高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题.doc

高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题班级 姓名 学号 得分 一、选择题（每小题5分，共计60分。

请把选择答案填在答题卡上。

） 1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的A.31 B.41 C.91 D.161 2．正六棱锥底面边长为a ，体积为323a ，则侧棱与底面所成的角等于A.6πB.4πC.3πD.125π 3．有棱长为6的正四面体S-ABC ，C B A ''',,分别在棱SA ，SB ，SC 上，且S A '=2，S B '=3，S C '=4，则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为A.91 B.81 C.41 D.31 4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是A ．32. B. 14 C. 5 5.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为α，则角α的取值范围是A ．(]︒︒90,0B (]︒︒270,180C (]︒︒180,90D Φ 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为A ．25与2 与23 与4 与3 7.已知正四面体A-BCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体E-FGH 的表面积为T ，则S T 等于 A ．91 B.94 C. 41 D.31 8. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是A ．1，2，3B ．2，4，6C ．1，4，6D ．3，6，9 9.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是A ．cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 129. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为A.3/2B.33C.34D.2310．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别交于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是21S S 、，则必有S 2 B. S 1S 2 C. S 1=S 2 D.21S 与S 的大小关系不能确定11.三角形ABC 中，AB=32，BC=4，︒=∠120ABC ，现将三角形ABC 绕BC 旋转一周，所得简单组合体的体积为 A ．π4 B.π)34(3+ π D.π)34(+ 12.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是A ．21 B.31 C.32 D.43 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）. 13. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则题号12345678910 1112答案CBBCDAABBAC CBDBAOEF此球的表面积为 3π.14.已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是2)(2πr b a +. 15. （江西卷）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，ACB ＝90，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是137+. 16.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的角为 450 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共4个大题，共20分）.17.圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值最大值是多少 当r=30/7cm 时，S 的最大值是π736018．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面对角线A 1B 与侧面ACC 1A 1成45°角，AB=4，求棱柱的侧面积.棱柱的侧面积为242。

高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】C.【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此.【考点】球的表面积公式.2. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．【答案】S 表面＝(60＋4)π．V ＝π．【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥， 则S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 ， 设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,则 S 表面=π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CDV ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πr 2DE ，将数据代入计算即可。

试题解析：如图，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD, CD=2得∠EDC ＝45°，r 1=" CE=" 2,则CF=4，BF=3，CF ⊥AB ，得BC=5，r 2=" AB=" 5, ∴S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 =π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝(60＋4)π． V ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πDE =π(＋2×5＋)4－π×2＝π．【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：ED⊥平面EBC；(2)求三棱锥E－DBC的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB（这个证明很关键），然后根据公式.试题解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．又∴平面DEB⊥平面EBC．（2）取CD中点M，连接EM，E为D1C1的中点，∥，且,又DCB.【考点】线面垂直，三棱锥的体积.4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积6.棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为_____________.【答案】48【解析】正方体的外接球的球心为正方体的中心，球的直径为正方体的对角线，所以球的表面积为【考点】正方体的外接球7.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；②；③与所成的角是；④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）.【答案】①④【解析】①∵在正视图的等腰直角中，在图中的度数和它表示的角的真实度数都是，故①正确；②补全正方体如图所示：连接．∵，∴是正三角形，故．而＝＝，故②错；③连接、，∵，∴是正三角形，所以与所成的角是，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥的体积．又＝＝＝，故④正确，故填①④．【考点】1、正方体的性质；2、异面直线所成角；3、三棱锥的体积．8.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。

空间几何体的计算综合练习题一、立方体问题1. 一个立方体的边长为5厘米，求其体积和表面积。

解答：立方体的体积公式为：V = a^3，表面积公式为：S = 6a^2，其中a 为边长。

给定边长a = 5厘米，代入公式可得：体积 V = 5^3 = 125立方厘米表面积 S = 6 × 5^2 = 150平方厘米因此，该立方体的体积为125立方厘米，表面积为150平方厘米。

2. 一个立方体的表面积为54平方米，求其边长和体积。

解答：设立方体的边长为a，则根据表面积公式可得：6a^2 = 54化简方程得：a^2 = 9a = 3所以该立方体的边长为3米。

根据体积公式可得：V = a^3 = 3^3 = 27立方米因此，该立方体的边长为3米，体积为27立方米。

二、球体问题1. 一个球体的半径为6厘米，求其体积和表面积。

解答：球体的体积公式为：V = (4/3)πr^3，表面积公式为：S = 4πr^2，其中r为半径。

给定半径r = 6厘米，代入公式可得：体积V = (4/3)π × 6^3 ≈ 904.78立方厘米表面积S = 4π × 6^2 ≈ 452.39平方厘米所以该球体的体积约为904.78立方厘米，表面积约为452.39平方厘米。

2. 一个球体的表面积为100平方米，求其半径和体积。

解答：设球体的半径为r，则根据表面积公式可得：4πr^2 = 100化简方程得：r = 5所以该球体的半径为5米。

根据体积公式可得：V = (4/3)πr^3 = (4/3)π × 5^3 ≈ 523.60立方米因此，该球体的半径为5米，体积约为523.60立方米。

三、圆柱体问题1. 一个圆柱体的底面半径为4厘米，高度为10厘米，求其体积和表面积。

解答：圆柱体的体积公式为：V = πr^2h，表面积公式为：S = 2πr^2 + 2πrh，其中r为底面半径，h为高度。

给定底面半径r = 4厘米，高度h = 10厘米，代入公式可得：体积V = π × 4^2 × 10 ≈ 502.65立方厘米表面积S = 2π × 4^2 + 2π × 4 × 10 ≈ 226.20平方厘米所以该圆柱体的体积约为502.65立方厘米，表面积约为226.20平方厘米。

空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1 •棱长为2的正四面体的表面积是（C ）.A. 3 B . 4 C . 4 3 D . 16解析 每个面的面积为：2X 2X 2X — •••正四面体的表面积为：4,3. 2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（B ）. A. 2 倍B . 2 2倍C. 2倍D.32咅解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍，则体积V =彳冗戌，知体积扩大到原来的2 2倍.3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为 142284 BP解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示.这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V = V 长方体一V 正三"4X 4X 6—卜!X 2X2 X 2842=亍4 .某几何体的三视图如下，则它的体积是A)A. 8 — 2n B . 8—n n C . 8 — 2n解析由三视图可知该几何体是一个边长为3 1径为1，咼为2的圆锥，所以v = 2 — 3X 2nX 2= 8 —三. 5.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1,则该几何^3 /Tn体的体积为(A)A . 24 — 2冗 B . 24—§ C . 24— n D . 24—据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分1别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积V = 2X 3X 4—2XnX1 X 3= 24—6 .某品牌香水瓶的三视图如图（单位：cm ）,则该几何体的表面积为（ C ） B ).3C.280140 D.-T2n D 2的正方体内部挖去一个底面半正三角形，所以 V = ^S A ABD X 4=〔 3.二、填空题8. 三棱锥PABC 中, PAL 底面ABC PA = 3,底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体 积等于_^3 _______ •解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V = J S A ABC -| PA| = 3X^43X 22X 3=/3.9. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球 的体积之比为_ 3 : 2 _______ .解析 设圆柱的底面半径是r ,则该圆柱的母线长是2r ,圆柱的侧面积是2n r -2r = 4n r 2,设球的 半径是R,则球的表面积是4n 氏，根据已知4n 4n r 2，所以R = r.所以圆柱的体积是n r 2・2r =2n r 3,球的体积是3n r 3,所以圆柱的体积和球的体积的比是= 3 : 2. 3433n r10. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图( 2J n \严-才Cm B. 7二 n \ 2J n 、 94 + — I cmD.7解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、,.,. n下面是一个四棱柱.上面四棱柱的表面积为2X 3X 3+ 12X 1 ——n 1=30 ——;中间部分的表面积为 2 n X 2 X 1= n ，下面部分的表面积为2X 4X 4+ 16X 2— n = 64—手.故其表面积是94 +弓.4 4 27. 已知球的直径SC = 4, A , B 是该球球面上的两点，A 吐 3, / AS(=Z BS(= 30°,则棱锥S-ABC 的体积为( C).A. 3 3 B . 2 3 C.3 D . 1解析 由题可知AB —定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交直径SC 于D,设SD = x , 则DC = 4 — x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD 在厶SAD ffiA SBD 中，由已知条件 可得AD = BC=¥X ，又因为SC 为直径，所以/ SB(=Z SA(= 90°，所以/ DC =Z DCA= 60°，在3 △ BDC 中 , BD= \.?3(4 — x)，所以 3 x = _ 3(4 — x)，所以 x = 3, AD = BD = 3，所以三角形ABD 为A. C. 2 cm 2 cm圧视閉 値视图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1,侧棱长为1,斜高为~^,连 接顶点和底面中心即为高，可求得高为才所以体积1x 仆子# 11.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时， 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ___ 2 n R ____ .解析 由球的半径为R,可知球的表面积为4n 氏.设内接圆柱底面半径为r ，高为 2h ,则h + r 2= R.而圆柱的侧面积为2 n r ・2h = 4n rh <4 n 2 — = 2n R(当且仅当r = h 时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2n R 2,此时球的表面积与内 接圆柱的侧面积之差为2n 巨12.如图，已知正三棱柱 ABCBC 的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A 1的最短路线的长为 13 cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展 开为如图所示的实线部分，贝冋知所求最短路线的长为 52 + 122二13(cm).三、解答题13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1所示，墩的上 半部分是正四棱锥PEFGH 下半部分是长方体 ABCDEFG 图2、图 3分别是该标识墩的正视图和俯视图.(2)求该安全标识墩的体积. 解析⑴侧视图同正视图，如图所示:1 2 2 3V = V P EFG 卄 V KBCDEFG ^ 3 x 40 x 60+ 40 x 20= 64 000(cm ).314 . 一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 侧视(1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)该安全标识墩的体积为1的正方形拼成 S.俯觇图cnii1的平行四边形,图是一个长为.3,宽为1的矩形，俯视图为两个边长为的矩形.(1)求该几何体的体积V;⑵求该几何体的表面积解析（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，3,所以V= 1 x 1 x 3= 3.⑵由三视图可知，该平行六面体中，A1DL平面ABCD CDL平面BCC1B,1所以AA1= 2,侧面ABB1A1 CDD1C均为矩形，S= 2X （1 x 1+ 1X 3+ 1X 2）= 6+ 2 3.15. 已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为&高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形，如右图所示.1 1（1）几何体的体积为：V= 3 • S矩形• h=-X 6X 8X 4= 64.3 3（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1= ,42+ 32= 5.左、右侧面的底边上的高为：h2= . 42+ 42=1 、4 2.故几何体的侧面面积为：S= 2X ^X 8X5 + 2X 6X 4 2 = 40 + 24,2.1. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）..2解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2n=a, ，底面圆的面积是—，2兀4兀2a +g2于是全面积与侧面积的比是三，a222. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）•2 .解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是1 （丄--）」1，于是8个三棱锥的体积是1，剩余部分的体积是-，3 2 2 2 2 48 6 63 .—个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 _____________ 。

空间几何体的表面积与体积练习题.及答案空间几何体的表面积与体积专题1.选择题1.正四面体的棱长为2，其表面积为43.解析：每个面的面积为2×2×sin60°=3，正四面体共有4个面，故表面积为4×3=12，即43.2.将球的表面积扩大到原来的2倍，其体积扩大到原来的22倍。

解析：由题意可知球的半径扩大到原来的2倍，故体积扩大到原来的(2^3)/(2^2)=4倍，即22倍。

3.给定一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，求该多面体的体积。

解析：根据三视图的特点，可画出多面体的形状，如图所示。

该多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，故所求多面体的体积为V=长方体的体积-正三棱锥的体积=4×4×6-1/3×(1/2)×2×2×2=284/3.4.给定某几何体的三视图，求其体积。

解析：由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，故其体积为V=2^3-1/3×π×1^2×2=8-2π/3.5.已知某几何体的三视图，其中正视图中半圆的半径为1，求该几何体的体积。

解析：根据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为2、3、4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积为V=2×3×4-1/3×π×1^2×3=24-π/3.6.给定某品牌香水瓶的三视图，求其表面积。

解析：该空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱。

上面四棱柱的表面积为2×3×3+12×1-1/4×π×1^2=30，中间部分的表面积为2π×1=2π，下面部分的表面积为2×4×4+16×2-1/4×π×1^2=64，故其表面积为94+π。

高考数学空间几何体体积与表面积选择题1. 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么长方体的体积V 和表面积S分别是：A. V = a * b * c, S = 2(ab + ac + bc)B. V = a * b * c, S = 2ab + 2ac + 2bcC. V = a * b * c, S = ab + ac + bcD. V = ab * c, S = 2(ab + ac + bc)2. 计算球体的体积V和表面积S，已知球的半径为r，那么：A. V = 4/3πr^3, S = 4πr^2B. V = πr^3, S = 4πr^2C. V = πr^3, S = 2πr^2D. V = 4/3πr^3, S = 2πr^23. 计算圆柱体的体积V和表面积S，已知圆柱的高为h，底面半径为r，那么：A. V = πr^2h, S = 2πrh + 2πr^2B. V = πr^2h, S = 2πr^2 + 2πrhC. V = πr^2h, S = 2πrh + 2πr^2D. V = πr^2h, S = 2πr^2 + 2πrh4. 计算圆锥体的体积V和表面积S，已知圆锥的高为h，底面半径为r，那么：A. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhB. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhC. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhD. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrh5. 计算棱柱的体积V和表面积S，已知棱柱的高为h，底面积为A，那么：A. V = Ah, S = 2A + 2PhB. V = Ah, S = 2A + 2PhC. V = Ah, S = 2A + 2PhD. V = Ah, S = 2A + 2Ph6. 计算圆台的体积V和表面积S，已知圆台的高为h，上底半径为r1，下底半径为r2，那么：A. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hB. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 +πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hC. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hD. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)h7. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^28. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^29. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^210. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^211. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^212. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^213. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^214. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^215. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^216. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^217. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^218. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^219. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^220. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^221. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^222. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^223. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^224. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^225. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^226. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^227. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^228. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^229. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^230. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^231. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^232. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^233. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^234. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^235. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^236. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^237. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^238. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^239. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^240. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^241. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^242. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^243. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^244. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^245. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^246. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^247. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^248. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^249. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^250. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^2。

第六天 空间几何体的表面积与体积1. 要熟练掌握常见的几何体体积和表面积的求法．2. 球的体积公式：V ＝43πR 3，表面积公式：S ＝4πR 2.3. 在处理体积问题时，要善于应用割补的思想．一个直角梯形上底、下底和高之比为2∶4∶ 5.将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台(如图)，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________(参考时间60分钟 满分100分)班级________ 姓名________ 成绩________ 家长签字________一、 选择题(每题5分，共30分)1. (*)一个长方体的长、宽、高的比为4∶2∶1，它的体积为1000cm 3，则该长方体的高为( )A. 5 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 20 cm2. (*)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )A. 12πB. 323πC. 8πD. 4π3. (*)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A. 3π B. 3 3π C. 6πD. 9π4. (**)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A. πB. 3π4C. π2D. π45. (**)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式V ≈148L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V ≈175L 2h 相当于将圆锥体积公式中π的近似取为( )A. 256B. 258C. 253D. 2546. (***)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面A 1B 1C 1D 1内任意一点，则四棱锥P －ABCD 的体积为( )A. 16B. 13 C. 12D. 23二、 填空题(每题5分，共20分)7. (*)底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．8. (**)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1－ADE的体积为________．9. (**)各棱长都为1的正四棱锥的体积V＝________.10. (**)有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_________________________________________________________________．三、解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)11. (**)如图，三棱锥P－ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P－ABC的体积．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________12. (**)已知圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________13. (***)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1) 证明：PB∥平面AEC；(2) 设AP＝1，AD＝3，三棱锥P－ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第六天空间几何体的表面积与体积教材例题回顾练2∶8∶9暑期限时检测1. A 解析：设长方体的高为x，则长＝4x，宽＝2x，由题意得4x×2x×x＝1000，解得x＝5.2. A 解析：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为4＋4＋4＝2 3， 即为球的直径，所以半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π.故选A.3. A 解析：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，设它的边长是a ，所以34a 2＝3，所以a ＝2，圆锥的全面积是π＋12×2π×2＝3π.4. B 解析：因为圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，所以该圆柱的体积V ＝Sh ＝π×⎝⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 5. D 解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长L ＝2πr ，所以r ＝L2π，所以V ＝13πr 2h ＝13π×L 24π2×h ＝L212πh .令L 212πh ＝175L 2h ，得π＝7512＝254.6. B 解析：因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面A 1B 1C 1D 1内任意一点， 所以点P 到平面ABCD 的距离d ＝AA 1＝1，S 正方形ABCD ＝1×1＝1，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13×AA 1×S 正方形ABCD ＝13×1×1＝13.7. 43 8. 112 9. 2610. 5π 11. 解：设D 为BC 的中点，连接AD ，PD ，作PO ⊥平面ABC .因为∠PAB ＝∠PAC 且AB ＝AC ，所以O ∈AD .作PE ⊥AB 于点E ，连接OE ，则OE ⊥AB . 在Rt △PAE 中，PE ＝a sin60°＝32a ，AE ＝a 2. 在Rt △AEO 中，OE ＝a 2tan30°＝36a .所以OP ＝PE 2－OE 2＝63a ， 所以V P －ABC ＝13·S △ABC ·OP ＝23a 3.12. 解：如图，设圆台的上底面周长为C ，因为扇形的圆心角是180°，所以C ＝π·SA .又C ＝2π×10＝20π(cm)，所以SA ＝20cm. 同理，SB ＝40cm ，所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)． 所以圆台的高h ＝AB 2－r 2－r 12＝10 3(cm)，S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π (cm 2)，V ＝13πh (r 21＋r 1r 2＋r 22)＝13π×10 3(102＋10×20＋202) ＝7000 33π(cm 3)． 答：圆台的表面积为1100πcm 2，体积为7000 33πcm 3.13. (1) 证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2) V ＝13×12×PA ×AB ×AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32.PB ＝PA 2＋AB 2＝132.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC . 又AH ＝PA ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.。

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3常用结论1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球的半径(1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长)．2．正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)．(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)考虑不周，忽视分类讨论； (2)锥体的底面及其对应高不清楚； (3)组合体的表面积没注意衔接部分．1．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π2．已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S -ABC 的体积是________．解析：由∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，得AC ＝210.由∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，得SA ＝2 3.由SA 2＋AC 2＝SC 2，得SA ⊥AC ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABC .所以三棱锥S -ABC 的体积为13S △ABC ·SA ＝13×12×2×6×23＝4 3.答案：4 33．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S＝12×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16.答案：12π＋16空间几何体的表面积(师生共研)(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．(5＋2)πB．(4＋2)πC．(5＋22)πD．(3＋2)π(2)(2021·吉林梅河口五中模拟)阳马和鳖臑(biē nào)是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马(四棱锥S-ABCD)，余下三棱锥称为鳖臑(三棱锥S-ECD)，若将某长方体沿上述切割方法得到一个阳马和一个鳖臑，且该阳马的正视图和鳖臑的侧视图如图所示，则该阳马和鳖臑的表面积之和为()A．12＋13＋3 5 B．11＋13＋3 5 C．12＋313＋ 5 D．11＋313＋ 5【解析】(1)因为在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，所以将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝1的圆锥，所以该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.故选A．(2)由三视图可知，在阳马中，AS＝2，AD＝3，CD＝1，SD＝13，SB＝5，所以S阳马＝S△SAD＋S△SCD＋S△SBC＋S△SAB＋S矩形ABCD＝3×22＋1×132＋3×52＋1×2 2＋3＝7＋13＋352.S鳖臑＝S△SCD＋S△CDE＋S△SDE＋S△SCE＝132＋1×22＋2×32＋3×52＝4＋13＋352，所以所求表面积之和＝11＋13＋35，故选B．【答案】(1)A(2)B空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为()A．992B．61C．62 D．73解析：选C．由三视图画出几何体的直观图如图所示，上、下底面分别为边长是1，4的正方形；图中朝里的两个侧面是上底为1，下底为4，高为4的梯形；图中朝外的两个侧面是上底为1，下底为4，高为5的梯形，其表面积为S＝1×1＋4×4＋12×(1＋4)×4×2＋12×(1＋4)×5×2＝62.空间几何体的体积(多维探究)角度一求简单几何体的体积(1)(2020·石家庄质量检测)某几何体的三视图如图所示(图中小正方形网格的边长为1)，则该几何体的体积是()A ．8B ．6C ．4D ．2(2)如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1­AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18【解析】 (1)由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱(如图所示)，其中底面直角梯形的上、下底分别为1，2，高为2，直四棱柱的高为2，所以该几何体的体积为（1＋2）×22×2＝6，故选B ．(2)设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得V A 1­AEF＝VF ­A 1AE.又VF ­A 1AE＝13S△A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD ­A 1B 1C 1D1，所以VABCD ­A 1B 1C 1D 1＝6VA 1­AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A ．【答案】 (1)B (2)A 角度二 求组合体的体积(1)(2020·高考浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．73B．143C．3 D．6(2)(2021·贵阳市第一学期监测考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(俯视图中弧线是14圆弧)()A．4－πB．π－2C．1－π2D．1－π4【解析】(1)由三视图可知，该几何体是三棱柱和三棱锥的组合体，结合图中数据可得该几何体的体积V＝12×2×1×2＋13×12×2×1×1＝73(cm3)，故选A．(2)由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后剩下的部分，直观图如图所示，该几何体的体积V＝1×1×1－14×π×12×1＝1－π4，故选D．【答案】(1)A (2)D(1)处理体积问题的思路(2)求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换1．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为()A．4 B．5C．6 D．12解析：选B．如图所示，由三视图可还原得到几何体ABCDEF，过E，F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN，可将原几何体切割成三棱柱EHG-FNM，四棱锥E­ADHG和四棱锥F-MBCN，易知三棱柱的体积为12×3×1×2＝3，两个四棱锥的体积相同，都为13×1×3×1＝1，则原几何体的体积为3＋1＋1＝5.故选B．2．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即12)，所以V四棱锥O-EFGH＝13×3×122×6×4＝12(cm＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8球与空间几何体的接、切问题(多维探究) 角度一 外接球(1)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．(2)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【解析】 (1)设球的半径为R ，上，下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球球心为MN 的中点，设为O ，则OA ＝R ，由4πR 2＝12π，得R ＝OA ＝ 3.又易得AN ＝2，由勾股定理可知ON ＝1，所以MN ＝2，即棱柱的高h ＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝3 3.(2)设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×SC ×OB ×AO ，即9＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.【答案】 (1)33 (2)36π(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面圆．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线．(3)若球面上四点P，A，B，C的连线中P A，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，则可构造长方体或正方体解决问题．角度二内切球(1)(2021·重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为()A．18 B．12C．6 3 D．4 3(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【解析】(1)如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE上，设内切球的半径为R，则S球＝4πR2＝16π，所以R＝2.所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝OP2－OF2＝2 3.因为△OPF∽△DPE，所以OFDE＝PFPE，得DE＝23，AD＝3DE＝63，AB＝23AD＝12.故选B．(2)易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝ROP ＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22，所以内切球的体积V＝43πR3＝23π，即该圆锥内半径最大的球的体积为2 3π.【答案】(1)B(2)2 3π(1)在求四面体内切球的半径时，应重视分割的思想方法，即将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．(2)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题；球与多面体的组合，一般通过多面体的一条侧棱和球心，并结合“切点”或“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题求解．1．已知正四棱锥P-ABCD内接于一个半径为R的球，则正四棱锥P-ABCD 体积的最大值是()A．16R381B．32R381C．64R381D．R3解析：选C．如图，记O为正四棱锥P­ABCD外接球的球心，O1为底面ABCD 的中心，则P，O，O1三点共线，连接PO1，OA，O1A.设OO 1＝x ，则O 1A ＝R 2－x 2，AB ＝2·R 2－x 2，PO 1＝R ＋x ，所以正四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13AB 2·PO 1＝13×2(R 2－x 2)(R ＋x )＝23(－x 3－Rx 2＋R 2x ＋R 3)，求导得V ′＝23(－3x 2－2Rx ＋R 2)＝－23(x ＋R )·(3x －R )，当x ＝R3时，体积V 有最大值64R 381，故选C ．2．设球O 内切于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 的半径为R ，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R .又正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27核心素养系列14 直观想象——确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一 由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； (2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A． 2 B．6 2C．112D．52【解析】 易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，把四面体A ′EFD 补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.故选B ．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝163π.【答案】 163π[A 级 基础练]1．(2020·高考全国卷Ⅲ)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．6＋42B ．4＋4 2C ．6＋2 3D ．4＋2 3解析：选C ．由三视图知该几何体为如图所示的三棱锥P -ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AP ＝2，故其表面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×3＋12×(22)2×sin 60°＝6＋2 3.2．(2021·贵阳市适应性考试)某几何体的三视图如图所示，已知正视图和侧视图是全等的直角三角形，俯视图是圆心角为90°的扇形，则该几何体的体积是( )A ．2πB ．π2C ．3π2D ．3π解析：选D ．依题意，题中的几何体是一个圆锥的14(其中该圆锥的底面半径为23，高为3)，如图所示，因此该几何体的体积为14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×π×（23）2×3＝3π，选D ．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π解析：选A．如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin 60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO21＋r2＝(23)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A．4．(2021·东北三校第一次联考)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则三棱锥A-BEF的体积为()A．13B．23C．1 D．4 3解析：选B．如图，分别取BC，ED，AD的中点G，P，Q，连接FG，FP，PQ，QG，因为ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，所以PD∥＝FC，所以四边形FCDP为平行四边形，所以PF∥DC.又Q，G分别为DA，CB的中点，所以QG ∥DC ，且QG ＝DC ，所以QG ∥PF ，且QG ＝PF ，所以四边形QGFP 为平行四边形，所以PQ ∥FG .又P 为DE 的中点，所以PQ ∥EA ，所以FG ∥EA ，因为EA ⊂平面EAB ，FG ⊄平面EAB ，所以FG ∥平面EAB .连接EG ，AG ，则V 三棱锥A -BEF ＝V 三棱锥F -ABE ＝V 三棱锥G -ABE ＝V 三棱锥E -ABG ＝13·ED ·S △ABG＝23，故选B ．5．(2021·福建省质量检测)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．16π9 B ．8π9 C ．16π27D ．8π27解析：选A ．方法一：如图，OC ＝2，OA ＝3，由△AED ∽△AOC 可得EDOC ＝AEAO .设圆柱体的底面半径r ＝ED ＝2x (0<x <1)，可得AE ＝3x ，则圆柱体的高h ＝OE ＝3－3x ，圆柱体的体积V ＝π(2x )2(3－3x )＝12π(x 2－x 3)，令V (x )＝12π(x 2－x 3)，则V ′(x )＝12π(2x －3x 2)，令V ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝0(舍去)，可得V (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1上单调递减，故当x ＝23时，V (x )取得最大值，V (x )max ＝16π9，即圆柱体的最大体积是16π9.方法二：同方法一，则圆柱体的体积V ＝12πx 2(1－x )＝6π·x ·x (2－2x )≤6π·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x ＋（2－2x ）33＝16π9，当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时等号成立，故圆柱体的最大体积是16π9.6．已知圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是________．解析：由πr 2＝S 得圆柱的底面半径是Sπ，故侧面展开图的边长为2π·S π＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS .答案：4πS7．(2020·高考浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．解析：方法一：设该圆锥的母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以12πl 2 ＝2π，解得l ＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R ，则2πR ＝2π，解得R ＝1.方法二：设该圆锥的底面半径为R ，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR .因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r ，则πr ＝ 2πR ，即r ＝2R ，所以侧面展开图的面积为12·2R ·2πR ＝2πR 2＝2π，解得R ＝1.答案：18．(2021·长沙市统一模拟考试)在四面体P ABC 中，△ABC 为等边三角形，且边长为6，P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四面体P ABC 的体积为________．解析：如图，延长CA 到D ，使得AD ＝6，连接DB ，PD .因为AD ＝AB ＝6，所以△ADB 为等腰三角形，又∠DAB ＝180°－∠CAB ＝120°，所以∠ABD ＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ABD ＋∠CBA ＝90°，即∠DBC ＝90°，故CB ⊥DB .因为PB ＝8，PC ＝10，BC ＝6，所以PC 2＝PB 2＋BC 2，所以CB ⊥PB .因为DB ∩PB ＝B ，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以V三棱锥C -PBD＝13×CB ×S △PBD .因为DA ＝AC ＝AP ＝6，所以△PDC 为直角三角形，所以PD ＝CD 2－PC 2＝144－100＝211.又DB ＝3AD ＝63，PB ＝8，所以DB 2＝PD 2＋PB 2，故BP ⊥DP ，即△PBD 为直角三角形，所以S △PBD ＝12×8×211＝811.因为A 为DC 的中点，所以V 四面体P ABC ＝12V 三棱锥P -CBD ＝12V 三棱锥C -PBD ＝12×13×6×811＝811.答案：8119．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段的中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2， S 圆柱底＝πa 2，所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ＝AP2＋AQ2＝a2＋（πa）2＝a1＋π2，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a1＋π2.10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.因为BD∩BE＝B，BD⊂平面BED，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x 2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V三棱锥E-ACD＝13×12·AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.[B级综合练]11．(2021·安徽省部分重点学校联考)已知三棱锥D-ABC的体积为2，△ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D-ABC的外接球的球心O恰好是CD的中点，则球O的表面积为()A．52π3B．24πC．56π3D．20π3解析：选A．设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，因为O是CD的中点，所以点D到平面ABC的距离为2d，则V D­ABC＝13S△ABC2d＝13×34×22×2d＝2，解得d＝ 3.过点O向平面ABC作垂线，垂足为O′，则O′为等边三角形ABC的外心，连接O′A，则O′A＝2×32×23＝233，R2＝d2＋O′A2＝3＋43＝133，所以球O的表面积S＝4πR2＝52π3.12．(2021·南充市第一次适应性考试)如图，在正三棱锥A-BCD中，AB＝BC，E为棱AD的中点．若△BCE的面积为2，则三棱锥A-BCD的体积为()A．23B．33C．233D．223解析：选D．因为AB＝BC，所以正三棱锥A-BCD为正四面体，因为E为AD 的中点，所以AD ⊥BE ，AD ⊥CE ，又CE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面BCE .设AD ＝a ，则BE ＝CE ＝32a ，所以等腰三角形BCE 的面积S △BCE ＝12×BC × BE 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝12×a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝12×22a 2＝2，所以a ＝2，所以V 三棱锥A -BCD ＝V 三棱锥A -BCE ＋V 三棱锥D -BCE ＝2V 三棱锥A -BCE ＝2×13S △BCE ×AE ＝2×13×2×a 2＝223.13．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中所给的数据，这个几何体的表面积为________，体积为________．解析：如图所示是还原后的几何体的直观图，分别取BC ，AD 的中点E ，F ，连接SE ，EF ，SF ，由图中数据有AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝SE ＝EF ＝2，BE ＝EC ＝1，因为△SBC 是等腰三角形，所以SB ＝SC ＝ 5. 因为△SBA 为直角三角形，所以SA ＝3. 又因为△SAD 是等腰三角形，所以SF ⊥AD . 所以SF ＝2 2.所以S 正方形ABCD ＝4，S △SBC ＝2，S △SAB ＝S △SCD ＝5，S △SAD ＝2 2. 所以S S ­ABCD ＝6＋2(2＋5)． 所以V S ­ABCD ＝13·S 正方形ABCD ·SE ＝83. 答案：6＋2(2＋5) 8314．(2020·河北九校第二次联考)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，BC 的中点，过点E ，F ，G 的截面将正方体分割成两部分，则较大几何体的体积为________．解析：如图所示，延长GF ，DA 交于点M ，延长FG ，DC 交于点N ，连接EM ，EN 分别与A 1A ，C 1C 交于点P ，Q ，连接PF ，QG ，则五边形EPFGQ 即为过点E ，F ，G 的平面与正方体的截面图形．易得P A ＝QC ＝a6，连接EA ，EC ，截面下面部分可分割成三部分，分别是三棱锥E -P AF 、三棱锥E -CGQ 、五棱锥E -AFGCD ，则截面下面部分的体积V 1＝V E ­P AF ＋V E ­CGQ ＋V E ­AFGCD ＝13×12×a 6×a2×a ＋13×12×a 6×a 2×a ＋13(a 2－12×a 2×a 2)×a 2＝25144a 3，则较大几何体的体积V ＝a 3－25144a 3＝119144a 3.答案：119144a 3[C级提升练]15．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上的四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为() A．12 3 B．18 3C．24 3 D．54 3解析：选B．如图，E是AC的中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝34AB2＝93，所以AB＝6，BM＝23BE＝23AB2－AE2＝2 3.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝OB2－BM2＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥D-ABC的体积取得最大值，且最大值V max＝13S△ABC×(4＋OM)＝13×93×6＝18 3.故选B．16．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的有________．(填序号)①AE∥平面C1BD；②四面体ACEF的体积为定值；③三棱锥A-BEF的体积为定值；④四面体ACDF 的体积为定值．解析：对于①，如图1，AB 1∥DC 1，易证AB 1∥平面C 1BD ，同理AD 1∥平面C 1BD ，且AB 1∩AD 1＝A ，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，又AE ⊂平面AB 1D 1，所以AE ∥平面C 1BD ，①正确；对于②，如图2，S △AEF ＝12EF ·h 1＝12×1×（32）2－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝364，点C 到平面AEF 的距离为点C 到平面AB 1D 1的距离d 为定值，所以V A ­CEF ＝V C ­AEF ＝13×364×d ＝64d 为定值，所以②正确；对于③，如图3，S △BEF ＝12×1×3＝32，点A 到平面BEF 的距离为A 到平面BB 1D 1D 的距离d 为定值，所以V A ­BEF ＝13×32×d ＝12d 为定值，③正确；对于④，如图4，四面体ACDF 的体积为V A ­CDF ＝V F ­ACD ＝13×12×3×3×3＝92为定值，④正确．答案：①②③④。

空间几何体的表面积和体积（9）命题人。

李永侠 一、选择题：1．过正三棱柱底面一边的截面是 （ ）A ．三角形B ．三角形或梯形C ．不是梯形的四边形D ．梯形 2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥 3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 （ ）A ．21B ．1C ．2D ．34．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）A ．26aB ．12a 2C ．18a 2D ．24a 25．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结 A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A —A ′BD 的体积（ ）A ．361a B ．363aC ．3123aD ．3121a6．直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，可 铸成这样的小球的个数为 （ ）A ．5B ．15C ．25D ．1257．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ）A ．2π B ．6πC ．4πD ．3π 8如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

则该集合体的俯视图可以是9 （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) AB．62+ C6 D4r10(2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是A. 2(20cm +B.21 cmC. 2(24cm +D. 24 cm左视图二．填空11（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）12.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是13如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为14已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离为_______________，球心到平面ABC 的距离为______.：15球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍． 16．已知正三棱锥的侧面积为183 cm 2,高为3cm. 求它的体积 ． 三、解答题：17．①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱． 已知：等边圆柱的底面半径为r ，求：全面积； ②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥. 已知：等边圆锥底面半径为r ，求：全面积．18四边形ABCD A B C D ，，，，(,)(,)(,)(,)00102103，绕y 轴旋转一周，求所得 旋转体的体积．19如图，圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为h h h113， ,若将圆锥倒置后， 圆锥内水面高为h h 22，求.20已知：一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大．。

高一数学空间几何体的表面积与体积试题1.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.2.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.【答案】（1）见解析；（2）体积（3）见解析【解析】试题分析:（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析:（1）证明：因为平面，所以。

因为为△中边上的高，所以。

因为，所以平面。

4分（2）连结，取中点，连结。

因为是的中点，所以。

因为平面，所以平面。

则，。

8分（3）证明：取中点，连结，。

因为是的中点，所以。

因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。

因为，所以。

因为平面，所以。

因为，所以平面，所以平面。

13分【考点】（1）空间中线面垂直和平行的判定（2）几何体的体积.3.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积4.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正方体的对角线长就是外接球的直径，而正方体的对角线长为，所以球的半径为，所以正方体的外接球的体积为，故选A．【考点】1、球与正方体的组合体；2、球的体积．5.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱的中点，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则（1）直线被球截得的线段长为（2）四面体的体积的最大值是【答案】(1);(2).【解析】（1）因为点在圆上，为中点，所以直线被球截得的线段长为正方形的外接圆直径，等于，（2）过做与点，连接∵，，平面∥平面，为平面与两平行平面的交线，，又，，平面，设正方体的棱长为1，，则，当时，最大值为．【考点】组合体6.已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（1）求三棱柱的体积；（2）求证：；（3）求证：∥面．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.【解析】（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.试题解析：（1） 3分（2）∵，∴为等腰三角形∵为中点，∴ -4分∵为直棱柱，∴面面 5分∵面面，面∴面 6分∴ 7分（3）取中点，连结， 8分∵分别为的中点∴∥，∥， 9分∴面∥面 11分面∴∥面 12分.【考点】1.空间几何体的体积计算；2.空间中的平行关系；3.空间中的垂直关系.7.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.8.已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是()A．B．C．D．【答案】D【解析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．正方体外接球的体积是，则外接球的半径正方体的对角线的长为2，棱长等于，故选D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．9.正方体的体积是64，则其表面积是()A．64B．16C．96D．无法确定【答案】C【解析】由正方体的体积是64，能求出正方体的边长为4，由此能求出正方体的表面积．解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴它的表面积S=6×42=96．故选C【考点】正方体的体积和表面积点评：本题考查正方体的体积和表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．10.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48B．32+8C．48+8D．80【答案】C【解析】观察三视图可知，这是一个四棱柱，底面梯形两底分别为2,4，高为4，几何体的高为4，底面梯形的腰长为，所以，几何体表面积为，48+8，故选C。