自由振动方程的解耦
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8 和(4.5)。如果不计这个对角阵的差异，联合(4.4)和(4.5)有可能唯一确定[Φ ]。
9
为此将(4.4)变为[Φ ]T =[M ]P[Φ ]-1[M ]−1 ，代入(4.5)得
10 11 上式可变为 12
[M ]P[Φ ]-1[M ]−1[K ][Φ ] = [K ]P [K ][Φ ] = [M ][Φ ][M ]P−1[K ]P
10
(4.14)式是方程(4.13)的解，但是采用如下显含初条件的形式更容易处理，
6
工程振动基础教材草稿：多提宝贵意见，意见反馈回 陈奎孚 ChenKuiFu@
20 式的静力耦合。另一方面, 仅由(4.4)的关系也无法唯一确定[Φ ]。因为[Φ ]本身有
21 N 2 个参数, [M ]P 的对角线还有 N 个参数，所以总计有 N 2 + N 个参数要待定; 但
1
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⎢ ⎢3
−1
0
1
−
⎥ 3⎥
9
[Φ
]
=
⎢ ⎢
2
0 −1
0
2⎥⎥
⎢ 3 1 0 −1 − 3⎥
⎢ ⎣
1
1
1
1
1⎥⎦
10
将[Φ ]代入(4.4)和(4.5)可验证[Φ ]确实能将质量矩阵和刚度矩阵对角化，其中
11 的主质量和主刚度分别为
12
M1 = 12m, M 2 = 4m, M3 = 3m, M 4 = 4m, M5 = 12m
14
⎪⎪⎨q2 (t) = A2 sin( p2t + α2 )
⎪
⎪⎩qN (t) = AN sin( pNt + αN )
(4.13) (4.14)
15
其中 pi =
λi =
Ki Mi
(i
= 1, 2,...,
N)
就是这系统的固有频率，而振幅
A1
∼
AN
பைடு நூலகம்和初相
16 位α1 ∼ αN 则与初始条件有关。
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1
自由振动方程的解耦
2 方程解耦
3
不论采用那一种方法，对无阻尼线性系统或系统作微幅振动，最后都得到如
4 下的振动微分方程组
5
[M ]{x}+ [K ]{x} = {0}
(4.1)
6 其中[M ]和[K ] 都是对称的 N × N 矩阵, 下一步就是要求解该方程。我们仍设法通
9 量的二阶导数前系数 Mi 类似于单自由度情形的等效质量，所以称为模态质量或
10 广义质量，而变量前的系数 Ki 相当于等效刚度，称为模态刚度或广义刚度。每
11 个单自由度的固有频率 pi 也称为模态频率。
12
对于任意的自由振动，可能有多个 Ai 不为零，那么上述的特点(1)和(2)消失，
13 没有固定的振动模式。但根据(4.15)，它们可以分解为模态振动的迭加，而每个
节 -1 节 节 1 1 点 点 -1 点
q5 (t)
节 节节 节 点 点点 点
0 5 10 15 20 t k/m
12345 质量块编号
图 2 五自由度的主振动
2
1
1
节 节 节节
点 点 点点
-3
-3
12345 质量块编号
4 如图 2 的(b)列所示。可以看到主振动有明显的模式，特别是随主振动的阶数增
7 过变换将这一耦合的方程组变成 N 个不耦合的单自由度振动微分方程来处理。
8
引入如下的模态坐标{q} 和非奇异变换矩阵[Φ ],
模态系数
9
10
取变换
11
⎧ q1 ⎫
⎡ φ11 φ12
{q}
=
⎪⎪ ⎨
q2
⎪
⎪⎩qN
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
,[Φ
]
=
⎢ ⎢
φ21
⎢
⎣⎢φN1
φ22 φN 2
{x} = [Φ ]{q}
mq4 + 3k q4 = 0
⎪ ⎪
mq5 + (2 + 3)k q5 = 0⎪⎭
qi (t) = Ai sin( pit + αi ) (i = 1 ~ 5)
5
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1
这就是系统的主振动，如图 2 的(a)列所示，他们都是正弦振动。由于特征值
(4.7) (4.8)
(4.9) (4.10)
19 上 式 就 是 矩 阵 理 论 中 的 广 义 特 征 值 问 题 。 如 果 将 矩 阵 [Φ ] 按 列 分 开
20 [Φ ]=[{φ}1,{φ}2 , ,{φ}N ] ，则式(4.10)就变为如下的关系
[K ]{φ}1 = λ1[M ]{φ}1
9 主振动
10
不管特征值问题的复杂性，假定[Φ ]已经找到，那么式(4.3)变为 N 个独立的
11 方程
M1q1 + K1q1 = 0 ⎫
12
M 2q2 + K2q2 = 0
⎪⎪ ⎬
⎪
M N q2 + KN qN = 0⎭⎪
13 他们都是无阻尼单自由度系统的振动方程。第一章已给出了相应的解
⎧q1(t) = A1 sin( p1t + α1)
2 一般按升序排列，所以图示曲线的频率从上到下依次增高。
3
如果我们把某一时刻的细绳空间位置画出来，然后将不同时刻叠加在一起，
(a)主振动
(b)主振动的空间变化
(c) 振型图
3
3
1
2
1
q1 (t)
q2 (t)
节
节1 1
点
-1 -1 点
q3 (t)
节节 点点
1 节 节1 点 -1 点
q4 (t)
节节节 点点点
φ1N ⎤
φ2 N
⎥ ⎥
⎥
φNN
⎥ ⎦
系数矩阵对称，才 有可能解耦
(4.2)
12 代入式(4.1)，并为了保持系数矩阵的对称, 再左乘[Φ ]T 有
13
[Φ ]T[M ][Φ ]{q}+ [Φ ]T[K ][Φ ]{q} = {0}
(4.3)
14 解耦的充分条件变为
15
[Φ ]T[M ][Φ ]=[M ]P
6
λ1
=
(2 − 3)k m
=
p12 , λ2
=
k m
=
p22 , λ3
=
2k m
=
p32 , λ4
=
3k m
=
p42 , λ5
=
(2 + 3)k m
=
p52
7 其中 p1 ∼ p5 就是主振动频率。将这 5 个特征根代入特征方程，可以解出特征向 8 量矩阵(每个特征向量取最后一个元素数为 1),
⎡ 1 −1 1 −1 1⎤
5 者联合起来之后，形式上有 N (N +1) 个独立的方程，待定未知数则有 N (N + 2) 。
6 不过回到(4.4)和(4.5), [Φ ] 确实不能完全确定, 因为若已找到一个 [Φ ] 同时满足
7 了(4.4)和(4.5)，那么对这个[Φ ]乘以任意一个的对角阵之后也仍然同时满足(4.4)
(4.4)
16
[Φ ]T[K ][Φ ] = [K ]P
(4.5)
17 其中[M ]P 和[K ]P 均应为如下的对角阵
⎡M1 0
0⎤
⎡K1 0
0⎤
18
[M ]P
=
⎢ ⎢ ⎢
0
M2
0
⎥
⎥ ⎥
,
[
K
]P
=
⎢ ⎢ ⎢
0
K2
0
⎥ ⎥
⎥
(4.6)
⎢ ⎣
0
0
M
N
⎥ ⎦
⎢ ⎣
0
0
K
N
⎥ ⎦
19
如果选择的[Φ ]满足了(4.4)关系, 那么可实现动力解耦，但是未必能保证(4.5)
5 高，节点增多。这些节点在空间和时间上都保持不动，很容易鉴别出来。
6
绘制类似图 2(b)的曲线过于麻烦，而且不简洁。更常用的是将振型向量用线
7 段象图 2 的(c)列那样画出来，线段旁边可标注该点振型比值， 这就是振型图。
8 从该图很容易把握主振动形态，各处的振幅相对比值，以及节点的位置等特征。
9 确定自由振动的解
4
总之, 方程(4.1)的解耦问题最终归结为特征值问题(4.10)，相应的特征值方程
5为
6
| [K ] − λ[M ] |= 0
(4.12)
7 一旦根据这个多项式解出特征根 λ 代回(4.10)式, 便可以确定变换所需要的矩阵
8 [Φ ]。数学上已经建立系统的特征值理论，在数值计算上也发展了众多计算方法。
19 初条件 x1 = 2, x2 = 5, x3 = −2, x4 = 7, x5 = 5; x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 0 下的微幅振动自 20 由响应。
x1 x2 x3 x4 x5
图 1 五自由度弹簧质量振系
21
22
解: 采用第三章例题类似方法，都可以建立(4.1)式的振动微分方程，其中
17
然后根据式(4.2)就可以得到原问题的解：
⎧ x1 ⎫ ⎧φ11 ⎫
⎧ φ12 ⎫
⎧φ1N ⎫
18
⎪⎪ ⎨
x2
⎪⎪ ⎬
