线性代数练习题

第一部分 专项同步练习第一章 队列式一、单项选择题1． 以下摆列是 5 阶偶摆列的是 ().(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523(D)243512．假如 n 阶摆列 j 1 j 2j n 的逆序数是 k , 则摆列 j n j 2 j 1 的逆序数是 (). (A) k (B) n kn! kn(n 1)k(C)(D)223. n 阶队列式的睁开式中含 a 11a 12 的项共有 ()项 .(A) 0(B) n 2(C) (n2)!(D) (n1)!0 0 0 14．0 10 ( ).0 1 0 0 1 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 20 0 1 00 1 0 0 ).5.0 0 (0 1 10 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 22x x 1 11 x 12 ).6． 在函数 f ( x)2 x 中 x3 项的系数是 (33 01(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2a11a12a131，则 D 12a 11 a 13 a 112a 127. 若 Da21 a22 a232a 21 a23a212a 22().a31a32a3322a 31a33 a312a 32(A) 4(B) 4(C) 2 (D)28． 若 a 11a 12a ，则 a 12ka 22().a 21 a 22a 11ka 21(A) ka(B) ka(C) k 2 a (D) k 2a9． 已知 4 阶队列式中第 1 行元挨次是4,0,1,3, 第 3行元的余子式挨次为2, 5,1, x , 则 x ().(A) 0(B) 3(C) 3(D) 28 7 4 310.若 D6 2 31 ).1 1 1，则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ( 14375(A) 1(B) 2(C) 3(D) 03 04 011. 若 D1 11 1，则 D 中第四行元的余子式的和为 ().0 1 0 05322(A) 1(B) 2(C) 3(D) 0x 1 x 2 kx 3 012. k 等于以下选项中哪个值时，齐次线性方程组x 1kx 2 x 3 0 有非零解 .kx 1 x 2x 3 0()(A) 1(B) 2 (C) 3(D) 0二、填空题优选1. 2n 阶摆列24 (2n)13 ( 2n 1) 的逆序数是.2．在六阶队列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是.3．四阶队列式中包括a22a43且带正号的项是.4．若一个n阶队列式中起码有n2 n 1 个元素等于0 , 则这个队列式的值等于.1 1 1 05.0 1 0 1队列式1 1.0 10 0 1 00 1 0 00 0 2 06．队列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a11 a1(n1)a1n7．队列式a21 a2 (n 1) 0 .an1 0 0a11a12a13a11a13 3a12 3a128．假如D a21 a22a23 M ，则D1a21a23 3a22 3a22 .a31 a32a33a31a33 3a32 3a329．已知某 5 阶队列式的值为5，将其第一行与第 5 行互换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新队列式的值为.1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 10． 队列式x 1 1 .1 1 x 11 1 11 11 11111． n 阶队列式.11112． 已知三阶队列式中第二列元素挨次为 1,2,3, 其对应的余子式挨次为 3,2,1，则该队列式的值为.1 2 3 45 6 7 8 1, 2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，13．设队列式 D 3 2 ，A 4 j ( j 4 1 8 7 6 5则 4A 41 3A 4214． 已知 D2 A 43 A 44.a bc ac b a b ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b a cca cb d1 2 3 415． 设队列式 D3 34 4 6 ， A 4 j 为 a 4 j ( j 1, 2, 3, 4) 的代数余子式，则1 5 6 711 22A 41A42， A 43A44.优选1 3 5 2n 11 2 0 016．已知队列式 D 1 0 3 0 ， D 中第一行元的代数余子式的和为1 0n.kx 1 2x 2x 3 017．齐次线性方程组 2x 1 kx 2 0 仅有零解的充要条件是.x 1x 2 x 3 0x 12x 2 x 3 018． 若齐次线性方程组2x 25x 30 有非零解，则 k = .3x 1 2x 2 kx 3三、计算题a b c dx y x ya 2b 2c 2d 21.;2．y x y x ；a3b3c3d3x yxy b c d a c d a b d a b cx a 1 a 20 1x 1a 1 x a 2．解方程 1 0 1 x 0 ；4． a 1 a 2 x3x 1 1 01 x1 0a 1 a 2 a 3a 1 a 2 a 3a n 2 1 a n 21 a n21 ；x1a n 1 1a0 1 1 11 a1 1 15. 1 1 a2 1 ( a j1, j 0,1, , n )；1 1 1a n1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 1111(n 1) b1 1 1 1b1 a1 a1 a17. b1 b2 a2 a2 ；b1b2b3a n1 x12 x1 x2 x1x n9. x2 x1 1 x22 x2xn ;x n x1 x n x2 1 x n21 a a 0 0 01 1 a a 0 0 11． D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 ax a1 a2 a na1 x a2 a n 8． a1 a2 x a n ;a1a2a3x2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0 10.0 0 0 2 10 0 0 1 2优选四、证明题a 2 1a1 1a2ab 2 1b1 1 1． 设 abcd 1，证明：b 2b0 . 211c c1c 2 cd 21d1 1d 2 da 1b 1 x a 1x b 1c 1 a 1 b 1 c 12． a 2 b 2 x a 2 x b 2c 2 (1 x 2 ) a 2 b 2 c 2 .a 3b 3x a 3x b 3c 3a 3b 3c 31 1 1 1 abcd3．2b 2c 2d 2 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)( d c)(a b c d ) . aa 4b 4c 4d 41 1 1 a 1a 2a n222na 1a 2a na i(a j a i ) .4．i 11 ij na 1n 2a 2n 2a n n 2a 1na 2na n n1 1 15． 设 a,b, c 两两不等，证明 a b c 0 的充要条件是 a b c0 .a 3b 3c 3参照答案一．单项选择题ADACCDABCDBB二．填空题1. n ;2. “ ” ;3. a 14 a 22 a 31a 43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1)n 1 n! ;n( n 1)7. ( 1)2a 1n a 2 (n 1) a n1 ; 8. 3M; 9. 160; 10. x 4 ; 11. ( n) n 1 ;12. 2 ;13.0 ; 14.0; 15.12,9; n117. k2,3; 18. k 716. n! (1) ;k 1k三．计算题1． ( a b cd)(b a)(c a)( d a)(cb)(db)(d c) ； 2.2( x 3y 3 ) ；x2,0,1n1a k )3.4.( x;k 1nn15.(a k1)(16.(2 b)(1 b) ((n2) b) ;0 ak) ;k 0k 1( 1) n nnn7.(b ka k ) ;8. ( xa k )( x a k ) ;k 1k 1k 1n9. 1x k ; 10. n 1;k 111. (1 a)(1 a 2a 4 ) .四 . 证明题 (略)优选第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为 n 阶方阵，则以下各式中建立的是 ( ) 。

三、证明题 1． 设 α 为 n 维列向量， α 2．
T
α = 1 , H = En − 2αα T ，证明： H 是对称的矩阵。
3． 4． 5．
⎛1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 设 A = 1 (1 1 1) + x2 ( y1 y2 y3 ) ，其中 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 为任意常数，证明 A ≡ 0 。 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ 2 2 设 A,B 是 n 阶方阵，如果 B 可逆且满足 A + AB + B = 0 ，证明 A 和 A + B 均可逆。 2 −1 如果 A = A + E ，证明 A 可逆并求 A 。 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关， β 1 = α 1 ， β 2 = α 1 + 2α 2 ， β 3 = α 1 + 2α 2 + 3α 3 ，证明 β 1 , β 2 , β 3
并求通解。
⎧ x1 + x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 = 3 ⎪ 15. 求非齐次线性方程组 ⎨ 3x1 + x 2 + 6 x 3 + 2 x 4 = 3 的通解。 ⎪− x + 2 x − 2 x + x = 1 2 3 4 ⎩ 1 16. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知η1 ,η 2 ,η3 是它的三个解向量， ⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ 且 η1 = ⎜ ⎟ ， η 2 + η 3 = ⎜ ⎟ ，求该方程组的通解。 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
若 A 为 n 阶方阵，且 AA = E ，则 A =

一.填空1.若()r A r =，则A 中必有一个（ ）阶子式不为零.２．A 为n 阶反对称矩阵，当且仅当对于任意n 维列向量X 均有T X AX =( ). ３．同一个向量在不同基下的坐标（ ）是不同的. ４．设((,))L V P n σ∈，则{0}Im Ker σσ=⇔=（ ）. ５．n 阶矩阵,A B 均正定，则A B ( ）正定. 6. 设三阶数字方阵A 的特征值为1,2,-2,则||A =().7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ,则A 的初等因子为( ).8.若当块0()k J λ的初等因子组为 .9．正交矩阵的行列式为 .10．n 阶数字矩阵A 的所有不变因子的次数之和为 .11．已知n 阶实对称矩阵A 的特征值中共有t 个正实数,则A 的正惯性指数为 . 11. 设线性空间V 的任一向量都可由V 的线性无关向量组r ααα,,,21 线性表示,则V dim =( ).12. 设非零方阵A 的行列式为0,则()一定是A 的特征值.13. n 阶数字矩阵A 的所有初等因子的次数之和为（ ). 14. 设三阶矩阵A 的元素均为1,则A 的最小多项式为().15. 若x 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量，则()是AP P B 1-=的属于特征值λ的特征向量.参考答案:r,0,一般,V,不一定,3)1(-λ, 0()k λλ- , 1± ,n , t , r, 0,n,)3(-λλ,x P 1- 二.选择题1.设W 为V 的子空间，则W 中的零元必定是V 的零元. （ ）２．在复数域C 作成自身上的线性空间中，令σαα=，则σ是C 的线性变换. （ ）３．设A 为n 阶可逆矩阵，则A 的特征矩阵E A λ-一定可逆. （ ）４．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则σ是正交变换的充要条件是σ把标准正交基变成标准正交基. （ ） ５．在3F 中定义变换σ（a a a 123,,）=（a a a 321,,）,则σ是3F 的一个线性变换. （ ）6. 若σ是线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21 为V 的一组基，则)(,),(),(21n ασασασ 也为V 的一组基.()7. n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似当且仅当它的不变因子全是一次的.( ) 8.任一线性空间一定含有无限多个向量. ( ） 9. n 阶复矩阵A 的最小多项式的根一定是A 的特征值.10.正定矩阵特征值都大于零. ( ） 11．同阶方阵,A B 相似的充要条件是有相同的最小多项式.( ）12.线性空间的两个子空间的并集也是子空间. ( ） 13. n 阶复矩阵A 的零化多项式无重根，则A 可对角化. ( ）14．若σ是线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21 为V 的线性无关的向量组，则)(,),(),(21n ασασασ 也线性无关.15.有限维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵皆为正交矩阵.()✓,✗, ✗ , ✓,✓, ✗,✗,✗,对, ✓ , ✗, ✗ , ✓ , ✗,错.三.选择题1.设矩阵A 的每行元素之和均为1,则( )一定是A 的特征值.A. 0B. 1C. 2D. 32．下列命题（ ）不是矩阵A 正定的判定条件.A ．A 与单位矩阵等价. B.A 特征值都大于零.C.A 与单位矩阵合同.D. A 的顺序主子式都大于零.3．设复数域C 是定义在复数域C 上的线性空间，则此线性空间维数为（ ）.A ．无限维 B. 3 C. 2 D. 14．设σ是数域F 上线性空间V 上的线性变换，若2I σ=，I 是恒等变换，则σ可能的特征值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 35．已知二次型),,(321x x x f 通过非退化线性替换化为标准形2221y y +-,则二次型),,(321x x x f （ ）.A.正定B. 半正定C. 负定D. 不定 6.设矩阵A 的每行元素之和均为1，则()一定是A 的特征值.A. 0B. 1C. 2D. 37.设A 为2阶矩阵，21,λλ是A 的特征值,则正确的是（ ）.A.2121||,)(λλλλ=+=A A trB. 2121||,)(λλλλ=--=A A trC. 2121||,)(λλλλ+==A A trD. 以上都不对8.已知二次型),,(321x x x f 通过正交线性替换化为标准形2221y y +-,则二次型),,(321x x x f （ ）. A.正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定9.下列命题（ ）不是n 阶实对称方阵A 正定的充要条件.A ．A 合同于1(,,),0,1,,n i diag d d d i n >= B. A 的正惯性指数为n C. 存在可逆矩阵n n C R ⨯∈，使得T A C C = D.A 与单位矩阵等价.10.设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，线性方程组0)(=-x A E λ的两个不同解向量分别是,αβ，则( )必是A 对应于特征值λ的特征向量. A.αB. βC. αβ+D. αβ-B, A , D ,B ,D,B,A,D,D,D 四.计算1.设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ,求正交矩阵Q ,使得AQ Q T 为对角形矩阵. 1’ 已知实二次型323121232221321444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.(1)写出二次型),,(321x x x f 的矩阵;(2)用正交替换化),,(321x x x f 为标准形,并写出所用的正交替换及二次型的标准形.2. 若数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-与23(1,44,1,1,32)diag λλλλ-+--等价.(1)试写E A λ-的标准形. (2)试写A 的初等因子.(3)试写A 的Jordan 标准形.3.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A 在实数域上的全部特征值与特征向量. 4.设A =3452⎛⎝⎫⎭⎪.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)A 是否可以对角化？若能对角化写出相应的过渡矩阵P ，使P AP -1为对角矩阵.1.解:A 的特征多项式)5()1(||)(2-+=-=λλλλA E f故A 的特征值为-1,-1,5.取-1的线性无关的特征向量)1,1,0(),1,0,1(21-=-=αα将其正交单位化得)61,62,61(),21,0,21(21--=-=γγ取特征值5的特征向量)1,1,1(3=α 将其单位化得)31,31,31(3=γ令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=31612131620316121Q 则)5,1,1(--=diag AQ Q T .2. 解:由条件知A 的初等因子为22(2),(2),(1)λλλ--+.(1) E A λ-的标准形为22(1,1,1,2,(2)(1))diag λλλ--+. (2) A 的初等因子为22(2),(2),(1)λλλ--+.(3) A 的Jordan 标准形2212111J ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3. 解:A 的特征多项式为2)2)(7(||)(-+=-=λλλλA E f故A 的特征值为-7,2,2.属于特征值2的特征向量为)1,0,2(),0,1,2(,,,21212211=-=∈+αααλR k k k k 属于特征值-7的线性无关的特征向量为)2,2,1(,,33-=∈ααR l l 4.解:(1)A 的特征多项式为34||(7)(2)52E A λλλλλ---==-+--故A 的特征值为7,2-.解其次线性方程组(7)0E A X -=,得其基础解系为1(1,1)ξ=,从而A 的属于特征值7的特征向量为1().k k ξ为任意数解其次线性方程组(2)0E A X --=,得其基础解系为2(4,5)ξ=-,从而A 的属于特征值2-的特征向量为2()k k ξ为任意数.(2)由(1)知A 有两个不同的特征值,故A 可以对角化.令 1415P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则172PA P -⎛⎫=⎪-⎝⎭. 证明:1.设n n F ⨯是数域F 上的所有n 阶矩阵的集合,令}|{A APA S Tnn =∈=⨯,}|{A APA T Tnn -=∈=⨯.(1)证明:T S ,是n n F ⨯的子空间; (2)证明:TS F nn ⊕=⨯.证明: (1)由于S E ∈,故φ≠S .F l k S B A ∈∀∈∀,,,则lBkA lB kA T+=+)(故S lB kA ∈+,从而S 为n n F ⨯的子空间.同理可证T 是n n F ⨯的子空间.(法1)先证明TS F nn +=⨯.显然,nn FT S ⨯⊆+. nn FA ⨯∈∀,有22TTA A A A A -++=,而,22TTT A A A A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22TTT A A A A --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ,故TA A S A A TT∈-∈+2,2,从而TSA +∈,故T S F nn +⊆⨯.故T S F n n +=⨯.再证T S F n n ⊕=⨯,T S A ∈∀,则A A A T -==,从而0=A ,故}0{=T S . 故结论成立.(法2) T S A ∈∀,则A A A T -==,从而0=A ,故}0{=T S . 从而nn Fnn n n n T S T S T S ⨯==--++=-+=+dim 022)dim(dim dim )dim(222又nn FTS ⨯⊆+,故T S F n n ⊕=⨯.2.设σ为数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换.证明:n Ker =+σσdim Im dim . 证明: 设r =σker dim ,取σKer 基r ααα,,,21 扩充为V 的基r ααα,,,21 ,n r αα,,1 +.则))(,),(())(,),(),(,),(),((Im 1121n r n r r L L ασασασασασασασσ ++==下证)(,),(1n r ασασ +线性无关,设)()(11=++++n n r r k k ασασ由σ为线性变换,故0)(11=++++n n r r k k αασ从而σααKer k k n n r r ∈++++ 11,设rr n n r r k k k k k ααααα----=++++ 221111即0112211=++++++++n n r r r r k k k k k ααααα由r ααα,,,21 ,n r αα,,1 +线性无关得01===+n r k k ,故)(,),(1n r ασασ +线性无关,且是σIm 的基,故r n -=σIm dim ,而r Ker =σdim ,从而结论成立. 3.证明:欧氏空间V 上的对称变换的属于不同特征值的特征向量是正交的.证明:设σ为V 的对称变换,μλ,为σ的两个不同特征值,V ∈βα,是σ的分别属于μλ,的特征向量,即μββσλαασ==)(,)(由))(,()),((βσαβασ=可得 ),(),(ββμβαλ=,而μλ≠,故0),=(βα,从而结论成立.4. 证明:方阵A 的行列式为0的充要条件为0是A 的特征值. 证明:必要性.由于|0|||0A E A -==,故0是A 的特征值.充分性.由于0是A 的特征值,故||)1(|||0|0A A A E n-=-=-=,即0||=A .5. 设A 为n 阶可逆实矩阵,在n R 中,定义nT TRY X AY A XY X ∈∀=,,),(证明:),(Y X 是n R 的内积.证明:nRZ Y X ∈∀,,,R k ∈∀由于(1)),()(),(X Y AX A Y AY A XAY A XY X TT TT TTT====;(2)),()(),(Y X k AY A kXAY A kX Y kX TTTT ===;(3)),(),()(),(Z Y Z X AZ A Y AZ A XAZ A Y X Z Y XTTTTTT+=+=+=+;(4)由A A T 正定知,0),(≥=AX A XX X T T.若0=X,则0),(=X X .若AXA XX X TT==),(0,由A A T正定知0=X .6.数域F 上一个n 阶矩阵A (E A A n ≠≠>,0,1)，满足A A =2.证明： (1)A 的特征值只能是0或1； (2) ()()Tr A r A =；(3) 对任意的自然数m k ,有()n A E r A r m k =-+)()(. 证明: (1)设λ为A 的任一特征值,α为对应的特征向量,即0,≠=αλααA由A A =2,有αλαλαααλα22)(=====A A A A A ,而0≠α,故λλ=2,于是0=λ或1.从而结论成立.(2) 由A A =2知λλλ-=2)(g 为A 的零化多项式,而)(λg 无重根,从而A 相似于对角阵,即存在可逆矩阵P使得P E PA r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01其中r A r =)(,而)(A tr 为对角阵对角元之和0011)(+++++= A tr ,故()()Tr A r A =.(3)由(2)有P E P A E P E PA rn m r k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---0)(,011从而结论成立.7. 设σ是数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换,且I =2σ.(1)证明:σ的特征值只能为1或1-;(2)用11,-V V 分别表示σ的属于特征值1和1-的特征子空间,证明:11-⊕=V V V.证明: (1) 设λ为σ的任意一个特征值,α为属于λ的一个特征向量,即λαασ=)(.由I =2σ,有αλλασασα22)()(===故12=λ,即σ的特征值为1或1-. (2)下证11-⊕=V V V .V ∈∀α,则))((21))((21ασαασαα++-=,且)))((21(21)(21)(21)(21)))((21(2ασααασασασασασ--=-=-=-)))((21(21)(21)(21)(21)))((21(2ασααασασασασασ+=+=+=+即11-+=V V V .11-∈∀V V α,则αασα-==)(,于是0=α.从而11-⊕=V V V8.证明反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数.证明:设A 为n 阶反对称实矩阵,C λ∈为A 的任一特征值,n C α∈为对应的特征向量,即,0A αλαα=≠ 上式两边取共轭和转置得TTA A αλααλα=-=于是 TT TA λααααλαα-==而0Tαα>,故λλ-=.即λ为零或纯虚数.。

线性代数练习——向量组的线性相关性一、填空题1、 设1(1,0,1)T α=，2(0,1,1)T α=−−3(1,1,1)T α=，(3,5,6)T β=，则β被1α，2α，3α线性表示的表示式为 。

2、 若向量组1(1,2,3)T α=，2(3,1,2)T α=−，3(2,3,)T a α=线性相关，则a = 。

3、 设1(1,3,1)T α=−，2(2,1,0)T α=，3(1,4,1)T α=，则1α，2α，3α线性 关。

4、 已知向量组1α，2α，3α线性无关，若向量组1α+2α，2α+3α，1λα+3α线性无关，则λ=________。

5、 设()n m ij a A ×=，若n m <，则A 的列向量组线性__________。

二、单项选择题1、若向量组s ααα,,,21"线性相关，则一定有（ ）（A）121,,,−s ααα"线性相关（B）121,,,+s ααα"线性相关 （C）121,,,−s ααα"线性无关 （D）121,,,+s ααα"线性无关2、向量组s ααα,,,21"线性无关的充分条件是（ ）（A）s ααα,,,21"均不是零向量 （B）s ααα,,,21"中有部分向量线性无关（C）s ααα,,,21"中任意一个向量均不能由其余1−s 个向量线性表示（D）有一组数021====s k k k "，使得11220s s k k k ααα+++="3、给定向量组)3,1,1(1−=αK ，)4,1,2(2=αK ，)7,0,3(3=αK，其最大无关组所含向量的个数为（ ）（A）0（B）1 （C）2 （D）3三、计算题 1、 求向量组1(2,1,3,5)T α=−，2(4,3,1,3)T α=−，3(3,2,3,4)T α=−，4(4,1,15,17)Tα=−的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。