人教A版高中数学选修4-5同步练习-复习课

第二讲讲明不等式的基本方法复习课学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范．1．比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件．证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号．2．综合法综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论．证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．3．分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．4．反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题．5．放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.类型一 比较法证明不等式例1 若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 证明 ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2－2(xy ＋yz ＋zx ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bax 2＋a by 2－2xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c by 2＋b cz 2－2yz ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ax －a b y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c by －b c z 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a cz －c a x 2≥0， ∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立． 反思与感悟 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．跟踪训练1 设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2.证明 a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn ≥0，∴a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2. 类型二 综合法与分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋， 因此只需证(a ＋b ＋c )2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ， 由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)可知，原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc， 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1， ∴要证原不等式成立，只需证1abc≥a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca . ∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．反思与感悟 证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁．跟踪训练2 已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 证明 方法一 要证1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0， 只需证1a －b ＋1b －c ＞1a －c. ∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c＞0，∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c成立， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0成立． 方法二 ∵a ＞b ＞c ， ∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c ＞0， ∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c ， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 类型三 反证法证明不等式例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法的“三步曲”：(1)否定结论．(2)推出矛盾．(3)肯定结论．其核心是在否定结论的前提下推出矛盾．跟踪训练3 已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )＜f (b )＋f (－a )，求证：a ＜b .证明 假设a ＜b 不成立，则a ＝b 或a ＞b .当a ＝b 时，－a ＝－b ，则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )， 于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a ＞b 时，－a ＜－b ，由函数y ＝f (x )的单调性，可得f (a )＞f (b )，f (－b )＞f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )＞f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． ∴a ＜b .类型四 放缩法证明不等式例4 已知n ∈N ＋，求证：2(n ＋1－1)＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n .证明 ∵对k ∈N ＋，1≤k ≤n ，有 1k ＝22k＞2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )，∴1k＞2(k ＋1－k )． ∴1＋12＋13＋…＋1n＞2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)．又∵对于k ∈N ＋，2≤k ≤n ，有 1k ＝22k＜2k ＋k －1＝2(k －k －1)，∴1＋12＋13＋…＋1n＜1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n －n －1)＝2n －1＜2n . ∴原不等式成立．反思与感悟 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．跟踪训练4 设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]， 求证：|f (a )－f (b )|≤|a －b |. 证明 |f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1|， ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1，∴0≤a ＋b ≤2， －1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.1．已知p: ab ＞0，q ：b a ＋a b≥2，则p 与q 的关系是( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．以上答案都不对 答案 C解析 由ab ＞0，得b a ＞0，a b＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2， 又b a ＋a b≥2，则b a ，a b必为正数， ∴ab ＞0.2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12答案 D解析 假设a ，b ，c 都小于12，则a ＋2b ＋c <2与a ＋2b ＋c ＝2矛盾． 3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96，∵9＞8，∴b ＞a .b 与c 比较：b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315，∵35＞53，∴b ＞c .a 与c 比较：a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510，∵32＞25，∴a ＞c .∴b ＞a ＞c ，故选C.4．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．证明∵(a＋b)(a n＋b n)－2(a n＋1＋b n＋1)＝a n＋1＋ab n＋ba n＋b n＋1－2a n＋1－2b n＋1＝a(b n－a n)＋b(a n－b n)＝(a－b)(b n－a n)．(1)若a＞b＞0，则b n－a n＜0，a－b＞0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(2)若b＞a＞0，则b n－a n＞0，a－b＜0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(3)若a＝b＞0，(b n－a n)(a－b)＝0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．1．比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号．2．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法．3．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab 得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4 (a≥0)，则P与Q的大小关系为( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，即P <Q .4．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤b D ．a ≥b答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n )2≥0， ∴a ≥b .5．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d答案 B解析 将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad . 6．若A ，B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R ，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 二、填空题7．lg9·lg11与1的大小关系是________．答案 lg9·lg11＜1 解析 ∵lg9＞0，lg11＞0，∴lg9·lg11＜lg9＋lg112＜lg992＜lg1002＝1.∴lg9·lg11＜1.8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________． 答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1， ∴(x －1)(x 2＋1)＞0. ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1.9．用反证法证明“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 是锐角”时，应假设________． 答案 ∠B 不是锐角解析 “∠B 是锐角”的否定是“∠B 不是锐角”．10．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 答案 1760解析 设水池底长为x (x ＞0)m ， 则宽为82x ＝4x(m)．水池造价y ＝82×120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ×2＋8x ×2×80＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋1 280＝1 760(元)， 当且仅当x ＝2时取等号． 三、解答题11．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明 因为1n2＜1n (n －1)＝1n －1－1n(n ∈N ＋，n ≥2)，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n＜2. 所以原不等式得证．12．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N ＋)，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 证明 ∵n (n ＋1)＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＞1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 又n (n ＋1)＜(n ＋1)＋n 2＝2n ＋12， ∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＜32＋52＋…＋2n ＋12＝n 2＋2n 2＜(n ＋1)22. ∴n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 四、探究与拓展13．已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，若a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，则等号成立的条件为________． 答案 ay ＝bx解析 a 2x ＋b 2y －(a ＋b )2x ＋y＝a 2y (x ＋y )＋b 2x (x ＋y )－xy (a ＋b )2xy (x ＋y )＝(ay －bx )2xy (x ＋y )≥0， 当且仅当ay ＝bx 时等号成立．14．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13. (1)解 令n ＝1，得S 21－(－1)S 1－3×2＝0，即S 21＋S 1－6＝0，所以(S 1＋3)(S 1－2)＝0，因为S 1＞0，所以S 1＝2，即a 1＝2.(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，得(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0，因为a n ＞0(n ∈N ＋)，S n ＞0，从而S n ＋3＞0，所以S n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n (n ∈N ＋)．(3)证明 设k ≥2，则1a k (a k ＋1)＝12k (2k ＋1)＜1(2k －1)(2k ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1， 所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋1a 3(a 3＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜12×3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝16＋16－12(2n ＋1)＜13. 所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.。

第二讲证明不等式的基本方法1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解.2.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法・，利用代数恒等变换以及放大.缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法.分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的.但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景.所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中.2. 1 比较法1.了解用作差比较法证明不等式.2.了解用作商比较法证明不等式.3.提高综合应用知识解决问题的能力.1.作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a > bUa——b_____ 0a=b0a—b0a < b0a——b_____ 0答案：> =<思考1比较两个代数式值的大小：X与X2-x+l.解析：当x=l时，x2=x2—x+1;当X>1 时，x2>x2—x+1; 当X<1 时，x2<x2—x+l.2.作商法:由于当方>0时，a>b今¥>\,因此要证明a>b(b>0)9可以转化为证明与之等价的f>l(^>0),这种证明方法即为作商法.思考2求证：1618>1816-证明:釦分层演探日圍画国］1.设m=a~\-2bf〃=a+Z/+i,贝0( )A・m>n B・m三n C・m<n D・mWn答案:D2・已知实数a, b, c 满足b+c=6—4a+3/, c—方=4—4。

复习课[整合·网络建立 ][警告·易错提示 ]1．不等式性质的两个易错点．(1)忽视不等式乘法中“大于 0”这一条件．(2)求有关式子的取值范围时，经常因变形不等价致使错误．2．应用基本不等式求最值的三个注意点．(1)“一正”：各项或各因数都是正数．(2)“二定”：积 (或和 )为定值．(3)“三等”：等号建立的条件．3．绝对值不等式的两个注意点．(1)解绝对值不等式、重点是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉绝对值符号．(2)在应用零点分段法分类议论时，要注意做到分类标准一致，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形．专题一基本不等式的应用在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件常常简单从题设中获取或考证，而“定值”则需要必定的技巧和方法．常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“ 1 的代换”等．[例 1]x2－2x＋2已知 x＞1，求函数 y＝的最小值．2x－22－2x＋2（x－1）2＋ 11≥ ，解：＝x＝＝1（－）＋y2x－22（x－1）2x－11当且仅当 x－1＝x－11，即 x＝2 时，等号建立，因此当 x＝2 时， y 有最小值，最小值为 1.概括升华1．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是一定考证等号建立的条件，若等号不在给定的区间内，往常利用函数的单一性求最值．2．基本不等式的功能在于“和”与“积”的互相转变，使用基本不等式求最值时，给定的形式不必定能直接合适基本不等式，常常需要拆添项或配凑因式 (一般是凑和或积为定值的形式 )，结构出基本不等式的形式再进行求解．[变式训练]已知＞，＞，且1＋9＝1，求 x＋y 的最小值．x0y0x y解：法一：由于 x＞0，y＞0，1＋9＝1，x y1 9y 9x y 9x因此 x＋y＝1·(x＋y)＝x＋y(x＋y)＝x＋y＋10≥2x ·y＋10＝6＋10＝16，当且仅当y＝9x，且1＋9＝1，x y x y因此当 x＝4， y＝12 时， x＋y 有最小值为 16.1 9法二：由于由x＋y＝1 得(x－1)(y－9)＝9(定值 )，且 x＞0，y＞0，因此 x＞1，y＞9，因此 x＋ y＝(x－1) ＋ (y－9) ＋ 10≥2 （x－1）（ y－9）＋ 10＝16，当且仅当x－1＝y－ 9，x＝4，即时，等号建立，（x－1）（ y－9）＝ 9＝y 12因此 x＋y 有最小值为 16.专题二绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式指的是 ||a|－|b|| ≤|a±b| ≤|a＋|b|.这是一类特别的不等式，它反应的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关系，常用于解决最值问题、不等式恒建立问题及不等式的证明．[例 2]求函数y＝|x－2|＋|x＋5|的最小值．解： y＝|x－2|＋|x＋5|≥|(x－2)－(x＋5)|＝7.当且仅当 (x－2)(x＋5)≤0，即－ 5≤x≤2 时等号建立，故函数的最小值为7.概括升华绝对值三角不等式表现了 “放缩法 ”的一种形式，但放缩的 “尺度 ”还要认真掌握，以下边的式子：|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a ＋b|.我们较为常用的形式是 |a|－|b|≤|a ＋b|≤|a|＋ |b|，但有些学生就会误以为只好这样，而本质上， |a ＋b|是不小于 |a|－|b|的．变式训练·江苏卷 设 ＞ ， － ＜a ，|y －2|＜a，求证：[ ] (2016)a 0|x1| 33|2x ＋y －4|＜a.证明：由于 |x － 1|＜a ，|y －2|＜a，a ＞0，33因此 |2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋ |y －2|＜2a ＋a＝a ，33故不等式建立．专题三绝对值不等式的解法解绝对值不等式的基本思想就是去掉绝对值符号， 使不等式变为不含绝对值的一般不等式或不等式组， (1)利用 |ax ＋b| ≤c 和|ax ＋b| ≥c 型的解法能够解决形如 |f(x)|≤g(x)，c ≤|ax ＋ b| ≤b 的不等式．(2)依据绝对值的意义，分类议论去掉绝对值符号，转变为分段函数，或利用平方去掉绝对值符号，是常用的思想方法．[例 3]解不等式 |x －1|＋|2－ x|＞3＋x.解：把原不等式变为 |x －1|＋|x －2|＞ 3＋x ，令|x －1|＝0，得 x ＝1；令 |x －2|＝0，得 x ＝2.这样， 1，2 的对应点把数轴分红了三个部分．(1)当 x ≤1 时， x －1≤0，x －2＜0，因此原不等式变为－ (x －1)－(x －2)＞3＋x ，解得 x ＜0.x≤1，由得 x＜0.x＜0(2)当 1＜x≤2 时， x－1＞ 0，x－2≤0，因此原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋ x，解得 x＜－ 2.1＜x≤2，由得 x∈?.x＜－ 2(3)当 x＞2 时， x－1＞0，x－ 2＞0，因此原不等式变为x－1＋x－2＞3＋ x，解得 x＞6.x＞2，由得 x＞6.x＞6综上所示，原不等式的解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．概括升华1．|ax＋b|≤c(c＞0)，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法．c＞0，则|ax＋b|≤c 等价于－ c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 等价于 ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c，而后依据 a，b 的值解出即可．2．对于形如 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－ a|＋|x－b|≤c 的不等式，可通过分类议论或利用绝对值的几何意义求解．利用绝对值的几何意义或许画出函数的图象去解不等式，更加直观、简捷，它表现了数形联合思想方法的优胜性．[变式训练 ]解不等式|x＋2|＋|1－x|＜x＋4.解：原不等式为 |x＋2|＋|x－1|＜x＋4.因此可把全体实数分为三部分：x＜－ 2，－ 2≤x＜1，x≥1.于是原不等式的解集是下边三个不等式组的解集的并集：x＜－ 2，(1)得解集为 ?.－x－2＋1－x＜ x＋4，(2)－2≤x＜1，得－ 1＜ x＜1. x＋2＋1－x＜ x＋4，(3)x≥1，得 1≤x＜3. x＋2＋x－1＜ x＋4，因此原不等式的解集是{x|－1＜x＜3}．专题四数形联合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大概能够分为两种情况：借助形的生动和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或许是借助数的精准性和严实性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的．[例 4]解不等式|x＋1|＋|x|＜2.解：法一：由绝对值的几何意义知，|x＋1|表示数轴上点 P(x)到点 A(－1)的距离，|x|表示数轴上点 P(x)到点 O(0)的距离．由条件知这两个距离之和小于 2.由数轴 (如图①所示 )可知原不等式的解集为3 1x－2＜x＜2 .图①图②法二：令 f(x)＝|x＋1|＋|x|－2，2x－1（x≥0），则 f(x)＝－1（－ 1＜x＜0），－2x－3（x≤－1）.作函数 f(x)的图象 (如图②所示 )，31由图象可知，当f(x)＜0 时，－2＜x＜2.3 1故原不等式的解集为 x －2＜x＜2 .概括升华1．利用函数图象解题，直观快捷，注意作图的正确性．2．在解决数学识题时，将抽象的数学语言与直观的图象联合起来，使抽象思想和形象思想联合起来，实现抽象观点与详细形象的联系和转变，即把数目关系转变为图象的性质来确立或许把图象的性质转变为数目关系的问题来研究．[变式训练 ]已知对于x的不等式|3x－1|＋x＜ax有解，求a的取值范围．解：设 y1＝|3x－1|＋x，y2＝ax，则 y1＝分别作出两函数的图象，以下图．1 1－2x，x＜3，1 4x－ 1，x≥3.1 1当 y2＝ax 的图象过点 A 3，3时， a＝1，若 y1＜y2有解，则 y1的图象与 y2的图象应有交点，且y1在 y2的下方应有图象，故 a＞ 1 或 a＜－ 2，即 a 的取值范围是 (－∞，－ 2)∪(1，＋∞)．。

人教A版高中数学选修4-5全册同步检测题目录第一章不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质试题1.1.2基本不等式试题1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式试题1.2.1绝对值三角不等式试题1.2.2绝对值不等式的解法试题第1章不等式和绝对值不等式测评第二章证明不等式的基本方法2.1比较法试题2.2综合法与分析法试题2.3反证法与放缩法试题第2章证明不等式的基本方法测评第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式试题3.2一般形式的柯西不等式试题3.3排序不等式试题第3章柯西不等式与排序不等式测评第四章用数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法试题4.2用数学归纳法证明不等式举例试题第4章用数学归纳法证明不等式测评选修4-5模块综合测评1.不等式的基本性质课后篇巩固探究A组1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是()A.ac>bcB.a c>b cC.log a(a-c)>log b(b-c)D.aa-c >bb-cc<0,∴-c>0.又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac<bc.故aa-c −bb-c=ab-ac-ab+bc(a-c)(b-c)=c(b-a)(a-c)(b-c)>0.即aa-c >bb-c.2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是()A.a²lg x>b²lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a²2x>b²2xa>b,当lg x≤0时,a²lg x>b²lg x不成立,故A错误.当x=0时,ax2=bx2,故B错误.若a=0,b=-1,则a2<b2,故C错误.∵2x>0,∴a²2x>b²2x,故D正确.3.若角α,β满足-π2<α<β<3π2,则α-β的取值范围是()A.(-2π,2π)B.(-2π,0)C.(-π,0)D.(-π,π)-π<β<3π,所以-3π<-β<π.又α-β=α+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是()A.1a >1bB.ba>1C.a2>b2D.ab<a+b-1a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab<a+b-1.5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则m+n=3,m-n=-2,所以m=1,n=5.因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以12≤12(a+b)≤52,-52≤52(a-b)≤152,故-2≤3a-2b≤10.6.已知0<a<1,则a,1a,a2的大小关系是.(从小到大)a-1=(a+1)(a-1)<0,∴a<1.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2<a<1.2<a<17.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是.0<a-b<2,1<c2<4,则0<(a-b)c2<8.8.设a>b>c>0,若x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z之间的大小关系是.(从小到大)x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x<y.同理可得y<z,故x,y,z之间的大小关系是x<y<z.9.若3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,b2的取值范围.3<a<7,1<b<10,所以4<a+b<17,即a+b∈(4,17).因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19,即3a-2b∈(-11,19).因为9<a2<49,所以1<12<1.又1<b<10,所以1<b2<10,即b2∈1,10.10.导学号26394000在等比数列{a n}中,若a1>0,q>0,前n项和为S n,试比较S3 a3与S5a5的大小.q=1时,S33=3,S55=5,所以S33<S55.当q>0,且q ≠1时,S 3a 3−S 5a 5=a 1(1-q 3)a 1q 2(1-q )−a 1(1-q 5)a 1q 4(1-q )=q2(1-q 3)-(1-q 5)q 4(1-q )=q 2-1q 4(1-q )=-q -1q 4<0,所以有S33<S55.综上可知有S33<S55.B 组1.(2017河北衡水模拟)已知0<a<b<1,c>1,则( ) A.log a c<log b c B. 1 c< 1 cC.ab c <ba cD.a log c 1<b log c 1a=14,b=12,c=2,得选项A,B,C 错误.由0<a<b<1,c>1,则1a >1b >1,logc x 在定义域上单调递增.故a log c 1b <b logc 1a .2.已知a ,b ∈R ,则下列条件中能使a>b 成立的必要不充分条件是( ) A.a>b-1 B.a>b+1 C.|a|>|b| D.3a >3b 解析因为a>b ⇒a>b-1,但a>b-1a>b ,所以“a>b-1”是“a>b ”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b ”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b ”的既不充分也不必要条件;“3a >3b ”是“a>b ”的充要条件.3.导学号26394001已知实数a ,b ,c 满足b+c=3a 2-4a+6,c-b=a 2-4a+4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c ≥b>a B.a>c ≥b C.c>b>a D.a>c>bc-b=a 2-4a+4=(a-2)2≥0易知c ≥b ,又由已知可解得b=a 2+1>a ,所以c ≥b>a.4.若a ,b ∈R ,且a 2b 2+a 2+5>2ab+4a ,则a ,b 应满足的条件是 .(ab-1)2+(a-2)2>0,则a ≠2或b ≠1.≠2或b ≠15.设x>5,P= x -4− x -5,Q= x -2− x -3,试比较P 与Q 的大小关系.P= x -4− x -5=x -4+ x -5,Q= x -2− x -3=x -2+ x -3,又 x -4+ x -5< x -2+ x -3,所以Q<P. 6.导学号26394002已知θ∈ 0,π6 ,且a=2sin 2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a 与b 的大小.θ∈ 0,π6 ,所以a=2sin 2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0.因为a=2sin 2θ+sin2θ=2sin θ(sin θ+cos θ)=2sin θ,又θ∈ 0,π6 ,所以sin θ∈ 0,12 ,2sin θ∈(0,1), 即0<ab <1,故a<b.2.基本不等式 课后篇巩固探究A 组1.下列结论正确的是( ) A.若3a +3b ≥2 a b ,则a>0,b>0 B.若b+a≥2,则a>0,b>0C.若a>0,b>0,且a+b=4,则1a +1b ≤1 D.若ab>0,则 ab ≥2aba +ba ,b ∈R 时,则3a >0,3b >0,所以3a +3b ≥2 a b (当且仅当a=b 时,等号成立),故选项A 错误.要使b+a≥2成立,只要b>0,a>0即可,这时只要a ,b 同号,故选项B 错误.当a>0,b>0,且a+b=4时,则1a +1b=4ab.因为ab ≤ a +b 2 2=4,所以1a +1b=4ab ≥1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C 错误.当a>0,b>0时,a+b ≥2 ab ,所以2aba +b ≤2 ab = ab .而当a<0,b<0时,显然有 ab ≥2ab a +b ,所以当ab>0时,一定有 ab ≥2aba +b(当且仅当a=b ,且a ,b>0时,等号成立),故选项D 正确.2.若a<1,则a+1a -1的最大值是( )A.3B.aC.-1D.2 aa -1a<1,所以a-1<0,所以a+1a -1=a-1+1a -1+1≤-2 (1-a ) 1-a +1=-1,当且仅当1-a=11-a ,即a=0时,取最大值-1,故选C .3.(2017全国模拟)已知x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +13y 的最小值是( ) A.2B.2C.4D.2 3lg 2x +lg 8y =lg 2,∴lg(2x ²8y )=lg 2,∴2x+3y =2,∴x+3y=1. ∵x>0,y>0,∴1x +13y =(x+3y ) 1x +13y=2+3y +x ≥2+2 3y ·x=4, 当且仅当x=3y=12时,等号成立.故选C .4.函数f (x )=x+4-1的值域是( ) A.(-∞,-3]∪[5,+∞) B.[3,+∞)C.(-∞,-5]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)x>0时,x+4x -1≥2 x ·4x-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+4x -1=- (-x )+ -4-1≤-2 (-x )· -4-1=-5(当且仅当x=-2时,等号成立),故函数f (x )的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).5.若正数x ,y 满足x+4y=4,则xy 的最大值为 .x+4y ≥2 =4 xy (当且仅当x=4y 时,等号成立),又x+4y=4,所以4 xy ≤4,即xy ≤1,故xy 的最大值为1.6.(2017山东高考)若直线xa +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .直线xa +yb =1过点(1,2),∴1a +2b =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b ) 1a +2b =4+ b a +4a b ≥4+2 b a ·4ab=8. 当且仅当b=2a 时“=”成立.7.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .4x+600³6=4 x +900≥4³2 900=240,当且仅当x=900,即x=30时等号成立.8.已知x>1,y>1,且xy=1 000,求lg x²lg y的最大值.x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0,所以lg x²lg y≤lg x+lg y22=lg xy22=lg100022=322=94,当且仅当lg x=lg y,即x=y时,等号成立, 故lg x²lg y的最大值等于9.9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证1+1x 1+1y≥9.=1+11+1 =1+x+y1+x+y=2+yx 2+xy=5+2yx+xy≥5+4=9,当且仅当yx =xy,即x=y=12时,等号成立,所以1+1x1+1y≥9.10.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元.如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?x米(0<x≤5).由题意可得,总造价y=32x×150+12×400+5 800=900 x+16+5 800(0<x≤5).由基本不等式可知y=900 x+16+5 800≥900³2x×16x+5 800=13 000(元),当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.由上可知,当侧面的长度为4米时,总造价最低.B组1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是()A.ab≤1B.ab≥1C.a2+b2≥4D.a2+b2≤4ab≤a+b2=1(当且仅当a=b时,等号成立),而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab ≥2,故选项A正确.2.爬山是一种简单有趣的户外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇),则甲、乙两人上山下山所用的时间t 1,t 2的关系为( )A.t 1>t 2B.t 1<t 2C.t 1=t 2D.不能确定h ,则依题意有t 1=ℎ1+ℎ2=h ²v 1+v212>h ²2 v 1v 212=h ²v v , t 2=2ℎv 1+v 22=h ²412<h ²2v v =h ²v v ,故t 1>t 2.3.(2017天津高考)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为.a ,b ∈R ,且ab>0,∴a 4+4b 4+1≥4a 2b 2+1=4ab+1≥4 当且仅当 a 2=2b 2,4ab =1ab ,即 a 2= 2,b 2=2时取等号 .4.导学号26394006已知关于x 的二次不等式ax 2+2x+b>0的解集为x x ≠-1a,且a>b ,则a 2+b2a -b的最小值为 .x 的方程ax 2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1,所以a 2+b2a -b =(a -b )2+2ab a -b =(a-b )+2a -b ≥2 (a -b )·2a -b=2 2 当且仅当a -b =2a -b时,等号成立 ,故a 2+b 2a -b的最小值为2 .25.已知a>2,求证log (a-1)a>log a (a+1).log (a-1)a-log a (a+1)=lg a lg (a -1)−lg (a +1)lg a =lg 2a -lg (a -1)lg (a +1)lg a lg (a -1),而lg(a-1)lg(a+1)< lg (a -1)+lg (a +1)2= lg (a 2-1)22<lg a 222=lg 2a ,即lg 2a-lg(a-1)lg(a+1)>0. 又a>2,∴lg a lg(a-1)>0,∴lg2a-lg(a-1)lg(a+1)lg a lg(a-1)>0,即log(a-1)a-loga(a+1)>0,∴log(a-1)a>loga(a+1).6.导学号26394007某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入100万元进行技术革新.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数n的关系是g(n)=n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为n+1元,进行技术革新投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)100n+1-100n(n∈N+).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100n+1-100n=1 000-80n+1n+1≤520.当且仅当=n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A 组1.若a>0,则2a+12的最小值为( )A.2 2B.3 23C.1D.3a+12=a+a+12≥3 a ·a ·123=3,当且仅当a=12,即a=1时,2a+12取最小值3.2.设x ,y ,z ∈R +,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( )A.(-∞,lg 6]B.(-∞,3lg 2]C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)x ,y ,z ∈R +,所以6=x+y+z ≥3 xyz 3,即xyz ≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz ≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).3.已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z 的最小值为( ) A.3 63B.2 2C.12D.12 532x >0,4y >0,8z >0,所以2x +4y +8z =2x +22y +23z ≥3 x 2y 3z 3=3 x +2y +3z 3=3³4=12.当且仅当2x =22y =23z ,即x=2y=3z ,即x=2,y=1,z=2时,等号成立.4.若a ,b ,c 为正数,且a+b+c=1,则1a +1b +1c 的最小值为( ) A.9B.8C.3D.13a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1+1+1=a +b +c +a +b +c +a +b +c=3+b +c +a +c +a +b ≥3+6 b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·bc6=3+6=9 当且仅当b a =c a =a b =c b =a c =b c, 即a =b =c =1时,等号成立 .5.用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长³宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( ) A.2³5 B.2³5.5 C.2³6.1 D.3³5长方体水箱长、宽、高分别为x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x ²4+2y ²4=xy+8+8≥3 xy ··3=12当 且仅当xy =8y=8x,即x =y =2,z =1时,等号成立 .故要制作容积为4 m 3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m 2,所以选项A,B 排除,而选项C,D 均够用,但选项D 剩较多,故选项C 正确.6.若a ,b ,c 同号,则b a +c b +ac ≥k ,则k 的取值范围是 .a ,b ,c 同号,所以b a ,c b ,a c >0,于是b a +c b +ac ≥3 b a ·c b ·ac 3=3(当且仅当a=b=c 时,等号成立),因此k 的取值范围是k ≤3.≤37.若x<0,则2-x 2的最大值为 .2=- x 2-2x =- x 2+ -2x ,因为x 2+ -2x =x 2+ -1x + -1x≥3 x 2· -1 · -13=3 当且仅当x 2=-1,即x =-1时,等号成立 ,所以2-x 2≤-3,即2-x 2的最大值为-3.38.若a>b>0,则a+1(a -b )b 的最小值为 .a>b>0,所以a-b>0,于是a+1(a -b )b =(a-b )+b+1(a -b )b ≥3 (a -b )·b ·1(a -b )b3=3,当且仅当a-b=b=1(a -b )b ,即a=2,b=1时,a+1(a -b )b的最小值为3.9.已知实数a ,b ,c ∈R ,a+b+c=1,求4a +4b +4c 2的最小值,并求出取最小值时a ,b ,c 的值.-几何平均不等式,得4a +4b +4c 2≥3 4a ·4b ·4c 23=3 4a+b+c 23(当且仅当a=b=c 2时,等号成立).∵a+b+c=1, ∴a+b=1-c.则a+b+c 2=c 2-c+1= c -12 2+34,当c=12时,a+b+c 2取得最小值34. 从而当a=b=14,c=12时,4a +4b +4c 2取最小值,最小值为3 2. 10.导学号26394008已知x ,y 均为正数,且x>y ,求证2x+1x 2-2xy +y 2≥2y+3.x>0,y>0,x-y>0,所以2x+1x 2-2xy +y 2-2y=2(x-y )+1(x -y )2=(x-y )+(x-y )+1(x -y )2≥3 (x -y )·(x -y )·1(x -y )23=3,所以2x+1x 2-2xy+y 2 ≥2y+3当且仅当x -y =1(x -y )2时,等号成立.B 组1.若log x y=-2,则x+y 的最小值为( )A.3 232B.2 333C.3 32D.2 23log x y=-2得y=1x 2,因此x+y=x+1x 2=x 2+x 2+1x 2≥3 x 2·x 2·1x 23=3 232 当且仅当x2=1x 2,即x = 23时,等号成立 .2.设x>0,则f (x )=4-x-12x 2的最大值为( ) A.4- 2B.4- 2C.不存在D.5x>0,∴f (x )=4-x-12=4- x +x +12≤4-3 x 2·x 2·12x 23=4-32=52 当且仅当x2=12x 2时,等号成立 .3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V ,则下列不等式正确的是( ) A.V ≥πB.V ≤πC.V ≥πD.V ≤π,设圆柱的半径为R ,高为h ,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S ²h=πR 2²h=π²R ²R ²h ≤π R +R +ℎ 3=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.4.设三角形的三边长为3,4,5,P 是三角形内的一点,则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ,y ,z ,三角形的面积为S ,则S=12(3x+4y+5z ). 因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=12³3³4=6,所以3x+4y+5z=2³6=12,所以12=3x+4y+5z ≥3 3x ·4y ·5z 3=3 60xyz 3,所以xyz ≤16,当且仅当3x=4y=5z ,即x=4,y=1,z=4时,等号成立.5.导学号26394009设x ,y ,z>0,且x+3y+4z=6,求x 2y 3z 的最大值.6=x+3y+4z=x2+x2+y+y+y+4z ≥6 2·2·y ·y ·y ·4z 6=6 x 2y 3z 6,所以x 2y 3z ≤1. 当且仅当x 2=y=4z ,即x=2,y=1,z=14时,等号成立,所以x 2y 3z 的最大值为1. 6.导学号26394010设a 1,a 2,…,a n 为正实数,求证a 1n +a 2n +…+a n n+1a 1a 2…a n≥2 n .a 1,a 2,…,a n 为正实数,∴a 1n +a 2n +…+a n n ≥n a 1n a 2n …a n n n=na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立. 又na 1a 2…a n +1a 1a 2…a n≥2 n ,当且仅当na 1a 2…a n =1a 1a 2…a n时,等号成立,∴a1n+a2n+…+a n n+1≥2n.a1a2…a n1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=|a|-|b||a-b|,n=|a|+|b||a+b|,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴|a|-|b||a-b|≤1≤|a|+|b||a+b|.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值范围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.17.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式|a+b||a|-|b|≥1成立的充要条件是.1⇔|a+b|-(|a|-|b|)|a|-|b|≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证a+b2<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴|x|>m≥|a|,|x|>m≥|b|,|x|>m≥1,∴|x|>|a|,|x|2>|b|.∴ax +bx2≤ax+bx2=|a| |x|+|b||x|2<|x||x|+|x|2|x|2=2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min =log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)²x≥0,(1-y)²(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=-x-5,x≤-12,3x-3,-1<x<4, x+5,x≥4.作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-12时,函数取得最小值-9.-923.已知a和b是任意非零实数,则|2a+b|+|2a-b||a|的最小值为.≥|2a+b+2a-b||a|=4.4.下列四个不等式:①logx10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③b+a≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴logx10+lg x=1+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,b与a同号,∴ba +ab=ba+ab≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).<0的解集是()4.不等式|x-1|-4|x-2|A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}分母|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log 2x|<|2x|+|log 2x|的解集为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab ≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x ²log 2x>0.又x>0,所以log 2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为 .2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是 .|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x )2,整理得10x>-5,即x>-12,故原不等式的解集为 x x >-1.x >-18.若关于x 的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a= .0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4. 当a>0时,有-8<x<4,因为不等式的解集为(-1,2),所以 -8=-1,4a =2,解得 a =8,a =2,两值相矛盾舍去.当a<0时,有4a <x<-8a ,则 4a=-1,-8a=2,解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f (x )= |x +1|+|x -a |-2(a ∈R ). (1)若a=3,解不等式:f (x )≥2;(2)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围.当a=3时,不等式f (x )≥2即为 |x +1|+|x -3|-2≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是 x +1+x -3≥6,x ≥3,或-(x +1)-(x -3)≥6,x ≤-1,或(x +1)-(x -3)≥6,-1<x <3,从而x ≥4,或x ≤-2.故原不等式解集为{x|x ≥4或x ≤-2}.(2)f (x )的定义域为R ,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立, 所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g (x )=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|, 于是|a+1|≥2,解得a ≥1,或a ≤-3.故实数a 的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞). 10.已知函数f (x )=|x+a|+|2x-1|(a ∈R ). (1)当a=1时,求不等式f (x )≥2的解集;(2)若f (x )≤2x 的解集包含 12,1 ,求a 的取值范围.当a=1时,不等式f (x )≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x ≥12时,不等式为3x ≥2,解得x ≥23,故x ≥23; ②当-1≤x<12时,不等式为2-x ≥2,解得x ≤0,故-1≤x ≤0; ③当x<-1时,不等式为-3x ≥2,解得x ≤-2,故x<-1. 综上,原不等式的解集为 x x ≤0或x ≥2. (2)因为f (x )≤2x ,所以|x+a|+|2x-1|≤2x ,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x ≤-a+1.由已知得 -a -1≤12,-a +1≥1,解得-3≤a ≤0.故a 的取值范围是 -32,0 .B 组1.不等式 xx -1 >xx -1的解集为( ) A.[0,1) B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)xx -1 >xx -1,所以xx -1<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3|a|对任意实数x 恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立, 所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即-4+b<x<4+b.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则0≤-4+b3<1,3<4+b3≤4⇒4≤b<7,5<b≤8,故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-1时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-1.当-12<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>32.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为 x x<-12或x>1.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.当a=2时,f(x)+|x-4|=-2x+6,x≤2, 2,2<x<4, 2x-6,x≥4.当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=-2a,x≤0,4x-2a,0<x<a,2a,x≥a.由|h(x)|≤2,解得a-1≤x≤a+1.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以a-12=1,a+12=2,于是a=3.第一讲 不等式和绝对值不等式测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若1<1<0,给出下列不等式:①a+b<ab ;②|a|>|b|;③a<b ;④b+a>2.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个b<a<0,所以a+b<ab ,|a|<|b|,ba >0,从而ba +ab >2,因此①④正确.2.设集合A={x||x-a|<1,x ∈R },B={x||x-b|>2,x ∈R }.若A ⊆B ,则实数a ,b 必满足( ) A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3A={x|a-1<x<a+1},集合B={x|x<b-2或x>b+2},又A ⊆B ,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b ≤-3或a-b ≥3,因此选D .3.对于x ∈R ,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为( ) A.[0,+∞) B.(0,2) C.[0,2) D.(0,+∞),|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P 在点A 右侧时|PB|-|PC|>8,故x ≥0.4.下列函数中,最小值为2的是( ) A.y=x+1x B.y=x 2-2x+4 C.y=x 2+1x 2 D.y= x 2+2+2y=x 2+12中,x 2>0,所以y=x 2+12≥2 x 2·12=2,当且仅当x=±1时,函数的最小值为2.5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a 等于 ( )A.8B.2C.-4D.-2-4<ax+2<4,则-6<ax<2,所以(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),故a=-2.6.“a=2”是“关于x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的( ) A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空得a>1,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|<a 有解,所以充分性成立,所以“a=2”是“关于x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的充分不必要条件,故选C .7.已知f (x )=2x+3(x ∈R ),若|f (x )-1|<a 的必要条件是|x+1|<b (a ,b>0),则a ,b 之间的关系是( ) A.b ≥aB.b<aC.a ≤bD.a>b|f (x )-1|<a 可得-a -22<x<a -22, 由|x+1|<b 可得-b-1<x<b-1,由题意可得 -b -1≤-a -22,b -1≥a -22,解得b ≥a 2.8.若x ∈(0,π),则y=sin x cos 2x的最大值等于( ) A.4B.2 3C.23D.492=sin 2xcos 4x=1²2sin 2x ²cos 2x ²cos 2x ≤1 2sin 2x 2+cos 2x2+cos 2x 2 3=4 当且仅当sin 2x 2=cos 2x 2时,等号成立 ,所以y ≤2 39,故所求最大值为2 39.9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是( ) A.[0,5) B.[0,13) C.[0,9) D.[0,4)2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.10.若不等式x 2<|x-1|+a 的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,7) B.(-∞,7] C.(-∞,5) D.(-∞,5]x 2<|x-1|+a 等价于x 2-|x-1|-a<0,设f (x )=x 2-|x-1|-a ,若不等式x 2<|x-1|+a 的解集是区间(-3,3)的子集,则 f (-3)=5-a ≥0,f (3)=7-a ≥0,解得a ≤5,故选D .11.(2017陕西宝鸡一模)在正项等比数列{a n }中,a 2 016=a 2 015+2a 2 014,若a m a n =16a 12,则4+1的最小值等于( ) A.1B.32C.53D.136{a n }的公比为q (q>0),由a 2 016=a 2 015+2a 2 014,得q 2=q+2, 解得q=2或q=-1(舍去).又因为a m a n =16a 12,即a 12²2m+n-2=16a 12,所以m+n=6. 因此4+1=1(m+n ) 4+1=16 5+4n m +m n ≥16 5+2 4n m ·m n =32, 当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B .12.设0<x<1,a ,b 都为大于零的常数,若a 2x+b21-x≥m 恒成立,则m 的最大值是( )A.(a-b )2B.(a+b )2C.a 2b 2D.a 2+b 21-x=a 2x +b21-x[x+(1-x )]=a 2+b2+a 2(1-x )+b 2x 1-x≥a 2+b 2+2ab =(a+b )2,当且仅当x1-x =ab 时,等号成立.由a 2x+b21-x≥m 恒成立,可知m ≤(a+b )2.故m 的最大值是(a+b )2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若x>-2,且x ≠0,则1x 的取值范围是 .x>-2,且x ≠0,所以当x>0时,有1x >0;当-2<x<0时,有1x <-12,综上,1x 的取值范围是-∞,-1∪(0,+∞).-∞,-12 ∪(0,+∞)14.(2017山东淄博模拟)已知f (x )=lg x2-x ,若f (a )+f (b )=0,则4+1的最小值是 .(x )=lg x2-x ,f (a )+f (b )=0,∴lg a 2-a +lg b2-b=0,∴ab (2-a )(2-b )=1, 整理,得a+b=2(a ,b ∈(0,2)), 则4a +1b =12(a+b ) 4a +1b=12 5+4b a +ab ≥1 5+2 4b ×a =9. 当且仅当a=2b=4时,等号成立.15.若关于x 的不等式|x+1|+|x-3|≥a+4对任意的实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .a+4a ≤4,所以(a -2)2a ≤0,解得a 的取值范围为(-∞,0)∪{2}.-∞,0)∪{2}16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s (单位:米)与时间t (单位:分)之间的关系满足关系式为s=0.2t 2-14t+2 000,则平均速度的最小值是 米/分.v (t )=s=0.2t 2-14t +2000=0.2t+2000-14≥2 0.2t ·2000-14=2³20-14=26,当且仅当0.2t=2000t,即t=100时,取得最小值.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a (a ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x+a|+|x-2|的最小值.因为3∈A ,且1∉A ,所以 32-2 <a ,且 12-2 ≥a ,解得12<a ≤32.又因为a ∈N +,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即-1≤x ≤2时取到等号. 所以f (x )的最小值为3.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=m-|x-2|,m ∈R +,且f (x+2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m 的值;(2)若a ,b ,c ∈R +,且1+1+1=m ,求证a+2b+3c ≥9.f (x+2)=m-|x|,所以f (x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x|-m ≤x ≤m }, 又f (x+2)≥0的解集为[-1,1],所以m=1.(1)知1a +12b +13c =1,又a ,b ,c ∈R +,所以a+2b+3c=(a+2b+3c ) 1+1+1=3+a 2b +3c 2b +2b a +3c a +a 3c +2b3c =3+ a +2b + 3c +2b + 3c +a ≥3+2 a 2b ·2b a +2 3c 2b ·2b 3c +2 3c a ·a3c=3+6=9(当且仅当a=2b=3c 时,等号成立).故a+2b+3c ≥9.。

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．比较法的一个易错点．忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类讨论．2．分析法和综合法的易错点．对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误．3．反证法与放缩法的注意点．(1)反证法中对结论否定不全．(2)应用放缩法时放缩不恰当．专题一比较法证明不等式比较法证明不等式的大致步骤是：作差(或商)—恒等变形—判断差的符号(或商与1的大小)，其中，恒等变形是关键，目的在于判断差的符号或商与1的大小．[例1]已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：因为2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又因为a≥b>0，所以a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，所以(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，所以2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0，所以2a3－b3≥2ab2－a2b.归纳升华变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方、因式分解，可运用一切恒等变形的方法．[变式训练]已知a＞0，b＞0，a≠b，求证：a6＋b6＞a4b2＋a2b4.证明：因为a6＋b6－(a4b2＋a2b4)＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2)＝(a2－b2)(a4－b4)＝(a2－b2)(a2－b2)(a2＋b2)＝(a＋b)2(a－b)2(a2＋b2)．因为a＞0，b＞0，a≠b，所以(a＋b)2＞0，(a－b)2＞0，a2＋b2＞0，所以(a6＋b6)－(a4b2＋a2b4)＞0，所以a6＋b6＞a4b2＋a2b4.专题二综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误． [例2] 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 归纳升华用综合法证明不等式，可利用已经证过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式．[变式训练] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，所以1ab ≥4. 所以1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab＋4＝8， 所以1a ＋1b ＋1ab≥8， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 专题三 用分析法证明不等式分析法证明不等式的思维方法是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更为有效．[例3]求证：3＋6＜4＋ 5.证明：欲证3＋6＜4＋5，只需证(3＋6)2＜(4＋5)2，只需证9＋62＜9＋45，即证62＜4 5.只需证(62)2＜(45)2，即证72＜80.上式明显成立，所以原不等式成立．归纳升华1．分析法的格式是固定的，但是必须注意推演过程中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件．2．分析法是“执果索因”，逐步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[变式训练]已知a＞b＞0，求证：a－b＜a－b.证明：要证a－b＜a－b，即证a＜b＋a－b，只需证a＜b＋2（a－b）b＋a－b，只需证0＜2（a－b）b.由a＞b＞0知最后一个不等式成立，故原不等式成立．专题四用反证法证明不等式反证法常用于直接证明困难或结论以否定形式出现的命题，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题．[例4]若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.证明：法一：假设a＋b＞2，则a＞2－b，故2＝a3＋b3＞(2－b)3＋b3，即2＞8－12b＋6b2，即(b－1)2＜0，这不可能，假设不成立，从而a＋b≤2.法二：假设a＋b＞2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)＞8.由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)＞6.故ab(a＋b)＞2.又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，所以ab(a＋b)＞(a＋b)(a2－ab＋b2)，所以a2－ab＋b2＜ab，即(a－b)2＜0，这不可能，假设不成立，故a ＋b ≤2.归纳升华反证法是从否定结论出发，经过推理论证，得出矛盾，从而肯定原命题正确的证明方法，其步骤为：(1)分清命题的条件和结论，作出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论)．(2)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾．(3)断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不正确，于是原命题成立，从而间接证明了原命题为真命题．[变式训练] 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0. 证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则有a ＋b ＋c ≤0.因为a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)，所以a ＋b ＋c ＞0.这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故假设不成立．所以a ，b ，c 中至少有一个大于0.专题五 用放缩法证明不等式在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些项，有时需要拆项、添项，使不等式的一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性达到证明的目的．运用放缩法证明的关键是放缩要适当，既不能太大，也不能太小． [例5] 设a ，b ，c ∈R ＋且abc ＝1，求证：11＋a ＋b ＋11＋b ＋c ＋11＋c ＋a≤1. 证明：设a ＝x 3，b ＝y 3，c ＝z 3且x ，y ，z ∈R ＋.由题意得：xyz ＝1，所以1＋a ＋b ＝xyz ＋x 3＋y 3.所以x 3＋y 3－(x 2y ＋xy 2)＝x 2(x －y )＋y 2(y －x )＝(x －y )2(x ＋y )≥0. 所以x 3＋y 3≥x 2y ＋xy 2.所以1＋a ＋b ＝xyz ＋x 3＋y 3≥xyz ＋xy (x ＋y )＝xy (x ＋y ＋z )．所以11＋a ＋b ≤1xy （x ＋y ＋z ）＝z x ＋y ＋z. 同理，可得11＋b ＋c ≤x x ＋y ＋z ，11＋c ＋a ≤y x ＋y ＋z， 三式相加得11＋a ＋b ＋11＋b ＋c ＋11＋c ＋a ≤x ＋y ＋z x ＋y ＋z＝1. 所以命题得证．归纳升华用放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性．缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不小于部分；每次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．同时，放缩有时需便于求和．[变式训练] 若n 是大于1的自然数，求证112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1k 2＜1k （k －1）＝1k －1－1k(k ＝2，3，4，…，n )， 所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜11＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2， 故112＋122＋132＋…＋1n 2＜2. 专题六 函数与方程思想函数与方程思想是先构造辅助函数，将所给问题转化为函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)问题．运用此方法要能够根据问题的结构特征恰当地构造函数，准确地利用函数的性质解决问题．[例6] 已知a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，求证1ab ＋ab ≥174. 证明：因为a ，b 都是正实数，a ＋b ＝1，所以0＜ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14. 令f (x )＝x ＋1x(0＜x ＜1)， 设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1＋x 1－1x 2－x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2＜1，所以x 1－x 2＜0，0＜x 1x 2＜1.所以1－1x 1x 2＜0. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)．因此函数f (x )在(0，1)上单调递减．所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝174， 令x ＝ab ，得1ab ＋ab ≥174. [变式训练] 已知a ，b ，c 为三角形的三条边，求证a 1＋a ，b 1＋b，c 1＋c也可以构成一个三角形． 证明：设f (x )＝x 1＋x，x ∈[0，＋∞)，0≤x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1（1＋x 1）（1＋x 2）＞0. 故f (x )在[0，＋∞)上为单调增函数．因为a ，b ，c 为三角形的三条边，所以a ＋b ＞c .因为c 1＋c ＜a ＋b 1＋（a ＋b ）＝a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b ＜a 1＋a ＋b 1＋b，所以c 1＋c ＜a 1＋a ＋b 1＋b， 同理可证a 1＋a ＜b 1＋b ＋c 1＋c ，b 1＋b ＜c 1＋c ＋a 1＋a， 所以以a 1＋a ，b 1＋b ，c 1＋c为边可以构成一个三角形．。

第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)． (6)开方：如果a ＞b ＞0n a ＞nb n ∈N ，n ≥2)． 3．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．(3)引理：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (4)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求． 4．绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义．(2)分区间讨论(零点分段法)．(3)图象法．5．绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).类型一不等式的基本性质的应用例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d. 反思与感悟利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2答案 B解析由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.类型二 基本不等式及其应用命题角度1 用基本不等式证明不等式 例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式． 跟踪训练2 设a ，b ，c 均为正数，证明：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 证明 (ab ＋a ＋b ＋1)·(ab ＋ac ＋bc ＋c 2) ＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c ) ≥2b ·2a ·2bc ·2ac ＝16abc ， ∴所证不等式成立．命题角度2 求最大、最小值例3 若x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0.故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x ＝2sin x ＞0时，等号成立．故选C.类型三 含绝对值的不等式的解法 例4 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}． 方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅； 当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3， 即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52.②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ， 解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|，得2≥4，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型四 恒成立问题例5 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立； 当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．跟踪训练5 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意． 又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30答案 A解析 因为a 2≤b ≤2a ，所以3a2≤a ＋b ≤3a .又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30.3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为_______________________________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103 解析 由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. 4．解不等式3≤|x －2|＜4.解 方法一 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥3， ①|x －2|＜4. ②由①得x －2≤－3或x －2≥3， ∴x ≤－1或x ≥5. 由②得－4＜x －2＜4， ∴－2＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．方法二 3≤|x －2|＜4⇔3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3⇔5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法． 2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＞2b B ．－b a＞－1 C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞1答案 C解析 ∵y ＝2x 是增函数，又a ＞b ，∴2a ＞2b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的为( ) ①ab ＞2aba ＋b； ②a ＞|a －b |－b ； ③a 2＋b 2＞4ab －3b 2； ④ab ＋2ab＞2.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”； ②恒成立，因为a ，b 均为正数； ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＞b ，b ＞0，则下列与－b ＜1x＜a 等价的是( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b或x ＞1a答案 D解析 －b ＜1x ＜a ，当x ＜0时，－bx ＞1＞ax ，解得x ＜－1b；当x ＞0时，－bx ＜1＜ax ，解得x ＞1a，故选D.4．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x ≤3 C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3＜x ≤0}答案 A解析 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－(x ＋3)＋(x －3)＞3，无解；②由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜3，x ＋3＋x －3＞3，得32＜x ＜3； ③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋3－(x －3)＞3，得x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. 5．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件成立；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立． 二、填空题 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 令f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3， ∵x >0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15. 若使不等式恒成立，只需a ≥15即可． 7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2，∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 9．不等式14(3|x |－1)≤12|x |＋3的解集为________． 答案 {x |－13≤x ≤13}解析 当x ＜0时，不等式为14(－3x －1)≤－12x ＋3， 解得－13≤x ＜0，当x ≥0时，不等式为14(3x －1)≤12x ＋3， 解得0≤x ≤13，∴不等式的解集为{x |－13≤x ≤13}．10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f (x )＝2x 是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32，①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析 由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a ， 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2，当x ＜－12时，f (x )＝－x －2≤2，得－4≤x ＜－12； 当－12≤x ≤1时，f (x )＝3x ≤2，得－12≤x ≤23； 当x ＞1时，f (x )＝x ＋2≤2，此时x 不存在．所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －4≤x ≤23.(2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32， 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24， 即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 15．已知不等式|2x －3|＜x 与不等式x 2－mx ＋n ＜0的解集相同．(1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a ＋b ＋c 的最小值． 解 (1)|2x －3|＜x ，即－x ＜2x －3＜x ，解得1＜x ＜3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝3.∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2.∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ， ∴a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1. ∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)， ∴a ＋b ＋c 的最小值是 3.。

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数学归纳法的两个关注点．(1)关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法．2．数学归纳法的两个易错点．(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设．(2)归纳推理不到位．专题一数学归纳法在学习数学归纳法时，常会遇到两个困难，一是对其实质不容易理解，二是对归纳步骤的证明感到难以入手，其实在数学归纳法中只有两个步骤：归纳奠基，归纳递推，二是缺一不可．(1)不可缺第一步．有的同学会认为第二步有递推作用，且k 可以取任意值，因此第一步就无关紧要，有没有均可．这是一种错误的认识，它忽略了第一步的奠基作用．因为如果没有n ＝n 0时成立，归纳假设也就没有了依据，递推性就建立在毫无根据的结论之上，当然也不可能得到正确的结论．(2)不可缺第二步．在刚接触数学归纳法时容易觉得，既然一个数学命题对开头的一些自然数成立，那么由n ＝k 成立推导出n ＝k ＋1成立是必然的，因此第二步流于形式，证与不证一个样．显然这是不正确的，原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，虽然一个数学命题对于开头的许多自然数都成立，但是对于后面的并不一定成立．因此我们不能把不完全归纳当做数学证明，用数学归纳法证明时不可缺第二步．[例1] 求证对任意正整数n ，有13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2成立．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，所以原等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即13＋23＋…＋k 3＝(1＋2＋…＋k )2.在上式等号两边同时加上(k ＋1)3，得13＋23＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝(1＋2＋…＋k )2＋(k ＋1)3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k （k ＋1）22＋(k ＋1)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋122[k 2＋4(k ＋1)]＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（k ＋1）（k ＋2）22＝[1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)]2.所以当n ＝k ＋1时，13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2也成立． 综合(1)(2)可知，对任何正整数n ，原等式成立．归纳升华1．证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论．2．证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由n ＝k 成立，推导n ＝k ＋1也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．3．利用数学归纳法证明整除性问题时，第二步一般先将n ＝k ＋1代入原式，然后将原式作适当的恒等变形，凑出归纳假设，这是证明的关键和难点．[变式训练] 设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）(n ∈N ＋)，求证：12n (n ＋1)＜a n ＜12(n ＋1)2. 证明：①当n ＝1时，a 1＝2，12n (n ＋1)＝1，12(n ＋1)2＝2， 所以1＜2＜2，所以n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即12k (k ＋1)＜a k ＜12(k ＋1)2， 当n ＝k ＋1时，12k (k ＋1)＋（k ＋1）（k ＋2）＜a k ＋1＜12(k ＋1)2＋ （k ＋1）（k ＋2），12k (k ＋1)＋（k ＋1）（k ＋2）＞12k (k ＋1)＋(k ＋1)＝12(k ＋1)·(k ＋2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)＋1]， 12(k ＋1)2＋（k ＋1）（k ＋2）＝12(k ＋1)2＋k 2＋3k ＋2＜12(k ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋32＝12(k ＋2)2＝12[(k ＋1)＋1]2， 所以12(k ＋1)[(k ＋1)＋1]＜a k ＋1＜12[(k ＋1)＋1]2， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据①②可知对任意的n ∈N ＋，不等式12n (n ＋1)＜a n ＜12(n ＋1)2恒成立．专题二 归纳、猜想、证明思想的应用归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．[例2] 数列{a n }满足S n ＝2n －a n .(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，所以a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，所以a 2＝32. 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，所以a 3＝74. 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，所以a 4＝158. 由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1 ，即a k ＋1＝2＋a k －a k ＋1，所以a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知猜想的通项公式a n ＝2n －12n －1成立． 归纳升华此类猜想数列通项公式的题，是通过利用递推关系来完成n ＝k ＋1的证明的．[变式训练] 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a 2n －1＋1(n ∈N ＋，n ≥2)． (1)写出数列{a n }的前五项；(2)猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31.(2)猜想a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝21－1＝1，显然成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ＝2k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a 2k ＋1＝2（2k －1）＋1＝2k ＋1－1.这表明当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知，结论对所有的正整数都成立．专题三转化和化归思想把所要证的平面几何问题转化，运用数学归纳法来解决，这体现了转化和化归的思想．一般将待解决的平面几何问题进行转化，使之化为我们熟悉的或容易解决的问题．[例3]设平面α内有n条直线，这n条直线把平面α分成互不垂叠的区域个数的最大值为f(n)，求f(n)的解析式，并用数学归纳法证明．解：设平面α内k(k≥1)条直线把平面α分成区域个数的最大值为f(k)，则第k＋1条直线与前k条直线最多有k个交点，因此第k ＋1条直线最多可以被分成k＋1段，每一段可把所在的区域分为两部分，所以比原来的区域增加k＋1个，即有f(k＋1)＝f(k)＋k＋1，所以f(k＋1)－f(k)＝k＋1.于是f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，…，f(n)－f(n－1)＝n.把以上n－1个等式相加得f(n)－f(1)＝2＋3＋…＋n.因为f(1)＝2，所以f(n)＝f(1)＋(2＋3＋…＋n)＝12＋n＋2)．2(n下面用数学归纳法证明：(1)n＝1时，一条直线可以把平面分成2个，即f(1)＝2，而12＋n＋2)＝12(1＋1＋2)＝2，2(n所以命题成立．(2)假设n ＝k 时，f (k )＝12(k 2＋k ＋2)成立， 当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)＝12(k 2＋k ＋2)＋(k ＋1)＝12(k 2＋2k ＋1＋k ＋3)＝12[(k ＋1)2＋(k ＋1)＋2]，所以命题仍成立． 由(1)(2)知，当n ∈N *时，f (n )＝12(n 2＋n ＋2)成立． 归纳升华有关几何图形的性质、公式等与自然数n 有关的命题，主要是抓住递推关系，明确要证明的表达式，然后转化用数学归纳法进行证明．[变式训练] 用数学归纳法证明：任意凸多边形都可以变成一个和它等面积的三角形．证明：(1)当n ＝3时，命题显然成立；(2)假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时，命题成立，即任意凸k 边形都可以变成一个和它等面积的三角形．则当n ＝k ＋1时，对于凸(k ＋1)边形A 1A 2…A k A k ＋1，如图所示，连接A 1A k ，过点A k ＋1作A k ＋1A ′k ∥A 1A k ，交A k －1A k 的延长线于A ′k ，连接A 1A ′k .由题意知△A1A k A′k和△A1A k A k＋1的面积相等，所以凸(k＋1)边形A1A2…A k A k＋1与凸k边形A1A2…A k－1A′k的面积相等．根据归纳假设，这个凸k边形可以变成一个和它等面积的三角形，于是凸(k＋1)边形可以变成一个和它等面积的三角形．根据(1)(2)可知，命题成立．。

第四讲 一、二A 级 基础巩固一、选择题1. 数学归纳法适用于证明的命题的类型是导学号 98920412( D ) A. 已知⇒结论 B. 结论⇒已知 C. 直接证明比较困难D. 与正整数有关2. 利用数学归纳法证明不等式“n 2<2n对于n≥n 0的正整数n 都成立”时,n 0应取值为导学号 98920413( C )A. 1B. 3C. 5D. 7[解析] 代入验证知,只有当n≥5时,n 2<2n都成立.3. 用数学归纳法证明“1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ≥1124,(n ∈N ＋)”时,由n ＝k 到n ＝k ＋1时,不等式左边应添加的项是导学号 98920414( C )A. 12(k ＋1). 12k ＋1＋12k ＋2C. 12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 .12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1－1k ＋2[解析] 当n ＝k 时,不等式为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ≥1124, 当n ＝k ＋1时,左边＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋(k －1)＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2, 比较n ＝k 与n ＝k ＋1的左边知,应添加的项是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1. 故选C.4. 用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)”的过程中,第二步假设n ＝k 时等式成立,则当n ＝k ＋1时应得到导学号 98920415( D )A. 1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1B. 1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k－1＋2k ＋1C. 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1D. 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝2k－1＋2k[解析] 当n ＝k 时,等式为1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1.那么当n ＝k ＋1时,左边＝1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k因此只需在归纳假设两端同时添加2k,即1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k.5. 设n 为正整数,f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ,计算得f(2)＝32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72,观察上述结果,可推测出一般结论导学号 98920416( C )A. f(2n)>2n ＋12B. f(n 2)≥n ＋22C. f(2n)≥n ＋22D. 以上都不对[解析] f(2)＝32,f(4)＝f(22)>42,f(8)＝f(23)>52,f(16)＝f(24)>62,f(32)＝f(25)＝72,所以f(2n)≥n ＋22.二、填空题 6. 证明n ＋22<1＋12＋13＋…＋12n <n ＋1 (n>1),当n ＝2时,要证明的式子为__2<1＋12＋13＋14<3__. 导学号 989204187. 用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2,假设n ＝k 时不等式成立,当n ＝k ＋1时,应推证的目标不等式是__12－1k ＋2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3__. 导学号 98920419 [解析] 假设n ＝k 时不等式成立, 即122＋132＋…＋1(k ＋1)2>12－1k ＋2, 当n ＝k ＋1时,左边＝122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋2＋1(k ＋2)2, 下面只需证明12－1k ＋2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3即可. 三、解答题8. 求证1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n >56(n≥2,n ∈N ＋). 导学号 98920489[解析] 证明：(1)当n ＝2时,左边＝13＋14＋15＋16＝1920>56,不等式成立.(2)假设当n ＝k 时(k≥2,k ∈N ＋), 有1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56成立, 则当n ＝k ＋1时,1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1) >56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1) >56＋(13k ＋3＋13k ＋3＋13k ＋3－1k ＋1) ＝56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56, 所以当n ＝k ＋1时,不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对一切n≥2,n ∈N ＋均成立.B 级 素养提升一、选择题1. 如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n ＋1)(n ＋2)＝14n(n ＋1)(n ＋a)(n ＋b)对一切正整数n都成立,a 、b 的值应该等于导学号 98920423( D )A. a ＝1,b ＝3B. a ＝－1,b ＝1C. a ＝1,b ＝2D. a ＝2,b ＝3[解析] 令n ＝1,2,得到关于a 、b 的方程组,解得即可.2. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22,则当n ＝k ＋1的左端应在n ＝k 的基础上加上导学号 98920424( D )A. k2B. (k ＋1)2C. (k ＋1)4＋(k ＋1)22D. (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2[解析] ∵当n ＝k 时,左端＝1＋2＋3＋…＋k 2,当n ＝k ＋1时,左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时,左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2,故应选D.3. 已知a 1＝1,a n ＋1>a n ,且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0,先计算a 2,a 3,再猜想a n 等于导学号 98920425( B )A. nB. n 2C. n 3D. n ＋3－n[解析] ∵(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0, ∴(a 2－1)2－2(a 2＋1)＋1＝0, ∴a 2＝4,或a 2＝0(舍去).同理a 3＝9,或a 3＝1(舍去). ∴猜想a n ＝n 2. 二、填空题4. 设M ＝2n＋2,N ＝n 2(n ∈N ＋),则M 、N 之间的大小关系为__M>N__. 导学号 98920428 5. 用数学归纳法证明：当n ∈N ＋,1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数时,当n ＝1时原式为__1＋2＋22＋23＋24__,从k 到k ＋1时需增添的项是__25k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4__. 导学号 98920429三、解答题6. 已知数列{a n }中,S n 为前n 项和且S n ＝a n 2＋1a n－1,且a n >0(n ∈N *),探求数列的通项公式a n ,并证明你的结论. 导学号 98920430[解析] 因S 1＝a 1,得a 12＋1a 1－1＝a 1,解得a 1＝3－1.由a 2＝S 2－S 1,得a 2＝a 22＋1a 2－1－3＋1,解得a 2＝5－ 3. 同理可解得a 3＝7－ 5.由a 1,a 2,a 3可推测通项公式a n ＝2n ＋1－2n －1. 用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时,a 1＝2×1＋1－2×1－1＝3－1,通项公式成立. (2)假设n ＝k 时,a k ＝2k ＋1－2k －1成立. 那么由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k.将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0. 由a n >0得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1,即当n ＝k ＋1时成立. 由(1),(2)可得对所有n ∈N *,a n ＝2n ＋1－2n －1都成立.。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立；当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是( )A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x解析：因为2x ＞0，2－x ＞0，所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时，等号成立． 答案：D4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，等号成立，选B. 答案：B5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋y b ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1. 又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．二、填空题6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x的最大值是________． 解析：y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立． 所以y max ＝3－2 3.答案：3－2 37．已知函数f (x )＝2x，点P (a ，b )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，那么f (a )·f (b )的最小值是________．解析：点P (a ，b )在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以f (a )·f (b )＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：48．当x ＞0时，f (x )＝2x x 2＋1的值域是________． 解析：因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x ≤12. 所以0＜2x ＋1x ≤1. 又因为f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x， 所以0＜f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．故f (x )的值域是(0，1]．答案：(0，1]三、解答题9．已知x ＜0，求2x ＋1x的最大值． 解：由x ＜0，得－x ＞0，得－2x ＋1－x ≥2（－2x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＝22， 所以2x ＋1x≤－22， 当且仅当－2x ＝1－x， 即x ＝－22时等号成立． 故2x ＋1x取得最大值－2 2. 10．若a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：8abc ≤(1－a )·(1－b )(1－c )．证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以1－a ＝b ＋c ＞0，1－b ＝a ＋c ＞0，1－c ＝a ＋b ＞0.所以(1－a )(1－b )(1－c )＝(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )．因为a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，a ＋c ≥2ac ＞0，三式相乘，得(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 所以8abc ≤(1－a )(1－b )(1－c )．B 级 能力提升1．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立， 则1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1≥9， 所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.答案：B2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy， 所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝22xy 2xy＝ 2. 其中x ＞0，y ＞0，当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝2y 时等号成立． 答案： 23．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. 所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3， 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤ 50－2 t ＋12·32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， 所以当促销费定在7万元时，年利润最大．。