第六章——考研数学概率论课件PPT

2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1
n
[E(
n 1 i1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1n [
n 1 i1
E
(
X
2 i
)
nE(X
2
)]
1
n
[ ( 2 2 ) n( 2 / n 2 )]
xi k
b
k
1 n
n i 1
( xi
x)k
Sn 1 i1
Xi2
nX
2
)
样本方差S2可如下简化计算：
S 2
1 n 1
n
( Xi
i 1
X )2
1 n 1
n
( Xi2
i 1
2 Xi
X
2
X)
1
n
(
n 1 i 1
Xi2
2X
n i 1
Xi
2
nX )
1
n
(
n 1 i 1
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5
＊从总体中抽出一部分个体称为 样本，用X1,X2,…,Xn表示；
＊样本中所包含的个体的个数称 为样本容量。
＊在一次试验后，观察到 X1,X2,…,Xn的一组确定值，称 为样本观测值，用表示 x1,x2,…,xn 。
某厂生产的电容器的使
用寿命服从指数分布，但 参数未知。为此任意抽查 n 只电容器，测其实际使用 寿命。试说明在这个问题 中什么是总体，什么是样 本。
Xi2
2
2n X
2
nX )
1
n
(
n 1 i 1
Xi2
2
nX )
结论：设总体X的均值 E(X)= ,方差D(X)=2，
X1,X2 ,…, Xn 为来自X的一 个样本，则
E(X ) , D(X ) 2 / n
E(S 2 ) 2
证：(1)E( X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n
E(
i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n n
n i1
n
(2)D( X )
D( 1 n
n i 1
Xi)
1
n2
n
D(
i 1
Xi)
1 n2
n
D(X i )
i 1
1
n
2
n 2
2
n2 i 1
n2
n
(3)E( X
2 i
)
D( X
i
)
(E(
Xi
))2
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情 况---总体分布F(x)的性质.
样本是二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到 样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.
二、统计量和抽样分布
1. 统计量 由样本值推断总体，需要对样本值进行“ 加工”，这就要 构造一些样本的函数，把样本中所含的（某一方面）的信息 集中起来.
解 总体X是一个服从参数 为的指数分布的随机变量。
样本X1,X2,…,Xn表示所抽取 的n只电容器中各只电容器 的使用寿命。
样本是随机变量. 容量为n的样本 X1, X 2, X n 可以看作n
维随机变量.
但一旦取定一组样本,得到的是n个具体的 数 (x1,x2,…,xn),称为样本值 .
从总体中抽取个体，满足：
(1)每次抽取是独立进行的，即 X1, X 2, X n 是相互独立的； (2) X1, X 2, X n 与总体X同分布。 这样抽取得的样本称为简单随 机样本，简称为样本。
定义 设X的分布为F，如果 X1,X2 ,…,Xn是具有分布为F的n个 独立的随机变量，则称 X1,X2 ,…,Xn是从分布为F的总体X 中抽取的一个容量为n的简单随机
定义 设X1,X2 ,…,Xn是来自总体 X的一个样本，g(X1,X2 ,…,Xn) 为X1,X2 ,…,Xn 的函数，若g中 不含任何未知参数，则称函数 g(X1,X2 ,…,Xn) 为一个统计量。
按照统计量的定义，设总体X的均值 µ已知，方差2未知， X1,X2 ,…, Xn 为来 自X的一个样本，则
X
1 n
n i 1
Xi
为统计量;
1
n
n
(Xi
i 1
)2
为统计量;
1 n X i 2
n i1
非统计量.
定义 设X1,X2 ,…, Xn 为来自总体X的一个 样本，统计量
X
1 n
n i 1
Xi
称为样 本 均 值;
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
称为样 本 方 差；
Ak
n 1 i1
1 [n( 2 2 ) n( 2 / n 2 )]
n 1
1 [(n 1) 2 ] 2
n 1
设X1,X2 ,…,Xn是总体F的一个样本， 用S(x) -∞<x< +∞表示X1,X2 ,…,Xn中 不大于x的随机变量的个数，经验分布
函数Fn(x)为 Fn(x)=S(x)/n , -∞<x< +∞。
第六章 样本及抽样分布
一、总体和样本
1.总体
研究对象的全体称为总体，
总体中每个成员称为个体.
在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心 其每个个体的一项数量指标和该数量指标在总 体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
＊将试验的全部可能的观 察值称为总体，用X表示；
＊将每一个可能观察值叫 做个体；
样本，简称为样本。而一次抽样的 具体结果x1,x2 ,…,xn称为样本值， 也称为X的n个独立观测值。
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体 的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽 取10人测量身高，得到10个数，它们是样 本取到的值而不是样本. 我们只能观察到 随机变量取的值而见不到随机变量.
1 n
n i 1
Xik
称为样 本 k阶 原 点 矩；
B
k
1 n
n i 1
(Xi
X )k
称为样 本 k阶 中 心 矩；
设 x1, x2 , xn 是样本X1,X2 ,…, Xn 的观察
值，则上述统计量的观察值为
x
1 n
n i 1
xi
s 2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
ak
1 n
n i 1