高中数学人教a版选修4-1学案：第2讲 5 与圆有关的比例线段 含解析

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五与圆有关的比例线段
温故知新
新知预习
1.圆内的两条相交弦,被交点分成的两条相等.
2.从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的相等.
3.在经过圆外一点的切线上,这点到切点之间的线段长叫做这点到圆的.
4.从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的.
5.从圆外一点引圆的两条切线,它们的相等,圆心和这一点的连线两条切线的夹角.
知识回顾
1.圆周角定理及其推论.
2.相似三角形的判定和性质.
3.切线的性质定理.
性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
4.弦切角定理.
定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
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五与圆有关的比例线段
1．会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．(重点)
2．能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1相交弦定理
阅读教材P34～P35“定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-1，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.
图2-5-1
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为__________．
【解析】 根据相交弦定理，AM ·BM ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CD 22， 所以CD 2＝6，CD ＝12.
【答案】 12
教材整理2 割线定理
阅读教材P 35～P 36“割线定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-2，⊙O 的割线P AB 与PCD ，则有P A ·PB ＝PC ·PD .
图2-5-2
如图2-5-3，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝__________.
图2-5-3
【解析】 由割线定理知，
AB ·AC ＝AD ·AE ，
即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5.
【答案】 5
教材整理3 切割线定理
阅读教材P 36“切割线定理”及以上部分，完成下列问题．。

庖丁巧解牛知识·巧学一、相交弦定理.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等..定理的证明：如图，已知⊙的两条弦、相交于圆内的一点.图求证：··.证明：连结、，则由圆周角定理有∠∠，又∵∠∠，∴△∽△.∴∶∶，即··.当然，连结、也能利用同样道理，证得同样结论..由于在问题的证明中，⊙的弦、是任意的，因此，··成立，表明“过圆内一定点的弦，被点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值.图如图（），考察动弦，若过⊙的圆心，则为过点的最长的弦，设⊙的半径为，则·（）（）. 如图（），考察过点的弦中最短的弦，为过⊙内一点的直径，为过点且垂直于的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理，应有··().由于⊙是定圆，为⊙内一定点，故⊙的半径与的长为定值.设，比较上述两式，其结论是一致的，即·()（），为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点的位置有关，对圆内不同的点，一般来说，定值是不同的，即这个定值是相对于定点与定圆而言的.知识拓展由第二式可直接得到相交弦定理的推论:“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.”即·.二、割线定理与切割线定理.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等..切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项..符号语言表述：如图，··.图.定理的证明：连结、，由于为切线，所以∠∠.又因为∠∠，于是△∽△，因此有∶∶，即·.同理，有·，所以··.记忆要诀应用定理应注意的两点：（）所有线段，都有一个公共端点，而另一端点在圆上；（）等积式左右两边的线段，分别在同一条割线上.误区警示使用这部分定理推论时，常常容易出现错误，因此需要结合图形，来准确表述相交弦定量、切割线定理及其推论的题设和结论.如图（１），弦ＡＢ和ＣＤ交于⊙Ｏ内一点Ｐ，则有ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＤ；如图（２），ＣＤ为⊙Ｏ的弦，ＡＢ为直径，且ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ，则有ＰＣＰＡ·ＰＢ.常见错误是将线段关系写为ＤＰ·ＤＣＢＰ·ＢＡ，ＰＣＰＯ·ＰＢ.()()图如图（），点Ｐ是⊙Ｏ外一点，ＰＴ为切线，Ｔ为切点，ＰＡ为割线，点Ａ、Ｂ是它与⊙Ｏ的交点，则有ＰＴＰＡ·ＰＢ，常见错误是把线段关系写成ＰＴＰＡ·ＡＢ.如图（），ＰＡＢ为⊙Ｏ的割线，ＰＣＤ为⊙Ｏ的另一条割线，则ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＤ.常见错误是把线段关系写成ＰＡ·ＡＢＰ·ＣＤ.如图()，把切割线定理的推论写成ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＯ.() () ()图三、切线长定理.我们知道，过圆外一点可以引两条直线与圆相切，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一条线段的长，而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线，而切线长是切线上一条线段的长，属于切线的一部分. .切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角..如图，、是⊙外一点向圆作的两条切线，切点分别为和，那么连结、、，因为、与⊙相切于、两点，则有⊥，⊥，于是∠、∠都是直角.又，，所以△≌△.所以，∠∠.。

教材习题点拨探究1解：连接AD，BC，则由圆周角定理的推论可得∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB。

∴错误!＝错误!。

∴P A·PB＝PC·PD。

探究2解：结论P A·PB＝PC·PD仍然成立（证明同上)．探究3解:如果CD与AB不垂直,如图所示，CD，AB是圆内的任意两条相交弦，结论（1)仍然成立．证明:连接AD，BC.∵∠A＝∠C，∠D＝∠B,∴△APD∽△CPB.∴错误!＝错误!。

∴P A·PB＝PC·PD。

探究4解：当点P在圆上时，在图1中，P A＝PC＝0,所以P A·PB＝PC·PD仍成立．当点P在圆外时，在图2中，连接AD，BC,容易证明△P AD∽PCB，所以错误!＝错误!,即P A·PB＝PC·PD.图1图2探究5解：使割线PB绕P点运动到切线的位置(如图所示）,连接AC，AD，则∠P AC＝∠PDA.又因为∠P＝∠P，所以△P AC∽△PDA，所以P APD＝错误!,即P A2＝PC·PD。

因为A,B两点重合,所以P A·PB＝PC·PD仍然成立．探究6解：使割线PD绕P点运动到切线位置时，点C与点D重合，又因为点A与点B重合，所以(1）式P A·PB＝PC·PD 变为P A2＝PC2，所以P A＝PC。

思考：解：由切割线定理能证明切线长定理．证明如下：如图,由P向圆任作一条割线PMN，由切割线定理得P A2＝PM·PN,PC2＝PM·PN.∴P A2＝PC2。

∴P A＝PC.切线长定理的空间推广：从球外一点引球的无数条切线,它们的切线长都相等．习题2。

51．解：如图，设圆的两条弦AB与CD相交于点P，P A＝12，PB＝18，PD∶PC＝3∶8。

设PD＝3x，则PC＝8x。

由相交弦定理得P A·PB＝PC·PD，∴12×18＝3x·8x，即x2＝9。

课后导练基础达标1.圆内两条弦AB和CD交于P点,AB=8,AB把CD分成3和4两部分,那么AP等于( ）A。

2 B。

6 C.2或6 D.3或5解析:设AP=x,则BP=8—x，由相交弦定理得x(8-x）=3×4.∴x=2或6。

答案：C2.如图2-5-7，AD为⊙O直径，BC切⊙O于E点，AB⊥BC,DC⊥BC,AB=4，DC=1，则AD等于（）图2-5—7A.23B.4C.5 D。

33解析:连结DF、OE,∵AD是直径,∴∠AFD=90°.又AB⊥BC,DC⊥BC，∴四边形BCDF是矩形.∴BF=DC。

由切割线定理得BE2=BF·BA=1×4=4,BE=2.∵OE⊥BC,DC⊥BC，AB⊥BC,∴CD∥OE∥AB.O为AD中点，∴E 为BC 中点。

∴BC=4.∴DF=4.在Rt△ADF 中,AD=22DF AF +=5.答案：C3。

如图2-5—8，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5，AB=7，CD=11，则AC∶BD 等于( ）图2—5-8A 。

1∶3 B.5∶12 C.5∶7D 。

5∶11解析：由割线定理得PA·PB=PC·PD，∴5×（5+7）=PC （PC+11）。

∴PC=4或PC=-15(舍去）.又∵PA·PB=PC·PD，PB PC PD PA =,∠P=∠P, ∴△PAC∽△PDB。

∴31155===PD PA BD AC 。

答案:A4.如图2-5-9，AB 、CD 是⊙O 的两条平行切线,B 、D 为切点，AC 为⊙O 的切线,切点为E 点，若AB=4,CD=9,则⊙O 的半径为（ ）图2-5-9A。

9 B。

8 C.6 D.5解析：连结OB,并作BO的延长线，过A作AF⊥CD，F为垂足.∵AB切⊙O于B,∴OB⊥AB.∵AB∥CD,∴BO⊥CD。

∴BO经过D点。

∴BD为⊙O直径.又∵AF⊥CD,∴四边形ABDF是矩形.在Rt△ACF中,AF=22CFAC-。

一、选择题1．如图所示，PC 切⊙O 于A ，PO 的延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于 B ，若AC ∶CP ＝1∶2，则PO ∶OB 等于( )．A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶4解析 连接OA ，则OA ⊥PC ，∴△P AO ∽△PBC ，∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PC BC ，又∵OA ＝OB ，AC ∶CP ＝1∶2，设AC ＝x ，则CP ＝2x ，∴CA ＝x ＝BC ，∴PO OA ＝2x x ＝2，∴PO ∶OB ＝2∶1.答案 A2．如图所示，P A 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，连接OP 交AB 于C ，连接OA 、OB ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为 ( )．A ．1,2B ．2,2C ．2,6D ．1,6解析 ∵P A 、PB 为⊙O 切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，P A ＝PB ，OP 平分∠APB ，∴OP ⊥AB .∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．即直角三角形有：△OAP ，△OBP ，△OCA ，△OCB ，△ACP ，△CBP ；等腰三角形有：△OAB ，△ABP .答案 C3．设圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm ，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是( )．A ．2 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析 由相交弦推论即可得．设另一条弦被分成x cm ，4x cm.则⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝x ·4x ，所以x ＝2 cm. 所以弦长为10 cm.答案 C4．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM ＝1.5，BM ＝4，则OC 等于( )．A ．2 6 B. 6 C ．2 3 D ．2 2解析 延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.答案 D二、填空题5．如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．解析 由相交弦定理知EA ·EB ＝EC ·ED . (*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3，∴(*)式可化为22＝EC (CE ＋3)＝CE 2＋3CE ，∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5.答案 56．如图所示，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)解析如题图所示，由于P A、PB均为⊙O切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB.又由切线长定理知P A＝PB，OP为∠APB的角平分线，∴AB⊥OP，故应填P A⊥OA或PB ⊥OB或AB⊥OP.答案AB OP7．如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．解析∵CE为⊙O切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案 38．(2012·湖南高考)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析设半径为R，由相交弦定理得(PO－R)(PO＋R)＝P A·PB，(3－R)·(3＋R)＝1×3,9－R2＝3，R2＝6，R＝ 6.答案 6三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 和⊙O 分别相切于点L 、M 、N 、P .求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC证明 因为AB 、BC 、CD 、DA 都与⊙O 相切，L 、M 、N 、P 为切点，所以AL ＝AP ，LB ＝MB ，DN ＝DP ，NC ＝MC .所以AB ＋CD ＝AL ＋LB ＋DN ＋NC ＝AP ＋MB ＋DP ＋MC ＝AD ＋BC .即AB ＋CD ＝AD ＋BC .10．如图，已知在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，过点P 作半径OA 的垂线，垂足是点E .分别交⊙O 于C 、D 两点.求证：PC ·PD ＝AE ·AO .证明 连接OP ，∵P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，AP ＝PB .∵PE ⊥OA ，∴AP 2＝AE ·AO .∵PD ·PC ＝P A ·PB ＝AP 2，∴PD ·PC ＝AE ·AO .11．(拓展深化)如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB于点P ，CD ＝10 cm ，AP ∶PB ＝1∶5，求⊙O 的半径．解 法一 连接OC ，设AP ＝k cm ，PB ＝5k (k >0) cm ，因为AB 为⊙O 直径，所以半径OC ＝12AB ＝12(AP ＋PB )＝12(k ＋5k )＝3k ，且OP ＝OA －P A ＝3k －k ＝2k .因为AB 垂直CD 于P ，所以CP ＝12CD ＝5 cm.在Rt △COP 中，由勾股定理，得OC 2＝PC 2＋PO 2， 所以(3k )2＝52＋(2k )2， 即5k 2＝25，所以k ＝5．所以半径OC ＝3k ＝3 5 (cm)． 法二 设AP ＝k ，PB ＝5k ， 由相交弦定理：CP ·PD ＝AP ·PB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝k ·5k . ∴k ＝5，∴AB 2＝AP ＋PB 2＝35， 即⊙O 的半径为3 5 cm.。

五与圆有关的比例线段-人教A版选修4-1 几何证明选讲教案前置知识在学习本节内容之前，需要掌握以下几个基础知识：•圆的概念、性质和相关定理•三角形的概念、性质和相关定理•线段的概念和相关性质教学目标•了解圆的切线、弦、割等概念及其相关定理；•掌握比例线段的相关知识；•运用比例线段的相关知识解决几何问题。

教学重点与难点•教学重点：比例线段的相关知识；•教学难点：运用比例线段的相关知识解决复杂几何问题。

教学过程第一步：引入新知识教师首先带领学生思考一个问题：在圆的内部，连接圆心和任意一点得到的线段与圆上的切线和弦有何相同点和不同点？通过学生的思考和讨论，教师进一步引入圆的切线、弦、割等概念，并讲解其相关定理。

第二步：比例线段的讲解和例题解析教师向学生介绍比例线段的概念和性质，包括同基异侧的两条平行线段所对应的线段比相等、圆上任意两点与圆心连线所组成的三角形，其斜边中点与周长中点重合等内容。

同时，根据P90页22题进行现场例题解析，让学生了解如何运用比例线段的相关知识解决几何问题。

第三步：练习题目1.圆外一点P到圆的两个切点A、B的线段比为3:4，证明AP、BP为圆的割线，并求证AP×PB等于以P为圆心、PB为半径的圆的面积。

2.如图，AB为圆O的直径，P为BC的中点，E为AC的中点，BE与DP交于F，证明AF=FD。

3.如图，圆O的圆心为P，直径AB、CD相交于点E。

连接A、C、B、D，以H为AC和BD的交点，证明PH⊥HE。

第四步：课程小结通过本节课的学习，学生们掌握了比例线段的相关知识，并能够运用它们解决几何问题。

同时，对于圆的切线、弦、割等概念和相关定理，学生也有更深入的了解。

五与圆有关的比例线段
．会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．(重点)
．能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理相交弦定理
阅读教材～“定理”及以上部分，完成下列问题．
．文字语言
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
．图形语言
如图--，弦与相交于点，则·＝·.
图--
是⊙的直径，弦⊥，垂足为，＝，＝，则弦的长为．
【解析】根据相交弦定理，·＝，
所以＝，＝.
【答案】
教材整理割线定理
阅读教材～“割线定理”及以上部分，完成下列问题．
．文字语言
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
．图形语言
如图--，⊙的割线与，则有·＝·.
图--
如图--，⊙的弦，的延长线交于点.若⊥，＝，＝，＝，则＝.
图--
【解析】由割线定理知，
·＝·，
即×＝×(＋)，解得＝.
【答案】
教材整理切割线定理
阅读教材“切割线定理”及以上部分，完成下列问题．
．文字语言
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
．图形语言
如图--，⊙的切线，切点为，割线，则有＝·.。

和圆有关的比例线段—教学设计示例教学目标： 知识：初步会运用相交弦定理及其推论进行有关的简单证明和计算； 能力：能作出两条已知线段的比例中项； 情感：通过发现问题、解决问题的过程，提升发现问题、解决问题的能力和对探索精神的认识。

教学重点：正确理解相交弦定理及其推论。

教学难点：在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理。

教学过程： 设置学习情境图形变换：（利用电脑使AB 与CD 弦变动）引导学生观察图形，发现规律：∠A ＝∠D ，∠C ＝∠B ．进一步得出：△APC ∽△DPB ，DB ACPB PC PD PA ==，如果将图形做些变换，去掉AC 和BD ，图中线段 PA ，PB ，PC ，PO 之间的关系会发生变化吗?为什么?组织学生观察，并回答． 证明：已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P．求证：PA·PB＝PC·PD．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么 PA·PB＝PC·PD．从一般到特殊，发现结论：对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P。

提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?指出：PC2＝PA·PB．请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确．教师纠正，并板书．推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB。

若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB例题：已知：线段a，b．求作：线段c，使c2＝ab．分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段。

五与圆有关的比例线段1．掌握相交弦定理及其应用．2．掌握割线定理、切割线定理及其应用．3．掌握切线长定理及其应用．1证明线段成比例由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．该推论又称为垂径定理．【做一做1】如图，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE 等于( )A．1 B．2C．3 D．42证明线段成比例【做一做2】如图，P是⊙O外一点，PC＝4，PD＝2，则PA·PB等于( )A．2 B．4C．8 D．不确定3证明线段成比例相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论)统称为圆幂定理．可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线)．两条线段的长的积是常数PA·PB＝|R2－d2|，其中d为定点P到圆心O的距离．若P在圆内，d＜R，则该常数为R2－d2；若P在圆上，d＝R，则该常数为0；若P在圆外，d＞R，则该常数为d2－R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点．【做一做3】如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，则PA等于( )A．4 B．6 C．9 D．364【做一做4】如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P＝80°，则∠C ＝__________.答案：1．积PC·PD【做一做1】B ∵AE·EB＝DE·EC，∴2EB＝4×1.∴EB＝2.2．积PC·PD【做一做2】C ∵PA·PB＝PC·PD，∴PA·PB＝4×2＝8.3．比例中项PB·PC【做一做3】B ∵PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.4．相等平分PB∠OPB【做一做4】50°∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.又∠P＝80°，∴∠PAB＝∠PBA＝50°.∴∠ACB＝∠PAB＝50°.1．与圆有关的比例线段问题剖析：与圆有关的比例线段问题，主要是圆与相似形的综合，其解法大致可分以下几种：(1)直接由相似形得到，即先由已知条件证得两个三角形相似，从而直接得到有关对应线段成比例．这是简单型的比例线段问题．(2)利用“等线段”代换得到，在证明“等积式”形如a2＝bc时，如果其中有三条线段共线，那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换．(3)利用“中间积”代换得到，在证明“等积式”形如a2＝bc时，如果其中有三条线段共线，不妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试．(4)利用“中间比”代换得到，在证明比例线段(不论共线与否)，如果不能直接运用有关定理，不妨就寻找“中间比”进行代换试试．与圆有关的比例线段证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效．2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析：如图，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3)若AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；(5)AC＝BC，AD＝DB，PD⊥AB；(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BP D．题型一相交弦定理的应用【例题1】如图，过⊙O内一点A作直线，交⊙O于B，C两点，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径r＝__________.反思：相交弦定理的结论是线段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段，又可以建立方程来解决问题，如本题中，利用相交弦定理列出关于r的方程．题型二割线定理的应用【例题2】如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A点和B点，PA＝6 cm，AB＝8 cm，PO ＝10.9 cm，求⊙O的半径．分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延长交⊙O于D，构成圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用割线定理解题即可．反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线，那么常用到割线定理．本题中，利用割线定理列出了关于半径r的方程，进而求出了r的值．题型三切割线定理的应用【例题3】如图，AB切⊙O于B，ACD为割线，E为CD的中点，BE交DC于F，求证：AF2＝AC·A D．分析：由切割线定理可知AC ·AD ＝AB 2，故只需证AF ＝AB 即可．反思：如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线，那么常用到切割线定理． 题型四 切线长定理的应用【例题4】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A ，B 两点的切线分别交于点E ，F ，AF 与BE 交于点P .求证：∠EPC ＝∠EBF .分析：由切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EPPB→CP ∥FB →结论 反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的切线，那么常用到切线长定理．要注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明．答案：【例题1】241 如图所示，作直线OA 交⊙O 于E ，F 两点，则AE ＝r －10，AF ＝r ＋10.由相交弦定理，得(r －10)(r ＋10)＝64，解得r 1＝241，r 2＝－241(不合题意，舍去)． 故r ＝241.【例题2】解：如图，将PO 延长交⊙O 于D .根据割线定理，可得PA ·PB ＝PC ·PD . 设⊙O 的半径为r cm ，则6×(6+8)＝(10.9－r )(10.9+r )，解得r ＝5.9，即⊙O 的半径为5.9 cm. 【例题3】证明：如图，连接BC ，BD ，∵E 为CD 的中点， ∴∠DBE ＝∠CBE . 又AB 是⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝∠CDB .∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CDB ， ∴∠ABF ＝∠AFB .∴AB ＝AF .又AB 是⊙O 的切线，ACD 为割线，由切割线定理，可知AC ·AD ＝AB 2，∴A F 2＝AC ·AD .【例题4】证明：∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB . ∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EPBP.∴EC FC ＝EP PB，∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .1圆内两弦相交，其中一条弦长为8 cm ，且被交点平分，另一条被交点分为1∶4的两部分，则这条弦长为( )A ．2 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．16 cm 2(2011·北京海淀一模)如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点．若∠BAC ＝70°，则∠CBE ＝__________；若BE ＝2，CE ＝4，则CD ＝__________.3如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于点B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝__________.4(2011·北京西城一模)如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA ＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为__________．5如图，已知P 为⊙O 外一点，OP 与⊙O 交于点A ，割线PBC 与⊙O 交于点B ，C ，且PB ＝B C ．如果OA ＝7，PA ＝2，求PC 的长．答案：1．C 设所求弦长为5k cm ，则由相交弦定理得42＝k ×4k ， 则k ＝2(－2舍去)，故所求弦长为5k ＝5×2＝10(cm)． 2．70° 3 由于BE 是⊙O 的切线，则∠CBE ＝∠BAC ＝70°.由切割线定理，知EB 2＝ED ·EC . 又BE ＝2，CE ＝4，则ED ＝EB 2EC＝1.所以CD ＝CE －ED ＝3.3．80° 如图所示，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝180°－∠ACB －∠ACE ＝50°. 又PB ＝PC ，∴∠PBC ＝50°.在△PBC 中，∠P ＝180°－50°－50°＝80°. 4．2 如图所示，取BC 的中点D ，连接OD 和OB ，则OD ⊥BC .已知OD ＝3，则BC ＝2BD＝2OB 2－OD 2＝2OB 2－3. 由于PA 是圆O 的切线，所以PA 2＝PB ·PC . 又PA ＝22，PC ＝4，所以PB ＝PA 2PC＝2.则BC ＝PC －PB ＝2.所以2OB 2－3＝2，解得OB ＝2，即圆O 的半径为2. 5．解：如图，延长PO 交⊙O 于E ， 则PA ·PE ＝PB ·PC .设PC ＝x ，又∵PB ＝BC ，∴PB ＝12x .又PE ＝PA ＋AE ＝PA ＋2AO ＝16，∴2×16＝12x ·x ，解得x ＝±8.又∵x ＞0，∴x ＝8.∴PC ＝8.。

人教版高中选修4-1五与圆有关的比例线段课程设计1. 课程背景《人教版高中数学课程标准》要求高中数学教学要让学生掌握数学的基本概念、基本方法和基本结论，掌握用数学知识解决实际问题的能力。

本课程是高中数学选修4-1的重要内容，主要涉及五与圆有关的比例线段的求法及其应用，是理科生进入大学数学专业和从事相关工作的重要基础。

2. 教学目标2.1 知识目标1.理解「五与圆有关的比例线段」的概念；2.掌握「五与圆有关的比例线段」的求法；3.掌握「五与圆有关的比例线段」的运用，能够解决实际问题；4.感受「五与圆有关的比例线段」在数学建模中的重要性。

2.2 能力目标1.培养学生的数学分析能力，能够理解、分析和解决带参数的比例线段；2.培养学生的数学建模能力，能够将生活、工作中的问题抽象为数学问题，并解决；3.培养学生的数学创新能力，能够开展课题研究，探索更深入的数学知识。

2.3 情感目标1.提高学生的数学兴趣和学习热情；2.倡导学生玩转数学、善于思考、勇于创新的良好习惯；3.培养学生的团队合作能力，共同完成课程设计任务。

3. 教学内容与重点3.1 教学内容1.五与圆有关的比例线段的概念；2.五与圆有关的比例线段的求法；3.五与圆有关的比例线段在实际问题中的应用。

3.2 教学重点1.五与圆有关的比例线段的求法；2.五与圆有关的比例线段在实际问题中的应用。

4. 教学方法1.几何图形演示法；2.讲解型教学法；3.讨论型教学法；4.实验型教学法；5.课题研究法。

5. 教学过程5.1 第一节课5.1.1 教学目标1.理解「五与圆有关的比例线段」的概念；2.掌握「五与圆有关的比例线段」的求法。

5.1.2 教学内容1.五与圆有关的比例线段的概念；2.五与圆有关的比例线段的求法。

5.1.3 教学方法1.几何图形演示法；2.讲解型教学法；3.讨论型教学法。

5.1.4 教学流程1.引入「五与圆有关的比例线段」的概念；2.讲解如何求解「五与圆有关的比例线段」；3.讨论各种情况的求解方法。

《与圆有关的比例线段》
作用，本节课背景是在学生初中已经了解了定理，本节重点在于对定理的推导、证明，并解
决等量关系的证明。

【知识与能力目标】
1、
理解相交弦定理 、割线定理、及其证明；
2、 会应用定理解决相关的几何问题；
【过程与方法目标】
3、体会数学中的运动变化思想方法。

【情感态度价值观目标】
4、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

【教学重点】
理解切割线定理、切线长定理及其证明。

【教学难点】
会应用定理解决相关的几何问题。

多媒体课件
二、知识探究
如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB. AB 与CD 相交于P ，线段PA 、PB 、PC 、PD 之间有什么关系？
连接AD 、BC
问题：根据已知条件证明△ADP ∽△CPB
预设：∵∠APD=∠CPB=90°
又∵∠DAB=∠DCB
∴△ADP ∽△CPB
问题：根据△ADP ∽△CPB 能得出什么结论？ ··A B C D O P ·
·A B
C
D O P。

课堂导学三点剖析一、用圆幂定理证明ab=cd+ef 型线段关系式 【例1】 如图2-6-1,已知⊙O 1与⊙O 2内切于点P,⊙O 2的弦AB 切⊙O 1于点C,连结PA 、PB,PC 的延长线交⊙O 2于点D. 求证:PC 2=PA·PB-AC·BC.图2-6-1思路分析:要证结论,考虑将左边化成右边形式,将PC 变为PD-CD,则左边=PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC=右边,只需分别证明PC·PD=PA·PB 和PC·CD=AC·BC 即可. 证明：连结BD,过P 作两圆的公切线PM, ∵AB 是⊙O 1的切线,∴∠ACP=∠MPC=∠DBP.又∵∠A=∠D,∴△APC ∽△DPB. ∴PBPCPD PA =.∴PD·PC=PA·PB. 由相交弦定理,得PD·CD=AC·CB. ∴PD·PC-PC·CD=PA·PB-AC·BC, PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC. ∴PC 2=PA·PB-AC·BC.二、用圆幂定理证明d cba =22型线段关系式【例2】 如图2-6-3,已知:△ABC 内接于⊙O,过A 的切线交BC 的延长线于P,若D 为AB 的中点,PD 交AC 于E,求证:22PC PA =ECAE.图2-6-3思路分析:∵PA 2=PC·PB,∴22PCPA =PC PBPC PB PC =∙2,则只需证PC PB =EC AE . 证明：过C 作CF ∥AB 交PD 于F, ∴PC PB =CF BD , EC AE =CF AD .∵BD=AD,∴PC PB =ECAE. 由切割线定理,得PA 2=PC·PB,∴22PC PA =2PC PB PC ∙=PC PB .∴22PCPA =EC AE . 温馨提示(1)在两条线段平方比中的一条线段是切线时,常采用此法——降幂法.所谓降幂法,就是欲证d c b a =22,先证a 2=be,则b e bbe b a ==222,再证d c b e =即可. (2)一条线段的平方常由切割线定理得到,有时还可由射影定理、相似三角形的性质得到.三、用运动变化思想探究问题的结论【例3】 如图2-6-5,已知AB 是⊙O 的直径,AB 垂直于弦CD,垂足为M,弦AE 与CD 交于F,写出图中有关线段的关系式.图2-6-5解析：由相交弦定理 AF·FE=CF·DF,① CM·MD=AM·BM.② ∵CM=MD,③ ∴CM 2=AM·BM 或DM 2=AM·BM.④ 连结BD,则∠ADB=90°. 由射影定理AD 2=AM·AB.⑤ 连结DE,∵=,∴∠ADF=∠AED. ∵∠DAF=∠EAD, ∴△ADF ∽△AED. ∴AE AD =ADAF. ∴AD 2=AE·AF.⑥ 由⑤⑥得AM·AB=AE·AF.⑦ 各个击破 类题演练1如图2-6-2,⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B 两点,过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C,直线CB 交⊙O 2于D,直线DA 交⊙O 1于E. 求证:(1)CE=CA; (2)CE 2+DA·DE=CD 2.图2-6-2证明:(1)连结AB,∵∠3=∠2,∠2=∠E, ∴∠3=∠E.∵∠3=∠1,∴∠1=∠E. ∴CE=CA.(2)由切割线定理,得CA 2=CD·CB, ∴CE 2=CD·CB. 由割线定理,得DA·DE=CD·DB, ∴CE 2+DA·DE=CD·CB+CD·DB=CD(CB+DB)=CD 2. 类题演练2如图2-6-4,已知⊙O 为△ABC 的外接圆,AD 为⊙O 切线,交BC 延长线于D 点,求证:BDCDAB AC =22.图2-6-4解析:等式左侧不易降幂,设法对右侧升幂,BD CD =2BD BD CD ∙=22BD DA ,故22AB AC =22BD DA ,只需证BDDAAB AC =即可. 证法一:∵AC 是弦,AD 为切线,∴∠CAD=∠ABC.∴△ABD ∽△CAD. ∴DBDAAB AC =. 又由切割线定理,得DA 2=DC·BD,∴22AB AC =222BDBD CD DB DA ∙==BD CD. ∴BDCDAB AC =22. 证法二:∵△ABD ∽△CAD,∴ABD CAD S S ∆∆=22AB AC . 又△CAD 与△ABD 同高,∴ABDCAD S S ∆∆=BD CD.∴BD CDABAC 22. 类题演练3若将弦CD 向下平移至与⊙O 相切于B 点时，如图2-6-6，结论⑥是否仍然成立?若不成立，请探求AE·AF 等于哪两条线段的积，并证明.图2-6-6解析:连结EG 、BG ,∵AB 是直径, ∴∠AGB=90°.∴∠BAG+∠ABG=90°. 由BD 是切线,得AB ⊥BD. ∴∠D+∠BAD=90°. ∴∠ABG=∠D.又,∴∠AEG=∠ABG . ∴∠AEG=∠D.∴E 、F 、D 、G 四点共圆. 由割线定理,得AE·AF=AG·AD.⑧ 故AE·AF 不等于AD 2.结论⑥已不再成立. 变式提升3当CD 继续向下平移至与⊙O 相离时,结论⑧是否仍然成立?图2-6-7解析:连结EG 、BG .仍然有∠AEG=∠ABG=∠D. ∴E 、F 、D 、G 四点共圆.∴AE·AF=AG·AD. ∴结论⑧仍然成立.。

2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲五与圆有关的比例线段-含答案与圆有关的比例线段[对应学生用书P31]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线P AB与PCD，则有：P A·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线P A，切点为A，割线PBC，则有P A2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O的切线P A，PB，则P A＝PB，∠OP A＝∠OPB.[对应学生用书P32][例1]如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O 于C、D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△P AO中再使用射影定理即可．[证明]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝P A·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.答案：B2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，OM ＝ON ，P 是⊙O 上的点，PM 、PN 的延长线分别交⊙O 于Q 、R .求证：PM ·MQ ＝PN ·NR .证明：⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫OM ＝ON OA ＝OB ⇒⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BNBM ＝ANPM ·MQ ＝AM ·MB PN ·NR ＝BN ·AN⇒PM ·MQ ＝PN ·NR .[例2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC ＝AB .证明：(1)AD ·AE ＝AC 2； (2)FG ∥AC .[思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC ∽△ACE .[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线， ADE 是⊙O 的割线，∴由切割线定理得AD ·AE ＝AB 2. 又AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2. (2)由(1)得AD AC ＝ACAE，又∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE .∴∠ADC ＝∠ACE .又∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE . ∴FG ∥AC .(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．3．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：∵PD ∶DB ＝9∶16，不妨设PD ＝9a ，DB ＝16a (a >0)，∴PB ＝25a . 由切割线定理知P A 2＝PD ·PB ， 即9＝9a ×25a ，∴a ＝15.∴PD ＝95.在直角三角形P AB 中，P A ＝3，PB ＝5，可知AB ＝4. 答案：9544.如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2.求：(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .解：(1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x .根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )， 解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ，由(1)可知，CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22，AC ＝14， ∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147，∴r ＝12(AC －CD )＝12⎝⎛⎭⎫14－2147＝51414.[例3] 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A 、B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P .求证：∠EPC ＝∠EBF . [思路点拨]切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EPPB→CP ∥FB →结论[证明] ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB .∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EP BP .∴EC FC ＝EPPB .∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．5．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：如图，连接OO ′，O ′A . ∵OA 为⊙O ′的切线， ∴∠OAO ′＝90°.又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A .∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12.∴∠AOO ′＝30°.又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 答案：B6.已知：如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 分别相切于L ，M ，N ，P .求证：AD ＋BC ＝AB ＋CD . 证明：由圆的切线长定理得CM ＝CN ，BL ＝BM ，AP ＝AL ，DP ＝DN ， ∵AB ＝AL ＋LB ，BC ＝BM ＋MC ， CD ＝CN ＋ND ，AD ＝AP ＋PD ， ∴AD ＋BC ＝(AP ＋PD )＋(BM ＋MC ) ＝(AL ＋ND )＋(BL ＋CN ) ＝(AL ＋BL )＋(ND ＋CN ) ＝AB ＋CD ，即AD ＋BC ＝AB ＋CD .[对应学生用书P33]一、选择题1．自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm ，圆的半径为4 cm ，则过此点所引的切线长为( )A ．16 cmB ．4 3 cmC ．4 2 cmD ．以上答案都不对解析：设切线长为x cm ，由切割线定理得x 2＝(12－2×4)×12，故x ＝4 3. 答案：B2．点C 在⊙O 的弦AB 上，P 为⊙O 上一点，且OC ⊥CP ，则( ) A ．OC 2＝CA ·CB B ．OC 2＝P A ·PB C ．PC 2＝P A ·PBD ．PC 2＝CA ·CB解析：根据OC ⊥CP ，可知C 为过PC 点弦的中点，再由相交弦定理即有PC 2＝CA ·CB . 答案：D3．如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2D ．CE ·EB ＝CD 2解析：在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB .答案：A4.已知PT 切⊙O 于点T ，TC 是⊙O 的直径，割线PBA 交TC 于点D ，交⊙O 于B 、A (B 在PD 上)，DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，则PB 等于( )A ．20B ．10C ．5D ．8 5解析：∵DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2， ∴由相交弦定理得DB ·DA ＝DC ·DT ， 即DT ＝DB ·DA DC ＝4×32＝6；因为TC 为⊙O 的直径，所以PT ⊥DT . 设PB ＝x ， 则在Rt △PDT 中，PT 2＝PD 2－DT 2＝(4＋x )2－36.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ＝x (x ＋7)， 所以(4＋x )2－36＝x (x ＋7)， 解得x ＝20，即PB ＝20.答案：A 二、填空题5．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，AM ＝4，BM ＝9，则弦CD 的长为________． 解析：根据相交弦定理，AM ·BM ＝(CD 2)2，所以CD2＝6，CD ＝12.答案： 126.如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析：因为直线PB 是圆的切线，所以∠ABP ＝∠C ，又因为∠ABP＝∠ABD ，所以∠ABD ＝∠C ，又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AD AB ＝ABAC ，所以AB＝AD ·AC ＝mn .答案：mn7.如图，P A ，PB 分别为⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，P A ＝7，在劣弧AB 上任取一点C ，过C 作⊙O 的切线，分别交P A ，PB 于D ，E ，则△PDE 的周长是________．解析：由切线长定理知， PB ＝P A ＝7，且DA ＝DC ，EC ＝EB ， 所以△PDE 的周长为PD ＋PE ＋DE ＝PD ＋DC ＋CE ＋PE ＝P A ＋PB ＝14. 答案：14 三、解答题8.如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足是G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，求EF 的长．解：因为CD ⊥AB 于G ，F 为CG 的中点，所以G 为CD 的中点，即CD ＝8，FD ＝6.又因为AF ·FE ＝CF ·FD ，即3×EF ＝2×6， 所以EF ＝4.9.已知：如图，P A 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，PO ＝13cm ，⊙O 半径r ＝5 cm ，求△PDE 的周长．解：∵P A 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，∴DA ＝DC ，EB ＝EC .∴△PDE 的周长为P A ＋PB ＝2P A . 连接OA ，则OA ⊥P A . ∴P A ＝PO 2－OA 2＝132－52＝12 cm.∴△PDE 的周长为24 cm.10．如图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB .∵AC 为⊙O 1的切线， ∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E . ∴AD ∥EC .(2)设PB ＝x ，PE ＝y ，由相交弦定理，得PB ·PE ＝P A ·PC ， 则x ·y ＝6×2，∴xy ＝12.① ∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ，即9＋x y ＝62.∴9＋x ＝3y .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)．∴DE ＝9＋3＋4＝16. ∵AD 为⊙O 2的切线，∴由切割线定理，得AD2＝DB·DE＝9×16. ∴AD＝12.。

与圆有关的比例线段练习1如图，CD是O的直径,AB⊥CD，垂足为P，AP＝4，PD＝2，则PO等于( )A．2 B．3C．5 D．72如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点,PAB，PCD分别为这两圆的割线，若PA＝3，PB＝6，PC＝2，则PD 等于( ）A．4 B．8 C．9 D．123如图，PA，PB分别为O的切线,切点分别为A，B，PA＝7，在劣弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA，PB于点D，E，则△PDE的周长是（)A．7 B．10 C．14 D．284已知O的弦AB过CD弦的三等分点M，AM和BM是方程3x2＋2mx＋18＝0的两个根，则CD的长为( )A．．．5(能力拔高题)如图，在O中,MN为直径,点A在O上,且∠AON＝60°，点B是AN的中点，点P是直径MN 上一动点，O的半径为1，则AP＋BP的最小值为( )A．1 B C1 D6从圆外一点P向圆引两条割线PAB，PCD，分别与圆相交于A，B,C，D，如果PA＝4，PC＝3，CD＝5,那么AB ＝__________。

7如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为AB＝3,则切线AD的长为__________．8如图,O 中的弦CD 与直径AB 相交于点E ，M 为AB 延长线上一点，MD 为O 的切线,D 为切点,若AE ＝2，DE＝4，CE ＝3，DM ＝4,则OB ＝__________，MB ＝__________.9如图，PA 与O 相切于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交O 于B ，C 两点,求证:∠DPB ＝∠DCP 。

10如图，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，O 交直线OB 于E ,D 两点，连接EC ，CD ．(1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）若tan∠CED ＝12，O 的半径为3，求OA 的长．参考答案1答案：B 设O 的半径为r ，∵AP ·PB ＝CP ·PD ，AP ＝PB ＝4，PD ＝2，∴42＝(2r －2)×2，∴r ＝5.∴PO ＝r －2＝3。