北京大学2018年博雅人才培养计划试题

北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数，且1234n n n n+++的个位数字为0，则满足条件的正整数n的个数为（）A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r，使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点，则n可以等于（）A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈，且1()7f x>的x的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。

【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。

北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=，则a b c d+++有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)，于是a+b+c+d不是质数即可。

如301=7×43=(1+6)×(1+42)，于是a=1，b=252，c=42，d=6即得正确答案是B。

【评析】数论不定方程问题，其中的换元方法是数论中的经典。

北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=，则使得10n| abc的最大正整数n是（）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。

2018北大博雅试题与答案1、如图，河岸高h ，人用恒力F 通过滑轮和绳子拉一质量为m 的小船。

当绳子和水平面夹角为0θ时，船速为v 0 。

船可视为质点，忽略所有摩擦力。

某一时刻夹角为θ，求此时船速v 、加速度a 、恒力F 的功率2、如图，一个质量为m ，面积为 S 的活塞将汽缸分为体积均为V 0 的两部分，两部分内气体压强均为P 0，将活塞轻微偏离平衡位置，假设整个过程中温度不变，求活塞运动的周期。

解：小量振动均为简谐运动2SP x V 3、电子经 500V 电压加速后以 v 沿 QA 方向出射。

M 点在 Q 点右下方，QM 与QA 成 60°，Q 与M 距离d ＝5cm ，要使电子打中M 点（1）、若施加匀强B ，垂直于MQ 与A 点所决定的平面，求B 大小。

（2）、若匀强B ∥QM ，求B 大小。

扩展：如图所示，被U=1000V的电势差加速的电子从电子枪中发射出来，初速沿直线a 60方向，距离枪口答案： 3.710B T=⨯ 6.710B n T=⨯1d mv,2,34、三个完全相同的凸透镜如图等距排列，距离为f，焦距为 f。

从左侧入射的任何光线最终都能右侧平行焦距f方向射出，（1）、请画出所有可能的光路图；（2）、求出λ的所有可能值。

5、均匀分布电荷量的圆环半径为R，总电荷量为Q，（1）、圆环中心O点电场强度（2）、过O垂直于圆环的直线上，电荷量为q的试探电荷只能在直线上运动，当试探电荷距O为x的距离时，试探电荷所受电场力。

()半径R 的圆环均匀带电，电荷量为Q ，圆环轴线上与环心O 的距离为x 的P 点的电场强度6、边长为a 的正六边形，六个顶点处各有一个+q 电荷，正中心O 点有一个-2q 的点电荷，顶点处电荷由于静电力作用而具有的电势能W 1=_____，整体具有的电势能W=_____解：如图A 所具有的电势能为7、火车的转弯轨道总有一定的坡度，当火车经过以R 为半径的圆弧道路时，车道倾斜角为 θ。

北京大学2018年博雅人才培养计划试题一、选择题1．以下带点的汉字读音相同的一组是（）A．薄．田薄．地B．干劲．劲．旅C．不胜．枚举胜．利D．溃．烂溃．脓2．下列各组词语中加点的字读音相同的一组是（ )A．中．药大黄山中．大王B．埋．怨埋．藏C．伐木丁丁．．丁丁．．漏水夜何长D．曝．晒曝．光3．下列词语中用字正确的一组是（）A．自暴自弃针贬时弊比比皆是寥若晨星B．含辛茹苦拭目以待穿流不息绿树成荫C．书画精萃浮想联翩迥然不同跌宕起伏D．英雄气概美轮美奂变本加厉眼花缭乱4．以下有三个错别字的一组词是（）A．编篡床第之私沉湎渲泄B．灸手可热饮鸩止渴世外桃源大拇指C．趋之若骛追溯额手称庆发韧D．磬竹难书青睐痉挛一幅对联5．以下句子中,没有错别字的是( ）A．西亚国家以色列开源截流，技术用水，使水资源得以充分合理地利用，其经验值得各国借鉴。

B．他执着地追求自己的理想，不为世俗嘲笑所动，将伤痕变成自己的勋章,将旁观者的垢骂作为自己的踏脚石，一步步地向梦想进发。

C．而斯巴达却完全相反，那是一个贫瘠而且了无生趣的国家.D．那些人正虎视耽耽地积极搜寻这批“宝藏”。

6．以下繁简对应不正确的一组是( ）A．简体：干细胞繁体：乾細胞B．简体：姜太公繁体：姜太公C．简体：瞭望繁体:瞭望D．简体：肤色繁体：膚色7．以下各组中带点的字在繁体字中没有共同偏旁的一组是（）A．喜欢．参观．权．力灌．溉鹳．鸟B．挑拣．练．习锤炼．楝．树阑．干C．遥远．花园．猿．猴轩辕．袁．氏D．了．解明了．瞭．望官僚．了．结8．以下对“陈留,天下之衝"中“衝”字解析有误的是（）A．“衝"是形声字B．“衝”的意符是彳C．“衝”的本义为交通要道D．“衝"字简化后写作“冲”9．以下四个字按笔画多少排列的一组是（）A．谀象鼎溪B．象谀溪鼎C．谀鼎象溪D．溪鼎谀象10．以下各组汉字，按字形结构“象形→指事→会意→形声"排列的是（）A．虎、夕、朝、大B．眉、中、取、遘C．鼎、亦、伐、莫D．车、问、甘、和二、阅读下文，回答下列问题孔子的洒脱周国平我喜欢读闲书,即使是正经书，（1）当闲书读.譬如说《论语》，林语堂把它当作孔子的闲谈读,读出了许多幽默，这种读法就很对我的胃口。

北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。

数学【真题1】已知!C !()!k m m k m k =-0123201820182018201820182018C +3C +5C +7C ++4037C L 的值为.A.201820192⨯B.2018!C.20184036CD.前三个答案都不对【真题2】已知△ABC 面积为1,D,E 分别是边BC 、AC 上的点,且13BD BC =,13CE CA =,AD,BE 交于点P ,则四边形CDPE 的面积是. A.12 B.23 C.17D.前三个答案都不对 【真题3】[x ]为不超过x 的最大正整数,a n 为满足:x ∈[0,n ),[x [x ]]可能取到的所有值的个数,则2018n a n+取到最小值时n 的取值 . A.63B.1009C.2018D.前三个答案都不对【真题4】已知n 为不超过400的正整数,n 的所有正因数的乘积为n 3,则满足条件的n 有____个A.50B.51C.55D.前三个答案都不对 【真题5】三边长均为正整数的三角形,周长为n ,S n 表示符合该条件的三角形的个数,则20182015S S -=. A.-3 B.0C.3D.前三个答案都不对【真题6】已知a,b,c 为非负实数,a+b+c =3,求a+ab+abc 的最大值.A.3B.4C.D.前三个都不对【真题7】设a,b,c 为公差不为0的等差数列,点(3,2)P -,(2,3)Q ,过点P 作PM 垂直于直线ax+by+c =0,垂足为M ,则|MQ |的最小与最大值乘积为 .A.10B.C.D.前三个都不对 【真题8】15个人圆成一圈,选4人,两两不相邻,有多少种选法？A.1560B.450C.0D.前三个都不对【真题9】_____A.(6,7]B.(7,8]C.(8,9]D.前三个答案都不对【真题10】 设()123,,,,1,2,3i a a a a i =L L 是一组从小到大的非完全平方数(正整数)例如122,3a a ==则2018a 等于 . A.2061B.2062C.2063D.前三个都不对【真题11】 在立方体1111ABCD A B C D -中,1AD 中点为M ,1B C 中点为N ,CM 与1D N所成角的余弦值.A.12B.23C.34D.前三个答案都不对【真题12】4的根的个数共有_____个A.0B.1C.3D.前三个答案都不对【真题13】 P 是椭圆22154x y +=上的一点,则是 .A.B.C.D.前三个答案都不对【真题14】 方程222|1|0x x a a x -++-=三个根,则a 的取值范围为.A.(,1]-∞-B.[1,)∞C.[1,0)(0,1]-UD.前三个都不对【真题15】 122018122018,,,,,,,a a a b b b L L 互异对任意(1,2,,2018)i a i =L 满足122018()()()=2018i i i a b a b a b +++L ,求任意i b 则122018()()()i i i a b a b a b +++L A.2018 B.2018- C.0 D.前三个都不对【真题16】 在2018个正整数任取3个数不相邻的取法种数为_____________。

北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析：111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。

2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。

3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。

1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。

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享受照顾政策类别 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下10分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降30分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下30分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下20分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下10分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降30分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下30分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下20分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下10分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降30分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下30分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下20分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下10分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下10分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下20分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降30分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下30分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降30分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下30分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降至当地同科类本科一批控制线录取 降30分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下30分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下20分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上） 降40分录取（考生高考投档成绩须达到我校在 当地同科类模拟投档线分数下40分以内，且同 时达到当地本科一批控制分数以上）

f北京大学2018年“博雅计划”试题1.一定能量的光子在靠近原子核时可以变成一个电子和一个正电子，假如某光子通过原子核时放出的两个粒子在B =0.05T 的磁场中运动半径为50mm ，则该光子的能量为MeV ( )A. 0.75 B. 1.5C. 2.7D. 2.92.在水下50米处，温度为，一体积为的气泡上升至水面，水的温度为C ︒436-101m ⨯时，气泡体积为( )C ︒17A. B. -636.310m ⨯-632.810m ⨯C. D. -639.810m ⨯-6312.610m ⨯3.如图杨氏双缝干涉模型，若光源S 下移一下段距离，那么光屏上的条纹将如何变化( )A.条纹距离变大，条纹整体下移B.条纹间距不变，条纹整体下移C.条纹间距变小，条纹整体上移D.条纹间距不变，条纹整体上移4.如图A 、B 为两个带正电的点电荷，另有一个不带电导体球壳将电荷B 包围，那么以下说法正确的是( )A. 将点电荷B 与导体球壳接触，点电荷A 受力变小B. 将导体球壳接地，点电荷A 受力变小C. 在球壳内，移动点电荷B 至任意位置，点电荷A 受力不变D. 将点电荷B 移走，点电荷A 受力不变5.车辆在弯道上行驶，已知弯道半径为R ，倾角为，若车辆不受沿地面方向的力，规定θ行驶速度为V ，则；若路面结冰，且已知行驶速度，=θtan h km u /40=，，则车辆与冰面摩擦因数至少为 .m 200=R h V km 60=μ6.一质量为M 的物块两侧由两个劲度系数都为k 的弹簧相连，另一端连在墙上，则物块微扰后简谐周期=；若在物块下加两个质量为m 的轮，此时(1T 2T 1T )=<>//7.在一边长为a 正六边形的六个顶点各有+q 的点电荷，六边形的中心有—2q 的点电荷，则对任意顶点，则对任一正点电荷，其他点电荷对其产生的静电能为 ，整个系统静电能为 .8.一均匀带电的圆环，半径为R ，总带电量为+Q ，则其中心O 点的电场强度为；在对称轴上距O 为x 的A 处有一+q 的点电荷，则该点电荷受力为.9.一封闭导热气缸内有一质量为m 的活塞将同种气体分成左右体积均为的两部分，且0V 压强均为，已知气缸截面积为S .试求活塞发生微扰后的振动周期，假设过程为等温.P10.三个相同的理想凸透镜共轴放置，焦距为，两两间距为.已知对任意左侧进入的f f λ光线，出射方向均与入射方向平行.(1)画出可能的光路图；(2)试求可能取值.λ11.电子枪的加速电压为，电子被加速后从端沿射出，经匀强磁场偏转后V U 500=P PA 经过M 点.已知，.cm PM d 5==60=ϕ(1)若磁场垂直三点确定的平面，求其磁感应强度；M A P 、、(2)若磁场平行方向，求其磁感应强度.PM 12.质量为的小船在湖面上，一根轻绳连在船上通过岸上的定滑轮，自由端水平，岸上m 有恒力作用在绳子的自由端.开始时空中绳长为，与水平夹角，船速为.当夹角F 0l 0θ0v 为时，）（0θθθ>(1)求小船的速度以及加速度；v a (2)求此时的功率.F北京大学2018年“博雅计划”试题解析1.【答案】B【考点】光子的性质【解析】正、负电子在磁场中的动量为，则光子的动量，光子能量eBR p e =e y p p 2=.c p E y y =2.【答案】A 【考点】等温变化【解析】对气泡中的理想气体哟，其中222111T V P T V P =.631112261102771290P atm V m T K P atm T K -≈=⨯===，，，，3.【答案】D【考点】杨氏双缝干涉【解析】由条纹间距公式条纹间距只与双缝间距和双缝 - 光屏距有关，光源上下移动不改变条纹间距；考虑0级条纹，光源发出的两束光分别经过上下缝会聚在光屏上的等光程点，为了保证等光程，当光源下移，0级条纹必须上移才能保证这一点.4.【答案】C【考点】静电场的性质【解析】有静电屏蔽知识，导体球壳内的点电荷对外界不产生电场，具体而言，球壳内表面感应出的负电荷与点电荷的电场抵消，则点电荷受力取决于球壳外边面的剩余电B A 荷；而将导体球壳接地后，球壳电势为零，然而不确定初始的球壳与点电荷之间的电场A 电势关系，因此并不能判断点电荷的受力大小变化.A 5.【答案】20.077V Rg；【考点】圆周运动【解析】转弯时，小车在平行斜面方向受力平衡，即得θθsin cos 2mg RV m =n Ah i nt hRgV 2tan =θ速度偏小，摩擦力向外，则在斜面方向受力平衡⇒++=)sin cos (cos sin 22θθμθθRu m mg R u m mg RgV u Rg u V R u g R u g 222222tan tan +-=+-=θθμ6.【答案】2>【考点】简谐运动【解析】物块两端都有劲度系数为的弹簧，等效于一个劲度系数为的弹簧，则振k k 2动周期为；物块质量增大，周期变长，kMT 221π=12T T >7.【答案】221922Kq Kq a a ⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎭；【考点】静电场的能量【解析】一个正电荷由其他点电荷产生的静电能为2222212222Kq Kq Kq Kq E a a a a⎫=++-=⎪⎭A 计算系统电势能，注意点电荷间的电势能只能计算一次222229663622s Kq Kq Kq Kq E a a a a ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭A A A 8.【答案】()32220KQqxx R +；【考点】电场强度的计算【解析】根据电场强度的定义，考虑对称性，分析可得：带电圆环在环心处的场强为0.根据对称性分析可得，对于距离环心为x 的位置，该点的电场强度沿着轴线方向可以写出该点所在位置的电场强度E 为：， 其中2k q xE r r ∆=∑rrb 由此可以写出E 为：223/2()kQx E x R =+所以电场力为：223/2()kQqx F qE x R ==+9.【答案】2T π=【考点】简谐运动【解析】当活塞偏离平衡位置(假设往左)距离时，左侧气体压强增大，右侧气体压x ∆强减小，由玻意耳定律，，()()x S V P x S V P V P R L ∆+=∆-=0000得，000000,P xS V V P P x S V V P R L ∆+=∆-=则活塞两侧气体压强差给活塞提供回复力，()x V P S S P x S V x S V S P x S V V x S V V S P P F L R ∆≈∆-∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∆+=-=0020220000002)(2则振动周期为.020002222P S mV V P S mT π==10.【答案】见解析【考点】凸透镜成像【解析】考虑左侧任意进入的光线可分为若干束平行光，一束平行光经过透镜组后出射仍是原方向的平行光，且平行光经凸透镜汇聚成一点，说明整个系统光路存在中心对称性，对称中心是第二个透镜中心.dAl l为了保证对称性，系统成像过程应该为：平行光经过第一个透镜汇聚一点，经过第二个透镜成像到对称点，再经过第三个透镜变成平行光.因此，第一个透镜与汇聚点的距离为，第二次成像是的成像，像点与第三个透镜距离时.光路图如下，即f f f 22-f 3=λ11.【答案】见解析【考点】带电粒子在磁场中的运动【解析】(1)电子经过一段圆弧轨道经过点，几何关系易知，偏转半径为M ，cm d R 35sin /2==ϕ又，mvR mv eB==e mU R B 21=电子经过等距螺旋线经过点，沿方向速度为M PM ，meUm eU v 2cos 2'==ϕ则有，2'mn v d eBπ=A得.B n =12.【答案】见解析【考点】相对运动【解析】(1)()220000sin cos 12sin F a m v v F l l v m θθθ⎛⎫=-=-⇒= ⎪⎝⎭，(2)cos v P F θ==A 本文档由华夏园教育提供。

北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D解析： 111111(21)222nnnnn nnkk k k k k knnnn nn n k k k k k k k k C kC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 2018201820180122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k C C C Ck C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。

2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。

3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。

1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。

2018 物理博雅计划1.如图,岸高h,一质量为m 的小船节点和定滑轮的长为l0 ,绳子和水平面夹角为θ0 ,此时船速为v0 .当) ,小船节点和定滑轮的长为l.船可视为质点,忽人用恒力F 拉小船靠岸时,某一时刻夹角为θ (θ>θ略所有摩擦力.(1)此时,船速v 和加速度a;(2)此时F 的功率.2.如图,一个质量为m,面积为S 的活塞将汽缸分为体积均为V0 的两部分,两部分内气体压强均为P0,将活塞轻微偏离平衡位置,假设整个过程中温度不变,求活塞运动的周期.3.电子经500V 电压加速后沿QA 方向出射.M 点在Q 点右下方,QM 与QA 成60°,Q 与M 距离d＝5cm,要使电子打中M 点(1)若施加匀强,B 垂直于MQ 与A 点所决定的平面,求B 大小.(2)若匀强B∥QM,求B 大小.4.三个完全相同的凸透镜如图等距排列,距离为λf,焦距为f.从左侧入射的任何光线最终都能右侧平行焦距f 方向射出,(1)请画出所有可能的光路图;(2)求出λ的所有可能值.5.均匀分布电荷量的圆环半径为R,总电荷量为Q,(1)圆环中心O 点电场强度;(2)过O 垂直于圆环的直线上,电荷量为q 的试探电荷只能在直线上运动,当试探电视距O 为x 的距离时,试探电荷所受电场力.6.边长为a 的正六边形,六个顶点处各有一个+q 电荷,正中心O 点有一个-2q 的点电荷,顶点处电荷由于静电力作用而具有的电势能W1= 整体W2=7.火车的转弯轨道总有一定的坡度,当火车经过以R 为半径的圆弧道路时,车道倾斜角为θ.当车在道路速度为V 时,恰好无摩擦力.(v=60km/h,u=40km/h,R=200m)(1)求此时倾角tan(2)已知u＜V,求u 最小值使火车行驶过程中不打滑.8.高能光子经过原子核附近时会产生电子和正电子对,现有一光子产生的电子对,,两者在磁感应强度为0.05T 的磁场中,做曲率半径为90mm 的曲线运动,求原光子的能量MevA.1.35B.1.45C.2.7D.2.99.有两个原长为l o 劲度系数均k 的弹簧和质量为m 的木板(地面光滑)的两端相连,现对木板施加一个微小的扰动,系统做振动.该系统的振动周期为T1= ,若在木板下加两个均为M 的圆柱体(做纯滚动),则新系统T2T1(填“＞”“＝”或“＜”)10.在杨氏双缝干涉实验中,如果将光源S 移动到S＇位置则：CA.中心条纹O 上移,条纹宽度变宽B.中心条纹O 上移,条纹宽度变细C.中心条纹O 上移,条纹宽度不变D.中心条纹O 下移,条纹宽度不变11.在湖面下50.0m 深处(温度为4.0℃),有一个体积为1.0×10-5m3 的空气泡升到湖面上来,若湖面的温度为17.0℃,求气泡到达湖面的体积.(取大气压强为p0=1.013×105Pa.)6.1112.一上端开有小孔的绝缘球壳,内部有一带正电的金属小球B,在球壳外部有一带负电的试探电前A 从远处靠近该球壳,下列说法正确的是()①若金属小球B 与球壳相接触,则试探电荷A 受斥力作用②金属小球B 与球壳不接触,金属小球B 从球壳拿出,对试探电荷A 作用力减小③ 先把金属小球B 撤走,试探电荷A 从远处靠近球壳,试探电荷A 受吸引力④ 若金属球壳接地,B 与球壳不接触,则 A 受引力作用⑤若金属球壳接地,B 与球壳不接触,则A 不受引力作用A.①③B.③④C.④⑤D.②⑤。

部分重点高校自主招生面试题集锦一、北京大学2011-2018自主招生、博雅计划真题（一）2018年博雅计划真题博雅计划不需要自我介绍，只需要说明：姓名、题目以及观点即可。

其中 6个人一组，每个考生有2分钟左右的时间进行思考，阐述时长为4分钟，自己举手发言。

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8、基因编辑技术对以后有什么影响?9、有哪些因素可以影响风俗与习惯?10、妻子重病，无钱买药，丈夫去偷药，从道德角度进行评价?11、对于流浪猫狗，政府应该出什么样的政策?12、谈谈商秧变法?13、公平到了极端就是极端的侮辱这句话谈看法?14、马克杜温说：当你的想法和别人一样时，你是否应该停下来想一想?15、材料和阶段的关系?每发明一种新的材料，促进人类社会到新的阶段，比如铁器时代，青铜器时代?16、当代人理解红楼梦是不是比曹雪芹更厉害?17、淘宝村选你们村里面，为什么?18、对左传里“立德立功立言”这句话的理解?（二）2017年自主招生面试真题理科：1、物理题关于静电屏蔽2、一道物理，一题数学，两道题都比较难，考生有40分钟的时间准备，依次由老师带领去找物理和数学（老师）讲解做这道题解题的思路和方法。

文科：1、关于社会公益和社会公害，再解读两个社会效应的名词2、关于中国人口政策沿革的思考3、集体行为逻辑和破窗效应，并针对这道大题设计了三道小题，比如举两个事例说明破窗效应，并说明解决破窗效应的条件。

4、科幻小说的科学精神和商业价值那个更重要？谈一下你的想法。

5、思想进步对你个人的影响？6、有人说，说谎会让人变傻，谈一下你的对此问题的看法。

的木板（地面光滑）的两端相连，现对木板施加一个微小的扰动， 系统做振动。该系统的振动周期为T1=_____。若在木板中取出2M 的质量做成二个质量均为M的实心（质量均匀分布）圆柱体（做纯 滚动），则新系统T2_____T1（填“＞”“＝”或“＜”）。若在木板中取 出2M的质量做成二个质量均为M的空心（质量只分布在圆周上）圆 柱体（做纯滚动），则新系统T3_____T1（填“＞”“＝”或“＜”）。
(2018北大博雅)2、如图，一个质量为m， 面积为 S 的活塞将汽缸分为体积均为V0 的两部分，两部分内气体压强均为P0，将 活塞轻微偏离平衡位置，假设整个过程中
温度不变，求活塞运动的周期。均匀Fra bibliotek电圆盘轴线上的电场
改编：有两个原长为lo 劲度系数均为k的弹簧和质量为（m+2M）

二3牛日刚叼北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1.设〃为正整数，C：=,“，为组合数,则30*8 + 50^+...+ 4037黑等于( )k\(n-K)\A. 2018-22018B. 2018!C. C：黑D.前三个答案都不对【答案】D解析：2k + 1)C：= 2，kC： + £c：= 2±nC^ += 2n±C^ +，k=0Jt=0 k=0Jt=l £=0 Jt=l £=02018 201S 2018「•+ 3c短 + 5c短 + …+ 4037C；黑=£(2八1)C*§ = 2 x 2018 x £ C/ + £ C机A=0 £=1 jt=0=4036x22017 + 22018 = 2019x22O1S,故选Do2.设o, b, c为非负实数，满足o+b+c=3,则。

+ob+obc的最大值为( )A. 3B.4C. 372D.前三个答案都不对【答案】B解析：a + ab + abc = a(l + b(l + c))<a[ 1+ + c) =。

i + __—,对其求导得至= 2时取I 4 J I 4 J最大值为4。

3. 一个正整数〃称为具有3-因数积性质若〃的所有正因数的乘积等于/,则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为()A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C解析：设〃的所有正因数的乘积为八即T = 〃、〃显然符合题意；下面证明当〃之2时，正整数〃的质因数的个数最多为2：假设〃的质因数的个数大于或等于3,即〃的全部质因数为P]，P”...，P A.伏之3),并设〃= pfpj...p『，则〃的所有正因数的乘积中，p：(i = L2,…公至少在,p：p],有p?,,p：p,T,p；，p：p k,p：p2...p k这些因子中出现，即R%出现的次数大于或等于4,这样7"之(p;p/...pf*)4=〃>这与题意r = 〃3 矛盾，所以假设不成立，即〃的质因数的个数最多为2。

绝密★ 启用前 北京大学博雅计划模拟考试 语 文 (满分：100分) 注意事项：11.本试卷共4道题； 2.答卷前，考生请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的 密封线内相应位置； 3.所有答案都应写在答题卡相应位置，答在试卷上的无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文根据语境填空(10题，共20分) 中国文化中极其夺目的一个部位可称之为“ 1 ”。

随之而来，许多文化遗迹也就是贬官 行迹。

贬官失了宠，摔了跤，孤零零的，悲剧意识也就爬上了心头；贬到了外头，这里走走，那里 看看，只好与山水亲热。

这一来，文章有了，诗词也有了，而且往往写得不坏。

过了一个时候， 或过了一个朝代，事过境迁，连朝廷也觉得此人不错，恢复名誉。

于是，人品和文品双全，传之 史册，诵之后人。

他们亲热过的山水亭阁，也便成了遗迹。

地因人传，人因地传，两相帮衬，俱 著声名。

例子太多了。

这次去洞庭湖， 一见岳阳楼，心头便想；又是它了。

1046年，范仲淹倡导变 革被贬，恰逢另一位贬在岳阳的朋友股子京重修岳阳楼罢，要他写一篇楼记，他便借楼写湖，凭 湖抒怀，写出了那篇著名的《岳阳楼记》。

直到今天，大多数游客都是先从这篇文章中知道有这 么一个楼的。

文章中“ 2 。

”这句话，已成为一般中国人都能随口吐出的熟语。

不知哪年哪月，此景此楼，已被这篇文章重新构建。

文章开头曾称颂此楼“北通巫峡，南极 潇湘”,于是，人们在楼的南北两方各立一个门坊，上刻这两句话。

进得楼内，巨幅木刻中堂，即 是这篇文章，书法厚重畅丽，洒以绿粉，古色古香。

其他后人题咏，心思全围着这篇文章。

这也算是个有趣的奇事：先是景观被写入文章，再是文章化作了景观。

借之现代用语，或 许可说，是 3 的互相生成罢。

在这里，中国文学的力量倒显得特别强大。

学校班级姓名密封线内不要答题准考证号范仲淹确实是文章好手，他用与洞庭湖波涛差不多的节奏，把写景的文势张扬得滚滚滔滔。