初二数学期末专题复习之几何部分——菱形(教师版)

八年级菱形知识点大全八年级是初中阶段非常重要的一个学习阶段，而其中最重要的课程莫过于数学。

在八年级数学学习当中，菱形的相关知识点便是一个非常重要的学习部分。

下面，我们将为大家总结八年级菱形的相关知识点，帮助大家深刻理解和掌握这一知识点。

一、菱形的基础概念：菱形是一个四边形，其四条边两两相等，而对角线互相垂直；同时，菱形内部的角度也必须是直角。

在菱形中，两条对角线互相垂直，分别被称为菱形的“长对角线”和“短对角线”。

二、菱形的面积计算：菱形的面积可以通过以下公式进行计算：面积 = 对角线1 ×对角线2 ÷2。

即，菱形的面积等于长对角线和短对角线的乘积再除以2。

例如，如果一个菱形的长对角线为6cm，短对角线为4cm，则它的面积为6 × 4 ÷ 2 = 12平方厘米。

三、菱形的周长计算：菱形的周长可以通过以下公式进行计算：周长= 4 ×边长。

即，菱形的周长等于它的四条边的长度之和。

例如，如果一个菱形的边长为3cm，则它的周长为4 × 3 = 12cm。

四、菱形的对角线角度计算：当我们知道了一个菱形的长对角线和短对角线的长度时，就可以很方便地计算出菱形内部角度的大小了。

此时，我们可以通过以下公式进行计算：cosθ = （长对角线 ÷2）÷（短对角线 ÷2）。

其中，θ表示的意义是长对角线与短对角线之间的夹角。

五、菱形的性质：菱形的性质有很多，以下是其中几个比较重要的性质：1、菱形内角度相等，任意两个相邻的内角之和都为180度；2、菱形对角线相互垂直；3、菱形的每一条对角线将其分成两个全等的三角形；4、菱形的面积是以长对角线和短对角线为底和高构成的直角三角形的一半。

六、菱形的图形变换：在数学学习中，我们经常会遇到一些图形变换的问题。

而对于菱形这一图形来说，常见的图形变换有以下几种：1、平移：平移就是将一个图形沿着平面上的某一条直线移动一定的距离，使它的位置发生改变。

八年级菱形知识点总结在初中数学中，菱形是一种常见的图形，学生需要掌握它的性质和用法。

本文将总结八年级菱形的知识点，包括面积、周长、对角线、中线等方面，希望对初中数学学习有所帮助。

一、菱形的定义和性质菱形是四边形的一种，它有如下性质：1. 四条边相等，即AB=BC=CD=DA，其中AB代表菱形上的任意一条边；2. 对角线互相垂直，且相互平分，即AC⊥BD并且AC=BD；3. 对角线的中点连线互相垂直，即AE⊥BF，CE⊥DF，其中E 和F分别是AC和BD的中点；4. 菱形内角和为360度，即∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360度。

二、菱形的周长和面积1. 周长由于菱形的四条边相等，因此它的周长可以用任意一条边a来表示，即P=4a。

2. 面积菱形面积的公式是S=(d1×d2)/2，其中d1和d2分别是对角线长，可以使用勾股定理计算，即d1²=d²+a²/4，d2²=d²+b²/4。

其中a和b分别是菱形两边的长度，d是菱形的对角线长度。

三、菱形的对角线和中线1. 对角线的长度由于菱形的对角线互相平分，因此可以用勾股定理求出对角线的长度，即d=√(a²+b²)。

2. 对角线的中点连线菱形的对角线的中点连线被称为菱形的中线，分别用e和f表示，它们互相垂直，长度相等。

中线长度的公式为e=f=√(a²+b²)/2。

四、菱形的应用1. 建筑设计在建筑设计中，常常需要设计菱形形状的窗户和门，因为这样可以在视觉上改变建筑物的形状。

2. 拼贴艺术拼贴艺术是一种非常受欢迎的艺术形式，它可以使用各种材料进行创作，包括彩纸、糊纸、墙纸等。

在拼贴艺术中，菱形形状也经常被使用。

3. 数学应用菱形在数学中有着广泛的应用，包括概率、统计、几何等方面。

例如，在概率计算中，会使用菱形图来表示事件的可能性。

在统计学中，会使用菱形图来表示一组数据的分布情况。

专题18.17 菱形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.特别提醒：菱形是特殊的平行四边形，不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形.【知识点二】菱形的性质定理性质符号语言菱形的四条边都相等∵四边形ABCD为菱形∴AB=BC=CD=AD菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对边.∵四边形ABCD为菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD,CA 平分∠BCD，DB平分∠ADC.特别提醒：1.菱形具有平行四边形的一切性质.2.菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形.【知识点三】菱形的判定定理判定定理符号语言四条边都相等的四边形是菱形在平行四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD为菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形∵四边形ABCD为平行四边形且AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形∵平行四边形ABCD是平行四边形又∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形特别提醒：证明一个四边形是菱形，一般情况下，先证明他是一个平行四边形，然后要么证明“一组邻边相等”，要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形，则只要证明“四条边相等”即可.【知识点五】菱形的对称性1.菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.2.菱形是中心对称图形，对角线的交点是他的对称中心.特别提醒：1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.对角线平分一组内角的平行四边形是菱形.【知识点五】菱形的面积公式1.公式1：文字语言：菱形的面积=底X高符号语言：S=ah2.公式2：文字语言：菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半.符号语言：S=12ab特别提醒：对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.【考点目录】【菱形性质与判定的理解】【考点1】菱形性质的理解；【菱形性质定理】【考点2】利用菱形性质证明与求值【菱形判定定理】【考点3】利用菱形判定定理证明与求值【菱形性质定理与判定定理】【考点4】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值【菱形性质与判定的理解】【考点1】菱形性质的理解；【例1】（2024上·河南郑州·九年级统考期末）如图，在ABCV的角平分线．V中，AD是ABC（1）请用圆规和无刻度的直尺作AD 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于点M ，N ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DM ，DN ，试判断四边形AMDN 的形状，并证明．【答案】（1）见分析；（2）四边形AMDN 是菱形，证明见分析【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．（1）根据要求作出图形；（2）结论：四边形AMDN 是菱形．证明四边相等可得结论．解：（1）图形如图所示：（2）结论：四边形AMDN 是菱形．理由：设MN 交AD 于点O ．MN Q 垂直平分线段AD ，MA MD \=，NA DN =，AD Q 平分BAC Ð，OAM OAN \Ð=Ð，90OAM AMO Ð+Ð=°Q ，90OAN ANO Ð+Ð=°，AMO ANO \Ð=Ð，AM AN DM DN \===，\四边形AMDN 是菱形．【变式1】（2024下·广东深圳·九年级深圳中学校考开学考试）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．下列说法不能使平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AC BD ^B ．AB BC =C ．AC BD =D ．DAC BACÐ=Ð【答案】C【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．根据菱形的判定、平行四边形的性质逐项判断即可得．解：如图所示，A 、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加AC BD ^能判定ABCD Y 是菱形，则此项不符合题意；B 、由邻边相等的平行四边形是菱形可知，添加AB BC =能判定ABCD Y 是菱形，则此项不符合题意；C 、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加AC BD =能判定ABCD Y 是矩形，不能判定ABCD Y 是菱形，则此项符合题意；D 、Q 四边形ABCD 是平行四边形，CD AB \∥，DCA BAC \Ð=Ð，∵DAC BAC Ð=Ð∴DAC DCA Ð=Ð∴AD CD=∴平行四边形ABCD 是菱形，即添加DAC BAC Ð=Ð能判定ABCD Y 是菱形，则此项不符合题意．故选：C ．【变式2】（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段BO 上，连接AE ，若2AB BE =，DAE DEA Ð=Ð，1EO =，则线段AE 的长为．【答案】【分析】设BE x =，根据菱形性质可得到 2AB AD CD x ===，进而得到1=12OE x =，解得x 值，根据勾股定理即可求得AE 值．本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键．解：设BE x =，∵四边形ABCD 是菱形，∴ 2AB AD CD x ===，∵DAE DEA Ð=Ð，∴==2DE AD x ,∴3BD x =，∴32OB OD x ==，∴31122OE OB BE x x x =-=-==，∴2x =，∴42AB BE ==，，3OB OD ==，∴OA ==，∴AE ==故答案为：【菱形性质定理】【考点2】利用菱形性质证明与求值【例2】（2024上·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，两条对角线交于点O ，且AC 平分BAD Ð．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若3OA =，4OD =，求四边形ABCD 的周长．【答案】（1）见分析；（2）20【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．=，再利用“一组邻边相等的平行四边形（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得AD CD是菱形”即可证明；^，然后利用勾股定理可求得AD的长，最后利用“菱形的（2）根据“菱形的对角线互相垂直”知AC BD四边相等”即可得到答案．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，\∥，AB CD\Ð=Ð，BAC DCAQ平分BADACÐ，\Ð=Ð，BAC DACDCA DAC\Ð=Ð，\=，AD CD∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，^，\===，AC BDAB BC CD ADOD=，Q，4OA=3\==，5AD\四边形ABCD的周长420==．AD【变式1】（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，点E，F分别是菱形ABCD边AD CD，的中点，^交CB的延长线于点G．若66EG BCÐ的度数是（ ）Ð=°，则AGEFA ．24°B ．33°C ．48°D ．66°【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图，延长GF 交AD 的延长线于M ．证明,FDM FCG FM FG =V V ≌，利用直角三角形斜边中线的性质，可得EF FM GF ==，再求出M Ð，证明DF DE =，即可求出FDM Ð，即可解决问题．解：如图，延长GF 交AD 的延长线于M ．∵四边形ABCD 是菱形，点E 是CD 的中点，,,AD BC AD DC DF CF\==P ,M CGF \Ð=Ð在FDM V 和△FCG 中，,M FGCDFM CFG DF CF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,FDM FCG \V V ≌,FM FG \=,,EG CB AD CB ^∥Q ,EG AD \^90,GEM \Ð=°,EF FM FG \==,M FEM \Ð=Ð66,GEF Ð=°Q 66,24,EGF M MEF \Ð=°Ð=Ð=°E Q 是AD 的中点，,DF DE AE \==24,DEF DFE \Ð=Ð=°24248,MDF \Ð=°´=°,AB CD ∥Q 48,A CDM \Ð=Ð=°故选：C ．【变式2】（2024上·四川达州·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的边长为26，对角线AC 的长为48，延长AB 至E ，BF 平分CBE Ð，点G 是BF 上任意一点，则ACG V 的面积为．【答案】240【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，证出AC BF P 是解题的关键.连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质和勾股定理求出10OB =，得出ABC V 的面积240=，依据ACB CBF Ð=Ð，得出AC BF P ，进而得出ACG V 的面积ABC =V 的面积即可解题．解：如图所示, 连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，1126,24,22ACB BCD AB OA AC AB CD \Ð=Ð===P ，，AC BD ^，∴BCD CBE Ð=Ð，10OB ===，∴ABC V 的面积11481024022AC OB =´=´´=，∵BF 平分CBE Ð，12CBF CBE \Ð=Ð，∴ACB CBF Ð=Ð，∴AC BF P ，∴ACG V 的面积ABC =V 的面积240=，故答案为：240．【菱形判定定理】【考点3】利用菱形判定定理证明与求值【例3】（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在直角AEC △中，90,E B Ð=°是边AE 上一点，连接,BC O 为AC 的中点，过C 作CD AB ∥交BO 延长线于D ，且AC 平分BCD Ð，连接AD ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）连接OE 交BC 于,27F ACD Ð=°，求CFO Ð的度数．【答案】（1）见分析；（2）99°【分析】（1）证明()AAS AOB COD V V ≌，则AB CD =，又由AB CD P 即可证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明AB BC =，即可证明四边形ABCD 是菱形．（2）求出27BCO DCO Ð=Ð=°，得到27AEO BAO Ð=Ð=°，由三角形外角的性质得到54AEO BAO EOC Ð+°Ð=Ð=，由三角形内角和定理即可得到答案．解：（1）证明：CD AB Q ∥，BAO DCO \Ð=Ð，O Q 为BD 中点，BO DO \=，在AOB V 和COD △中BAO DCO AOB COD BO DOÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS AOB COD \≌△△，AB CD \=，又∵AB CD P ，\四边形ABCD 是平行四边形，又AC Q 平分BCD Ð，BCO DCO \Ð=Ð，∵DCO BAO Ð=Ð，BCO BAO \Ð=Ð，AB BC \=，又ABCD Q 是平行四边形，\四边形ABCD 是菱形；（2）∵AC 平分BCD Ð，27BCO DCO \Ð=Ð=°，∵CD AB ∥，27BAO DCO \Ð=Ð=°，又O Q 为AC 中点，AE EC ^，∴OE AO =，∴27AEO BAO Ð=Ð=°，54AEO A EOC B O Ð=°Ð+Ð=∴，18099CFO COE BCO \Ð=°-Ð-Ð=°．【点拨】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2023上·四川达州·九年级达州市高级中学校考期中）已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ^时，四边形ABCD 是菱形C ．当OA OB =时，四边形ABCD 是矩形D ．当ABD CBD Ð=Ð时，四边形ABCD 是矩形【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定；熟练掌握菱形和矩形的判定是解题的关键．根据邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、据对角线相等的平行四边形是矩形，逐项分析即可得出答案．解：如图：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形；A 选项正确；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形；B 选项正确；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，又∵OA OB =，∴OA OB OC OD ===，∴四边形ABCD 是矩形；C 选项正确；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD P ，∴ABD BDC Ð=Ð，又∵ABD CBD Ð=Ð，∴BDC CBD Ð=Ð，∴BC CD =，∴四边形ABCD 是菱形；不能证明四边形ABCD 是矩形，D 选项错误，故选：D ．【变式2】（2023下·四川广元·八年级统考期末）如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，要使ABCD Y 成为菱形，还需添加的一个条件是．【答案】AC BD ^（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定来添加合适的条件即可．解：要使ABCD Y 成为菱形，只要菱形满足以下条件之一即可，①对角线相互垂直，②邻边相等．故答案为即AC BD ^（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查了菱形的判定，掌握菱形和平行四边形的区别是解答本题的关键．【菱形性质定理与判定定理】【考点4】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值【例4】（2023下·云南昆明·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，DE AC ∥，CE BD ∥．（1）求证：四边形ODEC 为菱形；（2）连接OE，若BC =OE 的长．【答案】（1）见分析；（2）OE =【分析】（1）本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证明四边形OCED 是平行四边形；（2）本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证明四边形AOED 是平行四边形．（1）解：DE AC ∥Q ，CE BD ∥，\四边形OCED 是平行四边形，Q 矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，\OC OD =，\四边形OCED 是菱形；（2）如图，连接OE ，交CD 于点F ，由（1）知，四边形OCED 是菱形，\OE CD ^，\90ADC OFC Ð=Ð=°，\AD OE ∥，Q DE AC ∥，\四边形AOED 是平行四边形，\OE AD BC ===【变式1】（2023上·江西吉安·九年级校联考期中）如图，在ABCD Y 中，2CD AD =，BE AD ^于点E ，F 为DC 的中点，连结EF ，BF ．有下列四个结论①2ABC ABF Ð=Ð；②EF BF =；③2EFB DEBC S S =V 四边形；④4CFE DEF Ð=Ð其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】A【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ，根据题意得CF CB =，结合平行四边形的性质即可证得①；利用平行四边形的性质和点F 为中点证明DFE CFG ≌V V ，依据BE AD ^，得到Rt EBG V ，即有②；根据全等三角形面积相等和点F 为中点，可证得③；利用四边形ABCD 为平行四边形，证明BCFH 是平行四边形，且为菱形，结合菱形性质、等腰三角形的性质和平行得到④错误．解：延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ，如图，∵F 为DC 的中点，∴DF FC =，∵2CD AD =，∴AD DF FC ==，则CF CB =，∴=CFB CBF ÐÐ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD AB ∥，则CFB FBH Ð=Ð，∴CBF FBH Ð=Ð，故2ABC ABF Ð=Ð，①正确；∵DE CG ∥，∴D FCG Ð=Ð，∵DF FC =，DFE CFG Ð=Ð，∴()DFE CFG ASA △≌△，∴FE FG =，∵BE AD ^，∴90AEB Ð=°，∵CD AB ∥，∴90AEB EBG Ð=Ð=°，则12BF EG EF ==，故②正确；∵DFE CFG △≌△，∴=DFE CFG S S V V ，∴2EBG BEF DEBC S S S ==四边形V V ，③正确；∵AB CD =，点F 和H 是CD 和AB 中点，∴CF BH =，∵CD AB ∥，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF BC =，∴四边形BCFH 是菱形∴BFC BFH Ð=Ð，HF BC ∥，∵AD BC ∥，BE AD ^，∴BE FH ^，AD FH ∥，∴BFH EFH Ð=Ð，EFH DEF Ð=Ð则BFH EFH DEF Ð=Ð=Ð，∴3CFE DEF Ð=Ð，④错误；故选∶A ．【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质及平行线的性质，解题的关键是添加辅助线、构造全等三角形，并利用有关性质．【变式2】（2023·四川成都·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，5AD BC AB =,∥，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交,AB AD 于M ，N ；分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 长为半径作弧，两弧相交于点G ；作射线AG 交BC 于E ；作EF AB ∥交AD 于F ．若6AE =，则四边形ABEF 的面积等于．【答案】24【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是判定四边形ABEF 是菱形．连接BF 交AE 于点O ，证明四边形ABEF 是平行四边形，根据作图过程可得AE 平分BAF Ð，然后证明四边形ABEF 是菱形，进而可得四边形ABEF 的面积．解：如图，连接BF 交AE 于点O ，∵AD BC EF AB ,∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，根据作图过程可知：AE 平分BAF Ð，∴FAE BAE Ð=Ð，∵AD BC ∥，∴FAE AEB Ð=Ð，∴BAE AEB Ð=Ð，∴AB BE =，∴四边形ABEF 是菱形，∴90AOB Ð=°，132AO AE ==，∴OB =4，∴28BF OB ==，∴四边形ABEF 的面积等于11682422AE BF ´×=´´=．故答案为：24．【考点5】利用菱形与矩形性质定理和判定定理证明与求值【例5】（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图1，矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，EF 与HC 交于点O ．（1）求证：四边形CFHE 是菱形；（2）如图2，4AB =，8BC =，点H 与点A 重合时，求OF 的长．【答案】（1）见分析；（2）OF 【分析】此题考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．（1）先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF FH =，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；（2）过点F 作FM AD ^于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，即可求出OF 的长．解：（1）证明：在矩形ABCD 中，AD BC ∥，HEF EFC \Ð=Ð，由翻折可知：EFC HFE Ð=Ð，HEF HFE \Ð=Ð，HE HF \=，FC FH =Q ，HE CF \=，EH CF ∥Q ，\四边形CFHE 是平行四边形，CF FH =Q ，\四边形CFHE 是菱形；（2）解：点H 与点A 重合时，设BF x =，则8AF FC BC BF x ==-=-，在Rt ABF V 中，222AB BF AF +=，即2224(8)x x +=-，解得3x =，85CE AF x \==-=，4CD AB ==Q ，3DE \===，如图，过点F 作FM AD ^于M ，得矩形ABFM ，矩形CDMF ，AM BF \=，DM CF =，4MF AB ==，8332ME \=--=，由勾股定理得，EF ===，12OF EF \==．【变式1】（2024上·山东青岛·八年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线．下列说法错误的是（ ）A ．当2AB AD =时，四边形DEBF 是菱形B ．当90ADB Ð=°时，四边形DEBF 是菱形C ．当AD BD =时，四边形DEBF 是矩形D ．当DE 平分ADB Ð时，四边形DEBF 是矩形【答案】A【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定，先根据平行四边形性质得到DF EB ∥，DF EB =，得到四边形DEBF 是平行四边形，再结合选项条件结合菱形的判定，逐个判定即可得到答案；解：∵在ABCD Y 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴DF EB ∥，1122DF DC AB EB ===，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE 平分ADB Ð，∴DE AB ^，∴四边形DEBF 是矩形，故D 选项正确不符合题意，当2AB AD =时，得不到四边形DEBF 是菱形，故A 选项错误，符合题意，当90ADB Ð=°时，DE BE =，∴四边形DEBF 是菱形，故B 选项正确不符合题意，当AD BD =时，∵E 为边AB 的中点，∴90DEB Ð=°，∴四边形DEBF 是矩形，故C 选项正确不符合题意，故选：A ．【变式2】2024·江苏淮安·校考模拟预测）如图，先有一张矩形纸片48ABCD AB BC ==，，，点M ，N 分别在矩形的边AD BC ，上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ；当P ，A 重合时，MN =．【答案】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，根据题意画出图形可推出四边形ANCM 是菱形，设BN x =，则8AN NC x ==-，根据勾股定理求出x 即可求解．解：如图所示：由题意得：MN 垂直平分AC ，∴,==MA MC NA NC∴,MAC MCA NAC NCA Ð=ÐÐ=Ð∵AD BC ∥∴MAC NCAÐ=Ð∴MCA NCA NAC MAC Ð=Ð=Ð=Ð∴NA AM CN CM ===∴四边形ANCM 是菱形设BN x =，则8AN NC x ==-∵222AN AB BN =+∴()22284x x -=+解得：3x =∴835CN =-=，AC =∴12CQ AC ==QN ==∴2MN QN ==故答案为：。

菱形专题复习
我们在这份文档中将复菱形专题。

菱形专题在几何学中占有重
要地位，因此了解其特征和性质对我们的研究和应用都非常有帮助。

菱形的定义
菱形是一个有四条边的几何图形，其特点是：
- 四条边都相等的长度
- 相邻边之间夹角为直角
菱形的性质
菱形有一些独特的性质，我们来逐一探讨：
1. 对角线
菱形的对角线具有以下性质：
- 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等。

- 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直，即两条对角线之间的夹角为直角。

2. 内角和外角
菱形的内角和外角具有以下性质：
- 内角：菱形的内角都是直角（90度）。

- 外角：菱形的外角都是锐角（小于90度）。

3. 对称性
菱形具有对称性：
- 轴对称：菱形关于任意一条对角线都是轴对称图形。

菱形的应用
菱形的性质使其在现实生活和工程中有广泛的应用，以下是一些例子：
- 结构设计：菱形的稳定性和对称性使其成为建筑和桥梁设计中常用的形状。

- 标志设计：许多标志和徽标使用菱形来表达特定的意义和形象。

- 钻石饰品：钻石是一种形成菱形晶体结构的珍贵宝石。

总结
本文档回顾了菱形的定义、性质和应用。

了解菱形的特点和用途对我们的研究和实际应用都非常重要。

希望这份复资料对你有所帮助。

> 注：本文中的内容资料均为普遍公认的几何学知识，无法提供具体的引用来源。

如果需要引用，请参考相关几何学教材和学术文献。

初中数学菱形复习教案教学目标：1. 复习菱形的定义、性质和判定方法；2. 提高学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力；3. 培养学生的逻辑推理能力和团队合作能力。

教学内容：1. 菱形的定义和性质；2. 菱形的判定方法；3. 菱形在实际问题中的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平行四边形的定义和性质；2. 提问：矩形是平行四边形的一种，那么菱形又是怎样的图形呢？二、新课复习（15分钟）1. 讲解菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；2. 引导学生复习菱形的性质：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，每个角都是直角；3. 讲解菱形的判定方法：根据菱形的性质，可以得出菱形的判定方法有两条：一是有一组邻边相等的平行四边形是菱形；二是对角线互相垂直平分的四边形是菱形；4. 举例说明菱形的应用：如菱形的花坛、菱形的旗帜等。

三、课堂练习（15分钟）1. 请学生完成教材上的练习题，巩固菱形的定义、性质和判定方法；2. 教师选取一些学生的作业进行点评，强调菱形的关键特征和判定方法。

四、小组讨论（10分钟）1. 请学生分组，每组选择一个实际问题，运用菱形的知识进行解决；2. 各组汇报解题过程和结果，其他组进行评价和补充；3. 教师总结学生在解决问题中遇到的困难和解决方法，强调菱形在实际中的应用。

五、课堂小结（5分钟）1. 请学生总结本节课所学的内容，包括菱形的定义、性质和判定方法；2. 教师强调菱形的重要性和实际应用，提醒学生要注意在生活中的观察和应用。

教学评价：1. 课后作业：检查学生对菱形的定义、性质和判定方法的掌握程度；2. 课堂练习：观察学生在解决问题时的思维过程和解决问题的能力；3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和解决问题的能力。

教学资源：1. 教材；2. 教具：菱形的模型或图片；3. 练习题。

教学建议：1. 在讲解菱形的性质时，可以结合具体的图形进行演示，帮助学生更好地理解；2. 在课堂练习环节，可以设计一些有趣的问题，激发学生的学习兴趣；3. 在小组讨论环节，鼓励学生积极参与，培养学生的团队合作能力。

《菱形》知识全解课标要求探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．知识结构内容解析1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形首先是一个平行四边形，然后增加一个特殊条件：一组邻边相等．菱形的定义既可作为菱形的性质运用，又可作为菱形的判定运用．2．菱形的性质（1）具有平行四边形的所有性质．（2）特有的两条性质（定理）：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的对称轴．（4）菱形的面积计算：S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半．菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的问题可以转化为等腰三角形或直角三角形来解决．3．菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，可作为菱形的判定方法，它是菱形其他判定方法的基础．（2）定理①：四边都相等的四边形是菱形．运用该定理证明时，可以直接证明一个四边形是菱形．（3）定理②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．运用该定理证明时，要先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线互相垂直．4．运用和菱形的性质与判定解决问题．重点难点本课的重点是菱形的性质定理和判定定理的探索与证明．性质和判定定理本身容易理解，但需要学生借助一定的活动去进行观察、归纳、推导与验证．让学生自己体验探究过程，从中收获感悟．在教师的引导下，对知识本身和思想方法上都有实质性的掌握．这个过程到位了，必将很好地为下一过程——“运用性质和判定定理解决问题”打下坚实的基础，达到运用自如．教学重点的解决方法：在探究实验活动以及旧知类比的基础上进行定理的概括的推导．通过观察实验，巧妙设问，发现规律，归纳结论，解决重点．本课的难点是运用菱形的性质和判定方法进行推理、计算和解决问题．在通过探索和证明得到了菱形的性质及判定定理后，直接利用定理解决问题就势在必行．但从主观上讲，学生对刚学会的知识会有生疏感，不会直接用，甚至不敢用，习惯一步推理，对多步推理不熟；从客观上讲，性质和定理本身的数量不止一项，因而问题的解决需要选择相应的性质和定理，特别是判定方法的选择性很强，而且题目的设置往往灵活多变，还综合之前的知识等．这都给问题解决带来了困难．教学难点的解决方法：问题设置从易到难，从单一到综合逐步递进．通过引导思维，结合图形一步一步体现思路，明确方法来解决难点、疑点．教法导引在数学教学过程中，基于学生思维的起点，为了突出教师为主导、学生为主体的教学原则，我们可以运用自主探究法和直观教学法，让学生在实践中学习、掌握知识，达到灵活运用，并对先后知识融会贯通．针对本节课的特点，可以采用“创设情境——探究实践——观察讨论——总结归纳——知识运用”为主线的教学模式，运用实践、观察、分析、讨论相结合的方法．教学中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识，形成技能．在教学过程中注意创设思维情境，在合作交流的气氛下进行师生互动，培养学生的自学能力和创新意识，让学生在教师的指导下自始至终处于一种积极思维，主动探究的学习状态．借助教具和课件演示，以增加教学的直观性，更好的理解菱形的性质与判别，解决教学重点与难点．根据本课内容的特点，建议教师在教学过程中注意以下问题：1．菱形的知识，学生在小学时接触过一些，教学要基于学生对菱形的已有认知上．在引入概念时，应让学生充分的理解到菱形是一个特殊的平行四边形，特殊在有一组邻边相等．教师设置情境，学生自己动手探究，体验到菱形可以由平行四边形平移或等角三角形、直角三角形拼接得到．2．菱形在现实中的实例较多，因而在讲解菱形的性质和判定时，教师可多准备一些生活实例，来对菱形的性质和判定进行应用．既增加了学生的参与感，又巩固了所学的知识．3．教学过程中，应特别重视探究活动，这样既增强了学生的动手能力和参与感，又在教学中有切实的实例，使学生对知识的掌握更轻松、具体．例如菱形性质的探索、判定定理的探索都需要通过具体的折纸、画图等实践来进行探究．4．教学过程中注意学生独立思考和合作交流的有机结合．例如在对性质的讲解中，教师可将学生分组，每组学生分别对菱形进行“边、角、对角线”等方面的研究，然后在组内进行整理、归纳．而在性质或判定的应用中，教师根据题目的层次安排，可引导学生独立分析思路，并独立进行具体的证明．5．注重将新知识与旧知识进行联系与类比．新旧知识的联系与类比有利于学生建立新的知识体系，同时也能在一定程度上培养学生的合情推理能力．菱形的判定方法可以通过类比已学过的矩形的判定方法，进行合情猜想，并加以验证，实现知识的正迁移．学法建议在日常生活中，学生经常会遇到各种几何图形也包括菱形，但学生对这一图形的认识是直观的、肤浅的，因此在教学中要以原有直观感和平行四边形、矩形的相关知识为基础，探索菱形的性质及判别方法，并尝试利用它们解题．新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如菱形的概念得到、菱形性质的发现和推导、菱形面积的算法、菱形判定方法的选择和思路的选取等都可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也能得到不断提高．在本节课的教学中，要帮助学生学会运用实践、观察、分析、比较、验证、归纳、概括等手段，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，领会到成功的喜悦．。

八年级菱形的知识点菱形作为初中数学中的一个常见图形，在八年级学习中也有很大的地位。

菱形具有以下特点：四条边相等、对角线相等并且互相平分，内角和为360度。

除此之外，菱形还有很多特性需要深入掌握，下面就来详细介绍八年级菱形的知识点。

1. 菱形的面积菱形面积的计算方法有两种，一种是S=1/2×d1×d2（d1和d2分别是两条对角线），另一种是S=a^2/2（a代表菱形的边长）。

以上两个公式得出的结果是一致的，如何选择运用则取决于问题形式。

2. 菱形的周长计算菱形周长的公式为C=4a（a代表菱形的边长），很容易推出。

3. 菱形的对角线菱形的对角线即两个相互平分的相邻角的线段。

计算菱形两条对角线的长度也有两种方法，第一种是利用勾股定理（其实就是特殊的直角三角形）d1^2=d2^2+a^2，代入另一式d1+d2=2a即可，另一种是使用三角形的正弦定理和余弦定理，但相比较而言使用勾股定理更为简单。

4. 菱形的对角线垂直菱形的对角线互相垂直，也就是说每条对角线的端点就构成了一个直角。

这个性质可以通过利用正方形的定理进行证明，或者使用菱形内部的四个全等直角三角形也可以证明。

5. 菱形内接圆与正方形一样，菱形也可以内切一个圆。

该圆的半径即菱形的半对角线a/2。

它的周长（即菱形的周长）可以使用公式C=2πr=4πa/2=2πa进行计算。

6. 连接菱形中心的中心线由于菱形内部存在四个全等直角三角形，所以将菱形内部的四个角分别连接三角形的重心，可以得到一个正方形。

而菱形中心连接对面的点，所得的线段则是这个正方形的对角线，该线段也被称之为菱形的中心线。

总结以上就是八年级菱形的知识点，需要注意的是，菱形作为一个简单但常见的图形，还有很多相关定理和性质，需要在实际问题运用中逐步掌握。

最后，希望大家能够通过不断的练习和思考来更好地掌握和应用菱形的相关知识。