中考数学考前模拟测试精选题(11)

专题11 图形的性质之填空题参考答案与试题解析一．填空题（共65小题）1．（2019•上海）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝120度．【答案】解：∵D是斜边AB的中点，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，∵11∥l2，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案为120．【点睛】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．2．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．【答案】解：如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，∴AB5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，∵△ACD≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，∴∠C1D1B1＝∠BDC，∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B，∴△C1B1D∽△BCD，∴，即2，解得x，∴AD的长为，故答案为．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得△C1B1D∽△BCD是解题的关键．3．（2019•上海）如图，在正边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为2．【答案】解：连接CF．∵多边形ABCDEF是正六边形，AB∥CF，CF＝2BA，∴2，∵，∴2，故答案为2．【点睛】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．4．（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是540度．【答案】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所以该多边形的内角和是3×180°＝540°．故答案为540．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．5．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．【答案】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴cos30°，∴λ6，故答案为．【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．6．（2019•浦东新区二模）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于130°．【答案】解：180°﹣50°＝130°．故这个角的补角等于130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．7．（2019•青浦区一模）对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S到图形上的任意一点P之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE，S1是“亮点”，S2不是“亮点”，如果AB∥DE，AE∥DC，AB＝2，AE＝1，∠B＝∠C＝60°，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为．【答案】解：如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N．由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是△EMN，∵AB∥DE，AE∥DC，∴∠EMN＝∠B＝60°，∠ENM＝∠C＝60°，∴△EMN，△ABN是等边三角形，∴AN＝AB＝2，∵AE＝1，∴EN＝1，∴S△EMN12．【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•宝山区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE ＝2BD，BE＝1，那么DC＝．【答案】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．9．（2019•青浦区二模）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点G，若，，用、表示．【答案】解：如图，连接DE．∵BD＝CD，AE＝EC，∴DE∥AB，DE AB，∴，∴DG AD，∴，，，∴，∵，∴，故答案为：，【点睛】本题考查三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（2019•嘉定区二模）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：S＝a b﹣1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是6．【答案】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a＝4，b＝6，∴格点多边形的面积S＝a b﹣1＝46﹣1＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a，b的值．11．（2019•长宁区二模）我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为6或3．【答案】解：①如图1，由题意得，AB＝AC＝BD＝CD＝4，BC＝2，∴四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，BO＝CO AC，AO＝OD，∴AO3，∴AD＝6＞2BC，∴这个凸四边形的“直径”为6；②如图2，由题意得，AB＝AC＝AD＝4，BC＝CD＝2，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD，BO＝DO，设AO＝x，则CO＝4﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AO2＝BC2﹣CO2，∴42﹣x2＝（2）2﹣（4﹣x）2，解得：x，∴AO，∴BO，∴BD＝2BO＝3，∵BD＝3＞4＝AC，∴这个凸四边形的“直径”为3，综上所述：这个凸四边形的“直径”为6或3，故答案为：6或3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．12．（2019•黄浦区二模）如图，点O是△ABC的重心，过点O作DE∥AB，分别交AC、BC于点D、E，如果，那么a．（结果用表示）．【答案】解：如图，连接CO并延长交AB于点M，∵点O是△ABC的重心，∴M是AB的中点，∵DE∥AB，∴△CDO∽△CAM，∴，∴DO AM a a．故答案为：a．【点睛】本题考查三角形重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握三角形重心的概念和性质．13．（2019•金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是∠A＝60°（只要写出一个即可）．【答案】解：在△ABC中，AB＝AC，再添加∠A＝60°可得△ABC是等边三角形，故答案为：∠A＝60°．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．14．（2019•奉贤区二模）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．【答案】解：∵小正方形的面积是25，∴EB＝5，∵△ABC≌△DEB，∴AB＝DE，∵大正方形的面积为49，∴AD＝7，∴DB+DE＝7，设BD＝x，则DE＝7﹣x，在Rt△BDE中：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x1＝4，x2＝3，当x＝4时，7﹣x＝3，当x＝3时，7﹣x＝4，∵α为较小的锐角，∴BD＝4，DE＝3，∴tanα ，故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握勾股定理的应用．15．（2019•杨浦区二模）如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设，，用，表示，那么．【答案】解：连接AG，延长AG交BC于F．∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴BF＝CF，，∵，，∴，∵BF＝CF，∴DG＝GE，∵，，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2019•闵行区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．【答案】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝8，∠CAB＝∠ABC，∵AD＝2，∴BD＝6＝DE+BE，∵将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF∴△AFC≌△BEC∴AF＝BE，CF＝EC，∠F AC＝∠ABC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，∴∠F AD＝90°∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝45°，∴∠ACD+∠FCA＝45°＝∠DCE，且CF＝BC，CD＝CD，∴△FCD≌△ECD（SAS）∴DE＝DF，在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴DE2＝4+（6﹣DE）2，∴DE故答案为【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．17．（2019•松江区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x轴交于点C，那么AC：BC的值为．【答案】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．∵A（3，2），∴OA，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴，∵∠AOB＝90°，∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠AOD，又∵∠BEO＝∠ADO，∴△OEB∽△ODA，∴，即，解得：OE，∵AC：BC＝S△AOC：S△OBC＝AD：OE＝2：，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证得△OEB∽△ODA 是解答本题的关键．18．（2019•宝山区一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．【答案】解：由题意，得sin B，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．19．（2019•杨浦区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG ，则BC长为4．【答案】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG＝2，∴CD＝3，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又DE⊥BC，∴CE＝BE BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∵sin∠ACG＝sin∠CDE，∴CE＝2，∴BC＝4故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．20．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC 于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．【答案】解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴2，∴BE＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．21．（2019•长宁区一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于9．【答案】解：过E作EG⊥BC于G，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，∴点F是△ABC的重心，∴AD＝3DF＝9，∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵BE是边AC上的中线，∴AE＝CE，∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AD，∴EG AD，CG CD，∵BE＝6，∴BG，∴BC BG＝2，∴△ABC的面积9×29，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（2019•静安区一模）在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．【答案】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10，∵CD为AB边上的中线，∴CD AB＝5，∵点G是重心，∴DG CD．故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．23．（2019•青浦区一模）在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝．【答案】解：如图所示，连接DH，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴H为BC的中点，又∵D为AC的中点，∴DH为△ABC的中位线，∴DH∥AB，DH AB，∴△DEH∽△BEA，∴，又∵BD＝3，∴BE＝2，∴Rt△BEH中，EH，∴AE＝2EH＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．24．（2019•虹口区一模）定义：如果△ABC内有一点P，满足∠P AC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC 的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果P A＝2，那么PC＝．【答案】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠ABC﹣∠PBA，即∠ACP＝∠CBP．在△ACP与△CBP中，∠∠，∴△ACP∽△CBP，∴，∵AC＝5，BC＝8，P A＝2，∴PC．故答案为．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACP∽△CBP，属于中考常考题型．25．（2019•崇明区一模）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．【答案】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD AB＝5，∵G为△ABC的重心，∴CG CD，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．26．（2019•宝山区一模）直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为12cm．【答案】解：由题意得，CG＝4，∵点G是△ABC的重心，∴CD CG＝6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案为：12cm．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．27．（2019•杨浦区一模）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为4．【答案】解：作AD⊥BC于D，则点G在AD上，连接GC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD BC＝4，由勾股定理得，AD3，∵G为△ABC的重心，∴DG AD＝1，∴cot∠GCB4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．28．（2019•杨浦区模拟）如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为．【答案】解：∵△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，∴A1B1＝AC，B1C1＝AB，A1C1＝BC，∴△A1B1C1的周长△ABC的周长3，依此类推，△A2B2C2的周长△A1B1C1的周长，则△A5B5C5的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键．29．（2019•静安区二模）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则．【答案】解：设△ABC边AB上的高为h，∵G是△ABC的重心，∴△ABG边AB上的高为h，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．30．（2019•杨浦区一模）等边三角形的中位线与高之比为1：．【答案】解：设等边三角形的边长为2a，则中位线长为a，高线的长为a，所以等边三角形的中位线与高之比为a：a＝1：，故答案为：1：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．31．（2019•东台市一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．【答案】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；当高在三角形外部时，顶角是60°．故答案为：60°或120°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．32．（2019•浦东新区二模）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD的位置关系是平行．【答案】解：∵，∴与是共线向量，由于与没有公共点，∴AB∥CD，故答案为：平行．【点睛】本题考查共线向量，解题的关键是熟练运用共线向量的定义，本题属于基础题型．33．（2019•浦东新区二模）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于7厘米．【答案】解：梯形的中位线长（5+9）＝7（厘米）故答案为：7．【点睛】本题考查的是梯形中位线的计算，梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．34．（2019•静安区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知，，那么向量．（用向量，表示）．【答案】解：如图，延长FG交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CH，∴1，∴AF＝DH，设AE＝EF＝FB＝a，则AB＝CD＝3a，AF＝DH＝2a，CH＝5a，∵EF∥CH，∴，∴CM CE，∵，∴，故答案为．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．35．（2019•虹口区二模）如图，AD∥BC，BC＝2AD，AC与BD相交于点O，如果，，那么用、表示向量是2．【答案】解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴，∴332，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于基础题型．36．（2019•虹口区二模）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为．【答案】解：过A1作A1D⊥B1C1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴ab＝5，3＝ah，∴b，h，∴B1D，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．37．（2019•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O的线段EF与AD、BC分别交于点E、F，如果AB＝4，BC＝5，OE，那么四边形EFCD的周长为12．【答案】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF（AAS），∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE＝ED+AE+CD+OE+OF＝AD+CD+OE+OF＝4+5+1.5+1.5＝12．故答案为：12．【点睛】本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解．38．（2019•松江区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．设，，用、表示为2．【答案】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵，∴2，∴2，故答案为2．【点睛】本题考查平面向量，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．39．（2019•长宁区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，联结AE、BD交于点F，若，，用、表示．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴，，∵DE＝DC，∴，∴，∵DE∥AB，∴EF：AF＝DE：AB＝1：2，∴EF AE，∴∴故答案为．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．40．（2019•宝山区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，过点O的线段EF与AD，BC 分别交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为12．【答案】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF，∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE＝ED+AE+CD+OE+OF＝AD+CD+OE+OF＝4+5+1.5+1.5＝12．故答案为：12．【点睛】本题利用了平行四边形的性质和已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解．41．（2019•崇明区二模）如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值为．【答案】解：连接FD，设正多边形的边长为a，∵在△FED中，EF＝ED＝a，∠FED＝120°，∴FD a．∴DG＝DF+FG＝（1）a．在Rt△GCD中，tan∠GCD．故答案为．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和及解直角三角形，解题的关键是在正六边形中求出DF长度．42．（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且CD＝2AD．设，，那么．（结果用向量、的式子表示）【答案】解：∵CD＝2AD，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．43．（2019•崇明区二模）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD，，，那么用、表示为：．【答案】解：∵DE∥BC，∴，∵，∴3，∵BD AB，，∴，∵，∴3，故答案为3．【点睛】本题考查平面向量，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．44．（2019•奉贤区二模）已知△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE．如果设，，那么．（用向量、的式子表示）【答案】解：如图，∵DE∥BC，DE BC，，∴3，∵，∴3，故答案为3．【点睛】本题考查平面向量，平行向量的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．45．（2019•普陀区二模）如图，AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设，，那么向量用向量、表示是2．【答案】解：∵AD、BE是△ABC的中线，交于点O，∴AO＝2OD，∴2，∵，∴2，故答案为2．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．46．（2019•金山区二模）如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，，，，那么（用、表示）．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AC＝BC，∵BE：BC＝2：3，∴BE：AD＝2：3，∴AD BE，∵，∴，∵，∴，故答案为．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．47．（2019•崇明区一模）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC，则线段EF的长为或．【答案】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠DAF＝∠BFC又∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCB，∴，即，∴FC＝2或3．∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE＝FC，∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，∴EF．当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC，综上，EF或．故答案为：或．【点睛】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△ADF∽△FCB是解题关键．48．（2019•徐汇区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若，，则用、表示．【答案】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形．∴AD＝HC．又EF是梯形ABCD的中位线，∴EF，且GF＝AD．∴EG＝EF﹣GF AD．∵，，∴．故答案是：．【点睛】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．49．（2019•普陀区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD，BC＝5，那么DC的长等于2．【答案】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan C，∴BD CD，由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（CD）2+CD2＝52，解得，CD＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．50．（2019•宝山区一模）若2||＝3，那么3||＝．【答案】解：由2||＝3得到：||，故3||＝3．故答案是：．【点睛】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题. 51．（2019•嘉定区一模）如果向量、、满足关系式2（3）＝4，那么2（用向量、表示）．【答案】解：2（3）＝42340202故答案是：2．【点睛】考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．52．（2019•闵行区一模）化简：（）＝．【答案】解：（）＝（）（1）．故答案是：．【点睛】考查了平面向量的知识，实数的加减运算法则同样适用于平面向量的加减计算．53．（2019•青浦区一模）计算：3（2）﹣2（3）＝．【答案】解：3（2）﹣2（3）＝3323＝（3﹣2）（﹣3+3）．故答案是：．【点睛】考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．54．（2019•浦东新区一模）已知向量与单位向量的方向相反，||＝4，那么向量用单位向量表示为﹣4．【答案】解：∵向量与单位向量的方向相反，||＝4，∴4．故答案是：﹣4．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．55．（2019•虹口区一模）计算：2（3）＝33【答案】解：原式＝2333．故答案是：33．【点睛】考查了平面向量，掌握平面向量的加减计算法则即可解题，属于基础计算题．56．（2019•崇明区一模）化简：．【答案】解：原式．故答案是：．【点睛】考查了平面向量，解答此类题目时，直接去括号，然后计算加减法即可．57．（2019•黄浦区一模）如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么向量﹣2（用单位向量表示）．【答案】解：∵的长度为2，向量是单位向量，∴a＝2e，∵与单位向量的方向相反，∴2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．58．（2019•黄浦区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BE：EC＝1：2，AE与BD交于点O，如果，，那么（）（用向量、表示）．【答案】解：∵，，∴．∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，BE：EC＝1：2，∴．∴AO AE（）．故答案是：（）．【点睛】考查了平面向量和平行四边形的性质，解题时，需要熟练掌握向量的三角形法则，注意向量是有方向的．59．（2019•金山区一模）如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且，DE ∥BC，设、，那么（用、表示）．【答案】解：∵，DE∥BC，∴，∴DE BC．∵、，，∴．故答案是：．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．60．（2019•徐汇区一模）计算：（2）﹣47．【答案】解：：（2）﹣4247．故答案是：7．【点睛】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．61．（2019•普陀区一模）化简：3（）﹣2（）＝．【答案】解：3（）﹣2（）＝322（3﹣2）（2）．故答案是：．【点睛】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．62．（2019•奉贤区一模）计算：32（）＝5．【答案】解：32（）＝325；故答案为5；【点睛】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．63．（2019•奉贤区一模）如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是6．【答案】解：依题意有2，解得n＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，此题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．64．（2019•金平区一模）如果多边形的每个外角都是45°，那么这个多边形的边数是8．【答案】解：多边形的边数是：8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．。

专题11：实际问题与一元二次方程-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编一、单选题1．（2021·广东广州市·九年级一模）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．x （x ﹣1）＝240 B ．12x （x ﹣1）＝240 C ．x （x ＋1）＝240 D ．12x （x ＋1）＝240 【答案】A【解析】根据参加比赛的球队数量、总共要比赛的场数列出方程即可得． 【解答】解：由题意，可列方程为(1)240x x -=， 故选：A ．【点评】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．2．（2021·广东广州市·九年级一模）一种药品原价每盒25元经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都相同为x ，则x 满足方程（ ） A ．()2251216x -= B ． ()225116x -= C ．()2161225x +=D ．()216125x+=【答案】B【解析】等量关系为：原价×（1-下降率）2=16，把相关数值代入即可． 【解答】解：第一次降价后的价格为25（1-x ），第二次降价后的价格为25（1-x ）×（1-x ）=25×（1-x ）2， ∴列的方程为25（1-x ）2=16， 故选：B ．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 3．（2021·广东深圳市·九年级二模）有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中0R 个白球同时变成红球（0R 为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则0R 应满足的方程是（ ）A ．4（1＋0R ）＝64B ．4（1＋0R ）＝400C ．4()201R +＝64 D ．4()201R +＝400【答案】C【解析】原有4个红球，1分钟后红球数为0(44)R +个，2分钟新增加的红球数为0(44)x R +个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论． 【解答】根据题意得：00044(44)64R R R +++=，即：204(1)64R +=，故选：C ．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键．4．（2021·广东九年级专题练习）目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G 用户数累计达到8.72万户．设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为（ ） A ．20% B ．30%C ．40%D ．50%【答案】C【解析】先用含x 的代数式表示出2020年底、2021年底5G 用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的5G 用户数量之和=8.72万户即得关于x 的方程，解方程即得答案． 【解答】解：设全市5G 用户数年平均增长率为x ，根据题意，得：()()2221218.72x x ++++=，解这个方程，得：10.440%x ==，2 3.4x =-（不合题意，舍去）． ∴x 的值为40%． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．5．（2021·广东广州市·西关外国语学校九年级一模）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A→C 向点C 运动，同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A→B→C 向点C 运动，直到它们都到达点C 为止．若△APQ 的面积为S （cm 2），点P 的运动时间为t （s ），则S 与t 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分两种情况讨论：当502t 时，过Q 作QD AC ⊥交AC 于点D ，12APQ S AP QD ∆=⨯⨯；当542t <时，APQ ABC ABQ CPQ S S S S -∆∆∆∆=-．【解答】解：①当502t时，点Q 在AB 上， 2AQ t ∴=，AP t =，过Q 作QD AC ⊥交AC 于点D ，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB cm =，4AC cm =，3BC cm ∴=，∴QD AQBC BC=， 65QD t ∴=，211632255APQ S AP QD t t t ∆=⨯⨯=⨯⨯=，②当542t <时，点Q 在BC 上， 2211134(4)(82)4(25)4(2)4222APQ ABC ABQ CPQ S S S S t t t t t t -∆∆∆∆=-=⨯⨯-⨯-⨯--⨯⨯-=-+=--+， 综上所述，正确的图象是D ． 故选：D ．【点评】本题考查动点运动，三角形面积．B 点是Q 点运动的分界点，将运动过程分两种情况进行讨论是解题的关键．二、填空题6．（2021·广东九年级专题练习）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人． 【答案】50【解析】设这个公司有员工x 人，则每人需发送(1)x -条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个公司有员工x 人，则每人需发送(1)x -条祝贺元旦的短信， 依题意，得：(1)2450x x -=，解得：150x =，249x =-（不合题意，舍去）． 故答案为：50．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2021·广东九年级专题练习）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20%【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x ，根据题意得25×（1-x ）（1-x ）=16， 整理得，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%．8．（2021·广东九年级专题练习）如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m ，则根据题意，可列方程为_______.【答案】（12-x ）（8-x ）=77【解析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【解答】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．9．（2021·广东九年级专题练习）圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．【答案】x（x﹣1）＝110【解析】设这个小组有x人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送x－1张贺卡，所以全组共送x（x－1）张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可．【解答】设这个小组有x人，则每人应送出x−1张贺卡，由题意得：x(x−1)＝110，故答案为x(x−1)＝110.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 10．（2021·广东九年级专题练习）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．【答案】12x（x﹣1）=21【解答】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为12x（x﹣1），即可列方程．【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x﹣1）=21，故答案为12x（x﹣1）=21．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 11．（2021·广东九年级专题练习）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共比赛90场比赛，共有____个队参加比赛.【答案】10【解答】设有x支球队，由题意则有：x(x-1)=90，解得：x1=10，x2=-9(舍去)，所以共有10个队参加比赛，故答案为10.12．（2021·广东广州市·九年级一模）如图，ABC 中90A ∠=︒，5AB =，12AC =，点D 为动点，连接BD 、CD ，BDC ∠始终保持为90︒，线段AC 、BD 相交于点E ，则DEBE的最大值为__________．【答案】45【解析】设AE x =，从而可得12CE x =-，先利用勾股定理可得225BE x =+判定与性质可得AE BEDE CE =，求出DE 的值，从而可得DE BE的值，然后利用一元二次方程、二次函数的性质求解即可得．【解答】解：由题意，设AE x =，则12CE x =-，22225BE AB AE x ∴+=+在ABE △和DCE 中，90A D AEB DEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，ABE DCE ∴~，AE BE DE CE ∴=，即225x x DE += 解得225DE x=+，则2(12)25x x E x D BE -=+， 令(0)DE k k BE =>，则2(12)25x x k x-+=， 整理得：2(1)12250k x x k +-+=，关于x 的一元二次方程2(1)12250k x x k +-+=有实数根，∴方程根的判别式144425(1)0k k ∆=-⨯+≥，即22525360k k +-≤， 令22525360k k +-=，解得1249,55k k ==-， 由二次函数2252536y k k =+-的性质可知，当0y ≤时，9455k -≤≤， 则k 的最大值为45， 即DE BE的最大值为45，故答案为：45．三、解答题13．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．【解析】根据题意可直接设每轮传染x 台，从而列出两轮后共计传染数量为()21x +台，建立一元二次方程求解即可，求出每轮传染数之后即可判断三轮传染之后的总数，即可得出结论． 【解答】设每轮感染中平均1台电脑会感染x 台电脑． 根据题意可列：()1181x x x +++=， 解得：18x =，210x =-（舍去）．∴3轮感染后，被感染得电脑为：81818729700+⨯=>．答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 14．（2021·广东阳江市·九年级一模）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】（1）这个降价率为10%；（2）该商品在原售价的基础上，再降低10元．【解析】（1）设调价百分率为x ，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解． （2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10000元列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是x ，依题意得：40（1﹣x ）2＝32.4， 解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（舍去）； 答：这个降价率为10%；（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件，根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000，解得：y＝0（舍去）或y＝10，答：该商品在原售价的基础上，再降低10元．15．（2021·广东华侨中学九年级二模）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【答案】（1）1秒；（2）不可能，见解析【解析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令12×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得12（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）由（1）同理可得12（5﹣x）2x＝7．整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．16．（2021·广东惠州市·九年级二模）某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【答案】（1）3台；（2）四【解析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共(2001)+台电脑，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑， 依题意得：2(1)16+=x ，解得：13x =，25x =-（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．（2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为16(13)64⨯+=（台)， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为64(13)256⨯+=（台)， 2562001>+，∴四轮感染后机房内所有电脑都被感染．故答案为：四．17．（2021·清远市清新区凤霞中学九年级一模）学海书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？ 【答案】（1）5元；（2）60元【解析】（1）设每本故事书需涨价x 元，根据“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”表示出销售量，由售价-进价=利润列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设每本故事书的售价为m 元，由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式． 【解答】（1）解：设每本故事书需涨价x 元，由题意，得(5040)(50020)6000x x +--=，解得15=x ，210x =（不合题意，舍去）． 答：每本故事书需涨5元；（2）解：设每本故事书的售价为m 元， 则()5002050300m --≥，解得60m ≤，答：每本故事书的售价应不高于60元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，弄清“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”是解本题的关键．18．（2021·广东佛山市·九年级一模）春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况． 小李：“该商品的进价为50元/件．”成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．” 成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．” 根据他们的对话，完成下列问题：（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出______件；（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？ 【答案】（1）700；（2）该商品应该定价为70元/件 【解析】（1）根据题意，直接列出算式，即可求解；（2）设该商品应该定价为x 元/件，列出关于x 的方程，进而即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：800-(65-60)÷5×100=700（件）； （2）设该商品应该定价为x 元/件， 由题意得：()6050800100120005x x -⎛⎫--⋅= ⎪⎝⎭，解得：170x =，280x =， ∵尽可能扩大销售量， ∴70x =，答：该商品应该定价为70元/件．19．（2021·广东江门市·九年级一模）某服装店自2018年以来，销售成衣数量在稳健地上涨，2018年全年售出10000件成衣，2020年全年售出14400件成衣．（1）求该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率；（2）若服装店售出成衣数量还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该服装店售出成衣将达到多少件?【答案】（1）20%；（2）20736件【解析】（1）设该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率为x ．2019年成衣销售量10000+10000x =10000(1+x)；2020年成衣销售量在2019年基础上平均增长率为x ，10000(1+x)+ 10000(1+x) x =10000(1+x) (1+x)=10000 (1+x)2，利用2020年售出14400件成衣构造方程求解即可． （2）利用增长率公式计算即可【解答】解：（1）设该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率为x ． 依题意，得()210000114400x +=，解得10.220%x ==，2 2.2x =-（舍去）．答：该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率为20%．（2）()214400120%20736⨯+=（件）．答：2022年该服装店售出成衣将达到20736件．【点评】本题考查列一元二次方程解增长率应用题，掌握列一元二次方程解增长率应用题的方法与步骤，抓住等量关系用两种方式表示同一量，列出方程是解题关键．20．（2021·广东九年级专题练习）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】（1）504万元；（2）20%．【解析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x ，则十一黄金周的月营业额为350(1+x )2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．【解答】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：350(1+x )2=504，解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．21．（2021·广东华侨中学九年级二模）已知：如图所示，在ABC 中，90B ∠=，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．() 1如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于24cm ？()2在()1中，PQB 的面积能否等于27cm ？请说明理由．【答案】(1)1秒后PBQ 的面积等于24cm ；(2) PBQ 的面积不可能等于27cm ．【解析】（1）经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于4cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解； （2）看△PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2x （5-x ）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【解答】（1）设经过x 秒以后△PBQ 面积为4cm 2，根据题意得12（5-x ）×2x=4， 整理得：x 2-5x+4=0，解得：x=1或x=4（舍去）．答：1秒后△PBQ 的面积等于4cm 2； ()2仿()1得()15272x x -=，整理，得2570x x -+=，因为2425280b ac -=-<，所以，此方程无解．所以PBQ 的面积不可能等于27cm ．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．22．（2021·广东惠州市·九年级一模）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A 型无人机2000架，4月份生产A 型无人机达到12500架．（1）求该公司生产A 型无人机每月产量的平均增长率；（2）该公司还生产B 型无人机，已知生产1架A 型无人机的成本是200元，生产1架B 型无人机的成本是300元，现要生产A 、B 两种型号的无人机共100架，其中A 型无人机的数量不超过B 型无人机数量的3倍，公司生产A 、B 两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？【答案】（1）150%；（2）公司生产A 型号无人机75架，生产B 型号无人机25架成本最小【解析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；（2）根据题意求出a 的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．【解答】（1）设该公司生长A 型无人机每月产量的平均增长率为x ，根据题意可得：2000（1+x ）2＝12500，解得：x 1＝1.5＝150%，x 2＝﹣3.5（不合题意舍去），答：该公司生长A 型无人机每月产量的平均增长率为150%；（2）设生产A 型号无人机a 架，则生产B 型号无人机（100﹣a ）架，需要成本为w 元，依据题意可得： a≤3（100﹣a ），解得：a≥75，w ＝200a+300（100﹣a ）＝﹣100a+30000，∵﹣100＜0，∴当a 的值增大时，w 的值减小，∵a 为整数，∴当a ＝75时，w 取最小值，此时100﹣75＝25，w ＝﹣100×75+30000＝22500，∴公司生产A 型号无人机75架，生产B 型号无人机25架成本最小．23．（2021·广州大学附属中学九年级一模）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝7cm ，点Q 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动． （1）如果P 、Q 两点同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？（2）△PBQ 的面积能否等于7cm 2？试说明理由．【答案】（1）1秒或4秒；（2）不能，理由见解析【解析】（1）点Q 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，表示出BQ 和BP 的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．【解答】解：（1）设t 秒后，△PBQ 的面积等于42cm ．则()15242t t -⨯= ， 整理，得t 2﹣5t ＋4＝0，解得 1t ＝1，2t ＝4．答：如果P 、Q 两点同时出发，那么1秒或4秒后，△PBQ 的面积等于42cm ；（2）△PBQ 的面积能不能等于72cm 理由如下：设x 秒后，△PBQ 的面积等于42cm 则()15272t t -⨯=， 整理，得t 2﹣5t ＋7＝0，则△＝25﹣28＝﹣3＜0，所以该方程无解．∴△PBQ 的面积不能等于72cm ．24．（2021·深圳市南山外国语学校（集团）九年级一模）某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？【答案】（1）甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）188元【解析】（1）设甲智能设备单价x 万元，则乙单价为（14﹣x ）万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方程求解即可；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y 元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过8%，即可得出售价．【解答】解：（1）设甲智能设备单价x 万元，则乙单价为（14﹣x ）万元， 由题意得：360x ＝480140x-， 解得：x ＝60，经检验x ＝60是方程的解，∴x ＝60，140﹣x ＝80，答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y 元，由题意得：(200100)(3505)36080y y --+=，解得：112y =，218y =，∵2008%y ≤⨯，即16y ≤，∴y ＝12，200﹣y ＝188，答：每吨燃料棒售价应为188元．。

中考数学模拟考试试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和度数分别为α和β，则正确的是（ ） A ．0αβ-= B ．0αβ-< C ．0αβ-> D ．无法比较α与β的大小3．下列说法中，正确的是（ ）A ．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B ．“太阳东升西落”是不可能事件C ．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D ．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次4．如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ∠=︒，则BAC ∠=（ ） A ．23︒B ．24︒C ．25︒D ．26︒5．不等式组43264x x x +⎧-≤⎪⎨⎪-<-⎩的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象第1题图 第2题图 第4题图大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是（ ）A ．()()8374x x -=+B ．8374x x +=-C ．3487y y -+=D ．3487y y +-= 8．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)-，其部分函数图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b -=C ．方程20ax bx c ++=的两个根为3和1-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．因式分解：229ax ay -= .10．如图，ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形．若:2:3OA AD =，则ABC 与DEF 的周长比是 ．11．如图，菱形ABCD 中，分别以点A ，C 为圆心，AD ，CB 长为半径画弧，分别交对角线AC 于点E ，F ．若2AB =，60BAD ∠=︒则图中阴影部分的面积为 ．12．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是，BC CD 上的动点，M ，N 分别是EF AF ，的中点，则MN 的最大值为 ．第6题图第8题图三、解答题（本大题共3小题，共40分）13.（8分）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（）﹣1﹣．14．（15分）如图，已知()1,0A -，()2,3B -两点在二次函数213y ax bx =+-与一次函数2y x m =-+的图象上．(1)求该一次函数和二次函数的表达式；(2)请直接写出当12y y >时，自变量x 的取值范围；(3)若二次函数的图象交y 轴于点C ，连接,AC BC ，求ABC 的面积．15．（17分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP ，BP 的连接点P 在O 上，当点P 在O 上转动时，带动点A ，B 分别在射线OM ，ON 上滑动OM ON ⊥．当AP 与O 相切时，点B 恰好落在O 上，如图2．第10题图 第11题图 第12题图请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：2PAO PBO ∠=∠；（2）若O 的半径为5，203AP = 求BP 的长． 参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ B ）A ．B ．C ．D ．2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和度数分别为α和β，则正确的是（ A ） A ．0αβ-= B ．0αβ-< C ．0αβ-> D ．无法比较α与β的大小3．下列说法中，正确的是（ A ）A ．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B ．“太阳东升西落”是不可能事件C ．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D ．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次4．如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ∠=︒，则BAC ∠=（ D ） A ．23︒B ．24︒C ．25︒D ．26︒第1题图 第2题图 第4题图5．不等式组43264x x x +⎧-≤⎪⎨⎪-<-⎩的解集在数轴上表示为（ A ）A ．B ．C ．D ．6．如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（ D ）A ．B ．C ．D ．7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是（ D ）A ．()()8374x x -=+B ．8374x x +=-C ．3487y y -+=D ．3487y y +-= 8．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)-，其部分函数图象如图所示，下列说法不正确的是（ B ）A ．0abc >B ．20a b -=C ．方程20ax bx c ++=的两个根为3和1-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）第6题图第8题图9．因式分解：229ax ay -= ()()33a x y x y +- .10．如图，ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形．若:2:3OA AD =，则ABC 与DEF 的周长比是 2:5 ． 11．如图，菱形ABCD 中，分别以点A ，C 为圆心，AD ，CB 长为半径画弧，分别交对角线AC 于点E ，F ．若2AB =，60BAD ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 233π ． 12．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是，BC CD 上的动点，M ，N 分别是EF AF ，的中点，则MN 的最大值为 2 ．三、解答题（本大题共3小题，共40分）13.（8分）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（）﹣1﹣． ＝﹣1﹣√22 +1+ √22﹣3 ...........................................................................................................................................6分＝﹣3． ..................................................................................................................................................................8分14．（15分）如图，已知()1,0A -，()2,3B -两点在二次函数213y ax bx =+-与一次函数2y x m =-+的图象上．(1)求该一次函数和二次函数的表达式；(2)请直接写出当12y y >时，自变量x 的取值范围；(3)若二次函数的图象交y 轴于点C ，连接,AC BC ，求ABC 的面积．（1）解：∵()1,0A -在一次函数2y x m =-+的图象上∵01m =+，解得：1m =-.............................................................................................................................................1分 ∵一次函数的表达式为21y x =--；................................................................................................................................2分 第10题图 第11题图 第12题图∵()1,0A -，()2,3B -两点在二次函数213y ax bx =+-的图象上∵304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩..........................................................................................................................................................4分 解得12a b =⎧⎨=-⎩.....................................................................................................................................................................6分 ∵二次函数的表达式为：2123y x x =--；....................................................................................................................7分（2）解：()1,0A - ()2,3B -由图象可得当12y y >时，自变量x 的取值范围为1x <-或2x >；............................................................................11分（3）解：∵二次函数2123y x x =--交y 轴于点C∵()0,3C -，......................................................................................................................................................................12分 又∵()2,3B -∵BC y ⊥轴2BC =...................................................................................................................................................13分∵ABC 的面积为1123322B BC y ⋅=⨯⨯=..................................................................................................................15分 15．（17分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP ，BP 的连接点P 在O 上，当点P 在O 上转动时，带动点A ，B 分别在射线OM ，ON 上滑动OM ON ⊥．当AP 与O 相切时，点B 恰好落在O 上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：2PAO PBO ∠=∠；（2）若O 的半径为5，203AP =求BP 的长 解：（1）证明：连接OP ，取y 轴正半轴与O 交点于点Q ，如下图：......................................................................1分 ,OP ON OPN PBO =∴∠=∠........................................................................................................................................2分 POQ ∠为PON △的外角2POQ OPN PBO PBO ∴∠=∠+∠=∠............................................................................................................................3分 90POQ POA POA PAO ∠+∠=∠+∠=︒......................................................................................................................4分 PAO POQ ∴∠=∠............................................................................................................................................................5分 2PAO PBO ∴∠=∠..........................................................................................................................................................6分 （2）过点Q 作PO 的垂线，交PO 与点C ，如下图：...................................................................................................7分由题意：在Rt APO 中53tan 2043OP PAO AP ∠===..........................................................................................................................................9分由（1）知：,QOC OAP APO OCQ ∠=∠∠=∠Rt APO Rt OCQ ∽......................................................................................................................................................11分 3tan ,54CQ COQ OQ CO ∴∠===....................................................................................................................................12分 4,3CO CQ ∴==............................................................................................................................................................13分 541PC PO CO ∴=-=-=............................................................................................................................................14分 221910PQ PC CQ ∴=++分 ∵NQ 是直径；∴∠BPQ=90｡.....................................................................................................................................................................16分 在Rt QPB △中，由勾股定理得：2221010310BP BQ PQ --分 即310BP =。

中考数学模拟测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是OO 的弦，AB ⟂CD ．垂足为E ．若AB =26，CD =24，则⊙OCE 的余弦值为（ ）A ．713 B ．1213 C ．712 D ．13123．下列哪种影子不是中心投影（ ）A ．月光下房屋的影子B ．晚上在房间内墙上的手影C ．都市冤虹灯形成的影子D ．皮影戏中的影子4．若点()()()1232,1,1,A y B y C y --、、都在反比例函数21k y x +=（k 为常数）的图象上123y y y 、、的大小关系为（ ） A ．123y y y << B ．231y y y << C ．213y y y << D ．312y y y <<5．如图，一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm ），则其俯视图的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．212.5cmD ．225cm6.如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB AC 上DE BC ∥，若12AD DB =，下列结论正确的是（ ） A ．12AE AC = B ．12DE BC = C ．13ADE ABC S S ∆∆= D ．13ADE ABC C C ∆∆= 7．反比例函数a y x =与二次函数2y ax ax =+在同一坐标轴中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，等边三角形ABC 的边长为10，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，使AE CF =，连接AF ，BE 相交于点P ，若4AE =，则AP AF ⋅的值是（ ）A ．16B ．25C ．36D ．40二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．计算：133tan30︒= ．10．如图，点A 在双曲线30)y x =>上，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B ，当1AC =时，ABC 的周长为 .11．如图，已知AB 是O 的直径，AB=2，C 、D 是圆周上的点，且1sin 3CDB ∠=，则BC 的长为 ．12．如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D 的仰角DEG ∠为30°，再向前走30米到达B 处，又测得教学楼顶端D 的仰角DFG ∠为60°，A 、B 、C 三点在同一水平线上，则教学楼CD 的高为 米（结果保留根号）．三、解答题（本大题共3小题，共40分）13．（10分）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE 的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A 点处测得古树顶端D 的仰角为30︒，在这棵古树的正前方C 处，测得古树顶端D 的仰角为60︒，在A 点处测得C 点的俯角为30︒，已知BC 为4米，且B 、C 、E 三点在同一条直线上．(1)求平房AB 的高度；(2)请求出古树DE 的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）第5题图 第6题图 第8题图第10题图 第11题图 第12题图14．（10分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温()y ℃是通电时间()min x 的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温()y ℃与通电时间()min x 之间的函数关系如图．(1)在水温下降的过程中，求水温()y ℃关于通电时间()min x 的函数表达式；(2)若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？15．（20分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且AD 平分⊙CAB ，过点D 作AC 的垂线，与AC 的延长线相交于点E ，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：EP 与⊙O 相切；(2)连结BD ，求证：AD ·DP ＝BD ·AP(3)若AB ＝6，AD ＝42DP 的长．参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（ B ）B ． B ．C ．D ．2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是OO 的弦，AB ⟂CD ．垂足为E ．若AB =26，CD =24，则⊙OCE 的余弦值为（ B ）B ．713 B ．1213 C ．712 D ．13123．下列哪种影子不是中心投影（ A ）A ．月光下房屋的影子B ．晚上在房间内墙上的手影C ．都市冤虹灯形成的影子D ．皮影戏中的影子4．若点()()()1232,1,1,A y B y C y --、、都在反比例函数21k y x+=（k 为常数）的图象上123y y y 、、的大小关系为（ C ） A ．123y y y << B ．231y y y << C ．213y y y << D ．312y y y <<5．如图，一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm ），则其俯视图的面积为（ A ）A ．210cmB ．220cmC ．212.5cmD ．225cm6.如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB AC 上DE BC ∥，若12AD DB =，下列结论正确的是（ D ） A ．12AE AC = B ．12DE BC = C ．13ADE ABC S S ∆∆= D ．13ADE ABC C C ∆∆= 7．反比例函数a y x =与二次函数2y ax ax =+在同一坐标轴中的图象大致是（ A ）A ．B ．C ．D ．8.如图，等边三角形ABC 的边长为10，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，使AE CF =，连接AF ，BE 相交于点P ，若4AE =，则AP AF ⋅的值是（ D ）A ．16B ．25C ．36D ．40二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．计算：133tan30︒= 1- ．10．如图，点A 在双曲线30)y x =>上，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B ，当1AC =时，ABC 的周长为 31 .第5题图 第6题图 第8题图11．如图，已知AB 是O 的直径，AB=2，C 、D 是圆周上的点，且1sin 3CDB ∠=，则BC 的长为 23 ．12．如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D 的仰角DEG ∠为30°，再向前走30米到达B 处，又测得教学楼顶端D 的仰角DFG ∠为60°，A 、B 、C 三点在同一水平线上，则教学楼CD 的高为 ()153 1.5 米（结果保留根号）． 三、解答题（本大题共3小题，共40分）13．（10分）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE 的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A 点处测得古树顶端D 的仰角为30︒，在这棵古树的正前方C 处，测得古树顶端D 的仰角为60︒，在A 点处测得C 点的俯角为30︒，已知BC 为4米，且B 、C 、E 三点在同一条直线上．(1)求平房AB 的高度；(2)请求出古树DE 的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）1）由题意知60CAB ∠=︒，BC=4 ...................................................1分 ∴43tan603BC AB ==︒.................................................................3分 （2）43AB =30ACB ∠=︒ 90ABC ∠=︒ ⊙832AC AB = ...........................................................................................................................................................5分60BAC ∠=︒ 30ACB ∠=︒ 60DCE ∠=︒∴=90ACD ∠︒ 60DAC ∠=︒ ..........................................................................................................................................6分 ∴83tan6038DC AC =⋅︒== ...................................................................................................................................8分 在Rt CDE △中3sin60843DE CD =⋅︒==........................................................................................................10分 14．（10分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温()y ℃是通电时间()min x 的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温()y ℃与通电时间()min x 之间的函数关系如图．第10题图 第11题图 第12题图(1)在水温下降的过程中，求水温()y ℃关于通电时间()min x 的函数表达式；{}(2)若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？ 1）解：设水温下降过程中，y 与x 的函数关系式为k y x=(k ≠0)，...........................................1分 由题意得，点(4,100)在反比例函数k y x =的图象上 ∴4100k =..............................................................................................................................2分 解得：400k =∴水温下降过程中，y 与x 的函数关系式是400y x=；.....................................................3分 解：设在加热过程中，y 与x 的函数关系式为y=kx+b(k ≠0).......................................................................4分 把（0,20），（4,100）带入y=kx+b(k ≠0)得20=b, 100=4k+b.....................................................................................................................................................5分 解得：k=20,b=20..................................................................................................................................................6分 ∴y=20x+20当y=40时1x =.............................................................................................................................................7分在降温过程中，水温为40℃时40040x=..................................................................................................8分 解得：10x =...................................................................................................................................................9分1019-=........................................................................................................................................................10分∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min ．15．（20分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且AD 平分⊙CAB ，过点D 作AC 的垂线，与AC 的延长线相交于点E ，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：EP 与⊙O 相切；(2)连结BD ，求证：AD ·DP ＝BD ·AP(3)若AB ＝6，AD ＝42DP 的长．（1）证明：如图所示，连接OD ，.........................................................1分∵AD 平分∠CAB∴∠OAD ＝∠EAD ．..........................................................................................................................................................2分 ∵OD ＝OA∴∠ODA ＝∠OAD ．...........................................................................................................................................................3分 ∴∠ODA ＝∠EAD ．∴OD ∥AE ．........................................................................................................................................................................4分 ∵AE PE ⊥∴OD PE ⊥∵D 在⊙O 上∴EP 与⊙O 相切．..........................................................................................................................................................5分 （2）证明：OD PE ⊥∵∴90ODB BDP ∠+∠=︒.............................................................................................................................................6分 ∵AB 是⊙O 的直径⊙90ADB ∠=︒............................................................................................................................................................7分 即90ODB ODA ∠+∠=︒∴=ODA BDP ∠∠......................................................................................................................................................8分 ∵OD ＝OA∴∠ODA ＝∠OAD ．⊙=OAD BDP ∠∠.....................................................................................................................................................9分 又∵APD DPB ∠=∠∴APD DPB ∆∆∽.....................................................................................................................................................10分 ∴AD AP BD DP=............................................................................................................................................................11分 ∴AD ·DP ＝BD ·AP ...................................................................................................................................................12分 解：作DG ⊥AB 于G∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB ＝90°∵AB ＝6，AD ＝2∴BD 22-AB AD 2 132OD AB ==.................................................................................................................15分 ∵12AB •DG ＝12AD •BD∴DG 423分 ∵AD 平分∠CAB ，AE ⊥DE ，DG ⊥AB∴DE ＝DG 423∴AE 22AD DE -163............................................................................................................................................17分 ∵OD ∥AE∴△ODP ∽△AEP .........................................................................................................................................................18分 ∴DP EP ＝OD AE ，即DP DE DP OD AE += ∴4213363DPDP =........................................................................................................................................................19分 ∴2721DP =分。