2014专题四：立体几何(教师版)文科

2010—2014高考文科立体几何大题汇总1.(2014年课标全国Ⅰ文.19) (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．分析：在第(1)问中，要证B1C⊥AB，应证明B1C与AB所在的某个平面垂直．结合已知条件知应考虑平面ABO.这是因为由BB1C1C为菱形可知B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，必有AO⊥B1C，即得证；在第(2)问中，三棱柱的高即为两底面ABC与A1B1C1之间的距离，可转化为点B1到平面ABC 的距离求解，又考虑到O为B1C的中点，因此可先求点O到平面ABC的距离，这时只需根据面面垂直的性质作出点O到平面ABC的垂线，结合已知即可求出点O到平面ABC的距离，从而可得三棱柱的高．解：(1)连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD =. 由于AC ⊥AB 1， 所以11122OA B C ==.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ==14OH =.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC .故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为7. 2.(2014课标全国Ⅱ文.18) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD =P －ABD 的体积V =，求A 到平面PBC 的距离． 分析：在第(1)问中，欲证PB ∥平面AEC ，可根据线面平行的判定定理，只需在平面AEC 中找一条直线与PB 平行即可．又E 是PD 的中点，联想到三角形中位线定理，可找BD 的中点，又ABCD 为矩形，利用对角线互相平分从而可证．对于第(2)问，由已知棱锥P －ABD 的体积V 及AP ，AD 的长，可得底面矩形ABCD 的另一边AB 的长，欲求A 到平面PBC 的距离，可由A 向平面PBC 引垂线，关键是垂足的几何位置，再由条件知BC ⊥平面PAB ，故过A 作垂直于平面PBC 的垂线的垂足应在PB 上，而△PAB 为直角三角形，可利用等面积法求得斜边PB 上的高，从而求得答案． 解：(1)设BD 与AC 的交点为O ，连结EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)166V PA AB AD AB =⋅⋅=，由V =，可得32AB =. 作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH . 故AH ⊥平面PBC .又PA AB AH PB ⋅==所以A 到平面PBC 3.(2014北京文.17) (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E －ABC 的体积．分析：(1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB 1⊥AB ，然后结合已知即可证得AB ⊥平面BCC 1B 1，最后利用面面垂直的判定定理即得结论．(2)取AB 的中点G ，然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GF 綉EC 1，进而转化为C 1F ∥EG ，最后利用线面平行的判定定理证得结论．(3)先求出△ABC 的三边长，由已知可得该三棱锥的高等于AA 1，然后代入锥体体积公式即得结果． (1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC .所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且12FG AC =. 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB =所以三棱锥E －ABC 的体积111112332ABC V S AA ∆=⋅=⨯⨯=. 4.(2014福建文.19) (本小题满分12分)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．分析：(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种，结合本题条件，可证明CD垂直于平面ABD内的两条相交直线即可证得CD垂直于平面ABD.(2)三棱锥体积13V Sh=，但要注意转换顶点和底面，对于本题，可将S△ABM求出，高即为CD＝h，代入公式可求得，也可借助图中关系，利用V A－MBC＝V A－BCD－V M－BCD求得．解法一：(1)∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴12ABDS∆=.∵M是AD的中点，∴1124 ABM ABDS S∆∆==.由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V C－ABM＝13ABMS h∆⋅＝112.解法二：(1)同解法一．(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且1122MN AB ==. 又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴12BCD S ∆=. ∴三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V A －BCD －V M －BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 5.(2014重庆文.20) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，π3BAD ∠=，M 为BC 上一点，且12BM =.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P －ABMO 的体积．分析：先利用平面几何的方法，求出OB ，然后在△OBM 中，借助余弦定理求出OM 的值，运用勾股定理的逆定理，得出线线垂直，再结合已知条件，利用线面垂直的判定定理，得出BC ⊥平面POM ；在第(2)问中，充分利用第(1)问的结论，得到OA 的长度，然后分别在△POM ，△ABM ，△POA 中借助余弦定理得到关于PO 的方程，求出PO 的长度，再分别计算△AOB 与△OMB 的面积得出四边形ABMO 的面积，最后根据棱锥的体积公式求出四棱锥P －ABMO 的体积． (1)证明：如图，因ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连结OB ，则AO ⊥OB .因π3BAD ∠=， 故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝π2sin6＝1， 又因12BM =，且π3OBM ∠=，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝2211π31()21cos 2234+-⋅⋅⋅=.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)解：由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝π2cos6⋅=设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故PA 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.由△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝234a +. 连结AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22112π212()22cos 2234+-⋅⋅⋅=. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则PA 2＋PM 2＝AM 2，即22321344a a +=++，得a =a =(舍去)，即PO =.此时S ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝1122AO OB BM OM ⋅⋅+⋅⋅＝111122228+⨯⨯=.所以四棱锥P－ABMO的体积115·338216 P ABMO ABMOV S PO-=⋅=⨯=.6.(2014广东文.18) (本小题满分13分)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.图1图2(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积．(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，且PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥面ABCD，交线为CD.又∵四边形ABCD 为矩形，AD ⊥CD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴MD ⊥平面PCD . 又由于CF ⊂平面PCD ， ∴MD ⊥CF .∵MF ⊥CF ，且MD ∩MF ＝M ， ∴CF ⊥平面MDF .(2)解：∵MD ⊥平面PCD ，∴V M －CDE ＝13·S △CDE ·MD . ∵CF ⊥平面MDF ，DF ⊂平面MDF ， ∴CF ⊥DF .∵在Rt △PCD 中，CD ＝1，PC ＝2， ∴∠PCD ＝60°，且CD ＝1，∴12CF =，故13222PF =-=. ∴32MF =.又∵CF ⊥MF ，故利用勾股定理得：2CM =，∴在Rt △MDC 中，2CM =，CD ＝1，得2DM =又∵F 点位于CP 的四等分点，且PD =∴E 为PD 的四等分点，故DE =，∴1112248CDE S CD DE ∆=⋅=⨯⨯=，∴V M －CDE ＝13S △CDE ·DM ＝16.7.(2014辽宁文.19) (本小题满分12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积． 附：锥体的体积公式13V Sh，其中S 为底面面积，h 为高． 分析：(1)由三角形全等证出AC ＝DC ，再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直，最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论．(2)由面面垂直得线面垂直，从而确定出点到平面的距离，即三棱锥G －BCD 的高，由等体积法可求三棱锥D －BCG 的体积． (1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 中点，所以CG ⊥AD ； 同理BG ⊥AD ；因此AD ⊥面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥面BCG .(2)解：在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝11131·sin 12033222DBC S h BD BC ∆⋅=⋅⋅⋅⋅︒⋅=. 8.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥,BC ⊥AC ，,∴面, 又∵面，∴,由题设知,∴=,即,又∵, ∴⊥面, ∵面，∴面⊥面；1CC 1CC AC C ⋂=BC ⊥11ACC A 1DC ⊂11ACC A 1DC BC ⊥01145A DC ADC ∠=∠=1CDC ∠0901DC DC ⊥DC BC C ⋂=1DC BDC 1DC ⊂1BDC BDC 1BDCCB A DC 1 A 1（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==， 由三棱柱的体积=1，∴=1:1， ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.9.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分） 如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD.（Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.【答案】【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=.由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥.1B DACC -1V AC 1V 1121132+⨯⨯⨯12111ABC A B C -V 11():V V V -1BDC在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，2OD AD ==所以2 4.PD OD PA ====故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 10.【2012高考广东文18】如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。

2014年高考数学文科试题分类——立体几何若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m【答案】C【解析】试题分析：对A ，若n m ⊥，α//n ，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误；对B ，若β//m ，αβ⊥，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误；对C ，若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m ，正确；对D ，若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 或α⊂m 或α//m ，错误.故选C.点评：本题考查空间中的线线、线面、面面的闻之关系，容易题.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π5.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）A.4πB.8πC.2πD.π【答案】 C【解析】C r S r 选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2ππ*22112==8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ .以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A ．π2B ．πC ．2D ．13. 某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成， 其体积为)(90343216432cm V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（A ）1727 （B ） 59 （C ）1027 (D) 13（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 终点，则三棱锥111A A B C -的体积为（A ）3 （B ）32 （C ）1 （D）8．一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为（ ）A ．233B ．476C ．6D ．7 4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） （锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3 B 、2 CD 、17. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 侧视图俯视图11222211A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12B.18C.24D.30（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _________ ．10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .(13) 一个六棱锥的体积为其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM =. （1）证明：BC ⊥平面POM ；（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点. （1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B 为， 图③ 图①图④ 图②第7题图① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.（18）（本小题满分12分）如图，四凌锥p —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 上面ABCD ，E 为PD 的点。

专题四：立体几何 【一、基础知识归类：】1、三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等2、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；侧视图（从左向右的正投影）； 俯视图（从上向下正投影）． 3、空间几何体的直观图——斜二测画法特点：①斜二测坐标系的y 轴与x 轴正方向成 45角； ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行,长度不变； ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半． 常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为22：1． 4、特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）：ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表()22R Rl rl r S +++=π圆台表 S 球面=24R π5、柱体、锥体、台体和球的体积公式：V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台V 球=343R π 6、空间线面的位置关系①直线与直线：相交、平行、异面（不同在任何一个平面内的两条直线）； ②直线与平面：属于a ⊂α、相交a∩α＝A 、平行a ∥α；③ 平面与平面：平行—没有公共点：α∥β、相交—有一条公共直线：α∩β＝b ． 7、垂直和平行证明问题的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系： ① 平行转化 ② 垂直转化同时注意结合运用中位线定理、勾股定理、等腰（等边）三角形“三线合一”； 平行四边形两组对边分别平行且相等，对角线互相平分；菱形对边平行且四边相等，对角线互相垂直平分并平分对角； 矩形对边平行且相等，四个角为直角，以及对角线互相平分且相等；正方形对边平行且四边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分且相等并平分对角； 梯形上底和下底平行； 圆直径对应圆周角为直角、垂径定理、过切点的半径垂直于切线等． 8、立体几何中体积的求法：直接法、割补法、等积转化等方法． 等积转化在三棱锥求体积或求点到面的距离问题中经常运用．【二、专题练习：】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）1．（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2,则左视图的面积为（ ）A ．2a 2B ．a 2C ．23a D ．243a2．（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积等于（ ） A ．361a B ．321a C ．332a D ．365a 3．（2009青岛二模）下图为长方体木块堆成的几何体三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有（ ）A ．3块B ．4块C ．5块D ．6块4．（2009广东省恩城中学）半径为2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ）A ．4cmB ．2cmC ．cm 32D ．cm 3aaa5．（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 （ ） A.32B .33 C .34 D .23 6．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ） A．48+ B．48+C．36+ D．36+7．（2009汕头一模）在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m ∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A, B, C 到平面β的距离相等，则α∥β． 其中正确命题的个数为（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．38.（2007宁夏理）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm 9．（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12正视图侧视图俯视图66663334410．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是（ ） A ．βαβα⊥⊥,//,b a B ．βαβα//,,⊥⊥b a C ．βαβα//,,⊥⊂b a D ．βαβα⊥⊂,//,b a11．（2009玉溪市民族中学第四次月考）若球O 的半径为1，点A 、B 、C 在球面上，它们任意两点的球面距离都等于,2π则过A 、B 、C 的小圆面积与球表面积之比为 （ ） A ．121 B ．81 C ．61 D ．4112．正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为（ ）A ．1：1B ．1：2C ．2：1D ．3：2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ．14．在半径为13的球面上有A ， B ， C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则球心到平面ABC 的距离为 ． 15．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是 ．16．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D ，作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，总分74分）17．右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且2P D A D E C ===2．（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；（2）求四棱锥B －CEPD 的体积； （3）求证：//BE 平面PDA ．18．如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º． （Ⅰ）证明：AB ⊥PC ；（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积．PABCDEDABC俯视图19．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC =12AD ，BE =12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （2）C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ （3）设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE ．20．如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线长为CC 1的交点为D ． （1）求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；（2）在平面A 1BD 内是否存在过点D 的直线与平面ABC 平行？证明你的判断；（3）证明：平面A 1BD ⊥平面A 1ABB 1．DC 1B 1A 1CBA21．（2009届广东省重点中学高三模拟）如图：已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，O1．O分别是上．下底面的中心，A1O⊥平面ABCD．（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；（2）若点E在棱AA1上，且AE=2EA1，问在棱BC上是否存在点F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，说明理由．22．（2007-2008汕头市金山中学）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC =2，A 为PB 边上一点，且P A=1，将△P AD 沿AD 折起，使面P AD ⊥面ABCD （如图2）． （Ⅰ）证明：平面P AD ⊥PCD ；（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分1:2: MACB PD CMA V V ； （Ⅲ）在M 满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD 是否平行面AMC ．正视图侧视图俯视图【参考答案】一、选择题1—5：C D B D A6．答案：A 解析：棱锥的直观图如右，则有PO ＝4，OD ＝3，由勾股定理，得PD ＝5，AB ＝62，全面积为：21×6×6＋2×21×6×5＋21×62×4＝48＋122，故选A ． 7—9：B B A10．答案：C 解析：由b β⊥，α∥β得b α⊥，又a α⊂，可知b a ⊥，故a b ⊥的一个充分条件是C ． 11．答案 C12．【解析】选C .由于G 是PB 的中点,故P －GAC 的体积等于B －GAC 的体积 在底面正六边形ABCDER 中，BH ＝ABtan30°AB 而BD故DH ＝2BH 于是V D －GAC ＝2V B －GAC ＝2V P －GAC ． 二、填空题13．恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =+⨯=+ 14．答案：12解析：由ABC ∆的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过,,A B C 三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是d ，则由222513d +=，可得12d =．15．【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，设长方体的高为x ，则()()42122214x x x +=++，所以3x =，所以长方体的体积为3．16．【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面A D B ，即有CB BD ⊥，对于2,1,CD BC BD ==∴，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，则有12t =，因此t 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 三、解答题17．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分 （2）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ∴平面PDCE ⊥平面ABCD∵BC CD ⊥ ∴BC ⊥平面PDCE ----------5分 ∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE --6分∴四棱锥B －CEPD 的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形.----8分 （3）证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA∴EC//平面PDA ,------------------------------------10分 同理可得BC//平面PDA ----------------------------11分∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且ECBC C =∴平面BEC //平面PDA -----------------------------13分又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分 18．解析：（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒， 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，可得AC BC =． 如图，取AB 中点D ，连结PD ，CD ，则PD AB ⊥，CD AB ⊥， 所以AB ⊥平面PDC ， 所以AB PC ⊥．（Ⅱ）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =．由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒．因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形． 由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ∆的面积2S =． 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三角锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯=．19．证明：（1）由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH =12AD .又BC =12AD ，故GH =BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形． （2）C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE =12AF ，G 是F A 的中点知，BE =GF ，所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．（3）连结EG ，由AB ＝BE ，BE =AG ，及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形，O B 2DC 1B 1A 1CBA故BG ⊥EA .由题设知，F A 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ， 因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影，∴BG ⊥ED . 又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE . 又BG ∥CH ，所以CH ⊥平面ADE故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .20．解：（1）如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点B 运动到点B 2的位置，连接A 1B 2，则A 1B 2就是由点B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线。

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高三文科数学第二轮复习资料—-《立体几何》专题一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：二、练习题：1．l 1∥l 2,a ，b 与l 1，l 2都垂直,则a ，b 的关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交、异面都有可能2．三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V,P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点,且满足AP=C 1Q,则四棱锥B —APQC 的体积是A ．B ．C ．D ．3．设、、为平面, 、、为直线，则的一个充分条件是A ．B ．C ．D ． 4．如图1，在棱长为的正方体中， P 、Q 是对角 线,若的体积为 A ． B ． C ． D ．不确定5．圆台的轴截面面积是Q ，母线与下底面成60°角,则圆台的内切球的表面积是AB QC QD Q6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，O 为AC 与BD的交点（如图），求证： （1）EG∥平面BB 1D 1D; （2）平面BDF∥平面B 1D 1H; （3）A 1O⊥平面BDF ； （4）平面BDF⊥平面AA 1C ．7．如图，斜三棱柱ABC —A’B'C’中,底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为 b,侧棱AA'与底面相邻两边AB 、AC 都成450角,求V 21V 31V 41V 32αβγm nlm β⊥,,l m l αβαβ⊥=⊥,,m αγαγβγ=⊥⊥,,m αγβγα⊥⊥⊥,,n n m αβα⊥⊥⊥a AB C D A B C D -1111A C 1aPQ =2P B D Q -a3336a3318a332412Q 232π23π此三棱柱的侧面积和体积．8．在三棱锥P —ABC 中，PC=16cm ，AB=18cm ，PA=PB=AC=BC=17cm ，求三棱锥的体积V P-ABC ．9．如图6为某一几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC ，AQ=AP ，点S 、D 、A 、Q 及P 、D 、C 、R 共线。

1．(角度新)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正(主)视图、侧(左)视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积是( )A ．9B ．11C ．13D ．152．(交汇新)一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A .8π3B .16π3C ．43πD ．23π3．(立意新)如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC ＝2，AC ＝BC ，平面ACD ⊥平面ABC.如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，那么三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________．4．(背景新)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE.已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正(主)视图方向垂直于平面ABCD 时，该几何体的侧(左)视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．答案：3 解析：由题意可得左视图是一个有一条直角边为2的直角三角形，所以其面积为12×2×BC ＝22，解得BC ＝1，所以DE ＝CE ＝2，△DCE 是边长为2的等边三角形，∠AED ＝∠BEC ＝30°.将△ADE 、△DCE 、△BCE 展开到同一平面上，在平面△AEB 中，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝120°，所以AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值是3.[历 炼]1．解析：由正视图、侧视图可知，几何体的体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，故最大体积为11.答案：B2．解析：根据三视图还原几何体为一个如下图所示的三棱锥D －ABC ，其中平面ADC ⊥平面ABC ，△ADC 为等边三角形．取AC 的中点为E ，连接DE ，BE ，则有DE ⊥AC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥EB.由图中数据知AE ＝EC ＝EB ＝1，DE ＝3，AD ＝2.设此三棱锥的外接球的球心为O ，则它落在高线DE 上．连接OA ，则有AO 2＝AE 2＋OE 2＝1＋OE 2，AO ＝DO ＝DE －OE ＝3－OE ，所以AO ＝23，故球O 的半径为23，所求几何体的外接球的表面积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝163π. 答案：B 3．解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正(主)视图的面积是12×4×2＝22，侧(左)视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2.答案：4＋3 24．解析：取AB 的中点F ，连接EF ，过F 作FG ⊥DC ，∵ 平面ABCD ⊥平面ABE ，∴△EGF 即为侧(左)视图．∵四边形ABCD是矩形，∴ AD＝FG，∵ AE＝BE＝3，AB＝2，∴ EF＝ 2.又由侧(左)视图的面积为22，∴12EF×AD＝22，∴ AD＝1，由平面ABCD⊥平面ABE及四边形ABCD为矩形，得AD⊥AE，BC⊥BE，∴ DE＝EC＝2.∴∠AED＝∠BEC＝30°，∠DEC＝60°.将四棱锥E－ABCD去掉底面ABCD和侧面ABE后展开(如图)，得AM＋MN＋NB的最小值即为线段AB的长，则由余弦定理，得AB2＝EA2＋EB2－2EA·EB cos∠AEB＝3＋3＋3＝9，故AM＋MN＋NB的最小值为3.答案：3。

2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何一、选择填空题1．[2014·福建卷3] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A ．2πB ．πC ．2D ．1 【答案】A 2．[2014·浙江卷3] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )图1-1A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3 【答案】B3．[2014·四川卷4] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)( )图1-1A ．3B ．2 C.3 D ．1【答案】D 4．[2014·辽宁卷4] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 【答案】B 5．[2014·陕西卷5] 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π 【答案】C6．[2014·浙江卷6] 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α【答案】C 7．[2014·全国卷4] 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33【答案】B 8．[2014·新课标全国卷Ⅱ6] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图1-1A.1727B.59C.1027D.13【答案】C 9．[2014·湖北卷10] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113【答案】B 10．[2014·新课标全国卷Ⅱ7] 正三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A - B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1 D.32【答案】C11．[2014·安徽卷8] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476C ．6D ．7 【答案】A12．[2014·湖北卷7] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )2A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 【答案】D13．[2014·辽宁卷7] ( )图1-2A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π 【答案】C14．[2014·重庆卷7] ( )1-2A ．12B ．18C ．24D ．30 【答案】C 15．[2014·全国新课标卷Ⅰ8] 如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 【答案】B16．[2014·湖南卷8] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 17．[2014·全国卷10] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4【答案】A18．[2014·浙江卷10] 如图1-3，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是( )图1-3A.305 B.3010 C.439 D.539【答案】D19．[2014·江苏卷8] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．【答案】32 22．[2014·天津卷10] 一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3. 【答案】20π320．[2014·北京卷11] 则该三棱锥最长棱的棱长为________．【答案】2 2图1-321．[2014·山东卷13] 一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．【答案】12三、解答题1．[2014·安徽卷19] 如图1-5所示，四棱锥P -ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.图1-5(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．解：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.2．[2014·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ­ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若图解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1. 又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos 6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝5 38.所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×5 38×32＝516. 3．[2014·陕西卷17] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图1-4(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．4．[2014·湖南卷18] 如图1-3所示，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是(1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．解：(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝ 3.在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝32.连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为34.5．[2014·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC ＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1-5(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E ­ ABC 的体积． 解：(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1. (2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.6．[2014·湖北卷20] 如图1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)(2)直线AC 1⊥平面PQMN .证明：(1)连接AD 1，由ABCD - A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1.因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1，从而BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ .(2)如图，连接AC ，BD ，A 1C 1，则AC 由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得CC 1⊥BD .又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，而AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥AC 1.因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1，同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN . 7．[2014·江苏卷16] 如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .图1-4解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E =I ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．8．[2014·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A ­ BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．图1-6解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD . (2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12. ∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C - ABM 的高h ＝CD ＝1， 因此三棱锥A - MBC 的体积V A - MBC ＝V C ­ ABM＝13S △ABM ·h ＝112.方法二：(1)同方法一．(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD . 如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A - MBC 的体积V A ­ MBC ＝V A ­ BCD －V M ­ BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112.9．[2014·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．图1-3解：(1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ，EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)V ＝13×12×P A ×AB ×AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于点H ，由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ， 因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC ，又AH ＝P A ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.10．[2014·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M - CDE 的体积．图1-2 图1-300:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴I I QQ 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==11．[2014·山东卷18] 如图1-4所示，四棱锥P ­ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．图1-4(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF ，又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知，ED ∥BC ，ED ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面P AC . 12．[2014·江西卷19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1.(1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC - A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C . 又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1.(2)方法一：设AA 1＝x .在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2.同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2.在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C ＝－x 2（4－x 2）（3－x 2），sin ∠BA 1C ＝12－7x 2（4－x 2）（3－x 2），所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367，所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.(2)方法二：过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，得BC ⊥平面AA 1D ，故BC ⊥AD .又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，得AD ＝2217.设AA 1＝x .在Rt △AA 1D 中，A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2， S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367，所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.13．[2014·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC . 又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 的中点，所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V 三棱锥D -BCG ＝V 三棱锥G -BCD ＝13·S △DBC ·h ＝13×12·BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 14．[2014·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .图1-4(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高为217.15．[2014·四川卷18] 在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC . 因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，所以DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC . 即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC . 16．[2014·天津卷17] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE ＝1，故在直角三角形EBF中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.17．[2014·浙江卷20] 如图1­5，在四棱锥A ­ BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.图1-5(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .(2)在直角梯形BCDE 中，由BD ＝BC ＝2，DC ＝2，得BD ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，所以BD ⊥平面ABC .作EF ∥BD ，与CB 的延长线交于点F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC . 所以∠EAF 是直线AE 与平面ABC 所成的角．在Rt △BEF 中，由EB ＝1，∠EBF ＝π4，得EF ＝22，BF ＝22；在Rt △ACF 中，由AC ＝2，CF ＝322，得AF ＝262.在Rt △AEF 中，由EF ＝22，AF ＝262，得tan ∠EAF ＝1313. 所以，直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是1313. 18．[2014·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ­ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若图解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1. 又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos 6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝5 38.所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×5 38×32＝516. 19．[2014·全国卷19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小．图1-1解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ， 故∠A 1FD 为二面角A 1­ AB ­ C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点， 所以DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF＝15， 所以cos ∠A 1FD ＝14.所以二面角A 1­ AB ­ C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C - xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )，由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即 a 2－4a ＋c 2＝0. ①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B . (2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB ＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0，且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c . 又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3， 代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1，于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1 的法向量n ＝(p ，q ，r )，则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0， 所以－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)． 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14，所以二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小为arccos 14.。

2014高考数学文科分类汇编:立体几何目录1. 空间几何体的结构 (2)2. 空间几何体的三视图和直观图 (4)3. 平面的基本性质、空间两条直线 . (9)4. 空间中的平行关系 (11)5. 空间中的垂直关系 (16)6. 三垂线定理 (27)7. 棱柱与棱锥 (29)8. 多面体与球 (33)9. 空间向量及运算 ......................................................................................................................... 35 空间向量解决线面位置关系 .......................................................................................................35 空间角与距离的求法 .................................................................................................................. 35 10. 单元综合 .. (41)11. 空间几何体的结构[2014·安徽卷 ]如图 1-5所示,四棱锥 P -ABCD 的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为 17. 点 G , E , F , H 分别是棱 PB , AB , CD , PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面 ABCD , BC ∥平面 GEFH.图 1-5(1证明:GH ∥ EF ;(2若 EB =2,求四边形 GEFH 的面积.19. 解:(1证明:因为 BC ∥平面 GEFH , BC ⊂平面 PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以 GH ∥ BC .同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF .(2连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP , GK .因为 P A =PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ⊥ AC ,同理可得 PO ⊥ BD . 又BD ∩ AC =O ,且 AC , BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO ⊥平面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥平面 ABCD ,且 PO ⊄平面 GEFH ,所以 PO ∥平面 GEFH .因为平面PBD ∩平面 GEFH =GK ,所以 PO ∥ GK ,所以 GK ⊥平面 ABCD .又 EF ⊂平面 ABCD ,所以 GK ⊥ EF ,所以 GK 是梯形 GEFH 的高.由 AB =8, EB =2得 EB ∶ AB =KB ∶ DB =1∶ 4,从而 KB14DB =12,即 K 是 OB 的中点.再由 PO ∥ GK 得 GK =12PO ,所以 G 是 PB 的中点,且 GH =12=4.由已知可得 OB =, PO PB -OB =68-32=6,所以 GK =3, 故四边形 GEFH 的面积 S =GH +EF2·GK =4+823=18.[2014·福建卷 ] 以边长为 1的正方形的一边所在直线为旋转轴, 将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 (A . 2πB . πC . 2D . 13. A [解析 ] 由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径 r =1,高 h =1,则该圆柱的侧面积S =2πrh =2π,故选 A.[2014·湖北卷 ] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖” 的术“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h , 计算其体积 V 的近似公式V ≈1362h . 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么,近似公式V ≈ 2 75L 2h23相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 (227 25815750 D. 35511310. B [解析 ] 设圆锥的底面圆半径为 r ,底面积为 S ,则L =2πr . 由题意得 136L 2h 13,代入S =πr 2化简得π≈ 3. 类比推理,若V ≈ 275L 2h 时,π≈ 258. 故选 B.[2014·新课标全国卷Ⅱ ] 正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的底面边长为 2,侧棱长为3, D 为 BC 中点,则三棱锥 A - B 1DC 1的体积为 (A . 3 B. 32 C . 1 D. 27. C [解析 ] 因为 D 为 BC 的中点,所以 AD ⊥ BC ,故 AD ⊥平面 BCC 1B 1, 且AD 3, 所以 V 三棱锥 A - B 1DC 1=13S △ B 1DC 1×AD =13×12B 1C 1×BB 1×AD =13×12×23×3=1.[2014·重庆卷 ] 如图 1-4所示四棱锥 P -ABCD 中, 底面是以 O 为中心的菱形, PO ⊥底面 ABCD , AB =2,∠ BAD =π3, M 为 BC 上一点,且 BM =12.(1证明:BC ⊥平面 POM ;(2若 MP ⊥ AP图 20. 解:(1证明:如图所示,因为四边形 ABCD 为菱形, O 为菱形的中心,连接 OB ,则 AO ⊥ OB . 因为∠ BAD =π3OB =AB ·sin ∠ OAB =2sin π6=1.又因为 BM =12,且∠ OBM =π3,在△ OBM 中, OM 2=OB 2+BM 2-2OB ·BM ·cos ∠ OBM =12+⎝⎛122-2×1×12×cos π3=34,所以 OB 2=OM 2+BM 2,故 OM ⊥ BM .又 PO ⊥底面 ABCD ,所以 PO ⊥ BC . 从而 BC 与平面 POM 内的两条相交直线 OM , PO 都垂直,所以 BC ⊥平面 POM.(2由 (1可得, OA =AB ·cos ∠ OAB =2×cos 63.设 PO =a , 由 PO ⊥底面 ABCD , 知△ POA 为直角三角形, 故 P A 2=PO 2+OA 2=a 2+3.又△ POM 也是直角三角形,故 PM 2=PO 2+OM 2=a 2+34连接 AM ,在△ ABM 中, AM 2=AB 2+BM 2-2AB ·BM ·cos ∠ ABM =22+122-2×2×12×4cos 2π3214.由已知 MP ⊥ AP ,故△ APM 为直角三角形,则P A 2+PM 2=AM 2,即 a 2+3+a 2+34214解得 a =32a 32(舍去 ,即 PO =32此时 S 四边形 ABMO =S △ AOB +S △ OMB =12·AO ·OB +12·BM ·OM =123×1+12×12×2 =5 38.所以四棱锥 P -ABMO 的体积 V 四棱锥 P -ABMO =13·S 四边形 ABMO ·PO =135 38×32=516.2. 空间几何体的三视图和直观图[2014·安徽卷 ]一个多面体的三视图如图 1-2所示,则该多面体的体积是 (图 1-2A. 233B. 476C . 6D . 7 8. A [解析 ] 如图所示,由三视图可知该几何体是棱长为 2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分,其体积 V =8-2×13×12×1×1×1=233[2014·北京卷 ] 某三棱锥的三视图如图 1-3所示,则该三棱锥最长棱的5棱长为 ________.图 1-311. 22 [解析 ] 该三棱锥的直观图如图所示,并且 PB ⊥平面 ABC , PB =2, AB =2, AC =BC =2, P A 2+2=22, PC 22+(2 2=6,故 P A 最长.[2014·湖北卷 ] 在如图 1-1所示的空间直角坐标系 O -xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2 , (2, 2, 0 , (1, 2, 1 , (2, 2, 2 .给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为 (2A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②7. D [解析 ] 由三视图可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形 (三个顶点坐标分别是 (0, 0, 2 , (0, 2, 0 , (0, 2, 2 且内有一虚线 (一锐角顶点与一直角边中点的连线 , 故正视图是④; 俯视图是一个斜三角形, 三个顶点坐标分别是 (0, 0, 0 , (2, 2, 0 , (1, 2, 0 ,故俯视图是② . 故选 D.[2014·湖南卷 ] 一块石材表示的几何体的三视图如图 1-2所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于 (图 1-2A . 1B . 2C . 3D . 4 8. B [解析 ] 由三视图可知, 石材为一个三棱柱 (相对应的长方体的一半 ,故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意可知正视图三角形6的内切圆的半径即为球的半径,可得 R =6+8-102=2.[2014·辽宁卷 ] 某几何体三视图如图 1-2所示,则该几何体的体积为 (图 1-2A . 8-π4B . 8π2C . 8-πD . 8-2π7. C [解析 ] 根据三视图可知,该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的部分,故该几何体体积 V =23-12×π×12×2=8-π.[2014·浙江卷 ] 某几何体的三视图 (单位:cm 如图所示,则该几何体的体积是 (图 1-1A . 72 cm3B . 90 cm3C . 108 cm3D . 138 cm33. B [解析 ] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的,其体积为 6×4×3+12×3×4×3=90 cm3,故选 B.[2014·新课标全国卷Ⅱ ] 如图 1-1,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm , 高为 6 cm的圆柱体毛坯切削得到, 则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 (图 1-117 27 5 910 27 1 36. C [解析 ] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积 V=π×32×2+π×22×4=34π(cm3 ,原毛坯的体积 V 毛坯=π×32×6=54π(cm3 ,被切部分的体积 V 切 =V 毛坯 -V =54π-34π=20π(cm3 ,所以 V 切V 毛坯= 20π54π1027[2014·全国新课标卷Ⅰ ] 如图 1-1,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 (A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱8. B [解析 ] 从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥,其直观图如图,是一个三棱柱.[2014·陕西卷 ] 四面体 ABCD 及其三视图如图 1-4所示, 平行于棱 AD , BC 的平面分别交四面体的棱 AB , BD , DC , CA 于点 E , F , G , H.图 1-4(1求四面体 ABCD 的体积;(2证明:四边形 EFGH 是矩形.17. 解:(1由该四面体的三视图可知,BD ⊥ DC , BD ⊥ AD , AD ⊥ DC , BD =DC =2, AD =1,∴ AD ⊥平面 BDC ,∴四面体 ABCD 的体积 V =1312×2×2×1=23.(2证明:∵ BC ∥平面 EFGH ,平面EFGH ∩平面 BDC =FG ,平面EFGH ∩ 平面ABC =EH ,∴ BC ∥ FG , BC ∥ EH ,∴ FG ∥ EH .同理 EF ∥ AD , HG ∥ AD ,∴ EF ∥ HG ,∴四边形 EFGH 是平行四边形.又∵ AD ⊥平面 BDC ,∴ AD ⊥ BC ,∴ EF ⊥ FG ,∴四边形 EFGH 是矩形.78[2014·四川卷 ] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图 1-1所示,则该三棱锥的体积是 (锥体体积公式:V =13,其中 S 为底面面积, h 为高 (图 1-1A . 3B . 2 C. 3 D . 14. D [解析 ] 由图可知,三棱锥的底面为边长为 2的正三角形,左侧面垂直于底面,且为边长为 2的正三角形,所以该三棱锥的底面积 S =1 22×3,高 h 3,所以其体积 V 13=1 333=1,故选 D.[2014·重庆卷 ] 某几何体的三视图如图 1-2所示,则该几何体的体积为 (图 1-2A . 12B . 18C . 24D . 307. C [解析 ] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱 锥得到的.三棱柱的底面是一个两直角边长分别为 3和 4的直角三角形, 高为 5;截去的锥体的底面是两直角边的长分别为 3和 4的直角三角形,高为 3,所以该几何体的体积为 V =12×3×4×5131 2×3×4×3=24.[2014·天津卷 ] 一个几何体的三视图如图 1-2所示 (单位:m , 则该几何 体的体积为 ________m3 .910.20π3[解析 ] 由三视图可知,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V =π×12×413×22×2=20π3.3. 平面的基本性质、空间两条直线[2014·安徽卷 ] 如图 1-5所示,四棱锥 P -ABCD 的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为 17. 点 G , E , F , H 分别是棱 PB , AB , CD , PC 上共面的四点,平面 GEFH ⊥平面 ABCD , BC ∥平面 GEFH.图 1-5(1证明:GH ∥ EF ;(2若 EB =2,求四边形 GEFH 的面积.19. 解:(1证明:因为 BC ∥平面 GEFH , BC ⊂平面 PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以 GH ∥ BC .同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF .(2连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP , GK .因为 P A =PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ⊥ AC ,同理可得 PO ⊥ BD . 又BD ∩ AC =O ,且 AC , BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO ⊥平面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥平面 ABCD ,且 PO ⊄平面 GEFH ,所以 PO ∥平面 GEFH .因为平面PBD ∩平面 GEFH =GK ,所以 PO ∥ GK ,所以 GK ⊥平面 ABCD .又 EF ⊂平面 ABCD ,所以 GK ⊥ EF ,所以 GK 是梯形 GEFH 的高.由 AB =8, EB =2得 EB ∶ AB =KB ∶ DB =1∶ 4,从而 KB14DB =12,即 K 是 OB 的中点.10再由 PO ∥ GK 得 GK 12,所以 G 是 PB 的中点,且 GH =12BC =4.由已知可得 OB =42, PO =PB -OB =68-32=6,所以 GK =3, 故四边形 GEFH 的面积 S GH +EF 2GK =4+823=18.[2014·湖南卷 ] 如图 1-3所示,已知二面角α-MN -β的大小为 60°,菱形 ABCD 在面β内, A , B 两点在棱 MN 上,∠ BAD =60°, E 是 AB 的中点, DO ⊥面α(1证明:AB ⊥平面 ODE ;(2求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.18. 解:(1证明:如图,因为 DO ⊥ α, AB ⊂ α,所以 DO ⊥ AB .连接 BD ,由题设知,△ ABD 是正三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE ⊥ AB . 而DO ∩ DE =D ,故 AB ⊥平面 ODE.(2因为 BC ∥ AD 与 OD 所成的角, 即∠ ADO 是 BC 与 OD 所成的角.由 (1知, AB ⊥平面 ODE ,所以 AB ⊥ OE . 又 DE ⊥ AB ,于是∠ DEO 是二面角α-MN -β的平面角,从而∠ DEO =60°.不妨设 AB =2,则 AD =2,易知 DE 3.在 Rt △ DOE 中, DO =DE ·sin 6032.连接 AO ,在 Rt △ AOD 中, cos ∠ ADO =DOAD32234. 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 34.[2014·辽宁卷 ] 已知 m , n 表示两条不同直线, α表示平面.下列说法正确的是 (A .若 m ∥ α, n ∥ α,则 m ∥ nB .若 m ⊥ α, n ⊂ α,则 m ⊥ nC .若 m ⊥ α, m ⊥n ,则 n ∥ αD .若 m ∥ α, m ⊥ n ,则 n ⊥ α4. B [解析 ] 由题可知,若 m ∥ α, n ∥ α,则 m 与 n 平行、相交或异面, 所以 A 错误; 若 m ⊥ α, n ⊂ α, 则 m ⊥ n , 故 B 正确; 若 m ⊥ α, m ⊥ n , 则 n ∥ α或 n ⊂ α,故C 错误;若 m ∥ α, m ⊥ n ,则 n ∥ α或 n ⊥ α或 n 与α相交,故 D 错误.4. 空间中的平行关系[2014·浙江卷 ] 设 m , n 是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面 (A .若 m ⊥ n , n ∥ α,则 m ⊥ αB .若 m ∥ β, β⊥ α,则 m ⊥ αC .若 m ⊥ β, n ⊥ β, n ⊥ α,则 m ⊥ αD .若 m ⊥ n , n ⊥ β, β⊥ α,则 m ⊥ α6. C [解析 ] A, B , D 中 m 与平面α可能平行、相交或 m 在平面内α; 对于 C ,若 m ⊥ β, n ⊥ β,则 m ∥ n ,而 n ⊥ α,所以 m ⊥ α. 故选 C.[2014·安徽卷 ] 如图 1-5所示,四棱锥 P -ABCD 的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为 17. 点 G , E , F , H 分别是棱 PB , AB , CD , PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面 ABCD , BC ∥平面 GEFH.图 1-5(1证明:GH ∥ EF ;(2若 EB =2,求四边形 GEFH 的面积.19. 解:(1证明:因为 BC ∥平面 GEFH , BC ⊂平面 PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以 GH ∥ BC .同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF .(2连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP , GK .因为 P A =PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ⊥ AC ,同理可得 PO ⊥ BD . 又BD ∩ AC =O ,且 AC , BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO ⊥平面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥平面 ABCD ,且 PO ⊄平面 GEFH ,所以 PO ∥平面 GEFH .因为平面PBD ∩平面 GEFH =GK ,所以 PO ∥ GK ,所以 GK ⊥平面 ABCD .又 EF ⊂平面 ABCD ,所以 GK ⊥ EF ,所以 GK 是梯形 GEFH 的高.由 AB =8, EB =2得 EB ∶ AB =KB ∶ DB =1∶ 4, 从而 KB14DB =12,即 K 是 OB 的中点.1112再由 PO ∥ GK 得 GK 12,所以 G 是 PB 的中点,且 GH =12BC =4.由已知可得 OB =42, PO =PB -OB =68-32=6,所以 GK =3, 故四边形 GEFH 的面积 S GH +EF 2GK =4+823=18.[2014·北京卷 ] 如图 1-5, 在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱垂直于底面, AB ⊥BC , AA 1=AC =2, BC =1, E , F 分别是 A 1C 1, BC 的中点.图 1-5(1求证:平面 ABE ⊥平面 B 1BCC 1; (2求证:C 1F ∥平面 ABE ; (3求三棱锥 E -ABC 的体积. 17. 解:(1证明:在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中, BB 1⊥底面 ABC ,所以 BB 1⊥ AB . 又因为 AB ⊥ BC ,所以 AB ⊥平面 B 1BCC 1.所以平面 ABE ⊥平面 B 1BCC 1.(2证明:取 AB 的中点 G ,连接 EG , FG.因为 E , F , G 分别是 A 11 所以 FG ∥ AC ,且 FG =12AC , EC 1=12A 1C 1.因为 AC ∥ A 1C 1,且 AC =A 1C 1,所以 FG ∥ EC 1,且 FG =EC 1, 所以四边形 FGEC 1为平行四边形, 所以 C 1F ∥EG .又因为 EG ⊂平面 ABE , C 1F ⊄平面 ABE , 所以 C 1F ∥平面 ABE .(3因为 AA 1=AC =2, BC =1, AB ⊥ BC , 所以 AB AC -BC =3. 所以三棱锥 E - ABC 的体积V =13S △ ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=33.[2014·湖北卷 ] 如图 1-5,在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F , P , Q ,M , N 分别是棱 AB , AD , DD 1, BB 1, A 1B 1, A 1D 1的中点.求证: (1直线 BC 1∥平面 EFPQ ;(2直线 AC 1⊥平面 PQMN.20. 证明:(1连接 AD 1,由 ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,知 AD 1∥ BC 1.因为 F , P 分别是 AD , DD 1的中点,所以 FP ∥ AD 1.从而 BC 1∥ FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ,且 BC 1⊄平面 EFPQ ,故直线 BC 1∥平面 EFPQ.(2如图,连接 AC , BD 11由 CC 1⊥平面 ABCD , BD ⊂平面 ABCD ,可得 CC 1⊥ BD .又AC ∩ CC 1=C ,所以 BD ⊥平面 ACC 1A 1.而 AC 1⊂平面 ACC 1A 1,所以 BD ⊥ AC 1.因为 M , N 分别是 A 1B 1, A 1D 1的中点, 所以 MN ∥ BD , 从而 MN ⊥ AC 1. 同理可证 PN ⊥ AC 1.又PN ∩ MN =N ,所以直线 AC 1⊥平面 PQMN .[2014·江苏卷 ] 如图 1-4所示,在三棱锥 P -ABC 中, D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点.已知 P A ⊥ AC , P A =6, BC =8, DF =5.求证:(1直线 P A ∥平面 DEF ;(2平面 BDE ⊥平面 ABC .图 1-416. 证明:(1因为 D , E 分别为棱 PC , AC 的中点,所以 DE ∥ P A . 又因为 P A ⊄平面 DEF , DE ⊂平面 DEF ,所以直线 P A ∥平面 DEF .(2因为 D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点, P A =6, BC =8,所以 DE ∥ P A , DE12P A =3, EF =12BC =4. 又因为 DF =5,所以 DF 2=DE 2 +EF 2, 所以∠ DEF =90°, 即 DE ⊥ EF . 又 P A ⊥ AC , DE ∥ P A , 所以 DE ⊥ AC . 因为AC ∩ EF =E , AC ⊂平面 ABC , EF ⊂平面 ABC ,所以 DE ⊥平面 ABC . 又 DE ⊂平面 BDE ,所以平面 BDE ⊥平面ABC .13[2014·新课标全国卷Ⅱ ] 如图 1-3,四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, P A ⊥平面 ABCD , E 为 PD 的中点.(1证明:PB ∥平面 AEC ;(2设 AP =1, AD 3,三棱锥 P -ABD 的体积 V =34A 到平面PBC 的距离.图 1-318. 解:(1证明:设 BD 与 AC 的交点为 O ,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点,所以 EO ∥ PB .EO ⊂平面 AEC , PB ⊄平面 AEC ,所以 PB ∥平面 AEC .(2V =13×12×P A ×AB ×AD =36,由 V34,可得 AB =32.作 AH ⊥ PB 交 PB 于点 H .由题设知 BC ⊥平面 P AB ,所以 BC ⊥ AH , 因为PB ∩ BC =B ,所以 AH ⊥平面 PBC .又 AH =P A ·ABPB1313,所以点 A 到平面 PBC 的距离为31313.[2014·山东卷 ] 如图 1-4所示,四棱锥 P -ABCD 中, AP ⊥平面 PCD , AD ∥ BC , AB =BC12, E , F 分别为线段 AD , PC 的中点.图 1-4(1求证:AP ∥平面 BEF ;(2求证:BE ⊥平面 P AC .18. 证明:(1设AC ∩ BE =O ,连接 OF , EC . 由于 E 为 AD 的中点,1415AB =BC =12, AD ∥ BC ,所以 AE ∥ BC , AE =AB =BC , 所以 O 为 AC 的中点.又在△ P AC 中, F 为 PC 的中点,所以 AP ∥ OF . 又 OF ⊂平面 BEF , AP ⊄平面 BEF , 所以 AP ∥平面 BEF .(2由题意知, ED ∥ BC , ED =BC , 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE ∥ CD .又 AP ⊥平面 PCD ,所以 AP ⊥ CD ,所以 AP ⊥ BE . 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE ⊥ AC .又AP ∩ AC =A , AP , AC ⊂平面 P AC , 所以 BE ⊥平面 P AC .[2014·四川卷 ] 在如图 1-4所示的多面体中,四边形 ABB 1A 1和 ACC 1A 1都为矩形.(1若 AC ⊥ BC ,证明:直线 BC ⊥平面 ACC 1A 1.(2设 D , E 分别是线段 BC , CC 1的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M ,使直线 DE ∥平面 A 1MC ?请证明你的结论.18. 解:(1证明:因为四边形 ABB 1A 1和 ACC 1A 1都是矩形, 所以 AA 1⊥ AB , AA 1⊥ AC .因为 AB , AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA 1⊥平面 ABC .因为直线 BC ⊂平面 ABC ,所以 AA 1⊥ BC .又由已知, AC ⊥ BC , AA 1, AC 为平面 ACC 1A 1内的两条相交直线, 所以 BC ⊥平面 ACC 1A 1.(2取线段 AB 的中点 M ,连接 A 1M , MC , A 1C , AC 1,设 O 为 A 1C , AC 1的交点.由已知, O 为 AC 1的中点.连接 MD , OE ,则 MD , OE 分别为△ ABC ,△ ACC 1的中位线,所以 MD 綊 12AC , OE 12,16因此 MD 綊 OE .连接 OM ,从而四边形 MDEO 为平行四边形,所以 DE ∥ MO . 因为直线 DE ⊄平面 A 1MC , MO ⊂平面 A 1MC . 所以直线 DE ∥平面 A 1MC .即线段 AB 上存在一点 M (线段 AB 的中点 ,使直线 DE ∥平面 A 1MC .[2014·天津卷 ] 如图 1-4所示,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, BA =BD =2, AD =2, P A =PD 5, E , F 分别是棱 AD , PC 的中点.(1证明:EF ∥平面 P AB ; (2若二面角 P -AD -B 为 60°.(i证明:平面 PBC ⊥平面 ABCD ;(ii求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.17. 解:(1MF , AM . 因为 F 为PC 中点, 所以 MF ∥ BC , 且 MF =12BC . 由已知有 BC ∥ AD , BC =AD ,又由于 E 为 AD 中点,因而 MF ∥ AE 且 MF =AE ,故四边形 AMFE 为平行四边形, 所以 EF ∥ AM . 又 AM ⊂平面 P AB , 而 EF ⊄平面 P AB , 所以 EF ∥平面P AB .(2(i证明:连接 PE , BE . 因为 P A =PD , BA =BD ,而 E 为 AD 中点, 所以 PE ⊥AD , BE ⊥ AD , 所以∠ PEB 为二面角 P - AD -B 的平面角. 在△ P AD 中, 由 P A =PD =5, AD =2, 可解得 PE =2. 在△ ABD 中, 由 BA =BD 2, AD =2,可解得 BE =1. 在△ PEB 中, PE =2, BE =1,∠ PEB =60˚,由余弦定理,可解得 PB =,从而∠ PBE =90˚,即BE ⊥ PB . 又 BC ∥ AD , BE ⊥ AD ,从而 BE ⊥ BC ,因此 BE ⊥平面 PBC . 又 BE ⊂平面 ABCD ,所以平面 PBC ⊥平面 ABCD .(ii连接 BF ,由 (i知, BE ⊥平面 PBC ,所以∠ EFB 为直线 EF 与平面PBC 所成的角.由 PB =3及已知,得∠ ABP 为直角,而 MB =12PB =32,可得 AM =112故 EF =2. 又 BE =1, 故在直角三角形 EBF 中, sin ∠ EFB=BE EF 1111所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 211115. 空间中的垂直关系[2014·浙江卷 ] 设 m , n 是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面 ( A .若 m ⊥n , n ∥ α,则 m ⊥ α B .若 m ∥ β, β⊥ α,则 m ⊥ αC .若 m ⊥ β, n ⊥ β, n ⊥ α,则 m ⊥ αD .若 m ⊥ n , n ⊥ β, β⊥ α,则 m ⊥ α 6. C [解析 ] A, B , D 中 m 与平面α可能平行、相交或 m 在平面内α;对于 C ,若 m ⊥ β, n ⊥ β,则 m ∥ n ,而 n ⊥ α,所以 m ⊥ α. 故选 C.[2014·北京卷 ] 如图 1-5, 在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱垂直于底面, AB ⊥BC , AA 1=AC =2, BC =1, E , F 分别是 A 1C 1, BC 的中点.图 1-5(1求证:平面 ABE ⊥平面 B 1BCC 1;(2求证:C 1F ∥平面 ABE ;(3求三棱锥 E -ABC 的体积.17. 解:(1证明:在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中, BB 1⊥底面 ABC , 所以 BB 1⊥AB .又因为 AB ⊥ BC ,所以 AB ⊥平面 B 1BCC 1.所以平面 ABE ⊥平面 B 1BCC 1.(2证明:取 AB 的中点 G ,连接 EG , FG.因为 E , F , G 分别是 A 11所以 FG ∥ AC ,且 FG =12AC , EC 1=12A 1C 1.因为 AC ∥ A 1C 1,且 AC =A 1C 1,所以 FG ∥ EC 1,且 FG =EC 1,所以四边形 FGEC 1为平行四边形,所以 C 1F ∥ EG .又因为 EG ⊂平面 ABE , C 1F ⊄平面 ABE , 所以 C 1F ∥平面 ABE .(3因为 AA 1=AC =2, BC =1, AB ⊥ BC ,所以 AB AC -BC =3.所以三棱锥 E -ABC 的体积V =13S △ ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=33.[2014·福建卷 ] 如图 1-6所示,三棱锥 A -BCD 中, AB ⊥平面 BCD , CD ⊥ BD . (1求证:CD ⊥平面 ABD ;17(2若 AB =BD =CD =1, M 为 AD 中点,求三棱锥 A -MBC 的体积.图 1-619. 解:方法一:(1证明:∵ AB ⊥平面 BCD , CD ⊂平面 BCD , ∴ AB ⊥ CD .又∵ CD ⊥ BD , AB ∩ BD =B ,AB ⊂平面 ABD , BD ⊂平面 ABD ,∴ CD ⊥平面 ABD .(2由 AB ⊥平面 BCD ,得 AB ⊥ BD .∵ AB =BD =1,∴ S △ ABD = 1 2. ∵ M 是 AD 的中点,∴ S △ ABM12△ ABD =14.由 (1知, CD ⊥平面 ABD ,∴三棱锥 C -ABM 的高 h =CD =1, 因此三棱锥 A -MBC 的体积V A -MBC =V C -ABM13S △ ABM ·h =112.方法二:(1同方法一.(2由 AB ⊥平面 BCD ,得平面 ABD ⊥平面 BCD . 且平面ABD ∩平面 BCD =BD .如图所示,过点 M 作 MN ⊥ BD 交 BD 于点 N , 则 MN ⊥平面 BCD ,且 MN = 12=12.又 CD ⊥ BD , BD =CD =1,∴ S △ BCD =12.∴三棱锥 A -MBC 的体积V A -MBC =V A -BCD -V M -BCD=13·S △ BCD -13MN ·S △ BCD18= 1 12.[2014·广东卷 ] 如图 1-2所示, 四边形 ABCD 为矩形, PD ⊥平面 ABCD , AB =1, BC =PC =2,作如图 1-3折叠:折痕 EF ∥ DC ,其中点 E , F 分别在线段 PD , PC 上,沿EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M ,并且 MF ⊥ CF .(1证明:CF ⊥平面 MDF ;(2求三棱锥 M -CDE 的体积.图 1-2图 1-3[2014·湖北卷 ] 如图 1-5,在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F , P , Q , M , N 分别是棱 AB , AD , DD 1, BB 1, A 1B 1, A 1D 1的中点.求证:(1直线 BC 1∥平面 EFPQ ;(2直线 AC 1⊥平面 PQMN.20. 证明:(1连接 AD 1,由 ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体, 知 AD 1∥ BC 1.因为 F , P 分别是 AD , DD 1的中点,所以 FP ∥ AD 1.从而 BC 1∥ FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ,且 BC 1⊄平面 EFPQ ,故直线 BC 1∥平面 EFPQ.(2如图,连接 AC , BD 11由 CC 1⊥平面 ABCD , BD ⊂平面 ABCD ,可得 CC 1⊥ BD .又AC ∩ CC 1=C ,所以 BD ⊥平面 ACC 1A 1.而 AC 1⊂平面 ACC 1A 1,所以 BD ⊥ AC 1.因为 M , N 分别是 A 1B 1, A 1D 1的中点, 所以 MN ∥ BD , 从而 MN ⊥ AC 1. 同理可证 PN ⊥ AC 1.又PN ∩ MN =N ,所以直线 AC 1⊥平面 PQMN .1920[2014·湖南卷 ] 如图 1-3所示,已知二面角α-MN -β的大小为 60°,菱形 ABCD 在面β内, A , B 两点在棱 MN 上,∠ BAD =60°, E 是 AB 的中点, DO ⊥面α(1证明:AB ⊥平面 ODE ;(2求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.18. 解:(1证明:如图,因为 DO ⊥ α, AB ⊂ α,所以 DO ⊥ AB .连接 BD ,由题设知,△ ABD 是正三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE ⊥ AB . 而DO ∩ DE =(2因为 BC ∥ AD 与 OD 所成的角, 即∠ ADO 是 BC 与 OD 所成的角.由 (1知, AB ⊥平面 ODE ,所以 AB ⊥ OE . 又 DE ⊥ AB ,于是∠ DEO 是二面角α-MN -β的平面角,从而∠ DEO =60°.不妨设 AB =2,则 AD =2,易知 DE =在 Rt △ DOE 中, DO =DE ·sin 60°=32连接 AO ,在 Rt △ AOD 中, cos ∠ ADO =DOAD32234. 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 34.[2014·江苏卷 ] 如图 1-4所示,在三棱锥 P - ABC 中, D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点.已知 P A ⊥ AC , P A =6, BC =8, DF =5.求证:(1直线 P A ∥平面 DEF ; (2平面 BDE ⊥平面 ABC .图 1-416. 证明: (1因为 D , E 分别为棱 PC , AC 的中点,所以 DE ∥ P A . 又因为 P A ⊄平面 DEF , DE ⊂平面 DEF ,所以直线 P A ∥平面 DEF .(2因为 D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点, P A =6, BC =8,所以 DE ∥ P A , DE 12P A =3, EF =12BC =4. 又因为 DF =5,所以 DF 2=DE 2+EF 2, 所以∠ DEF =90°, 即 DE ⊥ EF . 又 P A ⊥ AC , DE ∥ P A , 所以 DE ⊥AC .21因为AC ∩ EF =E , AC ⊂平面 ABC , EF ⊂平面 ABC ,所以 DE ⊥平面 ABC .又 DE ⊂平面 BDE ,所以平面 BDE ⊥平面 ABC .[2014·山东卷 ] 如图 1-4所示,四棱锥 P -ABCD 中, AP ⊥平面 PCD , AD ∥ BC , AB =BC =12AD , E , F 分别为线段 AD , PC 的中点.图 1-4(1求证:AP ∥平面 BEF ; (2求证:BE ⊥平面 P AC .18. 证明:(1设AC ∩ BE =O ,连接 OF , EC . 由于 E 为 AD 的中点,AB =BC =12, AD ∥ BC ,所以 AE ∥ BC , AE =AB =BC ,所以 O 为 AC 的中点.又在△ P AC 中, F 为 PC 的中点,所以 AP ∥ OF . 又 OF ⊂平面 BEF , AP ⊄平面 BEF , 所以 AP ∥平面 BEF .(2由题意知, ED ∥ BC , ED =BC , 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE ∥ CD .又 AP ⊥平面 PCD ,所以 AP ⊥ CD ,所以 AP ⊥ BE . 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE ⊥ AC .又 A P ∩ AC =A , AP , AC ⊂平面 P AC , 所以 BE ⊥平面 P AC .22[2014·江西卷 ] 如图 1-1所示, 三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中, AA 1⊥ BC , A 1B ⊥BB 1.(1求证:A 1C ⊥ CC 1; (2若 AB =2, AC 3, BC 7, 问 AA 1为何值时, 三棱柱 ABC - A 1B 1C 1体积最大,并求此最大值.19. 解:(1证明:由 AA 1⊥ BC 知 BB 1⊥ BC . 又 BB 1⊥ A 1B ,故 BB 1⊥平面BCA 1,所以 BB 1⊥ A 1C .又 BB 1∥ CC 1,所以 A 1C ⊥ CC 1. (2方法一:设 AA 1=x .在 Rt △ A 1BB 1中, A 1B =A 1B 1-BB 1=4-x .同理, A 1C A 1C 1-CC 13-x . 在△ A 1BC 中,cos ∠ BA 1C =A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ·A 1C =-x 2(4-x (3-xsin ∠ BA 1C =12-7x (4-x (3-x所以 S △ A 1BC =12A 1B ·A 1C ·sin ∠ BA 1C =12-7x 2从而三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的体积 V =S 直 ·l =S △ A 1BC ·AA 1=x 12-7x 2因为 x 12-7x =12x -7x =-7⎝⎛x 2-672+367 所以当 x 67427AA 1=427V 取到最大值 377(2方法二:过 A 1作 BC 的垂线,垂足为 D ,连接 AD .由 AA 1⊥ BC , A 1D ⊥ BC ,得 BC ⊥平面 AA 1D ,故 BC ⊥ AD . 又∠ BAC =90°,所以S △ ABC 12·BC =12AB ·AC ,得 AD 27设 AA 1=x . 在 Rt △ AAA 1D AD -AA 1S △ A 1BC =12A 1D ·从而三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的体积 V =S 直 ·l =S △ A 1BC ·AA 1=x 12-7x 2因为 12-7x =12x -7x -7⎝⎛x 2672367,所以当 x 67427AA 1=427V 取到最大值 37723[2014·辽宁卷 ] 如图 1-4所示, △ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直, 且 AB =BC =BD =2,∠ ABC =∠ DBC =120°, E , F , G 分别为 AC , DC , AD 的中点.(1求证:EF ⊥平面 BCG ; (2求三棱锥 D -BCG 的体积.附:锥体的体积公式 V =13Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高.19. 解:(1证明:由已知得△ ABC ≌△ DBC , 因此 AC =DC .又 G 为 AD 的中点,所以 CG ⊥ AD ,同理 BG ⊥ AD . 又BG ∩ CG =G ,所以 AD ⊥平面 BGC . 又 EF ∥ AD ,所以 EF ⊥平面 BCG.(2在平面 ABC 内,作 O . 由平面 ABC ⊥平面 BCD ,知 AO ⊥平面 BDC .又 G 为 AD 的中点,所以 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△AOB 中, AO =AB ·sin 603,所以V 三棱锥 D -BCG =V 三棱锥 G -BCD =13·S △ DBC ·h =13×12BD ·BC ·sin 12032=12.[2014·全国新课标卷Ⅰ ] 如图 1-4,三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中,侧面 BB 1C 1C 为菱形, B 1C 的中点为 O ,且 AO ⊥平面 BB 1C 1C.图 1-4(1证明:B 1C ⊥ AB ;(2若 AC ⊥ AB 1, ∠ CBB 1=60°, BC =1, 求三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的高.19. 解:(1证明:连接 BC 1,则 O 为 B 1C 与 BC 1的交点. 因为侧面 BB 1C 1C 为菱形,所以 B 1C ⊥ BC 1. 又 AO ⊥平面 BB 1C 1C ,所以 B 1C ⊥ AO , 由于BC 1∩ AO =O ,故 B 1C ⊥平面 ABO . 由于 AB ⊂平面 ABO ,故 B 1C ⊥ AB .(2作 OD ⊥ BC ,垂足为 D ,连接 AD . 作 OH ⊥ AD ,垂足为 H . 由于 BC ⊥ AO , BC ⊥ OD ,且AO ∩ OD =O , 故 BC ⊥平面 AOD ,所以 OH ⊥ BC . 又 OH ⊥ AD ,且AD ∩ BC =D , 所以 OH ⊥平面 ABC .24因为∠ CBB 1=60°,所以△ CBB 1为等边三角形,又 BC =1,可得 OD =4. 因为 AC ⊥ AB 1,所以 OA =12B 1C =12.由 OH ·AD =OD ·OA ,且 AD =OD +OA 74,得 OH =2114. 又 O 为 B 1C 的中点, 所以点 B 1到平面 ABC 的距离为 217故三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的高为217[2014·四川卷 ] 在如图 1-4所示的多面体中,四边形 ABB 1A 1和 ACC 1A 1 都为矩形.(1若 AC ⊥ BC ,证明:直线 BC ⊥平面 ACC 1A 1.(2设 D , E 分别是线段 BC , CC 1的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M ,使直线 DE ∥平面 A 1MC ?请证明你的结论.。

立体几何一、兴趣导入（Topic-in ）:小明数学不好被父母转学到一间教会学校。

半年后数学成绩全A 。

妈妈问：“是修女教得好？是教材好？是祷告？...”“都不是，”小明说，“进学校的第一天，我看见一个人被钉死在加号上面，我就知道...他们是玩真的。

”二、学前测试(Testing):1.（凉山州市高中2014届二诊题）如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1的球体的表面积是（ D ） A.21+B.222+C.31 D.22+2.（成都七中2014届三模）已知是两条不同直线，是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m n n m ⊥⊂=⋂,,αβα，则βα⊥；②若,,βα⊥⊥m m 则βα//； ③若m n n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥；④若n m n m //,//,//βα，则βα//， 其中正确的命题是（ B ）A ①②B ②③C ③④D ①③3（资阳市2014届高考模拟）右图中的网格是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为____ 16______．三、知识讲解(Teaching)：1、柱、锥、台的表面积与体积的计算公式的关系表面积相关公式 表面积相关公式棱柱2S S S S l c =+= 侧全底侧侧棱长直截面周长，其中 圆柱222S r rh ππ=+全 （r ：底面半径，h ：高） 棱锥S S S =+侧全底圆锥2S r rl ππ=+全 （r ：底面半径，l ：母线长）棱台S S S S =++侧全上底下底圆台22('')S r r r l rl π=+++全（r ：下底半径，r’：上底半径，l ：母线长）体积公式体积公式棱柱 V S h = 底高圆柱 2V r h π=棱台 1('')3V S S S S h =++棱锥 13V S h = 底高圆锥213V r h π=圆台221('')3V r r r r h π=++二、球的计算1. 球的体积是对球体所占空间大小的度量，它是球半径的函数，设球的半径为R ，则球的体积343V R π=球2. 球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的函数，设球的半径为R ，则球的表面积为24S R π=球面，它是球的大圆面积的4倍3. 用一个平面去截球，所得到的截面是一个圆. 即：球的表面积是球的大圆面积的4倍．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径． 三、直线、平面平行的判定及其性质： 内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容 符号表示分析解决问题的常用方法 直线与平面 平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

1．(交汇新) 如图，ABCDEF－A1B1C1D1E1F1是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)，过FB作圆柱的截面交下底面于C1E1，已知FC1＝13.(1)证明：四边形BFE1C1是平行四边形；(2)证明：FB⊥CB1；(3)求三棱锥A－A1BF的体积．[历炼]1．解析：(1)证明：因为圆柱的上、下底面平行，且FB，C1E1是截面BFE1C1与圆柱上、下底面的交线，所以FB∥C1E1.依题意得，正六边形ABCDEF是圆内接正六边形，所以正六边形的边长等于圆的半径，即AB＝AF＝1.在△ABF中，由正六边形的性质可知，∠BAF ＝120°，所以BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB·AF cos 120°＝2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，即BF ＝ 3.同理可得C 1E 1＝3，所以FB ＝C 1E 1，故四边形BFE 1C 1是平行四边形．(2)证明：连接FC ，则FC 是圆柱上底面圆的直径，故∠CBF ＝90°，即BF ⊥BC.又∵ B 1B ⊥平面ABCDEF ，BF ⊂平面ABCDEF ，∴ BF ⊥B 1B.∵ B 1B ∩BC ＝B ，∴ BF ⊥平面B 1BCC 1.又∵ B 1C ⊂平面B 1BCC 1，∴ FB ⊥CB 1.(3)解：连接F 1C 1，则四边形CFF 1C 1是矩形，且FC ＝F 1C 1＝2，FF 1⊥F 1C 1.在Rt △FF 1C 1中，FF 1＝FC 21－F 1C 21＝3，∴ 三棱锥A 1－ABF 的高为3.S △ABF ＝12AB·AF sin ∠BAF＝12×1×1×32＝34，∴ 三棱锥A 1－ABF 的体积V A 1－ABF ＝13S △ABF ·FF 1＝34.又三棱锥A 1－ABF 的体积等于三棱锥A －A 1BF 的体积，∴ 三棱锥A －A 1BF 的体积等于34.2．(角度新)如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1.(1)求证：AF ⊥平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；(3)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F －ABCD ，V F －CBE ，求V F －ABCD ∶V F －CBE .3．(背景新)如图甲，⊙O 的直径AB ＝2，圆上两点C ，D 在直径AB 的两侧，且∠CAB ＝π4，∠DAB ＝π3.沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：图甲图乙(1)求三棱锥C －BOD 的体积；(2)求证：CB⊥DE；(3)在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．2.解析：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF.∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB.又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF.∵CB∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF.(2)证明：设DF的中点为N，连接AN，MN，则MN綊12CD.又AO綊12CD，则MN綊AO，所以四边形MNAO为平行四边形，∴OM∥AN.又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF.(3)解：过点F作FG⊥AB于G.∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，∴V F－ABCD＝13S ABCD·FG＝23FG.∵CB⊥平面ABEF，∴V F－CBE＝V C－BFE＝13S△BFE·CB＝13·12EF·FG·CB ＝16FG ， ∴ V F －ABCD ∶V F －CBE ＝4∶1.3．命题立意：本题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．解析：(1)解：∵ C 为圆周上一点，且AB 为直径，∴ ∠C ＝π2.∵ ∠CAB ＝π4，∴ AC ＝BC.∵ O 为AB 的中点，∴ CO ⊥AB.∵ AB ＝2，∴ CO ＝1.∵ 两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直，且其交线为AB ，∴ CO ⊥平面ABD ，∴ CO ⊥平面BOD.∴ CO 就是点C 到平面BOD 的距离．又∵ S △BOD ＝12S △ABD ＝12×12×1×3＝34，∴ V C －BOD ＝13S △BOD ·CO ＝13×34×1＝312.(2)证明：在△AOD 中，∵ ∠OAD ＝π3，OA ＝OD ，∴ △AOD 为正三角形．又∵ E 为OA 的中点，∴ DE ⊥AO.∵ 两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ，∴ DE ⊥平面ABC.∴ CB ⊥DE.(3)存在满足题意的点G，G为BD的中点．证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD.∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴OG∥AD.∵OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD.在△ABC中，∵O，F分别为AB，BC的中点，∴OF∥AC，∴OF∥平面ACD.∵OG∩OF＝O，∴平面OFG∥平面ACD.又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD.。