中考数学压轴选择题100题(含答案)

冲刺中考《函数》压轴真题训练第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．（2019•兴安盟）如图，反比例函数y ＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．82．（2019•恩施州）函数y ＝﹣中，自变量x的取值范围是（）A．x ≤B．x ≥C．x ＜且x≠﹣1 D．x ≤且x≠﹣1 3．（2019•济南）函数y＝﹣ax+a与y ＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．1C ．D ．4．（2019•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（）A．（1200，）B．（600，0）C．（600，）D．（1200，0）5．（2019•铁岭）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，AG⊥BC于点G，点D为BC边上一动点，DE⊥BC交射线CA于点E，作△DEC关于DE的轴对称图形得到△DEF，设CD的长为x，△DEF与△ABG重合部分的面积为y．下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．6．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝2，点N在对角线BD上（不与点B，D重合），EF，GH过点N，GH∥BC交AB于点G，交DC于点H，EF∥AB交AD于点E，交BC于点F，AH交EF于点M．设BF＝x，MN＝y，则y关于x的函数图象是（）2A ．B ．C ．D ．7．（2019•恩施州）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图4所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个38．（2019•朝阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2019•营口）如图，A，B是反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标为5，CD＝3AC，cos∠BED ＝，则k的值为（）A．5 B．4 C．3 D ．10．（2019•莱芜区）如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y ＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（）4A．1 B．2 C．3 D．411．（2019•日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）12．（2019•丹东）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取5值范围为a≥1；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．其中结论正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题13．（2019•无锡）如图，已知A（0，3）、B（4，0），一次函数y ＝﹣x+b的图象为直线l，点O关于直线l的对称点O′恰好落在∠ABO的平分线上，则b的值为．14．（2019•无锡）如图，A为反比例函数y＝（k＜0）的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．点B在直线AP上，且PB＝3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，则k的值为．15．（2019•兴安盟）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是．16．（2019•济南）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．717．（2019•朝阳）如图，直线y ＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，A n﹣1B n﹣1C n﹣1A n中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，S n，则S n可表示为．18．（2019•营口）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，过点A1作x轴的垂线交直线l2：y＝x于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2，此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个△C2019B2019B2020的面积是．8三．解答题19．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD ＝，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．20．（2019•恩施州）如图，已知∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数y ＝﹣（x＜0）的图象过点B（﹣3，a），反比例函数y ＝（x＞0）的图象过点A．（1）求a和k的值；（2）过点B作BC∥x轴，与双曲线y ＝交于点C．求△OAC的面积．21．（2019•济南）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y ＝（x＞0）9的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E ，求的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．22．（2019•济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx ﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP ＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．1023．（2019•恩施州）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E 的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y 为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H ，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•兴安盟）如图，在▱OABC中，A、C两点的坐标分别为（4，0）、（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，点D是抛物线W的顶点．11（1）求抛物线W的函数解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC同时先向右平移4个单位长度，再向下平移m（0＜m＜3）个单位长度，得到抛物线W1和□O1A1B1C1，在向下平移过程中，O1C1与x轴交于点H，▱O1A1B1C1与▱OABC重叠部分的面积记为S，试探究：当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W1的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W1上的动点，是否存在这样的点M、N，使以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2019•抚顺）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON ＝，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．1226．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y ＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．27．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y ＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC ＝时，求点F的坐标．13（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t ≤），请直接写出S与t的函数关系式．14参考答案一．选择1．解：∵反比例函数y ＝，∴OA•AD＝2．∵D是AB的中点，∴AB＝2AD．∴矩形的面积＝OA•AB＝2AD•OA＝2×2＝4．故选：C．2．解：根据题意得：2﹣3x≥0且x+1≠0，解得：x ≤且x≠﹣1．故选：D．3．解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y ＝在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y ＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；故选：D．4．解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x 轴上．∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB ＝＝5，15∴点C2的横坐标为4+5+3＝12＝2×6，同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数），∴点C100的横坐标为100×6＝600，∴点C100的坐标为（600，0）．故选：B．5．解：∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝GC ＝，∵△DEC与△DEF关于DE对称，∴FD＝CD＝x．当点F与G重合时，FD＝CD，即2x＝2，∴x＝1，当点F与点B重合时，FC＝BC，即2x ＝4，∴x＝2，如图1，当0≤x≤1时，y＝0，∴B选项错误；如图2，当1＜x≤2时，，∴选项D错误；如图3，当2＜x≤4时，，∴选项C错误．16故选：A．6．解：tan∠DBC ＝＝＝，tan∠DAH ＝＝＝＝﹣x，y＝EF﹣EM﹣NF＝2﹣BF tan∠DBC﹣AE tan∠DAH＝2﹣x ×﹣x （）＝x2﹣x+2，故选：B．7．解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵a＜0，∴b＜0，c＞0，∴ab＞0且c＞0，故①错误，∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，∴x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴x＝﹣4时，y＜0，17∵b＝2a，∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，∴c＝3a﹣3b，故④正确，∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤错误，故选：D．8．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴由于对称轴＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②抛物线过（3，0），∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；③顶点坐标为：（，）由图象可知：＜﹣2，∵a＞0，18即b2﹣4ac＞8a，故③错误；④由图象可知：＞1，a＞0，∴2a+b＜0，∵9a+3b+c＝0，∴c＝﹣9a﹣3b，∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；故选：C．9．解：∵BD∥x轴，∴∠EDB＝90°，∵cos∠BED ＝＝，∴设DE＝3a，BE＝5a，∴BD ＝＝＝4a，∵点B的横坐标为5，∴4a＝5，则a ＝，∴DE ＝，设AC＝b，则CD＝3b，∵AC∥BD，∴＝＝＝，19∴EC ＝b，∴ED＝3b +b ＝，∴＝，则b＝1，∴AC＝1，CD＝3，设B点的纵坐标为n，∴OD＝n，则OC＝3+n，∵A（1，3+n），B（5，n），∴A，B是反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，∴k＝1×（3+n）＝5n，解得k ＝，故选：D．10．解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面积为1，∴OA•OB＝1，∴OA ＝，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA ＝，CD＝2OB＝2a，20∴C （，2a），∵反比例函数y ＝（x＞0）的图象经过点C，∴k ＝×2a＝4．故选：D．11．解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∵2019÷4＝504 (3)∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×＝﹣1008．∴A2019的坐标为（﹣1008，0）．故选：A．12．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，21∴＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，∴4a+4a+c＝0，∴8a+c＝0，故②错误；③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即≤﹣3，∵8a+c＝0，∴c＝﹣8a，∵b＝﹣2a，∴，解得：a，故④错误；⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，22即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，∵x1＜x2，∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；故选：A．二．填空题（共6小题）13．解：延长OO'交AB于点C，交l于点E，过点O'作DG⊥x轴交于G，过点E作EF⊥x轴于点F；∵A（0，3）、B（4，0），∴直线AB的解析式为y ＝﹣x+3，∵直线l的解析式为y ＝﹣x+b，∴AB∥l，∵OO'⊥l，∴OC⊥AB，∵OA＝3，OB＝4，由等积法可求，OC ＝，∵∠COB+∠AOC＝∠BAO+∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠BAO，∵BO'是∠ABO的角平分线，∴CO'＝GO'，23∴sin∠BAO ＝＝＝＝，∴OO'＝，∴O'G ＝﹣＝，在Rt△OO'G中，GO ＝，∵E、F是△OO'G的中位线，∴E （，），∵E点在直线l上，∴＝﹣×+b，∴b ＝，故答案为．14．解：当B点在P点右侧，如图，设A（t ，），∵PB＝3PA，24∴B（﹣3t ，），∵BC∥y轴，∴C（﹣3t ，﹣），∵△PAC的面积为4，∴×（﹣t ）×（+）＝4，解得k＝﹣6；当B点在P点左侧，设A（t ，），∵PB＝3PA，∴B（3t ，），∵BC∥y轴，∴C（3t ，），∵△PAC的面积为4，∴×（﹣t ）×（﹣）＝4，解得k＝﹣12；综上所述，k的值为﹣6或﹣12．故答案为﹣6或﹣12．2515．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣6x+m，∴△＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×m＜0，解得，m＜﹣9故答案为：m＜﹣9．16．解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，，得，即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），660﹣450＝210（元），即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，故答案为：210．17．解：在直线y ＝x+1中，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣3；26∴OA＝1，OM＝3，∴tan∠AMO ＝，∵∠OAB+∠OAM＝90°，∠AMO+∠OAM＝90°，∴∠OAB＝∠AMO，∴tan∠OAB ＝，∴OB ＝．∵，∴，易得tan，∴，∴，∴，同理可得，，…，＝．故答案为：．18．解：∵y ＝x +与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，∴，27在y ＝中，当x＝﹣1时，y ＝﹣，∴，设直线A2B1的解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直线A2B1的解析式为：，令y＝0，可得：x ＝﹣，∴C1（﹣，0），∴＝，∵△A1B1B2∽△A2B2B3，∴△C1B1B2∽△C2B2B3，∴，∴，同理可得：…，∴△C2019B2019B2020的面积＝，28故答案为：．三．解答题（共9小题）19．解：（1）过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c，∴对称轴为x ＝，∴B（2，0），∵C（0，﹣2），∴OB＝OC＝2，∴∠OBC＝∠DBH＝45°，∵BH ＝，∴BH＝DH＝1，∴OH＝OB+BH＝2+1＝3，∴D（3，1），把C（0，﹣2），D（3，1）代入y＝ax2﹣4ax+c中得，，29∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣2；（2）∵y＝ax2﹣4ax+c过C（0，﹣2），∴c＝﹣2，∴y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a﹣2，∴A（2，﹣4a﹣2），∵P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，∴①当抛物线的顶点A在x轴上时，∠POA＝90°，则OP＝OA，这样的P点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，此时A（﹣2，0），∴﹣4a﹣2＝0，解得a ＝；②当抛物线的顶点A不在x轴上时，∠AOB＝30°时，则△OPA为等边三角形或∠AOP＝120°的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，30∴AB＝OB•tan30°＝2×＝，∴|﹣4a﹣2|＝，∴或．综上，a ＝﹣或或．20．解：（1）∵比例函数y ＝﹣（x＜0）的图象过点B（﹣3，a），∴a ＝﹣＝1，∴OE＝3，BE＝1，分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，tan30°＝＝，∴∠OBE＝∠AOD，∵∠OEB＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD31∴＝＝＝，∴AD ＝•OE ＝＝3，OD ＝•BE ＝＝∴A （，3），∵反比例函数y ＝（x＞0）的图象过点A，∴k ＝×＝9；（2）由（1）可知AD＝3，OD ＝，∵BC∥x轴，B（﹣3，1），∴C点的纵坐标为1，过点C作CF⊥x轴于F，∵点C在双曲线y ＝上，∴1＝，解得x＝9，∴C（9，1），∴CF＝1，∴S△AOC＝S△AOD+S梯形ADFC﹣S△COF＝S梯形ADCF＝（AD+CF）（OF﹣OD）＝（3+1）（9﹣）＝13．3221．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）在反比例函数解析式y ＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y ＝，当m＝3时，∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即：D（5，4），33∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y ＝的图象于点E，∴E（5，），∴DE＝4﹣＝，EF ＝，∴＝＝；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当BC＝BD时，∵B（2，4），C（m，8），∴BC ＝，∴＝m，34∴m＝5，即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．22．解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx 中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx ﹣中，得0＝﹣4k ﹣，解得k ＝，∴直线l解析式为y ＝x ﹣，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，35∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m ＝•（﹣2m ）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB ＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB ＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH ＝OE ＝，36过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y ＝﹣x，解方程组，得，，∴点P 的横坐标为：或．3723．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y ＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC ＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b ，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时38＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB ＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E ＝﹣，则点E （﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB 得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，39则FG＝CF sin∠FCG ＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y ＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF 有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），40∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m +），解得：m ＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．24．解：（1）设抛物线W的函数解析式为y＝ax2+bx，图象经过A（4，0），C（﹣2，3）41∴抛物线W 的函数解析式为，顶点D的坐标为（2，﹣1）；（2）根据题意，由O（0，0），C（﹣2，3），得O1（4，﹣m），C1（2，3﹣m）设直线O1C1的函数解析式为y＝kx+b把O1（4，﹣m），C1（2，3﹣m）代入y＝kx+b 得：，直线O1C1与x轴交于点H∴过C1作C1E⊥HA于点E，∵0＜m＜3∴，∴，∵，抛物线开口向下，S 有最大值，最大值为∴当时，；42（3）当时，由D（2，﹣1）得F（6，）∴抛物线W1的函数解析式为，依题意设M（t，0），以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：①以DF为边时∵D（2，﹣1），F点D，F横坐标之差是4，纵坐标之差是，若点M、N的横纵坐标与之有相同规律，则以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∵M（t，0），∴把分别代入得t1＝0，t2＝4，t3＝6，t4＝14∴M1 （0，0），M2（4，0），M3 （6，0），M4 （14，0）②以DF为对角线时，以点D，F，M，N为顶点不能构成平行四边形．综上所述：M1 （0，0），M2（4，0），M3 （6，0），M4 （14，0）．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．43（2）如图1，设对称轴与x轴交于点H，∵MN平分∠OMD，∴∠OMN＝∠DMN，又∵DM∥ON，∴∠DMN＝∠MNO，∴∠MNO＝∠OMN，∴OM＝ON ＝．在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1．∴，∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x，依题意得：x＝x2﹣2x﹣3．解得：，，∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，∴Q点纵坐标y ＝．∴，②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x，同理可求：，综上所述：点Q 的坐标为：，，44（3）由题意可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴AC ＝，AD ＝，CD ＝，∵直线BC经过B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y＝x﹣3，∵抛物线对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E，∴E坐标为（1，﹣2）；∴CE ＝，设P点坐标为（x，y），则CP2＝（x﹣0）2+（y+3）2，则EP2＝（x﹣1）2+（y+2）2，∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，有两种情况，Ⅰ．PC＝AC，PE＝AD，即△PCE≌△ACD（SSS）．∴，解得：，，即P点坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6）．45Ⅱ．PC＝AD，PE＝AC，即△PCE≌△ACD（SSS）．∴，解得：，，即P点坐标为P3（2，1），P4（4，﹣1）．故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6），P3（2，1），P4（4，﹣1）．26．解：（1）∵BM＝OM＝2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），∵反比例函数y ＝（k≠0）的图象经过点B，则﹣2＝，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝，∵点A的纵坐标是4，∴4＝，得x＝1，46∴点A的坐标为（1，4），∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），∴，解得，即一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，2），∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），∴OC＝MB＝2，∵BM⊥x轴，∴MB∥OC，∴四边形MBOC是平行四边形，∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．27．解：（1）直线y ＝﹣x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y ＝﹣x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b ＝，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x2+x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x ＝，47点N 的横坐标为：+＝5，故点N的坐标为（5，﹣3）；（3）∵tan∠ACO ＝＝tan∠FAC ＝，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r ＝，即点R 的坐标为：（，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n 得：，解得：，故直线AR的表达式为：y ＝﹣x+2…②，48联立①②并解得：x ＝，故点F （，﹣）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tan α＝＝，则sin α＝，cos α＝；①当0≤t ≤时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，则DT ＝＝＝＝t，DS ＝，S＝S△DST ＝DT×DS ＝t2；②当＜t ≤时（右侧图），49同理可得：S＝S梯形DGS′T′＝×DG×（GS′+DT ′）＝3+（+﹣）＝t ﹣；③当＜t ≤时，同理可得：S ＝t +；综上，S ＝．50。

中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

【中考数学】易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题训练经典题目(含答案)(1)一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D ．2，3，52．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 、BE 与相交于点G ，以下结论中正确的结论有（ ）（1）△ABC 是等腰三角形；（2）BF ＝AC ；（3）BH ：BD ：BC ＝1：2：3；（4）GE 2+CE 2＝BG 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形5．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm6．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（ ）cm ．A ．9B ．10C ．18D ．207．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论:①2BD BE =； ②∠A=∠BHE ；③AB=BH ； ④△BCF ≌△DCE ， 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④8．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ）A ．49B ．25C ．12D ．109．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．102B ．2C 51+D ．3210．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）A ．22B ．32C ．62D ．8211．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）A ．332cmB ．4cmC ．32cmD ．6cm12．在ABC ∆中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（ ）A ．4或14B ．10或14C ．14D ．10 13．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c =B ．A BC ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=D ．6a =，12b =，10c =14．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ︒∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A ．22B ．4C ．3D ．1015．如图， 在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ABC 的外角ACD ∠，且EF //BC 交AC 于M ，若CM 4=，则22CE CF +的值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．6416．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3 17．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )A ．3，4，5B ．1，1，2C ．8，12，13D ．2、3、5 18．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A ．4 B ．16 C ．34 D ．4或3419．如图，分别以直角ABC ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（ ）A ．9B ．5C ．53D ．4520．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )A ．3B ．5C ．4.2D ．421．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（ ）A ．62B ．22C ．210D ．6 22．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 23．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2()a b + 的值为（ ）.A ．49B ．25C ．13D ．124．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2a b +值为（ ）A ．25B ．9C ．13D ．16925．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个26．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（ ）A ．（22）2013B ．（22）2014C ．（12）2013D ．（12）2014 27．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．1028．如图，在23⨯的正方形网格中，AMB ∠的度数是（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°29．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）A ．6B ．36C ．64D ．830．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（ ）．A．86 B．61 C．54 D．48【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D、222235+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．2．C解析：C【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，根据等角的余角相等求出∠A＝∠BCA，再根据等角对等边可得AB＝BC，从而得证；（2）根据三角形的内角和定理求出∠A＝∠DFB，推出BD＝DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；（4）由（2）得出BF ＝AC ，再由BF 平分∠DBC 和BE ⊥AC 通过ASA 证得△ABE ≌△CBE ，即得CE ＝AE ＝12AC ，连接CG ，由H 是BC 边的中点和等腰直角三角形△DBC 得出BG ＝CG ，再由直角△CEG 得出CG 2＝CE 2+GE 2，从而得出CE ，GE ，BG 的关系．【详解】 解：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵CD ⊥AB ，∴∠ABE +∠A ＝90°，∠CBE +∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠BCA ，∴AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形；故（1）正确；（2）∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，∴∠A +∠ABE ＝90°，∠ABE +∠DFB ＝90°，∴∠A ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，∴∠DCB ＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC ，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDA 中==BDF CDA A DFB BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF ＝AC ；故（2）正确；（3）∵在△BCD 中，∠CDB ＝90°，∠DBC ＝45°，∴∠DCB ＝45°，∴BD ＝CD ，BCBD ．由点H 是BC 的中点，∴DH ＝BH ＝CH ＝12BC ， ∴BD，∴BH ：BD ：BC ＝BH：2BH ＝1：2．故（3）错误；（4）由（2）知：BF ＝AC ，∵BF 平分∠DBC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，又∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CEB ，在△ABE 与△CBE 中，==ABE CBE AEB CEB BE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBE （AAS ），∴CE ＝AE ＝12AC ， ∴CE ＝12AC ＝12BF ； 连接CG ．∵BD ＝CD ，H 是BC 边的中点，∴DH 是BC 的中垂线，∴BG ＝CG ，在Rt △CGE 中有：CG 2＝CE 2+GE 2，∴CE 2+GE 2＝BG 2．故（4）正确．综上所述，正确的结论由3个．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．C解析：C【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ． ∵在△BAD 和△CAE 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．∴BD=CE ．本结论正确．②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD ⊥CE ．本结论正确．③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．∵∠ABD=∠ACE ，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得：BE 2=BD 2+DE 2．∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AD ，即DE 2=2AD 2．∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2．而BD 2≠2AB 2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C ．4．B解析：B【解析】【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状.【详解】∵a+b=10，ab=18，∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64，∵,c=8，∴2c =64，∴22a b +=2c ，∴该三角形是直角三角形，故选：B.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出22a b +是解题的关键.5．C解析：C【分析】当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，于是得到结论．【详解】解：当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，∴AC ′=AB-BC ′=2cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．C解析：C【分析】将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，2222'15129A D A B BD ∴--'==．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．7．A解析：A【分析】先判断△DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出2BE ，故①正确；根据∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，可得∠BHE=∠C ，再由∠A=∠C ，可得②正确；证明△BEH ≌△DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项.解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，∴在Rt △DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ，∴BD=2BE ，故①正确；∵DE ⊥BC ，BF ⊥DC ，∴∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，∴∠BHE=∠C ，又∵在▱ABCD 中，∠A=∠C ，∴∠A=∠BHE ，故②正确；在△BEH 和△DEC 中，BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BEH ≌△DEC ，∴BH=CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD ，∴AB=BH ，故③正确；利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.8．C解析：C【解析】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，∴c 2=25，∴a 2+b 2=c 2=25，∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6，又∵直角三角形的面积是12ab=6， ∴ab=12．故选C. 9．A解析：A试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠ABD∵∠C=∠DKB=90°，∴CD=KD ，在△BCD 和△BKD 中，CD KD BD BD ⎧⎨⎩＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，∴BC=BK=3∵E 为AB 中点∴BE=AE=2.5，EK=0.5，∴AK=AE-EK=2，设DK=DC=x ，AD=4-x ，∴AD 2=AK 2+DK 2即（4-x ）2=22+x 2解得：x=32∴在Rt △DEK 中，2222310=+0.5=2DK KE +（）（）. 故选A ．10．B解析：B【解析】由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．11．A解析：A【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE ，从而根据“HL”证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，由DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt △BDE 中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.∵AD 平分∠BAC 且∠C=90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，由AD ＝AD ，所以，Rt △ACD ≌Rt △AED ，所以，AC=AE.∵E 为AB 中点，∴AC=AE=12AB ， 所以，∠B=30° .∵DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，∴AD=BD=3cm ，∴DE=12BD=32, ∴BE=22332⎛⎫-= ⎪⎝⎭332cm. 故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.12．A解析：A【分析】根据AC =13，AD =12，CD =5，可判断出△ADC 是直角三角形，在Rt △ADB 中求出BD ，继而可得出BC 的长度．【详解】∵AC =13，AD =12，CD =5，∴222AD CD AC +=，∴△ABD 是直角三角形，AD ⊥BC ，由于点D 在直线BC 上，分两种情况讨论：当点D 在线段BC 上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，则14BC BD CD =+=；②当点D 在BC 延长线上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=， 则4BC BD CD =-=．故答案为：Ａ．【点睛】 本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．13．D解析：D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90︒即可．【详解】解：A 、22251213+=，ABC ∆∴是直角三角形，故能判定ABC ∆是直角三角形；B 、A BC ∠+∠=∠，90C ∴∠=︒，故能判定ABC ∆是直角三角形； C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，518090235C ∴∠=⨯︒=︒++，故能判定ABC ∆是直角三角形；D 、22261012+≠，ABC ∆∴不是直角三角形，故不能判定ABC ∆是直角三角形； 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．14．A解析：A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ∆≅∆，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ∆中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】解：如图，连接FC ，则=AF FC ．AD BC ∵∥，FAO BCO ∴∠=∠．在FOA ∆与BOC ∆中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FOA BOC ASA ∴∆≅∆，3AF BC ∴==，3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．在FDC ∆中，90D ︒∠=，222CD DF FC ∴+=，22213CD ∴+=，22CD ∴=．故选A ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．15．D解析：D【分析】根据角平分线的定义推出△ECF 为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE 2+CF 2=EF 2．【详解】∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE=12∠ACB ，∠ACF=12∠ACD ，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD ）=90°， 又∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM ，∠DCF=∠CFM=∠MCF ，∴CM=EM=MF=4，EF=8，由勾股定理可知CE 2+CF 2=EF 2=64．【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.16．B解析：B【分析】根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴，根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，∴A′C=10-6=4．设CD=x，则A′D=8-x，根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，解得x=5，故CD=5．故答案为：B．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．17．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；B. 12+12=）2，能构成直角三角形，故不符合题意；C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；D.）2+2=2，能构成直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．18．D解析：D试题解析：当3和5都是直角边时，第三边长为：2235+=34；当5是斜边长时，第三边长为：2253-=4．故选D ．19．A解析：A【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∵S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=AC 2，∴S 1=S 2+S 3．∵S 2=7，S 3=2，∴S 1=7+2=9．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．20．C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：x 2+42=（10-x ）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．21．C解析：C【解析】试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''2.AE ∴=22210.AB AE B E ''+=PA PB -的最大值为：210.故答案为：210.22．C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A 、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B 、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C 、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D 、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.23．A解析：A【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.【详解】根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=25，四个三角形的面积=4×12ab=25-1=24， ∴2ab=24，联立解得：（a+b ）2=25+24=49．故选A. 24．A解析：A【分析】根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2222a b a ab b +=++即可求解．【详解】根据勾股定理可得2213a b +=， 四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =， 则()2222131225a b a ab b +=++=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．25．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD 与四边形EFGC 都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE 与三角形DCG 全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG ,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO ,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD 为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD 和EFGC 都为正方形，∴CB=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE ，即∠BCE=∠DCG.在△BCE 和△DCG 中，CB ＝CD ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ，∴△BCE ≌△DCG ，∴BE=DG ，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.26．C解析：C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规律“S n=(12)n−3”，依此规律即可得出结论．【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，∴DE 2+CE 2=CD 2，DE=CE ，∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=22=4，S 2=12S 1=2，S 3=12S 2=1，S 4=12S 3=12，…， ∴S n =(12)n−3． 当n=2016时，S 2016=(12)2016−3=(12)2013． 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S n =(12)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 27．C解析：C【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.【详解】∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===，∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=, ∵1122ABC SBC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.28．C解析：C【分析】连接AB ，求出AB 、BM 、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB ∆为直角三角形，而AM=BM ，即AMB ∆为等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】连接AB∵22125AM =+=22125AB =+=221310BM =+=∴22210AM AB BM +==∴AMB ∆为等腰直角三角形∴45AMB ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明AMB ∆为直角三角形．29．B解析：B【分析】根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．【详解】解：A 的面积等于100-64=36；【点睛】本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．30．C解析：C【分析】设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案．【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L根据题意得：21111116224S L L L =⨯==22245S L == ∴21L =，22L =∵222132L L L += ∴22232129L L L =-=∴233292944S L === 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S 则4S ，5S ，6S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 2266614228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ ∴25811L π=⨯，26814L π=⨯ ∵222564L L L += ∴()22245688111425L L L ππ=+=⨯+=⨯∴2448S 252588L πππ==⨯⨯=∴43292554S S +=+=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．。

中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G .当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

中考初三数学整合压轴题100题附答案一、中考压轴题1．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．2．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．3．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．5．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．6．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．7．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．8．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．9．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．10．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．11．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．13．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．15．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．17．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．19．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．20．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．21．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．。

初三数学综合题压轴题100题（含答案解析）一、中考压轴题1．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．3．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．4．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．5．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标．【分析】通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出．【解答】解：P2的坐标是（1，﹣1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，﹣3）．理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，﹣1），分析题意，知6个点一个循环，故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样，所以P7的坐标等同于P1的坐标为（1，1），P100的坐标等同于P4的坐标为（1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是读懂题意，画出图形，仔细观察，分析，得到相应的规律．6．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．7．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．8．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．9．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．11．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．12．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．13．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．14．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．15．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．16．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．20．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°。

一、规律问题数字变化类1．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（）A．190B．1360C．1840D．1504答案：C解析：C【分析】观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数．【详解】从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是18，第9行的第一个数是19，第10行的第一个数是110；再按照上面的规律，可得：第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即：111 7856 -=，第9行的第2个数等于第8行的第1个数减去第9行的第1个数，即：111 8972 -=，第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即：111 5672252-=，第10行的第2个数等于第9行的第1个数减去第10行的第1数，即：111 91090 -=，第10行的第3个数等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数，即：1117290360-=，则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即：111252360840-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考察学生对规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律． 2．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A ．第504个正方形右上角顶点处B ．第505个正方形右下角顶点处C ．第505个正方形右上角顶点处D ．第504个正方形右下角顶点处答案：B解析：B 【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解． 【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角； 第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角； 第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角； 第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角； 第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环 ∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处． 故选：B 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．3．按一定规律排列的一列数依次为：﹣22a ，55a ，﹣810a ，1117a ，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第10个数是（ ） A ．2363aB ．2680a -C ．29101aD ．32101a答案：C解析：C 【分析】根据题目中的数字，从分子和分母两个角度总结规律，从而推出第n 个数的形式，然后代入n =10即可得出结论． 【详解】解：首先观察出符号依次交替，则第n 个数的符号可表示为()1n-，然后对于分子，可观察得出分子的指数部分依次增加3，则第n 个数的分子为31n a -， 最后对于分母，可总结出第n 个数的分母为21n +， ∴第n 个数表示为：()31211n na n --+， 当n =10时，()3101291021101101a a ⨯--=+， 故选：C ． 【点睛】本题考查数字变化类规律探究，分别从不同角度总结变化规律是解题关键．4．下面两个多位数1248624…，6248624…，都是按照如下方法得到的：从首位数字开始，将左边数字乘以2，若积为一位数，将其写在右边数位上，若积为两位数，则将其个位数字写在右边数位上．依次再进行如上操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（ ） A ．10091B ．10095C ．10099D ．10107答案：B解析：B 【分析】根据题意进行计算，找到几个数字一循环，然后乘以循环的次数加上非循环的部分即可得到结果． 【详解】解：当第一个数字为3时， 这个多位数是362486248…， 即从第二位起，每4个数字一循环， （2020﹣1）÷4＝504…3， 前2020个数字之和为：3+（6+2+4+8）×504+6+2+4＝10095． 故选：B ． 【点睛】本题考查循环类数字规律题，根据题意找到循环次数，即可求解；本题易错点为是否能找对几个数字循环，易错数目为505次，由于第一个数字不参与循环即易错点为2020漏减1．5．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，即8，16，24均为“和谐数”），若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a 1，a 2，a 3，……，a n ，则a 1+a 2+a 3+…+a n ＝（ ） A ．4n 2+4B ．4n+4C ．4n 2+4nD ．4n 2答案：C解析：C 【分析】根据题意设两个连续奇数为2n ﹣1，2n+1（n 为自然数），则“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2，据此解答即可． 【详解】解：a 1+a 2+a 3+…+a n ＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n ﹣1）2﹣（2n ﹣1）2+（2n+1）2 ＝4n 2+4n ． 故选：C ． 【点睛】本题考查平方差公式：a 2-b 2=（a-b ）（a-b ），同时也考查对代数式的变形能力． 6．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1=-112-，-1的差倒数是11=1(1)2--．如果12a =-，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么12100a a a +++的值是（ ）A ．-7.5B ．7.5C ．5.5D ．-5.5答案：A解析：A 【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【详解】解：∵12a =-，∴2111(2)3a ==--，3131213a ==-，412312a ==--，……∴这个数列以-2，13，32依次循环，且1312326-++=-， ∵1003331÷=，∴121001153327.562a a a ⎛⎫+++=⨯--=-=- ⎪⎝⎭，故选A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．7．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是2，…，则第2020次输出的结果是（）A．1 B．2 C．1-D．2-答案：B解析：B【分析】把x=2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2020次输出的结果．【详解】解：把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，⋯，由此可知，奇数次运算结果是1，偶数次运算结果为2∴第2020次输出的结果为2，故选：B．【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．8．将正偶数按下表排成5列第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224则2004应该排在（ ） A ．第251行，第3列 B ．第250行，第1列 C ．第500行，第2列D ．第501行，第5列答案：A解析：A 【分析】观察各行各列的规律，首先分析两端的规律：第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，因为20041612522=⨯+⨯，200482504=⨯+，所以2004在第251行第3列. 【详解】规律为第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，所以2004在第251行第3列. 故选：A. 【点睛】此题考查数字的规律，观察表格得到数字的排列规律，得到特定行列的数字规律并运用解决问题是解题的关键.9．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．7答案：A解析：A 【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2020÷4＝505，而3+9+7+1＝20， 20×505＝10100．所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0． 故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 10．已知整数1234,,,a a a a ……满足下列条件：12132430,1,2,3a a a a a a a ==-+=-+=-+……，依次类推，则2019a 的值为（ ）A ．2018B ．2018-C ．1009-D ．1009答案：C解析：C 【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，结果等于-12（n-1），n 是偶数时，结果等于-2n，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】 解：123450|01|1|12|1|13|2|24|2a a a a a ==-+=-=--+=-=--+=-=--+=- 678|25|3|36|3|37|4a a a =--+=-=-+=-=--+=-⋯⋯∴201920181009a a ==-， 故选择C 【点睛】本题考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．二、规律问题算式变化类11．观察下列等式：2223471236⨯⨯++=，222245912346⨯⨯+++=，222225611123456⨯⨯++++=，…．按照此规律，式子2222123100+++⋅⋅⋅+可变形为（ ）A ．1001011026⨯⨯B ．1001012016⨯⨯C ．1001012036⨯⨯D ．100101201100⨯⨯答案：B 【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】 ， ， ，归纳类推得：，其中n 为正整数， 则， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律解析：B 【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】()()2223313434712366⨯+⨯+⨯⨯++==， ()()222244145459123466⨯+⨯+⨯⨯+++==， ()()222225515656111234566⨯+⨯+⨯⨯++++==， 归纳类推得：()()()()222111211266n n n n n n n n ++++++++==，其中n 为正整数，则()()222210010012100110010120123100166⨯+⨯⨯++++⨯⨯⋅⋅⋅+==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．12．已知T 132，T 276，T 31312，⋯，T n 为正整数．设S n =T 1+T 2+T 3+⋯+T n ，则S 2021值是（ ） A ．202120212022B ．202120222022C ．120212021D ．120222021答案：A 【分析】根据数字间的规律探索列式计算 【详解】解：由题意可得：T1=， T2=， T3= ∴Tn= ∴T2021=∴S2021=T1+T2+T3++T2021 = = = = = = =解析：A 【分析】根据数字间的规律探索列式计算 【详解】解：由题意可得：T 1312+1=212⨯⨯，T 2723+1=623⨯⨯，T 31334+1=1234⨯=⨯∴T ()()1+11n n n n ++ ∴T 2021=20212022+120212022⨯⨯∴S 2021=T 1+T 2+T 3+⋯+T 2021=371320212022+1 +++ (261220212022)⨯+⨯=11111++1++1++...1+261220212022+⨯=1111 2021++++...+261220212022⨯=1111 2021++++...+12233420212022⨯⨯⨯⨯=1111111 2021+1++...+2233420212022⎛⎫-+---⎪⎝⎭=1 2021+12022⎛⎫-⎪⎝⎭=2021 20212022故选：A．【点睛】本题考查实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键．13．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中所有系数的和是（）A．2018 B．512 C．128 D．64答案：C【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，求出系数之和即可．【详解】解：根据题意得：（a+b）7＝a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7，系解析：C 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，求出系数之和即可． 【详解】解：根据题意得：（a +b ）7＝a 7+7a 6b +21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7， 系数之和为2×（1+7+21+35）＝128， 故选：C ． 【点睛】此题考查了完全平方公式，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．14．观察下列各式及其展开式：()2222a b a ab b +=++；()3322333a b a a b ab b +=+++；()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；()544322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++…，请你猜想()11a b +的展开式第三项的系数是（ ） A ．36B ．45C ．55D ．66答案：C 【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数． 【详解】 解：依据规律可得到： 第三项的系数为1， 第三项解析：C 【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出11()a b +的展开式第三项的系数． 【详解】 解：222()2a b a ab b +=+++=+++33223()33a b a a b ab b 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++ 554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ⋯⋯∴依据规律可得到：2()a b +第三项的系数为1，3()a b +第三项的系数为312=+，4()a b +第三项的系数为6123=++，⋯11()a b +第三项的系数为：10(101)123910552⨯++++⋯++==． 故选：C ． 【点睛】本题考查了数字规律型，理解题意，找到系数的规律是解题的关键． 15．下面是按一定规律排列的一列数： 第 1 个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第 2 个数：()()2311111113234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 第 3 个数：()()2311111114234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； ⋯⋯；第 n 个数：()()()232n-111111111...1n 12342n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 那么在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是 ( ) A ．第 10 个数B ．第 11 个数C ．第 12 个数D ．第 13 个数答案：A 【分析】根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n 个数的规律即可得出答案． 【详解】 解：第 个数：； 第 个数：； 第 个数：；；第个数：；n越大，第n个解析：A【分析】根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n个数的规律即可得出答案．【详解】解：第1个数：1110 22-⎛⎫-+=⎪⎝⎭；第2个数：()()2311111 11132346⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++=-⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；第3个数：()()2311111 11142344⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++=-⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；⋯⋯；第n个数：()()()232n-11111111 111 (1)n12342n12n⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；∴n越大，第n个数越小故选：A．【点睛】本题考查有理数的计算，掌握数的规律是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形n n n nA B C D的面积是（）A．（92）n B．（92）n﹣1C．（32）n D．（32）n﹣1答案：B 【分析】根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形的面积、正方形的面积，总结规律解答． 【详解】解：直线为正比例函数的图象， ， ，正方形的面积， 由勾股定理得，，， ，正方形的面积， 同解析：B 【分析】根据正比例函数的性质得到1145D OA ∠=︒，分别求出正方形1111D C B A 的面积、正方形2222A B C D 的面积，总结规律解答．【详解】 解：直线l 为正比例函数y x =的图象， 1145D OA ∴∠=︒， 1111D A OA ∴==，∴正方形1111D C B A 的面积1191()2-==，由勾股定理得，1OD =122D A =，222A B A O ∴= ∴正方形2222A B C D 的面积2199()22-==， 同理，33392A D OA ==， ∴正方形3333A B C D 的面积31819()42-==， ⋯由规律可知，正方形n n n n A B C D 的面积19()2n -=，故选：B ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到1145D OA ∠=︒，正确找出规律是解题的关键．17．山西面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根.其中，“拉面”远播世界各地.制作方法如图所示，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（）A．2n根B．12n+根C．12n-根D．112n+⎛⎫⎪⎝⎭根答案：A【分析】找规律，然后根据有理数的乘方的定义列出更加一般的情况即可求解.【详解】解：第一次捏合变2根细面条，可以看成是第二次捏合变4根细面条，可以看成是第三次捏合变8根细面条，可以看成是解析：A【分析】找规律，然后根据有理数的乘方的定义列出更加一般的情况即可求解.【详解】解：第一次捏合变2根细面条，可以看成是12第二次捏合变4根细面条，可以看成是22第三次捏合变8根细面条，可以看成是32依据这个规律下去第n次捏合可拉出细面条的根数为：2n.故答案为：A.【点睛】本题借助生活中的实际例子考查了有理数的乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键. 18．若规定“!”是一种数学运算符号，且则的值为（）A．B．99! C．9 900 D．2!答案：C【详解】根据题意可得：100！=100×99×98×97×…×1，98！=98×97×…×1， ∴ =100×99="9" 900，故选C ．解析：C 【详解】根据题意可得：100！=100×99×98×97×…×1，98！=98×97×…×1， ∴=100×99="9" 900，故选C ．19．已知11(0 1)a x x x =+≠≠-且，231211,11a a a a ==--，…，111n n a a -=-，则a 2020 等于（ ） A ．xB ．x +1C ．1x-D ．1x x + 答案：B 【分析】把a1代入确定出a2，进而求出a3，a4，找出结果的规律，判断即可． 【详解】解：把a1=x+1代入得：， 依此类推，以循环， ∵2020÷3=673…1， 则a2020=x+1．解析：B 【分析】把a 1代入确定出a 2，进而求出a 3，a 4，找出结果的规律，判断即可． 【详解】解：把a 1=x+1代入得：2341111,,111(1)11()11x a a a x x x x x x x ==-====+-++---+， 依此类推，以11,,1xx x x +-+循环， ∵2020÷3=673…1， 则a 2020=x+1． 故选：B ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，探索与表达规律．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．将2019加上它本身的12的相反数，再将这个结果加上其13的相反数，再将上述结果加上，其14的相反数，…，如此继续，操作2019次后所得的结果是（）A．1 B．－1 C．20192020D．2020答案：C【分析】根据题意易得第一次运算的结果为，第二次运算的结果为，第三次运算的结果为，第四次运算的结果为，….由此规律可进行求解．【详解】解：2019加上它本身的的相反数为：，再将这个结果加上其解析：C【分析】根据题意易得第一次运算的结果为120192⨯，第二次运算的结果为120193⨯，第三次运算的结果为120194⨯，第四次运算的结果为201951⨯，….由此规律可进行求解．【详解】解：2019加上它本身的12的相反数为：1120192019201922-⨯=⨯，再将这个结果加上其13的相反数为11112019201920192233⨯-⨯⨯=⨯，再将上述结果加上，其14的相反数为11112019201920193344⨯-⨯⨯=⨯，….由此规律可得第n次的运算结果为112019n+⨯，∴第2019次后所得结果是12019 2019202020191⨯=+；故选C．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．三、规律问题图形变化类21．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是（）A ．(12)2017B ．(12)2018C ．32019D ．32020 解析：C 【分析】利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°， ∴D 1E 1=C 1D 1sin 30°=12， 则B 2C 2=22cos30B E ︒=13333⎛= ⎝⎭， 同理可得：B 3C 3=21333⎛= ⎝⎭， 故正方形A n B n C n D n 的边长是：13n -⎝⎭，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是：20193⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键．22．如图，8AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P 不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；…按照这样的方法一直画下去，得到点n P ，若之后就不能再画出符合要求的点1n P +，则n 等于（ ）A ．13B ．12C ．11D ．10解析：C 【分析】先观察题目，可知画出的三角形为等腰三角形，可依次算出第一个第二个第三个等腰三角形的底角的度数，发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒，再根据等腰三角形的底角度数小于90°，即可算出答案． 【详解】解：根据题意可得出：∵11223OP PP PP P P ===∴画出的三角形为等腰三角形∵8AOB ∠=︒∴18AOB PPO ∠=∠=︒ ∴121216PPP PP P ∠==︒ ∴21323132P PP P P P ∠==︒依次推算可发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒ ∵等腰三角形的底角度数小于90° ∴(8)90n ︒<︒ ∴908n <（n 为正整数） ∴11n =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查规律探索和等腰三角形的性质，知道三角形的外角度数等于其它两个内角和的度数以及等腰三角形的底角小于90°是解题的关键．23．如图，在坐标系中放置一菱形 OABC ，已知∠ABC =60°，点 B 在 y 轴上，OA =1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2019次，点 B 的落点依次为 B 1，B 2，B 3，…，则 B 2 019 的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5，32) C ．(1345， 32) D ．(1346，0)解析：D 【分析】连接AC ，根据条件可以求出AC ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364 ）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．【详解】连接AC ，如图所示．∵四边形OABC 是菱形， ∴OA =AB =BC =OC ． ∵∠ABC =60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AC =AB ． ∴AC =OA ． ∵OA =1， ∴AC =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019． ∵B 3的坐标为(2，0)， ∴B 2019的坐标为(1346，0)， 故选：D 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．24．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O 是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度是（ ）A ．240°B ．360°C ．480°D ．540°解析：C【详解】 由题意可得：第一次AO 顺时针转动了120°，第二次AO 顺时针转动了240°，第三次AO 顺时针转动了120°，故当由①位置滚动到④位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．故选：C ．25．如图，已知1111222233334,,,AB A B A B A A A B A A A B A A ==== ……，若∠A ＝70°，则11n n n A A B --∠的度数为（ ）A ．702nB ．1702n +C ．1702n -D ．2702n - 解析：C【分析】根据等边对等角可得∠AA 1B=∠A=70°，然后根据三角形外角的性质和等边对等角可得∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B=702︒=35°，同理可得：∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒，∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒，找出规律即可得出结论． 【详解】∵1AB A B =，70A ∠=︒∴∠AA 1B=∠A=70°∵1112A B A A =∴∠A 1A 2B 1=∠A 1 B 1A 2∵∠AA 1B=∠A 1A 2B 1＋∠A 1 B 1A 2∴∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B=702︒=35° 同理可得：∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒ ∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒ ∴11n n n A A B --∠=1702n -︒ 故选C ．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握等边对等角和三角形外角的性质是解决此题的关键．26．如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，……，依次规律，图6表示数字（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52解析：C【分析】 通过前4个图形找出一般性规律，即可得出图6表示的数．【详解】解：第1个图形有1个点；第2个图形有5=2+3个点；第3个图形有12=3+4+5个点；第4个图形有22=4+5+6+7个点；第5个图形有35=5+6+7+8+9个点；第6个图形有6789101151+++++=个点；故选：C ．【点睛】本题考查探索与表达规律，解决此题的关键是善于观察，找出图形上的点与序号之间的关系．27．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（ ），第2020个“五边形数”的奇偶性为（ ）A ．533；偶数B ．590；偶数C ．533；奇数D ．590；奇数解析：B【分析】 根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性．【详解】解：第1个“五边形数”为1=2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5= 2312222⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12= 2313322⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22= 2314422⨯-⨯， 第5个“五边形数”为35= 2315522⨯-⨯， ··· 由此可发现：第n 个“五边形数”为23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022⨯-⨯=590， 当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122n n -是偶数， 故选：B ．【点睛】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键．28．第①图形中有2个三角形，第②图形中有8个三角形，第③个图形中有14个三角形，依此规律，第⑦个图形中三角形的个数是（ ）A ．40B ．38C ．36D ．34解析：B【分析】 由图形可知：第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；进一步代入求得答案即可．【详解】解：∵第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…∴第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；∴第⑦个图形有6×7-4=38个三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．29．如图，在第一个1ABA ∆中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =，得到第二个12A A C ∆；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4A 为顶点的等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．170︒B ．175︒C ．10︒D ．5︒解析：A【分析】 先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A 5的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，∴∠BA 1A= 1802B ︒-∠=80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1=18022BA A ︒∠==40°； 同理可得∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴∠A n =1802n ︒-， 以点A 4为顶点的等腰三角形的底角为∠A 5，则∠A 5=4802︒=5°， ∴以点A 4为顶点的等腰三角形的顶角的度数为180°-5°-5°=170°．故选：A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．30．如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③、④，…，记第n （n≥3）块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1等于…（ ）A ．112n -B ．3－12nC ．1－132n - D ．132n -＋212n -解析：A【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，然后周长相减即可得到规律，进行解答．【详解】解：P 1＝1＋1＋1＝3，P 2＝1＋1＋12＝52， P 3＝1＋1＋14×3＝114， P4＝1＋1＋14×2＋18×3＝238， …∴P 3－P 2＝114－52＝211=42，P 4－P 3＝238－114＝311=82， ∴P n －P n －1＝n-112， 故答案为：A ．【点睛】 本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好．。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学压轴题100题精选含答案【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED为直角梯形？若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

中考数学压轴题100题（附答案）一、中考压轴题1．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．2．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．3．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．4．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．6．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．7．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．8．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．9．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．10．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2＝2160解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）＝2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．12．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．13．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．14．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．16．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．17．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．18．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．20．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，图象过点（0，1），c＝1，图象过点（1，0），a+b+c＝0，∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+（a+1）+1＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．21．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．【解答】解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．23．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，所以市场新房均价为2千元．则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．（2）因为Q＝﹣10＝30万平方米，P＝25x＝75万平方米，所以市场新房均价上涨1千元则该市年新房销售总额减少了100000﹣30×（2000+1000）＝10000万元，年新房积压面积增加了45万平方米．建议：对于新房的销售应订一个合理的价格，不能过高，只有考虑成本与人们的购买力才能使利润最大．【点评】主要考查了函数在实际问题中的应用．解题的关键是理解题意能准确的找到函数中对应的变量的值，根据题意求解．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0），过点P的直线AB 与x轴正半轴交于点A，与直线y＝x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．。

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图，已知抛物线y a(x 3 3( a z 0)经过点A2 °)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC •(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点0出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若0C °B，动点P和动点Q分别从点0和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.【002】如图16,在Rt A ABC中，/ C=90 , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是:(2) 在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3) 在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4) 当DE经过点C时，请直接写出t的值.【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (4, 0)、C ( 8, 0)、D ( 8,8) •抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒•过点P作PE丄AB交AC于点E,①过点E作EF丄AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△ CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。