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解:(1)如图所示,直线AB过点(1,1)且与x轴平行,故AB所在直线方程是 y=1.
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
解:(2)直线 AC 过点(1,1)且倾斜角为 60°, 斜率为 k1=tan 60°= 3 . 从而直线 AC 的方程是 y-1= 3 (x-1), 直线 BC 过点(5,1)且倾斜角是 135°, 斜率为 k2=tan 135°=-1, 从而直线 BC 的方程是 y-1=-(x-5).
1 4 ·| -5|·|5k-4|=5,即(5k-4)2=10|k|. 2 k 2 8 或 k= ; 5 5 4 -5,0), k
当 k≥0 时,方程可化为(5k-4)2=10k,解得 k=
当 k<0 时,方程可化为(5k-4)2=-10k,此时方程无解. 故所求直线的方程为 y+4=
2 8 (x+5)或 y+4= (x+5). 5 5
4.(直线的斜截式方程)在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的
斜截式方程为 答案:y=-3x+2 5.(两直线平行或垂直关系)若直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2垂直,则直 线l的方程为 答案:y= 1 x+7
4
.
.
课堂探究
题型一 直线的点斜式方程
典例剖析·举一反三
【例1】 已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求: (1)AB所在直线的方程;
解:(2)直线 AB 过点(1,-1)且 kBA=
1 当 a=0 时,kBA= , 3 1 此时直线 AB 的方程是 y+1= (x-1), 3
a 1 . 3
当 a=2 时,kBA=1, 此时直线 AB 的方程是 y+1=x-1.
【备用例题】 (1)当a为何值时,直线l1:y=-2x+2a与直线l2:y=(a2-3a)x+2
想一想 (1)直线l确定吗? (确定) (2)直线l上一点P(x,y)(P与P0不重合)的坐标满足什么关系? (点P的坐标满足 y y0 =k)
x x0
知识探究
1.直线的点斜式方程 (1)定义:如图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)
叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式.
角三角形.
(1)求a;
解:(1)因为 BA⊥BC. 所以直线 BA 的斜率 kBA 与直线 BC 的斜率 kBC 满足 kBA·kBC=-1, kBA=
a 1 a 3 a 1 a 3 ,kBC= ,所以 · =-1, 3 1 3 1
即 a2-2a=0, 解得 a=0 或 a=2.
即时训练3-1:△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的直
(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?
解:(2)设两直线的斜率分别为 k3,k4, 则 k3=-1,k4=a -2. 因为两条直线互相平行,
2 a 2 1, 所以 4a 4,
2
解得 a=-1. 所以当 a=-1 时,两直线互相平行.
方法技巧
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直
线的斜截式方程.
即时训练2-1:写出下列直线的斜截式方程: (1)直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;
(2)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2.
解:(1)因为 k=tan 60°= 3 ,所以 y= 3 x+5.
(2)因为直线在 x 轴上的截距为 4,在 y 轴上的截距为-2, 所以直线过点(4,0)和(0,-2), 所以 k=
(2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其 x=x0 方程为x-x0=0,或 .
探究1:(1)过点(x0,y0),且平行于x轴的直线应如何表达?
(2)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?
答案:(1)y=y0. (2)不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,
变式探究:若将本例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他
条件不变,又如何求解?
解:根据题意知,直线 l 的斜率是 方程为 y=
1 x-2. 2 1 ,在 y 轴上的截距是-2,由斜截式写出 l 的 2
方法技巧 入方程即可.
直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代
设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:y=k1x+
b1,l2:y=k2x+b2,那么①l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2;②k1=k2且b1=b2⇔两条直 线重合;③l1⊥l2⇔k1· k2=-1.
即时训练3-1:△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的直
探究2:直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗?
答案:直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、 可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距 为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.
自我检测
1.(直线的点斜式方程)直线方程可表示成点斜式方程的条件是( A (A)直线的斜率存在 (B)直线的斜率不存在 (C)直线不过原点 (D)以上均不正确 )
题型二
直线的斜截式方程
【例2】 已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行 且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程. 解:由题知,直线l与l1平行, 所以直线l的斜率为-2,直线l与l2在y轴上的截距相同, 故在y轴上的截距是-2, 由斜截式方程知l的方程为y=-2x-2.
2.(直线的斜截式方程)已知直线 l 的斜率为 3 ,在 y 轴上的截距为另一条直线 x-2y-4=0 的斜率的倒数,则直线 l 的方程为( (A)y= 3 x+2 (C)y= 3 x+
1 2
A
)
(B)y= 3 x-2 (D)y=- 3 x+2
3.(直线的点斜式方程)将直线 y= 3 (x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转 60°后 所得直线方程是( A ) (A) 3 x+y-2 3 =0 (B) 3 x-y+2 3 =0 (C) 3 x+y+2 3 =0 (D) 3 x-y-2 3 =0
角三角形.
(1)求a;
解:(1)因为 BA⊥BC. 所以直线 BA 的斜率 kBA 与直线 BC 的斜率 kBC 满足 kBA·kBC=-1, kBA=
a 1 a 3 a 1 a 3 ,kBC= ,所以 · =-1, 3 1 3 1
即 a2-2a=0, 解得 a=0 或 a=2.
(2)求直线AB的方程.
2 0 1 1 = ,所以 y= x-2. 04 2 2
题型三
平行与垂直的应用
【例3】 当a为何值时,
(1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直? 解:(1)设两直线的斜率分别为k1、k2, 则k1=a,k2=a+2. 因为两直线互相垂直, 所以k1· k2=a(a+2)=-1. 解得a=-1. 所以当a=-1时,两条直线互相垂直.
其方程都不能用点斜式表示.
2.直线的斜截式方程 y= (1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程____ kx+b 叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式. _________ (2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 . 倾斜角是 直角 的直线没有斜截式方程.
误区警示
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的
坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率
存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0.
即时训练1-1:直线l经过点P(-5,-4),且l与坐标轴围成的三角形的面积为 5,试求l的方程.
解:易知直线 l 与坐标轴不垂直.因为 l 过点 P(-5,-4), 所以可设 l 的方程为 y+4=k(x+5)(k≠0),则直线 l 与 x 轴的交点为( 与 y 轴的交点为(0,5k-4). 所以 l 与坐标轴所围成的三角形的面积 S=
平行;
(2)若点A(1,2)在直线l上的射影为来自(-1,4),求直线l的方程.
2 a 3a 2, 解:(1)由题意得 解得 a=2.所以当 a 的值为 2 时,l1 与 l2 平行. 2 a 2, 42 (2)因为 kAB= =-1, 1 1
由题意得 kl·kAB=-1,所以 kl=1. 又 B 在 l 上,由点斜式得 y-4=x+1,即 y=x+5. 所以直线 l 的方程为 y=x+5.
3.2
3.2.1
直线的方程
直线的点斜式方程
课标要求:1.了解直线的点斜式方程的推导过程.2.掌握直线的点斜式方程 并会应用.3.掌握直线的斜截式方程,了解截距的概念.
自主学习
【情境导学】
新知建构·自我整合
导入 (教学备用)(生活中的数学故事)斜拉桥桥身简约刚毅,力感十足. 若以桥面所在直线为x轴,桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,那么 斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线. 导入 (从初中直线方程导入)如图,直线l过P0(x0,y0),斜率为k.
