高中数学4-2实际问题的函数建模课件北师大版必修

[解析] 设每天应从报社买 x 份，易知 250≤x≤400. 设每月赚 y 元，得 y＝0.5·x·20＋0.5×250×10＋(x－ 250)×0.08×10－0.35·x·30＝0.3x＋1050， x∈[250,400]． 因为 y＝0.3x＋1050 是定义域上的增函数， 所以当 x＝400 时，ymax＝120＋1050＝1170(元)． 可知每天应从报社买 400 份报纸，获得利润最大，每月 可赚 1170 元．
[方法总结] (1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容 易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方 法来处理．
(2)这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真 读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借 助图像，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本 2 元，铅笔每 支 0.5 元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支 铅笔；(2)按总价的 92%付款．现在买软皮本 4 本，铅笔若干 支(不少于 4 支)，若购买铅笔数为 x 支，支付款数为 y 元，试 分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式，并说明使 用哪种优惠办法更合算？
病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在 何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠 的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.3010)
[分析] 根据题意，建立病毒细胞个数 y 与时间 t 的函数 关系 y＝2t－1，然后利用不等式求解．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言， 恰当地设出符号或字母，将总结出来的文字语言表示的等量 关系，转化为数学符号表示的函数等量关系．

【提示】 指数函数模型．
2 ．在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系 是什么样的函数模型？
【提示】 二次函数模型．
3．在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大， 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震 级 M，使用的是什么样的函数模型？
【提示】 对数函数模型．
函数建模
§ 2
实际问题的函数建模
2．1 实际问题的函数刻画 2．2 用函数模型解决实际问题 2．3 函数建模案例
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题 中的应用． (2)掌握求解函数应用题的基本步骤．
2．过程与方法 (1)对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际 意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围． (2)针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图， 比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的 数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的 函数模型．
理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数 学的眼光看实际问题，用数学的语言表达实际问题，也就是 数学建模．这时显露出的是数学功夫，能看出是不是真懂数 学．建模的过程，一方面将实际问题抽象化，揭露出数学本 质，使实际问题归入到数学科学中；另一方面，使学习过的 数学知识表现出应用价值．从学习者角度来说，这都是很重 要的．
解】
设每桶水的销售价格为 x 元，利润为 y 元，由
表格中的数据可以得到，价格每上涨 1 元，销售量就减少 40 桶，所以涨价(x－6)元后，销售的桶数为： 480－40(x－6)＝720－40x>0，所以 5<x<18， 则利润 y＝(720－40x)x－(720－40x)· 5－200 23 2 ＝－40x ＋920x－3 800＝－40(x－ 2 ) ＋1 490，

0.812 56.6a b 2.86 189.0a b
解得：a=0.01 547，b=－0.06 350.
这条直线是y=0.01 547x－0.06 350
练习：
某商店进了一批服装，每件进价为60元。每件售 价为90元时，每天售出30件。在一定范围内这批 服装的售价每降低1元，每天就会多售出1件。请 写出利润（元）与售价（元）之间的函数关系式， 当售价是多少元时，每天的利润最大？
北师大版必修1第四章第二节
2.2用函数模型解决实际问题
引言
在现实世界里，事物之间存在着广泛 的联系，许多联系可以用函数刻画，用 函数的观点看实际问题，是学习函数的 重要内容，
函数模型是应用最广泛的数学模型之一. 许多问题一旦认定是函数关系，就可以 通过研究函数的性质把握问题，使问题 得到解决
生活实例
8000 500n C 500 16 n C
n
n

500

4 n
2


8

2 n 4000 C

2
500
4 n
n

4000 C
≥4000
例 2 电声器材厂在生产扬声器的过程十，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器 十的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过 多．胶水外溢；或用胶过少．产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用 胶量的具体数据(见下表)．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
磁钢 面积 11.0 /cm2
19.4
26.2
46.6
56.6
67.2
125. 2

合作探究·课堂互动
二次函数模型
某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时，每天可 卖出 100 个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品 销售单价每涨 1 元，销售量就减少 10 个，问他将售价定为多少元时，才能使每天 所赚的利润最大？并求出最大值．
[思路探究] 建立利润 y 元关于提价金额 x 元的函数关系． 依据：利润＝销售总额－进货总额，可明确所需代数式，日销售量＝(100－ 10x)个；销售总额＝(10＋x)(100－10x)元；进货总额＝8(100－10x)元．
(3)解答应用题的关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关： ①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题 打开突破口． ②文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学 关系． ③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定 或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之 后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解析： (1)y＝a(x－15)2＋17.5， 将 x＝10，y＝20 代入上式， 得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110. 所以 y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为 Q(x)， 则 Q(x)＝1.6x－y ＝1.6x－110x2－3x＋40 ＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为 x＝23∈[10，25]， 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元．
[自主练习]
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第