第26届北京市高中力学竞赛预赛试卷(及答案)

高中物理竞赛(力学)试题解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1、（本题20分）如图6所示，宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R 。

当飞船运行到P点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的α倍。

因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。

飞船喷气质量可以不计。

（1）试求飞船新轨道的近火星点A的高度h近和远火星点B的高度h远；（2）设飞船原来的运动速度为v0 ,试计算新轨道的运行周期T 。

2，(20分)有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O 的距离为x处（x＜l）的C点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小值．3，（20分）如图所示，一根长为L的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma和m b. 杆可绕距a球为L/4处的水平定轴O在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过 角时小球b速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．4、把上端A封闭、下端B开口的玻璃管插入水中,放掉部分空气后放手,玻璃管可以竖直地浮在水中(如下图).设玻璃管的质量m=40克,横截面积S=2厘米2,水面以上部分的长度b=1厘米,大气压强P0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度不计,管内空气质量不计.(1)求玻璃管内外水面的高度差h.(2)用手拿住玻璃管并缓慢地把它压入水中,当管的A端在水面下超过某一深度时,放手后玻璃管不浮起.求这个深度.(3)上一小问中,放手后玻璃管的位置是否变化?如何变化?(计算时可认为管内空气的温度不变)5、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=30°(如右图).一条长度为l的绳(质量不计),一端的位置固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看作质点,绳长小于圆锥体的母线).物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动(物体和绳在上图中都没画出).aOb AB CDF6、(13分) 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体,如图所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上,Q 端拴在物体上.设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时,车在A 点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H.提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A 经过B 驶向C.设A 到B 的距离也为H,车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中,绳Q 端的拉力对物体做的功.7.在两端封闭、内径均匀的直玻璃管内,有一段水银柱将两种理想气体a 和b 隔开.将管竖立着,达到平衡时,若温度为T,气柱a 和b 的长度分别为l a 和l b ;若温度为T ＇,长度分别为l 抋和l 抌.然后将管平放在水平桌面上,在平衡时,两段气柱长度分别为l 攁和l 攂.已知T 、T 挕8．如图所示，质量为Kg M9=的小车放在光滑的水平面上，其中AB 部分为半径R=0.5m的光滑41圆弧，BC 部分水平且不光滑，长为L=2m ，一小物块质量m=6Kg ，由A 点静止释放，刚好滑到C 点静止（取g=102s m ），求：①物块与BC 间的动摩擦因数②物块从A 滑到C 过程中，小车获得的最大速度9.．如图所示，在光滑水平面上放一质量为M 、边长为l 的正方体木块，木块上搁有一长为L 的轻质光滑棒，棒的一端用光滑铰链连接于地面上O 点，棒可绕O 点在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为m 的均质金属小球．开始时，棒与木块均静止，棒与水平面夹角为α角．当棒绕O 点向垂直于木块接触边方向转动到棒与水平面间夹角变为β的瞬时，求木块速度的大小．10 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．11如图所示，一木块从斜面AC 的顶端A 点自静止起滑下，经过水平面CD 后，又滑上另一个斜面DF ，到达顶端F 点时速度减为零。

第26届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案一、选择题.本题共5小题，每小题7分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的.把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得7分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.1.图中a、b和c、d分别是两个平行板电容器的极扳，E为电池，彼此相距较远.用导线将E的正极与a、 c相连，将E的负极与b、d相连，待电容器充电后，去掉导线.这时已知a带的电荷量大于c带的电荷量，称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原始状态出发，进行以下两次连接：第一次用一根导线将a、c相连，用另一根导线将b、d相连；第二次用一根导线将a、d相连，用另一根导线将b、c相连，每次连接后都随即移去导线.下面哪种说法是正确的？A.经过第一次连接，a、b间的电压下降，c、d间的电压上升B.经过第一次连接，a、b间和c、d间的电压都不变C.经过第二次连接，a、b间的电压和c、d间的电压中有一个上升，一个下降D.经过第二次连接，a、b间的电压和c、d间的电压都下降2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆，串联后接在某一直流电源两端，如图所示.已知杆a的质量小于杆b的质量，杆a金属的摩尔质量小于杆b金属的摩尔质量，杆a的电阻大于杆b的电阻，假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子(载流子).当电流达到稳恒时，若a、 b内存在电场，则该电场可视为均匀电场.下面结论中正确的是A.两杆内的电场强度都等于零B.两杆内的电场强度都不等于零，且a内的场强大于b内的场强C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等D.a内载流子定向运动的速度一定大于b内载流子定向运动的速度3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管，竖直插在水中，管的一部分在水面上.现用手指封住管的上端，把一定量的空气密封在玻璃管中，以V0表示其体积；然后把玻璃管沿竖直方向提出水面，设此时封在玻璃管中的气体体积为V1；最后把玻璃管在竖直平面内转过90°，使玻璃管处于水平位置，设此时封在玻璃管中的气体体积为V2.则有A.V1＞V0=V2B.V1＞V0＞V2C.V1=V2＞V0D.V1＞V0，V2＞V04.一块足够长的白板，位于水平桌面上，处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在白板上.石墨块与白板间有摩擦，滑动摩擦系数为μ.突然，使白板以恒定的速度v0做匀速直线运动，石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间t，令白板突然停下，以后不再运动.在最后石墨块也不再运动时，白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为g，不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量)A. B.v0t C. D.5.如图1所示，一个电容为C的理想电容器与两个阻值皆为R的电阻串联后通过电键K 连接在电动势为 E的直流电源的两端，电源的内电阻忽略不计，电键K是断开的，在t=0时刻，闭合电键K，接通电路，在图2中给出了六种电压V随时间t变化的图线a、b、c、d、e、f，现从其中选出三种图线用来表示图l所示电路上1、2、3、4四点中某两点间的电压随时间t的变化，下面四个选项中正确的是A.a、b、fB.a、e、fC.b、d、eD.c、d、e二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果，不需写出求得结果的过程.6.(8分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标，这严重影响了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”，它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的天线阵，小天线发出相干的电磁波，其初相位可通过电子计算机调节，从而可改变空间干涉极强的方位，这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用.对下面的简单模型的研究，有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方位的影响.图中a、b为相邻两个小天线，间距为d，发出波长为λ的相干电磁波.Ox轴通过a、b 的中点且垂直于a、b的连线.若已知当a、b发出的电磁波在a、b处的初相位相同即相位差为O时，将在与x轴成θ角(θ很小)方向的远处形成干涉极强，现设法改变a、b发出的电磁波的初相位，使b的初相位比a的落后一个小量φ，结果，原来相干极强的方向将从θ变为θ＇，则θ－θ＇等于____.7.(8分)He-Ne激光器产生的波长为6.33×10-7m的谱线是Ne原子从激发态能级(用E1表示)向能量较低的激发态能级(用E3表示)跃迁时发生的；波长为 3.39×10-6m 的谱线是Ne 原子从能级E1向能级较低的激发态能级(用E3表示)跃迁时发生的.已知普朗克常量h与光速c的乘积hc=1.24×10-6m·eV.由此可知Ne的激发态能级E3与E2的能最差为____eV.8.(8分)一列简谐横波沿x轴负方向传播，传播速度v=200m/s.已知位于坐标原点(x=0)处的质元的振动图线如图1所示.试在图2中画出，t=4Oms，时该简谐波的波形图线(不少于一个波长).9.(8分)图示为某一圆形水池的示意图(竖直截面).AB为池中水面的直径，MN为水池底面的直径，O为圆形池底的圆心.已知ON为11.4m, AM、BN为斜坡，池中水深5.00m，水的折射率为4/3.水的透明度极好，不考虑水的吸收.图中a、b、c、d为四个发光点，天空是蓝色的，水面是平的.在池底中心处有一凹槽，一潜水员仰卧其中，他的眼睛位于O处，仰视水面的最大范围的直径为AB.(i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为________ .(ii)四个发光点a、b、c、d中，其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是________.三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位.10.(19分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果的影响.(i)用“插针法”测量玻璃的折射率时，要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平的白纸上，然后紧贴玻璃砖的两个透明面，分别画出两条直线，在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离.如果由于操作中的误差，使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离，问这样测得的折射率与实际值相比，是偏大，偏小，还是相同？试给出简要论证(ii)在用单摆测量重力加速度g时，由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内作圆周运动，如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比，哪个大？试定量比较.11.(18分)现有以下器材：电流表一只(量程适当.内阻可忽略不计.带有按钮开关K1，按下按钮，电流表与电路接通，有电流通过电流表，电流表显出一定的读数)，阻值己知为R的固定电阻一个，阻值未知的待测电阻Rx一个，直流电源一个(电动势ε和内阻r待测)，单刀双掷开关K一个，接线用的导线若干.试设计一个实验电路，用它既能测量直流电源的电动势ε和内阻r，又能测量待测电阻的阻值Rx(注意：此电路接好后，在测量过程中不许再拆开，只许操作开关，读取数据).具体要求：(i)画出所设计的电路图.(ii)写出测量ε、r和Rx主要的实验步骤.(iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的ε、r和Rx的表达式.12.(18分)一静止的原子核A发生α衰变后变成原子核B，已知原子核A、原子核B和α粒子的质量分别为m A、m B，和mα，光速为c(不考虑质量与速度有关的相对论效应), 求衰变后原子核B和α粒子的动能.13.(18分)近代的材料生长和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子射散的影响.这种特点可望有新的应用价值.图l 所示为四端十字形.二维电子气半导体，当电流从l端进人时，通过控制磁场的作用，可使电流从 2, 3，或4端流出.对下面摸拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图 2 中， a、b、c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸里.以B表示磁感应强度的大小.一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内以速度v0沿与a、b都相切的方向由缝1射人磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用.试求B为何值时，该粒子能从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出.14.(20分)如图所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m0.导轨的两条轨道间的距离为l，PQ是质量为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计.初始时，杆PQ于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B.现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时间t , PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I0，导轨向右移动的距离为x0(导轨的N1N2部分尚未进人磁场区域).求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感.15.(20分)图中M1和M2是绝热气缸中的两个活塞，用轻质刚性细杆连结，活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的，M1是导热的，M2是绝热的，且M2的横截面积是M1的2倍.M1把一定质量的气体封闭在气缸的L1部分，M1和M2把一定质量的气体封闭在气缸的L2部分，M2的右侧为大气，大气的压强P0是恒定的. K 是加热L2中气体用的电热丝.初始时，两个活塞和气体都处在平衡状态，分别以V 10和V20表示L1和L2中气体的体积.现通过K对气体缓慢加热一段时间后停止加热，让气体重新达到平衡态，这时，活塞未被气缸壁挡住.加热后与加热前比， L1和L2中气体的压强是增大了、减小了还是未变？要求进行定量论证.16.(20分)一个质量为m1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km高空作圆周运动，在某处和一个质量为m2=m1/9的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动.碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km，其轨道和卫星轨道在同一平面内.已知质量为m的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和，式中G是引力常量，M是地球的质量，a为椭圆轨道的半长轴.设地球是半径R=6371km的质量均匀分布的球体，不计空气阻力.(i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上.(ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上)，碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？参考解答与评分标准一、选择题.(共35分)答案：1.BD2.B3.A4.AC5.AB评分标准：每小题7分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的.全部选对的得7分.选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.二、填空题和作图题.共32分，每小题8分.按各小题的答案和评分标准给分.6.答案与评分标准：(8分)7.答案与评分标准： 1.59(8分)8.答案：评分标准：8分.有任何错误都给0分.9.答案与评分标准：(i)97.2°(分)(ii)c、d(两个都对得4分，只填一个且正确得2分，有填错的得0分)10.参考解答：(i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线，以两条虚线代表玻璃砖的两个透明面，根据题意，实线间的距离大于虚线间的距离，如图所示.根据实线位置定出的折射角为γ，按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为γ＇，由图知γ＞γ＇ (l)由折射定律 sini=nsinγ (2)令入射角i 相等，当折射角偏大时，测出的折射率将偏小.(ii)以l表示摆长，θ表示摆线与竖直方向的夹角，m表示摆球的质量，F表示摆线对摆球的拉力，T表示摆球作题图所示运动的周期.有(1) Fcosθ=mg (2)由(l)、(2)式得(3)而单摆的周期公式为即使在单摆实验中，摆角很小，θ＜5°，但cosθ＜l，这表示对于同样的摆长l，摆球在水平面内作圆周运动的周期T小于单摆运动的周期T＇，所以把较小的周期通过(4)求出的重力加速度的数值将大于g的实际值.评分标准：本题 19 分.第(i)小题9分.得到(l)式给4分，得到正确结论给5分.只有结论给0分.第(ii)小题10分.得到(3)式给5分，得到正确结论给5分.只有结论给0分.11.参考解答：解法一(i)电路如右图所示，(ii)实验步骤：(1)将单向双掷开关K置于空位，按所设计的电路图接线.(2)按下电流表上的按钮开关K1，读下电流表的示数I1.(3)将K打向左侧与a接通，读下电流表的示数I2.(4)将K打向右侧与b接通，读下电流表的示数I3.(iii)由欧姆定律有ε=I1R+I1r (1)(2)(3)解以上三式得(4)(5)(6)评分标准：本题18分.第(i)小题9分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分. 第(ii)题3分.在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分.第(iii)题6分.(4)、(5)、(6)式各 2 分.解法二(i)电路如右图所示.(ii)实验步骤：(1)将单向双掷开关K置于空位，按所设计的电路图接线.(2)按下电流表上的按钮开关K1，读下电流表的示数I1.(3)将K打向左侧与a接通，读下电流表的示数I2.(4)将K打向右侧与b接通，读下电流表的示数13.(iii)由欧姆定律有ε=I1(R+R x+r) (1)ε=I2(R+r) (2)ε=I3(R x+r) (3)解以上三式得(4)(5)(6)评分标准：本题18分.第(i)小题9分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分. 第(ii)题3分.在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分.第(iii)题6分.(4)、(5)、(6)式各 2 分.12.参考解答：设α粒子速度的大小为vα，原子核B速度的大小为v B，在衰变过程中动量守恒，有mαvα+m B v B=0 (1)衰变过程中能量守恒，有(2)解(l)、(2)二式得(3)(4)评分标准：本题18分.(1)式4分，(2)式8分，(3)、(4)各3分.13.参考解答：解法一在图中纸面内取Oxy坐标(如图)，原点在狭缝l处，x轴过缝1和缝3.粒子从缝1进人磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x轴相切，故其圆心必在y轴上.若以r表示此圆的半径，则圆方程为x2+(y-r)2=r2 (1)根据题的要求和对称性可知，粒子在磁场中作圆周运动时应与d的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为x=2R-Rsin45° (2)y=R-Rcos45° (3)由(l)、(2)、(3)式得 r=3R (4)由洛仑兹力和牛顿定律有(5)由(4)、(5)式得(6)评分标准：本题 18 分.(1)、(2)、(3)式各4分，(4)、(5)、(6)式各2分.解法二如图所示，A为a、b两圆圆心的连线与缝l的交点，F为c、d两圆圆心的连线与缝3的交点.从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱d的表面发生弹性碰撞后，反弹进人缝2，这个过程一定对连结b、d 两圆圆心的直线OP对称，故直线OP与d圆的交点C必是碰度点.由于粒子在磁场中做圆运动过A点，因此这个轨道的圆心必在过A点并垂直于AF的直线AE上；同时这个轨道经过C点，所以轨道的圆心也一定在AC的垂直平分线DE 上.这样AE与DE的交点E就是轨道的圆心，AE就是轨道的半径r.过C点作AF的垂线与AF交于H点，则△AHC∽△EDA有(1)由图可知(2)(3)(4)(5)由以上各式得 r=3R (6)由洛仑兹力和牛顿定律有(7)得到(8)评分标准：本题18分.(1)式8分，(2)、(3)(4)、(5)式各1分，(6)、(7)、(8)式各1分.14.参考解答：杆PQ在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F，方向向右；磁场的安培力，其大小F B=BIl，方向向左，式中I是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为Fμ，方向向左.根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有(1)式中v为经过时间t杆速度的大小，W F为恒力F对杆做的功，W F安为安培力对杆做的功，W Fμ为摩擦力对杆做的功.恒力F对杆做的功W F=Fx (2)因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以E R表示电阻所消耗的能量，则有-W F安=E R (3)摩擦力Fμ是恒力，它对杆做的功W Fμ=-Fμx (4)但Fμ未知.因U型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a，则有Fμ=m0a (5)而 a=2x0/t2 (6)由(4)、(5)、(6)三式得 (7)经过时间t杆的速度设为v，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势ε=Blv (8)根据题意，此时回路中的感应电流(9)由(8)、(9)式得(10)由(l)、(2)、(3)、(7)、(10)各式得(11)评分标准：本题20分.(1)式3分，(2)式l分，(3)式4分，(7)式4分，(10)式5分，(11)式3分.15.参考解答：解法一用n1和n2分别表示L1和L2中气体的摩尔数，P1、P2和 V1、V2分别表示L1和L2中气体处在平衡态时的压强和体积，T表示气体的温度(因为 M1是导热的，两部分气体的温度相等)，由理想气体状态方程有p1V1=n1RT (1)P2V2=n2RT (2)式中R为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象，处在平衡状态时有p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3)已知S2=2S1 (4)由(3)、(4)式得p1+p2=2p0 (5)由(l)、(2)、(5)三式得(6)若(6)式中的V1、V2是加热后L1和L2中气体的体积，则p1就是加热后L1中气体的压强.加热前L1中气体的压强则为(7)设加热后，L1中气体体积的增加量为△V1，L2中气体体积的增加量为△V2，因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M2的横截面积是M1的2倍，故有△V1=△V2=△V (8)加热后，L1和L2中气体的体积都是增大的，即△V > 0 .[若△V< 0，即加热后，活塞是向左移动的，则大气将对封闭在气缸中的气体做功，电热丝又对气体加热，根据热力学第一定律，气体的内能增加，温度将上升，而体积是减小的，故L1和L2中气体的压强p1和p2都将增大，这违反力学平衡条件(5)式］于是有 V1=V10+△V (9)V2=V20+△V (10)由(6)、(7)、(9)、(10)四式得(11)由(11)式可知，若加热前V10=V20，则p1＝p10，即加热后p1不变，由(5)式知p2亦不变；若加热前 V10＜V20，则p1< p10，即加热后P1必减小，由(5)式知P2必增大；若加热前 V10＞V20, 则p1＞p10，即加热后p1必增大，由(5)式知p2必减小.评分标准：本题 20 分.得到(5)式得3分，得到(8)式得3分，得到(11)式得8分，最后结论得6分.解法二设加热前L1和L2中气体的压强和体积分别为p10、p20和V10、V20，以p l、p2和V1、V2分别表示加热后L1和L2中气体的压强和体积，由于M1是导热的，加热前L1和L2中气体的温度是相等的，设为T0，加热后L1和L2中气体的温度也相等，设为T.因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态，注意到S2=2S1，力学平衡条件分别为p10+p20=2p0 (1)p1+p2=2p0 (2)由(l)、(2)两式得p1-p10=-(p2-p20) (3)根据理想气体状态方程，对L1中的气体有(4)对L：中的气体有(5)由(4)、(5)两式得(6)(6)式可改写成(7)因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M2的横截面积是M1的2倍，故有V1-V10=V2-V20 (8)把(3)、(8)式代入(7)式得(9)若V10=V20，则由(9)式得p1=p10，即若加热前，L1中气体的体积等于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强不变，由(2)式可知加热后L2中气体的压强亦不变.若V10＜V20，则由(9)式得p1＜p10，即若加热前，L1中气体的体积小于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强必减小，由(2)式可知加热后L2中气体的压强必增大.若V10＞V20，则由(9)式得p1＞p10，即若加热前， L1中气体的体积大于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强必增大，由(2)式可知加热后L2中气体的压强必减小.评分标准：本题 20 分.得到(l)式和(2)式或得到(3)得3分，得到(8)式得3分，得到(9)式得8分，最后结论得6 分.16.参考解答：(i)图1为卫星和碎片运行轨道的示意图.以v1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以M表示地球E的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有(1)式中G是引力常量.由(l)式得(2)以v2表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量(3)式中a为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得(4)卫星和碎片碰撞过程中动量守恒，有m1v1－m2v2=(m1+m2)v (5)这里v是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得(6)由(2)、(4)、(6)三式并代人有关数据得(7)结合物能否撞上地球，要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离r min，如果r min＜R，则结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴a′.结合物的总能量(8)代人有关数据得a′=5259km (9)结合物轨道的近地点到地心的距离r min=2a′-(R+h)=3347km＜R (10)据此可以判断，结合物最后要撞上地球.(ii)解法一在极坐标中讨论.取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示.碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程(11)式中e是偏心率，p是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离r max=R+h (12)由解析几何有(13)在轨道的近地点，r=r min，θ=0，由(11)式得p=r min(1+e)(=4563km) (14)或有p=r max(1－e) (15)在结合物撞击地球处；r=R，由(11)式有(16)或(17)代人有关数据可得cosθ=-0.7807 (18)θ=141.32° (19)这是在北纬51.32°.评分标准：本题20分.第(i)小题12分.(1)或(2)、(3)或(4)、(5)或(6)式各2 分，(8)式3分，(10)式3分.第(ii)小题8分.(11)、(12)、(13)、(14)或(15)、(16)或(17)式各l分，(19)式2分(答案在141°到142°之间的都给2分)，正确指出纬度给l分.解法二在直角坐标中讨论.取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O, x轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点，如图3所示.结合物轨道的椭圆方程是(20)式中a＇、b＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心的距离r max=R+h (21)根据解析几何，若c为地心与坐标原点间的距离，c=r max－a＇(=1912km) (22)而(23)注意到a＇由(9)式给出，得b＇=4899km (24)结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为x p和y p，则有x p=Rcosθ+c (25)y p=Rsinθ (26)式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上，将(24)、(25)式代入轨道方程(20)式，经整理得R2(b′2-a′2)cos2θ+2b′2cRcosθ-a′2b′2+a′2R2=0 (27)引人以下符号并代人有关数据得α=R2(b′2-a′2)=(-1484×1011km)β=2b′2cR(=5846×1011km).γ=b′2c2-a′2b′2+a′2R2(=5465×1011km)代入(27)式得αcos2θ+βcosθ+γ=0 (28)解得(29)舍掉不合理的答案，得cosθ=-0.7807 (30)θ=141.32°(31)这是在北纬51.32°.评分标准：(20)、(21)、(22)、(23)或(24)、(27)式各l分，(31)式2分(答案在141°到142°之间的都给2分)，正确指出纬度给1分.。

高中物理竞赛模拟试题（初赛）一、现有一个长方形的抽屉，其俯视图如图所示AD=L ，AB=W 。

抽屉面板上左、右对称地安装着E 、F 两个把手，它们之间的距离为d ，该抽屉上下底面是光滑的，左、右侧壁的摩擦系数为μ，不拉动抽屉时左、右抽屉与抽屉腔之间有一定的间隙，如果用平行AD 的力作用在一个把手上将抽屉拉开，对μ有什么要求？二、一条轻氢绳两端各系着质量为m 1和m 2的物体，通过定滑轮悬挂在车顶上，m 1>m 2，如图绳与滑轮的摩擦忽略不计，若车以加速度a 向右运动，m 1仍然与车厢地板相对静止，试求：（1）此时绳上的张力T ；（2）m 1三、两个质量都为m 的小球，用一根长为2l 的轻绳连接起来，置于光滑桌面上，绳恰好伸直。

用一个垂直绳方向的恒力F 作用在连线中点O 上，问：在两小球第一次碰撞前的瞬间，小球在垂直于F 方向上的分速度是多少？四、一车在平直公路上以加速度匀加速a g直线运动，用长为L 的轻绳将一小球B 悬挂于车厢顶上，待小求相对车厢静止之后，将其在竖直平面内稍稍拉离平衡位置，然后由静止释放，小球将在平衡位置附近作小幅振动，求小球的振动周期。

CBAm五、一根一端封闭的均匀玻璃管长96cm ，内有一端长20cm 为的水银柱水银柱下方为一空气柱，当温度为27°时玻璃管开口竖直向上，空气柱长60cm ，此时外界大气压为76cmHg ，试问：为使水银柱不全部从玻璃管中溢出，温度可达到多少度？六、三个相同的金属圈两两相交地焊接成如图所示的形状，若每一金属圈的原长电阻（即它断开时测两端的电阻）为R ，试求图中A 、B 两点之间的电阻。

七、在倾角为30°的斜面上，固定两根足够长的光滑平行导轨，一个匀强磁场垂直斜面竖直向上，磁感强度为B=0.4T ，导轨间距L=0.5m 两根金属棒ab 、cd 水平地放在导轨上，金属棒质量m ab =0.1kg.、m cd =0.2kg 两金属棒总电阻r=0.2Ω，导轨电阻不计，现使金属棒ab 以ν=2.5m/s 的速度沿斜面向上匀速运动，求： （1）金属棒cd 的最大速度；（2）在cd 有最大速度时，作用在ab 的外力的功率。

第26届市高中力学竞赛决赛试题〔景山学校杯〕一、填空题〔6小题，每小题8分，共48分〕1. 在地球表面的位置约是东经117º、北纬37º，莫斯科的位置约是东经37º、北纬56º.据报道说，主席计划莫斯科时间上午10点在莫斯科国际关系学院举行报告.试估计在的时间应是，理由是 .2. 如图1所示，光滑轨道P ABCDE 由直轨道和两个半径均相同的圆弧轨道连接而成. 小滑块由高h 的P 点释放滑下，无论h 取何值，滑块不会脱离轨道的部分是，可能最先脱离轨道的部分是，经过该部分之后可能脱离轨道的部分是.3. 如图2所示，一块密度为水密度的1/2的塑料块连接到轻弹簧的一端，弹簧另一端固定在桶底，塑料块完全浸没在水中时弹簧伸长5mm 。

如果水桶以加速度g a 21匀加速上升，塑料块达到稳定状态后弹簧伸长mm ，理由是 。

4. 体重60kg 的短跑运动员，在50m 的比赛中，起跑后的1.0s 内加速，后来匀速，经8.0s 跑到终点. 我们可估算出运动员在跑动中的最大功率是得 分hABCD E F O 1O 2R R RRR图1P 图2AB C Dv 1v 1xW .〔保留两位有效数字〕5. 有一种绳系卫星，母星在确定的轨道上运动，母星上用细绳悬吊一个子星，如图3所示. 稳定时母星和子星间的细绳方向应指向地心，但有时子星会发生摆动，子星上无动力装置，为消除摆动使细绳方向指向地心，可采取的措施是， 理由是 .6. 如图4所示，一鼓轮放在粗糙地面上，右边紧靠光滑的竖直墙壁，鼓轮重量不计，其上由绳索悬吊一重物G ，已知r =R /3，鼓轮与地面间的摩擦因数为μ，鼓轮处于静止平衡状态. 如果增大r ，其他条件不变，鼓轮是否能处于平衡状态？答：， 理由是.二、计算题〔共102分〕7.〔16分〕如图5所示，球与台阶相碰图4图3母星子星地心得 分的恢复系数为e )(接近速度分离速度e =，每级台阶的宽度和高度相同，均等于l ，该球在台阶上弹跳，每次均弹起同样高度且在水平部分的同一位置，即AB =CD ，求球的水平速度和每次弹起的高度，球与台阶间无摩擦.8．〔16分〕特警战士距墙S 0，以速度0υ起跳，如图6所示，再用脚蹬墙面一次，身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙与鞋底之间的静摩擦因数为μ．求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ.9．〔20分〕如图7所示，A 、B 、C 、D 、E 五个杂技演员在连续靠近放置的跳板上表演杂技．他们各自的质量分别为m 1，m 2，m 3，m 4和m 5.A 演员从h 1高度跳到第一个跳板上. B 、C 、D 接着一个个被竖直向上弹起后又竖直落下到相邻的跳板上．跳板的质量可以忽略，试求E 演员被弹起的高度h 5是多少？图6S 0得 分得 分10.〔25分〕如图8所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上. 桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度v 0沿垂直于杆DB 的方向与右端小球B 作弹性碰撞. 求刚碰后小球A 、B 、C 、D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况.11.〔25分〕如图9所示，一均匀圆盘，质量为M ，半径为R ，静止放在一光滑水平地面上，中心不固定. 质量为m 的人，初始静止站在圆盘边缘上〔人可看作质点〕，当人以相对速率u 沿圆盘边缘走动后，盘的转动角速度大小为)(32RuM m m +=ω，求盘心O 的速度大小. 图7图8得 分得 分第26届市高中力学竞赛决赛试题答案〔景山学校杯〕一、填空题1．下午3点多〔2分〕.地球由西向东自转，24小时转一周，经度为360º，每隔15º差1小时，117º-37º=80º，约5个多小时〔6分〕.2．A →B →C 〔2分〕.C →D 〔3分〕. E →F 〔3分〕.3．7.5 〔2分〕. 水和塑料块都超重，F 弹=F 浮-m 塑〔g +a 〕=〔ρ水-ρ塑〕V 塑〔g +a 〕〔6分〕.4．2.7103〔8分〕a=P m =mav =W 3107.232032060⨯=⨯⨯5．子星摆动最低处放绳，最高处收绳 ，放绳时绳拉力对子星做负功，收绳时做正功，半个周期内负功绝对值大于正功，拉力总功为负，子星机械能减小.〔8分〕OR A.m 图9T 2T 1T 1>T 26. 能，不能〔2分〕. 平衡方程为fR =Gr ，，平衡时〔6分〕二、计算题7、解：球每次弹起的速度v 1都相同，每次落地的速度v 2也相同，由能量守恒：22212121mv mgl mv =+①gl v v v v gl v v y x y x 2,2212122222122=--+=- 〔2分〕 由牛顿碰撞公式：②yy ev v 21=- 〔2分〕在水平方向动量守恒：③x x x x v v mv mv 2121,==由①②③可求得：)2(12 )2(,122221分分e glv e gl ev yy -=--= 平抛公式：⑥⑤④，221111,gt t v y t v l gt v v y x y y +==+= 令v y =v 2y ，由④可求得球从弹起到落地的时间：)1()1(2112212e g e l g e e gl gv v t yy -+=+⋅-=-=)2(分 代入⑤中即可求得球的水平速度：)1(2)1()1(2)1()1()1(2)1()1(2/1e e gl e l le g e g e l e g e l l t l v x +-=+-⋅-+=-+==)2(分令v y =0，由④可求得球达最大高度所需时间：)1(2112221e g le g e gl egv t y -=⋅-=-= 代入⑥中即可求得球所能达到的最大高度：l ee g e g l ge e g l e e gl e y 2222221)1(221)1(212-=-+-⋅--=)4(分 AB C Dv 1v 1 v 2xy8、分析和解：在解答本题时，注意摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量，抓住主要因素忽略次要因素，是经常用到的手段.人以角θ起跳，水平初速度和竖直初速度分别为00cos x υυθ=，00sin y υυθ= 从起跳到蹬墙时空中飞行的时间为0cos s t υθ=则人蹬墙前竖直方向的速度为000sin cos y y s gt g υυυθυθ=-=-人重心升高：2220001000000111sin ()tan ()2cos 2cos 2cos y s s s h t gt g s g υυθθυθυθυθ=-=-=-〔6分〕设人蹬墙的时间为△t ，因△t 很小，则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量，即f G I I >>，由动量定理得：f y I N t m μυ=∆=∆而在水平方向同样由动量定理可知：cos x x o N t m m m υυυθ∆=∆==〔3分〕人蹬墙后获得竖直向上的速度：0000sin cos cos y y y gs υυυυθμυθυθ'=+∆=-+人蹬墙后再上升的高度20022202002000(sin cos )cos (sin cos )1tan ()2222cos y gs s h s s g g g g υθμθυυθυθμθθμυθ⎡⎤+-⎢⎥'+⎣⎦===--+人体重心上升的总高度：220120(sin cos )2H h h s gυθμθμ+=+=-令tan φ=μ，则对0υ、s 0一定时，当2πθϕ+=时H 最大．即1arctanθμ=时，人体的重心总升高最大．〔7分〕9、解：首先我们注意一下图中的翘板，中间是一个无限重的支柱．A 演员跳到翘板的一端，同时把B 演员弹到空中，我们可以看作是演员间“通过〞翘板的碰撞．假定碰撞的持续时间很短，由此我们可以不考虑重力对碰撞本身的影响，因为在碰撞的时间△t 里，每一个演员和重力相关的冲量矩〔对翘板中心计算〕与△t 成正比，是非常小的．碰撞时翘板支点是不动的，我们可以采用角动量守恒定律来研究．又由于翘板非常轻，我们可以认为翘板的转动惯量为零.根据题中后面的说明和上面的假设．我们可以认为碰撞时机械能是守恒的，也就是说是弹性碰撞.令1υ'表示A 演员碰撞后的速度.1υ'与图上的1υ指向同一个方向.由系统的角动量和机械能守恒，可以写出111122m r m r m r υυυ'=+〔4分〕222111122111222m m m υυυ'=+〔4分〕 解这个方程组，我们得到两组解1〕1υυ'=，20υ= 2〕12112m m m m υυ-'=+，121122m m m υυ=+〔2分〕第一组解相当于碰撞之前；而第二组解相当于碰撞之后.B 演员跳到相邻的翘板上，在碰撞的瞬间速度是2υ. 相继而来的过程和第一次完全相似. 因此以后的演员弹起的速度相应地为MDBCAV 0222220A B C D 11111+22222M M m m =++v v mv v v 232232m m m υυ=+，343342m m m υυ=+，454452m m m υυ=+〔5分〕将前面的计算结果代人，可得E 演员弹起的速度为123451223344516()()()()m m m m m m m m m m m m υ=++++〔3分〕所求的高度h 5可以利用下式计算1υ5υ=于是得到21234511223344516()()()()m m m m h h m m m m m m m m ⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦〔2分〕10、解析 ①小球A 、B 碰撞瞬间，球A 挤压B ，其作用力方向垂直于杆，使球B 获得沿0v 方向的速度B v .从而在碰撞瞬间使小球C 、D 的速度也沿0v 方向.对质点组B 、C 、D 与A 组成的系统，碰撞前后动量守恒。

a b E +- c d 第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题。

本题共5小题，每小题7分。

在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的。

把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内。

全部选对的得7分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。

1．图中a 、b 和c 、d 分别是两个平行板电容器的极板，E 为电池，彼此相距较远。

用导线将E 的正极与a 、c 相连，将E 的负极与b 、d 相连，待电容器充电后，去掉导线。

这时已知a 带的电荷量大于c 带的电荷量，称此状态为原始状态。

现设想用两根导线分别都从原始状态出发，进行以下两次连接：第一次用一根导线将a 、c 相连，用另一根导线将b 、d 相连；第二次用一根导线将a 、d 相连，用另一根导线将b 、c 相连，每次连接后都随即移去导线。

下面哪种说法是正确的？[ ]A ．经过第一次连接，a 、b 间的电压下降，c 、d 间的电压上升B ．经过第一次连接，a 、b 间和c 、d 间的电压都不变C ．经过第二次连接，a 、b 间的电压和c 、d 间的电压中有一个上升，一个下降D ．经过第二次连接，a 、b 间的电压和c 、d 间的电压都下降2．两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆，串联后接在某一直流电源两端，如图所示。

已知杆a 的质量小于杆b 的质量，杆a 金属的摩尔质量小于杆b 金属的摩尔质量，杆a 的电阻大于杆b 的电阻，假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子（载流子）。

当电流达到稳恒时，若a 、b 内存在电场，则该电场可视为均匀电场。

下面结论中正确的是[ ]A ．两杆内的电场强度都等于零B ．两杆内的电场强度都不等于零，且a 内的场强大于b 内的场强C ．两杆内载流子定向运动的速度一定相等D ．a 内载流子定向运动的速度一定大于b 内载流子定向运动的速度3．一根内径均匀、两端开中的细长玻璃管，竖直插在水中，管的一部分在水面上。

高考物理力学试题考试时间：120分钟 满分160分一、本题共15小题，每小题4分，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确．1. 图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿过苹果瞬间的照片。

该照片经过放大后分析出，在曝光时间内，子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的1%~2%。

已知子弹飞行速度约为500m/s ，因此可估算出这幅照片的曝光时间最接近A ．10-3sB ．10-6sC ．10-9sD ．10-12s 2．如图所示，在高为H 的台阶上，以初速度0v 抛出一质量为m 的小石子，不计空气阻力，当小石子落到距抛出点的垂直高度为h 的台阶上时，小石子动能的增量为Ａ．mgh Ｂ．221mv mgh + Ｃ．mgh mgH - Ｄ．221mv3. 有四名运动员在标准的田径场进行800米跑步竞赛，图中插小旗处是他们各自的起跑位置，他们都顺利地按规则要求完成了比赛，下列说法正确的是A ．他们跑完的路程相同B ．他们跑完的位移相同C ．他们跑完的圈数相同D ．他们到达的终点可以相同4．如图所示，一同学沿一直线行走，现用频闪照相记录了他行走中9个位置的图片，观察图片，能大致反映该同学运动情况的速度—时间图象是5．下列实例属于超重现象的是A ．汽车驶过拱形桥顶端B ．荡秋千的小孩通过最低点C ．跳水运动员被跳板弹起，离开跳板向上运动D ．火箭点火后加速升空 6．如图所示，物体A 靠在竖直墙面上，在力F 作用下，A 、B 保持静止。

物体B 的受力个数为：A ．2B ．3C ．4D ．57．如图所示，PQS 是固定于竖直平面内的光滑的 14 圆周轨道，圆心O 在S 的正上方。

在O和P 两点各有一质量为m 的小物块a 和b ，从同一时刻开始，a 自由下落，b 沿圆弧下滑。

以下说法正确的是A ．a 比b 先到达S ，它们在S 点的动能相等B ．a 、b 同时到达S ，它们在S 点的速度不同C ．a 比b 先到达S ，它们在S 点的速度相同D ．b 比a 先到达S ，它们在S 点的动能相等8．如图所示，光滑轨道MO 和ON 底端对接且ON=2MO ，M 、N 两点高度相同。

第27届北京市高中力学竞赛预赛试题（景山学校杯）一、选择题1．如图l 所示装置中，物块A 、B 处于静止状态，30θ=︒，不计滑轮摩擦，则A 、B 质量之比12m m 的值为（ ）AB ．12CD2．质点做匀变速直线运动，初速度为lm/s ，最初2s 内的位移的大小为10m ，则质点的加速度的大小可能为（ ）A ．22m/sB ．24m/sC ．26m/sD ．28m/s3．质点做直线运动，它运动的位置坐标x 随时间t 变化的图像如图2所示，由图可知（ ）A ．质点做加速运动B ．质点做减速运动C ．质点的加速度逐渐减小D ．质点一部分时间内加速，在另一部分时间内减速4．一个小球以初速0v 竖直向下抛出，一直运动到最高点，不计空气的阻力，关于这个小球的运动有如下两种方式观察：（1）某人在以速度0v 匀速上升的升降机中观察：（2）某人用摄相机将小球的运动过程拍下来，然后将录像倒放来观察小球的运动．比较这两种方式观察到的结果，有（ ） A ．速度相同；加速度也相同，都是gB ．速度相同；加速度的大小相同，方向相反C ．速度不相同；（1）的加速度大于（2）的加速度D ．速度不相同；加速度相同，都是g5．冰球沿光滑冰面以速度1v 向东运动，受到一个向北的打击力的作用后，冰球的运动情况是（ ） A ．向东偏北方向匀速运动，轨迹是直线 B ．向北方向做变速运动，轨迹是直线 C ．向东偏北方向运动，轨迹是抛物线 D ．向北方向运动，轨迹是抛物线6．如图3所示，土星赤道处有一个土星环．早年有人认为土星环是土星赤道凸出的部分，土星环与土星是一个整体；另外有人认为土星环是由大量绕土星旋转的碎小天体组成的，跟土星不是一个整体．为了判别哪种说法正确，人们对土星进行天文观测，测出土星环中各个部分到土星中心O 的距离r 及相应的速度v ，并提出了如下几种判断依据的说法，其中正确的是（ ）A ．若v 与r 成正比，可知土星环与土星是一个整体B ．若vC ．若v 与r 成反比，可知土星环与土星不是一个整体D ．若v 与7．如图4所示，质点A 在水平面上以速率v 沿半径为R 的圆周逆时针方向做匀速率圆周运动，O 为圆心．质点B 以速度v 沿PO 方向做匀速直线运动．A 、B 从某时刻一起由P 点开始运动．若以质点A 为参照物，在质点A 运动一周的时问内质点B 的运动情况是（ ）A ．质点B 的位移大小一定随时问增大而变大 B ．经π2Rv时间，质点B 的速度最大 C ．经3π2Rv时间，质点B 的速度最大 D ．在π02Rv-时间内，质点B 的速度方向与直线PO 的夹角随时间增加而变大 8．如图5所示，木箱A 的质量为1m ，小车的质量为2m ，小车和木箱一起沿斜面匀速下滑，小车下滑时不受斜面的阻力，斜面的倾角为θ，则（ ）A ．木箱与斜面间的动摩擦因数tan μθ=B ．木箱与斜面间的动摩擦因数121tan m m m μθ+= C ．小车对木箱的作用力的大小为2sin m g θ D ．小车对木箱的作用力的大小为()12sin m m g θ+9．小球从地面竖直向上抛出，经一定时间又回到地面．若小球受空气的阻力的大小不变，则小球在空中飞行的过程中，小球的动能k E 、机械能E 随它的高度h 变化的图像如图6中的四图所示（A 中的曲线是抛物线，B 、C 、D 中都是直线），其中可能正确的是（ ）10．如图7所示，质量为M 倾角为θ的斜面体A 放在水平地面上，把质量为m 的滑块B 放在A 的斜面上，忽略一切摩擦，会看到滑块B 沿斜面下滑的同时，斜面体A 沿水平面向左运动．有人求得滑块B 相对于地面的加速度()2sin sin M m g a M m θθ+=+．这个问题中学生一般不会求解，但有的同学利用特殊条件下的结果对上述的解加以分析，并与预期的结果、实验结论进行比较，从而对上述解的合理性或正确性做出判断．下面是一位同学利用特殊条件对上述结果做出的四项分析和判断，得出“解可能是正确的”结论．请你指出下列判断错误的是（ ）A ．当0θ=时，该解给出0a =，这符合常识，说明该解可能是正确的B ．90θ=︒时，该解给出a g =，这符合实验结论，说明该解可能是正确的C ．当M m >>时，该解给出sin a g θ≈，这符合预期的结果，说明该解可能是正确的D ．当M m <<时，该解给出sin ga θ≈，这符合预期的结果，说明该解可能是正确的11．如图8所示，天平左盘分别用细线拉住磁铁甲和乙，磁铁甲、乙互相吸引，天平右盘放砝码使天平平衡．如果切断悬吊甲的细线l ，甲将向乙的方向加速运动；如果切断悬吊乙的细线2，乙将向甲的方向加速运动．在甲或乙开始加速时，发生的现象是（ ）A ．切断1天平向右倾斜，切断2天平向左倾斜B ．切断l 天平向左倾斜，切断2天平向左倾斜C ．切断l 大平向左倾斜，切断2天平向右倾斜D ．切断1天平向存倾斜，切断2天平保持平衡 二、填空题12．响尾蛇攻击猎物时，响尾蛇头部的加速度1a 可达250m/s ．一辆超级跑车从静止开始加速到100km/h 的速度所需时问为25s ．．跑车的加速度2a 与1a 之比为__________． 13．小球自某高处水平抛出，初速度为0v ，落地时的速度与水平方向的夹角为30︒，则从抛出到落地时的水平方向的位移是__________．14．通过简单的估算，说明“坐地日行8万里”的道理是__________．15．三个力1F 、2F 和3F 作用于某一质点A 上处于平衡，当保持力三个力的大小不变，若只将1F 的方向旋转180︒，质点A 受的合力为15N ．；若只将2F 的方向旋转180︒，质点A 受的合力为20N ．；若只将3F 的方向旋转180︒，质点A 受的合力为25N ．．由此可以确定力1F 的大小是__________；力1F 和3F 方向间的夹角是__________．16．某星球的第一宇宙速度（在星球附近环绕星球做匀速圆周运动的速度）为v ，质量为m 的宇航员在这个星球表面受到的重力为W ．由此可知这个星球的半径是__________．17．以初动能k E 竖直向上抛出一个质量为m 的小球，小球运动过程中受到的空气阻力大小恒定，小球落回抛出点时的动能为抛出时的89．则小球受到的空气阻力的大小为__________．18．质点沿x 轴运动，开始时位于A 处，3m A x =；停留10s 后，匀速运动经过20s 到达B 点，5m B x =-；再停留l0s 后，以AB 段的速度的一半运动到达C 点，1m C x =：再停留10s ，然后经过20s 回到A 点．试在图9的坐标纸中画出质点运动的x t －图．19．如图10所示，质量均匀分布、长为L 的链条放在光滑的表面ABC 上，AB 面水平BC 面与水平面的夹角为θ，AB 与BC 面南很窄的圆弧面相连，链条的一端D 用钉子固定，B 点以下的链条长为1L ．拔掉钉子，链条下滑，当D 端运动到B 点时，链条的速度大小是__________．三、证明和计算题20．一位同学站在高为20m h =．的窗户前，他看见一个小球竖直地自下而上通过窗户，过一会儿又白上而下地通过窗户．该同学记下小球通过窗户的总时间050s t =．，不计空气阻力．求小球能够到达距窗户上端多高处．21．运动员弯弓射箭时，拉弓的拉力F 与拉开的距离x 的关系，如图11所示．若箭的质量28.510kg m -⨯＝．试估算运动员将弓拉开050m ．时射出的箭的速度．（取两位有效数字）22．如图12所示，放在小车的水平表面的箱子与小车用滑轮组相连，滑轮间的细绳都处于水平．小车的质量l 8kg m =，箱子的质量24kg m =，箱子与车的水平表面间的动摩擦因数0.3μ=，不计滑轮和细绳的质量以及地面对车的阻力．用一竖直向上的恒力10N F ＝拉绳子，求箱子相对于车滑动075m L =．时，箱子相对于车的速度以及在此过程中恒力F 做的功．23．如图13－l 所示，水平旋转平台可以绕过轴心O 的竖直轴以某一固定的角速度匀速转动．在平台的P 处固定一个短小的长方体的盒子，盒中放有一个光滑的均质物块，被压缩的轻弹簧卡在盒中，物块的三个侧面装有三个压力传感器a 、b 、c ，可以测出它对长方体盒子的三个侧壁的压力（如图13－2所示）．长方体盒子可以绕P 点逆时针旋转，使其轴线AB 与OP 成任意角度α，并能固定在平台上．盒子随平台转动时，无论α角如何，都可认为物块的中心始终位于P 点．当AB 轴线沿OP 方向固定时（即0α=︒），传感器b 显示的压力为16N ；当AB 轴线与OP 垂直固定时（即90α=︒），传感器b 显示的压力为6N ．试通过画出物块的几个必要的受力图，分析计算说明α角在0~2π范围内变化时，a 、b 、c 三个压力传感器的示数的变化情况．第27届北京市高中力学竞赛预赛试题参考答案（景山学校杯）二、填空题 12．231314．地球的半径约为6400km R ＝，人在赤道上，随地球自转，一大通过的路程为42π410km 8s R =≈⨯=万里．15．0.75N ；127︒16．2mv W17．17mg18．如图119三、证明、计算题20．小球作竖直上抛运动，上升段与下降段所用的时问是相等的．讨论小球下降段的运动，小球通过和2m h =的窗户所用时间0.25s t =． 如图2，设小球达到最高点距窗户上端的距离为x ，所用时间为1t ，有()221111222g t t gt +-= 解得10.675s t =小球能够到达距窗户顶端211 2.28m 2x gt == 21．南F x －图像可以求得运动员拉弓时所做的功 1071071872402852853120.10.10.10.197.5J 2222W +++=⨯+⨯+⨯+⨯= 由212mv W = 得射出箭的速度约为48m/s v =．22．选取地面为参照系，箱子水平方向受绳拉力3F 和摩擦力，做匀加速运动，有2223F m g m a μ-=通过的位移22212x a t =，方向向左小车水平方向受绳拉力3F 和摩擦力，做匀加速运动，有2113F m g m a μ-=通过的位移21112x a t =，方向向右可得11222112x a m x a m ===120.75x x +=解得1025m x =．，21 2.25m/s a =；205m x =．，2245m/s a =．；047s t =． 小车的速度11 1.06m/s v a t ==，方向向右； 箱的速度22 2.12m/s v a t ==，方向向左．箱子相对于小车的速度12 3.18m/s v v v =+=方向向左． 绳端向上的竖直位移3s L =恒力F 做功225J W Fs ==．．23．物块在α角的不同值时，物块的受力图如图3所示．设平台转动的角速度为ω，物块质量为m ，OP R =．物块固定在平台上做匀速圆周运动，当AB 与OP 垂直时，即90α=︒，弹簧对物块的压力等于盒b 侧的压力，则弹簧的压力6N F =．当AB 与OP 方向一致时，物块做匀速圆周运动，受弹簧的压力和盒b 侧的压力()116N F ，有110N F F m R ω2-==；而侧壁a 、c 的压力均为0．物块在盒子中受到弹簧的压力F 和盒子的三个侧面对它可能产生的压力a F 、b F 和c F 的作用，做匀速圆周运动，无论α角为何值，它做圆周运动的向心力都不变，为2m R ω．设盒子的轴线AB 与OP 方向成任意角α时，各力的正方向如图4所示，物块做圆周运动，有 2cos b F F m R ωα-= 2sin a c F F m R ωα-=（其中a F 、b F 和c F 取值为≥0，6N F ≥） 得2cos b F F m R ωα=+，2sin a F m R ωα=或2sin c F m R ωα-=压力传感器b 的示数b F ：随角α由0开始逐渐增大，b F 从16N 开始减小，当90α=︒时为6N ；α角继续增大时，b F 由6N 开始继续减小直到0，此时cos 0.6α=-，()πarccos 0.6127α=-=︒，α再增大，物块将离开b 侧面，弹簧会进一步被压缩．当α角继续增大到π180α==︒时，弹簧压缩量最大，然后继续增大α角，弹簧压缩量减小，直到()πarccos 0.6233α=+=︒时，物块又与b 侧面接触；α角在127~233︒︒范围内b F 都为0；此后，α角再增大，b F 由0开始逐渐增大，直到360α=︒时，b F 又达到16N ．压力传感器a 、c 的示数a F 和c F ：随角α由0开始增大，0c F =，2sin a F m R ωα=逐渐增大，当90α=︒时22sin 6N a F m R m R ωαω===；α角继续增大时，a F 开始减小直到180α=︒时a F 减到0，α角在0～180︒范围内c F 都为0；此后，α角继续增大时，a F 变为0，2sin c F m R ωα=-，c F 由0开始增加，当270α=︒时22sin 6N c F m R m R ωαω=-==：α角继续增大时，c F 开始减小直到360α=︒时c F 减为0，α角在180~360︒︒范围内a F 都为0．。

第25届北京市高中力学竞赛预赛试卷（北京四中杯）（全卷满分150分） 2012年5月6日 上午9:30—11:30一、选择题（共44分，每小题4分）每小题均有四个备选答案，至少有一个答案是正确的，请把所选答案前的字母填在下面的答案表内．每小题全选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的均得0分．1．如图1所示，A 、B 两个物体叠放在水平地面上，A 、B 所受重力均为10N ，A 、B 间、B 与地面间的动摩擦因数均为0.3．现对A 、B 同时施以方向相反的水平力F ＝1N ，A 、B 均静止不动．则A 、B 间、B 与地面间的摩擦力的大小分别为A ．3N ；6NB ．1N ；1NC ．0；1ND ．1N ；02．一质点沿直线运动，在这条直线上建立坐标，质点的位置坐标x 随时间t 变化的规律为x =3+4t +5t 2．t 的单位是秒，x 的单位是米．则可知A ．质点的初速度为4m/sB ．质点的加速度为5m/s 2C ．质点的加速度为10m/s 2D ．初始时刻质点的位置在x =3m 处3．细线AO 和BO 下端系一个重为G 的物体P ，A 、B 两个端点在同一水平线上，∠AOB ＝90°，细线AO 的长度大于细线BO 的长度，如图2所示．细线AO 和BO 的拉力设为F A 和F B ，比较细线的拉力F A 、F B 和G 的大小，有图1A．F A＞F B B．F A＜F BC．F A＜G D．F B＞G4．嫦娥二号绕月球做匀速圆周运动，圆轨道距月球表面较近，测得嫦娥二号绕月运行的周期为T，万有引力常量为G．由此可以估算出A．月球的半径B．嫦娥二号的轨道半径C．月球的平均密度D．嫦娥二号的质量5．一质点沿曲线由A向C运动，如图3所示，图中的虚线为曲线在B点的切线，运动过程中质点的速率不断减小．图3所示的四个图中，表示质点通过B点时所受合力F的方向，其中可能正确的是6．质量为m的质点作匀变速直线运动，设开始运动的方向为正方向，经时间t 速度由v变为－v，则在时间t内A．合力对质点做的功为mv2B．质点所受到的合力为－2mvt C．质点的位移为vt D．质点通过的路程为12vt 7．起重机竖直向上加速吊起重物的过程中，钢丝绳对重物做功为W1，重物克服重力做功为W2，克服空气阻力做功为W3，则在这个过程中A．重物动能增加量为W1－W2－W3B．重物动能增加量为W1－W3C．重物机械能增加量为W1－W2－W3D．重物的重力势能增加量为W28．如图4所示，一根轻弹簧竖直直立在水平地面上，一个物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩，弹簧被压缩了x0时，物块的速度变为零．在弹簧被压图2A DCB图3缩的过程中，有A ．物块的动能逐渐减小到0B ．物块的动能先增大后减小C ．物块的加速度逐渐增大D ．弹簧的弹性势能逐渐增大9．三个木块a 、b 、c 按如图5所示的方式叠放在水平桌面上．已知各接触面之间都有摩擦．现用水平向右的力F 拉木块b ，木块a 、c 随b 一起以相同的加速度向右运动．则下列说法正确的是A ．a 对c 的摩擦力方向向右B ．b 对a 的摩擦力方向向右C ．a 、b 之间的摩擦力一定大于a 、c 之间的摩擦力D ．a 、b 之间的摩擦力一定小于a 、c 之间的摩擦力 10．质量为m 的物体与竖直墙壁间的接触面不光滑，一水平力F 作用在物体上，如图6所示．当水平力F 由0逐渐增大的过程中，物体与墙壁间的摩擦力F f 随水平力F 变化的图像为图7的四个图中的 11．质量为m 的物块静止于光滑水平面上，水平恒力F 作用于物块的时间为t ，然后换成反向大小为2F 的水平恒力再作用2t 时间．取F 的方向为正方向，则有A ．物块的速度变化量为3Ft m B ．物块的速度变化量为－3FtmC ．物块的动能变化量为2292F t mD ．物块的动能变化量为22392F t m二、填空题（共40分，每小题5分）把答案填在题中的横线上，或按题目要求作图.12．自由下落的重锤拖动一条穿过打点计时器的纸带，打点计时器的振针在纸图4图5 图6A.B. C. D.mgmgmgmg图7带上打下一系列的点，如图8所示，在纸带上取出1、2、3、4、5、6共六个计数点．相邻的两个计数点间都有一个点未画出．用刻度尺测得各个点到计数点1的距离都标在纸带上，交流电的频率为50Hz ．试从纸带上给出的数据求出振针打下计数点2和5时重锤的速度分别为v 2= m/s ，v 5= m/s ．13．小球从高h 处水平抛出，落到水平地面时的水平位移是2h ，小球抛出时的初速度大小是 ；如使小球抛出时的初速度减为一半，要使小球落h ，小球抛出时的高度是 ．14．质点沿一直线由A 向B 作匀加速直线运动，已知通过A 点的速度为v ，通过B 点的速度为3v ．则由A 到B 运动一半时间的速度为 ；运动的一半路程时的速度为 ．15．如图9所示，一个小木块被压缩的弹簧卡在玩具小车的左右两壁之间，当玩具小车向左做加速运动的加速度为a 时，左右两壁受到的压力分别为F 1和F 2．不计一切摩擦，则小木块的质量为 ；要使小木块刚好要离开小车的左壁，小车的加速度的大小是 ．16．哈勃望远镜绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地面的高度设为H ，地球的半径为R ，地面附近的重力加速度为g ．则哈勃望远镜的加速度大小为 ；绕地球运行一周的时间为 ．17．由于故障热气球以速度v 匀速竖直下降，为了防止气球着地时发生危险，着地时的速度必须小于3v．设热气球的总质量为M ，气球下降过程中受到的浮力和阻力大小都不变，在热气球降到距地面的高度为h 时，气球开始匀减速下降的加速度大小应为 ；为此须从气球的吊篮内扔出质量为 的物体．18．质量为5×103kg 的汽车在恒定牵引力作用下在水平路面上由静止开始运动，行驶一段时间后关闭发动机，之后汽车滑行一段距离后停止．上述过程的速度图像如图10所示．根据图像可知，汽车的牵引力F ＝ ；汽车运动过程中克服阻力作的功为 J ．单位：cm图8图919．如图11所示，物体A 、B 的质量均为m ，两者间用轻质弹簧b 相连接，再用轻质弹簧a 将A 和B 一起吊起，处于静止状态，轻质弹簧a 和b 的劲度系数均为k ．现将物体B 向上缓慢托起，直至弹簧a 恢复到原长，在此过程中物体A 的重力势能增加量为 ；物体B 的重力势能增加量为 ．三、证明和计算题（共66分）解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位． 20．（13分）一辆客车停靠在路边，一辆卡车以72km/h 的速度匀速行驶超过客车．以卡车超过客车的时刻开始计时，2min 后客车起动作匀加速运动，直至达到90km/h 后速度保持不变，12min 时刻客车追上卡车．求：客车做匀加速运动时的加速度的大小和匀加速运动的时间．图10图11质量为12kg，在平静的湖面上沿直线航行，从起动后经过70s关闭电动机，测得舰船模型的v－t图如图12所示．设水对舰船模型的阻力大小保持不变．试由图求：（1）舰船模型在40－70s时间内电动机输出的平均功率．（2）在0－30s时间内舰船模型电动机输出的平均功率．3.5图1222．（17分）如图13所示，截面为等腰梯形ABCD 的防洪道，深为H ，底宽CD 为4H，倾斜的护坡与水平面的夹角为α（sin α＝0.8）．一位同学从A 处向护坡BC 水平抛出一个石子，要使石子能够到达对岸的C 处，石子抛出的初速度v 0v 0的初速抛出石子，石子将落在护坡BC 上某处，该处距C 点的距离是多少？图1323．（19分）如图14所示，一只质量为2m 的箱子放在水平地面上，箱内两个物体A 、B 质量均为m ，A 、B 之间用轻弹簧相连接，再分别用竖直细线a 、b 系在箱内．现将细线b 剪断，若剪断瞬间物体B 的加速度为g ，方向竖直向上．求：（1）剪断b 线前箱子对地面的压力． （2）剪断b 线瞬间箱子对地面的压力．（3）试定性分析剪断b 线后物体B 向上运动的过程中，箱子对地面压力的变化情况，并计算压力大小的变化范围．提示：弹簧的弹性势能E P ＝212kx ，k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量．图14。

全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分．一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后页的括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．如图，球心在坐标原点O 的球面上有三个彼此绝缘的金属环，它们分别与x y -平面、y z -平面、z x -平面与球面的交线（大圆）重合，各自通有大小相等的电流，电流的流向如图中箭头所示．坐标原点处的磁场方向与x 轴、y 轴、z 轴的夹角分别是 [ ]A．arcsin-，arcsin -，arcsin - B．，arcsin -，arcsin -C．，，arcsin -D．，，arcsin2．从楼顶边缘以大小为0v 的初速度竖直上抛一小球；经过0t 时间后在楼顶边缘从静止开始释放另一小球．若要求两小球同时落地，忽略空气阻力，则0v 的取值范围和抛出点的高度应为 [ ]A ．00012gt v gt ≤<，22000001122v gt h gt v gt ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭B ．00v gt ≠，20020001122v gth gt v gt ⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ C ．00012gt v gt ≤<，20020001122v gt h gt v gt ⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭D ．0012v gt ≠，22000001122v gt h gt v gt ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭3．如图，四个半径相同的小球（构成一个体系）置于水平桌面的一条直线上，其中一个是钕永磁球（标有北极N 和南极S ），其余三个是钢球；钕球与右边两个钢球相互接触．让另一钢球在钕球左边一定距离处从静止释放，逐渐加速，直至与钕球碰撞，此时最右边的钢球立即以很大的速度被弹开．对于整个过程的始末，下列说法正确的是 []A ．体系动能增加，体系磁能减少B ．体系动能减少，体系磁能增加C ．体系动能减少，体系磁能减少D ．体系动能增加，体系磁能增加4．如图，一带正电荷Q 的绝缘小球（可视为点电荷）固定在光滑绝缘平板上，另一绝缘小球（可视为点电荷）所带电荷用（其值可任意选择）表示，可在平板上移动，并连在轻弹簧的一端，轻弹簧的另一端连在固定挡板上；两小球的球心在弹簧的轴线上．不考虑可移动小球与固定小球相互接触的情形，且弹簧的形变处于弹性限度内．关于可移动小球的平衡位置，下列说法正确的是 [ ] A ．若0q >，总有一个平衡的位置B ．若0q >，没有平衡位置C ．若0q <，可能有一个或两个平衡位置D ．若0q <，没有平衡位置5．如图，小物块a 、b 和c 静置于光滑水平地面上．现让a 以速度V 向右运动，与b 发生弹性正碰，然后b 与c 也发生弹性正碰．若b 和c 的质量可任意选择，碰后c 的最大速度接近于 [ ]A ．2VB ．3VC ．4VD ．5V二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程． 6．（10分）2016年2月11日美国国家科学基金会宣布：美国的“激光干涉引力波天文台”()LIGO 的两台孪生引力波探测器首次直接探测到了引力波．该引力波是由13亿光年之外的两颗黑洞在合并的最后阶段产生的．初始质量分别为29倍太阳质量和36倍太阳质量的两颗黑洞，合并成了一颗62倍太阳质量、高速旋转的黑洞；亏损的质量以引力波的形式释放到宇宙空间．这亏损的质量为______kg ，相当于______J 的能量．已知太阳质量约为302.010kg ⨯，光在真空中的速度为83.010m ⨯．7．（10分）在一水平直线上相距18m 的A 、B 两点放置两个波源．这两个波源振动的方向平行、振幅相等、频率都是30Hz ，且有相位差π．它们沿同一条直线在其两边的媒质中各激起简谱横波．波在媒质中的传播速度为360m/s ．这两列波在A 、B 两点所在直线上因干涉而振幅等于原来各自振幅的点有______个，它们到A 点的距离依次为_____________________m ．8．（10分）如图，以a 、b 为端点的线圈1的自感为1L ，以c 、d 为端点的线圈2的自感为2L ，互感为M （线圈1中的电流的变化在线圈2中产生的感应电动势与线圈中电流随时间的变化率成正比，比例系数称为互感21M ；且1221M M M ==）．若将两线圈1和2首尾相连（顺接）而串联起来，如图（a ）所示，则总自感为______；若将两线圈1和2尾尾相接（反接）而串联起来，如图（b ）所示，则总自感为______．9．（10分）如图，一小角度单摆的轻质摆杆的长度AB L =，地球半径OC R =，单摆的悬点到地面的距离AC L =．已知地球质量为M ，引力常量为G ．当L R 时，单摆做简谐运动的周期为______；当L R 时，单摆做简谐运动的周期为______．悬点相对于地球不动，不考虑地球自转．10．（10分）μ-子与电子的性质相似，其电量与电子相同，而质量μm 约为电子的206.8倍．用μ-子代替氢原子中的电子就形成μ-子－氢原子，μ-子－氢原子的线状光谱与氢原子具有相似的规律．μ-子－氢原子基态的电离能为______eV ，μ-子－氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态发出的光子的波长为______A ．已知质子质量p m 是电子的1836倍，氢原子基态的电离能为13.605eV ；光在真容中的速度为82.99810m/s ⨯，普朗克常量为154.13610eV s -⨯⋅．（按玻尔理论计算时，在μ-子－氢原子中若仍将质子视为不动，则μ-子相当于质量为μpμpm m m m +的带电粒子．）三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位． 11．（20分）一足球运动员1自A 点向球门的B 点踢出球，已知A 、B 之间的距离为s ，球自A 向B 的运动可视为水平地面上的匀速直线运动，速率为u ．另一足球运动员2到AB 连线的距离为l ，到A 、B 两点的距离相等．运动员1踢出球后，运动员2以匀速v 沿直线去拦截该球．设运动员2开始出发去拦截球的时刻与球被运动员1踢出的时刻相同．（1）如果运动员2能拦截到球，求运动员2开始出发去拦截球直至拦截到球的时间间隔、球被拦截时球到A 点的距离、球到运动员2出发点的距离和运动员2运动的方向与A 、B 连线的夹角；（2）求为了使运动员2能拦截到球，u 、v 、s 和l 应当满足的条件． 12．（20分）一固体星球可近似看作半径为R （足够大）的球形均匀的固体，构成星球的物质的密度为ρ，引力常量为G ．（1）考虑星球表面山体的高度．如果山高超出某一限度，山基便发生流动（可认为是山基部分物质熔化的结果，相当于超出山的最高限的那块固体物质从山顶移走了），从而使山的高度减低．山在这种情况下其高度的小幅减低可视为一小块质量的物质从山顶移至山底．假设该小块的物质重力势能的减小与其全部熔化所需要的能量相当，山体由同一种物质构成该物质的熔化热为，不考虑温度升到熔点所需要能量，也不考虑压强对固体熔化热的影响．试估计由同一种物质构成的山体高度的上限．（2）若由同一种物质构成的山高的上限不大于/10R ，试估计在此条件下由同一种物质构成的星球半径的下限． （3）月亮是一个固体星球，其密度和半径分别为333.3410kg/m ⨯和61.710m ⨯．假设月亮全由2SiO 构成，2SiO 的熔化热为52.410J/kg ⨯．已知11226.6710N m /kg G -=⨯⋅．估计月球上的山体高度与月球半径比值的上限．13．（20分）真空中平行板电容器两极板的面积均为S ，相距d ，上、下极板所带电量分别为Q 和()0Q Q ->．现将一厚度为t 、面积为/2S （宽度和原来的极板相同，长度是原来极板的一半）的金属片在上极板的正下方平行插入电容器，将电容器分成如图所示的1、2、3三部分．不考虑边缘效应．静电力常量为k ．试求（1）插入金属片以后电容器的总电容；（2）金属片上表面所带电量；（3）1、2、3三部分的电场强度； （4）插入金属片过程中外力所做的功． 14．（20分）如图，两个相同的正方形刚性细金属框ABCD 和A B C D ''''的质量均为m ，边长均为a ，每边电阻均为R ；两框部分地交叠在同一平面内，两框交叠部分长为l ，电接触良好．将整个系统置于恒定的匀强磁场中，磁感应强度大小为0B ，方向垂直于框面（纸面）向纸面内．现将磁场突然撤去，求流过框边重叠部分A D '的横截面的总电荷量．不计摩擦、重力和框的电感．15．（20分）牛顿曾观察到一束细日光射到有灰尘的反射镜上面会产生干涉条纹．为了分析这一现象背后的物理，考虑如图所示的简单实验．一平板玻璃的折射率为n ，厚度为t ，下表面涂有水银反射层，上表面撒有滑石粉（灰尘粒子）．观察者O 和单色点光源L （光线的波长为λ）的连线垂直于镜面（垂足为N ），LN a =，ON b =．反射镜面上的某灰尘粒子P 与直线ON 的距离为()r b a r t >>．观察者可以观察到明暗相间的环形条纹．（1）求第m 个亮环到N 点的距离；（2）若 1.63n =，0.0495a m =，0.245b m =，51.110t m -=⨯，680nm λ=，求最小亮环()1m =的半径．已知：sin x x ≈12x≈+，当1x ．16．（20分）充有水的连通软管常常用来检验建筑物的水平度．但软管中气泡会使得该软管两边管口水面不在同一水平面上．为了说明这一现象的物理原因，考虑如图所示的连通水管（由三管内径相同的U 形管密接而成），其中封有一段空气（可视为理想气体），与空气接触的四段水管均在竖直方向；且两个有水的U 形管两边水面分别等高．此时被封闭的空气柱的长度为a L ．已知大气压强为0P 、水的密度为ρ、重力加速度大小为g ，()00/L P g ρ≡．现由左管口添加体积为V xS ∆=的水，S 为水管的横截面积，在稳定后：（1）求两个有水的U 形管两边水面的高度的变化和左管添水后封闭的空气柱长度；（2）当0xL 、a 0L L 时，求两个有水的U 形管两边水面的高度的变化（用x 表出）112z ≈+，当1z ．全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题本题共5小题，每小题6分．在每题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后页的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．[D]； 2．[C]； 3．[A]； 4．[AC]； 5．[C]二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写求得结果的过程． 6．（10分）答案：306.010⨯（5分）；475.410⨯（5分） 7．（10分）答案：6（5分）；2.0，4.0，8.0，10，14，16（5分）8．（10分）答案：122L L M ++（5分）；122L L M +-（5分）9．（10分）答案：2（5分）；25分）10．（10分）答案：2530（5分，得2529的也给这5分）；35.29（5分，得35.30的也给这5分）三、计算题 计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位． 11．（20分）（1）记运动员1踢出球的时刻为零时刻．设运动员2沿着与A 、B 连线夹角为θ的方向运动，球在时刻t 被运动员2拦截．令球被拦截时球到点和运动员2到出发点的距离分别为1s 和2s ，则1s ut = ①2s t υ= ②由几何关系有12cos 2ss s θ-=③2sin s l θ=④从③④式消去θ，并利用①②式得()2222s l ut vt ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ⑤此即()2222204s u v t ust l ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭ ⑥这是关于t 的一元二次方程。

高中物理竞赛试题库附详细答案一、选择题1. 下图是一台垂直面上的运动物体的加速度-时间图象，物体的初始速度为零。

根据图象可知，该物体的速度-时间图象为：A) 直线斜率为正的一条直线B) 曲线C) 直线斜率为负的一条直线D) 无法确定答案：A) 直线斜率为正的一条直线解析：根据加速度-时间图象的性质，直线斜率为正的一条直线表示物体在做匀加速运动。

2. 一个物体垂直抛掷，竖直上抛的速度和竖直下落的速度分别为v0和v1，则该物体上抛的时间与下落的时间比值为：A) v1/v0B) √(v1/v0)C) v0/v1D) √(v0/v1)答案：D) √(v0/v1)解析：根据物体竖直抛掷运动的性质，上抛和下落的时间比值为：上抛的时间/下落的时间= √(v0/v1)。

3. 将物体1质量为m1=2kg的铁块放在静止的光滑桌面上，物体2质量为m2=3kg的物体1上，两物体间没有任何摩擦力。

物体1与物体2在竖直方向上的加速度为：A) 7/5m/s²B) 6/5m/s²C) 5/7m/s²D) 5/6m/s²答案：A) 7/5m/s²解析：根据牛顿第二定律和叠加力的原理：F = (m1 + m2) * am1 * g - m2 * g = (m1 + m2) * a2 * 9.8 -3 * 9.8 = (2 + 3) * a19.6 - 29.4 = 5a-9.8 = 5aa = -9.8 / 5a = -1.96 m/s²因为加速度的方向与重力方向相反，所以取绝对值：|a| = 1.96 m/s²所以物体1与物体2在竖直方向上的加速度为1.96 m/s²，即7/5m/s²。

二、填空题1. 物体从A点自由下落到B点，高度差为10m，重力加速度为10m/s²，则到达B点时的速度为___m/s。

答案：14 m/s解析：根据加速度公式：v² = u² + 2as其中，v是最终速度，u是初始速度，a是加速度，s是位移。

第27届北京市高中力学竞赛决赛试题（景山学校杯）一、填空题（6小题，每小题8分，共48分）1. 如图1所示，铁球上对称固定两根同样的细线A 、B ，A的一端固定于桌面，缓慢竖直提起B 线的另一端，则先断开的细线是 ，理由是 。

快速竖直提起B 线的另一端，当A,B 线都绷直的瞬间，则先断的细线是 ，理由是 。

2. 运动员推出铅球，不计空气阻力，当铅球运动速度为ʋs /m ，方向与水平成030=θ时，铅球动能的变化率为s /J 0.6k -=，则铅球的质量m = kg ,理由是 。

3. 水平地面上放置一箱子，甲同学以水平拉力F 拉箱子均匀前进，速度为ʋ。

如果把箱子和地面看成一个系统，则人对系统作用力的合力为 ，理由是 。

人对系统做功的总功率为 ，理由是 。

4. 如图2所示，系住球m 的细线长L ，线的另一端固定于O 点。

把球拉至细线水平时释放，线竖直时距右端竖直墙的距离为2/L ，球将与墙发生完全弹性碰撞，墙壁是光滑的，则碰撞后球距O 点竖直方向的最近距离为 。

5. 如图3所示，长为L 的轻杆两端连接完全相同的小球A 和B ，小球位于光滑水平桌面上。

另一完全相同的小球C ，沿桌面以垂直于杆的速度ʋ与球B 发生完全弹性正碰，则碰后瞬间三球的速度是A ν = ，B ν = ， C ν= 。

理由是 。

6. 一只质量为m 的大鸟在高空飞翔，两翅翼展开的总长度为L ，总面积为S ，大鸟保持水平飞行状态，空气密度为ρ，为估算大鸟翅翼扑动的频率f （单位时间内扑动的次数），我们建立的方程是 ， 解得f = 。

二、计算题（共102分）7.（16分）二百多年前，法国科学家拉普拉斯预言：有一种天体，由于引力作用很强，其上的物体（包括光线）都不能离开；我们看不到这样的天体。

现在把这样的天体命名为“黑洞”。

地球半径R =6.4×103km ，设想地球质量不变，在引力作用下塌缩成一小球，引力将增加很大。

试根据万有引力定律和你具有的知识，按经典力学规律，估算物体脱离地球的速度是第二宇宙速度2倍时，地球的半径r s ？（提示：物体的引力势能rMmG E p -=，M 是天体质量，r 是物体到天体中心的距离）8．（16分）质量为m 的汽车在水平路面上行驶，前后轮相距L，与地面的摩擦因数为μ。

第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．（共35分）答案：1．B , D 2．B 3．A 4．A , C 5．A , B评分标准：每小题7分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的．全部选对的得7分．选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．二、填空题和作图题．共32分，每小题8分．按各小题的答案和评分标准给分．6．答案与评分标准：2d φλπ（8分） 7．答案与评分标准： 8分）8．答案：评分标准：8分．有任何错误都给0分．9．答案与评分标准：0 ( 4 分）（ii ）c 、d （两个都对得 4 分，只填一个且正确得2分，有填错的得0分）10．参考解答：（i ）以两条实线代表在白纸上所画出的直线，以两条虚线代表玻璃砖的两个透明面，根据题意，实线间的距离大于虚线间的距离，如图所示．根据实线位置定出的折射角为γ，按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为γ＇，由图知γ>γ＇ ( l )由折射定律 sin i=nsin γ (2 )令入射角i 相等，当折射角偏大时，测出的折射率将偏小．（ii ）以l 表示摆长，θ表示摆线与竖直方向的夹角，m 表示摆球的质量，F 表示摆线对摆球的拉力，T 表示摆球作题图所示运动的周期．有22sin sin ()F ml Tπθθ= ( l ) cos F mg θ= ( 2 )由（l ）、（2）式得cos 2l T gθπ= ( 3 )而单摆的周期公式为 2l T g π'= 即使在单摆实验中，摆角很小，θ< 50，但cos θ< l ，这表示对于同样的摆长l ，摆球在水平面内作圆周运动的周期T 小于单摆运动的周期T ＇，所以把较小的周期通过（4）求出的重力加速度的数值将大于g 的实际值．评分标准：本题 19 分．第（i ）小题9分．得到（l ）式给4分，得到正确结论给5分．只有结论给0分．第（ii ）小题10分．得到（3）式给5分，得到正确结论给5分．只有结论给0分．11．参考解答：解法一（i ）电路如右图所示，（ii ）实验步骤：（1）将单向双掷开关K 置于空位，按所设计的电路图接线．（2）按下电流表上的按钮开关K 1，读下电流表的示数I 1．（3）将K 打向左侧与a 接通，读下电流表的示数12．（4）将K 打向右侧与b 接通，读下电流表的示数13 ．（iii ）由欧姆定律有11I R I r ε=+ （1）22x xRR I r I R R ε=++ （2） 33x x x I R I R RR r R R ε⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪+ ⎪+⎝⎭（3） 解以上三式得23121()I I I R I I ε-=- （4） 1321()I I R r I I -=- （5） 323x I R R I I =- （6） 评分标准：本题18分．第（i ）小题9分．若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分． 第（ii ）题3分．在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分．第（iii ）题6分．（4）、（5）、（6）式各 2 分．解法二（i ）电路如右图所示．（ii ）实验步骤：（1）将单向双掷开关K 置于空位，按所设计的电路图接线．（2）按下电流表上的按钮开关K 1，读下电流表的示数I 1．（3）将K 打向左侧与a 接通，读下电流表的示数I 2．（4）将K 打向右侧与b 接通，读下电流表的示数13．（iii ）由欧姆定律有1()x I R R r ε=++ （1）2()I R r ε=+ （2）3()x I R r ε=+ （3）解以上三式得1331I I R I I ε=- （4） 121323231()I I I I I I r R I I I +-=- （5） 321231()()x I I I R R I I I -=- （6） 评分标准：本题18分．第（i ）小题9分．若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分． 第（ii ）题3分．在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分．第（iii ）题6分．（4）、（5）、（6）式各 2 分．12．参考解答：设α粒子速度的大小为v α，原子核B 速度的大小为v B ，在衰变过程中动量守恒，有 m αv α+m B v B =0 (1)衰变过程中能量守恒，有222221122A B B B m c m v m v m c m c ααα=+++ （2） 解（l ）、（2）二式得221()2B B A B Bm m v m m m c m m ααα=--+ （3）221()2B A B B m m v m m m c m m αααα=--+ （4）评分标准：本题 18 分．（1）式4分，（2）式8分，（3）、（4）各3分．13．参考解答：解法一在图中纸面内取O xy 坐标（如图），原点在狭缝l 处，x 轴过缝1和缝3．粒子从缝1进人磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x 轴相切，故其圆心必在y 轴上．若以r 表示此圆的半径，则圆方程为x 2+(y －r)2=r 2 （1）根据题的要求和对称性可知，粒子在磁场中作圆周运动时应与d 的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为x =2R －R sin450 （2）y=R －R cos450 （3）由（l ）、（2）、（3）式得 r=3R （4）由洛仑兹力和牛顿定律有 200v qv B m r = （5） 由（4）、（5）式得 03mv B qR= （6） 评分标准：本题 18 分．（1）、（2）、（3）式各4分，（4）、（5）、（6）式各2分．解法二如图所示，A 为a 、b 两圆圆心的连线与缝l 的交点，F 为c 、d 两圆圆心的连线与缝3的交点．从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱d 的表面发生弹性碰撞后，反弹进人缝2，这个过程一定对连结b 、d 两圆圆心的直线OP 对称，故直线OP 与d 圆的交点C 必是碰度点．由于粒子在磁场中做圆运动过A 点，因此这个轨道的圆心必在过A 点并垂直于AF 的直线AE 上；同时这个轨道经过C点，所以轨道的圆心也一定在AC 的垂直平分线DE 上．这样AE 与DE 的交点E 就是轨道的圆心，AE 就是轨道的半径r ．过C 点作AF 的垂线与AF 交于H 点，则有 AC r AD HC =（1） 由图可知22HC R R =- （2） 222AH R R =-（3） 22AC AH HC =+ （4）12AD AC = （5） 由以上各式得 r=3R （6）由洛仑兹力和牛顿定律有 200v qv B m r= （7） 得到 03mv B qR= （8） 评分标准：本题 18 分．（1）式8分，（2）、（3）（4）、（5）式各1分，（6）、（7）、（8）式各1分．14．参考解答：杆PQ 在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F ，方向向右；磁场的安培力，其大小F B =BIl ，方向向左，式中I 是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为F μ，方向向左．根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有212B F F F W W W mv μ++= （1） 式中v 为经过时间t 杆速度的大小，W F 为恒力F 对杆做的功，W F 安为安培力对杆做的功，W Fμ为摩擦力对杆做的功．恒力F 对杆做的功W F =Fx （2）因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以E R 表示电阻所消耗的能量，则有－W F 安=E R （3）摩擦力F μ是恒力，它对杆做的功W Fμ=－F μx （4）但F μ未知．因U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a ，则有F μ=m 0a （5）而 a =2x 0/t 2 （6）由（4）、（5）、（6）三式得 0022F x x W m tμ=- （7） 经过时间t 杆的速度设为v ，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势ε=Blv （8）根据题意，此时回路中的感应电流0I R ε=（9） 由（8）、（9）式得0I R v Bl= （10） 由（l ）、（2）、（3）、（7）、（10）各式得220002221(2)2R x I R E F m x m t B l=-- （11） 评分标准：本题20分．（1）式3分，（2）式l 分，（3）式4分，（7）式4分，（10）式5分，（11）式3分．15．参考解答：解法一用n 1和n 2分别表示L 1和L 2中气体的摩尔数，P 1、P 2和 V 1、V 2分别表示L 1和L 2中气体处在平衡态时的压强和体积，T 表示气体的温度（因为 M 1是导热的，两部分气体的温度相等），由理想气体状态方程有p 1V 1=n 1RT （1）P 2V 2=n 2RT （2）式中R 为普适气体常量．若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象，处在平衡状态时有p 1S 1－p 2S 1+p 2S 2－p 0S 2=0 （3）已知S 2=2S 1 （4）由（3）、（4）式得p 1+p 2=2p 0 （5）由（l ）、（2）、（5）三式得1022111222n p V n p n V V n =+ （6） 若（6）式中的V 1、V 2是加热后L 1和L 2中气体的体积，则p 1就是加热后L1中气体的压强．加热前L 1中气体的压强则为10202101102022n p V n p n V V n =+ （7） 设加热后，L 1中气体体积的增加量为△V 1，L 2中气体体积的增加量为△V 2，因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M 2的横截面积是M 1的2倍，故有△V 1=△V 2=△V （8）加热后，L 1和L 2中气体的体积都是增大的，即△V > 0 .[若△V< 0，即加热后，活塞是向左移动的，则大气将对封闭在气缸中的气体做功，电热丝又对气体加热，根据热力学第一定律，气体的内能增加，温度将上升，而体积是减小的，故L 1和L 2中气体的压强p 1和p 2都将增大，这违反力学平衡条件（5）式］于是有 V 1=V 10+△V （9）V 2=V 20+△V （10）由（6）、（7）、（9）、（10）四式得10102021101110201020222()[()]()n p V V V n p p n n V V V V V V n n -∆-=+∆++∆+ （11） 由（11）式可知，若加热前V 10=V 20，则p 1＝p 10，即加热后p 1不变，由（5）式知p 2亦不变；若加热前 V 10＜V 20，则p 1< p 10，即加热后P 1必减小，由（5）式知P 2必增大；若加热前 V 10＞V 20, 则p 1> p 10，即加热后p 1必增大，由（5）式知p 2必减小．评分标准：本题 20 分．得到（5）式得3分，得到（8）式得3分，得到（11）式得8分，最后结论得6分． 解法二设加热前L 1和L 2中气体的压强和体积分别为p 10、p 20和V 10、V 20，以p l 、p 2和V 1、V 2分别表示加热后L 1和L 2中气体的压强和体积，由于M 1是导热的，加热前L 1和L 2中气体的温度是相等的，设为T 0，加热后L 1和L 2中气体的温度也相等，设为T ．因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态，注意到S 2=2S 1，力学平衡条件分别为p 10+p 20=2p 0 （1）p 1+p 2=2p 0 （2）由（l ）、（2）两式得p 1－p 10=－ (p 2－p 20) （3）根据理想气体状态方程，对L1中的气体有1110100p V T p V T = （4） 对 L ：中的气体有2220200p V T p V T = （5） 由（4）、（5）两式得112210102020p V p V p V p V = （6） （6）式可改写成11011022022010102020(1)(1)(1)(1)p p V V p p V V p V p V ----++=++ （7） 因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M 2的横截面积是M 1的2倍，故有V 1－V 10=V 2－V 20 （8） 把（3）、（8）式代入（7）式得11011011011010102020(1)(1)(1)(1)p p V V p p V V p V p V ----++=-+ （9） 若V 10=V 20，则由（9）式得p 1=p 10，即若加热前，L 1中气体的体积等于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强不变，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强亦不变．若V 10<V 20，则由（9）式得p 1< p 10，即若加热前，L 1中气体的体积小于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强必减小，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强必增大．若V 10>V 20，则由（9）式得p 1> p 10，即若加热前， L 1中气体的体积大于L 2中气体的体积，则加热后 L 1中气体的压强必增大，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强必减小．评分标准：本题 20 分．得到（l ）式和（2）式或得到（3）得3分，得到（8）式得3分，得到（9）式得8分，最后结论得6 分．16．参考解答：（i ）图1为卫星和碎片运行轨道的示意图．以v 1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以M 表示地球E 的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有21112()Mm v G m R h R h =++ （1） 式中G 是引力常量．由（l ）式得1GM R GM v R h R h R==++ （2） 以v 2表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量22222122Mm Mm m v G G R h a-=-+ （3） 式中a 为椭圆轨道的半长轴．由（3）式得222GM GM R R GM v R h a R h a R=-=-++ （4） 卫星和碎片碰撞过程中动量守恒，有m 1v 1－m 2v 2=(m 1+m 2)v （5）这里v 是碰后二者结合成的物体（简称结合物）的速度．由（5）式得112212m v m v v m m -=+ （6） 由（2）、（4）、（6）三式并代人有关数据得0.7520GM v R= （7） 结合物能否撞上地球，要看其轨道（椭圆）的近地点到地心的距离r min ，如果r min <R ，则结合物就撞上地球．为此我们先来求结合物轨道的半长轴a '．结合物的总能量2121212()()1()22M m m M m m G m m v G a R h++-=+-'+ （8） 代人有关数据得 a '=5259km （9）结合物轨道的近地点到地心的距离r min =2 a '－（R+h ）=3347km <R （10）据此可以判断，结合物最后要撞上地球．（ii ）解法一在极坐标中讨论．取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示．碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程1cos p r e θ=+ （11） 式中e 是偏心率，p 是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离r max =R+h （12）由解析几何有max min (0.3635)2r r e a -=='（13） 在轨道的近地点，r=r min ，θ=0，由（11）式得p =r min (1+e)(=4563km ) （14）或有p =r max (1－e) （15）在结合物撞击地球处；r= R ，由（11）式有1cos p R e θ=+ （16） 或 cos p R eR θ-= （17） 代人有关数据可得cos θθ0 （19）这是在北纬51.320 ．评分标准：本题20分．第（i ）小题12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2 分，（8）式3分，（10）式3分．第（ii ）小题8分．（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l 分，（19）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给l 分．解法二在直角坐标中讨论．取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O, x 轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点，如图3所示．结合物轨道的椭圆方程是22221x y a b +=''（20） 式中a ＇、b ＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴．远地点到地心的距离r max =R+h （21）根据解析几何，若c 为地心与坐标原点间的距离，c= r max －a ＇(=1912km ) （22）而 22b a c ''=- （23）注意到a ＇由（9）式给出，得b ＇=4899km （24）结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为x p 和y p ，则有 x p =R cos θ+c （25）y p =R sin θ （26）式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x 方向的夹角．因撞击点在结合物的轨道上，将（24）、（25）式代入轨道方程（20）式，经整理得222222222()cos 2cos 0R b a b cR a b a R θθ''''''-+-+= （27）引人以下符号并代人有关数据得代入（27）式得2cos cos 0αθβθγ++= （28）解得 cos θ= （29） 舍掉不合理的答案，得cos θθ0 （31）这是在北纬51.320 ．评分标准：（20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l 分，（31）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给1 分．。