一类差分方程的频率振动解

科技信息　。高校讲坛０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２０１１年第１１期　

一类差分方程的频率振动解　

李秀东　（延边大学教务处吉林延吉，１３３００２）　

【摘要】本文讨论了一类差分方程的解的频率振动性，建立了新的频率振动性定理，给出了如下中立型差分方程的解的频率振动的充分　条件，从而简化和改进了文献【３］中的相应条件与结论：Ａ（　，ｌ＋ｃ　）Ｉ，（ｎ，Ｘｎ－１），ｎ＝０，１，２，…其中ｋ≥１与ｌ≥１均为正整数，（　）　：ｏ是一实数列　是定义在ＺｘＲ上的函数。　【关键词】中立型差分方程；频率测度；频率振动性；正振动；负振动　Ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＬＩ　Ｘｉｕ－－ｄｏｎｇ　（Ｏｆｆｉｃｅ　ｏｆ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ａｆｆａｉｒｓ　ｏｆ　Ｙａｎｂｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｊｉ　Ｊｉｌｉｎ，１３３００２）　【Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉ・３ｎ，ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ａ　ｎｅｗ　ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｔｈｅ　ｓｕｆｆｅｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｂｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ，ｔｈｕｓｗｅ　ｓｉｍｐｌｉｆｙ　ａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｉｎ［３】：△（　＋ｃ　）　ｎ，ｘ，－ｔ），ｎ＝０，ｌ，２，…ｗｈｅｒｅ　ｋ≥１，ｌ≥１　ａｌｌ　ｉｎｔｅｇｅｒｓ，ａｎｄ（　）　ｉｓ　ａ　ｒｅａｌ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ，ａｌｓｏｆｉｓ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ　ＺｘＲ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］Ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｍｅａｓｕｒｅ；Ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ；Ｐｏｓｉｔｉｖｅｌｙ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ；Ｎｅｇａｔｉｖｅｌｙ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ　

１　预备知识　数列的频率测度的概念最早可见文献　，目的是为了更细致地刻　画序列的振动性，因此文献［１—２】中还定义了数列的频率振动性，文　献［３】又中定义了数列的正频率振动和负频率振动性，从而使得对数列　的频率振动的描述更加完善，利用这些概念，许多作者已经在差分方　程的解的频率振动性方面进行了讨论，详见文献［３—８］。　本文力图讨论一类差分方程的解的频率振动性，建立新的频率振　动性定理，即给出如下中立型差分方程的解的频率振动的充分条件：　Ａ（％＋ｃ，Ｍ）弓　，Ｘｎ－ｔ），ｎ＝０，１，２，…　（１．１）　其中ｋ≥１与ｌ≥ｌ均为正整数，（　）　：。是一实数列　是定义在　ＺｘＲ上的函数。本文的结论能够大大的简化和改进文献【３］中的相应条　件与结论。　称实数列　｝　是振动的，如果对任意正整数Ⅳ＇存在ｎ　≥Ⅳ，ｎｚ≥　Ⅳ＇使得　・Ｘｎ２≤Ｏ。如，数列　＝卜ｌ，１，一１，１…）与　卜１，一１，一１，１，一１，－１－－，１，１　…１都是振动的，然而　与Ｙ的“振动频率”是不同的，基于这个原因，　文『ｌ忡引进了频率测度的概念。　令　表示非负整数集，若ｎ　，记ｌｎＩ为集合ｎ的势，并记ｎ　＝　ｎｎ　１．．－，ｎ一１，ｎ｝。对任意实数列　＝（　｝　与任意常数ｃ，　（　≤ｃ）＝｛ＩＩ，∈　ｋ　≤ｃ｝，（　＜ｃ）＝｛ｒｔ∈　ｋ　＜ｃ｝，　≥ｃ）＝｛　∈Ｚ３ｘ　≥ｃ｝　（　＞ｃ）＝｛ｎ∈Ｚ３ｘ，￣ｃｔ。　定义：１．１［１＿设ｎ　，若上极限ｌｉｍｓｕｐ一　存在，则称其为　ｉｔ，　ｎ的上频率测度，记　（ｎ）。　类似，若下极限ｌｉｍｉ　～　Ｌ　存在，则称其为ｎ的下频率测度，　ｎ　记作　（ｎ）。若／．ｘ　（Ｑ）　（ｎ），则相应极限称作Ｑ的频率测度，记作　（ｎ）。　例如，给定数列　：｛（一１）　｝　，则　（　≤１）＝１且　≤一１．５）＝ｏ。　对Ｚ的任意子集ｎ与整数ｍ，记Ｅ　ｆｔ＝｛ｎ＋ｍｌｎ∈ｎ｝，并记　１１＝　Ｅ＇Ｓｑ，其中ｏｔ和卢均是整数且　。　引理１．１＿ｌｊ设Ｑ和ｒ是　的子集，则　（ｎ）　。（Ｆ）≤　＋（ｎ＋ｒ）≤　。（Ｑ）　（ｒ）≤　（Ｑ＋Ｉ１）≤　（ｎ）｛　（ｒ）更一般的，　（ｆｔ）　（ｒ）　（ｎ・Ｆ）≤　（ｍｒ）≤　（ｎ）　（ｒ）　（Ｑ－ｒ）；　（１１）＋／ｘ．（Ｆ）－－ｇ　（ｎ・Ｆ）≤　（Ｉ２＋Ｆ）≤　（ｆｔ）＋ｇ　（Ｆ）－－ｇ．（Ｑ・Ｆ）。　引理１．２口１设ｎ和ｒ是　的子集且／．ｄ（ｎ）＋　（ｒ）＞１，则Ｑ・ｒ必　是无限集。　引理１．３ｔ　１　ｎ∈　＼　ｎ营ｎ—ｉ∈　、ｎ，　≤　≤卢．　引理ｌ－４【ｔｌ对　的任意子集Ｑ，有　（　Ｑ）≤（ｊＳ－ｅｔ＋１　（ｎ）；　（　Ｑ）≤Ｑ￣－ｏｔ＋１）Ｕ－（ｎ）．　定义１．２＿引设　：（　）　是任意实数列，若　（　＞０）＝‘１），０＜ｔｏ＜ｌ，则　称数列　是按照上频率测度ｃｏ正振动的。若／ｘ．（ｘ＞０）＝ｔｏ，０＜ｔｏ＜ｌ，则称　数列　是按照下频率测度‘１）正振动的。若ｉｘ（ｘ＞０）＝ｔｏ，０＜ｔｏ＜ｌ，则称数　列　是按照频率测度∞正振动的。类似，可以定义数列的负振动。　定义ｌＩ３日设　＝｛　）方程（１。１）的任意一个解，若０＜ｔｏ≤　＞Ｏ）＜　ｔ，则称此解是按照上频率测度≥ｔＩ）正振动的。若０＜ｔｏ￣＜／ｚ‘（　＜０）＜１，则　称此解是按照上频率测度≥∞负振动的。　通常，给定了ｘｉ－ｍａｘ｛ｋ，ｆ｝≤　≤０后，我们可以通过类推公式计算　出　。，ｘ２，秘，…，这样的数列ｌｘ　）称作方程（１．Ｉ）的解。　２主要结论　设（　）是方程（１．１）的解，为简便起见，以下总假设　ｚ　＋　（２．１）　则方程（１．１）可简写为如下形式△　，　，　ｔ），ｎ＝Ｏ，１，２，…．　定理２．１若方程（１．１）的解　＝｛　）满足如下三个条件：　（１）　一　／＞０；　（２）存在实数列ｐ＝｛ｐ　｝　。使得　ｎ，　）≤ｐ　，Ｖ　≥Ｄ，　∈Ｒ；　（２．２）　（３）存在实数∞∈（０，１），　和　使得　（Ｐ＞Ｏ）　；／ｘ　（ｃ＞ｏ）－－－ｔｏｏ且　＋（ｑ＞１）＞（２ｋ＋２／＋３）（　。＋∞　＋‘．Ｊ）　其中ｇ　（ｃ　－１）且ｇ＝｛ｑ　｝，则此：瞬　＝（　）是按照上频率测　度≥‘ｏ正振动的或负振动的。　证明：反证法，假设　（　＞０）＜∞，则据引理１．１和引理１－４，可得　１：　｛　一仃一２ｋ２　［（ｐ＞０）＋（ｃ＞Ｏ）＋（　＞Ｏ）］｝　。｛盯－２２ｋ－　［（ｐ＞０）＋（ｃ＞０）＋　（　＞Ｏ）］｝　≤　｛　一盯一２／２；－－　［（ｐ＞０）＋（ｃ＞Ｏ）＋（　＞Ｏ）］｝＋（２　＋　＋３）（　＋　＋‘Ｉ，）　｛　一　：　［（ｐ＞ｏ）＋（ｃ＞ｏ）＋（　＞０）］｝　（ｑ＞１）．　由引理１．２可知，差集　一　～［（Ｐ＞０）．　（ｃ＞０）＋（　＞ｏ）］｝．（ｇ＞１）是　的无限子集。因此，据引理１＿３知，存在正整数Ⅳ满足Ⅳ－２（　＋２）≥１　使得　ｑ　＞１　（２．３）　Ｐ　≤Ｏ，ｃ　≤Ｏ，　≤Ｏ，＾Ｌ２（　＋２）≤　≤Ⅳ＋２　（２．４）　再由条件（１），（２．１）式与（２．４）式得　

２ｌ３　２０１１年第ｌ１期　０高校讲坛０科技信息　

≤ｚ　４０，Ⅳ一２　一ｆ≤，ｌ≤Ⅳ＋２　（２．５）　又据（２．２）式与（２．４），得　Ａｚ　≥０，Ⅳ　－２≤ｎ≤Ⅳ＋２　（２．６）　将　代人方程（１．１）式，又据（２．２）式，可得：当　－２≤ｎ≤Ⅳ时，　０４Ａｚ．ｆ（ｎ，‰．１）≤Ａｚ　－ｐ　ｘａ＿ｉ＝Ａｚ　－ｐ　（　—ｃ　）　由（２．４－２．６）式，可得：　０≤Ａｚ－ｐ　（　戈　一ｆ）≤Ａｚ　－ｐ　（１—ｃ　）　Ｊ　再据（２．４—２．６）式，有　Ｏ≤　ｌ＋［一１＋　（ｃ　—１）ｋ　（２．７）　

（２．８）　

（２．９）　由于【２．５）式，（２．９）式意味着０４［一ｌ＋ｐ　（ｃ．ｑ－１）］ｇｎ＝（一１　吼）＝　．即　一１　４０，Ｊ７＼７．　一ｌ≤ｎ≤Ⅳ这与（２．３）式矛盾。　其次，假设ｉｔ＂（　＞０）＜∞，通过类似讨论，我们有　ｌ＝　｛　—　［（　＞ｏ）＋（ｃ＞０）＋（　＜ｏ）］｝－ｑ．ｔ．｛　：一　［（ｐ＞ｏ）＋（ｃ＞ｏ）＋　（ｘ＜０）］｝　≤　｛　‘［（ｐ＞ｏ）＋（ｃ＞ｏ）＋（　＜０）］｝＋（２Ｊ｝＋　＋３）（　Ⅷ）　．　｛ｚ　［（ｐ＞ｏ）＋（ｃ＞ｏ）＋（　＜０）］｝　（口＞１）．　于是，交集｛　一口　［（Ｐ＞ｏ）＋（ｃ＞ｏ）＋　＜０）］｝・（ｑ＞１）是　的无限　子集。类似前面讨论，存在正整数Ⅳ满足＾ｒ＿２（　“）≥ｉ，使得（２．３）式成　立．且　ｐ　４ｏ，ｃ　４ｏ，ｘｎ≥Ｏ，Ⅳ＿２　一　≤ｎ≤Ⅳ＋２　（２．１０）　≥＝　≥Ｏ，Ⅳ＿２　一　≤ｎ≤Ⅳ｝２　（２．１１）　Ａｚ　４０，Ⅳ　一Ｚ≤ｎ≤＾ｒ＋２　（２．１２）　利用（２．２）式和（２．１Ｏ）式，我们：ｆｆ（ｎ，Ｘｎ一－）≤ｐ　ｚ　一。，又据（２．１）式和　ｆ２．１　ｏ）式，可知：当Ⅳ一　一２≤ｎ≤Ⅳ时，　０≥Ａｚ．－－ｐ　．卜ｌ＝Ａｚ　呻　（　－ｃ　）　≥△　—ｐ　（ｚ　一ｃ　）　（２．１３）　由（２．１２）式，得：Ｏ≥Ａｚ　（１－ｃ　。　（２．１４）　再据（２．１２）式，有０≥　＋　＋［一１印　（ｃｗ－ｌ－１）　］　（２．１５）　据（２．１１）式，可得：当Ⅳ　≤　≤Ⅳ时，有Ｏ≥［－ｌ＋ｐ　（ｃ　一１）　＝　（一ｌ＋ｑ　）；　，利用（２．３）式和（２．１１）式，得到矛盾。　综上，Ｉｔ＊（　＞Ｏ）≥∞或Ｉｔ＂（　＜Ｏ）≥∞。　另外，若　（　，０）＝１，则　≥０）＝１且通过类似讨论可得到矛盾，　Ｉｔ＊（　＞Ｏ）＝１时的讨论类似，从而完成了定理的证明。　如下结论证明过程类似定理１，故此略去。　定理２．２若方程（１．１）的解＃　满足如下三个条件：　（１）ｚ　・ｘｎＩ＞０；　（２）存在实数列ｐ＝｛ｐ　｝　；。使得　，　）≤ｐ　，Ｖ　≥０，　∈Ｒ；　（２．１６）　（３）存在实数　，　，　和∞Ｅ（Ｏ，１），使得　＞Ｏ）　（ｃ＞Ｏ）＝　挑［ｔＰ＞０）・（ｃ＞Ｏ）］＝　（ｑ＞１）＞（２ｋ＋２／＋３）（　。）　其中　（ｃ　一１）且ｇ＝ｆｑ　｝，则此解　＝　｝按照上频率测度≥‘ｏ　正振动的或负振动的。　注记：用类似的方式可以讨论方程（１．１）的解　＝｛ｘｎ）按照下频率测　度≥∞正振动或负振动的性质。　例１．假设在方程（１．１）中，ｋ＝／＝ｌ　，Ｘｎ－　）　一。且　ｆｌ，ｎ＝２４ｉ，ｉ∈　；　ｎ　ｎ　ｌ—ｌ，其它；　显然　＝　，　＝寺　ｑ＞１）：鲁。若设　＝奇，则　（ｑ＞１）＞７　砌。　可以断定方程（１．１）有满足条件２　・　≥Ｏ的解　＝　）。事实上，方　程（１＿１）可写成　叶ｌ＝（１．ｃ　Ｉ）　＋　＋ｃ　）　ｌ　取　：１，ｘｏ＝Ｏ，则有　ｘ４（　２）＋３＝Ｏ；　（．．２）＋４≠０；ｘ４（　）　；　（　２）＋６＝２ｘ４（　１）＋４。　Ｅ　于是　４“－２）＋３’　（　）＋４＝Ｏ；　４（Ｉ一２）＋４＝　４（越）＋４；　４（‘＿２）＋５＝　１　（　）＋５；　４（ｍ）＋６＝Ｏ。　这些表明　一　Ｉ＞０，／１，∈　。据定理３．１，此解　＝Ｉ　）是按照上频率　测度≥　１正振动或负振动的。ｅ