2019学年高二数学下学期周练(十六)文

2019-2020学年广西省南宁三中重点班高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．108．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣211．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．1012．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为．15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.220．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x+1＞1}＝{x|x＞﹣1}，∁B A＝[3，+∞）．故选：A．2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：z（i﹣2）＝5，则z＝﹣＝﹣＝﹣2﹣i．则在复平面内，＝﹣2+i对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点【分析】对f（x）求导，分析f′（x）的正负，进而得f（x）的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f（1），f（3），可得函数f（x）的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．解：f′（x）＝3x2﹣4x，令f′（x）＝3x2﹣4x＞0，解得x＜0或x＞，所以当x∈[﹣1，0），（，3]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，C错误，所以x＝0是它的极大值点，D正确，因为f（0）＝0，f（3）＝27﹣2×9＝9，所以函数f（x）的最大值为9，A正确，因为f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3，f（）＝﹣2×＝﹣，所以函数f（x）的最小值为﹣3，B正确，故选：C．5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数，可得故f（x）＝+x 在[，+∞）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域解：函数f（x）＝+x的定义域为[，+∞）∵y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数故f（x）＝+x在[，+∞）上为增函数∴当x＝时，函数取最小值，无最大值，故函数f（x）＝+x的值域是[，+∞）故选：A．6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用求出结果．解：①若p∧q为假命题，则命题p和q为一真一假和全部为假，故p，q均为假命题错误；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0；故错误．③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数；当函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数，则a＞1．故③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；正确．④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数则φ＝kπ+（k∈Z），故错误．故选：A．7．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．10【分析】令g（x）＝x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值．解：令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．8．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，构造函数h（x）＝f（x）﹣2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围．解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，假设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2对于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）为增函数，∴h'（x）＝+x﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，+x﹣2≥0，则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），则＝6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，则x＝0，x＝1．g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．故选：B．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣2【分析】根据题意，分析可得f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数，据此可得f（100）＝﹣f（），结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（）＝f（），则有f（﹣x）＝f（+x），又由f（x）为定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数；则f（100）＝f（﹣+67×）＝f（﹣）＝﹣f（），又由f（）＝f（+）＝f（﹣）＝f（）＝﹣1＝1；故f（100）＝﹣f（）＝﹣1；故选：B．11．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，结合图象容易解答本题．解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝0．【分析】进行对数的运算即可．解：原式＝3+2×0﹣3×1+3×0＝0．故答案为：0．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为（0，3]．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．解：定义域（0，+∞），＝，易得当0＜x≤3时，f′（x）≤0，函数单调递减，故函数的单调递减区间（0，3]，故答案为：（0，3]15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，由导数值等于0求得a 的值．解：由y＝ax2﹣lnx，得：，∴y′|x＝1＝2a﹣1．∵曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1＝0，即a＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是[﹣，+∞）．【分析】由已知可知x＝2是f′（x）＝0唯一的根，进而可转化为﹣k＝在x＞0时没有变号零点，构造函数g（x）＝，x＞0，结合导数及函数的性质可求．解：函数定义域（0，+∞），＝，由题意可得，x＝2是f′（x）＝0唯一的根，故e x+kx2＝0在（0，+∞）上没有变号零点，即﹣k＝在x＞0时没有变号零点，令g（x）＝，x＞0，则，当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝2时，g（x）取得最小值g（2）＝，故﹣k即k．故答案为：[﹣）．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．【分析】（1）在△ADC中，应用正弦定理即可得出答案；（2）从面积公式入手，将面积的最大值问题转移到边的上面，然后通过已知条件，应用余弦定理找出边的关系．解：（1）∵∠B＝，，BD＝2，∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝在△ADC中，由正弦定理得：又，∴∠C＝（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B，即∴，∵BD＝3CD．∴，当且仅当时，取“＝”．所以△AC面积的最大值为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．【分析】（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，由三角形中位线定理可得DE∥BC1，再由直线与平面平行的判定，可得BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，证明B1H⊥平面ABC，得B1H 是三棱柱的高，且，再求出三角形ABC的面积，然后利用等体积法求三棱锥A﹣DCA1的体积．解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，∵D是AB的中点，E是AC1的中点，∴DE∥BC1．又DE⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，∵BC＝BB1，∠CBB1＝60°，∴△CBB1是等边三角形，得B1H⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴B1H⊥平面ABC，∴B1H 是三棱柱的高，且．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴．则．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.2【分析】（1）分别求出＝3，＝16，从而＝10，＝254，＝47，求出＝≈0.933，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出K2＝18.75＞10.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）依题意＝＝3，＝＝16，故＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，则＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得K2的观测值为：＝＝＝18.75＞10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，故X的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）＝+3×＝．20．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．解：（1）可设F（c，0），M（0，b），可得﹣＝﹣，直线FM的方程为bx+cy＝bc，即有＝，解得b＝1，c＝，a＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2＝x12+y12﹣1＝x12+1﹣﹣1＝x12，即|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|＝（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|＝（x1+x2）+﹣x1+﹣x2＝2，∴△ABF的周长是定值2．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．【分析】（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）＝的最大值即可得出a的范围；（II）令＝t，根据分析法构造关于t的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．解：（I）f′（x）＝lnx﹣4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）＝e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有两解，即4a＝有两解，由（1）可知0＜a＜．由lnx1﹣4ax1+2＝0，lnx2﹣4ax2+2＝0，可得lnx1﹣lnx2＝4a（x1﹣x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞lnx1﹣lnx2，只需证明＞ln，令h（x）＝﹣lnx（0＜x＜1），则h′（x）＝＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即＞lnx在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由＝，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝4代入f（x）中，然后将f（x）写为分段函数的形式，再根据f（x）＞9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，可得f（x）min≥5﹣a，再解关于a的不等式可得a的范围．解：（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣4|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＜﹣1或，∴不等式的解集为；（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（2x﹣a）|＝|a﹣1|，∴f（x）min＝|a﹣1|．∵对任意x∈一、选择题，恒有f（x）≥5﹣a，∴f（x）min≥5﹣a，即|a﹣1|≥5﹣a，∴a≥3，∴a的取值范围为[3，+∞）．。

洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. i -C. 1D. 1-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i +⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°【★答案★】B 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3.对下列三种图像，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)i ix y i=，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511y x=+，若15118 iix ==∑，则151iiy ==∑（）A. 17B. 86C. 101D. 255【★答案★】D【解析】【分析】先计算181.215x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117y=⨯+=，从而可求得结果.【详解】因为15118 iix ==∑，所以18 1.215x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117y=⨯+=，所以1511715255 iiy==⨯=∑，故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【★答案★】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题目所给等式，归纳出正确结论.【详解】根据题目所给等式可知：667771118,111829a b a b +=+=+=+=，88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =++，23Q a a =+++（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q <B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（）且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）A. 22020B. 21009C. 21010D. 21011【★答案★】D 【解析】 【分析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出212021132021*********S +=+++=⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.928B.1928C.2764D.3764【★答案★】C 【解析】 【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【★答案★】B 【解析】 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22||z z-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=.故★答案★为：5.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为22222431114123d +⨯+⨯+==++.故★答案★为：14.【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到★答案★.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.（2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12yx+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12yx+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，所以假设不成立，即12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．【解析】试题分析：解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.试题解析:（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40（2）=因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a a N n +=+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1{}na 是等差数列. 【★答案★】（1）234331,,452a a a ===，32n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据*1131,()3nn na a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n na a n a +=+∈N ，得到11113n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a n a +=+∈N ， 令1n =，可得1213333314a a a ===++； 令2n =，可得2323335a a a ==+； 令3n =，可得343331362a a a ===+； 所以234331,,452a a a ===， 猜想：数列{}n a 的通项公式32n a n =+.（2）由*13()3n nn a a n a +=+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即11113n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以111a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以13为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点()1,2A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．【★答案★】（1）22142y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则12122211AB AD y y x x k k +=--+--，由此导出结果.【详解】（1）由题意，可得e =c a =22，代入A （1，2）得22211a b+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程22142y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2-4=0 所以△=-8m 2+64＞0，所以22-＜m ＜22．x 1+x 2=-22m ，21244m x x -⋅=设直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =121212121222222111y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+=2222222222042142m m m m --+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()111ln(1)231n n N n *+>++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）14a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()10,,()f x a x+∞'=-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为34，从而314a -=，解得14a = ,（2）若0a ≤，则()10,f x a x->'=则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()10.f x a x -<'=所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .令1n x n =+，则1ln1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有11211ln,ln ,......,ln .223311n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得12111lnln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即1111ln......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭故()111ln 1 (231)n n +>++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2018-2019学年山西省高二下学期3月联合考试数学（文）试题一、单选题1．设命题:0p x ∀>，||x x =，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，||x x ≠ B ．00x ∃>，00x x ≠ C ．0x ∀„，||x x = D ．00x ∃„，00x x =【答案】B【解析】根据非命题的要求得解. 【详解】因为“任意”的否定是“存在”，“等于”的否定是“不等于” 故选B. 【点睛】本题考查非命题，注意区别非命题与命题的否定，属于基础题. 2．在复平面内，复数211(1)i --的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】先化简复数21111(1)2i i -=--，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数21111(1)2i i -=--，其共轭复数为112i +，对应的点是11,2⎛⎫⎪⎝⎭， 所以位于第一象限. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．已知(){}2ln 9A x y x ==-+，{}2xB y y ==，则A B =I（ ）A ．(]0,3B ．(]0,ln9C ．()3,0-D ．()0,3【答案】D【解析】求函数定义域得集合A ，求函数值域得集合B ，取交集即可得答案． 【详解】由函数y ＝ln （9﹣x 2），得9﹣x 2＞0， 即（x +3）（x ﹣3）＜0，解得：﹣3＜x ＜3， 所以集合A ＝（﹣3，3），由函数2xy =＞0，得集合B ＝（0，+∞）， 则A ∩B ＝()0,3． 故选D ． 【点睛】本题考查交集的运算及函数定义域值域的求法，属于基础题.4．在建立两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数2R 判断，其中拟合效果最好的为（ ） A ．模型1的相关指数2R 为0.3 B ．模型2的相关指数2R 为0.25 C ．模型3的相关指数2R 为0.7 D ．模型4的相关指数2R 为0.85【答案】D【解析】根据相关指数2R 的大小作出判断即可得到答案． 【详解】由于当相关指数$212211()=()ni i i nii y y y R y ==---∑∑的值越大时，意味着残差平方和$21()nii i yy =-∑越小，即模型的拟合效果越好， 所以选项D 中的拟合效果最好． 故选D ． 【点睛】本题考查回归分析中相关指数的意义，解题的关键是熟悉相关指数与拟合度间的关系，属于基础题．5．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，若254116,17a a a a =+=，则124a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．34B ．255C ．240D ．511【答案】B【解析】由等比数列的性质可得241516a a a a ==,解得15,a a ,即可得到q ,进而利用等比数列前n 项和求解即可. 【详解】因为24151516,17,1a a a a a a q ==+=>, 所以151,16a a ==,则2q =,所以882125521S -==-故选:B 【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查等比数列的前n 项和.6．“2m =-”是“直线()110m x y +++=与直线()2420x m y +++=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求m 的值. 【详解】若直线()110m x y +++=与直线()2420x m y +++=互相垂直， 则()()2140m m +++=，解得2m =-.所以“2m =-”是“直线()110m x y +++=与直线()2420x m y +++=互相垂直”的充要条件，选C. 【点睛】如果直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， （1）若12l l ⊥，则12120A A B B +=；（2）若BDC ∠，则1212A B B A =且1212A C C A ≠或1212B C C B ≠；（2）若12,l l 重合，则1212A B B A =，1212A C C A =，1212B C C B =.7．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】由题画出可行域,由目标函数可得233zy x =-,进而在可行域内找到截距最大值的点,代回即为所求. 【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示,由可行域可知,平移直线233z y x =-,当直线233zy x =-经过点(1,1)时,z 可取得最小值为1-. 故选:B 【点睛】本题考查由线性规划求最值,考查数形结合思想.8．某大学外语系有6名志愿者，其中志愿者1A ，2A ，C 只通晓英语，志愿者1B ，2B ，3B 只通晓俄语．现从这6名志愿者中选出2名，组成一个能通晓两种语言的小组，则C被选中的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．25【答案】C【解析】先列出这6名志愿者中选出2名通晓两种语言的情况,再列出其中C 被选中的情况,进而求解即可. 【详解】从这6名志愿者中选出2名通晓两种语言的小组,有()11,B A ,()12,B A ,()1,B C ,()21,B A ,()22,B A ,()2,B C ,()31,B A ,()32,B A ,()3,B C ,共有9个基本事件,其中C 被选中的基本事件有()()()123,,,,,B C B C B C ,共3个, 所以所求概率为3193=, 故选:C 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．8C ．83D ．163【答案】C【解析】先根据三视图画出直观图，然后在直观图中，结合三视图求得底面积和高，再代入三棱锥体积公式求解. 【详解】三视图的直观图如图所示，过点P 作平面ABC 的垂线，垂足为D ，连接,BD AD ，如图所示：结合三视图数据，得11184223323P ABC ABC V S PD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V . 故选：C 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和理解辨析的能力，属于基础题. 10．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则在表中数字2019出现在（ ）A ．第44行第82列B ．第45行第82列C ．第44行第83列D ．第45行第83列 【答案】D【解析】观察数阵的规律，每行的最后一个数分别是1，4，9，16，…，可归纳出第n 行的最后一个数是2n ，然后根据2019，找平方数是2019附近的正整数即可. 【详解】因为每行的最后一个数分别是1，4，9，16，…， 可归纳出第n 行的最后一个数是2n ， 因为22441936,452025==，所以2019出现在第45行，又2019193683-=， 所以2019出现在第45行第83列. 故选：D 【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11．设F 1，F 2是椭圆C ：22159x y +=的两个焦点，P 为C 上一点，且|PF 1|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的内切圆的半径r ＝（ ） A．BCD【答案】C【解析】首先根据椭圆的定义以及性质求出三角形的边长，从而求出面积，再根据()12S r a b c =++即可求出△PF 1F 2的内切圆的半径r【详解】因为椭圆C 的标准方程为22159x y +=，所以3,2a c ==，因为|PF 1|＝|F 1F 2|，所以2242PF a =-=，所以()112442225S r r =⨯=⨯⨯++⇒=故选:C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及性质、三角形面积公式，属于基础题。

2018—2019学年度通榆一中高二下学期第二次质量检测数 学 试 卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则它的直角坐标为( )A ．(3，1)B ．(－1，3)C ．(1，3)D ．(－3，－1) 3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除 4．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0，1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2 5．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化成直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝46．已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝ ( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A.a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜08．点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6 9．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．项目 嗜酒 不嗜酒 总计 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 总计90092992其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3 10．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②④11．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 12．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A.在区间)1,1(e ，（1,e)内均有零点B.在区间)1,1(e内有零点，在区间（1,e)内无零点C.在区间)1,1(e 内无零点，在区间（1,e)内有零点D.在区间)1,1(e，（1,e)内均无零点二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．14．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为__________． 15．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______． 16．在极坐标系中，若过点A (4,0)的直线l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.18．(本小题满分12分) )极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？19．(本小题满分12分) 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：xyOA BM分类 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 总计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．P (K 2≥k ) 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.828K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）20．(本小题满分12分)直线l 与抛物线x y =2交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,与x 轴相交于点M , 且121-=y y .(I) 求证:M 点的坐标为)0,1(; (II) 求AOB ∆的面积的最小值.21．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．22．(本小题满分12分) 已知函数21()()2x f x e x ax a =-+∈R . (I)当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；(II)若1a e <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12.1A 2C 3B 4A 5B 6D 7B 8A 9C 10C 11 D 12C二 、填空题 （每题5分，共20分）13． -2 14．θ＝π2＋α 15.y ^＝x ＋14 16．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 17.（10分）解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， 因为a ，b 都是实数，所以⎩⎨⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18.（12分）解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，半径为12的圆． 将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0到直线的距离为|－12－2|1＋3＝54＞1，∴直线与圆相离．19. （12分）解：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人， 所以抽到积极参加班级工作的学生的概率P 1＝2450＝1225，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人， 所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生概率P 2＝1950.(2)由列联表知，K 2的观测值 k ＝50×（18×19－6×7）225×25×24×26≈11.538，由11.538＞10.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．20.（12分）解：(I)设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=,代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根， ∴1210=-=y y x ,即M 点的坐标为(1, 0).(II)由方程①,m y y =+21,121-=y y ,且 1||0==x OM , 于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1, ∴当0=m 时,AOB ∆的面积取最小值1.1212121=⋅=∆PF PF S DF F 21.（12分）解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．22. （12分）解：(I)由题可得()xf x e x a '=-+， 设()()xg x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a>-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.………………6分(II)由(I)知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-， 所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0te t a -+=，即ta t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増， 所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+，令()()2111,2xh x e x x x =-+>，则()1()0xx x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122te t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. (12)分。

高中数学 高二 人教A 版（2019） 选择性必修 第二册第四章 数列 4.2 等差数列 课时练习一、单选题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =（ ） A ．28B ．32C ．16D ．242．已知{}n a 为等差数列，公差2d =，24618a a a ++=，则57a a +=（ ） A ．8B ．12C ．16D ．203．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(3),2n n n a S +=且315,S =则8S =（ ） A ．60B ．70C ．80D ．904．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++的值为（ ） A ．1n n- B ．1n n+ C ．11n n -+ D ．1n n + 5．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，598S =，数列{}2n n S 是公差为7的等差数列，则{}n a 的最小项为（ ） A ．2-B ．1516-C ．1-D ．146．在等差数列{}n a 中，234+=a a ，568a a +=，则4a =（ ）A ．4B ．72C ．3D ．27．在等差数列{an }中，a 1＋a 9＝10，则a 5＝（ ） A ．5 B ．6 C ．8D ．98．已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且1n n S nT n =+，那么87a b的值为（ ） A ．1312B ．1413C ．1514D ．16159．已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30S =（ ）A ．351B ．353C ．531D ．53310．两个数1与5的等差中项是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3241,8a a a =+=，则9S ＝（ ） A ．60B ．62C ．63D ．8112．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12345a a a a a ++=+，560S =，则5a =（ ） A ．16 B ．20 C ．24D ．26二、填空题13．已知等差数列{}n a 中，34a =，710a =，则数列{}n a 的前9项和9S =____________． 14．已知数列{}n a 中，213a a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*11322,N n n n S S S n n n +-++=+≥∈．若对任意*N n ∈，都有1n n a a +<，则首项1a 的取值范围是______．15．已知数列{}n a 满足12a =，()11nn n a a ++=-，则数列{}n a 的通项公式为______．16．数列{}n a 满足12n n a a +=+，且11a =，则它的通项公式n a =______．17．已知数列{}n a 的首项121a =，且满足()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 中最小的一项是第___________项.三、解答题18．已知数列{}12,n n n a T a a a =，且13111,,310(2)n T T n T ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭为等差数列．(1)求n a 的通项公式；(2)若对任意正整数n ，都有12n T T T m +++<，求m 的取值范围．19．设{}n a 是等差数列，2d =，且312,,4a a a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.20．在数列{}n a 中，11a =，对*n N ∀∈，1(1)(1)n n na n a n n +-+=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 21．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =．求4a ．22．设等差数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 满足：11b =，22b =，且111n n n n n n a b b a b b +++-=-（n *∈N ）．(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)求数列()111n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ．23．对于数列{}n a ，定义{}n a 为数列{}n a 的差分数列，其中1,*n n n a a a n +=-∈N ．如果对任意的*n ∈N ，都有1n n a a +>，则称数列{}n a 为差分增数列． （1）已知数列1,2,4,,16,24x 为差分增数列，求实数x 的取值范围；（2）已知数列{}n a 为差分增数列，且121a a ==，*n a ∈N ．若2021k a =，求非零自然数k的最大值；（3）已知项数为2k 的数列{}3log n a （1,2,3,,2n k =）是差分增数列，且所有项的和等于k ，证明：13k k a a +<．答案：1．B【分析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列，结合题干数据，可得解【解析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质， 可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =. ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列， 可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =. 故选：B 2．D【解析】利用等差数列的性质求解. 【解析】24618a a a ++=，4318a ∴=， 解得46a =， 64210a a d ∴=+=， 576220a a a ∴+==.故选：D 3．C【分析】根据递推公式，结合前n 项和与通项的关系可得21n a n =+，再求解8S 即可 【解析】由题意23n n S na n =+，故当1n =时，1123a a =+，即13a =.当2n =时，()222326a a +=+恒成立，当3n =时，3323930S a =+=，解得37a =.当3n ≥时，()()112131n n S n a n --=-+-，故()1213n n n a na n a -=--+，即()()1213n n n a n a --=--，()()1131131212221n n n a a a n n n n n n n --⎛⎫=-=-- ⎪-------⎝⎭，故1331122n n a a n n n n --=-----，故当3n ≥时，311na n n ⎧⎫-⎨⎬--⎩⎭为常数列，故33321122n a a n n -=-=--，故3211n a n n =+--，即()()321213n a n n n =+-=+≥，又12315a a a ++=，故215375a =--=，故当1,2n =时21n a n =+也成立，故()*21N n a n n =+∈.故()()32122n n n S n n ++==+，故881080S =⨯=故选：C 4．A【分析】利用累加法求得通项公式n a ，【解析】由已知212a a -=，324a a -=，436a a -=，12(1)n n a a n --=-，2n ≥， ∴2n ≥时，()()()()()()()12132112120242112n n n n n a a a a a a a a n n n -⎡⎤--+⎣⎦=+-+-+-=++++-==-， ∴231111111223(1)n a a a n n+++=+++⨯⨯-1111111112231n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．【注意】本题考查累加法求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知1()n n a a f n +-=，可用累加法求通项公式，已知1()n na f n a +=可用累乘法求通项公式． 5．C【分析】根据给定条件，求出数列{}2nn S 的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式，再探讨其最小项作答.【解析】依题意，559232368S =⨯=，因数列{}2n n S 是公差为7的等差数列，则55227(5)71n n S S n n =+-=+，因此712n n n S +=，当2n ≥时，117176137222n n n n n nn n na S S --+--=-=-=，而114a S ==不满足上式，当2n ≥时，11167137720222n n n n n n n n a a +++----=-=，即当3n ≥时，1n n a a +>， 于是当3n ≥时，数列{}n a 是递增的，而214a =-，31a =-，则min 3()1n a a ==-，所以{}n a 的最小项为1-. 故选：C 6．C【分析】已知两式相加，利用等差数列的性质求解．【解析】因为()()()()235626354412a a a a a a a a a +++=+++==，所以43a =. 故选：C ． 7．A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【解析】因为a 5是a 1和a 9的等差中项，所以2a 5＝a 1＋a 9，即2a 5＝10，a 5＝5. 故选： A 8．C【分析】设等差数列{}n a 、{}n b 的公差分别为1d 、2d ,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【解析】设等差数列{}{},n n a b 的公差分别为1d 和2.d11111,12n n S S a n T n T b =∴==+,即1112a b =2112122223S a d T b d +∴==+,即11232b d d =- ∴ 311312333334S a d T b d +∴==+,即21143d d b =- ∴ 由∴∴解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++ 故选：C 9．B【分析】根据题意讨论n 的奇偶，当n 为奇数时，可得23n n a a +-=，按等差数列理解处理，当n 为偶数时，可得23n n a a ++=，按并项求和理解出来，则30S 按奇偶分组求和分别理解处理．【解析】依题意，()213nn n a a ++-=， 显然，当n 为奇数时有23n n a a +-=，即有313a a -=，533a a -=，…，21213n n a a +--=， 令21n n b a -=，故13n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列， 故32n b n =-；当n 为偶数时有23n n a a ++=，即423a a +=，643a a +=，…，2223n n a a ++=， 于是，()()3013292430S a a a a a a =+++++++()()()12152462830b b b a a a a a =+++++++++⎡⎤⎣⎦14315273330233532+=⨯++⨯=+=，故选：B ． 10．B【解析】由等差中项的定义可得结果.【解析】设两个数1与5的等差中项是a ，则2156a =+=，解得3a =， 故选：B【注意】本题主要考查了等差中项的定义，属于基础题. 11．C【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式直接求解. 【解析】设等差数列的公差为d ,由题可得1111238a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,即111258a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, 所以数列{}n a 的通项公式12(1)23n a n n =-+-=-, 所以1999()632a a S +==. 故选:C. 12．A【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得1,a d ，由514a a d =+可得结果. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，12345a a a a a ++=+，113327a d a d ∴+=+，解得：14a d =，5154530602S a d d ⨯∴=+==，解得：2d =，18a ∴=， 51416a a d ∴=+=. 故选：A. 13．63【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式及等差数列性质计算作答. 【解析】等差数列{}n a 中，34a =，710a =， 所以193799()9()6322a a a a S ++===. 故答案为：63 14．137,156⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据给定的递推公式，分段求出数列{}n a 的表达式，再利用给定不等关系列出不等式组求解作答.【解析】*2,N n n ≥∈，21132n n n S S S n +-++=+，有2213(1)2n n n S S S n ++++=++，于是得2163n n n a a a n ++++=+，有3216(1)3n n n a a a n +++++=++，因此36n n a a +-=， 数列31331{},{},{}n n n a a a -+分别是以234,,a a a 为首项，6为公差的等差数列，而32114S S S ++=，213a a =，即有32121114a a a a a a +++++=，解得31149a a =-， 又43215a a a ++=，则有411115(149)361a a a a =---=+，于是得*N n ∈，3113131136(1),1496(1),616(1)n n n a a n a a n a a n -+=+-=-+-=++-， 因对任意*N n ∈，都有1n n a a +<，则12a a <，3133132n n n n a a a a -++<<<，从而得1111111133149149616136a a a aa a a a <⎧⎪<-⎪⎨-<+⎪⎪+<+⎩，解得1137156a <<，所以首项1a 的取值范围是137(,)156.故答案为：137(,)156【注意】思路注意：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 15．()()111n n a n +=-+.【分析】先由1(1)nn n a a ++=-，得()1121n n n a a ++++=-，进一步得到()221nn n a a +-=-⋅-，再分奇偶项来求通项公式即可． 【解析】因为()11nn n a a ++=-， 所以()1121n n n a a ++++=-，得()221nn n a a +-=-⋅-．所以当n 为奇数时，22n n a a +-=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=-．又12a =，()11nn n a a ++=-，所以23a =-，所以1a ，3a ，5a ，…，21k a -，…构成以2为首项，2为公差的等差数列， 2a ，4a ，6a ，…，2k a ，…构成以3-为首项，2-为公差的等差数列．所以当n 是奇数时，121212n a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎭=⎝+； 当n 是偶数时，()32112n n a n ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭．故数列{}n a 的通项公式为()()111n n a n +=-+．故答案为：()()111n n a n +=-+.16．23n -+##32n -【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答. 【解析】因数列{}n a 满足12n n a a +=+，即12n n a a +-=-， 因此数列{}n a 是首项为1，公差为2-的等差数列， 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)(2)23n a n n =+-⨯-=-+.故答案为：23n -+ 17．5【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为112325n n a a n n +=+--，即证得25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，由此求得25na n -的表达式，进而求得n a 的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当5n =时n a 有最小值．【解析】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825na n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--， 其对称轴10.55.252n ==，所以{}n a 的最小的一项是第5项. 故答案为：5.【注意】关键点注意：利用配凑法将题目所给递推公式转化成等差数列是解题的关键． 18．(1),N 2n na n n +=∈+； (2)[1,)+∞.【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算可得11(2)2n n n T +=+，再利用n a 与n T 的关系即得；（2）利用裂项相消法可得1211222n T T T n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而即得.（1）由题可知13111,235T T ==，∴等差数列1(2)n n T ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差211312d -==-， ∴()11111(2)22n n n n T +=+-=+，∴2(1)(2)n T n n =++，当2n ≥时，12n n n T n a T n -==+， 又∴1113a T ==，∴,N 2n na n n +=∈+； （2）由（1）可知2112(1)(2)12n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，∴12111111112222123341222n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由题可知m 1≥， ∴m 的取值范围是[1,)+∞. 19．（1）210n a n =-；（2）20-.【分析】（1）由312,,4a a a +成等比数列，可得2312(+4)a a a =，而公差2d =，从而可求出1a ，进而可求出等差数据列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2821092n n S n n n -+-=⨯=-，从而可求出其最小值 【解析】（1）因为132+4a a a ，，成等比数列，所以2312(+4)a a a =，即1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-，所以82(1)210n a n n =-+-=-（2）由（1）知210n a n =-，所以2282109819()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--； 因为N n +∈所以当4n =或者5n =时，n S 取到最小值20-【注意】此题考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列的前n 项和公式的应用，考查等比数列，考查计算能力，属于基础题20．（1）2n a n =；（2）1nn + . 【解析】（1）先由11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+，进而说明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，求出na n，即可求得n a ； （2）先由（1）中求得的n a 求出n b ，再利用裂项相消法即可求得其前n 项和n S ． 【解析】（1）1(1)(1)n n na n a n n +-+=+， ∴111n n a a n n +-=+，又111a=， ∴数列{)na n是首项、公差均为1的等差数列． ∴()111na n n n=+-⨯=，所以2n a n =； （2）由（1）得2n a n =，111(1)1n b n n n n ∴===-++， 111111(1)()()1223111n nS n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++．【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题． 21．46a =【分析】设等差数列的公差为d ，由等差数列通项公式性质知4862+=a a a ，求得610a =，进而求得公差d ，即可得解.【解析】设等差数列的公差为d ，则在等差数列{}n a 中， 486220a a a +==，610a ∴= 7612102d a a ∴==-=- 4723166a a d ∴=--==22．(1)21n a n =- (2)()21n nS n =+【分析】(1)根据题意将1n =代入递推公式中，求出2a ，进而得出等差数列的公差，利用定义法求出等差数列的通项公式；(2)由(1)可知n a 的通项公式，代入递推公式，变形可得11n n b b n n +=+，即n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，求出n b ，利用裂项相消求和法即可求出n S . (1)因为()*111n n n n n n a b b a b b n N +++-=-∈所以当1n =时，12121223a b b a b b a -=-⇒=，则212a a -= 所以等差数列{}n a 的公差为2， 由等差数列的通项公式可得：21n a n =- (2)由（1）可知121n a n +=+，代入111n n n n n n a b b a b b +++-=-中可得：()()11121211n n n n n n b b n b b n b b n n +++--=+-⇒=+，故数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，又111b =，故1n n b b n n=⇒=， 则：()()11111112121n n a b n n n n +⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭所以()1111111112122232121n nS n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 23．（1）810x <<；（2）65；（3）证明见解析．【分析】（1）利用差分增数列的定义可得关于x 的不等式组，即可求解；（2）根据∴1n a +>∴n a ，121a a ==，*n a N ∈，可得∴2a >∴10a =，∴21a ，∴32a ，⋯，∴1k a k -，*k N ∈，从而可得(2)(1)202112k k --+，即可求解；（3）利用反证法推出矛盾，即可得证．【解析】（1）数列1，2，4，x ，16，24的差分数列为1，2，4x -，16x -，8， 由题意可得4162282432xx x +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩，解得810x <<，故实数x 的取值范围是(8,10)． （2）由题意，△10a =，△n a N ∈，因为数列{}n a 为差分增数列，所以对任意的N*n ∈，都有△1n a +>△n a ， 所以△2a >△10a =，△21a ，同理，△32a ，⋯，△1k a k -，*k N ∈， 所以当2k 时，1k a a =+△1a +△2a +⋯+△1(2)(1)112(2)12k k k a k ---+++⋯+-=+， 所以(2)(1)202112k k --+，解得65k ，所以非零自然数k 的最大值为65． （3）证明：假设13k k a a +，由题意知0(1n a n >=，2，3，⋯，2)k ，因为项数为2k 的数列3{log }n a 所有项的和等于k ， 所以31323332log log log log k a a a a k +++⋯+=， 即31232log k a a a a k ⋯=，所以12323kk a a a a ⋯=，因为数列{}3log (1n a n =，2，3，⋯，2)k 是差分增数列， 所以3133231log log log log n n n n a a a a +++-<-，所以121n n n n a a a a +++<，因此322412321k k a a a a a a a a -<<<⋯<， 所以对任意的1m k -，*m ∈N ，都有1212m k mm k ma a a a ++--<，即1221m k m m k m a a a a +-+-<， 所以1222132213k k k k k a a a a a a a a --+>>>⋯>，所以12323k k a a a a ⋯>与12323kk a a a a ⋯=矛盾，故假设不成立，所以13k k a a +<．【注意】关键注意：对于数列的新定义的题，解题的关键是理解清楚题意，熟练掌握数列中常见的解题方法.。