将两个方程相减，消去x的项，得到22y = 30，求解得到y的值。

再将y的值代入一个方程中，求得x的值。

以上是解二元一次方程组的三种常用方法。

不同的方法适用于不同的情况，可以根据具体情况选择合适的方法来解题。

第8讲二元一次方程（组）的概念和解法【学习目标】1.二元一方程（组）的概念2.二元一次方程组的基本解法3.复杂的多元一次方程组【模块一】二元一次方程组的概念在本模块我们的学习目标是：1、掌握二元一次方程概念2、掌握二元一次方程组概念3、理解方程组的解（公共解）一、二元一次方程1、定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程. 【例】x＋2y＝5，2x＝3y，3x＝y－2对于二元一次方程的定义可以用“三个条件一个前提”来理解：①含有两个未知数一一“二元②含有未知数的项的最高次数为1一“一次③未知数的系数不能为0前提：方程两边的代数式都是整式一一整式方程2、一般形式：二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0（a＝0，b＝0）【课堂建议】类比一元一次方程：标准式：ax＋b＝0（a≠0）3、判定：先看前提，再化一般形式易错总结（1）二元：x＋y＋z＝1，x－2＝1（2）一次：x2－x＋y＝1，xy＋x＋y＝1【袁华燕录入】(3) 系数不为0：x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1(4) 整式方程：1x＋y＝1，1x＋x＋y＝1x【易错】x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1，1x＋x＋y＝1x【例1】下列方程中，是二元一次方程的有哪些？①x＋3＝7；②a＋b＝0；③3a＋4t＝9；④xy－1＝0；⑤1x－y＝0；⑥x＋y＋z＝4；⑦2x2＋x＋1＝2x2＋y＋5；⑧x2＋y－6＝2x.【练1】方程2x－3y＝5,xy＝3，x＋3y－1，3x－y＋2z＝0，x2＋y＝6中是二元一次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例2】⑴己知方程x n－1＋2y|m－1|＝m关于x，y的二元—次方程，求m、n的值.⑵己知方程(a－2)x|a|－1－(b＋5)y|b|－4＝3是关于x、少的一元一次方程，求a、b的值.【练2】（1)若方程2x m－1＋y n＋m＝12是二元一次方程.则mn＝_____(2)若己知方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋(k－7)y＝k＋2，当k＝_______时，方程为一元一次方程，当k＝_____时，方程为二元一次方程.4、二元一次方程的解：二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.任何一个二元一次方程都有无数个解.【例3】⑴己知21xy=⎧⎨=⎩是方程3x＋ay＝5的解，则a的值为（）A.－1B.1C.2D.3⑵判断下列数值是否是二元一次方程3t＋2s＝24的解.①29ts=⎧⎨=⎩②21ts=⎧⎨=⎩③89ts=⎧⎨=⎩④46ts=⎧⎨=⎩【练3】⑴若23x ky k=⎧⎨=-⎩是二元—次方程2x－y＝14的解，则k的值是（）A.2B.－2C.3D.－3⑵已知12xy=⎧⎨=⎩与3xy m=⎧⎨=⎩都是方程x＋y－＝n的解，求m与n的值.二．二元_次方程组：1、二元一次方程组.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫二元—次力程组.(1)二元：总共有两个未知数如：+12 22 xx=⎧⎨=⎩，21x y yx+=⎧⎨=⎩，12x yx y+=⎧⎨+=⎩，121x yx+=⎧⎨=⎩，12xy=⎧⎨=⎩，12x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，11x yy z+=⎧⎨+=⎩(2) —次：每个都是一次方程如:22x yy x⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222+x x xy y y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，11x yxy+=⎧⎨=⎩，1111xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3)方程组：方程个数大于等于2如：x＋y＝l，112 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩① 二元—次方程组一定是由两个或多个二元一次方程组成（错）② 两个或多个二元一次方程一定可以组成二元一次方程组（错）【例4】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A.527x yxy+=⎧⎨=⎩B.121340xyx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C.354433x yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩D.28312x zx y-=⎧⎨+=⎩【练4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A.4119x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B.57x yy z+=⎧⎨+=⎩C.1x y xyx y-=⎧⎨-=⎩D.1326xx y=⎧⎨-=⎩2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解，同时它也必须是－个数对.而不能是一个数.【例5】⑴己知43xy=-⎧⎨=⎩是方程组12ax yx by+=-⎧⎨-=⎩的解，则(a＋b)b＝_______,(2)己知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组12ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a－b的值为( )A.1B.－1C.2D.3【练5】（1)下列四个解中是方程组16223111x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解是（）A.810xy=⎧⎨=-⎩B.101xy=⎧⎨=-⎩C.6xy=⎧⎨=-⎩D.112xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩⑵关于x，y的二元一次方程组331ax yx by-=⎧⎨-=-⎩解中的两个未知数的值互为相反数，其中x＝l,求a，b的值.模块二二元一次方程组的基本解法一．会解基本二元一次方程组（体会消元过程）2、熟练应用代入与加减的方法，养成严格书写的习惯二元一次方程方程组最根本的思路就是将二元方程消元变成一元方程，代入消元法和加减消元法是最常用的方法.1.代入消元：why：等量代换when：(未知数系数为1时优先）how：用一个字母表示另一个字母直接代入(1)12xx y=⎧⎨+=⎩(2)2x yx y=⎧⎨+=⎩⑶23x yx y=⎧⎨+=⎩⑷13x yx y+=⎧⎨+=⎩变形代入(5)13x yx y-=⎧⎨+=⎩(6)2127x yx y-=⎧⎨+=⎩(7)2+38321x yx y=⎧⎨-=-⎩1．代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想, 代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y＝ax＋b的形式：②把y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程：③解这个一元一次方程，求出x的值：④回代求解：把求得的x的值代入y＝ax＋b中求出y的值从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式.【例】解方程组2 239 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：由①得y＝x—2 ③把③代入②，得2x＋3(x－2)＝9 解得x＝3把x＝3代入③得,y＝l所以方程组的解是31 xy=⎧⎨=⎩2、加减消元：Why：等式性质When：系数绝对值相同优先How：系数统一后相加减直接加减；⑴31x yx y+=⎧⎨-=⎩⑵521327x yx y-=⎧⎨+=⎩⑶24234x yx y+=⎧⎨-=-⎩系数统一(4)23124x yx y-=⎧⎨+=⎩(5)237324x yx y+=⎧⎨-=⎩2.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法用加减法解二元一次方程组的－般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数.使两个方程里的某―个未知数互为相反数或相等.②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减.消去一个未知教，得到一个一个―次方程：③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值：④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值：⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式例：解方程组32 12 3 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：①×2 得4x＋2y＝6 ③①＋③得7x＝7解得x＝l把x＝l代入①得y＝l所以方程组的解是11 xy=⎧⎨=⎩代入消元与加减消元的对比：代入消元方法的选择：①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0” 的形式.求不出未知数的值.②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.加减消元方法的选择：① 一般选择系数绝对值最小的未知数消元；② 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等,再用加减消元求解.④当未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解.【例6】⑴方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（ )A.12xy=⎧⎨=⎩B.21xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.23xy=⎧⎨=⎩⑵方程组535213x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A.12xy=⎧⎨=⎩B.45xy=-⎧⎨=⎩C.53xy=⎧⎨=⎩D.45xy=⎧⎨=-⎩⑶用代入消元法解方程组：3 3814 x yx y-=⎧⎨-=⎩⑷用加减消元法解方程组：49 351 x yx y+=-=⑸二元一次方程ax＋by＝6有两组解是22xy=⎧⎨=-⎩与18xy=-⎧⎨=-⎩，求a，b的值.【练6】⑴二元―次方程组2x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．2xy=⎧⎨=⎩B.2xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.11xy=-⎧⎨=-⎩⑵方程组25342x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是____________.⑶己知方程组2421mx y nx ny m+=⎧⎨-=-⎩的解是11xy=⎧⎨=-⎩，那么m，n的值为（）A.11mn=⎧⎨=-⎩B.21mn=⎧⎨=⎩C.32mn=⎧⎨=⎩D.31mn=⎧⎨=⎩三元：【例7】0 423 9328 a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【练7】解方程组0.5320 322 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩模块三二元一次方程组的基本解法本模块中，我们主要学习复杂二元一次方程组化简，同时，对换元，轮换，连等式等量代信思想的建议认识理解.复杂方程组化简为基本二元一次方程组消元求解【例8】解下列方程组：⑴3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩⑵134723m nm n⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【练8】解方程组：⑴2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵3221245323145x yx y--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩2、轮换对称：二元对称：【例9】解方程组：⑴231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩⑵201120134023201320114025x yx y+=⎧⎨+=⎩【曾伟录入】【练9】（1）解关于x、y的方程组301120722 150271571x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）解关于x、y的方程组331512 173588x yx y+=⎧⎨+=⎩三元轮换【例10】解方程组（1）222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩.【练10】（1）解方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩；（2）已知1467245735674757671234567394941131499x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎪++++++=⎩，求7x .3、换元：【例11】（1）解方程组23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩【练11】（第七届“华罗庚杯”邀请赛试题） 解方程组1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪+=⎪--⎩【例12】解方程组（1）1513pq p q pq p q ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩；（2）1321312312mn m n mn m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.【练12】（1）已知1,2,3xy yz zx x y y z z x===+++，求x y z ++的值.（2）解关于x 、y 的方程组1111(0,)x y abx a b x y aby ab ab b aa b ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+≠±≠⎪⎩.4、连等比例【例13】解方程组：（1）:::1:2:3:49732200x y z u x y z u =⎧⎨+++=⎩；（2）解方程组：2345238x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+-=⎩【练13】已知a b c k b c a c a b===+++，求k 的值.第8讲［尖端课后作业二元一次方程（的）念和解法【习1】下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）A. 312x xy +=B. x y =C. 2115x y =+ D. 253x y x y -=+ 【习2】下列各方程是二元一次方程的是（ ）A. 23x y z +=B. 45y x +=C. 2102x y +=D. 1(8)2y x =+【习3】若关于x 、y 的方程2(3)0a a x y --+=是二元一次方程，那么a 的取值为( )A. 3a =-B. 3a =C. 3a >D. 3a <【习4】若方程22(4)(23)(2)0k x k x k y -+-+-=为二元一次方程，则k 的值为( )A. 2B. －2C. 2或－2D. 以上均不对【习5】若方程2(3)25m m x y -+-=为关于x 、y 的二元一次方程，则2012(2)m -= .【习6】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. 4119x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B. 57x y y z +=⎧⎨+=⎩C. 1x y xy x y -=⎧⎨-=⎩D.1326x x y =⎧⎨-=⎩【习7】下列不是二元一次方程组的是（ ）A. 23x y y z +=⎧⎨+=⎩B. 2334m n n m =+⎧⎨-=⎩ C. 21x y =⎧⎨=-⎩D. 4252()12()3a a b a b +=⎧⎨-+=+-⎩ 【习8】解下列二元一次方程组：（1）527341x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ；（2）327238x y x y +=⎧⎨+=⎩ ；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩【习9】若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ） A. 6.32.2x y =⎧⎨=⎩ B. 8.31.2x y =⎧⎨=⎩ C. 10.32.2x y =⎧⎨=⎩ D. 10.30.2x y =⎧⎨=⎩【习10】若实数x 、y 满足2142y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求关于x 、y 的方程组12x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩的解.【习11】已知211(3)02a b -++=，解方程组315ax y x by -=⎧⎨+=⎩. 【习12】解方程组2(1)5(2)1101217102x y x y --++=⎧⎪-+⎨-=⎪⎩【习13】解方程组3()4()4126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩ 【习14】解方程组2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【习15】解方程组9()18523()2032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩【习16】解方程组1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【习17】解方程组37043225x y y z x z -+=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩【习18】解方程组23162125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩【习19】解方程组56812412345x y z x y z x y z +-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩【玉勇录入】【习20】已知方程组361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩的解是x p y q =⎧⎨=⎩，方程组345113435113991332x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的解是x m y n z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(p －q )(m －n ＋t )等于 ．【习21】(武汉市“CASIO ”竞赛题)已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足becdf a ＝4，acdef b ＝9，abdef c ＝16，abcef d ＝14，abcdf e ＝19， abcde f ＝116，求(a ＋c ＋e )－(b ＋d ＋f )的值．【习22】(第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试)已知实数x 1，x 2，x 3，x 4满足条件1231234234134124x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，其中a 1<a 2<a 3<a 4，则x 1，x 2，x 3，x 4的大小关系是( ) A ． x 1<x 2<x 3<x 4 B ． x 2<x 3<x 4<x 1 C ． x 3<x 2<x 1<x 4 D ． x 4<x 3<x 2<x 1【习23】若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤，求x2x3x4的值．【习24】解方程组：:3:2:5:466 x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩【张来录入】。

第四讲解二元一次方程组（一）一、二元一次方程的解与方程组的解使方程左右两端相等的未知数的值叫做方程的解。

例如x＝2是方程x+1=3的解。

你能求出二元一次方程x+y=3的解吗？当x=2,y=1时，方程x+y=3的左右两端相等；当x=2.1,y=0.9时，方程的左右两端也相等。

也就是当x有一个确定的数值时，y也一定会有一个确定的数值，使得方程x+y=3左右两端相等。

我们就把x、y这两个确定的数叫做二元一次方程x+y=3的一组解。

一个二元一次方程有无数组解。

二元一次方程的一组解通常写成这样形式：x=2y=1 试一试：请你说出方程x-y=1的几组解。

x=2、y=1既是方程x+y=3的一组解，也是方程x-y=1的一组解。

如果把这两个方程组成一组，则x=2、y＝1就叫这个一元二次方程组的解。

一个二元一次方程组只有唯一一组解。

二、代入法解二元一次方程组例1：x+y=27 (1)x=2y (2) 为了叙述方便，给方程编上号。

解方程的关键是把两个未知数变为一个未知数，这样就把二元一次方程变成了一元一次方程，从“不会”变成了“会”解：将（2）代入（1）（也就是（1）中的x用“2y”代替）2y＋y＝273y＝27y＝9将y＝9代入（2）x=2×9x＝18∴x=18y=9请你检验一下：x=18、y=9是方程组的解吗？例2：y=2x+2 (1)3x-y=3 （2）将(1)代入(2)3x－（2x＋2）＝3 特别注意要加上括号3x-2x-2=3 “减变加不变，括号可去添”3x－2x＝3＋2x=5将x=5代入（1）y＝2×5+2y＝12∴x=5y=12 是方程组的解例3：2x+5y=14 （1）x+3y=8 （2）解：由（2）得，x=8-3y (3)将（3）代入（1）2（8－3y）＋5y＝14（16－6y）＋5y＝1416－6y＋5y＝1416＋5y＝14＋6y16－14＝6y－5yy=2将y=2代入（3）x＝8－3×2x＝2x＝2y=2 是方程组的解代入法解二元一次方程组的关键：将一个方程变形，把其中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，代入另一个方程；先求出一个未知数，再求另一个未知数。

初中数学教案：二元一次方程组【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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1) 66x+17y=3967 25x+y=1200答案：x=48 y=47 (2) 18x+23y=2303 74x-y=1998答案：x=27 y=79 (3) 44x+90y=7796 44x+y=3476答案：x=79 y=48 (4) 76x-66y=4082 30x-y=2940答案：x=98 y=51 (5) 67x+54y=8546 71x-y=5680答案：x=80 y=59 (6) 42x-95y=-1410 21x-y=1575答案：x=75 y=48 (7) 47x-40y=853 34x-y=2006答案：x=59 y=48 (8) 19x-32y=-1786 75x+y=4950答案：x=66 y=95 (9) 97x+24y=7202 58x-y=2900答案：x=50 y=98 (10) 42x+85y=6362 63x-y=1638答案：x=26 y=62 (11) 85x-92y=-2518 27x-y=486答案：x=18 y=44 (12) 79x+40y=2419 56x-y=1176答案：x=21 y=19 (13) 80x-87y=2156 22x-y=880答案：x=40 y=12 (14) 32x+62y=5134 57x+y=2850答案：x=50 y=57 (15) 83x-49y=8259x+y=2183 答案：x=37 y=61(16) 91x+70y=584595x-y=4275答案：x=45 y=25(17) 29x+44y=528188x-y=3608答案：x=41 y=93(18) 25x-95y=-435540x-y=2000答案：x=50 y=59(19) 54x+68y=328478x+y=1404答案：x=18 y=34(20) 70x+13y=352052x+y=2132答案：x=41 y=50(21) 48x-54y=-318624x+y=1080答案：x=45 y=99(22) 36x+77y=761947x-y=799答案：x=17 y=91(23) 13x-42y=-271731x-y=1333答案：x=43 y=78(24) 28x+28y=333252x-y=4628答案：x=89 y=30(25) 62x-98y=-256446x-y=2024答案：x=44 y=54(26) 79x-76y=-438826x-y=832答案：x=32 y=91(27) 63x-40y=-82142x-y=546答案：x=13 y=41(28) 69x-96y=-120942x+y=3822答案：x=91 y=78(29) 85x+67y=733811x+y=308答案：x=28 y=74(30) 78x+74y=1292814x+y=1218答案：x=87 y=83(31) 39x+42y=533159x-y=5841答案：x=99 y=35(32) 29x+18y=191658x+y=2320答案：x=40 y=42(33) 40x+31y=604345x-y=3555答案：x=79 y=93(34) 47x+50y=859845x+y=3780答案：x=84 y=93(35) 45x-30y=-145529x-y=725答案：x=25 y=86(36) 11x-43y=-136147x+y=799答案：x=17 y=36(37) 33x+59y=325494x+y=1034答案：x=11 y=49(38) 89x-74y=-273568x+y=1020答案：x=15 y=55(39) 94x+71y=751778x+y=3822答案：x=49 y=41(40) 28x-62y=-493446x+y=552答案：x=12 y=85(41) 75x+43y=847217x-y=1394答案：x=82 y=54(42) 41x-38y=-118029x+y=1450答案：x=50 y=85(43) 22x-59y=82463x+y=4725答案：x=75 y=14(44) 95x-56y=-40190x+y=1530答案：x=17 y=36(45) 93x-52y=-85229x+y=464答案：x=16 y=45(46) 93x+12y=882354x+y=4914答案：x=91 y=30(47) 21x-63y=8420x+y=1880答案：x=94 y=30(48) 48x+93y=975638x-y=950答案：x=25 y=92(49) 99x-67y=401175x-y=5475答案：x=73 y=48(50) 83x+64y=929190x-y=3690答案：x=41 y=92(51) 17x+62y=321675x-y=7350答案：x=98 y=25(52) 77x+67y=273914x-y=364答案：x=26 y=11(53) 20x-68y=-459614x-y=924答案：x=66 y=87(54) 23x+87y=411083x-y=5727答案：x=69 y=29(55) 22x-38y=80486x+y=6708答案：x=78 y=24(56) 20x-45y=-352056x+y=728答案：x=13 y=84(57) 46x+37y=708561x-y=4636答案：x=76 y=97(58) 17x+61y=408871x+y=5609答案：x=79 y=45(59) 51x-61y=-190789x-y=2314答案：x=26 y=53 (60) 69x-98y=-2404 21x+y=1386答案：x=66 y=71 (61) 15x-41y=754 74x-y=6956答案：x=94 y=16 (62) 78x-55y=656 89x+y=5518答案：x=62 y=76 (63) 29x+21y=1633 31x-y=713答案：x=23 y=46 (64) 58x-28y=2724 35x+y=3080答案：x=88 y=85 (65) 28x-63y=-2254 88x-y=2024答案：x=23 y=46 (66) 43x+50y=7064 85x+y=8330答案：x=98 y=57 (67) 58x-77y=1170 38x-y=2280答案：x=60 y=30 (68) 92x+83y=11586 43x+y=3010答案：x=70 y=62 (69) 99x+82y=6055 52x-y=1716答案：x=33 y=34 (70) 15x+26y=1729 94x+y=8554答案：x=91 y=14 (71) 64x+32y=3552 56x-y=2296答案：x=41 y=29 (72) 94x+66y=10524 84x-y=7812答案：x=93 y=27 (73) 65x-79y=-5815 89x+y=2314答案：x=26 y=95 (74) 96x+54y=6216 63x-y=1953答案：x=31 y=60(75) 60x-44y=-35233x-y=1452答案：x=44 y=68(76) 79x-45y=51014x-y=840答案：x=60 y=94(77) 29x-35y=-21859x-y=4897答案：x=83 y=75(78) 33x-24y=190530x+y=2670答案：x=89 y=43(79) 61x+94y=1180093x+y=5952答案：x=64 y=84(80) 61x+90y=500148x+y=2448答案：x=51 y=21(81) 93x-19y=286x-y=1548答案：x=18 y=88(82) 19x-96y=-591030x-y=2340答案：x=78 y=77(83) 80x+74y=808896x-y=8640答案：x=90 y=12(84) 53x-94y=194645x+y=2610答案：x=58 y=12(85) 93x+12y=911728x-y=2492答案：x=89 y=70(86) 66x-71y=-167399x-y=7821答案：x=79 y=97(87) 43x-52y=-174276x+y=1976答案：x=26 y=55(88) 70x+35y=829540x+y=2920答案：x=73 y=91(89) 43x+82y=475711x+y=231答案：x=21 y=47(90) 12x-19y=23695x-y=7885答案：x=83 y=40(91) 51x+99y=803171x-y=2911答案：x=41 y=60(92) 37x+74y=440369x-y=6003答案：x=87 y=16(93) 46x+34y=482071x-y=5183答案：x=73 y=43(94) 47x+98y=586155x-y=4565答案：x=83 y=20(95) 30x-17y=23928x+y=1064答案：x=38 y=53(96) 55x-12y=411279x-y=7268答案：x=92 y=79(97) 27x-24y=-45067x-y=3886答案：x=58 y=84(98) 97x+23y=811914x+y=966答案：x=69 y=62(99) 84x+53y=1127570x+y=6790答案：x=97 y=59(100) 51x-97y=29719x-y=1520答案：x=80 y=39。