江苏省宿迁市高中数学第二章圆锥曲线与方程第18课时圆锥曲线与方程复习2导学案无答案苏教版选修

2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。

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方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
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程． 题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编 队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双 曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形 式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双 曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。

第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线． 在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解： 设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

2.4.2 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0，0) 离心率 e ＝1通径长 2p知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)； ③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p ； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．类型三 抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1，0)，求|PF ||PA |的最小值．反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决． 跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若|AF |，|MF |，|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程．反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.923．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝________.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．提醒：完成作业 第二章 2.4.2答案精析问题导学 知识点一思考 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] 知识点三两 一 没有 平行或重合 一 题型探究例1 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6. ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0)，直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4，所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .跟踪训练1 解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a ，∴a ＝±3. ∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .例2 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72跟踪训练2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.例3 解 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |， 连接PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线， 设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°， |PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos∠NPA ＝22. 跟踪训练3 A例4 (1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，|MF |＝x 0＋p2，x 0为已知值． 由题意得x 0＝x 1＋x 22，∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )， 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212py 21－y 22＝2p y 1＋y 2＝pt ， 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0)，即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p ，0)．(2)解 由|MF |＝4，|OQ |＝6，得x 0＋p2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x .跟踪训练4 证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2，0)． 当堂训练1．C 2.A 3.8 4.2 5.8。

∴抛物线方程为 y2＝－8x 或 x2＝－y.故选 B. [答案] B
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2．焦点在 x 轴上，顶点到焦点的距离为 4 的抛物线
的标准方程是( )
A．y2＝16x
B．y2＝8x
C．y2＝±8x
D．y2＝±16x
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[解析] 由已知p2＝4，∴p＝8，而抛物线开口是向左 还是向右无法确定，∴抛物线方程为 y2＝±16x.故选 D.
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④离心率 抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离之 比，叫做抛物线的________，用 e 表示，由定义可知，e ＝1.
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(2)注意三个结论 ①抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴， 一条准线，没有中心． ②抛物线 y2＝2px(p>0)上任意一点 P(x0，y0)的焦半 径为 x0＋p2. ③过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条 弦，称为抛物线的通径，通径长为 2p.
准线 ________ ________ ________ ________
性 范围 ________ ________ ________ ________
质 轴
____ ____ x轴
____
____
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
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[答案] 1．抛物线的轴 顶点 离心率 2．Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2 x＝ －p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
所以中点为 P(3,2)．
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方法二：设直线 y＝x－1 与抛物线 y2＝4x 交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点为 P(x0，y0)．则 y22＝4x2， y12＝4x1，y22－y21＝4x2－4x1，∴y2－xy21－yx21＋y1＝4.因为 xy22－－xy11＝kAB＝1，y2＋y1＝4，y0＝2，x0＝y0＋1＝3，故中 点为 P(3,2)．

第17课时 圆锥曲线与方程复习（1）【学习目标】1．掌握椭圆．双曲线．抛物线的定义及标准方程； 2．掌握椭圆．双曲线．抛物线的几何性质； 3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题． 【问题情境】【合作探究】如何判断方程221mx ny +=表示的圆锥曲线的类型？【展示点拨】例1．已知[]0,απ∈，试讨论方程22sin cos 1x y αα+=所表示的曲线的类型．例2．已知椭圆C ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P (1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．例3．设1F ，2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左．右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B u u u r u u u r=,求椭圆C 的方程．例4 ．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点M （4，－10）．（1）求双曲线方程；（2）若点N (3，m )在双曲线上，求证：120NF NF uuu r uuu r ⋅=；（3）求△F 1NF 2的面积．【学以致用】1．已知椭圆2212x y m+=的离心率e ＝12,则m ＝ ．2．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为________________________________．3．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为___________________________．4．根据下列条件判断方程22194x y k k+=--表示什么曲线：()14k < ；()249k <<．5．求圆锥曲线的标准方程:（1）顶点在原点且以双曲线2213x y -=的右准线为准线的抛物线的标准方程； （2）已知圆C ：226480x y x y +--+=，以圆C 与x 轴交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点，求双曲线的标准方程．第17课时 圆锥曲线与方程复习（1）【基础训练】1． 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为31，则椭圆的方程是______________．2．双曲线22a x －22by ＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为_______．3． 若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为__________． 4．经过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程是_____________．5．已知△ABC 的顶点B ．C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是_______________．6．把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F PF P F PF P F P F ++++++= _． 【思考应用】7．已知定点Q （7，2），抛物线y 2=2x 上的动点P 到焦点的距离为d ，求d+PQ 的最小值，并确定取最小值时P 点的坐标．8．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4．5m ，此车能否通过此隧道？说明理由．9．已知双曲线2222x y a b-=1的右准线l 1与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的焦点．（1）求证：PF⊥l ；（2）若PF=3，且双曲线的离心率等于54，求双曲线方程．10．已知三点P （5，2）．1F （－6，0）．2F （6，0）． （1）求以1F ．2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P ．1F ．2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '．'1F ．'2F ，求以'1F ．'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．【拓展提升】11．若椭圆2x 10+2y m =1与双曲线x 22y b -=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P （3，y ），求椭圆及双曲线的方程．12．已知椭圆的中心在原点O，短轴长为F（c，0），右准线l与x轴相交于A，OF=2FA，过点A的直线与椭圆相交于P． Q两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．。

第3课时 椭圆的标准方程（2） 【学习目标】 1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； 2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程【问题情境】椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程图象焦点坐标a ．b ．c 的关系【合作探究】1．想一想：若椭圆的方程为),0,0(12222n m n m ny m x ≠>>=+怎样判断其焦点的位置？2．椭圆的两种标准方程有什么相同点和不同点？3．用待定系数法确定椭圆的标准方程需要几个条件？【展示点拨】例1．已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，他的焦距为2．4米，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3米，求这个椭圆的标准方程．例2．根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）经过两点P )31,31(，Q )21,0(-的椭圆的标准方程；（2）求经过点P （－2，3），且与椭圆364922=+y x 有共同焦点．例3．△ABC 三个角A ．B ．C 所对的边成等差数列，其中A （－2，0），C （2，0），求顶点B 满足的一个轨迹方程．拓展延伸：如图，已知定点A （－2，0），动点B 是圆F ：64)2(22=+-y x （F 为圆心）上的一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．例4．点P 是椭圆14522=+x y 上的一点，21,F F 两点是焦点，02130=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．【学以致用】1．求经过两点A (2,2-，B (--的椭圆的标准方程；2．求经过点P 3(1,)2，且与椭圆2212x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程．3．求经过点)5152,2(-与椭圆124322=+y x 有共同焦点的椭圆方程．4．将圆22y x += 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？5．已知椭圆的方程为13422=+y x ，若点P 在椭圆上且在第二象限，且，021120=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．第3课时 椭圆的标准方程（2）【基础训练】1．已知椭圆17922=+y x ，则a ．b ．c 的值分别是 ． 2．已知椭圆1253622=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ．3．若方程19422=-+-ky k x 表示椭圆，则参数k 的取值范围是 ． 4．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2212F A F B +=，则AB =______________．5．已知(4,0),(2,2)A B 是椭圆221259x y +=内的点，M 是椭圆上的动点，则||||MA MB +的最大值 ．6．椭圆的焦距为6且经过点124,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则焦点在x 轴上的椭圆的标准方程_____________． 【思考应用】7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(0)；（2）椭圆经过两点35(,)22-，．8．已知圆心为P 的动圆过点(2,0)A ，且与圆224320x x y ++-=内切，求点P 的轨迹方程．9．已知P 为椭圆17542522=+y x 上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．【拓展提升】11．设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，．直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程．12．已知1F ．2F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，已知P ．1F ．2F 是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF > 求21PF PF 的值．。

§2.5直线与圆锥曲线学习目标 1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离知识点二 弦长公式若直线l ：y ＝kx ＋b 与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．( × ) 2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．( √ )题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？ 解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 这个关于x 的一元二次方程的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C 没有公共点．反思感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．跟踪训练1 已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，直线l 的斜率为k 且直线l 过点P (1,1)，当k 为何值时，直线l 与双曲线C ：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ 解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.(*)当k 2－2＝0，即k ＝±2时，(*)式只有一解，直线l 与双曲线相交，只有一个公共点． 当k 2－2≠0时，Δ＝24－16k ，若Δ＝0，即k ＝32，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若Δ>0，即k <32且k ≠±2，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若Δ<0，即k >32，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．综上，(1)当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点；(2)当k <32且k ≠±2时，直线l 与双曲线有两个公共点；(3)当k >32时，直线l 与双曲线无公共点．题型二 中点弦及弦长问题例2 已知点A (－1,0)，B (1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且k MA ·k MB ＝－2. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|PQ |＝322，求直线PQ 的方程．解 (1)设M (x ，y )，则k MA ＝y x ＋1，k MB ＝yx －1(x ≠±1)， ∴yx ＋1×yx －1＝－2，∴x 2＋y 22＝1(x ≠±1)． (2)当直线PQ 的斜率不存在，即PQ 是椭圆的长轴时，其长为22，显然不合题意，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.∵Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0，∴k ∈R ，x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2， ∴|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝22·k 2＋1k 2＋2，∴|PQ |＝322＝22·k 2＋1k 2＋2，k 2＝2，k ＝±2，∴直线PQ 的方程是y ±2x －1＝0.反思感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．跟踪训练2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B ，C 是AB 中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 设椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0，a ≠b )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得，a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a ， 再由|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 2＋2y 2＝3. 题型三 圆锥曲线中的最值及范围问题例3 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)求证：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (易知k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，得B (2k 2，－2k )．∴直线AB 所在直线方程为(y ＋2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x －2k 2)，化简得x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k y －2＝0，∴直线过定点P (2,0)．(2)解 由于直线AB 所在直线方程过定点P (2,0)， ∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，得y 2－2my －4＝0.∴|y 1－y 2|＝2m 2＋16＝4m 2＋16.∴S △AOB ＝12|y 1|·|OP |＋12|y 2|·|OP |＝12|OP |·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝4m 2＋16≥4.∴△AOB 面积的最小值为4. 反思感悟 (1)求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． (2)求最值问题的方法 ①几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． ②代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k2， 设C (x C ，y C )，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2， ∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1， 若5<m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1,4) 答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交， 设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，得4x 2－4x －m ＝0.(*)设此直线与抛物线相切，有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入(*)式，得x ＝12，y ＝1，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.∴S △AOB ＝12|OF ||y A －y B |＝53.5．过点A (6,1)作直线l 与双曲线x 216－y 24＝1相交于两点B ，C ，且A 为线段BC 的中点，则直线l 的方程为________________． 答案 3x －2y －16＝0解析 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116－y 214＝1，x 2216－y224＝1，∴x 21－x 2216－y 21－y 224＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24y 1＋y 2＝124×2＝32. 即k BC ＝32，∴直线l 的方程是y －1＝32(x －6)．即3x －2y －16＝0，经验证符合题意．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切． 2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．一、选择题1．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l 的斜率等于( ) A ．1B ．－1C ．±1D．±2 答案 C解析 结合题意，F (2，0)，且渐近线为y ＝±x ，欲使直线l 与其右支有唯一交点，只需其斜率与渐近线斜率相等．2．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 21－y 213＝1与x 22－y 223＝1得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3x 1＋x 2y 1＋y 2＝6.3．对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 20<4x 0的点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，若点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，则直线l ：y 0y ＝2(x ＋x 0)与拋物线C ( )A ．恰有一个公共点B ．恰有两个公共点C ．可能有一个公共点也可能有两个公共点D ．没有公共点 答案 D解析 C 与l 联立得y 0y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 24＋x 0，即y 2－2y 0y ＋4x 0＝0，Δ＝4y 20－16x 0， 由题意y 20<4x 0，∴Δ<0，没有公共点．4．已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一定点，直线MP ，MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P ，Q 两点，则直线PQ 的斜率为( ) A ．－14B ．－12C.14D.12答案 B解析 由题意得M (2,2)．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2， 由k MP ＝－k MQ ， 得y 1－2y 212－2＝－y 2－2y 222－2， 则y 1＋y 2＝－4，故k PQ ＝2y 1＋y 2＝－12. 5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.3＋12 D.5＋12答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－bc.∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0.两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.6．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( ) A ．48B ．56C ．64D ．72 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y 2＝4x ，得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.设|AP |＝10，|BQ |＝2，又|PQ |＝8， ∴梯形APQB 的面积为S ＝12(|AP |＋|BQ |)×|PQ |＝12(10＋2)×8＝48.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1. 8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为3，以坐标原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋22相切，则椭圆的离心率为( ) A.12B.22C.23D.24 答案 A解析 由题意得抛物线准线方程为x ＝－1，且椭圆被抛物线截得的弦长为3， 故椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，将该点代入椭圆方程，得1a 2＋94b2＝1，① 又点(0,0)到x －y ＋22＝0的距离为a ， 即|0－0＋22|12＋－12＝a ，②由②得a ＝2，代入①得b ＝ 3. 故c ＝a 2－b 2＝1，所以其离心率e ＝c a ＝12.二、填空题9．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，(*)∵y 2＝1－x 24，代入(*)式得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________． 答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)，B (4,4)． ∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2.11．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中所有正确结论的序号是__________． 答案 ②③ 解析设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2(a >1)，将原点(0,0)代入，等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程，等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则12F PF S＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．三、解答题12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.13．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)若△OAB 的面积为10，求k 的值； (2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点.(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝－x ，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0， 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k 2＋1k2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·1k4＋4k2，由点到直线距离公式得d ＝|k |1＋k2，得S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16.(2)证明 ∵k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2. ∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2， ∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝－x ，得ky 2＋y －k ＝0，∴y 1y 2＝－1， 即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ， ∴以弦AB 为直径的圆必过原点．14．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 D解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形． ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 为椭圆C 上的一点，满足OE →＝OF 1→＋22OB →，且△EF 1F 2的周长为2(2＋1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 的距离的取值范围． 解 (1)由已知得F 1(－c,0)，不妨设B (0，b )， 则OF 1→＝(－c,0)，OB →＝(0，b )， 所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b .又点E 在椭圆C 上，所以c 2a 2＋12b 2b2＝1，得c a ＝22.① 又△EF 1F 2的周长为2(2＋1)， 所以2a ＋2c ＝2＋22.②由①②，得c ＝1，a ＝2，所以b ＝1. 所以所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (m,0)(0<m <1)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点为N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k1＋2k2， 所以x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k2， y 0＝y 1＋y 22＝－k 1＋2k2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2. 因为△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形， 所以MN ⊥PQ ，即k 2m 1＋2k 2－2k 2＝－1. 所以m ＝k 21＋2k2＝12＋1k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 设点M 到直线l ：kx －y －k ＝0的距离为d ，则d 2＝k2m －12k 2＋1＝k 2k 2＋11＋2k 22<14k 2＋k 2＋121＋2k22＝14， 所以d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(或k 2＝m 1－2m 且m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以d 2＝k 2m －12k 2＋1＝m (1－m )<14⇒d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 即点M 到直线l 的距离的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。

第二章 圆锥曲线与方程学习目标1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹标准 方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px 或y 2＝－2px 或x 2＝2py 或x 2＝－2py(p >0) 关系式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y ＝±b a x 或y ＝±ab x无限延展，没有渐近线 变量 范围 |x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b|x |≥a 或|y |≥ax ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个两个一个离心率 e ＝ca ，且0<e <1 e ＝ca ，且e >1 e ＝1决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小1．椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积为S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长为L ＝2a ＋2c . 2．双曲线的焦点三角形焦点三角形的面积为S ＝b 2tanα2.知识点三求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． 1．定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．2．定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．3．定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．知识点四离心率1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．知识点五直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．类型一圆锥曲线的定义及应用例1设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的左，右两个焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是____________．类型二圆锥曲线的性质及其应用例2(1)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线的斜率为______________． (2)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．跟踪训练2已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________________________________．类型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37)满足MA ＝MB ，求直线l 的斜率k 的值．反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．1．已知F 1、F 2是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为__________．3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．4．若抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离的和是5，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离是________．5．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．提醒：完成作业第2章章末复习课答案精析题型探究 例1 2跟踪训练1直角三角形 例2(1)±22(2) 6 跟踪训练2⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 例3解(1)由题意知，PF 1＋PF 2＝2a ＝22，所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝22， 所以c ＝22×2＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知椭圆的右焦点为F 2(1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y ＝k (x －1)，两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2. 所以AB 的中点坐标为(2k 21＋2k 2，－k1＋2k2)．①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k21＋2k 2)，因为MA ＝MB ，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程，得 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k 2， 即23k 2－7k ＋3＝0， 解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3或36. 跟踪训练3解(1)因为2c ＝2， 所以c ＝1.又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ， 所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1， 所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1.(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP →·OQ →<0， 即x 1x 2＋y 1y 2<0.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1. 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0， 得m 2<23k 2＋23.依题意且满足(*)得，m 2<23，故实数m 的取值范围是(－63，63)． 当堂训练1.122.x 216＋y 212＝13.x 2－y 23＝1 4．25.3x ＋4y －13＝0。

第18课时 圆锥曲线与方程复习（2）【学习目标】1．掌握圆锥曲线的统一定义；2．掌握椭圆．双曲线．抛物线的几何性质； 3．会求一些简单的曲线的轨迹方程． 【问题情境】1．圆锥曲线的统一定义是什么？2．椭圆．双曲线．抛物线的准线方程分别是什么？ 3．求曲线方程的步骤有哪些？方法有哪些？ 【合作探究】已知(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任意一点．点(,0)M m 为一定点，如何求PM的最小值？【展示点拨】例1．已知(,)P x y 为椭圆221259x y +=的任意一点． （1）若F 为椭圆的右焦点．，求线段PF 长度的取值范围； （2）设(0,)A a ，求线段PA 长度的最大值（用a 表示）．例2．已知F 1，F 2是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点， P 为椭圆上一点，∠F 1MF 2＝60°．（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式：若将椭圆改为双曲线呢？例2．已知圆C 1的方程为:()()2220213x y -+-=,椭圆C 2的方程为:()222210x y a b a b +=>>,C 2的离心率为2，若C 1与C 2相交于A ，B 两点，且线段AB 恰好为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．例4．(1)已知动圆A 过定圆B ：22670x y x ++-= 的圆心，且与定圆C ：226910x y x +--= 相内切，求△ABC 面积的最大值；（2）在（1）的条件下，给定点P (-2,2), 求53PA AB + 的最小值； （3）在（2）的条件下求|PA |＋|AB | 的最小值．【学以致用】1．方程2213sin(2)4x y πα-=+ 表示椭圆，则α的取值范围是___________． 2．抛物线y 2＝2x 上到直线x －y ＋3＝0的距离最短的点的坐标为_________．3．椭圆221123x y +=的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 倍． 4．设直线:l x =A )，动点P 到直线l 的距离为d，且PA d=．求动点P 的轨迹方程．5．若抛物线22x y =的顶点是抛物线上到点(0,)A a 的距离最近的点，求a 的取值范围．第18课时 圆锥曲线与方程复习（2）【基础训练】1．已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 点到另一个焦点的距离为 ．2．如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为 ．3．若椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为，则双曲线22221x y a b -=的离心率是 ． 4．抛物线216y x =-的准线方程为 ． 5．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为 ．6．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于______________________________________． 【思考应用】7．点F 为双曲线221169x y -=的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是（5,1），求4MF+5MA 的最小值．8．若抛物线22x y =的顶点是抛物线上到点(0,)A a 的距离最近的点，求a 的取值范围．9．已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值．10．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>），斜率为1的直线l 与椭圆G 交与A ．B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）． （1）求椭圆G 的方程；（2）求PAB ∆的面积．【拓展提升】11．点A,B 是抛物线24y x =上的两个动点，O 是坐标原点，090AOB ∠=．求证：直线AB 必过定点．12．若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A,B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又, , OA OB a b ⊥求的值．第18课时 圆锥曲线与方程复习（2）答案。

第13课时 圆锥曲线的共同性质【学习目标】了解圆锥曲线统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法． 【问题情境】问题1：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？问题2：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程：a 2－cx ＝a (x －c )2＋y 2，将其变形为：(x －c )2＋y2a2c－x ＝ c a，你能解释这个方程的几何意义吗？【合作探究】已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l ：x ＝a 2c 的距离之比是常数ca（a >c >0），求点P 的轨迹．可以发现圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 当0＜e ＜1时，它表示椭圆； 当e ＞1时，它表示双曲线； 当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． 思考1：（1）椭圆和双曲线有几条准线？（2）准线方程分别是什么？思考2：椭圆 y 2a 2＋x 2b 2 = 1 （a ＞b ＞0）和双曲线y 2a 2－x 2b2＝1 （a ＞0，b ＞0）的准线方程分别是什么？ 【展示点拨】例1．求下列曲线的准线方程：（1）221259x y +=； （2） 22416x y += ； （3）32822=-y x ； （4）422-=-y x ； （5）216y x = ； （6）23x y =-．例2．已知椭圆上一点P 到左焦点的距离为4，求P 点到左准线的距离．变式1 如何求求点P 到右准线的距离．例3．已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离．例4．已知点(1,1)A -，点(1,0)B ，点P 在椭圆22143x y +=上运动，求2PA PB +的最小值.【学以致用】 1．已知动点P 到直线40x +=的距离比到定点(2,0)M 的距离大2，则动点P 的轨迹方程为 ．2．双曲线的渐近线为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，双曲线标准方程___ ____．3．已知点()03，A ，()02，F ，点P 在双曲线1322=-y x 上，PF PA 21+的最小值为______，此时点P 的坐标为____________．4．在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则椭圆的离心率为 ．已知双曲线 13622=-x y 上一点P 到一个焦点的距离为4，求P 点到此焦点相应准线的距离 ． 5．求下列曲线的准线方程：（1）224936x y += ；（2）22981x y -=；（3）22941x y +=；（4）22194x y -=.第13课时 圆锥曲线的共同性质【基础训练】1．椭圆221259x y +=的准线方程为 ． 2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆的右准线的距离是 ．3．双曲线221x y m-=上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于 ．4．已知椭圆的焦点到相应准线的距离为长半轴长，则椭圆的离心率是 ． 5．双曲线C 为等轴双曲线，它的一条准线方程为4x =-，则双曲线的方程为 ．6．若抛物线的顶点在原点，准线与椭圆18422=+y x 的上准线重合，则抛物线的方程为 ． 【思考应用】7．根据下列条件求圆锥曲线的标准方程：（1）准线方程是4y =±，离心率为12；（2）准线方程是163x =±．8．.已知点A （1，2）在椭圆2211612x y +=内，点P 在椭圆上，F 的坐标为（2，0），求使2PA PF +取最小值时P 点的坐标．9．已知抛物线214y x =上的一点P 到顶点和准线的距离相等，求P 点坐标．10．点P 到定点（0，10）与到定直线518=y 的距离之比是35，则求点P 的轨迹方程．【拓展提升】11．已知椭圆22110036x y +=上一点P ，到其左．右焦点的距离之比为13，求P 到两条准线的距离及P 点坐标．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21F F 、．点P 为其上的动点，当21PF F ∠ 为钝角时．点P 横坐标的取值范围为多少？第13课时 圆锥曲线的共同性质作业12x <。

第18课时 圆锥曲线与方程复习（2）【学习目标】1．掌握圆锥曲线的统一定义；2．掌握椭圆．双曲线．抛物线的几何性质；3．会求一些简单的曲线的轨迹方程．【问题情境】1．圆锥曲线的统一定义是什么？2．椭圆．双曲线．抛物线的准线方程分别是什么？3．求曲线方程的步骤有哪些？方法有哪些？【合作探究】已知(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任意一点．点(,0)M m 为一定点，如何求PM 的最小值？【展示点拨】例1． 已知(,)P x y 为椭圆221259x y +=的任意一点． （1）若F 为椭圆的右焦点．，求线段PF 长度的取值范围；（2）设(0,)A a ，求线段PA 长度的最大值（用a 表示）．例2．已知F 1，F 2是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点， P 为椭圆上一点，∠F 1MF 2＝60°．（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式：若将椭圆改为双曲线呢？例2．已知圆C 1的方程为:()()2220213x y -+-=,椭圆C 2的方程为:()222210x y a b a b+=>>,C 2的离心率为2，若C 1与C 2相交于A ，B 两点，且线段AB 恰好为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．例4．(1)已知动圆A 过定圆B ：22670x y x ++-= 的圆心，且与定圆C ：226910x y x +--= 相内切，求△ABC 面积的最大值；（2）在（1）的条件下，给定点P (-2,2), 求53PA AB +的最小值； （3）在（2）的条件下求|PA |＋|AB | 的最小值．【学以致用】1．方程 2213sin(2)4x y πα-=+ 表示椭圆，则α的取值范围是___________． 2．抛物线y 2＝2x 上到直线x －y ＋3＝0的距离最短的点的坐标为_________． 3．椭圆221123x y +=的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 倍．4．设直线:l x =A )，动点P 到直线l 的距离为d，且2PAd =．求动点P 的轨迹方程．5．若抛物线22x y =的顶点是抛物线上到点(0,)A a 的距离最近的点，求a 的取值范围．第18课时 圆锥曲线与方程复习（2）【基础训练】1．已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 点到另一个焦点的距离为 ．2．如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为 ．3．若椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为，则双曲线22221x y a b-=的离心率是 ．4．抛物线216y x =-的准线方程为 ． 5．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为 ．6．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r的离心率等于______________________________________．【思考应用】7．点F 为双曲线221169x y -=的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是（5,1），求4MF+5MA 的最小值．8．若抛物线22x y =的顶点是抛物线上到点(0,)A a 的距离最近的点，求a 的取值范围．9．已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． （1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值．10．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>,0），斜率为1的直线l 与椭圆G 交与A ．B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）．（1）求椭圆G 的方程；（2）求PAB ∆的面积．【拓展提升】11．点A,B 是抛物线24y x =上的两个动点，O 是坐标原点，090AOB ∠=．求证：直线AB 必过定点．12．若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A,B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原，又, , OA OB a b ⊥求的值．。

第13课时 圆锥曲线的共同性质【学习目标】了解圆锥曲线统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法． 【问题情境】问题1：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？问题2：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程：a 2－cx ＝a (x －c )2＋y 2，将其变形为：(x －c )2＋y2a2c－x ＝ c a，你能解释这个方程的几何意义吗？【合作探究】已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l ：x ＝a 2c 的距离之比是常数ca（a >c >0），求点P 的轨迹．可以发现圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 当0＜e ＜1时，它表示椭圆； 当e ＞1时，它表示双曲线； 当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． 思考1：（1）椭圆和双曲线有几条准线？（2）准线方程分别是什么？思考2：椭圆 y 2a 2＋x 2b 2 = 1 （a ＞b ＞0）和双曲线y 2a 2－x 2b2＝1 （a ＞0，b ＞0）的准线方程分别是什么？ 【展示点拨】例1．求下列曲线的准线方程：（1）221259x y +=； （2） 22416x y += ； （3）32822=-y x ； （4）422-=-y x ； （5）216y x = ； （6）23x y =-．例2．已知椭圆上一点P 到左焦点的距离为4，求P 点到左准线的距离．变式1 如何求求点P 到右准线的距离．例3．已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离．例4．已知点(1,1)A -，点(1,0)B ，点P 在椭圆22143x y +=上运动，求2PA PB +的最小值.【学以致用】 1．已知动点P 到直线40x +=的距离比到定点(2,0)M 的距离大2，则动点P 的轨迹方程为 ．2．双曲线的渐近线为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，双曲线标准方程___ ____．3．已知点()03，A ，()02，F ，点P 在双曲线1322=-y x 上，PF PA 21+的最小值为______，此时点P 的坐标为____________．4．在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则椭圆的离心率为 ．已知双曲线 13622=-x y 上一点P 到一个焦点的距离为4，求P 点到此焦点相应准线的距离 ． 5．求下列曲线的准线方程：（1）224936x y += ；（2）22981x y -=；（3）22941x y +=；（4）22194x y -=.第13课时 圆锥曲线的共同性质【基础训练】1．椭圆221259x y +=的准线方程为 ． 2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆的右准线的距离是 ．3．双曲线221x y m-=上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于 ．4．已知椭圆的焦点到相应准线的距离为长半轴长，则椭圆的离心率是 ． 5．双曲线C 为等轴双曲线，它的一条准线方程为4x =-，则双曲线的方程为 ．6．若抛物线的顶点在原点，准线与椭圆18422=+y x 的上准线重合，则抛物线的方程为 ． 【思考应用】7．根据下列条件求圆锥曲线的标准方程：（1）准线方程是4y =±，离心率为12；（2）准线方程是163x =±，离心率为3．8．.已知点A （1，2）在椭圆2211612x y +=内，点P 在椭圆上，F 的坐标为（2，0），求使2PA PF +取最小值时P 点的坐标．9．已知抛物线214y x =上的一点P 到顶点和准线的距离相等，求P 点坐标．10．点P 到定点（0，10）与到定直线518=y 的距离之比是35，则求点P 的轨迹方程．【拓展提升】11．已知椭圆22110036x y +=上一点P ，到其左．右焦点的距离之比为13，求P 到两条准线的距离及P 点坐标．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21F F 、．点P 为其上的动点，当21PF F ∠ 为钝角时．点P 横坐标的取值范围为多少？第13课时 圆锥曲线的共同性质作业12x <<。