三角形与全等三角形重点知识点

====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 12.1 全等三角形一、全等形：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．说明：如果两个或两个以上的图形全等，那么这些图形放在一起就能完全重合。

这里的重合包括两层含义：一是形状相同，二是大小相等，二者缺一不可。

二、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，•重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．全等用符号用“≌”表 示．如△ABC 与△DEF 全等，则可表示为△ABC ≌△DEFA B C D E F B(E)注意：1、对应边与对边，对应角与对角的区别。

对应边、对应角是对两个三角形而言的，对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的。

2、在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置时，这样容易写出对应边、对应角。

3、由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，•公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

说明：1、因为全等三角形能够完全重合，所以对应边上的中线、高线和对应角的角平分线也相等，全等三角形的周长相等，面积相等。

很多情况下，全等三角形的性质可以用来证明线段或角相等。

2、全等三角形有传递性，若△ABC 与△DEF 全等，△DEF 与△MNP 全等，则△ABC 与△MNP 也全等。

三角形全等的判定（SSS ）一、判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）．二、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．三、例题：如图所示，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．。

初中全等三角形知识点一、全等三角形的概念。

1. 定义。

- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

- 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

例如，若ABC与DEF全等，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点；AB 与DE、BC与EF、AC与DF是对应边；∠ A与∠ D、∠ B与∠ E、∠ C与∠ F是对应角。

2. 表示方法。

- 全等用符号“≅”表示，读作“全等于”。

例如ABC≅ DEF。

书写时要注意对应顶点写在对应的位置上。

二、全等三角形的性质。

1. 对应边相等。

- 若ABC≅ DEF，则AB = DE，BC=EF，AC = DF。

2. 对应角相等。

- 若ABC≅ DEF，则∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，∠ C=∠ F。

三、全等三角形的判定。

1. SSS（边边边）- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 例如：在ABC和DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC=DF，则ABC≅DEF。

2. SAS（边角边）- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 例如：在ABC和DEF中，若AB = DE，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。

这里要注意必须是两边的夹角相等。

3. ASA（角边角）- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 例如：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，AB = DE，∠ B=∠ E，则ABC≅DEF。

4. AAS（角角边）- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

- 例如：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。

5. HL（斜边、直角边）（只适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

- 例如：在Rt ABC和Rt DEF中，若AB = DE（斜边），AC = DF（直角边），则Rt ABC≅ Rt DEF。

全等三角形的重难点一、全等三角形的基本性质全等三角形是两个或两个以上的三角形，其所有元素都完全相同，且每对对应点到对称轴的距离相等。

全等三角形的性质是判定全等三角形的依据，也是解决全等三角形相关问题的关键。

二、全等三角形的判定方法1、边边边（SSS）：三边完全相等的两个三角形全等。

2、边角边（SAS）：两边及夹角相等的两个三角形全等。

3、角边角（ASA）：两角及夹边相等的两个三角形全等。

4、角角边（AAS）：两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等。

5、斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等。

三、全等三角形的重难点1、对于全等三角形的性质和判定方法的理解和运用是全等三角形的重难点之一。

学生需要熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并能灵活运用到各种问题中。

2、对于全等三角形的证明方法，学生也需要掌握。

证明全等三角形需要按照一定的步骤进行，如归纳、演绎、推理等，这些步骤需要学生熟练掌握并运用。

3、全等三角形的应用也是全等三角形的重难点之一。

全等三角形的应用非常广泛，包括几何、代数、三角函数等领域。

学生需要学会如何将全等三角形应用到各种问题中，提高解题能力。

4、在解决实际问题时，如何根据问题的要求和已知条件选择合适的全等三角形也是学生需要掌握的技能。

学生需要具备分析问题和解决问题的能力，能够根据问题的特点选择合适的解决方法。

5、在解决全等三角形问题时，学生还需要注意细节问题。

全等三角形的证明需要严谨的逻辑和细致的观察力，学生需要注意证明过程中的细节问题，如符号、公式、定理的运用等。

四、如何突破全等三角形的重难点1、多做练习题：通过大量的练习题，让学生更好地理解和掌握全等三角形的性质和判定方法，提高解题能力。

2、培养逻辑思维能力：全等三角形的证明需要严谨的逻辑思维能力，因此，学生需要培养自己的逻辑思维能力，掌握演绎、推理等方法。

3、加强观察能力：全等三角形的证明需要细致的观察能力，学生需要注意证明过程中的细节问题，如符号、公式、定理的运用等。

学习重点：三角形全等的条件．难点：三角形全等的条件的探索．知识点：1．三角形全等的条件．2了解三角形的稳定性．一、三角形全等的条件首先我们看只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？只给定一条边时(如图中的实线)由图可知：这三个三角形不全等．只给定一个角时夹角(如图中的实线)．由画图可知：这三个三角形也不全等．因此，只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形一定全等．接下来我们探索：给出两个条件时，所画的三角形一定全等吗？（1）三角形的一个内角为30°，一条边为3厘米（如图）．这三个三角形不全等．（2）三角形的两个内角分别为30°和50°（如图）．它们看起来的形状一样，但大小不一样．这两个三角形不能重合，所以也不全等．（3）三角形的两条边分别为4cm、6cm（如图）．它们也不全等．我们通过画图、观察、比较知道，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．那么给出三个条件时，又怎样呢？如果给出三个条件画三角形，有四种可能．即：三条边，三个角，两边一角和两角一边．下面我们来逐一探索．1．已知三角形的三个内角如果已知一个三角形的三个内角分别为40°、60°、80°．能画出这个三角形，但有的能完全重合，有的不重合，所以它们不一定重合（如图）．通过比较得知：给出三角形的三个内角，得到的三角形不一定全等．2．已知三角形的三条边如果已知一个三角形的三条边分别是4cm，5cm和7cm．画出这个三角形如图．比较可知：这样的所有三角形都是全等的．由此可知：已知三角形的三边，则画出的所有三角形都全等．这样就得到了三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等．简写为：“边边边”或“SSS”．如下图．这是用符号语言来表示该三角形全等的条件．注意：三边对应相等是前提条件，三角形全等是结论．3．已知三角形的“两角一边”如果“两角一边”条件中的边是两角所夹的边．如：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，我们来画出这个三角形（如图）．经过比较，它们全等．也就是说已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么由此得到的三角形都是全等的．由此我们得到了判定三角形全等的另一条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为：“角边角”或“ASA”．如图，在△ABC和△DEF中．在“两角一边”中，除“两角及其夹边”外，还有两角及一角的对边．如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，如：三角形的两个角分别为60°和45°，一边长为3cm（如图）．已知两角及一角的对边画三角形时，不容易画，但如果把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”时，就可以了．因为三角形的内角和为180°，已知两个内角，那么第三个内角就可求出，这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”．（1）如果60°角所对的边为3cm时，画出的图形如下：经比较：这样得到的三角形都全等．（2）如果45°角所对的边为3cm时，画出的图形如下．经比较：这样条件的所有三角形都全等．由此我们又得到了判定三角形全等的另一条件：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．如图．在△ABC和△DEF中．4．已知三角形的两边及一角如果已知一个三角形的两边及一角，有两种情况：两边及这两边的夹角，两边及一边的对角．先看第一种情况下，两个三角形是否全等．如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角．如：三角形的两条边分别为2.5cm、3.5cm．它们的夹角为40°（如图）．经过比较，如果已知三角形的两边及其夹角，那么所得的三角形都全等．由此我们得到了三角形全等的条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简称“边角边”或“SAS”．如图，在△ABC和△DEF中．接下来我们研究第二种情况．如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角．如：两条边分别为2.5cm、3.5cm．长度为2.5cm的边所对的角为40°（如图）．按上述条件画的三角形不唯一，存在不同的三角形满足上述条件，如图．由图可知：这两个三角形不全等．所以，两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等．因此可知：“两边及一角”中的两种情况中只有一种能判定三角形全等．即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．二、三角形的稳定性如果我们取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？图(1)是用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的．如：房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固和稳定．图(2)的形状是可以改变的，它不具有稳定性．那么要使图(2)的框架不能活动，在相对的顶点上钉一根木条，使它变为两个三角形框架即可．在生活中经常会看到采用三角形的结构去建筑．就是用到了它的稳定性．小结：通过上表可以看出，两个三角形全等至少要有三个条件对应相等；我们常用主要是“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”．。

全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容，它对于解决几何问题有着关键作用。

下面就来对全等三角形的相关知识点进行一个全面的归纳。

一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。

也就是说，如果两个三角形全等，那么它们相对应的边的长度是一样的。

2、全等三角形的对应角相等。

对应角的度数完全相同。

3、全等三角形的周长相等。

因为对应边相等，所以三条边相加的总和也相等。

4、全等三角形的面积相等。

由于形状和大小完全相同，所占的空间大小也就一样。

三、全等三角形的判定方法1、“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

比如有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。

2、“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

例如在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么这两个三角形全等。

3、“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。

4、“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，这两个三角形就是全等的。

5、“斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果斜边 AC ＝斜边DF，直角边 BC ＝直角边 EF，那么这两个直角三角形全等。

四、寻找全等三角形的对应边和对应角的方法1、有公共边的，公共边是对应边。

例如三角形 ABC 和三角形 ABD，AB 就是两个三角形的公共边，是对应边。

八年级数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边与腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之与大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之与3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A与它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角与定理：三角形三个内角的与等于180度。

证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角与为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角与1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角与：n边形内角与等于（n-2）*1808、多边形的外角与：360度注：有些题，利用外角与，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n 边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。

学习必备 欢迎下载全等三角形 全等三角形 知识梳理性质对应角相等 对应边相等二、基础知识梳理 一）、基本概念1、“全等 ”的理解 全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（ 1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理、知识网络全等形 全等三角形边边边SSS边角边SAS判定 角边角ASA角角边 AAS斜边、 直角边HL角平分线作图性质与判定定理应用1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1） 已知条件中有两角对应相等， 可找：①夹边相等（ ASA ）②任一组等角的对边相等 （AAS ） （2） 已知条件中有两边对应相等， 可找①夹角相等 （SAS ） ②第三组边也相等 （SSS ） （3） 已知条件中有一边一角对应相等， 可找①任一组角相等 （AAS 或 ASA ） ②夹等角的另一组边相等 （SAS ） 5. 经典例题透析 证明图形全等 基础版—— “ SSS ” （1）已知： AB=DC ，AD=BC ，求证：∠ A= ∠C2）如图， E 是 AD 上的一点， AB=AC ，AE=BD ，CE=BD+DE ，求证：∠ CED=∠ B+ C基础版—— “ SAS ”（3）如图， AD ∥ BC ，AD=CB ， AE=CF ，求证： BE=DF4） 已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在同一条直线上， EA AD ，FD AD ， AE DF ， AB DC ．求证： ACE DBF ．基础版——“ ASA ”与“ AAS ”（5）如图，已知： AB ＝ AC ，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和CD 相交 于点 O ，∠B ＝∠ C ，求证： BD ＝CEDB举一反三：变式 1】如图，△ABC ≌△ DBE . 问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？（ 6）如图，△ABC 中，∠BAC=90 ，AB ＝AC ，直线 MN 过点 A ， 于 E ，求证： DE ＝BD+CE基础版 HL ”（ Rt △） N（7）如图， AB AC ，AB//CD ，AC=CD ，BC=DE ，BC 与 DE 相交于点 O ，求 证： DE BC 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ ABD ≌△ ACE ， AB =AC ，写出图中的对应边和对应角、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠ B=50°，BF=2，求∠ DFE的度数与EC举一反三：如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°求证：（ 1）CD⊥AB；（ 2） EF∥ AC.变式 1】类型二：全等三角形的证明3、如图， AC＝BD，DF＝CE，∠ ECB＝∠ FDA，求证：△ ADF≌△BCE．举一反三：【变式 1】如图，已知 AB∥DC，AB＝ DC，求证：AD∥BC【变式 2】如图，已知 EB⊥ AD于 B，FC⊥ AD 于 C，且 EB＝ FC，AB＝CD．求证 AF ＝DE．、类型三：综合应用4、如图，AD为ΔABC的中线。

全等三角形知识点归纳
全等三角形是指两个三角形的所有对应的边和角都相等。

以下是
关于全等三角形的一些重要知识点：
1. 全等三角形的定义：两个三角形的所有对应的边和角都相等时，这两个三角形就是全等三角形。

2. 全等三角形的性质：
a. 边-边-边（SSS）判定准则：如果两个三角形的三条边相等，那
么它们是全等的。

b. 边-角-边（SAS）判定准则：如果两个三角形的一条边和夹角的
对边的长度和角度相等，那么它们是全等的。

c. 角-边-角（ASA）判定准则：如果两个三角形的两个角和他们夹
着的边的长度相等，那么它们是全等的。

d. 角-角-角（AAA）判定准则：两个三角形的三个角度分别相等，
不能确定它们是全等的。

3. 全等三角形的性质与应用：
a. 全等三角形的对应部分相等：如果两个三角形全等，则它们的
对应边长相等，对应角度相等，对应的高、中线、中位线等也相等。

b. 全等三角形的性质可用于解决实际问题，例如测量无法直接测
量的长度或角度，或在建造、设计等领域中的应用。

4. 全等三角形的判定准则：在判定两个三角形是否全等时，根
据给定的信息应选择适合的判定准则进行判断，如SSS、SAS、ASA等。

以上是关于全等三角形的一些基本知识点和性质总结。

要确定两
个三角形全等，一般需要给出足够的边长和角度信息，利用相应的判
定准则进行判断。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心〞。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

∠1=∠2=∠BAC.要区分三角形的“角平分线〞与“角的平分线〞，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心〞。

要求会的题型：①三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度“等积法〞，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。

三角形的稳定性1. 三角形具有稳定性2. 四边形及多边形不具有稳定性三角形的内角1. 三角形的内角和定理三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

2. 直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余〔相加为90°〕。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

三角形的外角1. 三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

2. 三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

多边形1. 多边形的概念在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n－3〕条，其所有的对角线条数为.3. 正多边形各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

〔两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为假设三角形的三内角相等，那么必有三边相等，反过来也成立〕要求会的题型：①告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n－3〕条，其所有的对角线条数为.将边数带入公式即可。

多边形的内角和1. n边形的内角和定理n边形的内角和为2. n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。