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1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。
一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。
2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數．性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）數．3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。
平方数有些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停。
这200个灯泡按1~200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。
开始时，灯泡全部是暗的；第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗。
第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，...,以此类推，第n秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡变亮）起到200秒止，中间的平方数有4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
下面举例来讨论平方数的一些问题。
从1~1989的自然数中，完全平方数共有个。
试一试在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数。
46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？试一试203500乘一个自然数a，是一个平方数，求a最小是多少？下面是一个算式：11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方？请找出符合下列性质的所有四位数：（1）它是一个平方数（2）开始两位数的数字要相同（3）最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，...,问第612个位置的数是几？下式中每个汉字表示1~9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
完全平方数一、完全平方数常用的三条性质1．完全平方数的末位数字必须是：0，1，4，5，6，9。
2．完全平方数分解质因数后每个质因子都必须有偶数个。
推论：完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3．完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
二、基本公式平方差公式:a2-b2=（a+b）（a-b）三、两个特殊的完全平方数7744（四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同）；1444（后三位数字相同的数中最小的）。
【例 1】下面是一个算式：1+1⨯2+1⨯2⨯3+1⨯2⨯3⨯4+1⨯2⨯3⨯4⨯5+1⨯2⨯3⨯4⨯5⨯6。
这个算式的得数能否是某个数的平方。
【巩固】8，88，888，8888…中有完全平方数吗？【例 2】已知3528 a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【巩固】已知m，n都是自然数，且n2=126m，则n的最小值为。
【例 3】12+22+32+…+20012+20022除以4的余数是。
【巩固】A是由2002个“4”组成的多位数，即4444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出2002个4B；如果不是，请说明理由。
【例 4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【例 5】两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。
【巩固】两数乘积为1080，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。
〖答案〗【例 1】 不能【巩固】 无【例 2】 2【巩固】 42【例 3】 1【巩固】 A =2002个44444=22⨯2002个11111，如果A 是完全平方数，需要2002个11111也是完全平方数，而2002个11111除以4余3；所以A 不是某个自然数的平方【例 4】 424【巩固】 不能【例 5】 24，52⨯7【巩固】 36，30。
完全平方数奥数题目摘要：一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、完全平方数的应用1.求解完全平方数2.完全平方数与勾股定理3.完全平方数与概率论三、完全平方数的奥数题目1.判断一个数是否为完全平方数2.求一个数的平方根3.求两个完全平方数的和正文：完全平方数是一个数学概念，它指的是一个数可以表示为某个整数的平方。
例如，4、9、16 等都是完全平方数，因为它们可以表示为2^2、3^2、4^2 的形式。
完全平方数具有一些有趣的性质，例如，如果一个数是完全平方数，那么它的因数一定是成对出现的。
在数学中，完全平方数有着广泛的应用。
例如，在求解完全平方数时，我们可以使用公式：如果一个数的平方根是整数，那么这个数就是完全平方数。
此外，完全平方数还与勾股定理有着密切的关系。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，如果一个数是完全平方数，那么它一定可以表示为两个整数的平方和。
在概率论中，完全平方数也有着重要的应用。
例如，假设有一个袋子，里面有若干个红球和白球，我们想要取出一个红球。
如果我们随机地从袋子中取出一个球，那么取出红球的概率就等于红球的个数除以球的总数。
如果我们想要计算这个概率的平方，那么我们就需要计算所有可能的取球方式的概率，这些概率可以表示为完全平方数。
在奥数比赛中，完全平方数也是一个常见的考点。
例如，可能会给出一个数，要求我们判断它是否为完全平方数。
或者，可能会给出两个数，要求我们求它们的平方和。
对于这类题目，我们需要熟悉完全平方数的性质，并且能够灵活运用它们来解决问题。
总的来说，完全平方数是一个有趣的数学概念，它在数学和概率论中都有着广泛的应用。
五年级奥数完全平方数五年级奥数完全平方数：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
完全平方数奥数题目在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种有趣的数学题目。
今天，我们将介绍一类常见的数学题目——完全平方数奥数题目。
完全平方数是指一个数的平方根是一个整数。
比如，1、4、9、16等都是完全平方数。
而2、3、5、6等则不是完全平方数。
下面，我们来看一些关于完全平方数的奥数题目示例。
题目一：从1到20中，有几个数是完全平方数？解析：根据完全平方数的定义，我们可以计算得出1、4、9、16是完全平方数，所以从1到20中，共有4个数是完全平方数。
题目二：请问100到200中有几个完全平方数？解析：我们可以将100到200逐个检查是否是完全平方数。
首先计算100的平方根，得到10，符合完全平方数的定义。
接着计算101，发现平方根是10.1，不是整数，不符合完全平方数的定义。
继续检查102，平方根为10.2，同样不符合定义。
以此类推，一直检查到200，得知200的平方根为14.14，也不是整数。
综上所述，从100到200中，共有1个完全平方数，即100。
题目三：请问25到125中的完全平方数有哪些？解析：与题目二类似，我们逐个检查25到125中的数是否是完全平方数。
首先计算25的平方根，得到5，符合完全平方数的定义。
接着计算26，平方根为5.1，不符合定义。
继续检查27，平方根为5.196，也不是整数。
一直检查到125，得知125的平方根为11.18，同样不是整数。
因此，从25到125中，共有2个完全平方数，分别是25和36。
通过以上题目的解析，我们对完全平方数的概念和计算方法有了一定的了解。
希望通过这些练习，我们能够更好地掌握和运用数学知识，提高自己的解题能力。
总结：完全平方数奥数题目涉及到对数学概念的理解和计算能力的运用。
通过熟练掌握完全平方数的性质以及计算方法，我们能够更加灵活地解决相关的奥数题目。
在学习数学的过程中，我们要善于总结和归纳，逐步提高自己的思维能力和解题技巧。
希望本文对你理解和解答完全平方数奥数题目有所帮助。
2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数。
2.7.2性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
学生课程讲义一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又称平方数)是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、8×8=64、9×9=81共10个,平方数有一些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,闪烁不停.这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明暗状态.开始时,全部灯泡是暗的第1秒,全部灯泡是亮着的;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗;第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明……依次类推,第n秒钟,凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态.每200秒钟为一周期.即到201秒时,全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变原来的状态.问:第200秒时,明亮的灯泡有多少事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡将变暗,原来不亮的灯泡将变明亮.由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起到200秒止,中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的.下面举例来讨论平方数的一些问题。
【例1】在1-2016的自然数中,完全平方数共有（）个随堂练习1在324、897、211、247、546中,哪些数是完全平方数。
【例6】下式中每个汉字表示1~9中的一个数字,不同的汉字代表不同的数字.已知热2+爱2+小2=学2+奥2+数2那么,请写出符合上述条件的一个等式:随堂练习412345654321是平方数吗?练习题一、填空题1、一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是2、把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是（）3、哥哥对弟弟说:“到21世纪的x2年,我恰好是x岁,”哥哥生于（）年。
完全平方数的性质和应用数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝3721936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数⇔．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
学而思奥数网奥数专题 (数论问题完全平方数) 1、五年级数论问题：完全平方数难度：中难度/高难度一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
答：2、五年级数论问题：完全平方数难度：中难度/高难度求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方答3、五年级数论问题：完全平方数难度：中难度/高难度求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数答：4、六年级数论问题：完全平方数难度：中难度/高难度求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
答：5、六年级数论问题：完全平方数难度：中难度/高难度甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元(答：学而思奥数网奥数专题（数论问题完全平方数）1、五年级完全平方数习题答案：解答：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2; (1)x+44=n^2 (2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得 :n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89因为n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
2、五年级完全平方数习题答案：解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。
欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明设这四个整数之积加上1为m，则m为平方数而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
3、五年级完全平方数习题答案：解答：形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
完全平方数一、知识点1. 完全平方数表示两个相同的数相乘的结果.2. 完全平方数分解质因数时,它的每个相同的质因数都有偶数个.3. 完全平方数的个位数字只可能是965410、、、、、这六个数字. 4. 两个完全平方数的积还是完全平方数.5. 一个完全平方数如果能被n 整除,则它一定能被2n 整除.二、例题例 1 下面是一个算式：9876543214321321211⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+ ,问这个算式的得数是否是一个完全平方数？例2 两个不相等的完全平方数相除,结果还是一个完全平方数,并且这个完全平方数与前两个完全平方数不相等,问两个完全平方数的和最小是多少？例3 从1到2000的所有正整数中,有多少个数乘以72后是完全平方数？例4 计算：2222222222221234569596979899100-+-+-++-+-+- .例5 有六张四位数的数字卡片,每张卡片上有一个或两个数字已被弄脏看不清了.它们分别是24□2、58□7、23□4、4□□8、□□45、□□20,其中只有一个是完全平方数,问这个数是多少？例6 50张卡片,写着1-50这50个数字,正反两面写的数字相同,拉片一面是红,一面是蓝.某班有50名学生,老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上,对同学说:“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片,规则是：只要卡片上的数字是自己学号的倍数,就把它翻过来,蓝翻成红,红翻成蓝”,那么到最后每个学生都翻完后红色朝上的卡片还有多少张？例7 求一个四位完全平方数,它的前两位数码相同,后两位数码也相同.三、练习1. 已知a 是一个两位数,且a +92是一个完全平方数,则=a _______________.2. 在300-600之间,有___________个完全平方数.3. 如果x 32(0≠x )是一个完全平方数,那么x 至少是_________.4. 如果3!+n 是一个完全平方数,那么=n ___________.（其中n n ⨯⨯⨯⨯= 321!）5. 个位数字与百位数字的和恰好等于十位数字的三位完全平方数是_______________.6. 2002加上一个两位质数后得到一个完全平方数,这个质数是____________.。
奥数：完全平方数1、把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（）位数字。
分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。
2、46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（）。
分析与解答：46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×3×7=105。
3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是（）岁。
分析与解答：1512=3×3×3×2×2×2×7要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：3×2×7=42。
所以父亲的年龄是42岁。
4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（）。
分析与解答：我们设这个数原来为10a+b，那么现在是10b+a，它们的和为11×（a+b）是一个完全平方数，所以a+b必等于11，那么这个和数就为11×11=121。
5、已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为（）。
分析与解答：根据n/2是完全平方数，我们知道n里面有奇数个质因数2，而联系n/3是立方数，所以我们知道n里至少有3个质因数2；同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3，那么n最小值为2×2×2×3×3×3×3=648。
6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（）。
第 1 页2019年小学奥数数论专题——完全平方数1．1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方． 2． 112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯,这个算式的得数能否是某个数的平方？3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？5．从1到2019的所有自然数中,乘以72后是完全平方数的数共有多少个？6． 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．7．已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。
8．已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。
9．考虑下列32个数:1!，2!，3!，……，32!,请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数,划去的那个数是 ．10．一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数，问这个数是多少？11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数?12．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ．14．求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．15．两个完全平方数的差为77,则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少?16．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同,那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案）17．A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数（整数的平方),那么A 的所有可能取值之和为 ．18．已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数,BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3,便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例;若不能够，请说明理由．22．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数。
2.7.2性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1 (2k)2=4k2性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质7：完全平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。
平方后，分别得(3m)2=9m2=3k(3m+1)2=9+6m+1=3k+1(3m+2)2=9+12m+4=3k+1同理可以得到：性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数为5k型。
性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。
例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。
如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。
我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则1000a+100b+10c+d= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：性质10：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而(9k)2=9(9k2)+0(9k±1)2=9(9k2±2k)+1(9k±2)2=9(9k2±4k)+4(9k±3)2=9(9k2±6k)+9(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7性质11：a2b为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。
性质12：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
即若n2 < k2 < (n+1)2，则k一定不是整数。
性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n 本身）。
2.7.3重要结论1、个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；3、个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；4、形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；5、形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；7、形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；8、数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
9、四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和10、完全平方数的因数个数一定是奇数。
2.7.4典型例题例1 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m2 ⑴x+44=n2 ⑵（m,n为自然数）⑵-⑴可得:n^2-m^2=89因为n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。
代入⑵得。
故所求的自然数是1981。
例2求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年基辅数学竞赛题）。
解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.这时，(n-1)n(n+1)(n+2)+1= …①易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1故①可被分解为，因为n与n+1是连续两个整数，故n(n+1)为偶数，所以[n(n+1)-1]为奇数，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇数的平方。
例3求证：11,111,1111，11111……这串数中没有完全平方数。
（1972年基辅数学竞赛题。
解：易知该串数中若存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方。
当该串数中存在末尾为1的数的平方时，则，其中n、k为正整数。
但，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。
解2：完全平方数除以四余数为0或1，而根据除以四余数性质（一个数除以四的余数=这个数末两位除以四的余数）可得，这串数除以四余数为3，矛盾，所以这串数中没有完全平方数。
例4用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为6003|600 ∴3|A此数有3的因数，故9|A。
但9|600，∴矛盾。
故不可能有完全平方数。
例5试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）。
解：设该四位数为1000a+100a+10b+b，则1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11（100a+b）故100a+b必须被11整除=>a+b被11整除，又因为(a+b)≤18所以a+b=11，带入上式得四位数=11×（a×100+（11－a））=11×（a×99+11）=11×11×（9a+1)故9a+1必须为完全平方数。
由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得，9a+1=19、28、27、46、55、64、73。
所以只有a=7一个解；此时b=4。
因此四位数是7744=112×82=88×88。
例6求满足下列条件的所有自然数：⑴它是四位数。
⑵被22除余数为5。
⑶它是完全平方数。
解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 5或11|N + 6或n = 1 不合n = 2 1369n = 3 3481 2601n = 4 6561 5329n = 5 9025所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。
例7矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积（1986年缙云杯初二数学竞赛题）。
解：设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B则该四位数为：1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且为完全平方数所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除，又因为A+B≤18故A+B=11易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10验证得该数64所以A=7,B=4，则四位数是7744例8求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。
（1986年第27届IMO试题）设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b，使得ab -1不是完全平方数。
解：显然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都为完全平方数假设2d-1为完全平方数,注意到d为正整数,2d-1为奇数不妨设2d-1=(2n-1)^2 得d=2n^2-2n+1此时5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方数同理假设5d-1 13d-1 为完全平方数可以分d为奇偶去证明.例9 求k的最大值，使2010可以表示为k个连续正整数之和。
